Виды сечений в геометрии: Виды геометрических характеристик сечений

4. Косые сечения . Начертательная геометрия: конспект лекций

Под косыми сечениями понимают круг задач на построение натуральных видов сечений рассматриваемого тела проецирующейся плоскостью. Для выполнения косого сечения необходимо расчленить рассматриваемое тело на элементарные геометрические тела, например призму, пирамиду, цилиндр, конус, шар и т. д. После чего следует строить натуральный вид искомого сечения, рассматривая последовательно пересечение плоскости с каждым из этих тел.

На рисунке 100 показана правильная четырёхгранная пирамида с призматическим сквозным отверстием, которая пересечена фронтально-проецирующей плоскостью. Пусть требуется построить натуральное изображение сечения. Она представляет собой две равнобедренные трапеции ABCD и EFGH.

На плане представлены размеры сторон параллельных оснований в натуральную величину, а расстояния между ними, которые являются высотами трапеций, – на главном виде. Для построения сечения этих данных достаточно.

Построение выполняют в следующем порядке:

1) проводят ось симметрии сечения параллельно фронтальному следу секущей плоскости, переносят на нее высоты упомянутых трапеций. С этой целью проводят через соответствующие точки следа секущей плоскости прямые, которые перпендикулярны этому следу;

2) откладывают по обе стороны от оси симметрии половины натуральных размеров оснований трапеций:

AD = ad, BC = bc и т. д.;

3) соединяют построенные точки прямыми и заштриховывают полученные площади сечения.

Также натуральный вид сечения можно наблюдать справа от горизонтальной проекции пирамиды (A₁B₁C₁D₁ и E₁F₁H₁).

Заметим, что точки D, С, Н и G лежат на одной прямой, так же как и точки F, Е, В и А на другой прямой. Эти прямые являются сечениями передней и задней граней, каждая из которых разрывается отверстием на две части (это важно при построении натурального вида сечения).

На рисунке 101 показана пирамида, пересеченная горизонтально-проецирующей плоскостью. Пусть требуется построить натуральный вид сечения. Здесь прямую AF можно считать основанием многоугольника сечения, тогда построим это основание и от него будем откладывать высоты остальных вершин сечения. Следует поместить отрезок AF параллельно af, проводя прямые аА и fF перпендикулярно af (AF = af). Затем через горизонтальные проекции (b, с, d и е) остальных вершин многоугольника проводят прямые, перпендикулярные af. Потом откладывают на них по другую сторону от AF высоты перечисленных точек, основываясь на размерах главного вида. При этом отрезок DE должен быть параллельным

AF.

Представим, выполняя это построение, что мы как бы совместили сечение с горизонтальной плоскостью проекций, вращая его около горизонтального следа af секущей плоскости, после чего немного отодвинули его в направлении, перпендикулярном следу af.

Также натуральный вид построен справа от фронтальной проекции (A₁B₁C₁D₁E₁F₁).

При этом точки В, С, Е и F лежат на одной прямой.

Построение сечений 2

Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

Содержание:

• Цели и задачи
• Введение
• Понятие секущей плоскости
• Определение сечения
• Правила построения сечений
• Виды сечений тетраэдра
• Виды сечений параллелепипеда
• Задача на построение сечения тетраэдра с объяснением
• Задача на построение сечения тетраэдра с объяснением
• Задача на построение сечения тетраэдра по наводящим вопросам
• Второй вариант решения предыдущей задачи
• Задача на построение сечения параллелепипеда
• Задача на построение сечения параллелепипеда
• Источники информации
• Пожелание учащимся

Цель работы:

Развитие пространственных представлений у учащихся.

Задачи:

• Познакомить с правилами построения сечений.
• Выработать навыки построения сечений тетраэдра и параллелепипеда при различных случаях задания секущей плоскости.
• Сформировать умение применять правила построения сечений при решении задач по темам «Многогранники».

Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями.

Секущей плоскостью параллелепипеда ( тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра).

L

Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам.

L

Многоугольник , сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда).

Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками.

При этом необходимо учитывать следующее:

1. Соединять можно только две точки, лежащие

в плоскости одной грани.

2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам.

3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

Какие многоугольники могут получиться в сечении ?

Тетраэдр имеет 4 грани

В сечениях могут получиться:

• Четырехугольники

• Треугольники

Параллелепипед имеет 6 граней

• Треугольники

• Пятиугольники

В его сечениях

могут получиться:

• Четырехугольники

• Шестиугольники

Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M , N , K

D

D

• Проведем прямую через

точки М и К, т. к. они лежат

в одной грани (А DC ).

M

N

2. Проведем прямую через точки К и N , т.к. они лежат в одной грани (С DB ).

K

B

A

B

A

C

C

3. Аналогично рассуждая, проводим прямую MN .

4. Треугольник MNK –

искомое сечение.

Построить сечение тетраэдра плоскостью,

проходящей через точки E , F , K .

D

1. Проводим К F .

2. Проводим FE .

3. Продолжим EF , продол- жим AC .

F

4. EF AC = М

E

5. Проводим MK .

M

6. MK AB=L

C

A

7. Проводим EL

L

EFKL – искомое

сечение

K

B

Правила

Построить сечение тетраэдра плоскостью,

проходящей через точки E , F , K .

D

С какой точкой, лежащей в той же грани можно соединить полученную дополнительную точку?

Какие прямые можно продолжить, чтобы получить дополнительную точку ?

Соедините получившиеся точки, лежащие в одной грани, назовите сечение.

ЕК и АС

Е LFK

С точкой F

Какие точки можно сразу соединить?

F и K , Е и К

F

L

C

M

A

E

K

B

Правила

Второй способ

Построить сечение тетраэдра плоскостью,

проходящей через точки E , F , K .

D

F

L

C

A

E

K

B

Правила

Первый способ

О

Способ №2.

Способ №1.

Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые.

Построить сечение параллелепипеда плоскостью,

проходящей через точки M,A,D.

В 1

D 1

E

М

A 1

С 1

В

D

А

С

1. AD

2. MD

3. ME//AD , т.к. ( ABC)//(A 1 B 1 C 1 )

4. AE

5. AEMD – сечение.

Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В 1 , М, N

Правила

В 1

D 1

С 1

A 1

P

К

В

Е

D

А

N

С

M

6. КМ

O

7. Продолжим MN и BD .

1. MN

3. MN ∩ BA=O

8 . MN ∩ BD=E

2.Продолжим MN ,ВА

4. В 1 О

9. В 1 E

5. В 1 О ∩ А 1 А=К

10. B 1 Е ∩ D 1 D=P , PN

Источники информации

• 1. Геометрия 10-11: учебник для общеобразоват. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.,М.Просвещение
• 2. Задачи к урокам геометрии 7-11 классы / Б.Г.Зив,С.-Петербург, НПО «Мир и семья», изд-во «Акация».
• 3. Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в ВУЗы / Д.И.Аверьянов, П.И.Алтынов – М.: Дрофа

ВЫ МНОГОЕ УЗНАЛИ

И МНОГОЕ УВИДЕЛИ!

ТАК ВПЕРЕД, РЕБЯТА:

ДЕРЗАЙТЕ И ТВОРИТЕ!

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ.

Поперечное сечение

Поперечное сечение представляет собой пересечение данного объекта плоскостью вдоль его оси. В геометрии сечением называется непустое пересечение твердого тела плоскостью. Разрезание объекта на срезы создает множество параллельных поперечных сечений, которые дополнительно создают несколько форм, таких как круг, прямоугольник и т. д.

Объект не обязательно должен быть трехмерным, эта концепция может применяться к двумерным формам как хорошо.

Например, если самолет прорезает горы на двумерной карте, результатом будут точки на поверхности гор с одинаковой высотой.

Кроме того, вы можете понять концепцию поперечного сечения, изучая ее на примерах в реальном времени, например, дерево после того, как оно было срублено, имеет форму кольца, это помогает нам понять меньшую часть, увеличив ее.

В геометрии мы изучаем различные типы фигур, одномерную форму, двумерную форму и так далее. Концепция поперечных сечений играет важную роль в лучшем понимании этих форм, поэтому мы будем продвигаться вперед в концептуальном понимании поперечных сечений по их определению, типам и относительным примерам.

Что такое поперечное сечение?

Поперечное сечение определяется как форма, полученная в результате пересечения твердого объекта плоскостью. Поперечное сечение трехмерной формы представляет собой двумерную геометрическую форму.

Типы поперечных сечений

Существует два основных типа поперечных сечений, а именно:

* Горизонтальное поперечное сечение

* Вертикальное поперечное сечение

Горизонтальное поперечное сечение

Горизонтальное поперечное сечение, также известное как параллельное поперечное сечение -сечение – это когда плоскость разрезает твердое тело в горизонтальном направлении так, что создается параллельное поперечное сечение с основанием. Например, горизонтальное сечение цилиндра представляет собой круг.

Вертикальное поперечное сечение

В перпендикулярном поперечном сечении плоскость разрезает твердое тело в вертикальном направлении, перпендикулярном его основанию. Например, вертикальное сечение цилиндра представляет собой прямоугольник.

Примеры поперечных сечений

Некоторые широко известные примеры поперечных сечений:

* Любое поперечное сечение сферы может быть кругом

* Вертикальное поперечное сечение конуса может быть треугольником, поэтому поперечное сечение может быть кругом

* Вертикальное поперечное сечение цилиндра может быть прямоугольником, и, следовательно, горизонтальное поперечное сечение может быть кругом

Поперечное сечение в геометрии

Прежде чем мы поймем различные поперечные сечения трехмерной формы, мы поняли бы важные термины и функции, относящиеся к ней.

Площадь поперечного сечения и объем

Что такое площадь поперечного сечения?

Когда твердый объект пересекается плоскостью, область проецируется на плоскость. Эта плоскость далее перпендикулярна оси своей симметрии; таким образом, эта проекция называется площадью поперечного сечения.

Формула площади поперечного сечения = l x w

Объем поперечного сечения

Объем твердого тела определяется интегралом площади поперечного сечения.

Поперечное сечение конуса

Конус представляет собой пирамидальную структуру с круглым основанием и треугольной вершиной. Поперечное сечение конуса называется коническим сечением, это достигается за счет зависимости между плоскостью и наклонной поверхностью. Это может быть круг, парабола, эллипс.

Поперечные сечения цилиндра

Цилиндр может иметь различную форму в зависимости от способа его огранки, он может быть кругом, прямоугольником или овалом.

Если цилиндр имеет горизонтальное поперечное сечение, то форма будет кругом. Если плоскость основания цилиндра перпендикулярна его основанию, то форма будет прямоугольником.

Овальная форма получается, когда плоскость пересекает цилиндр параллельно основанию с изменением его угла.

Поперечное сечение сферы

Сфера – это круглая твердая фигура, поверхность которой, каждая точка которой равноудалена от ее центра.

Сфера имеет наименьшую площадь для своего объема. Пересечение плоскости со сферой дает окружность, точно так же все сечения сферы являются окружностями.

Пример поперечного сечения Решенная задача

Задача 1: Определить площадь поперечного сечения заданного цилиндра высотой 25 см и радиусом 4 см.

Решение:

Дано:

Радиус = 4 см

Высота = 25 см

Мы знаем, что когда плоскость разрезает цилиндр параллельно дну, то полученное поперечное сечение может быть кругом.

Следовательно, площадь круга, A = πr2 квадратных единиц

Возьмем π = 3,14

Подставим значения,

A = 3,14 (4)2 см2

A = 3,14 (16) см2 9000 3

А = 50,24 см2

Площадь цилиндра = 50,24 см

Задача 2. Сплошной металлический прямоугольный цилиндрический брусок радиусом 7 см и высотой 8 см расплавляют и из него делают кубики со стороной 2 см. Сколько таких кубиков можно составить из блока?

Решение:

Для правильного круглого цилиндра радиус (r) = 7 см, высота (h) = 8 см.

Следовательно, его объем = πr2h

 = 3,14 × 72 × 8 см3

 = 1232 см3

Разделы Определение и примеры — Биологический онлайн-словарь

раздел
1. Акт резки или разделения путем резки; как, разрез тел.

2. Часть, отделенная от чего-либо; дивизия; порция; ломтик. В частности:
Отдельная часть или часть книги или письменного произведения; подразделение главы; раздел закона или иного письменного документа; параграф; статья; отсюда и иероглиф, часто используемый для обозначения такого деления. Едва ли возможно дать четкое представление о его нескольких аргументах в отдельных разделах. (замок)
Отдельная часть страны или народа, сообщества, класса и т. п.; часть территории, разделенной географическими линиями, или часть народа, считающегося отдельным. Крайняя часть одного класса состоит из фанатичных дебилов, крайняя часть другого состоит из поверхностных и безрассудных эмпириков. (Маколей)
Одна из частей, по одной квадратной миле каждая, на которые разделены государственные земли Соединенных Штатов; одна тридцать шестая часть поселка. Эти секции подразделяются на квартальные секции для продажи в соответствии с законами о приусадебных участках и преимущественной покупке.
3. (Наука: геометрия) Фигура, состоящая из всех точек, общих для пересекающихся поверхностей и тел, или двух пересекающихся поверхностей, или двух пересекающихся линий. В первом случае сечением является поверхностность, во втором — линия, а в третьем — точка.
4. Подраздел рода; группа видов, отличающаяся некоторым отличием от других видов того же рода; часто обозначается знаком .
5. Часть музыкального периода, состоящая из одной или нескольких фраз. См. фразу.
6. Описание или представление чего-либо таким, каким оно выглядело бы, если бы оно было разрезано какой-либо пересекающейся плоскостью; изображение того, что находится за плоскостью, проходящей или предположительно проходящей через объект, как здание, машина, последовательность слоев; профиль.
В механическом чертеже, как и на этих иллюстрациях пушки, продольный разрез (а) обычно изображает объект как разрезанный по его центру вдоль и по вертикали; поперечный или поперечный срез (b), разрезанный поперек и по вертикали; и горизонтальный разрез (с), разрезанный по центру по горизонтали. Косые срезы делают под разными углами. В архитектуре вертикальный разрез — это рисунок, показывающий внутреннее убранство, толщину стен и т. д., как бы выполненный на вертикальной плоскости, проходящей через здание.
(Наука: математика) угловые сечения, инструмент для рисования серии равноудаленных параллельных линий, используемых для представления сечений. Тонкие срезы, срез или срез минерального, животного или растительного вещества, достаточно тонкие, чтобы быть прозрачными, используемые для изучения под микроскопом.