Масштаб. Измерение расстояний по планам, картам и глобусу
Содержание
Чтобы измерить расстояние по плану, карте или глобусу, нужно знать, что такое масштаб и уметь им пользоваться. Масштаб – одна из основных математических составляющих любой географической модели Земли, он показывает, во сколько раз уменьшены все расстояния на карте по сравнению с теми же расстояниями на местности.
Если масштабирование не произвести, то никакой бумаги не хватит, чтобы изобразить на ней даже небольшой участок поверхности. На старинных картах размеры и расстояния уменьшены в неодинаковое количество раз, поэтому по ним можно узнать очертания объектов, но не их величину.
Как обозначается масштаб?
Масштаб плана или карты всегда один, но указываться он может тремя разными способами. Способы обозначения масштаба следующие:
- численные;
- именованные;
- графические (линейные и поперечные).
Численный масштаб имеет вид дроби, например 1:1000, числитель которой показывает единицу измерения на карте, а знаменатель – во сколько раз она уменьшена по сравнению с действительным расстоянием, второе число называется величиной масштаба.
Масштаб 1:1000 нужно читать так «один к тысячи», а обозначает он, что 1см на плане соответствует 1000 см на местности. То есть этот масштаб показывает, что действительное расстояние уменьшено в 1000 раз. Числитель и знаменатель дроби численного масштаба указываются в одинаковых единицах – в сантиметрах, ведь у дроби всегда так. Чем больше знаменатель дроби, тем меньше сама дробь, а значит, мельче масштаб. Например, масштаб 1 : 100 000 мельче, чем масштаб 1:10 000.
Но, зная математику, мы легко можем перевести сантиметры в метры или километры. Чтобы делать это быстрее, переводя в метры, просто зачёркиваем 2 нуля, так как в 1м – 100 см, а в километры – убираем 5 нулей. Пример: 1:1000 – убираем 2 нуля и получаем 10 метров. Если масштаб один к ста тысячам, например, тогда уже можно перевести знаменатель и в километры – 1:100 000, для этого уберём 5 нулей, потому что в 1 км 100 000 см. Получим, что в 1 см на карте 10 км на местности, а это будет уже другой вид масштаба – именованный.
Именованный масштаб указывается на всех картах, он дополняется словами. В 1 см – 10 м, 10 м – это величина масштаба. Для примера переведём численный масштаб в именованный, пользуясь правилом, обсуждаемым выше:
- 1:25 000 000 – 1см-250 км;
- 1:10 000 000 – 1см-100 км;
- 1:20 000 – 1см-200 м.
При необходимости обратного перевода добавляем те же нули, при переводе километров в сантиметры добавим 5 нулей, метров в сантиметры – 2 нуля. Например:
- 1 см-300 м – это 1:30 000;
- 1см-250 км – это 1:25 000 000.
Для непосредственного определения расстояния по картам и планам служит линейный масштаб. Это график, помещаемый внизу карты в виде линейки (масштабная линейка), в России она разделёна на сантиметры. Справа от нуля у каждого деления линейки подписано истинное расстояние на местности, равное одному, двум или нескольким величинам масштаба. Слева от нуля сантиметр линейки разбивают на меньшие деления, например на миллиметры, для получения более точных результатов.
Как измерять расстояние по карте, плану или глобусу?
Измерять расстояния можно при помощи масштаба или градусной сетки (на плане её нет). Второй способ мы изучим немного позднее. Чтобы узнать расстояние на местности, нужно расстояние между двумя точками на карте или плане измерить при помощи линейки (этот способ подходит для прямых линий, для извилистых пользуются курвиметром или измерением малым раствором циркуля).
Измерения нужно производить очень точно, учитывая миллиметры. Затем полученные данные умножить на величину масштаба. Например, если при измерении мы получили расстояние 1,4 см, а масштаб карты в 1см 10 000 км, нужно умножить 1,4 на 10 000, получится 14 000 км – это и есть расстояние на местности. Нужно знать, что мы узнаём не действительное расстояние, а его проекцию. Линия на карте может иметь разные неточности в связи с углом наклона земной поверхности.
При помощи линейного масштаба измеряют расстояние линейкой или циркулем, переносят это расстояние на масштабную линейку и без дополнительных расчетов получают искомое расстояние.
При этом неизбежны ошибки, которые зависят от масштаба и проекции карты. Чем крупнее масштаб карты, тем точнее измеренные расстояния.
Глобус – объёмная модель Земли. Он показывает шарообразную форму нашей планеты. На нём все объекты изображены в неискажённом виде. В отличие от карты, они сохраняют свою форму, площадь, длину. Направления на глобусе совпадают с направлениями на Земле. У глобуса всюду один и тот же масштаб, который обычно надписывается в южной части Тихого океана. Масштабы школьных глобусов очень мелкие: 1:50 000 000, т. е. в 1 см – 500 км, истинное расстояние на нём уменьшается в 50 миллионов раз.
Для определения расстояний по глобусу надо ниткой или полоской бумаги измерить расстояние между заданными пунктами и, зная масштаб глобуса, вычислить истинное расстояние с помощью пропорции, как по обычной карте.
Масштаб и классификация карт по нему
Чем больший участок Земли нужно изобразить, тем в большее количество раз нужно уменьшить расстояния на карте по сравнению с действительным.
Подробно можно показать небольшую площадь, посёлок, район, город. Тут будет видны уже и форма и размер зданий, расположение лесопарков, небольшие реки и др. Это возможно потому, что расстояния уменьшены несильно, масштаб карты достаточно крупный.
По масштабу карты делят на:
- мелкомасштабные (обзорные) — с масштабом менее 1: 1 000 000;
- среднемасштабные (обзорно-топографические) – в пределах 1: 200 000 до 1: 1 000 000;
- крупномасштабные (топографические) – от 1: 200 000 до 1: 10 000.
Нужно запомнить правило: чем больше величина масштаба, тем мельче масштаб карты, чем крупнее масштаб, тем подробнее карта.
Численный масштаб – определение, точность
4.2
Средняя оценка: 4.
2
Всего получено оценок: 472.
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 472.
Понятие масштаба знакомо всем, кто видел географические карты. В географии и топографии применяют различные виды масштаба. Разберем более подробно понятие численного масштаба.
Определение численного масштаба
Численный масштаб выражается дробью, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе – число, которое показывает во сколько раз уменьшено изображение.
Рис. 1. Численный масштаб.в России приняты следующие стандартные виды численного масштаба: $${1 : 1000000}, {1 : 500000}, {1 : 300000}, {1 : 200000}, {1 : 100000},$$ $${1 : 50000}, {1 : 25000}, {1 : 10000} $$.
Пример
Какой длины будет изображение объекта длиной 600 м, если численный масштаб равен ${1 : 50000} ?$
Знаменатель численного масштаба показывает, что на изображении длина здания будет в 50000 раз меньше его реальной длины.
Реальная длина объекта равна 600 м.
Следовательно, длина объекта на изображении будет равна $${600 \over 50000} = 0,012 м = 1,2 см. $$
Рассмотрим теперь обратную задачу.
Пример
Изображение предмета имеет на карте длину 1,5 см. Численный масштаб равен ${1 : 10000}$. Чему равна реальная длина объекта?
Длина на изображении будет в 10 000 раз меньше его реальной длины. Или, другими словами, реальная длина будет в 10 000 раз больше длины на изображении.
Длина на изображении равна 1,5 см, или 0,015 м.
Следовательно, реальная длина объекта равна $${0,015*10000} = 150 м. $$
Зная размеры исходного объекта и изображения, можно определить численный масштаб.
Пример
Реальная длина объекта равна 500 м, а длина его изображения на карте – 1 см. Найти численный масштаб изображения.
Выражаем длину изображения в метрах: 1 см = 0,01 м.
Определяем отношение размеров: ${500 \over 0,01} = 50000.$
Следовательно, численный масштаб равен ${1 : 50000}.$
Кроме численного, есть еще другие виды масштаба (рис.
2), например, линейный масштаб, который представляет собой график, построенный в виде разделенного на равные части отрезка прямой.
Линейный масштаб позволяет на картах строить и измерять расстояния без вычислений (рис. 2).
Рис. 3. Линейный масштаб.Точность масштаба
Считается, что величина отрезка на карте, которую можно измерить или нанести, составляет 0,01 см.
Исходя из этой величины, вводят понятие точности масштаба.
Число метров, соответствующее длине 0,01 см в масштабе данной карты, называется предельной графической точностью этого масштаба.
Из определения точности масштаба следует, что для ее определения нужно знаменатель численного масштаба разделить на 10 000.
Пример
Масштаб карты равен ${1 \over 2500}$. В знаменателе масштаба стоит число 2500.
Следовательно, точность масштаба для данной карты равна ${2500 \over 10000} = 0,25 м$.
Что мы узнали?
Мы узнали определение численного масштаба и научились использовать это понятие при решении задач.
Узнали, что на практике применяют еще другие виды масштаба, например, линейный. Также мы узнали определение точности масштаба и научились ее вычислять.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
Оценка статьи
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 472.
А какая ваша оценка?
Масштабный коэффициент – формула, значение, примеры
Масштабный коэффициент – это число, на которое можно изменить размер любой геометрической фигуры или формы по отношению к ее первоначальному размеру. Он используется для рисования увеличенной или уменьшенной формы любой заданной фигуры и для нахождения недостающей длины, площади или объема увеличенной или уменьшенной фигуры. Следует отметить, что масштабный коэффициент помогает изменить размер фигуры, а не ее форму.
1. | Что такое масштабный коэффициент? |
| 2. | Формула коэффициента масштабирования |
| 3. | Как найти масштабный коэффициент? |
| 4. | Часто задаваемые вопросы о коэффициенте масштабирования |
Что такое масштабный коэффициент?
Масштабный коэффициент определяется как число или коэффициент преобразования, который используется для изменения размера фигуры без изменения ее формы. Используется для увеличения или уменьшения размера объекта. Масштабный коэффициент можно рассчитать, если известны размеры исходной фигуры и размеры увеличенной (увеличенной или уменьшенной) фигуры. Например, прямоугольник имеет длину 5 единиц и ширину 2 единицы. Теперь, если мы увеличим размер этого прямоугольника с коэффициентом масштабирования 2, стороны станут равными 10 единицам и 4 единицам соответственно. Следовательно, мы можем использовать масштабный коэффициент, чтобы получить размеры измененных фигур.
Обратите внимание на следующий рисунок, на котором показано, как масштабный коэффициент может изменить исходную фигуру на ее большую и меньшую версии. На следующем рисунке размеры исходного прямоугольника равны 3 единицам и 2 единицам. Для создания увеличенной фигуры размеры умножаются на коэффициент масштабирования, равный 3, по формуле: Размеры новой фигуры = Размеры исходной формы × Масштабный коэффициент. Это дает новые измерения как 9 единиц и 6 единиц соответственно. Точно так же, чтобы создать уменьшенную фигуру, мы умножаем исходные размеры на масштабный коэффициент 1/2. Это дает уменьшенные размеры как 1,5 единицы и 1 единицу.
Формула коэффициента масштабирования
Основная формула для нахождения масштабного коэффициента фигуры выражается следующим образом:
Масштабный коэффициент = размеры новой формы ÷ размеры исходной формы.
Эту формулу также можно использовать для расчета размеров новой или исходной фигуры путем простой подстановки значений в формулу.
Как найти масштабный коэффициент?
Масштабный коэффициент можно рассчитать, если заданы новые размеры и исходные размеры. Однако при использовании коэффициента масштабирования необходимо понимать два термина. Когда размер фигуры увеличивается, мы говорим, что она была увеличена на на , а когда она уменьшается, мы говорим, что она уменьшена на на .
Масштабирование
Масштабирование означает, что меньшая фигура увеличивается до большей. В этом случае масштабный коэффициент можно рассчитать по формуле, которая является еще одной версией базовой формулы, приведенной в предыдущем разделе 9.0003 .
Масштабный коэффициент = Большие размеры фигуры ÷ Меньшие размеры фигуры
Масштабный коэффициент для увеличения всегда больше 1. Например, если размер большей фигуры равен 15, а меньшей – 5, давайте поместим это в формулу, которая дает: 15 ÷ 5 = 3. Таким образом, мы можем видеть, что коэффициент масштабирования больше 1.
Уменьшение масштаба
Уменьшение означает, что большее число уменьшается до меньшего . Даже в этом случае коэффициент масштабирования можно рассчитать по формуле, которая является еще одним вариантом основной формулы.
Масштабный коэффициент = Меньшие размеры фигуры ÷ Большие размеры фигуры
Масштабный коэффициент для уменьшения всегда меньше 1. Например, если размер меньшей фигуры равен 8, а большей – 24, пусть мы помещаем это в формулу, которая делает это: 8 ÷ 24 = 1/3. Таким образом, мы видим, что масштабный коэффициент меньше 1.
Обратите внимание на следующие треугольники, которые объясняют концепцию увеличенной и уменьшенной фигуры.
Важные примечания
При изучении масштабного коэффициента следует помнить следующее:
- Масштабный коэффициент увеличенной фигуры обозначается буквами «r» или «k».
- Если коэффициент масштабирования больше 1 (k > 1), изображение увеличивается.
- Если коэффициент масштабирования меньше 1 (0< k <1), изображение сжимается.
- Если коэффициент масштабирования равен 1 (k = 1), изображение остается прежним.
- Масштабный коэффициент не может быть равен нулю.
☛ Похожие статьи
- Геометрия расширения
- Рабочие листы по коэффициенту масштабирования 7-й класс
- Горизонтальное масштабирование
- Вертикальное масштабирование
Примеры коэффициентов масштабирования
Пример 1. Запишите правильные формулы коэффициента масштабирования для следующих ситуаций.
а) Если изображение должно быть увеличено.
б) Если изображение должно быть уменьшено.Решение:
а) Если изображение необходимо увеличить, масштабный коэффициент больше 1 (k > 1). Это означает, что изображение увеличено.
Формула масштабного коэффициента = Большие размеры фигуры ÷ Меньшие размеры фигурыb) Если изображение необходимо уменьшить, коэффициент масштабирования меньше 1 (0
Это означает, что изображение уменьшено.
Формула масштабного коэффициента = Меньшие размеры фигуры ÷ Большие размеры фигурыПример 2. Есть два подобных многоугольника, как показано ниже. Найдите масштабный коэффициент, используемый для создания меньшего многоугольника.
Решение: Дана размерность большего многоугольника 40 единиц. Заданная размерность меньшего многоугольника составляет 20 единиц. Здесь цифра уменьшена.
Масштабный коэффициент = Меньшие размеры фигуры ÷ Большие размеры фигуры = 20/40 = 1/2.
Следовательно, масштабный коэффициент, используемый для создания меньшего полигона, равен 1/2.Пример 3. Треугольник был увеличен с коэффициентом масштабирования 2, что привело к новым размерам: 6 единиц на 10 единиц на 12 единиц. Найдите размеры исходного треугольника.
Решение:
Новые размеры треугольника: 6 единиц; 10 единиц; и 12 единиц; Масштабный коэффициент = 2
Масштабный коэффициент = размеры новой формы ÷ размеры исходной формы.
Подставляя значения в формулу для всех трех измерений:а.) 2 = 6 ÷ Размеры исходной формы
Размеры исходной формы = 6 ÷ 2 = 3 единицы
б.) 2 = 10 ÷ Размеры исходной формы
Размеры исходной формы = 10 ÷ 2 = 5 единиц
c.) 2 = 12 ÷ Размеры исходной формы
Размеры исходной формы = 12 ÷ 2 = 6 единиц
Следовательно, первоначальные размеры треугольника были = 3 единицы, 5 единиц и 6 единиц
Подставляя значения в формулу для всех трех измерений:перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду
Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок
Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по коэффициенту масштабирования
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о коэффициенте масштабирования
Что такое масштабный коэффициент?
Масштабный коэффициент — это число, которое используется для рисования увеличенной или уменьшенной формы любой заданной фигуры.
Это число, на которое можно изменить размер любой геометрической фигуры или формы по отношению к ее первоначальному размеру. Это помогает изменить размер фигуры, но не ее форму.
Что произойдет, если коэффициент масштабирования больше 1?
Если коэффициент масштабирования больше 1 (k > 1), это означает, что данное число необходимо увеличить.
Что означает масштабный коэффициент 0,5?
Масштабный коэффициент 0,5 означает, что измененное изображение будет уменьшено. Например, у исходной фигуры квадрата одна из сторон равна 6 единицам. Теперь давайте воспользуемся масштабным коэффициентом 0,5, чтобы изменить его размер. Мы будем использовать формулу: Размеры новой формы = Размеры исходной формы × Масштабный коэффициент. Подставляя значения в формулу: размеры нового квадрата будут = 6 × 0,5 = 3 единицы. Это показывает, что масштабный коэффициент 0,5 изменил цифру на меньшую.
Как найти масштабный коэффициент?
Масштабный коэффициент можно рассчитать, если заданы новые размеры и исходные размеры.
Основная формула для нахождения масштабного коэффициента фигуры: Масштабный коэффициент = размер новой формы ÷ размер исходной формы. Например, если длина стороны квадрата равна 6 единицам, и если размер квадрата был увеличен так, что длина стороны квадрата стала равной 18 единицам, давайте найдем коэффициент масштабирования. Мы будем использовать формулу Масштабный коэффициент = размер новой формы ÷ размер исходной формы. После подстановки данных значений мы получаем Масштабный коэффициент = 18 ÷ 6 = 3. Следовательно, масштабный коэффициент, используемый для увеличения размера квадрата, равен 3,9.0005
Что произойдет, если коэффициент масштабирования меньше 1?
Если коэффициент масштабирования меньше 1 (0< k <1), то новое формируемое изображение будет сжато или уменьшено. Другими словами, новая фигура будет иметь меньшие размеры по сравнению с исходной фигурой после того, как она будет изменена с использованием масштабного коэффициента, который меньше 1.
Где мы используем масштабный коэффициент?
Масштабный коэффициент — это число, на которое можно изменить размер любой геометрической фигуры или фигуры по сравнению с ее первоначальным размером.
Когда объекты слишком велики, мы используем масштабные коэффициенты для расчета меньших пропорциональных измерений. Он используется для сравнения двух похожих геометрических фигур, а также в других областях, таких как приготовление пищи, где количество ингредиентов может быть уменьшено или увеличено в зависимости от конкретной ситуации. Масштабный коэффициент также можно использовать для поиска недостающих размеров на подобных фигурах.
Какова формула масштабного коэффициента?
Основная формула, используемая для расчета масштабного коэффициента, следующая: Масштабный коэффициент = размер новой формы ÷ размер исходной формы . В случае, если исходная фигура увеличена, формула записывается так: Масштабный коэффициент = Большие размеры фигуры ÷ Меньшие размеры фигуры. Когда исходная фигура уменьшена, формула выражается следующим образом: Масштабный коэффициент = Меньшие размеры фигуры ÷ Большие размеры фигуры.
Что означает отрицательный коэффициент масштабирования?
Отрицательный масштабный коэффициент заставляет расширение поворачиваться на 180° и создает изображение по другую сторону от центра увеличения.
Какой коэффициент масштабирования делает фигуру меньше?
Масштабный коэффициент меньше 1 уменьшает исходную цифру. Например, давайте используем масштабный коэффициент 1/3, чтобы изменить размер фигуры с заданным размером 36. Мы поместим данные значения в формулу: Масштабный коэффициент = размер новой формы ÷ размер оригинала форма. Подставляя значения, мы получаем, 1/3 = Размер новой фигуры ÷ 36. После решения, размер новой фигуры = 12. Поскольку 12 меньше, чем 36, это означает, что исходная фигура была уменьшена в размере. . Таким образом, можно видеть, что масштабный коэффициент меньше 1 делает фигуру меньше.
Чем масштаб отличается от коэффициента масштабирования?
- Масштаб — это коэффициент, который используется для определения соотношения фактической фигуры или объекта с его моделью. Он обычно используется на картах для представления реальных цифр в более мелких единицах. Например, масштаб 1:3 означает, что 1 на карте соответствует размеру 3 в реальном мире.
- Масштабный коэффициент — это коэффициент преобразования — число, которое используется для увеличения или уменьшения размера фигуры. Например, если круг нужно увеличить в размере, используя масштабный коэффициент 4, а длина окружности равна 7 единицам. Какова будет длина окружности нового увеличенного круга? Мы будем использовать формулу Масштабный коэффициент = размер новой формы ÷ размер исходной формы. Это можно записать как Размер новой формы = Масштабный коэффициент × Размер исходной формы. После подстановки данных значений мы получим Размер новой формы = 7. Решив это, мы получим Размер новой формы = 28 единиц.
Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы
Рабочий лист по геометрии
Как рассчитать масштаб моделей
Dave Block/iStock/Getty Images
Автор: C. Taylor Обновлено 12 апреля 2017 г. к своему реальному предмету и принимает форму соотношения 1:[число]. Первое число коэффициента всегда равно «1». Второе число объясняет, во сколько раз больше реальный объект по сравнению с моделью.
Например, соотношение масштаба 1:12 означает, что каждый дюйм масштаба соответствует 12 дюймам или 1 футу объекта.
Измерьте длину модели в дюймах. Например, у вас может быть двигатель поезда длиной 8 дюймов.
Ссылка или измерение длины реального объекта. Это измерение, скорее всего, будет в футах, поэтому умножьте футы на 12, чтобы преобразовать их в дюймы, чтобы использовать те же единицы измерения. Например, представленный паровоз может иметь длину 19,3 фута; умножьте эту цифру на 12, чтобы преобразовать ее в 232 дюйма.
Разделите длину объекта на длину модели, чтобы вычислить коэффициент масштабирования. В примере разделите 232 на 8, чтобы вычислить масштабный коэффициент 29.. Если у вас есть остаток, округлите число до ближайшего целого числа.
Напишите «1:» перед коэффициентом масштабирования, чтобы представить его в виде отношения. В примере масштаб модели составляет 1:29, что означает, что каждый дюйм модели представляет собой 29 дюймов объекта.
Наконечник
Используйте шкалу для экстраполяции других размеров.
В примере, если ширина модели составляет 2,5 дюйма, умножьте 2,5 на 29, чтобы оценить реальную ширину объекта в 72,5 дюйма или 6 футов.
Масштаб иногда выражается в виде дроби, например 1/29th, или как «дюйм к футу», что описывает количество дюймов модели на фут субъекта (см. ссылку 2). Разделите 12 на масштабный коэффициент, чтобы определить это соотношение. В этом примере 12, деленное на 29, дает 0,41, что примерно равно 13/32 дюйма на фут.
Некоторые распространенные масштабы: 1:3000 для звездолетов, 1:2400 для военно-морских миниатюр, 1:285 или 1:300 для военных моделей, 1:48 для пластиковых самолетов, 1:35 для комплектов брони и 1:29 для поездов. . Однако вы найдете различные шкалы для каждой категории со значительным перекрытием между категориями.
Ссылки
- Миниатюрная страница: Все о весах
Ресурсы
- Сеть CSG: Модель железной дороги Калькулятор масштаба в натуральную величину
Советы
0 901 Используйте другие размеры, чтобы экстраполировать масштаб.
В примере, если ширина модели составляет 2,5 дюйма, умножьте 2,5 на 29, чтобы оценить реальную ширину объекта в 72,5 дюйма или 6 футов.Биография писателя
К. Тейлор начала профессиональную писательскую карьеру в 2009 году и часто пишет о технологиях, науке, бизнесе, финансах, боевых искусствах и природе. Он пишет как для онлайн-изданий, так и для офлайн-изданий, включая Journal of Asian Martial Arts, Samsung, Radio Shack, Motley Fool, Chron, Synonym и другие.