Систематическая погрешность примеры – ,

Случайные и систематические погрешности

ТОП 10:

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 8Следующая ⇒ Говоря о погрешностях измерений, следует, прежде всего, упомянуть о грубых погрешностях (промахах), возникающих вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры. Такие ошибки происходят, если, например, экспериментатор неправильно прочтет номер деления на шкале, если в электрической цепи произойдет замыкание и вследствие других подобных причин. Грубых ошибок следует избегать. Если установлено, что они произошли, соответствующие измерения нужно отбрасывать. Не связанные с грубыми ошибками погрешности опыта делятся на случайные и систематические. Многократно повторяя одни и те же измерения, можно заметить, что довольно часто их результаты не в точности равны друг другу, а «пляшут» вокруг некоторого среднего. Погрешности, меняющие величину и знак от опыта к опыту, называют случайными. Случайные погрешности могут быть связаны с сухим трением (из-за которого стрелка прибора вместо того, чтобы останавливаться в правильном положении, «застревает» вблизи него), с люфтами в механических приспособлениях, с тряской, которую в городских условиях трудно исключить, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра проволоки, которая из-за случайных причин, возникающих при изготовлении, имеет не вполне круглое сечение) или с особенностями самой измеряемой величины. Рассмотрим последний случай. Пусть мы измеряем число космических частиц, проходящих в минуту через счетчик. При достаточно больших размерах счетчика это число может составлять несколько сот или даже тысяч. Пусть в первую минуту через счетчик прошло 345 частиц. Повторяя измерение, найдем, что в разных опытах получаются разные числа (вообще говоря, не слишком отличающиеся от 345). Это происходит потому, что в нашем случае число частиц, проходящих в минуту через счетчик, является случайной величиной. Космическое излучение правильно характеризовать не числом частиц, которые прошли через счетчик за выбранную минуту, а средним числом частиц, проходящих в минуту через счетчик, и средним отклонением чисел в различных опытах. Не следует думать, что, говоря о прохождении космических частиц через счетчик, мы выбрали исключительное явление. Подобный разброс результатов измерения наблюдается при изучении (с помощью счетчиков) числа распадов в радиоактивных источниках, при изучении очень слабых токов, когда через измерительный прибор за время измерения проходит не очень большое число электронов или ионов (например, в чувствительных масс-спектрометрах), и во многих других случаях. Случайные погрешности эксперимента исследуются путем сравнения результатов, полученных при нескольких опытах, поставленных в одинаковых условиях. Два-три измерения следует производить всегда. Если результаты совпали, то на этом следует остановиться. Если же они расходятся, нужно попытаться понять причину расхождения. Часто она связана с тем, что прибор неисправен, ненадежно закреплен или плохо смазан, что электрические контакты не пропаяны или недостаточно зажаты. В этом случае, прежде всего, нужно попытаться исправить аппаратуру. Если устранить причину не удается, нужно произвести несколько измерений и записать все полученные результаты. Ниже мы расскажем о том, как следует поступать с полученными числами. Систематические погрешности сохраняют свою величину. (и знак!) во время эксперимента. Они могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, неравномерно растягивающаяся пружина, неравномерный шаг микрометрического, винта, не равные плечи весов) и с самой постановкой опыта (определение скорости поезда по проходимому им расстоянию на участке, где движение происходит с небольшим ускорением, которое ускользнуло от внимания экспериментатора, влияние трения и т. д.). В результате систематических погрешностей разбросанные из-за случайных ошибок результаты опыта колеблются не вокруг истинного, а вокруг некоторого смещенного значения. Рис. 1 поясняет различие между случайными и систематическими погрешностями. В ситуации, изображенной на рис. 1, а, систематическая погрешность пренебрежимо мала. Измеренные значения отличаются от истинного вследствие случайных ошибок: опыта. На рис. 1, б изображены результаты опыта при наличии как случайных, так и систематических погрешностей. При желании систематические погрешности опыта могут быть изучены и скомпенсированы путем внесения поправок в результаты измерений. Неравноплечность весов можно исследовать, меняя местами грузы на чашках весов. Неточность шкал электроизмерительных приборов можно установить, сравнивая их показания с показаниями более точных приборов, и т. д. Как правило, этого не делают. Если систематическая погрешность опыта для выбранной цели слишком велика, то обычно оказывается проще поставить новые, более точные приборы, чем исследовать погрешности старых. Не следует думать, что различие между случайными и систематическими погрешностями является абсолютным. Оно связано с постановкой опыта. Производя измерения тока не одним, а несколькими разными амперметрами, мы превращаем систематическую ошибку, связанную с неточностью шкалы, в случайную ошибку, величина (и знак!) которой зависит от того, какой поставлен амперметр в данном опыте и т. д. Однако во всяком данном опыте – при заданной его постановке – различие между систематическими и случайными погрешностями всегда можно и нужно устанавливать с полной определенностью. Случайные погрешности Случайные величины, к которым относятся случайные погрешности, изучаются в теории вероятностей и в математической статистике. Мы здесь опишем – с пояснениями, но без доказательств – основные свойства и основные правила обращения с такими величинами в том объеме, который необходим для обработки результатов измерений, полученных в лаборатории. В этом параграфе мы будем предполагать, что систематические погрешности пренебрежимо малы и все ошибки сводятся к случайным. Позднее, в § 5, мы обсудим, как следует поступать в тех случаях, когда нужно принимать во внимание как случайные, так и систематические погрешности опыта. Рассмотрим для примера данные, полученные при измерении массы тела на весах, у которых имеется область застоя из-за трения призмы на подушке (разброс результатов для наглядности преувеличен). Пусть масса тела близка к 48 мг, результат измерений удается отсчитать по шкале с точностью до 0,1 мг. Имеем: № опыта Масса, мг 48,0 47,9 47,5 48,2 48,4 47,8 48,6 48,3 47,8 48,1 48,2 Вместо одного нужного нам результата мы получили одиннадцать. Что делать с полученными цифрами? Как найти из них достаточно близкое к истинному значение массы тела и как оценить погрешность полученного результата? Этот вопрос подробно изучается в математической статистике. Мы здесь изложим соответствующие правила без вывода. В качестве наилучшего значения для измеренной величины обычно принимают среднее арифметическое из всех полученных результатов: . (3) В нашем случае получим mср = (48,0 + 47,9 + … + 48,1 + 48,2) = 48,1 мг. Этому результату следует приписать погрешность, определяемую формулой (4) В нашем случае мг. Результат опыта записывается в виде х = xср ± σx.(5) В нашем случае m = (48,10± 0,10)мг. Рассмотрим формулы (3) и (4). Прежде всего, попытаемся понять, как зависит результат расчета от числа измерений. Формула (3) показывает, что xср от числа измерений зависит слабо. Все слагаемые, входящие в числитель, приблизительно равны друг другу. Их сумма пропорциональна числу слагаемых. После деления на знаменатель получается величина, мало зависящая от числа измерений. Так, конечно, и должно быть. Среднее измеренное значение – при правильной методике опыта – всегда лежит вблизи истинного значения и в разных независимых сериях измерений испытывает вокруг него небольшие случайные колебания. Погрешность опыта, определяемая формулой (4), с увеличением числа измерений п уменьшается как : . (6) (Число членов суммы в (4) растет как п, числитель (4) поэтому увеличивается как , а все выражение уменьшается как .) Этот результат является очень важным. По мере увеличения числа опытов ошибки в сторону преувеличения и преуменьшения результата все лучше компенсируют друг друга, и среднее значение приближается к истинному. В нашем примере одиночные отсчеты отличаются от среднего на несколько десятых, а погрешность результата, полученного при усреднении всех измерений,, составляет всего одну десятую. Формула (4) может быть записана в несколько ином виде . При такой записи множитель 1/ , определяющий улучшение результата с увеличением числа измерений, вынесен из-под общего корня, а под корнем осталось среднее значение квадрата отклонений, вычисленное по всем произведенным измерениям. Этот корень определяет σ отд – среднюю (точнее говоря – среднеквадратичную) погрешность отдельного измерения: . При обсуждении смысла величины σ следует помнить, что истинную величину погрешности невозможно узнать до тех пор, пока из каких-либо других опытов (или соображений) не удастся определить искомую величину с существенно лучшей точностью. Но тогда рассматриваемые опыты потеряют значение, и их погрешность никого не будет интересовать. Как уже отмечалось, погрешность результата не столько определяют, сколько оценивают. Оценка (4) подобрана так, что при проведении многочисленных серий измерений погрешность в 2/3 случаев оказывается меньше σx, а в 1/3 случаев больше, чем σx. Иначе говоря, если бы мы – в нашем случае – провели не одну серию из 11 взвешиваний, а десять таких серий, то мы могли бы ожидать, что в шести или семи из них усредненный результат будет отличаться от истинной массы тела меньше чем. на 0,1 мг. а в остальных случаях больше, чем, на 0,1 мг. Погрешность, определенную с достоверностью 2/3, обычно называют стандартной (или среднеквадратичной) погрешностью опытов, а ее квадрат – дисперсией. Можно показать, что, как правило, погрешность опыта только в 5% случаев превосходит ±2σ и почти всегда оказывается меньше ±3σ. На первый взгляд из сказанного можно сделать вывод, что, беспредельно увеличивая число измерений, можно даже с самой примитивной аппаратурой получить очень хорошие результаты. Это, конечно, не так. С увеличением числа измерений уменьшается только случайная погрешность опытов. Методические погрешности и погрешности, связанные с несовершенством приборов (например, с неправильностью их шкалы), при увеличении числа опытов не меняются. В приведенном выше примере результат взвешивания округлялся до десятых долей миллиграмма. Это-делалось потому, что сотых долей отсчитать было нельзя. Одна только ошибка отсчета составляет при этом около 0,1 мг. Поэтому погрешность результата ни при каком числе опытов не может быть сделана меньше. Число опытов в нашем случае было-выбрано разумно. Из приведенных в таблице цифр ясно, что при однократном измерении мы могли ошибиться на несколько десятых. Среди цифр встречаются результаты, отличающиеся на 0,3 и даже на 0,5 от среднего. После усреднения по 11 измерениям погрешность существенно уменьшилась. Но если окажется нужным узнать массу тела с лучшей, чем это мы сделали, точностью, то недостаточно просто увеличить число измерений. Придется взять более точные весы, позволяющие производить измерения не до десятых, а, скажем, до сотых долей миллиграмма. Скажем несколько слов о формуле (4). Эта формула позволяет хорошо оценивать величину стандартной погрешности в тех случаях, когда число опытов оказывается не меньше 4–5. При меньшем числе опытов лучше применять другие, более сложные оценки. Их мы, однако, рассматривать не будем, во-первых, чтобы не удлинять и не усложнять текста, а, во-вторых, по той причине, что надежность всех этих оценок при малом числе измерений оказывается невысокой. Систематические погрешности Оценку систематических погрешностей экспериментатор производит, анализируя особенности методики, паспортную точность приборов и производя контрольные опыты. Систематические погрешности электроизмерительных приборов, выпускаемых промышленностью (амперметров, вольтметров, мостов, потенциометров и т. д.), определяются их классом точности, который обычно выражают в процентах. Амперметр класса 0,2 (если он, конечно, исправен и проходит систематическую проверку) позволяет производить измерения с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0,2% от тока, соответствующего полной шкале прибора. На всех участках шкалы – в ее начале, середине и конце – эта погрешность одна и та же. Отметим различие в правилах определения погрешностей и в определении класса точности. Погрешности принято характеризовать среднеквадратичными ошибками. При многочисленных измерениях реальная ошибка опытов только в 2/3 случаев меньше среднеквадратичной, а в 1/3 случаев превосходит ее. Класс точности определяет максимально возможное значение погрешности. Приборы, которые могут давать – хотя бы иногда – бóльшие погрешности, должны быть отнесены к другому классу. Такое различие в определениях очень неудобно. В научных публикациях принято приводить именно среднеквадратичную ошибку, а вовсе не максимальную. Строгих формул для перевода одних погрешностей в другие не существует. Можно пользоваться следующим простым правилом: чтобы оценить среднеквадратичную погрешность измерений электроизмерительными приборами, следует погрешность, определяемую классом .точности прибора, разделить на два. Как уже отмечалось, класс электроизмерительных приборов определяет максимальную погрешность, величина которой не меняется при переходе от начала к концу шкалы. Относительная ошибка при этом резко меняется, поэтому приборы обеспечивают хорошую точность при отклонении стрелки почти на всю шкалу и не дают ее при измерениях в начале шкалы. Отсюда следует рекомендация: выбирать прибор (или шкалу многошкального прибора) так, чтобы стрелка прибора при измерениях заходила за середину шкалы. Говоря о систематических погрешностях опыта, следует сказать несколько слов об ошибке отсчета «на глаз». Большинство приборов не имеет нониуспых шкал. При этом доли деления отсчитываются на глаз. Эта ошибка составляет 1–2 десятых доли деления. При отсчетах следует следить за тем, чтобы луч зрения был перпендикулярен шкале. Для облегчения установки глаза на многих приборах устанавливается зеркало («зеркальные приборы»). Глаз экспериментатора установлен правильно, если стрелка прибора закрывает свое изображение в зеркале. При работе с электроизмерительными приборами отсчет должен включать число целых делений и число десятых долей деления, если отсчет может быть произведен с этой точностью (если стрелка или зайчик не ходят и не дрожат, что может сделать аккуратный отсчет невозможным). Поясним указанное правило. Шкалы электроизмерительных приборов обычно изготовляют так, что одно деление шкалы приблизительно равно максимальной погрешности прибора. Зачем же в этом случае отсчитывать десятые доли деления? Ответ на этот вопрос читатель найдет в § 7. Забегая вперед, отметим, что при измерениях, при расчетах и при записи результатов, кроме надежно известных значащих цифр, всегда указывается одна, лишняя. Такая процедура, среди прочих, имеет и то преимущество, что позволяет вовремя замечать мелкие нерегулярности исследуемых зависимостей. Если, например, стрелка прибора при измерениях отклонилась на полделения назад, этот результат является надежным и в том случае, когда погрешность прибора равна целому делению. Несколько слов о точности линеек. Металлические линейки очень точны: миллиметровые деления наносятся с погрешностью не более ±0,05 мм, а сантиметровые – не хуже, чем с точностью 0,1 мм. Погрешность измерений, производимых с помощью таких линеек, практически равна погрешности отсчета на глаз. Деревянными или пластиковыми линейками лучше не пользоваться: их погрешности неизвестны и могут оказаться неожиданно большими. Исправный микрометр обеспечивает точность 0,01 мм, а погрешность измерений штангенциркулем определяется точностью, с которой может быть сделан отсчет, т. е. точностью нониуса (у штангенциркулей цена делений нониуса составляет обычно 0,1 или 0,05 мм). 

infopedia.su

2. Оценка систематической (приборной) погрешности

При прямых измеренияхзначение измеряемой величины отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм.

Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна мВ.

Систематические погрешности возникают и при использовании постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9∙10³кг/м³, то абсолютная погрешность в этом случае равнакг/м³.

Некоторые особенности в расчете приборных погрешностей электроизмерительных приборов будут рассмотрены ниже.

При определении систематической (приборной) погрешности косвенных измеренийфункциональной величиныиспользуется формула

, (1)

где – приборные ошибки прямых измерений величины,- частные производные функции по переменной.

В качестве примера, получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид

.

Частные производные по переменным d и hбудут равны

,.

Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра в соответствии с (2. ..) имеет следующий вид

,

где иприборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра

3. Оценка случайной погрешности. Доверительный интервал и доверительная вероятность

Д

Рис. 1

ля подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса), выведенный из следующих эмпирических положений.

1. погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

2. при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,

3. чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.

График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой имеет вид

, (2)

где – функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки,σ– средняя квадратичная ошибка.

Величина σне является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называютдисперсией измерений.Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.

Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического. Величина которой определяется по формуле

, (3)

где – результатi-го измерения;- среднее арифметическое полученных значений;n – число измерений.

Чем больше число измерений, тем меньше и тем больше оно приближается кσ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений , а случайная абсолютная погрешность, то результат измерений запишется в виде.

Интервал значений от до, в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называетсядоверительным интервалом.Посколькуявляется случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называетсядоверительной вероятностью,илинадежностью измерений. Эта величина численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции. (см. рис.)

Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используетсяраспределение вероятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной величины, называемойкоэффициентом Стьюдента, дает значение доверительного интервалав долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического.

. (4)

Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ², а существенно зависит от числа опытовn.С увеличением числа опытовnраспределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.

Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n, и столбца, соответствующего доверительной вероятности α

Таблица 1.

n	α				n	α
	0,8	0,9	0,95	0,98		0,8	0,9	0,95	0,98
3	1,9	2,9	4,3	7,0	6	1,5	2,0	2,6	3,4
4	1,6	2,4	3,2	4,5	7	1,4	1,9	2,4	3,1
5	1,5	2,1	2,8	3,7	8	1,4	1,9	2,4	3,9

Пользуясь данными таблицы, можно:

1. определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью;

2. выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность.

При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения функции вычисляют по формуле

. (5)

Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае прямых измерений.

Оценка суммарной погрешности измерений. Запись окончательного результата.

Суммарную погрешность результата измерений величины Х будем определять как среднее квадратичное значение систематической и случайной погрешностей

, (6)

где δх – приборная погрешность, Δх – случайная погрешность.

В качестве Х может быть как непосредственно, так и косвенно измеряемая величина.

Окончательный результат измерений рекомендуется представлять в следующем виде

, α=…, Е=…(7)

Следует иметь в виду, что сами формулы теории ошибок справедливы для большого число измерений. Поэтому значение случайной, а следовательно, и суммарной погрешности определяется при малом nс большой ошибкой. При вычислении Δхпри числе измеренийрекомендуется ограничиваться одной значащей цифрой, если она больше 3 и двумя, если первая значащая цифра меньше 3. Например, если Δх= 0,042, то отбрасываем 2 и пишем Δх=0,04, а если Δх=0,123, то пишем Δх=0,12.

Число разрядов результата и суммарной погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое вычисляется вначале на один разряд больше, чем измерение, а при записи результата его значение уточняется до числа разрядов суммарной ошибки.

studfile.net

12. Погрешность, классификация погрешностей.

Результат измерений физической величины всегда отличается от истинного значения на некоторую величину, которая называется погрешностью

КЛАССИФИКАЦИЯ:

1. По способу выражения: абсолютные, приведенные и относительные

2. По источнику возникновения: методические и инструментальные.

3. По условиям и причинам возникновения: основные и дополнительные

4. По характеру изменения: систематические и случайные.

5. По зависимости от входной измеряемой величины: аддитивные и мультипликативные

6. По зависимости от инерционности: статические и динамические.

13. Абсолютная, относительная и приведенная погрешности.

Абсолютная погреш­ность — это разность между измеренным и дейст­вительным значениями измеряемой величины:

(1)

где А_изм, А – измеряемое и действительное значения; ΔА – абсолютная погрешность.

Абсолютную погрешность выражают в единицах измеряемой величины. Абсолютную погрешность, взятую с обратным знаком, называют поправкой.

Относительная погрешность р равна отношению абсолютной погрешности ΔА к действительному значению измеряемой величины и выражается в про­центах:

(2)

Приведенная погрешность измерительного прибо­ра – это отношение абсолютной погрешности к но­минальному значению. Номинальное значение для прибора с односторонней шкалой равно верхнему пределу измерения, для прибора с двусторонней шкалой (с нулем посередине) — арифметической сум­ме верхних пределов измерения:

пр. ном.

14. Методическая, инструментальная, систематическая и случайная погрешности.

Погрешность метода обусловлена несовершенством применяемого метода измерения, неточностью формул и математических зависимостей, описывающий данный метод измерения, а также влиянием средства измерения на объект свойства которого изменяются.

Инструментальная погрешность (погрешность инструмента) обусловлена особенностью конструкции измерительного устройства, неточностью градуировки, шкалы, а также неправильностью установки измерительного устройства.

Инструментальная погрешность, как правило, указывается в паспорте на средство измерения и может быть оценена в числовом выражении.

Систематическая погрешность – постоянная или закономерно изменяющаяся погрешность при повторных измерениях одной и той же величины в одинаковых условиях измерения. Например, погрешность, возникающая при измерении сопротивления ампервольтметром, обусловленная разрядом батареи питания.

Случайная погрешность – погрешность измерения, характер изменения которой при повторных измерениях одной и той же величины в одинаковых условиях случайный. Например, погрешность отсчета при нескольких повторных измерениях.

Причиной случайной погрешности является одновременной действие многих случайных факторов, каждый из которых в отдельности мало влияет.

Случайная погрешность может быть оценена и частично снижена путём правильной обработки методами математической статистики, а также методами вероятности.

15. Основная и дополнительная, статическая и динамическая погрешности.

Основная погрешность – погрешность, возникающая в нормальных условиях применения средства измерения (температура, влажность, напряжение питания и др.), которые нормируются и указываются в стандартах или технических условиях.

Дополнительная погрешность обуславливается отклонением одной или нескольких влияющих величин от нормального значения. Например, изменение температуры окружающей среды, изменение влажности, колебания напряжения питающей сети. Значение дополнительной погрешности нормируется и указывается в технической документации на средства измерения.

Статическая погрешность – погрешность при измерении постоянной по времени величины. Например, погрешность измерения неизменного за время измерения напряжения постоянного тока.

Динамическая погрешность – погрешность измерения изменяющейся во времени величины. Например, погрешность измерения коммутируемого напряжения постоянного тока, обусловленная переходными процессами при коммутации, а также ограниченным быстродействием измерительного прибора.

studfile.net

Систематическая погрешность – это… Виды систематических погрешностей

Любая процедура измерения вне зависимости от условий, в которых она проводится, сопряжена с погрешностями. Они представляют собой отклонения, искажающие представление о реальном значении величины.

Источники погрешностей

Отклонения возникают по самым разным причинам. К основным следует отнести:

• Несовершенство конструкций измерительных средств или неточность их изготовления.
• Несоблюдение правил при проведении процедуры.
• Человеческий фактор.
• Несовершенство методов и пр.

Классификация отклонений

В процессе измерения могут возникать систематические и случайные погрешности.

Систематические отклонения классифицируют по разным основаниям. В частности, в зависимости от характера проявления, их разделяют на периодические, постоянные и прогрессивные погрешности.

Также могут появиться грубые погрешности или промахи. Они возникают вследствие:

• Ошибок специалиста.
• Внезапного изменения условий измерения.
• Неисправности оборудования и пр.

Систематические погрешности

Эти отклонения, как правило, можно изучить до начала измерения. Такие показатели остаются постоянными или изменяются закономерно при повторных измерениях одной величины. Результат исследования может корректироваться путем внесения поправок, если числовое значение отклонения известно, или с помощью таких измерительных средств, которые позволяют исключить влияние этих погрешностей без определения их значения.

При повторных измерениях действуют определенные законы, в соответствии с которыми изменяются значения систематических погрешностей. Эти отклонения можно иногда определить экспериментально. Соответственно, результат можно уточнить путем поправки.

Характер проявления

Как говорилось выше, по этому признаку выделяют три группы систематических погрешностей. Это:

• Постоянные отклонения. К ним относят такие погрешности, которые на протяжение всего процесса измерения сохраняют свою величину. К примеру, если для определения какого-то показателя специалист использует шкалу прибора, градуировка которой имеет погрешность, то ее величина переносится на все результаты эксперимента.
• Прогрессивные отклонения. Такие погрешности убывают или возрастают в ходе измерений. К ним относят, к примеру, отклонения, появляющиеся в результате износа контактирующих элементов измерительных средств, постепенное уменьшение напряжения токового источника, от которого питается измерительная цепь, и пр.
• Периодические погрешности. Их значения определяются периодической функцией времени либо функцией перемещения указателя на приборе, используемом для измерения. Они возникают в индикаторах с круговой шкалой и стрелками.

Показатели отклонений могут изменяться за счет одновременного влияния нескольких систематических погрешностей. Это проявляется, например, при измерении температуры.

Другие виды

К систематическим отклонения относят также:

• Теоретические погрешности. Их еще называют погрешностями измерительного метода.
• Инструментальные погрешности.
• Отклонения, возникающие вследствие неправильного расположения измерительного прибора.
• Личные погрешности.
• Отклонения, обусловленные влиянием внешних факторов.

Инструментальные погрешности

К ним относят отклонения, обусловленные свойствами используемых измерительных средств. К примеру, равноплечие весы идеально равноплечими быть не могут.

Отклонения возникают также вследствие трения сочленений подвижных элементов измерительных устройств. Они могут возникать из-за износа оборудования. Показатель износа, соответственно, будет зависеть от интенсивности эксплуатации прибора.

Погрешность результата

Правильность показаний некоторых измерительных средств зависит от положения их подвижных элементов относительно неподвижных. Речь, в частности, о таких приборах, как равноплечие весы, средства, частью конструкции которых является маятник или иные подвижные подвешенные детали. При отклонении прибора от правильного положения смещается точка отсчета и возникает погрешность результата. Для предупреждения ее появления при установке приборов используются специальные устройства: уровни, отвесы и пр.

Влияние внешних факторов

Температура, влажность, давление воздуха являются внешними условиями, влекущими появление погрешностей при изменении их величин. Если показатели тех или иных факторов выходят за рамки заданных границ, то могут возникнуть и дополнительные отклонения.

Погрешности измерительного метода

Они могут возникать в случае, когда между измеряемым свойством или явлением и принципом работы измерительного прибора отсутствует теоретически доказанная зависимость.

Погрешность метода обуславливается допущениями или упрощениями при применении эмпирических зависимостей и формул. Такая ситуация возникает, к примеру, при измерении твердости металлов разными способами: методами Бринелля, Роквелла, Виккерса и т. д. В каждом из них заданы свои условные единицы. Перевод результатов осуществляется приближенно.

Субъективные отклонения

Личные погрешности обусловливаются индивидуальными свойствами человека. Они, в свою очередь, связаны с особенностями организма, укоренившимися навыками (зачастую неправильными). К примеру, у всех людей разная скорость реакции на сигнал: на звук она варьируется в пределах 0,082-0,195 с., а на свет – 0,15-0,225 с.

Исключение погрешностей

Систематические отклонения влекут смещение результатов измерений. Наибольшую опасность в этих ситуациях представляют отклонения, которые остаются невыявленными и о наличии которых специалисты даже не подозревают. Такие погрешности становились причиной неверных научных выводов, установления ложных законов физики, несовершенных конструкций измерительных средств, брака в производстве.

Систематические погрешности необходимо выявить и исключить либо учесть при измерении. Способы исключения и учета отклонения разделяют на несколько групп:

• Устранение источников отклонений до начала процедуры измерения (профилактика).
• Исключение погрешностей в ходе процесса (экспериментальные методы).
• Внесение поправок в результаты измерения. В этом случае погрешности исключаются методом вычисления.
• Оценка пределов систематических погрешностей, если их исключение невозможно.

Устранение источников

Профилактические мероприятия перед началом измерения считаются наиболее рациональным способом исключения погрешностей. В этом случае специалист частично или полностью освобождается от необходимости выявлять и устранять отклонения в ходе измерения.

К наиболее эффективным профилактическим мероприятиям относятся:

• Регулирование или ремонт измерительных средств. Необходимость в проведении этих мероприятий определяется при поверке.
• Корректировка установки прибора. Для предотвращения смещения точки отсчета, перекосов и прочих негативных явлений используются отвесы и прочие приспособления.

Для устранения погрешностей, возникающих вследствие влияния внешних факторов, можно удалить непосредственный их источник или обеспечить защиту измерительного прибора от воздействия.

Исключение погрешностей в ходе экспериментов предполагает обычно проведение повторного измерения. В этой связи, описанные выше способы целесообразнее применять при работе со стабильными явлениями, показателями и пр.

Внесение поправок в результаты

Этот способ исключения систематических погрешностей предполагает исправление результата измерения путем вычисления.

Самым распространенным вариантом внесения поправок считается алгебраическое суммирование результата и самой поправки (с учетом знака). Ее числовое значение равно систематическому отклонению, а знак – противоположен. Таким способом исключается аддитивное отклонение.

В отдельных случаях систематическую погрешность можно исключить посредством умножения показателя, полученного в результате измерения, на поправочный коэффициент. Его значение приближается к единице (больше или меньше ее). Поправочным коэффициентом целесообразно пользоваться при необходимости исключить мультипликативную погрешность.

Оценка пределов отклонения

Она производится, когда исключить систематические погрешности на практике невозможно. Такое явление имеет место, если отклонения изучены недостаточно или изучены, но не могут использоваться для корректировки результата. Последнее характерно для интегрирующих измерительных средств (счетчиков).

Случайные погрешности

При повторном измерении постоянного физического показателя в одних и тех же условиях зачастую результаты незначительно отличаются. При этом отклонения между величинами не являются систематическими, не подчиняются каким-либо закономерностям. Такие погрешности принято именовать случайными.

Отклонения возникают при одновременном воздействии на процесс (объект, измерительное средство, специалиста и пр.) ряда факторов. Каждый источник может незначительно влиять на результат, но их совокупное воздействие приведет к значительному отклонению от действительного показателя измеряемого объекта.

Источники воздействия по-разному проявляют себя в тот или иной временной промежуток. При этом они действуют обособленно друг от друга, не имея какой-либо закономерной связи. Это приводит к различиям по знаку и размеру расхождений в результатах измерений. Они изменяются без какой-либо связи как с прежними, так и с последующими величинами. Соответственно, каким-либо образом их учесть невозможно.

В рамках теории вероятности используются математические методы, позволяющие изучать свойства случайных явлений в их больших совокупностях. В ходе развития измерительной техники и метрологии было установлено, что они полностью соответствуют задаче исследования случайных отклонений. Во многих случаях результаты, получаемые с их помощью, согласуются с данными, полученными опытным путем.

В теории вероятности случайным считается такое событие, наступление которого однозначно предугадать невозможно. Другими словами, в определенной совокупности условий это событие может наступить, а может и не наступить. При применении этого определения к сфере измерений можно говорить о том, что при выполнении повторных экспериментов с некоторым физическим показателем в одних и тех же условиях каждый из вероятных незначительных источников случайного изменения результатов может либо появиться, либо не появиться. Следовательно, отклонения становятся непредсказуемыми и по своей величине, и по знаку.

Учитывая вышесказанное, можно дать следующее определение случайным погрешностям: это такие отклонения, которые изменяются от одного измерения к другому, не поддаются непосредственному учету в связи с хаотическим изменением, обусловлены одновременным влиянием на результат нескольких факторов, обособленных друг от друга.

Наличие случайных погрешностей, в отличие от систематических, достаточно легко обнаруживается при повторном измерении.

fb.ru

Погрешность измерений | КИПиА Портал

Неотъемлемой частью любого измерения является погрешность измерений. С развитием приборостроения и методик измерений человечество стремиться снизить влияние данного явления на конечный результат измерений. Предлагаю более детально разобраться в вопросе, что же это такое погрешность измерений.

Погрешность измерения – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Погрешность измерений представляет собой сумму погрешностей, каждая из которых имеет свою причину.

По форме числового выражения погрешности измерений подразделяются на абсолютные и относительные

Абсолютная погрешность – это погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины. Она определяется выражением.

 (1.2), где X — результат измерения; Х₀ — истинное значение этой величины.

Поскольку истинное значение измеряемой величины остается неизвестным, на практике пользуются лишь приближенной оценкой абсолютной погрешности измерения, определяемой выражением

(1.3), где Х_д — действительное значение этой измеряемой величины, которое с погрешностью ее определения принимают за истинное значение.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины:

(1.4)

По закономерности появления погрешности измерения подразделяются на систематические, прогрессирующие, и случайные.

Систематическая погрешность – это погрешность измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющейся при повторных измерениях одной и той же величины.

Прогрессирующая погрешность – это непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени.

Систематические и прогрессирующие погрешности средств измерений вызываются:

• первые — погрешностью градуировки шкалы или ее небольшим сдвигом;
• вторые — старением элементов средства измерения.

Систематическая погрешность остается постоянной или закономерно изменяющейся при многократных измерениях одной и той же величины. Особенность систематической погрешности состоит в том, что она может быть полностью устранена введением поправок. Особенностью прогрессирующих погрешностей является то, что они могут быть скорректированы только в данный момент времени. Они требуют непрерывной коррекции.

Случайная погрешность – это погрешность измерения изменяется случайным образом. При повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности можно обнаружить только при многократных измерениях. В отличии от систематических погрешностей случайные нельзя устранить из результатов измерений.

По происхождению различают инструментальные и методические погрешности средств измерений.

Инструментальные погрешности — это погрешности, вызываемые особенностями свойств средств измерений. Они возникают вследствие недостаточно высокого качества элементов средств измерений. К данным погрешностям можно отнести изготовление и сборку элементов средств измерений; погрешности из-за трения в механизме прибора, недостаточной жесткости его элементов и деталей и др. Подчеркнем, что инструментальная погрешность индивидуальна для каждого средства измерений.

Методическая погрешность — это погрешность средства измерения, возникающая из-за несовершенства метода измерения, неточности соотношения, используемого для оценки измеряемой величины.

Погрешности средств измерений.

Абсолютная погрешность меры – это разность между номинальным ее значением и истинным (действительным) значением воспроизводимой ею величины:

(1.5), где X_н – номинальное значение меры; Х_д – действительное значение меры

Абсолютная погрешность измерительного прибора – это разность между показанием прибора и истинным (действительным) значением измеряемой величины:

(1.6), где X_п – показания прибора; Х_д – действительное значение измеряемой величины.

Относительная погрешность меры или измерительного прибора – это отношение абсолютной погрешности меры или измерительного прибора к истинному

(действительному) значению воспроизводимой или измеряемой величины. Относительная погрешность меры или измерительного прибора может быть выражена в ( % ).

(1.7)

Приведенная погрешность измерительного прибора – отношение погрешности измерительного прибора к нормирующему значению. Нормирующие значение XN – это условно принятое значение, равное или верхнему пределу измерений, или диапазону измерений, или длине шкалы. Приведенная погрешность обычно выражается в ( % ).

(1.8)

Предел допускаемой погрешности средств измерений – наибольшая без учета знака погрешность средства измерений, при которой оно может быть признано и допущено к применению. Данное определение применяют к основной и дополнительной погрешности, а также к вариации показаний. Поскольку свойства средств измерений зависят от внешних условий, их погрешности также зависят от этих условий, поэтому погрешности средств измерений принято делить на основные и дополнительные.

Основная – это погрешность средства измерений, используемого в нормальных условиях, которые обычно определены в нормативно-технических документах на данное средство измерений.

Дополнительная – это изменение погрешности средства измерений вследствии отклонения влияющих величин от нормальных значений.

Погрешности средств измерений подразделяются также на статические и динамические.

Статическая – это погрешность средства измерений, используемого для измерения постоянной величины. Если измеряемая величина является функцией времени, то вследствие инерционности средств измерений возникает составляющая общей погрешности, называется динамической погрешностью средств измерений.

Также существуют систематические и случайные погрешности средств измерений они аналогичны с такими же погрешностями измерений.

Факторы влияющие на погрешность измерений.

Погрешности возникают по разным причинам: это могут быть ошибки экспериментатора или ошибки из-за применения прибора не по назначению и т.д. Существует ряд понятий которые определяют факторы влияющие на погрешность измерений

Вариация показаний прибора – это наибольшая разность показаний полученных при прямом и обратном ходе при одном и том же действительном значении измеряемой величины и неизменных внешних условиях.

Класс точности прибора – это обобщенная характеристика средств измерений (прибора), определяемая пределами допускаемых основной и дополнительных погрешностей, а также другими свойствами средств измерений, влияющих на точность, значение которой устанавливаются на отдельные виды средств измерений.

Классы точности прибора устанавливают при выпуске, градуируя его по образцовому прибору в нормальных условиях.

Прецизионность — показывает, как точно или отчетливо можно произвести отсчет. Она определяется, тем насколько близки друг к другу результаты двух идентичных измерений.

Разрешение прибора — это наименьшее изменение измеряемого значения, на которое прибор будет реагировать.

Диапазон прибора — определяется минимальным и максимальным значением входного сигнала, для которого он предназначен.

Полоса пропускания прибора — это разность между минимальной и максимальной частотой, для которых он предназначен.

Чувствительность прибора — определяется, как отношение выходного сигнала или показания прибора к входному сигналу или измеряемой величине.

Шумы — любой сигнал не несущий полезной информации.

kipia-portal.ru

5. Виды погрешностей измерений. Свойства случайных погрешностей

Погрешности бывают систематические, грубые, случайные.

Грубые -возникают в результате невнимательности (просчеты, неверные записи). Для их устранения измерения повторяют несколько раз.

Систематические – обусловлены неточностью измерительных приборов. Для уменьшения влияния вводят поправки.

Случайные погрешности обусловлены несовершенством приборов, изменением условий измерений, личными ошибками, неточным наведением и другими. Случайные погрешности определяются по формуле

Χi= li – Х,

где li – результат измерения

Х – истинное значение определяемой величины.

Статистические свойства случайных погрешностей:

1. Свойство ограниченности (при данных условиях измерений случайные погрешности не могут превышать предела |Δi | <Δпред. В качестве предельной погрешности с вероятностью р = 0.9973 принимают утроенное значение стандарта Δiпред.= 3m;

2. Свойство плотности – малые по абсолютной величине погрешности появляются чаще больших.

3. Свойство компенсации – среднее арифметическое из случайных погрешностей стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений limΣΔi= 0;

4. Свойство симметрии – одинаковые по абсолютной величине положительные и отрицательные погрешности равновозможны.

6. Критерии оценки точности.

Все измерения, как бы тщательно они не были выполнены, сопровождаются погрешностями. В этом легко убедиться, измерив одну и ту же величину несколько раз и сравнив полученные результаты. В общем случае они будут отличаться друг от друга.

Все погрешности измерений можно подразделить на три группы:

1. Грубые погрешности или промахи, резко отклоняют результаты измерений от истинного значения. Всегда они возникают только по вине исполнителя. Наиболее действенными методами обнаружения грубых погрешностей является производство избыточных измерений. Вот почему в геодезии каждую величину измеряют, как правило, не менее двух раз.

2. Систематические элементарные погрешностипорождаются существенными связями между факторами измерений и возникают всякий раз при одних и тех же условиях. Систематическиепогрешности подчинены какой-то в той или иной степени определенной закономерности.

Закономерности эти поддаются изучению. И при определенных условиях систематические погрешности могут быть исключены из отдельного результата измерений.

3. Случайные элементарные погрешностипорождаются не существенными, а второстепенными случайными связями между факторами измерений, при данных условиях измерений они могут быть, а могут и не появиться, могут быть большими или меньшими, положительными или отрицательными.Величина и знак этих погрешностей носит случайный характер.

Суммарное влияние элементарных систематических погрешностей образует систематическую погрешностьθ результата измерения, а суммарное влияние элементарных случайных погрешностей— случайную погрешностьΔ результата измерений.

Таким образом, погрешность измерения ε можно представить как сумму двух составляющих: ε= θ +Δ.

7. Методы построения геодезических сетей.

Конечной целью построения ГС является определение координат геодезических пунктов. Существуют следующие методы построения ГС:

1) Триангуляция – метод построения на местности ГС в виде треугольников, у которых измерены все углы и базисные выходные стороны (рис.14.1). Длины остальных сторон вычисляют по тригонометрическим формулам, затем находят дирекционные углы сторон и определяют координаты.

2) Трилатерация – метод построения ГС в виде треугольников, у которых измерены длины сторон (расстояния между геодезическими пунктами), а углы между сторонами вычисляют. Например, на рис.14 имеем cosA=(b2+c2-a2) / 2bc.

Рис.14.1. Схема геодезической сети в виде триангуляции 3) Полигонометрия – метод построения ГС на местности в виде ломаных линий, называемых ходами (рис.14.2), вершины которых закреплены геодезическими пунктами. Измеряются длины сторон хода и горизонтальные углы между ними.

Рис.14.2.Схема полигонометрического хода Полигонометрические ходы опираются на пункты триагуляции, относительно которых вычисляются плановые координаты пунктов хода, а их высотные координаты определяются нивелированием.

4) Линейно-угловые построения, в которых сочетаются линейные и угловые измерения. Форма сети может быть различная, например четырехугольник, у которого измеряют все горизонтальные углы и две смежные стороны, а две другие стороны вычисляют.

5) Методы с использованием спутниковых технологий, в которых координаты пунктов определяются с помощью спутниковых систем – российской Глонасс и американской GPS.

studfile.net

56. Систематическая погрешность и ее виды

Систематической погрешностью называется составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Совершенствование методов измерения, использование высококачественных материалов, прогрессивная технология – все это позволяет на практике устранить систематические погрешности настолько, что при обработке результатов наблюдений с их наличием зачастую не приходится считаться.

Систематические погрешности принято классифицировать в зависимости от причин их возникновения и по характеру их проявления при измерениях. В зависимости от причин возникновения рассматриваются четыре вида систематических погрешностей.

Погрешности метода – теоретические погрешности, проистекающие от ошибочности или недостаточной разработки принятой теории метода измерений в целом или от допущенных упрощений при проведении измерений.

Погрешности метода возникают также при экстраполяции свойства, измеренного на ограниченной части некоторого объекта, на весь объект, если последний не обладает однородностью измеряемого свойства. При определении плотности вещества по измерениям массы и объема некоторой пробы возникает систематическая погрешность, если проба содержала некоторое количество примесей, а результат измерения принимается за характеристику данного вещества вообще.

К погрешностям метода следует отнести также те погрешности, которые возникают вследствие влияния измерительной аппаратуры на измеряемые свойства объекта. Подобные явления возникают, например, при измерении длин, когда измерительное усилие используемых приборов достаточно велико, при регистрации быстропротекающих процессов недостаточно быстро действующей аппаратуры, при измерениях температур жидкостными или газовыми термометрами и т. д.

Инструментальные погрешности, зависящие от погрешностей применяемых средств измерений. Среди инструментальных погрешностей в отдельную группу выделяются погрешности схемы, не связанные с неточностью изготовления средств измерения и обязанные своим происхождением самой структурной схеме средств измерений. Исследование инструментальных погрешностей является предметом специальной дисциплины – теории точности измерительныхустройств.

Погрешности, обусловленные неправильной установкой и взаимным расположением средств измерения, являющихся частью единого комплекса, несогласованностью их характеристик, влиянием внешних температурных, гравитационных, радиационных и других полей, нестабильностью источников питания, несогласованностью входных и выходных параметров электрических цепей приборов и т. д.

Личные погрешности, обусловленные индивидуальными особенностями наблюдателя. Такого рода погрешности вызываются, например, запаздыванием или опережением при регистрации сигнала, неправильным отсчетом десятых долей деления шкалы, асимметрией, возникающей при установке штриха посередине между двумя рисками.

По характеру своего поведения в процессе измерения систематические погрешности подразделяются на постоянные и переменные.

studfile.net