Подсистемы: системы | Купить подсистему (вейп с картриджами) по цене от 340 руб. в Москве

Что такое операционная система (ОС)?

Операционная система (ОС) – это программное обеспечение, состоящее из программ и данных, которое работает на компьютерах и управляет компьютерным оборудованием, а также предоставляет общие службы для эффективного выполнения различного прикладного программного обеспечения. Для аппаратных функций, таких как ввод и вывод и распределение памяти, операционная система действует как посредник между прикладными программами и аппаратным обеспечением компьютера, хотя код приложения обычно выполняется непосредственно аппаратным обеспечением, но часто вызывает операционную систему или прерывается ею. Операционные системы можно найти практически на любом устройстве с компьютером – от сотовых телефонов и игровых консолей до суперкомпьютеров и веб-серверов.

Каковы задачи операционной системы?

Управление процессорами. Основными задачами в управлении процессорами являются обеспечение того, чтобы каждый процесс и приложение получали достаточное количество времени процессора для правильной работы, используя максимально возможное количество циклов процессора для реальной работы и переключения между процессами в многозадачной среде.

Управление памятью и хранилищем. Задачи включают выделение достаточного количества памяти, требуемой для каждого процесса, для выполнения и эффективного использования различных типов памяти в системе.

Управление устройствами: операционная система управляет всем оборудованием, отсутствующим на процессоре, с помощью программ драйверов. Драйверы предоставляют приложениям возможность использовать аппаратные подсистемы без необходимости знать каждую деталь работы оборудования. Функция драйвера – переводчик между электрическими сигналами аппаратных подсистем и высокоуровневыми языками программирования операционной системы и прикладных программ. Одна из причин, по которой драйверы отделены от операционной системы, заключается в возможности обновления устройств.

Предоставление общего прикладного интерфейса: прикладные программные интерфейсы (API) позволяют прикладным программистам использовать функции компьютера и операционной системы без необходимости непосредственно отслеживать все детали работы процессора. Как только программист использует API, операционная система, подключенная к драйверам для различных аппаратных подсистем, работает с изменяющимися деталями оборудования.

Предоставление общего пользовательского интерфейса. Пользовательский интерфейс (UI) привносит формальную структуру во взаимодействие между пользователем и компьютером.

Вы уверены что хотите удалить ?

Да

Нет

Подсистемы СМИС — СОДИС Лаб

– Решения –

Структурированная система мониторинга и управления инженерными системами зданий и сооружений состоит из 9-ти основных блоков.

Подсистема приёма и обработки данных о работе систем инженерно-технического обеспечения объекта

предназначена для приёма, обработки и хранения сообщений от инженерных систем, содержащих параметры их функционирования (режим работы, наличие ошибок и т. п.). После приёма сообщений от серверов и головных устройств систем инженерного обеспечения объекта они проходят идентификацию, классификацию, преобразование в единый формат и сохраняются в базе данных СМИС.

Подсистема оценки рисков реализации угроз

предназначена для анализа параметров работы инженерных систем с целью определения их состояния, определения значений рисков реализации различных угроз объекту, а также для выдачи рекомендаций диспетчеру о действиях, которые нужно предпринять для снижения риска реализации этих угроз или для минимизации ущерба от реализовавшихся угроз на объекте (нештатных ситуаций).

Подсистема реагирования на террористические угрозы

предназначена для обеспечения дежурно-диспетчерской службы объекта информацией, необходимой для реагирования на возникшие террористические угрозы и создания формализованных сообщений для передачи в компетентные органы в автоматическом или автоматизированном режиме.

Подсистема управления доступом и регистрации действий пользователя

предназначена для идентификации и контроля доступа диспетчера СМИС к автоматизированному рабочему месту, а также протоколирования любых его действий.

Подсистема самодиагностики и резервирования

предназначена для выполнения проверки работоспособности всех компонентов системы, наличия доступа к данным внешних инженерных систем, поддержки переключения на резервный сервер в случае отказа основного, а также подачи соответствующих сигналов об отказах элементов системы диспетчеру СМИС.

Подсистема протоколирования

осуществляет запись в журнал всего, что происходит с системой: получение сообщений от внешних инженерных систем, повышение риска возникновения нештатной ситуации или реализации нештатной ситуации, действия диспетчера, получение или передача сообщений во внешние городские службы, результаты самодиагностики системы и т. д.

Подсистема контроля проведения планово-предупредительных работ по обслуживанию систем инженерно-технического обеспечения объекта

предназначена для:

• сокращения временных и трудовых издержек деятельности по сбору и получению сведений по объекту эксплуатации, состоянию его элементов, регламентным и текущим работам, формированию документации и отчётов;
• повышения качества предупреждения неисправностей и аварий на объекте эксплуатации;
• повышения оперативности устранения неисправностей и аварий на объекте эксплуатации;
• улучшения качества обслуживания пользователей объекта;
• обеспечения возможности эффективного контроля показателей деятельности службы эксплуатации.

АРМ Диспетчера —

автоматизированное рабочее место диспетчера СМИС — подсистема, включающая в себя модуль визуализации и модуль оповещения.

Модуль визуализации состояния объекта предназначен для:

• просмотра состава объекта — инженерных систем, подсистем, оборудования;
• просмотра списка угроз со значениями риска их реализации, просмотра текущих нештатных ситуаций на объекте, просмотра перечня регламентных и внеплановых работ по ремонту и техническому обслуживанию инженерного оборудования и строительных конструкций;
• просмотра 3D-модели объекта, навигации по ней (вращение, изменение масштаба), просмотра размещения инженерных систем и оборудования на 3D-модели объекта. При этом отображение элементов трёхмерной модели зависит от значений параметров работы систем объекта и значений рисков реализации угроз;
• просмотра параметров работы инженерных систем.

Модуль оповещения предназначен для:

• уведомления диспетчера СМИС о возникновении нештатных ситуаций на объекте, о ликвидации нештатных ситуаций на объекте;
• уведомления диспетчера СМИС об изменении риска возникновения нештатных ситуаций на объекте;
• уведомления диспетчера СМИС о действиях, рекомендованных к выполнению с целью сокращения риска реализации угроз объекту или для снижения ущерба от реализовавшейся угрозы.

Подсистема взаимодействия с внешними службами и органами управления РСЧС

предназначена для:

• автоматической отправки сообщений о нештатных ситуациях на объекте во внешние службы и органы управления РСЧС;
• передачи во внешние городские службы и органы управления РСЧС сообщений о нештатных ситуациях на объекте, сформированных дежурным диспетчером СМИС;
• получения запроса о проверке работоспособности сервера СМИС или о дееспособности дежурного диспетчера СМИС и реагирования на эти сообщения.

Все материалы по теме СМИС:

О СМИС- || -Подсистемы СМИС- || -Требуется ли СМИС для вашего объекта?- || -Комплексное решение SODIS Building FM- || -Наш опыт внедрения СМИС

Эксперты компании «СОДИС Лаб» поделятся опытом проектирования СМИС

Cориентируем вас в теме, обсудим и сделаем предложение.

Сетевая подсистема в ОС / Хабр

Для будущих студентов курса «Сетевой инженер» и всех интересующихся подготовили полезную статью.

Также приглашаем на открытый вебинар по теме «NAT — не Firewall». Участники вебинара вместе с экспертом рассмотрят NAT и его использование, почему NAT != firewall, а также различные виды конфигураций для разных ситуаций.

В данной статье будет проведено исследование сетевой подсистемы ОС Windows и Linux, а также предложен план изучения подсистем операционной системы. Основная задача исследования – понять, из чего состоит сетевая подсистема; какие поддерживает протоколы из коробки; какие дополнительные механизмы использует в своей работе.

Disclamer: Статья описывает данные, которые с точки зрения автора помогут понять, как работают операционные системы с моделью TCP/IP, и не претендует на полноту.

Инструментарий и метод исследования

Для исследования операционной системы будем использовать следующие инструменты:

Инструменты подобраны таким образом, чтобы можно было охватить максимальное количество форматов файлов, которые можно обнаружить в ОС. Для исходного же кода главный инструмент – редактор, который позволяет удобно переходить от исходника к исходнику для разбора кода.

В нашем исследовании будем руководствоваться двумя правилами:

1. Используем всю информацию из документации операционных систем;

2. Проверяем правдивость описанных данных. Для структур данных:

   • В ОС Windows исследуем соответствующие функционалу dll, sys файлы;

   • В ОС Linux исследуем исходные коды и отдельные ветки ядра;

Теперь определимся с проблемами, которые вероятно будут нас преследовать на протяжении всего исследования.

Проблемы при исследовании ОС Linux

Основной функционал подсистемы целиком находится в ядре. К счастью, исходный код доступен в сети. Исследование исходного кода таких больших проектов всегда довольно сложная задача. На её сложность может влиять несколько факторов:

1. Субъективные:

   • у каждого исследователя разный уровень экспертизы в области языка программирования, который используется в исходном коде;

   • у каждого исследователя есть свой собственных подход на интерпретацию полученной информации.

2. Объективные:

   • ограниченности исследования по времени;

   • объем исходного кода;

   • принятые правила кодирования проекта.

Как минимизировать количество действий исследователя, чтобы получить как можно больше полезной и интересной информации? Огромную роль играет правильно настроенное рабочее место. В нашем случае верную настройку определяет набор инструментов, который мы описали в разделе “Инструментарий и метод исследования”. Также можно применить небольшой лайфхак и не рассматривать каждую строку исходников ядра, а рассматривать только высокоуровневые элементы. Это сэкономит время на изучение языка программирования и даст возможность разобраться, что к чему. Попробуем применить эту тактику на практике.

Сетевая подсистема Linux

Начнем наше исследование с вот такой интересной картинки:

Картинка представляет собой структуру директорий исходного кода ядра ОС Linux. На ней видно, что сетевая подсистема вовсе не самая большая часть операционной системы. По правде говоря, можно собрать ядро и без этой части. Сегодня это вариант только для embeded систем, в общем случае без сети представить Linux сложно.

Код, который относится к сетевой подсистеме, находится в директории “net”. Посмотрим, из чего он состоит.

Исходный код собран по выполняемым задачам. За базовыми элементами можно обратиться в директорию core:

На картинке выделены названия файлов, которые описывают основные структуры для работы с сетью. Это создание сокетов, хранение пересылаемых данных и работа с фильтрующей подсистемой bfp. Именно этот код переиспользуется для остальной части сетевой подсистемы.

Оставшиеся файлы в директории “net” описывают работу ядра с различными протоколами. Интересным моментом здесь является то, что фильтрующая подсистема имеет какие-то файлы только в некоторых протоколах и подсистемах:

Прямоугольниками выделены те протоколы и подсистемы, которые содержат файлы netfilter. Как видно из картинки, механизм фильтрации трафика работает не со всеми протоколами. Также интересно то, что он присутствует не только в протоколах, но и в более высокоуровневой абстракции – bridge. Теперь понятно, почему bridge от Linux можно настроить настолько гибко и контролировать пересылаемые данные.

Что в итоге? Всего по 4м картинкам структуры исходных кодов ядра мы уже обладаем информацией о том, какие поддерживаются протоколы в ядре Linux, какие механизмы интегрированы в протоколы для контроля и фильтрации и где найти базовые элементы, которые позволяют использовать сеть. Попробуем найти эту информацию и в ОС Windows.

ОС Windows: сетевая подсистема

Изучить сетевую подсистему этой ОС так же просто, как в ОС Linux, не получится. Самый большой камень преткновения – закрытый исходный код. Однако давайте попытаемся восстановить информацию о том, как работает сетевая подсистема в рамках этой ОС. В качестве целей будем использовать то, что нашли в Linux:

• Где располагается код для создания и работы с сокетами;

• Какой механизм используется для фильтрации;

• Как имплементированы протоколы.

  Сетевая подсистема, согласно документации построена по принципу модели OSI. И также приводится описание того, за счет каких технологий и типов файлов реализуется работа отдельных уровней модели.

Имплементация модели OSI в операционной системе начинается со строго определенных уровней. В данном случае всё начинается на уровне “Канальном” и заканчивается на уровне “Транспортном”. Имплементация на каждом уровне своя:

• Канальный уровень – состоит из MAC и LLC, соответственно и частей имплементации должно быть две:

  • MAC – miniportdriver это драйвер, который контролирует сетевой интерфейс;

  • LLC – protocol driver – драйвер, который используется для обработки данных от сетевых устройств;

• Уровень сети – protocol driver – драйвер, который используется для обработки данных от сетевых устройств;

• Уровень транспорта – protocol (transport) driver;

Вот и выявилось коренное отличие Windows от Linux – вся логика работы сетевой подсистемы разбита на множество элементов. Каждое устройство, каждый протокол и абстракция имплементированы не в ядре, а в модуле ядра – драйвере, который может быть загружен ядром по запросу. Что это значит для нас? У нас нет исходного кода данных драйверов, а значит мы не можем использовать подход, который использовали при изучении ОС Linux.

Как же быть? При разработке эксплойтов исследователи в качестве отправной точки для восстановления структур внутри ядра Windows используют проект с открытым исходным кодом – ReactOS. Попробуем сделать тоже самое. Давайте найдем части подсистемы и затем спроецируем найденную информацию на реальную ОС Windows.

На экране ниже приведен снимок директории с основными драйверами для сетевой подсистемы:

Попробуем найти такие же файлы в реальной ОС. Заглянем в директорию “%Windows%”. В качестве исследуемой системы возьмем Windows 7.

Часть файлов действительно имеет названия файлов, которые присутствуют в реальной ОС.

Один из способов проверки функционала уже скомпилированного приложения – прочитать используемые им строки. Можем для этого воспользоваться утилитой strings.exe для tcpip.sys:

Похоже, что данные по работе с сетевой подсистемой можно обнаружить именно в этом драйвере. Поищем функции, которые позволяют фильтровать трафик. Как их идентифицировать?

В операционной системе Windows за всё время её существования было 2 технических спецификаций на основании которых создавались драйвера для сетевого взаимодействия: TDI и WinSock. И все эти спецификации использовали отдельный драйвер для того чтобы можно было собирать весь функционал – NDIS. Значит большая часть функций сконцентрирована в этих драйверах:

• netio.sys

• tcpip.sys

• tdi.sys

• ndis.sys

Но в них все равно нет функций, которые бы могли фильтровать трафик. Почему так? Дело в том, что до Windows 7 фильтрация трафика как такового была имплементирована в отдельных драйверах, которые настраивались за счет интерфейса Windows. Начиная с Windows 7 была реализована так называемая Windows Filtering Platform, которая определила часть драйверов в специальную категорию, которая и призвана фильтровать трафик.

Часть этих фильтров можно найти по обычному поиску в директориях ОС:

 Get-ChildItem "C:\WINDOWS\System32" FWPKCLNT.SYS -Recurse | Select-Object FullName
 Get-ChildItem "C:\WINDOWS\System32" wfplwf.sys -Recurse | Select-Object FullName

Используем утилиту strings.exe на файлы FWPKCLNT.SYS и wfplwf.sys:

Выше представлена часть строк, которые обнаружились в файле FWPKCLNT.sys, файл wfplwf.sys содержал только названия функций. Почему тогда они здесь вместе? Дело в том, что в импортах wfplwf.sys есть функция, которая берется из файла FWPKCLNT.sys:

В итоге:

1. Имплементация всех объектов и механизмов в ядре для работы с протоколами – файлы из директории %Windows%\System32\Drivers. Основные из них – netio.sys, ndis.sys, tdi.sys.

2. Фильтрацией занимаются драйвера WFP: FWPKCLNT.sys, wfplwf.sys.

3. Имплементируются через отдельные одноименные файлы, например: tcpip. sys

В ОС Linux мы не задумывались о том как приложения получают доступ к структурам ядра и работают с сетью. Там более-менее всё очевидно и только один шаг до функций, но для Windows всё работает по принципу Callback`ов. Поэтому скорее всего будет несколько оберток для взаимодействия. Попробуем найти эти файлы.

Для поиска файлов, которые используются в качестве обертки-библиотеки, можно использовать следующий метод. Для этого создадим мини приложение, которое будет работать с сокетами, принимать и отправлять данные. Исходный код приложения:

import socket
HOST = '127.0.0.1'  
PORT = 10000        
with socket.socket(socket.AF_INET, socket.SOCK_STREAM) as s:
    s.bind((HOST, PORT))
    s.listen()
    conn, addr = s.accept()
    with conn:
        print('Connected by', addr)
        while True:
            data = conn.recv(1024)
            if not data:
                break
            conn.sendall(data)

Запускаем файл в ОС, если не возникло никаких ошибок, то необходимо параллельно запустить инструмент Process Explorer. С помощью этого инструмента мы подсмотрим, чем занимается поток, пока ждет соединения. На картинке ниже отображены все описанные действия:

Слева изображен стек вызовов функций, которые задействованы в процедуре настройки сокета и перевода его в состояние bind. Этот набор файлов – mswinsock.dll (Win Sock 2 Service) и WS2_32.dll(Windows Socket 2). Данные библиотеки используются для того, чтобы предоставить приложениям функции по работе с сокетами в ОС Windows.

Стоит отметить, что последовательность функций, которые вызываются для работы сокета в ОС, не виден в Process Explorer`е. Если нужно восстановить и эти данные, то нужно использовать отладчик ядра.

Таким образом, проводить исследование подсистем любых ОС и их механизмов можно с исходным кодом и без — достаточно выбрать необходимый набор инструментов, а также доступные методы, источники знаний.

Узнать подробнее о курсе «Сетевой инженер».

Зарегистрироваться на открытый вебинар по теме «NAT — не Firewall».

Ошибка 404 | НПФ КонтрАвт. КИПиА для АСУ ТП

Конвертер DOCX в RTF и конвертер DOCX в HTML

Этот элемент управления для редактирования RTF (Rich Text Format) предлагает расширенные функции редактирования текста . ..

Характеристики Цены Скачать

Новая версия 30!

Этот дополнительный продукт позволяет элементу управления TE Edit импортировать и экспортировать HTML-документы …

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 25!

Это оптимизированное средство проверки орфографии включает в себя словарь английских слов и …

Технические характеристики Цены Скачать

Преобразование векторной графики SVG в PNG, JPEG, GIF или другие форматы изображений в вашем приложении …

Технические характеристики Цены Загрузить

Этот продукт позволяет сохранять содержимое редактора TE в файл PDF …

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 18!

Преобразование форматов HTML в RTF и RTF в HTML. Простой, надежный и экономичный …

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 19!

Этот механизм создания отчетов включает конструктор форм и средство выполнения отчетов. Форма…

Технические условия Цены Загрузите

Конвертируйте RTF в PDF в своем приложении. Одношаговый метод …

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 17!

Преобразование HTML в Jpeg, Png, Gif, BMP, Icon, Exif и расширенный метафайл…

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 15!

Преобразование HTML в PDF в вашем приложении. Нет драйвера принтера или внешнего …

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 17!

Преобразование RTF или простого текста в форматы Jpeg, Png, Gif, BMP, Icon, Exif и Enhanced. ..

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 16!

Этот продукт предоставляет простой набор функций API для разработки отчета и создания …

Технические характеристики Цены Загрузите

Преобразуйте файлы DOC или DOCX в PDF в своем приложении. Простой, надежный …

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 15!

Преобразование файла DOC или DOCX в HTML в вашем приложении. Без внешнего …

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 15!

Преобразование файлов Word DOC или DOCX в форматы Jpeg, Png, Gif, BMP, Icon, Exif и …

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 15!

Преобразование файла DOCX в RTF в вашем приложении. Внешний компонент не требуется …

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 14!

Этот продукт используется в качестве дополнения к TE Edit Control для импорта …

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 14!

Преобразование файла DOC в RTF в вашем приложении. Внешний компонент не требуется …

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 14!

Преобразование файлов формата RTF в формат DOCX в вашем приложении …

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 13!

Преобразование файлов формата HTML в формат DOCX в вашем приложении …

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 13!

Преобразование файлов формата DOCX в PDF в вашем приложении. Без внешнего …

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 13!

Преобразование файлов формата DOCX в формат HTML в вашем приложении …

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 12!

Преобразование страниц файла DOCX в изображения в вашем приложении…

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 14!

Эта DLL предлагает простой и эффективный метод создания кода RTF …

Технические характеристики Цены Скачать

Новая версия 7!

Поскольку наши компоненты ориентированы на разработчиков программного обеспечения, их установка проста. Наше компонентное программное обеспечение поставляется в виде zip-файла. Для установки просто скопируйте содержимое zip-папки в пустую папку на вашем компьютере, а затем следуйте инструкциям по использованию продукта.

Наше программное обеспечение не устанавливается само по себе, поэтому вы можете быть уверены, что процесс автоматической установки не повлияет на вашу систему.

Пожалуйста, нажмите здесь , чтобы просмотреть лицензионное соглашение для TE Edit Control. Лицензионные соглашения для других продуктов находятся на соответствующих страницах.

Подробнее

” Я ценю вашу помощь и внимание к моим проблемам..
Вероятно, поэтому я использую ваш пульт Tern с 2000 года!”

Эрик Гилберт
Black, Mann & Graham, L.L.P.

Подсистема

– Глоссарий | CSRC

• Проекты
• Публикации Развернуть или свернуть
• Темы Развернуть или свернуть
• Новости и обновления
• События
• Глоссарий
• О CSRC Развернуть или свернуть

Поиск

Сортировать по

Релевантность (наилучшее совпадение)Срок (A-Z)Срок (Z-A)

Пункты на странице 100200500Все

Глоссарий

А | Б | С | Д | Е | Ф | грамм | ЧАС | я | Дж | К | л | М | Н | О | п | Вопрос | р | С | Т | U | В | Вт | Икс | Д | Z

подсистема

Определения:

  Основное подразделение или компонент информационной системы, состоящий из информации, информационных технологий и персонала, который выполняет одну или несколько конкретных функций.
Источник(и):
NIST SP 800-30 Ред. 1 в подсистеме из НИСТ СП 800-39
НИСТ СП 800-39 в подсистеме
NIST SP 800-53 Ред. 5

  Основное подразделение информационной системы, состоящее из информации, информационных технологий и персонала, выполняющего одну или несколько определенных функций.
Источник(и):
НИСТ СП 800-137 в подсистеме

  Основное подразделение или компонент информационной системы, состоящий из информации, информационных технологий и персонала, выполняющего одну или несколько определенных функций.
Источник(и):
NIST SP 800-18 Ред. 1 в подсистеме

  Основное подразделение или элемент информационной системы, состоящий из информации, информационных технологий и персонала, который выполняет одну или несколько определенных функций.
Источник(и):
NIST SP 800-37 Ред. 2

11.5: Подсистемы – Математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

80548

• Al Doerr & Ken Levasseur
• Массачусетский университет Лоуэлл

Определение

Подсистема является фундаментальным понятием алгебры на универсальном уровне.

Определение \(\PageIndex{1}\): Подсистема

Если \(\left[V; *_1, \ldots ,*_n\right]\) является алгебраической системой определенного вида и \(W\ ) является подмножеством \(V\text{,}\), то \(W\) является подсистемой \(V\), если \(\left[W; *_1, \ldots ,*_n\right]\ ) является алгебраической системой того же типа, что и \(V\text{. }\). Обычная запись для «\(W\) является подсистемой \(V\)»: .}\) 9*;\cdot \right]\text{.}\) Теперь найдите время, чтобы написать таблицу умножения \(U\) и убедитесь, что \([U;\cdot ]\) является группой.

(Бетон) Четные целые числа, \(2\mathbb{Z} = \{2k : k \textrm{ is} \textrm{ an} \textrm{ integer}\}\) являются подгруппой \([\mathbb {Z};+]\text{.}\) Убедитесь сами в этом факте.

(бетон) Множество неотрицательных целых чисел не является подгруппой \([\mathbb{Z}; +]\text{.}\) Для этого подмножества верны все групповые аксиомы, кроме одной: ни одно натуральное число не имеет положительная аддитивная обратная. Следовательно, обратное свойство неверно. Обратите внимание, что каждая групповая аксиома должна быть истинной, чтобы подмножество было подгруппой. 9*\текст{?}\)

Подгруппы

В оставшейся части этого раздела мы сосредоточимся на свойствах подгрупп. Первым делом нужно установить систематический способ определения того, является ли подмножество группы подгруппой.

Теорема \(\PageIndex{1}\): Условия подгруппы

Чтобы определить, является ли H подмножество группы \([G;*]\text{,}\) подгруппой, достаточно доказать:

1. H замкнут относительно \(*\text{;}\), то есть \(a, b \in H \Rightarrow a * b \in H\text{;}\) 9{-1}\в Н\текст{.}\)

Доказательство

Наше доказательство состоит в проверке того, что если три вышеуказанных свойства верны, то все аксиомы группы верны для \([H ; *]\text{.}\) По условию (a), \(*\) можно рассматривать как операцию над \(H\text{.}\). Необходимыми аксиомами являются ассоциативные, тождественные и обратные свойства. Тождество и обратное свойство верны по условиям (b) и (c) соответственно, оставляя только ассоциативное свойство. Поскольку \([G; *]\) является группой, \(a * (b * c) = (a * b) * c\) для всех \(a, b, c \in G\text{. }\) Конечно, если это уравнение верно для всех вариантов выбора трех элементов из \(G\text{,}\), то оно будет истинным для всех вариантов выбора трех элементов из \(H\text{,}\), поскольку \ (H\) является подмножеством \(G\text{. }\)

Для каждой группы, состоящей как минимум из двух элементов, есть как минимум две подгруппы: вся группа и \(\{e\}\text{.}\) Поскольку эти две группы автоматические, они не считаются очень интересными. и называются несобственными подгруппами группы; \(\{e\}\) иногда называют тривиальной подгруппой. Все остальные подгруппы, если они есть, называются собственными подгруппами.

Мы можем применять теорему \(\PageIndex{1}\) как на конкретном, так и на аксиоматическом уровне.

Пример \(\PageIndex{2}\): применение условий для подгруппы

1. (бетон) Мы можем убедиться, что \(2\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z}\text{,}\) как указано в примере \(\PageIndex{1}\). Всякий раз, когда вы хотите обсудить подмножество, вы должны найти какой-нибудь удобный способ описания его элементов. Элемент \(2\mathbb{Z}\) может быть описан как удвоенное целое число; то есть \(a \in 2\mathbb{Z}\) эквивалентно \((\exists k)_{\mathbb{Z}}(a = 2k)\text{.}\) Теперь мы можем проверить что три условия теоремы \(\PageIndex{1}\) верны для 2\(\mathbb{Z}\text{. }\) Во-первых, если \(a, b \in 2\mathbb{Z}\ text{,}\), то существуют \(j, k \in \mathbb{Z}\) такие, что \(a = 2j\) и \(b = 2k\text{.}\) Распространенной ошибкой является напишите что-то вроде \(a=2j\) и \(b=2j\text{.}\) Это будет означать, что \(a=b\text{,}\) не обязательно верно. Вот почему для описания \(a\) и \(b\text{.}\) нужны две разные переменные. Возвращаясь к нашему доказательству, мы можем добавить \(a\) и \(b\text{:}\) \(a + b = 2j + 2k = 2(j + k)\text{.}\) Поскольку \(j + k\) является целым числом, \(a + b\) является элементом \(2\ mathbb{Z}\text{.}\) Во-вторых, тождество \(0\text{,}\) принадлежит 2\(\mathbb{Z}\) (\(0 = 2(0)\)) . Наконец, если \(a \in 2\mathbb{Z}\) и \(a = 2k, -a = -(2k) = 2(-k)\text{,}\) и \(-k\in \mathbb{Z}\text{,}\) следовательно, \(-a \in 2\mathbb{Z}\text{.}\) По теореме \(\PageIndex{1}\), \(2\mathbb {Z} \leq \mathbb{Z}\text{.}\) Как изменится этот аргумент, если вас попросят доказать, что \(3\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z}\text{?}\ ) или \(n \mathbb{Z} \leq \mathbb{Z}, n \geq 2\text{?}\)
2. (Бетон) Мы можем доказать, что \(H = \{0, 3, 6, 9\}\) является подгруппой \(\mathbb{Z}_{12}\text{. }\) Во-первых, для каждая упорядоченная пара \((a, b) \in H \times H\text{,}\) \(a +_{12} b\) находится в \(H\text{.}\) Это можно проверить без особых проблем, поскольку \(\left| H \times H\right| = 16\text{.}\) Таким образом, мы можем заключить, что \(H\) замкнут относительно \(+_{12}\text{. }\) Второе, \(0\in H\text{.}\) Третье, \(-0 = 0\text{,}\) \(-3 = 9\text{,}\) \(-6 = 6\text{,}\) и \(-9 = 3\text{.}\) Следовательно, обратный каждому элементу \(H\) находится в \(H\text{.}\)
3. (Аксиоматический) Если \(H\) и \(K\) являются подгруппами группы \(G\text{,}\), то \(H \cap K\) является подгруппой группы \(G\text {.}\) Чтобы обосновать это утверждение, у нас нет конкретной информации для работы, только факты, что \(H \leq G\) и \(K \leq G\text{.}\) Наше доказательство того, что \( H \cap K \leq G\) отражает это и является упражнением в применении определений пересечения и подгруппы, (i) Если \(a\) и \(b\) являются элементами \(H \cap K\text {,}\), то \(a\) и \(b\) оба принадлежат \(H\text{,}\) и поскольку \(H \leq G\text{,}\) \(a * b \) должен быть элементом \(H\text{. {-1}\in K\text{.}\) Отсюда по теореме \(H \cap K \leq G\text{.}\) Теперь, когда этот факт установлен сарай, мы можем применить его к любой паре подгрупп любой группы. Например, поскольку \(2\mathbb{Z}\) и \(3\mathbb{Z}\) являются подгруппами \([\mathbb{Z};+]\text{,}\) \(2 \mathbb{Z} \cap 3\mathbb{Z}\) также является подгруппой группы \(\mathbb{Z}\text{.}\) Обратите внимание, что если \(a \in 2\mathbb{Z} \cap 3\mathbb{Z}\text{,}\) \(a\) должен иметь коэффициент 3; то есть существует \(k\in \mathbb{Z}\) такое, что \(a = 3k\text{.}\) Кроме того, \(a\) должно быть четным, поэтому \(k\) должно быть даже. Существует \(j \in \mathbb{Z}\) такой, что \(k = 2j\text{,}\) поэтому \(a = 3(2j)= 6j\text{.}\) Это показывает, что \ (2\mathbb{Z}\cap 3\mathbb{Z}\subseteq 6\mathbb{Z}\text{.}\) Можно легко установить обратное включение; следовательно, \(2\mathbb{Z} \cap 3\mathbb{Z} = 6\mathbb{Z}\text{.}\)

Для конечной группы мы можем применить теорему 11.3.10, чтобы получить более простое условие для того, чтобы подмножество было подгруппой. q=e\) для некоторого \(q\) между 2 и \(\left| G\right|\) и 9{q-1}\) , который принадлежит \(H\), так как \(q – 1 \geq 1\text{.}\)

Примечание. Применение условия для подгруппы конечной группы

Чтобы определить, являются ли \(H_1= \{0, 5, 10\}\) и \(H_2 = \{0, 4, 8, 12\} \) являются подгруппами \(\mathbb{Z}_{15}\text{,}\), нам нужно только выписать таблицы сложения (по модулю 15) для этих наборов. Это легко сделать с помощью кода Sage, который мы приводим ниже, а затем для любого модуля и подмножества мы можем сгенерировать тело таблицы сложения. Код настроен для \(H_1\), но его можно легко настроить для \(H_2\text{.}\)

def add_table (n, H):
    для а в Н:
        строка=[]
        для b в H:
            строка+=[(а+б)%n]
        печать (строка)
add_table (15, Set ([0,5,10]))
 

Обратите внимание, что \(H_1\) является подгруппой \(\mathbb{Z}_{15}\text{.}\). Так как внутренняя часть таблицы сложения для \(H_2\) содержит элементы, находящиеся вне \(H_2\text{,}\) \(H_2\) не является подгруппой \(\mathbb{Z}_{15}\text{. }\)

Циклические подгруппы

Один из видов подгруппы, который заслуживает Особого упоминания из-за ее простоты заслуживает циклическая подгруппа. 9n: n \in \mathbb{Z}\right\}\text{.} \end{equation*}

Мы ссылаемся на \(a\) как на генератор подгруппы \(\langle a \rangle\text{ .}\)

Подгруппа \(H\) группы \(G\) является циклической, если существует \(a \in H\) такое, что \(H = \langle a \rangle\text{.} \)

Примечание \(\PageIndex{1}\)

Если операция над \(G\) является аддитивной, то \(\langle a \rangle = \{(n)a : n \in \mathbb{ Z}\}\text{.}\)

Определение \(\PageIndex{3}\): Порядок элемента группы

Порядок элемента \(a\) группы \(G\) равен количество элементов в циклической подгруппе \(G\), порожденной \(a\text{.}\) Порядок \(a\) обозначается \(ord(a)\text{.}\) 9n : n \in \mathbb{Z}\right\} = \left\{\ldots,\frac{1}{16}, \frac{1}{8},\frac{1}{4}, \ frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8, 16,\ldots \right\}\text{.}\)

В \(\mathbb{Z}_{15}\text{,}\) \(\langle 6 \rangle = \{0, 3, 6, 9, 12\}\text{. }\) Если \ (G\) конечно, вам нужно перечислить только положительные степени (или кратные) \(a\) до первого вхождения идентичности, чтобы получить все \(\langle a \rangle\text{.}\) В \(\mathbb{Z}_{15}\) число, кратное 6, равно 6, \((2)6 = 12\text{,}\) \((3)6=3\text{,} \) \((4)6=9{-1}\rangle\text{.}\)

Это простой способ увидеть, например, что \(\langle 9 \rangle\) в \(\mathbb{Z}_{15}\) равно \(\langle 6 \rangle\text{,}\), так как \(-6 = 9\text{.}\)

Упражнения

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Что из следующего подмножества действительных чисел — это подгруппа \([\mathbb{R}; +]\text{?}\)

1. рациональных чисел
2. положительные действительные числа
3. \(\displaystyle \{k/2 \mid k \textrm{is} \textrm{an} \textrm{integer}\}\) 9k \mid k \textrm{ является целым числом}\}\)
4. \(\displaystyle \{x \mid -100 \leq x \leq 100\}\)

Ответить

Только a и c являются подгруппами.

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Опишите простыми словами следующие подгруппы \(\mathbb{Z}\text{:}\)

1. \(\displaystyle 5\mathbb{Z} \ крышка 4\mathbb{Z}\)
2. \(4\mathbb{Z} \cap 6\mathbb{Z}\) (будьте осторожны)
3. единственная конечная подгруппа \(\mathbb{Z}\)

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Найдите по крайней мере две правильные подгруппы \(R_3\) , множества \(3\x 3\) ладейных матриц (см. упражнение 11.2.5).

Ответить

\(\left\{I,R_1,R_2\right\}\text{,}\) \(\left\{I,F_1\right\}\text{,}\) \(\left\{I ,F_2\right\}\text{,}\) и \(\left\{I,F_3\right\}\) являются правильными подгруппами \(R_3\text{.}\)

Упражнение \(\PageIndex{4}\) 9{-1}\)

\(\displaystyle х * у\)

Рисунок \(\PageIndex{1}\): Рисунок к упражнению \(\PageIndex{4}\)

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

1. Перечислите циклические подгруппы \(\mathbb{Z} _6\) и нарисуйте диаграмму порядка для отношения «является подмножеством» на этих подгруппах.
2. Сделайте то же самое для \(\mathbb{Z}_{12}\text{.}\)
3. Сделайте то же самое для \(\mathbb{Z}_8\text{.}\)
4. Основываясь на ваших результатах в частях a, b и c, чего бы вы ожидали, если бы сделали то же самое с \(\mathbb{Z}_{24}\text{?}\)

Ответить

1. \(\langle 1\rangle = \langle 5\rangle = \mathbb{Z}_6\text{,}\) \(\quad\)\(\langle 2\rangle = \langle 4\rangle = \ {2, 4, 0\}\text{,}\) \(\langle 3\rangle = \{3, 0\}\text{,}\) \(\langle 0\rangle = \{0\} \)
2. \(\langle 1\rangle = \langle 5\rangle = \langle 7\rangle = \langle 11\rangle =\mathbb{Z}_{12}\text{,}\) \(\langle 2\rangle = \langle 10\rangle = \{2, 4, 6, 8, 10, 0\}\text{,}\) \(\langle 3\rangle = \langle 9\rangle = \{3, 6, 9, 0\}\text{,}\) \(\langle 4\rangle = \langle 8 \rangle = \{4, 8, 0\}\text{,}\ ) \(\langle 6\rangle = \{6, 0\}\text{,}\) \(\langle 0\rangle = \{0\}\)
3. \(\langle 1\rangle = \langle 3\rangle = \langle 5 \rangle = \langle 7\rangle = \mathbb{Z}_8\text{,}\) \(\langle 2\rangle = \langle 6\rangle = \{2, 4, 6, 0\}\text{,}\) \(\langle 4\rangle = \{4, 0\}\text{,}\) \(\langle 0\ угол = \{0\}\)
4. Основываясь на диаграммах порядка для частей с a по c на рисунке \(\PageIndex{2}\), мы ожидаем увидеть диаграмму порядка, подобную диаграмме для делений на \(\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}\) (делители 24), если бы мы исследовали подгруппы \(\mathbb{Z}_{24}\text{. }\) Это действительно так.

Рисунок \(\PageIndex{2}\): Рисунок для упражнения \(\PageIndex{5}\)

Упражнение \(\PageIndex{6}\): Подгруппы, порожденные подмножествами группы

Понятие циклической подгруппы является частным случаем понятия, которое мы будем обсуждать здесь. Пусть \([G; * ]\) будет группой и \(S\) непустым подмножеством \(G\text{.}\). Определим множество \(\langle S \rangle\) рекурсивно:

• Если \(a\in S\text{,}\), то \(a\in \langle S \rangle\text{.}\)
• {-1}\in \langle S \rangle\text{.}\)

1. По определению \(\langle S \rangle\) обладает всеми свойствами, необходимыми для того, чтобы быть подгруппой \(G\text{.}\) Единственное, что не очевидно, это то, что идентичность \(G\) находится в \(\langle S \rangle\text{.}\) Докажите, что идентичность \(G\) находится в \(\langle S \rangle\text{.}\)
2. Что такое \(\langle\{9, 15\}\rangle\) в \([\mathbb{Z}; +]\text{?}\)
3. Докажите, что если \(H \leq G\) и \(S \subseteq H\text{,}\), то \(\langle S \rangle\leq H\text{. }\) Это доказывает, что \(\ langle S \rangle\) содержится в каждой подгруппе \(G\), содержащей \(S\text{;}\), то есть \(\langle S \rangle =\underset{S\subseteq H, H\ leq G}{\cap}H\text{.}\) 9+;\cdot \right]\) и в \([\mathbb{R}; +]\text{.}\)
4. Если \(j, k \in \mathbb{Z}\text{,}\) \(\langle\{j,k\}\rangle\) является циклической подгруппой \(\mathbb{Z}\text {.}\) С точки зрения \(j\) и \(k\text{,}\) что является генератором \(\langle \{j, k\}\rangle \text{?}\)

Упражнение \(\PageIndex{7}\)

Докажите, что если \(H,K \leq G\text{,}\) и \(H\cup K=G\text{,}\), то \ (H = G\) или \(K = G\text{.}\)