Прямолинейный разрез: Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах

Содержание

Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах

Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1986.

Рассмотрены общие вопросы нелинейной теории упругости, плоская и антиплоская деформации, деформация стержней с кинематическими ограничениями, новый вариант теории оболочек, мягкие, пневматические оболочки, проблемы упругой устойчивости. Описаны различного рода резиновые мембраны, конические и арочные (мостичные) амортизаторы, пневмоконструкции и др.

Кинга предназначена для научных работников, занимающихся прочностными расчетами, и инженеров, использующих гибкие элементы и резинотехнические изделия.

В. НОВОЖИЛОВА
Глава 1. О ТЕНЗОРАХ ВТОРОГО РАНГА
1.2. Тензор второго ранга
1.3. Каноническое представление тензора
1.4. Классические тензорные функции
1.5. Полярное разбиение тензора
Глава 2. ОСНОВНЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
2.2. Основные деформационные соотношения
2.3. Напряжения. Уравнения движения
2.4. Работа напряжений
2.5. Сопряженные пары тензоров
2.6. Вектор смещения
2.7. Малые смещения. Геометрически линейные зависимости
Глава 3. ЗАКОН УПРУГОСТИ
3.1. Град ментальные и квазиградиентальные функции симметричного тензора
3.2. Закон упругости для изотропного материала
3.3. Внутренние связи
3.4. Закон упругости для несжимаемого изотропного материала
3.5. Закон Гука и его обобщение на большие деформации
Глава 4. КОМПЛЕКСНЫЕ КООРДИНАТЫ И КОМПОНЕНТЫ
4.1. Приведение к комплексным координатам и компонентам
4.2. Кинематические соотношения

4.3. Динамические соотношения
4.4. Комплексная запись закона упругости
4.

5. Ортогональные криволинейные координаты
4.6. Использование конформного отображения
Глава 5. УПРУГИЕ СВОЙСТВА ЭЛАСТОМЕРОВ
5.1. Структура полимеров
5.2. Механические свойства полимеров. Эластомеры
5.3. Феноменологический подход
5.4. Однородные деформации несжимаемого материала
5.5. Простейшие законы упругости
5.6. Законы сжимаемости сплошных эластомеров
5.7. Учет малой сжимаемости сплошных эластомеров
5.8. Конкретизации закона упругости
Глава 6. ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
6.2. Деформационные соотношения. Двойные тензоры
6.3. Двойной тензор напряжений. Динамические соотношения
6.4. Закон упругости
6.5. Вариационное начало Лагранжа
6.6. Возмущение равновесной конфигурации
6.7. Консервативность внешних сил. Вариационное уравнение и принцип стационарности полной энергии для возмущений
6.8. Структура уравнений для возмущений
6.9. Цилиндрические координаты
Глава 7. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
7.1. Цилиндрический изгиб прямоугольной пластины
7.

2. Толстостенная труба
Глава 8. ОБОБЩЕННАЯ АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
8.2. Использование тензора деформации Коши-Лагранжа
8.3. Неогуковский материал
8.4. Бесконечная область с отверстием
8.5. Прямолинейный разрез
8.6. Резинометаллический шарнир
Глава 9. ОБОБЩЕННАЯ ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
9.2. Изотропный сжимаемый материал
9.3. Изотропный несжимаемый материал
9.4. Ортогональные криволинейные координаты. Конформное отображение
9.5. Малосжимаемый материал
9.6. Стандартный материал первого порядка
9.7. Осесимметричные задачи для несжимаемого материала
Глава 10. ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ

10.1. Геометрия кривой. Тонкий стержень
10.2. Геометрия поверхности
10.3. Линии на поверхности
10.4. Ортогональные координаты. Физические компоненты
Глава 11. ТОНКИЕ ОБОЛОЧКИ
11.2. Деформация нормального элемента
11.3. Усилия и моменты. Силовые граничные величины
11.4. Уравнения движения
11.5. Закон упругости
11.6. Изотропный материал
11.

7. Соотношения в главных осях
11.8. Вариационное уравнение Лагранжа
11.9. Несколько замечаний
Глава 12. АРКА-ПОЛОСКА
12.2. Безмоментное решение
12.3. Краевой эффект
12.4. Арочный (мостичный) амортизатор
Глава 13. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
13.2. Безмоментное решение
13.3. Перекатывающаяся мембрана
13.4. Сферический вытеснитель
13.5. Конический амортизатор сжатия
Глава 14. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ. МЯГКИЕ ОБОЛОЧКИ
14.2. Вариационное уравнение Лагранжа
14.3. Мягкие оболочки
14.4. Задача раскроя мягкой оболочки
14.5. Зоны сжатия
14.6. Осесимметрично деформируемая оболочка вращения (двуосная зона)
14.7. Осесимметрично деформируемая оболочка вращения (одноосная зона)
14.8. Двухпараметрическое семейство оболочек вращения
14.9. Раскройная форма двуосной эллиптической пневматической оболочки
14.10. Раскройная форма эллиптической пневматической оболочки с одноосной зоной
14.11. Раскрой двуосной эллиптической оболочки из плоской мембраны
14.

12. Прямоугольная мембрана
Глава 15. ТОНКИЕ СТЕРЖНИ
15.2. Закон упругости
15.3. Силы и моменты. Уравнения движения
15.4. Край оболочки, подкрепленный стержнем
15.5. Малое удлинение оси. Нерастяжимая ось
15.6. Определяющие углы
15.7. Комплексная форма записи
15.8. Энергия деформации. Вариационное уравнение Лагранжа

15.9. Плоский изгиб стержня
15.10. Деформация стержня кругового сечения в цилиндрической полости
Глава 16. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГОГО ТЕЛА
16.1. Понятие упругой устойчивости
16.2. Изгиб стержня в плоскости
16.3. Эластика Эйлера
16.4. Статический метод Эйлера
16.5. Энергетический подход
16.6. Метод несовершенств (деидеализации)
16.7. Динамический подход
16.8. Стержень, сжимаемый следящей силой
16.9. Условия применимости статического подхода
16.10. Закритическая деформация сжимаемого стержня
16.11. Потеря устойчивости при растяжении стержня
16.12. Влияние докритического сжатия стержня
16.13.

Растяжение стержня. Предельная точка
16.14. Энергетический критерий устойчивости
16.15. Единственность и бифуркация решения линеаризованной задачи
16.16. Малые колебания возле равновесной конфигурации тела

16.17. Условия консервативности при нормальном давлении
Глаза 17. АНИЗОТРОПИЯ УПРУГИХ СВОЙСТВ
17.2. Закон Гука для анизотропных материалов
17.3. Главные оси анизотропии
17.4. Пределы изменяемости компонент положительно-определенной симметричной матрицы
17.5. Пределы изменяемости упругих постоянных. Объемные и сдвиговые деформации
17.6. Несжимаемый материал
17.7. Плоское напряженное состояние (линейный случай)
17.8. Ортотропный материал (линейный случай)
17.9. Закон упругости для нелинейного анизотропного материала
17.10. Нелинейное плоское напряженное состояние
17.11. Нелинейно-упругий ортотропный материал
17.12. Пример конкретизации упругого потенциала
17.13. Закон упругости для ортотропных оболочек
17.14. Соотношения в главных осях
Глава 18.

АРМИРОВАНИЕ ВОЛОКНАМИ
18.1. Материал, армированный семействами нерастяжимых нитей

18.2. Армирование малорастяжимыми волокнами
18.3. Армирование срединной поверхности нерастяжимыми волокнами
18.4. Армирование срединной поверхности малорастяжимыми волокнами
18.5. Растяжение армированной цилиндрической пластины
18.6. Круговая цилиндрическая оболочка, армированная малорастяжимыми волокнами
18.7. Конический амортизатор, армированный нерастяжимыми волокнами

Исследовательская работа “Задачи на прямолинейные разрезы”

Муниципальное общеобразовательное учреждение
Белышевская школа
Ветлужского муниципального района Нижегородской области

Исследовательская работа

ЗАДАЧИ НА ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ РАЗРЕЗЫ

Направление: МАТЕМАТИКА

Автор работы:

Муравьева Наталья, ученица 5 класса

Руководитель:

Лебедева Татьяна Васильевна – учитель математики

Белышево 2016

СОДЕРЖАНИЕ
1.	ВВЕДЕНИЕ		3
	1	Обоснование возникшей проблемы	3
	2	Цель, задачи исследования	4
	3	Объект, предмет, методы исследования	5
	4	Формулировка гипотезы	5
2.	ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ		6
	5	Исторические сведения о задачах на разрезание	6
	6	Моделирование задач на разрезание и проведение исследования	6
	7	Анализ результатов исследования	8
	8	Формулировка выводов и их иллюстрирование	9
	9	Обобщение результатов исследования для других геометрических фигур	10
3.	ЗАКЛЮЧЕНИЕ		11
	10	Значимость проведенного исследования	11
	11	Выводы по результатам исследования	11
	12	Планирование продолжения исследования	12
4.	СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ		13

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать»

Галилео Галилей

Введение.

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. Богатым источником таких задач и служат различные олимпиады – школьные, районные, дистанционные, всероссийские. Готовясь к олимпиадам, мы рассмотрели множество разноплановых заданий и выделили группу задач, подход к решению которых мне показался интересным и оригинальным. Это задачи на разрезание, которых существует несколько видов. Но меня заинтересовали задачи на прямолинейные разрезы, которые достаточно часто встречаются в текстах олимпиад различного уровня, и я хочу научиться их решать и поделиться своими знаниями со сверстниками. Приведу два примера таких задач (http://pandia.ru/text/78/065/75200.php Разрезание и складывание фигур)

1. У хозяйки был круглый торт с розочками из крема. Она разрезала его на части так, чтобы в каждой части была одна розочка. Всего она сделала три разреза. Сколько розочек могло быть на торте?

2. На какое максимальное количество частей можно разрезать пиццу шестью прямолинейными разрезами?

Мне стало интересно, существует ли связь между числом разрезов и количеством получившихся частей? Я решила провести исследование, чтобы найти эту связь, или доказать, что ее нет. Я думаю, что результаты моего исследования будут интересны не только для меня лично, но и для учащихся 5 – 6 классов нашей школы, района, области.

При проведении исследования, я должна учесть следующее:

1) Рассматривать только прямолинейные разрезы, нанесенные сверху вниз, не учитывать боковые и другие виды разрезов.

2) Куски , полученные при предыдущем разрезании, нельзя накладывать друг на друга для последующего разрезания.

3) Использовать в качестве геометрической модели торта, пиццы – круг и провести исследование для этой фигуры, затем проанализировать соответствие вывода для других геометрических фигур.

Математики открывают новые связи между математическими объектами. И эти задачи получают стандартные методы решения, переходя из разряда творческих в разряд технических, то есть требующих для своего решения применения уже известных методов.

Задачи на разрезание помогают раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе. (http://zadacha.uanet.biz/uploads/1a/4f/1a4f54f102de8407782355e77cbb1abf/ZADACHI-NA-RAZREZANIE-1.pdf )

Цель исследования:

Исследовать взаимосвязь между числом прямолинейных разрезов и количеством частей, полученных в результате такого разрезания.

Достижение поставленной цели предусматривает решение следующих задач:

· выдвижение гипотезы исследования;

· подбор необходимой литературы;

· отбор материала для исследования, интересной, понятной информации;

· анализ и систематизация полученной информации;

· проведение геометрического исследования, моделирование решения задач подобного типа;

· проведение анализа результатов исследования и формулировка выводов;

· проверка выводов для других геометрических фигур – моделей тортов, пирогов и т. п.

· создание электронной презентации работы.

Объект исследования: плоские геометрические фигуры – многоугольники, круг, форму которых могут принимать реальные тела (пироги, торты и т.п.)

Предмет исследования: зависимость количества кусков (частей) от числа прямолинейных разрезов (проведенных прямых)

Методы исследования:

Ø Изучение литературных и Интернет-ресурсов, исторического материала по теме работы, анализ и отбор информации;

Ø Моделирование задач, используя в качестве геометрической модели торта, пиццы – круг и многоугольники.

Ø Сравнение, анализ, поиск аналогий и формулировка выводов по результатам анализа исследования для геометрической модели – круга.

Ø Обобщение выводов для всего материала, являющегося объектом исследования

Гипотеза: существует зависимость между числом прямолинейных разрезов и количеством частей, полученых при разрезании.

Основная часть.

Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками, китайцами, но первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абул-Вефа, знаменитого персидского астронома 10 века, жившего в Багдаде. Геометры всерьез занялись решением задач на разрезание фигур лишь в начале 20 века. Одним из основоположников этого увлекательного раздела геометрии был знаменитый составитель головоломок Генри Э. Дьюдени. Особенно большое число существующих ранее рекордов по разрезанию фигур побил эксперт австралийского патентного бюро Гарри Линдгрен.Он является ведущим специалистом в области разрезания фигур. (М.А.Екимова, Г.П.Кукин «Задачи на разрезание»)

Для проверки выдвинутой мной гипотезы я решила провести исследование по разрезанию геометрической модели торта, пиццы – круга. А затем обобщить вывод для других фигур.

Рассмотрю число разрезов, посчитаю минимальное и максимальное количество частей.

Рис.1 рис.2

1) Один разрез делит фигуру на две части (рисунок 1).

2) Два – на три , либо четыре части (рисунок 2).

3) Три разреза могут разделить на четыре, пять, шесть, семь частей (рисунок 3)

рис. 3

4) При четырех разрезах наименьшее количество ровно пяти, наибольшее – одиннадцати (рисунок 4)

Рис 4

5) Наименьшее число частей при пяти разрезах – шесть, а наибольшее – шестнадцать (рисунок 5)

Рис. 5

6) При шести разрезах получится от семи до двадцати двух частей (рисунок 6)

Рис. 6

7) Семь разрезов дают от восьми до двадцати девяти частей

Рис.7

Замечание: наибольшее количество частей получается, если в результате разреза прямая пересекает все прямые проведенные раннее внутри круга.

Полученные результаты занесу в таблицу и попробую ее проанализировать.

Количество прямолинейных разрезов	Наименьшее количество частей	Наибольшее количество частей
1	2	2
2	3	4
3	4	7
4	5	11
5	6	16
6	7	22
7	8	29

Проанализирую результаты проведенных экспериментов.

Нетрудно заметить, что наименьшее число частей увеличивается на одну при проведении нового разреза.

Что же касается наибольшего количества частей?

А) Попробую найти частное от деления последующего результата разрезания на предыдущий:

4:2 = 2 7: 4 =1(ост.3) 11:7 = 1(ост.4) 16: 11= 1(ост.5) 22:16 =1(ост.6) 29:22 = 1(ост 7). Явной закономерности нет.

Б) Поделю результат разреза на число разрезов:

2:1 = 2 4:2 = 2 7:3 = 2(ост.1) 11:4 =2(ост.3) 16:5 = 3(ост.1) 22:6 = 3(ост.4) 29: 7 = 4(ост. 1) Закономерности нет.

В) Найту разность двух соседних результатов:

4-2=2 7 -4 =3 11-7 = 4 16-11 =5 22-16 = 6 29-22 = 7.

Замечаю, что разность равна числу разрезов в последнем шаге. Занесу для наглядности результаты в таблицу:

Количество прямолинейных разрезов	Наибольшее количество частей	Разность двух соседних результатов разрезания
1	2	2 – 1 = 1
2	4	4 – 2 = 2
3	7	7 – 4 = 3
4	11	11 – 7 = 4
5	16	16 – 11 = 5
6	22	22 – 16 = 6
7	29	29 – 22 = 7

Вывод 1: Максимальное количество частей при новом разрезании увеличивается на общее число разрезов.

Получаем последовательность: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37 и т.д.

Вывод 2(общий): Число частей при проведении новой прямой (нового разреза) увеличивается на столько, на сколько частей делят эту прямую внутри круга проведенные раннее прямые.

Прокомментирую общий вывод на примере трех разрезов. Третья прямая проведена красным цветом.

А) Пересечений нет, поэтому прибавляем один: 4 +1 = 5 (частей)

Б) Прямая делится на две части: 4 + 2 = 6 (частей)

В) Прямая делится на три части, значит, 4 + 3 = 7 (частей)

Для решения олимпиадных задач более важен вывод о максимальном числе частей.

А что будет, если торт, пирог имеет отличную от круга форму?

Они могут иметь форму многоугольника. Многоугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Выпуклый – это многоугольник, расположенный по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону ( рисунок 8, а). Если это условие не выполняется, то многоугольник будет невыпуклым (рисунок 8, б).

Рис.8

а) выпуклый б)невыпуклый

Проверю, справедлив ли мой вывод для данных фигур.

А) выпуклый многоугольник.

3 разреза – 7 частей 4 разреза – 11 частей

Для выпуклого многоугольника вывод справедлив.

Б) невыпуклый многоугольник

Даже при одном разрезе возникло противоречие: вместо двух частей получилось три.

Таким образом, изложенные выше выводы справедливы только для выпуклых многоугольников и кругов.

Заключение.

В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый кто берется за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. Поскольку здесь не требуется знание геометрии, то любители иногда могут даже превзойти профессионалов-математиков.

В ходе проведенного исследования я смогла подтвердить выдвинутую мной гипотезу о том, что существует зависимость количества частей от числа прямолинейных разрезов. Я убедилась, что мои выводы справедливы лишь для тел, имеющих формувыпуклого многоугольника или круга. Кроме этого в процессе работы над темой я

· Изучила исторический материал, связанный с задачами на разрезание.

· Училась проводить исследование, моделировать, сравнивать, анализировать и делать выводы.

· Познакомилась с разнообразием задач на разрезание.

· Наметила план дальнейшей исследовательской работы, связанной с решением задач на разрезание.

Думаю, что полученные знания и приобретенные мной умения помогут мне в решении разнообразных олимпиадных задач, в изучении геометрического материала в курсе математики.

Я планирую познакомить своих одноклассников с результами исследования на индивидуально-групповых занятиях по математике.

На следующий год я хочу исследовать решение задач на разрезание на клетчатой бумаге. Приведу пример такого задания: разрезать квадрат 4х4 клетки на две равные части. Существуют 5 различных способов разрезания.

Выдающийся французский математик, физик и писатель, один из создателей математического анализа, проектной геометрии, теории вероятностей, гидростатики, создатель механического счетного устройства – «паскалева колеса», и философ, чьи мысли оказывали влияние на многих выдающихся людей, Блэз Паскаль (1623 – 1662 годы) сказал:

«Крупное научное открытие даёт решение крупной проблемы , но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия»

Эти слова Паскаля созвучны моему отношению к работе. Решение исследовательской задачи на нахождение взаимосвязи между числом прямолинейных разрезов и количеством частей, полученных в результате такого разрезания – это для меня маленькое открытие.

Список литературы:

1. Екимова М.А., Кукин Г.П. Задачи на разрезание – М.: МЦНМО, 2002 год

2. Гусев В.А. Математика. Сборник геометрических задач: 5 – 6 классы. – М.: Издательство. «Экзамен», 2011 год

3. Фарков А.В. Математические кружки в школе – М.: Айрис-пресс, 2006 год

4. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Задачи на смекалку. 5-6 классы: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений – 10 зд. – М.: «Просвещение», 2010 год

5. Интернет-ресурсы:

Ø http://www.potehechas.ru/Головоломки на разрезание фигур.

Ø http://www.etudes.ru/ru/etudes/origami Одним разрезом: Математические этюды.

Ø http://www.problems.ru/ Информация о задаче

Ø http://pandia.ru/text/78/065/75200.php Разрезание и складывание фигур

Ø http://mathem.hut1. ru/z_all/z_r.htm Занимательная математика

Ø http://www.ankolpakov.ru/2010/11/26/olimpiadnye-logicheskie-i-zanimatelnye-zadachi-po-matematike-zadachi-na-razrezanie/

Ø http://zadacha.uanet.biz/uploads/1a/4f/1a4f54f102de8407782355e77cbb1abf/ZADACHI-NA-RAZREZANIE-1.pdf