Расчет погрешностей измерений: Страница не найдена – Бесплатная электронная библиотека онлайн “Единое окно к образовательным ресурсам”

Но … при измерении мы не знаем действительного значения! Итак, мы используем максимально возможную ошибку.

В приведенном выше примере абсолютная погрешность составляет 0,05 м.

Что случилось с ±…? Ну, нам просто нужен размер (абсолютное значение) разницы.

Мы не знаем фактического измерения, поэтому лучшее, что мы можем сделать, это использовать измеренное значение :

Относительная ошибка = Абсолютная ошибка Измеренное значение

Рассмотрим их на примере:

Пример: забор (продолжение)

Длина = 12.5 ± 0,05 м

Итак:

Абсолютная погрешность = 0,05 м

А:

Относительная погрешность = 0,05 м 12,5 м = 0,004

А:

Ошибка в процентах = 0,4%

Другие примеры:

Пример: термометр измеряет с точностью до 2 градусов. Температура составила 38 ° C

Температура может составлять до 1 ° в любую сторону от 38 ° (т.е. между 37 ° и 39 °)

Температура = 38 ± 1 °

Итак:

Абсолютная ошибка = 1 °

А:

Относительная погрешность = 1 ° 38 ° = 0.0263 …

А:

Ошибка в процентах = 2,63 …%

Пример: вы измеряете высоту растения 80 см (с точностью до сантиметра)

Это означает, что вы можете ошибиться на 0,5 см (высота растения может быть от 79,5 до 80,5 см)

Высота = 80 ± 0,5 см

Итак:

Абсолютная ошибка = 0,5 см

А:

Относительная погрешность = 0,5 см 80 см = 0.00625

А:

Ошибка в процентах = 0,625%

Площадь

При проработке площадей вы должны думать как о ширине , так и о длине … они могут быть как наименьшей мерой, так и обеими наибольшими.

Пример: Алекс измерил поле с точностью до метра и получил ширину 6 м и длину 8 м.

Измерение с точностью до метра означает, что истинное значение может быть на полметра меньше или больше.

Ширина (w) может составлять от 5,5 м до 6,5 м:

5,5 ≤ w <6,5

Длина (l) может составлять от 7,5 м до 8,5 м:

7,5 ≤ л <8,5

Площадка ширина × длина:

A = ш × д

Наименьшая возможная площадь: 5,5 м × 7,5 м = 41,25 м ²
Измеренная площадь: 6 м × 8 м = 48 м ²
И максимально возможная площадь: 6,5 м × 8.5 м = 55,25 м ²

41,25 ≤ A <55,25

Абсолютная, относительная и процентная ошибка

Единственная хитрость здесь … какой является абсолютной ошибкой?

• От 41,25 до 48 = 6,75
• От 48 до 55,25 = 7,25

Ответ: выбирайте самый большой! Итак:

Абсолютная ошибка = 7,25 м ²

Относительная ошибка = 7.25 м ² 48 м ² = 0,151 …

Ошибка в процентах = 15,1%

(что не очень точно, правда?)

Том

А объем имеет три измерения: ширины, длины и высоты!

Каждое измерение может быть наименьшим из возможных или наибольшим.

Пример: Сэм измерил коробку с точностью до 2 см и получил 24 см × 24 см × 20 см

Измерение с точностью до 2 см означает, что истинное значение может быть до на 1 см меньше или больше.

Три размера:

• 24 ± 1 см
• 24 ± 1 см
• 20 ± 1 см

Объем ширина × длина × высота:

V = ш × д × в

Наименьший возможный объем: 23 см × 23 см × 19 см = 10051 см ³
Измеренный объем: 24 см × 24 см × 20 см = 11520 см ³
Максимально возможный объем: 25 см × 25 см × 21 см = 13125 см ³

И так получаем:

10051 ≤ В <13125

Абсолютная, относительная и процентная ошибка

Абсолютная ошибка:

• От 10051 до 11520 = 1469
• от 11520 до 13125 = 1605

Выберите самый большой:

Абсолютная погрешность = 1605 см ³

Относительная погрешность = 1605 см ³ 11520 см ³ = 0.139 …

Ошибка в процентах = 13,9%

Анализ ошибок (без исчисления)

Выбор выражения относительного ошибки “как есть” (в виде дробей) или в процентах.Я предпочитаю работать используя их как дроби в вычислениях, избегая необходимости постоянно умножаем на 100. Зачем делать лишнюю работу?

Но при выражении окончательных результатов часто имеет смысл выразите относительную неопределенность в процентах. Это легко сделать, просто умножьте относительную погрешность на 100. Это 0,2%.

3. Абсолютная или относительная форма; который использовать.

При выборе формы необходимо руководствоваться здравым смыслом и здравым смыслом. использовать для представления ошибки при заявлении результата .Рассмотрим измерение температуры с помощью термометра, который, как известно, надежен для ± 0,5 градуса Цельсия. Имеет ли смысл сказать, что это причины погрешность 0,5% при измерении точки кипения воды (100 градусов) но колоссальная погрешность в 10% при измерении холодной воды при температура 5 градусов? Конечно, нет! [А что, если температуры были выражены в градусах Кельвина? Казалось бы снизить процент ошибок до незначительности!] Ошибки и расхождения, выраженные в процентах, не имеют смысла для некоторых типов измерений.Иногда это связано с характером измерительный прибор, иногда характер измеряемого само количество или способ его определения.

Бывают также случаи, когда абсолютные ошибки неуместны и поэтому ошибки должны быть выражены в относительной форме.

Иногда как абсолютная, так и относительная погрешность необходимо для полной характеристики погрешности измерителя. Для Например, если пластмассовая измерительная линейка с возрастом равномерно сжимается, эффект может быть выражена в виде определяемой ошибки в процентах.Если половина миллиметра были стерты с нулевого конца палки, и это не было замечено или компенсировано, это лучше всего было бы выразить как абсолютная определенная ошибка. Очевидно, обе ошибки могут присутствовать в конкретной метрической палке. Производитель вольтметра (или другой электросчетчик) обычно дает свои гарантированные пределы ошибка как постоянная определенная ошибка плюс `процент ‘ ошибка.

Как относительная, так и дробная формы ошибки могут появляться в промежуточные алгебраические шаги при выводе уравнений ошибок.[Этот обсуждается в разделе H ниже.] Это просто вычислительный артефакта, и не имеет никакого отношения к вопросу о том, какая форма имеет смысл для сообщения о размере и характере ошибки в данные и результаты.

G. ВАЖНОСТЬ ПОВТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Если вы ранее выполняли этот тип измерения, с тем же инструмента, и определили неопределенность этого конкретного измерительный инструмент и процесс, вы можете обратиться к своему опыту оценить неопределенность. В некоторых случаях вы можете знать из прошлого опыт, что измерение – шкала ограничена , что в том, что его неопределенность меньше, чем наименьшее приращение, которое вы можете прочитать на шкале прибора. Такое измерение даст то же значение точно для повторных измерений одной и той же величины.Если вы знаете (из непосредственного опыта), что это масштаб ограничено, затем укажите его неопределенность как наименьшее приращение, которое вы можно читать по шкале.

Студентам этого курса не нужно становиться экспертами в области штрафов. детали статистической теории. Но они должны быть постоянно в курсе экспериментальных ошибок и сделайте все необходимое, чтобы выяснить насколько они влияют на результаты. Следует соблюдать осторожность, чтобы свести к минимуму ошибки. Размеры экспериментальных ошибок как в данных, так и в результатах должны определяться, когда это возможно, и количественно оцениваться выражая их как средние отклонения.[В некоторых случаях здравый смысл экспериментальное исследование может предоставить информацию об ошибках без использования сложной математики.]

Студент должен понимать, что полный рассказ об экспериментальном ошибки здесь не приводились, но будут выявлены позже. курсы и более продвинутые лабораторные работы.

H. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ОШИБОК

Мы проиллюстрируем, как распространяются ошибки, сначала обсудив, как найти количество ошибок в результатах по учитывая, как ошибки данных распространяются через простые математические операции. Сначала рассмотрим случай детерминированных ошибок : те которые знали знак.Таким образом мы обнаружим определенные полезные правила для распространения ошибок, тогда мы сможем изменить правила, применяемые к другим мерам погрешности, а также к неопределенным ошибки.

Здесь мы разрабатываем математические правила для “конечные разности”, алгебра чисел, имеют относительно небольшие вариации. Конечная различия – это отклонения от “истинных значений”, вызванные экспериментальные ошибки.

Этот метод основан на фундаментальном принципе.В любом расчете мы хотим знать, сколько ошибка в одной входной переменной повлияет на результат вывода. В сложных расчетах, таких как в метеорологическом прогнозировании погоды компьютеры позволяют нам делать это непосредственно с каждой из многих входных переменных, что-то никто бы никогда не попытался сделать это «вручную». Это метод «грубой силы», но он необходим. В этой лаборатории уравнения будут намного проще и обычно уступают место алгебре и нескольким простым правилам.

(A + a) и (B + b)

Результат сложения A и B для получения R выражается как уравнение: R = A + B. С явно включенными ошибками, это написано:

(А + а) + (В + б) = (А + В) + (а + б)

(R + r) = (A + B) + (a + b)

Мы заключаем, что определенная ошибка в сумме двух величин – это всего лишь сумма ошибок в этих количествах.Вы можете легко потренироваться себе случай, когда результат рассчитывается из разница двух величин. В этом случае определенная ошибка в результатом будет разница в ошибках. Обобщение:

• Правило суммы для детерминированных ошибок. Когда добавляются два количества, их детерминированные ошибки добавляют.
• Правило разницы для определенных ошибок. Когда вычитаются две величины, их определенные ошибки вычитаются.

(R + r) = (A + a) (B + b) = AB + aB + Ab + ab или: r = aB + Ab + ab

r		aB + bA		a		b
	=		=		+
R		AB		A		B

• Правило произведения для определенных ошибок.Когда две величины перемножаются, их относительных детерминированных ошибок доп.

		А + а		A		(А + а) В		А (В + б)
			–				–
r		B + B		B		(B + b) B		Б (В + б)
	=				=
R		A / B				A / B

	(A + a) B – A (B + b)		(а) Б – А (б)		а		б
=		≈		≈		–
	А (В + В)		AB		A		B

Приближение, сделанное на предпоследнем шаге, заключалось в пренебрежении b в знаменателе, который действителен, если относительные ошибки небольшой.Итак, результат:

Правило частного для определенных ошибок. Когда две величины разделены, относительная определенная ошибка частного – это относительная определенная ошибка числителя минус относительная определенная ошибка знаменателя.

Правило мощности для определенных ошибок. Когда количество Q возводится в степень, P, относительная определенная ошибка в результате P умноженная на относительная определенная ошибка в Q.Это также верно для отрицательных степени, то есть относительная определенная ошибка в квадратном корне из Q составляет половину относительной детерминированной ошибки в Q.

I. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ОШИБОК

Когда нас интересуют только пределы ошибки (или максимальная погрешность) мы должны предположить “наихудшую” комбинацию знаков. На случай, если вычитание, A – B, происходит наихудшее отклонение ответа когда ошибки либо + a и -b, либо -a и + b. В любом случае, максимальная ошибка будет (a + b).

В случае отношения A / B наихудшее отклонение ответ происходит, когда ошибки имеют противоположный знак, либо + a, и -b или -a и + b. В любом случае максимальный размер родственника ошибка будет (a / A + b / B).

Результаты операций сложения и умножения таковы: так же, как прежде. Таким образом, максимально неопределенных ошибки распространяются по следующим правилам:

Правило сложения и вычитания для неопределенных ошибок.Абсолютно неопределенный ошибки доп.

Произведение и правило частного для неопределенных ошибок. Относительные неопределенные ошибки Добавить.

Правило мощности для неопределенных ошибок. Когда количество Q возводится в степень, P, относительная ошибка в результате P умноженная на относительную ошибку в Q. Это также верно для отрицательных степеней, то есть относительной ошибки в квадратный корень из Q составляет половину относительной ошибки в Q.

Можно показать (но не здесь), что эти правила также применяются достаточно хорошо для ошибок, выраженных в виде средних отклонений. В одним из недостатков этого является то, что оценки ошибок, сделанные таким образом, все еще чрезмерно консервативны в том, что они не полностью учитывают склонность терминов ошибок, связанных с независимыми ошибками, к компенсировать друг друга.Однако это будет незначительное исправление небольшое значение в нашей работе в этом курсе.

Правила распространения ошибок могут быть получены для других математических операции по мере необходимости. Например, правила для ошибок в триггере функции могут быть получены с использованием триггерных идентификаторов, используя приближения: sin ß = ß и cos ß = 1, действительно, когда ß мало. Правила для экспонент могут быть выведены также.

Когда математические операции комбинируются, правила могут быть последовательно применяется к каждой операции, и уравнение может быть алгебраически выведенный [12], который выражает ошибку в результате с точки зрения ошибок в данных.Такое уравнение всегда можно составить в стандартную форму , в которой каждый источник ошибок появляется в только один срок. Пусть x представляет ошибку в x, y ошибку в y и т. Д. Тогда ошибка r в любом результате R, вычисленная любой комбинацией даны математические операции над значениями данных X, Y, Z и т. д. по:

r = (c _x ) x + (c _y ) y + (c _z ) z … и т. д.

r / R = {C _x } (x / X + {C _y } (y / Y) + {C _z } (z / Z)… так далее.

Если это уравнение ошибки было получено из определенная ошибка правила, относительные ошибки в приведенных выше могут иметь + или – знаки. Коэффициенты также могут иметь знаки + или -, поэтому члены сами могут иметь знаки + или -. Следовательно, возможно условия, чтобы компенсировать друг друга.

Если это уравнение ошибки было получено из неопределенного значения ошибка правила, содержащиеся в нем меры погрешности по своей сути положительны.Коэффициенты также окажутся положительными, поэтому члены не могут компенсировать друг друга.

Удобно знать, что уравнение неопределенной ошибки может можно получить непосредственно из уравнения детерминированной ошибки, просто выбирая наихудший случай, т. е. принимая абсолютное значение каждый семестр. Это заставляет все термины быть положительными. Этот шаг выполнено только после , уравнение с определяемой ошибкой было выполнено полностью выведен в стандартном виде.

Уравнение ошибок в стандартной форме – один из самых полезных инструментов. для экспериментального дизайна и анализа. Он должен быть выведен (в алгебраическая форма) еще до начала эксперимента, как руководство к экспериментальная стратегия. Он может показать, какие источники ошибок преобладают, и которые незначительны, тем самым экономя время, которое можно потратить возня с неважными соображениями. Это может подсказать, как влияние источников ошибок может быть минимизировано соответствующим выбором размеров переменных.Он может сказать вам, насколько хорошо инструмент, необходимый для достижения желаемой точности в полученные результаты.

Учащийся, который пренебрегает выводом и использованием этого уравнения, может потратить весь лабораторный период с использованием инструментов, стратегии или ценностей недостаточно для требований эксперимента. И он может закончить вверх без малейшего представления почему результаты не такие хороши, какими должны были быть.

Заключительный комментарий для тех, кто хочет использовать стандартные отклонения в качестве неопределенные меры погрешности: поскольку стандартное отклонение получено из среднего значения квадратов отклонений , уравнение (7) необходимо изменить – каждый член уравнения (обе стороны) должен в квадрате:

(r / R) = (C _x ) ² (x / X) + (C _y ) ² (y / Y) + (C _z ) ² (z / Z)

J. ПРИМЕРЫ

s = 2 ± 0,005 метра. Это 0,25%.
t = 4,2 ± 0,2 секунды. Это 4,8%.

 

Мы будем использовать заглавные буквы для измеряемых величин, строчные буквы для их ошибок.Решите уравнение для получения результата: a. А = 2С / Т ² . Его уравнение неопределенной ошибки:

 

а т с
- = 2 - + -
А Т С
 
 

Пример 2: Результат рассчитывается по формуле R = (G + H) / Z, значения данных:

G = 20 ± 0,5
В = 16 ± 0,5
Z = 106 ± 1,0

Символ ± указывает на неопределенность этих ошибок. Расчет R требует как сложения, так и деления, и дает значение R = 3.40. Для расчета погрешности требуется как правило сложения и умножения, применяемые последовательно, в том же порядке, что и операции, выполняемые при вычислении самого R.

Правило сложения гласит, что абсолютные ошибки в G и H складываются, поэтому погрешность в числителе 1,0 / 36 = 0,28.

Правило деления требует, чтобы мы использовали относительно (дробные ошибки). Относительная погрешность числителя равна 1,0 / 36 = 0,028.Относительная ошибка знаменателя равна 1,0 / 106 = 0,0094. Относительная погрешность в знаменателе добавляется к числителю, чтобы получить 0,0374, что является относительной погрешностью в р.

Если требуется абсолютная ошибка в R, это (0,0374) R = 0,0136. Результат с ошибкой может быть выражен как:

Пример 3: Напишите уравнение с определенным значением ошибки например 1.

Мы выполняем те же действия, но символически представляем ошибки.Пусть N представляет числитель, N = G + H. Определенная ошибка в N тогда g + h. Относительная погрешность числителя (g + h) / N. Относительная ошибка знаменателя равна z / Z. Относительная ошибка в R тогда:

 


р г + ч з г з
- = ————— - - = ——— + ——— - -
R G + H Z G + H G + H Z


r G g H h z
- = ——— - + ——— - - -
R G + H G G + H H Z

 
 

Пример 4: Выведите уравнение неопределенной ошибки для этого та же формула, R = (G + H) / Z.

Вот где окупается наша предыдущая работа. Посмотрите на уравнение детерминированной ошибки из примера 3 и перепишите его. для наихудшего случая знаков сроков. Это эквивалентно превращению всех терминов в стандарта формируют уравнение положительное:

 


r G g H h z
- = ——— - + ——— - + -
R G + H G G + H H Z

 
 

Ввод значений:

 


г 20 0,5 16 0,5 1
- = ————— ——— + ———————— + ———
Р 20 + 16 20 20 + 16 16 106


г 20 0,5 16 0,5 1
- = —— ——— + —— ——— + ———
36 20 36 16 106 рэнд


р
- = 0,555 (0,025) + 0,5 (0,031) + 0,0094
р


р
- = 0,014 + 0,014 + 0,0094 = 0,0374
р

 
 

Пример 6: Результат R вычисляется по формуле R = (G + H) / Z, с теми же значениями данных, что и в предыдущем примере.После завершения эксперимента обнаруживается, что значение Z был на 0,05 меньше из-за систематической ошибки измерительный инструмент. Результат был получен при усреднении больших объемов данных, и задача пересчета поправки к каждому значению устрашающе. Но это не обязательно Используйте эту информацию, чтобы исправить результат.

Посмотрите на определенное уравнение ошибки :

 


r G g H h z
- = ——— - + ——— - - -
R G + H G G + H H Z

 
 

r / R = – (z / Z) = – (- 0,05 / 106)

Итак: r = (0,05 / 106) (0,338) = 0,0001594

Пример 7: Необходимо получить плотность длинного медного стержня. Его длина измеряется метровой палкой, диаметр – микрометром. штангенциркуль и его масса с электронными весами.

L = 60,0 ± 0.1 см (0,17%)
D = 0,632 ± 0,002 см (0,32%) [Таким образом, ошибка в D  2  составляет 0,64%]
m = 16,2 ± 0,1 г (0,006%)

 

плотность = 8,606 ± 0,07 г / см ³

Справочник дает 8.87 г / см ³ как плотность меди. Экспериментальное расхождение составляет 0,26, что указывает на то, что что-то не так. Студент, взявший эти данные, возможно, ошибся при измерении. Может быть, это была не чистая медь, а медный сплав. Если это ошибка при измерении, измерение диаметра является наиболее правильным. скорее всего подозреваю.

К. ЦЕЛИ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Эксперименты в лаборатории первокурсников делятся на несколько категорий. В каждом случай ниже, мы указываем, за что должен отвечать студент быть.

1. Для измерения фундаментальной физической величины.

Студент разрабатывает экспериментальную стратегию для получения максимальной точный результат на имеющемся оборудовании.Студент должен понимать работу оборудования и исследовать присущих эксперименту неопределенностей достаточно полно, чтобы утверждать пределы погрешности данных и результата (ов) с уверенностью, что «истинные» ценности (если бы они были известны) не лежали бы за пределами заявленные пределы погрешности.

2. Подтвердить или проверить известный закон или принцип.

В этом случае недостаточно сказать «Закон был (или не был) проверено.”Экспериментатор должен указать, какой погрешностью ограничивает проверка выполняется, и для каких ограничений диапазона данных, экспериментальные условия и т. д. Слишком легко сделать чрезмерные обобщения. Студент в лаборатории для первокурсников не проверяет закон, скажем, F = ma, для – все возможных случаев, в которых может применяться этот закон. В ученик вероятно, исследовал закон в более ограниченном случае гравитационная сила у поверхности земли, действующая на небольшой масса падает с расстояния один-два метра.Студент следует указать эти ограничения. Не следует широко утверждать «проверили закон Ньютона». Еще хуже было бы заявить чтобы «доказал закон Ньютона».

3. Исследовать явление, чтобы сформулировать закон или отношение, которое лучше всего его описывает.

Здесь недостаточно найти закон, который “работает”, но показать, что найденный вами закон лучше отражает данные, чем другие законы, которые вы можете проверить.Например, у вас может быть график экспериментальные данные, которые “выглядят” как некоторая степень x. Вы найдете мощность, которая кажется подходящей. Другой студент говорит, что это “похоже” на экспоненциальная функция от x. Экспоненциальная кривая испытана и кажется подходить. Итак, какое соотношение «правильное» или «лучшее»? Вы можете быть в состоянии чтобы показать, что один из них лучше соответствует данным. Один может быть более физически значимым в контексте более крупного картина установленных законов и теории физики.Но может быть так ни один из них не является явно лучшим представлением данных. В в этом случае вам следует изменить эксперимент таким образом, чтобы он может окончательно решить между двумя конкурирующими гипотезами.

Читатель вашего отчета очень внимательно рассмотрит “результаты”. и выводы “, в котором представлены ваши претензии по результат эксперимента. Читатель также будет следить за тем, вы обосновали свои претензии конкретной ссылкой на данные вы взяли в эксперименте.Ваши претензии должны быть подтверждены данные и должны быть разумными (в пределах ограничений эксперимент). Это проверка вашего понимания эксперимента, вашего суждения при оценке результатов, и вашего умение общаться.

L. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ I. МЕРЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

1. Пределы погрешности.

Попытка указать весь диапазон, в котором все замеры будут врать.На практике один указывает диапазон в пределах в которых лежат измеренные значения.

2. Среднее отклонение.

Среднее отклонение набора измерений от , его среднее значение находится путем суммирования отклонений n измерений, затем разделив сумму на (n-1). Эта мера описывает «разброс» набора измерений.

Когда кто-то хочет сделать выводы о том, насколько далеко оценочное среднее может отклоняться от “истинного” среднего значения родительского распределения, используйте среднее отклонение от среднего значения .К вычислите его, сложите отклонения n измерений, затем разделите эту сумму на n (n-1) ^1/2 . Эта мера выражает качество вашей оценки среднего. Это мера, которую мы неопределенность назовите (или ошибкой) в среднем.

Это последнее определение автоматически включает два математических исправления, необходимые для того, чтобы сделать выводы о родителях распределение из конечной выборки данных, и одно для исправления Дело в том, что вы использовали только маленький образец .

3. Стандартное отклонение.

Стандартное отклонение стало «стандартным» методом для выражая неопределенность, потому что это подтверждается развитая математическая модель. К сожалению, это только подходит, когда экспериментатор (а) имеет большие выборки данных, и (б) знает, что распределение данных действительно гауссово, или почти гауссовский. Поэтому его редко используют в лаборатории для первокурсников. оправдано – что-то вроде того, как кувалдой раскололи грецкий орех.

ПРИЛОЖЕНИЕ II. РАСЧЕТЫ С ПОМОЩЬЮ СТАНДАРТНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ

 

          1 1 1
          - = - + -
          R X Y
 
 

 

                XY
          R = —————
              X + Y
 
 

 

          г х у х + у
          - = - + - - —————
          R X Y X + Y
 
 

 

                                                   2 2
     r x y r R x R r R x R y
     —— = —— + ——, или - = - - + - -, или r = - - + - -
 
 

 

          г Y x X y
          - = ——— - + ——— -
 
 

 

          r c - b a
          - = ————— - -
          R C - B A
 
 

 

          r -B b
          - = ————— -,
          R C - B B
 
 

 

                                        2
                         - [(X - ) / 2 с]