Как научиться строить сечения: Учимся строить сечения многогранников. Часть 2.

Содержание

Учимся строить сечения многогранников. Часть 2.

Эта статья для тех, кто хочет научиться строить сечения. Она содержит 11 заданий для построения сечений, подсказки и ответы к каждому заданию. Рекомендую сначала прочитать эту статью и посмотреть это видео.

Вспомним, что сечение многогранника плоскостью представляет собой плоский многоугольник, вершины которого принадлежат сторонам, а ребра – граням многогранника. Две соседние вершины принадлежат одной грани многогранника.

Чтобы найти точку, лежащую одновременно в двух плоскостях, нужно найти точку пересечения прямой, лежащей в первой плоскости, с прямой, лежащей во второй плоскости.

В подсказках и ответах изображение дополнительных прямых, используемых при построении сечения, сплошными линиями или пунктирными, не зависит от того, видимы эти прямые или нет.

Рядом с каждой дополнительной прямой указан ее порядковый номер при построении сечения. Все прямые проведены через две точки, принадлежащие определенной плоскости. Прямые пронумерованы в порядке их построения. Рекомендуется при использовании подсказки и воспроизведении построения сечения проговаривать, какой плоскости принадлежит данная прямая, каким плоскостям принадлежит точка их пересечения.

Постройте сечения, проходящие через точки .

Задание 1:

Подсказка. показать

Ответ. показать

Задание 2:

Подсказка: показать

Ответ: показать

Задание 3:

Подсказка: показать

Ответ: показать

Задание 4:

Подсказка: показать

Ответ: показать

Задание 5:

Подсказка: показать

Ответ: показать

Задание 6:

Подсказка: показать

Ответ: показать

Задание 7:

Подсказка: показать

Ответ: показать

Задание 8:

Подсказка: показать

Ответ: показать

Задание 9:

Подсказка: показать

Ответ: показать

Задание 10:

Подсказка: показать

Ответ: показать

Задание 11:

Подсказка: показать

Ответ: показать

И. В. Фельдман, репетитор по математике.

Как научиться строить сечения. Построения сечений многогранников

А вы знаете, что называется сечением многогранников плоскостью? Если вы пока сомневаетесь в правильности своего ответа на этот вопрос, то можете довольно просто себя проверить. Предлагаем пройти небольшой тест, представленный ниже.

Вопрос. Назовите номер рисунка, на котором изображено сечение параллелепипеда плоскостью?

Итак, правильный ответ – на рисунке 3.

Если вы ответите правильно, это подтверждает то, что вы понимаете, с чем имеете дело. Но, к сожалению, даже правильный ответ на вопрос-тест не гарантирует вам наивысших отметок на уроках по теме «Сечения многогранников». Ведь самым сложным является не распознавание сечений на готовых чертежах, хотя это тоже очень важно, а их построении.

Для начала сформулируем определение сечения многогранника. Итак, сечением многогранника называют многоугольник, вершины которого лежат на ребрах многогранника, а стороны – на его гранях.

Теперь потренируемся быстро и безошибочно строить точки пересечения данной прямой с заданной плоскостью. Для этого решим следующую задачу.

Построить точки пересечения прямой MN с плоскостями нижнего и верхнего оснований треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 , при условии, что точка M принадлежит боковому ребру CC 1 , а точка N – ребру BB 1 .

Начнем с того, что продлим на чертеже прямую MN в обе стороны (рис. 1). Затем, чтобы получить необходимые по уловию задачи точки пересечения, продлеваем и прямые, лежащие в верхнем и нижнем основаниях. И вот наступает самый сложный момент в решении задачи: какие именно прямые в обоих основаниях необходимо продлить, так как в каждом из них имеется по три прямые.

Чтобы правильно сделать заключительный шаг построения, необходимо определить, какие из прямых оснований находятся в той же плоскости, что и интересующая нас прямая MN. В нашем случае – это прямая CB в нижнем и C 1 B 1 в верхнем основаниях. И именно их и продлеваем до пересечения с прямой NM (рис. 2).

Полученные точки P и P 1 и есть точки пересечения прямой MN с плоскостями верхнего и нижнего оснований треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 .

После разбора представленной задачи можно перейти непосредственно к построению сечений многогранников. Ключевым моментом здесь будут рассуждения, которые и помогут прийти к нужному результату. В итоге постараемся в итоге составить шаблон, который будет отражать последовательность действий при решении задач данного типа.

Итак, рассмотрим следующую задачу. Построить сечение треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 плоскостью, проходящей через точки X, Y, Z, принадлежащие ребрам AA 1 , AC и BB 1 соответственно.

Решение: Выполним чертеж и определим, какие пары точек лежат в одной плоскости.

Пары точек X и Y, X и Z можно соединить, т.к. они лежат в одной плоскости.

Построим дополнительную точку, которая будет лежать в той же грани, что и точка Z. Для этого продлим прямые XY и СС 1 , т.к. они лежат в плоскости грани AA 1 C 1 C. Назовем полученную точку P.

Точки P и Z лежат в одной плоскости – в плоскости грани CC 1 B 1 B. Поэтому можем их соединить. Прямая PZ пересекает ребро CB в некоторой точке, назовем ее T. Точки Y и T лежат в нижней плоскости призмы, соединяем их. Таким образом, образовался четырехугольник YXZT, а это и есть искомое сечение.

Подведем итог. Чтобы построить сечение многогранника плоскостью, необходимо:

1) провести прямые через пары точек, лежащих в одной плоскости.

2) найти прямые, по которым пересекаются плоскости сечения и грани многогранника. Для этого нужно найти точки пересечения прямой, принадлежащей плоскости сечения, с прямой, лежащей в одной из граней.

Процесс построения сечений многогранников сложен тем, что в каждом конкретном случае он различен. И никакая теория не описывает его от начала и до конца. На самом деле есть только один верный способ научиться быстро и безошибочно строить сечения любых многогранников – это постоянная практика. Чем больше сечений вы построите, тем легче в дальнейшем вам будет это делать.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

В этом методе мы первым действием (после нахождения вторичных проекций данных точек) строим след секущей плоскости на плоскости верхнего или нижнего основания призмы или усечённой пирамиды или на основании пирамиды

Зад

2. Дано изображение треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 и трёх точек M , N , P , которые лежат соответственно на ребре СС 1 и гранях ABB 1 A 1 , BCC 1 B 1 . Построить сечение призмы плоскостью , проходящей через M , N , P .

Решение. Мы уже имеем одну точку на верхнем основании призмы, поэтому и след мы будем строить на верхнем основании. Строим вторичные проекции точек N и P на верхнее основание.Затем: 1 .N P N 3 P 3 =X ; 2 .M X =p –след; 3 .p B 1 C 1 =D .

Дальнейшие действия уже были показаны выше на чертеже.

Зад 3. Реш. Мы будем строить след секущей плоскости на нижнем основании призмы.

Строим:1. M

N E D =X , M P EP 3 =Y ;

2. p =XY – след;3. p B C =G , p D C =H .

Нам нужно найти точку на ребре BB 1 или на ребре AA 1 .

ВграниABB 1 A 1 мы уже имеем одну точку P . Поэтому нижнее ребро этой грани, т.е. AB , мы продолжаем до пересечения со следом.

4. A B p =Z .

5. P Z AA 1 =F ; P Z BB 1 =K .Дальнейшие действия уже показаны выше.

Если окажется, что линия AB не пересекается со следом, то искомая FK тоже будет параллельна следу. Зад 4. Реш. 1. P N P o N o =X ;

2. M N CN o =Y ;3. p =XY – след;

3. C B p

=Z ;4. Z M S B =E ;

5. E N S A =G 6. GEMF – иск сечение.

17. Построение сечения цилиндра.

Если секущая плоскость задана тремя точками, то мы всегда можем найти её след на плоскости основания цилиндра или конуса и точку (P , O ) на его оси. Поэтому считаем, что секущая плоскость задана именно этими элементами.

Сначала рас-им случай, когда плоскость пересекает только боковую поверхность цилиндра. Тогда сечением цилиндра будет эллипс (;¯ и его изображение – тоже эллипс. Мы знаем способ построения эллипса, если известны два его сопряжённых диаметра. Мы сейчас покажем, как можно найти изображение главных диаметров эллипса (;¯.

Пусть  и  1 – эллипсы, изображающие нижнее и верхнее основания цилиндра, O и O 1 – их центры. Проведём диаметр A 3 B 3 нижнего основания, параллельный следу и сопряжённый ему диаметр C 3 D 3 . Для построения

C 3 D 3 мы используем хорду K 3 L 3 , один конец которой принадлежит контурной образующей. Напомним, что A 3 B 3 и C 3 D 3 изображают перпендикулярные диаметры. Продолжим C 3 D 3 до пересечения со следом. Получим точ X . Прям.PX наз-ём осью сечения.

Поднимем точки C 3 и D 3 до оси сечения. Получим C и D . Отрезок CD является изображением большогодиаметра сечения. Поднимем отрезок A 3 B 3 на высоту OP . Получим отрезок AB , который является изображением малого диаметра сечения. Отр-и AB и CD –сопряж-ые диам. эллипса .

Найти ещё точки, в которых эллипс переходит с видимой стороны цилиндра на невидимую, а значит, сплошная линия переходит в пунктир. Это точки пересечения секущей плоскости с контурными образующими. ПустьY 3 =K

3 L 3 C 3 D 3 . Поднимем Y 3 до оси сечения. Получим точку Y . Поднимем хорду K 3 L 3 на высоту YY 3 . Получим отрезок KL . Мы нашли требуемую точку K , а попутно, ещё одну дополнительную точку L . Точка M , изобр-щая пересечение секущей плоск-и со второй контурной образующей симметрична точкеK относительно точкиP .Допол-но построим точN , симметричнуюL относ-нточки P

Покажем способ, как можно найти любое кол-во точек на сечении без испол-ия этих диаметров.

выбираем люб. точкуV 3 на эллипсе . Проводим диаметрV 3 T 3 и продолжаем его до пересечения со следом.Получим точкуU . Поднимаем точки V 3 и T 3 до прямой UP . Получаем две точки V и T на сечении. Выбирая вместо V 3 другую точку, получим др. 2 точки на сеч.Если выбрать точку K 3 , лежащую на контурно образующей, мы найдём точки K и M , в которых сплошная линия на сечении должна перейти в пунктирную.

Само же задание обычно звучит так: “построить натуральный вид фигуры сечения” . Конечно же, мы решили не оставлять этот вопрос в стороне и постараться по возможности объяснить, как происходит построение наклонного сечения.

Для того, чтобы объяснить, как строится наклонное сечение, я приведу несколько примеров. Начну конечно же с элементарного, постепенно наращивая сложность примеров. Надеюсь, что проанализировав эти примеры чертежей сечений, вы разберетесь в том, как это делается, и сможете сами выполнить свое учебное задание.

Рассмотрим “кирпичика” с размерами 40х60х80 мм произвольной наклонной плоскостью. Секущая плоскость разрезает его по точкам 1-2-3-4. Думаю, тут все понятно.

Перейдем к построению натурального вида фигуры сечения.
1. Первым делом проведем ось сечения. Ось следует чертить параллельно плоскости сечения – параллельно линии, в которую проецируется плоскость на главном виде – обычно именно на главном виде задают задание на построение наклонного сечения (Далее я всегда буду упоминать про главный вид, имея в виду что так бывает почти всегда в учебных чертежах).
2. На оси откладываем длину сечения. На моем чертеже она обозначена как L. Размер L определяется на главном виде и равен расстоянию от точки вхождения сечения в деталь до точки выхода из нее.
3. Из получившихся двух точек на оси перпендикулярно ей откладываем ширины сечения в этих точках. Ширину сечения в точке вхождения в деталь и в точке выхода из детали можно определить на виде сверху. В данном случае оба отрезка 1-4 и 2-3 равны 60 мм. Как видно из рисунка выше, края сечения прямые, поэтому просто соединяем два наших получившихся отрезка, получив прямоугольник 1-2-3-4. Это и есть – натуральный вид фигуры сечения нашего кирпичика наклонной плоскостью.

Теперь давайте усложним нашу деталь. Поставим кирпичик на основание 120х80х20 мм и дополним фигуру ребрами жесткости. Проведем секущую плоскость так, чтобы она проходила через все четыре элемента фигуры (через основание, кирпичик и два ребра жесткости). На рисунке ниже вы можете увидеть три вида и реалистичое изображение этой детали

Попробуем построить натуральный вид этого наклонного сечения. Начнем опять с оси сечения: проведем ее параллельно плоскости сечения обозначенного на главном виде. На ней отложим длину сечения равную А-Е. Точка А является точкой входа сечения в деталь, а в частном случае – точкой входа сечения в основание. Точкой выхода из основания является точка В. Отметим точку В на оси сечения. Аналогичным образом отметим и точки входа-выхода в ребро, в “кирпичик” и во второе ребро. Из точек А и В перпендикулярно оси отложим отрезки равные ширине основания (в каждую сторону от оси по 40, всего 80мм). Соединим крайние точки – получим прямоугольник, являющийся натуральным видом сечения основания детали.

Теперь настал черед построить кусочек сечения, являющийся сечением ребра детали. Из точек В и С отложим перпендикуляры по 5 мм в каждую сторону – получатся отрезки по 10 мм. Соединим крайние точки и получим сечение ребра.

Из точек С и D откладывем перпендикулярные отрезки равные ширине “кирпичика” – полностью аналогично первому примеру этого урока.

Отложив перпендикуляры из точек D и Е равные ширине второго ребра и соединив крайние точки получим натуральный вид его сечения.

Остается стереть перемычки между отдельными элементами получившегося сечения и нанести штриховку. Должно получиться что-то вроде этого:

Если же по заданному сечению произвести разделение фигуры, то мы увидим следующий вид:

Я надеюсь, что вас не запугали нудные абзацы описания алгоритма. Если вы прочли все вышенаписанное и еще не до конца поняли, как начертить наклонное сечение , я очень советую вам взять в руки лист бумаги и карандаш и попытаться повторить все шаги за мной – это почти 100% поможет вам усвоить материал.

Когда-то я пообещал продолжение данной статьи. Наконец-то я готов представить вам пошагового построения наклонного сечения детали, более приближенной к уровню домашних заданий. Более того, наклонное сечение задано на третьем виде (наклонное сечение задано на виде слева)

или запишите наш телефон и расскажите о нас своим друзьям – кто-то наверняка ищет способ выполнить чертежи

или создайте у себя на страничке или в блоге заметку про наши уроки – и кто-то еще сможет освоить черчение.

Да всё хорошо, только хотелось бы увидеть как делаеться тоже самое на более сложной детали, с фасками и конусовидным отверстием например.

Спасибо. А разве на разрезах ребра жесткости не штрихуются?
Именно. Именно они и не штрихуются. Потому что таковы общие правила выполнения разрезов. Однако их обычно штрихуют при выполнении разрезов в аксонометрических проекциях – изометрии, диметрии и т.д. При выполнении наклонных сечений, область относящаяся к ребру жесткости так же заштриховывается.

Спасибо,очень доступно.Скажите,а наклонное сечение можно выполнить на виде с верху,или на виде слева?Если да,то хотелось бы увидеть простейший пример.Пожалуйста.

Выполнить такие сечения можно. Но к сожалению у меня сейчас нет под рукой примера. И есть еще один интересный момент: с одной стороны, там ничего нового, а с другой стороны на практике такие сечения чертить реально сложнее. Почему-то в голове все начинает путаться и у большинства студентов возникают сложности. Но вы не сдавайтесь!

Да всё хорошо, только хотелось бы увидеть как делаеться тоже самое, но с отверстиями (сквозными и несквозными), а то в элипс они в голове так и не превращаются

помогите мне по комплексной задаче

Жаль, что вы именно тут написали. Написали бы в почту – может мы смогли бы успеть все обсудить.

Хорошо объясняете. Как быть если одна из сторон детали полукруглая? А также в детали есть отверстия.

Илья, используйте урок из раздела по начертательной геометрии “Сечение цилиндра наклонной плоскостью”. С его помощью сможете разобраться, что делать с отверстиями (они же по сути тоже цилиндры) и с полукруглой стороной.

благодарю автора за статью!кратко и доступно пониманию.лет 20 назад сам грыз гранит науки,теперь сыну помогаю. многое забыл,но Ваша статья вернула фундаментальное понимание темы.Пойду с наклонным сечением цилиндра разбираться)

Добавьте свой комментарий.

Цели урока: рассмотреть решение задач на построение сечений, если две точки сечения принадлежат одной грани.

Ход урока

Изучение новых понятий
Определение 1. Секущая плоскость многогранника – любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.
Определение 2. Сечение многогранника – это многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.
Задание. Назовите отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани параллелепипеда (рис. 1). Назовите сечение параллелепипеда.

Основные действия при построении сечений

	Теоретическая основа	Ответ
1. Как проверить: построено сечение или нет	Определение сечения	Это должен быть многоугольник, стороны которого принадлежат граням многогранника
2. До начала работы определить: можно ли по данным задачи построить сечение	Способы задания плоскости	Можно, если данные элементы задают однозначно плоскость, то есть даны три точки, не лежащие на одной прямой, точка и прямая и т.д.
3. В плоскости какой-то грани есть две точки секущей плоскости	Если две точки принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости	Через эти точки провести прямую
4. В одной из параллельных граней есть сторона сечения, а в другой – точка сечения	Свойство параллельных плоскостей	Через эту точку провести прямую, параллельную данной
5. В одной грани есть точка сечения и известно, что секущая плоскость проходит через прямую, параллельную этой грани	Признак параллельности прямой и плоскости. Свойство параллельных плоскостей	Построить прямую пересечения плоскостей, параллельную данной прямой
6. Две точки сечения принадлежат одной грани, а третья точка лежит в смежной	Аксиомы стереометрии	Секущая плоскость пересекает грани по отрезкам OC и AB, которые называются следом секущей плоскости на гранях

Решение задач

Задача 1. Какой из четырехугольников, EFKM или EFKL, может быть сечением данного многогранника (рис. 2)? Почему?

Задача 2. Ученик изобразил сечение тетраэдра (рис. 3). Возможно ли такое сечение?

Решение . Нужно доказать, что N, M и H, L лежат в одной плоскости. Пусть точки N и M принадлежат задней грани, H и L – нижней грани, то есть точка пересечения NM и HL должна лежать на прямой, принадлежащей обеим граням, то есть AC. Продлим прямые NM и HL и найдем точку их пересечения. Эта точка не будет принадлежать прямой AC. Значит, точки N, M, L, H не образуют плоский многоугольник. Невозможно.

Задача 3. Построить сечение тетраэдра ABCS плоскостью, проходящей через точки K, L, N, где K и N – середины ребер SA и SB соответственно (рис. 4).

1. В какой грани можно построить стороны сечения?

2. Выбираем одну из точек, на которой оборвалось сечение.
Решение. Способ I. Выбираем точку L.
Определяем грань, в которой лежит выбранная точка и в которой надо построить сечение.

Определяем грань, в которой лежит прямая KN, не проходящая через выбранную точку L.

Находим линию пересечения граней ABC и ASB.

Каково взаимное расположения прямых KN и AB (рис. 5)?
[Параллельны.]

Что нужно построить, если секущая плоскость проходит через прямую, параллельную линии пересечения плоскостей?
[Через точку L провести прямую, параллельную AB. Эта прямая пересекает ребро CB в точке P.]
Соединяем точки, принадлежащие одной грани. KLPN – искомое сечение.
Способ II . Выбираем точку N (рис. 6).

Определяем грани, в которых лежат точка N и прямая KL.

Линией пересечения этих плоскостей будет прямая SC. Находим точку пересечения прямых KL и SC. Обозначим ее Y.
Соединяем точки N и Y. Прямая NY пересекает ребро CB в точке P.
Соединяем точки, принадлежащие одной грани.
KLNP – искомое сечение.
Объясните данное решение.
Один учащийся работает у доски, остальные в тетрадях.

Задача 4 . Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки M, P и H, H ` (A1B1C1) (рис. 7).

Решение. 1. Соедините точки, принадлежащие одной грани.
2. Какую прямую и точку выбираем для построения сечения?
3. Что определяем дальше?
4. Каково взаимное расположение выбранной прямой и линии пересечения граней (рис. 8)?

5. Как построить след секущей плоскости на грани B1C1D1A1, проходящий через точку H?
6. Соедините точки, принадлежащие одной грани.
7. Какую прямую и точку нужно выбрать для построения следа секущей плоскости на грани AA1D1D?
8. Каково взаимное расположение граней BB1C1C и AA1D1D?
9. Каким свойством необходимо воспользоваться для построения следа секущей плоскости на грани AA1D1D?
10. Назовите искомое сечение.

Задача 5. Построить сечение пирамиды SABCD, проходящее через точки M, P и H,
H` (ABC) (рис. 9).

Ответ: см. рисунок 10.

Задание на дом

Задача . Как изменятся построения, если точ-
ка H изменит свое положение? Построить сечения, используя разные варианты (рис. 11).

В ходе урока все желающие смогут получить представление о теме « Задачи на построение сечений в параллелепипеде». Вначале мы повторим четыре основные опорные свойства параллелепипеда. Затем, используя их, решим некоторые типовые задачи на построение сечений в параллелепипеде и на определение площади сечения параллелепипеда.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Задачи на построение сечений в параллелепипеде

В ходе урока все желающие смогут получить представление о теме «Задачи на построение сечений в параллелепипеде» .

Рассмотрим параллелепипед АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 1). Вспомним его свойства.

Рис. 1. Свойства параллелепипеда

1) Противоположные грани (равные параллелограммы) лежат в параллельных плоскостях.

Например, параллелограммы АВСD и А 1 B 1 C 1 D 1 равны (то есть их можно совместить наложением) и лежат в параллельных плоскостях.

2) Длины параллельных ребер равны.

Например, AD = BC = A 1 D 1 = B 1 C 1 (рис. 2).

Рис. 2. Длины противоположных ребер параллелепипеда равны

3) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Например, диагонали параллелепипеда BD 1 и B 1 D пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам (рис. 3).

4) В сечение параллелепипеда может быть треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.

Задача на сечение параллелепипеда

Например, рассмотрим решение следующей задачи. Дан параллелепипед АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 и точки M, N, K на ребрах AA 1 , A 1 D 1 , A 1 B 1 соответственно (рис. 4). Постройте сечения параллелепипеда плоскостью MNK. Точки M и N одновременно лежат в плоскости AA 1 D 1 и в секущей плоскости. Значит, MN – линия пересечения двух указанных плоскостей. Аналогично получаем MK и KN. То есть, сечением будет треугольник MKN.

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 13, 14, 15 стр. 50

2. Дан параллелепипед АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 . М и N – середины ребер DC и A 1 B 1 .

а) Постройте точки пересечения прямых АМ и AN плоскостью грани ВВ 1 С 1 С.

б) Постройте линию пересечения плоскостей AMN и ВВ 1 С 1

3. Постройте сечения параллелепипеда АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через ВС 1 и середину М ребра DD 1 .

Построение сечений тетраэдра. Решение задач

1. Содержание:

Актуализация;
Изучение нового;
Закрепление;
Разноуровневая проверочная
самостоятельная работа с разбором
решения;
Через любые три
точки, не
лежащие на
одной прямой,
проходит одна и
только одна
плоскость.
2
Если две точки
прямой лежат в
плоскости, то и вся
прямая лежит в
этой плоскости.
3
Если две
плоскости имеют
общую точку, то
они пересекаются
по прямой,
проходящей через
эту точку.
4
D
K
N
M
А
C
B

6. Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K

D
K
А
C
N
B
M

7. Решение задач на построение сечений тетраэдра

8. Цель: научиться строить сечения тетраэдра

9. Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K

D
K
F
А
C
N
B
M

10. Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K

D
K
L
F
А
C
N
B
M

11. Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K

D
K
L
F
А
C
N
B
M

12. Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

D
M
А
K
N
B
C
Найдите
периметр
сечения, если
M, N, K –
середины
ребер и
каждое ребро
тетраэдра
равно а.

13. Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

D
N
K
C
А
B
M

14. Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

D
N
K
Р
C
А
Е
B
M

15. Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

D
N
K
А
M
B
C

16. Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

D
N
K
А
M
Е
Р
B
C

17. Самостоятельная работа

Задание 1
Задание 2
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Задание 1
Задание 1
Задание 2
Задание 2

18. Вариант 1

D
Задача № 1
Постройте сечение
тетраэдра
плоскостью,
проходящей через
точки А, В и С;
С Є MND.
С
B
M
А
N
K

19. Вариант 1 ответ

D
Задача № 1
Постройте сечение
тетраэдра
плоскостью,
проходящей через
точки А, В и С;
С Є MND.
С
B
M
А
N
K

20. Вариант 1

D
Задача № 2
Постройте
сечение
тетраэдра
плоскостью,
проходящей
через точки
А, В, С.
А
С
K
М
N
B

21. Вариант 1 ответ

D
Задача № 2
Постройте
сечение
тетраэдра
плоскостью,
проходящей
через точки
А, В, С.
А
С
K
М
N
B

22. Вариант 2

D
А
Задача № 1
Постройте
сечение
тетраэдра
плоскостью,
проходящей
через точки
А, В и С; В Є NDK.
C
B
K
M
N

23. Вариант 2 ответ

D
А
Задача № 1
Постройте
сечение
тетраэдра
плоскостью,
проходящей
через точки
А, В и С; В Є NDK.
C
B
K
M
N

24. Вариант 2

D
Задача № 2
Постройте
сечение
тетраэдра
плоскостью,
проходящей
через точки
А, В, С.
А
B
M
N
С
K

25. Вариант 2 ответ

Задача № 2
Постройте
сечение
тетраэдра
плоскостью,
проходящей
через точки
А, В, С.
D
А
B
M
N
С
K

26. Вариант 3

D
Задача № 1
Постройте
сечение
тетраэдра
плоскостью,
проходящей
через точки А, В
и С; С Є MDN.
C
А
B
K
M
N

27. Вариант 3 ответ

D
Задача № 1
Постройте
сечение
тетраэдра
плоскостью,
проходящей
через точки А, В
и С; С Є MDN.
C
А
B
K
M
N

28. Вариант 3

D
А
Задача № 2
Постройте
сечение
тетраэдра
плоскостью,
проходящей
через точки
А, В, С.
M
В
С
N
K

29. Вариант 3 ответ

D
А
Задача № 2
Постройте
сечение
тетраэдра
плоскостью,
проходящей
через точки
А, В, С.
M
В
С
N
K

30. Творческое домашнее задание

Составить 2-3 задачи на построение сечений
многогранников.
Выполнить решения в форме презентации
или в WORDE.
Критерии оценки:
Сложность
Правильность решения
Дизайн

31. Подведение итогов работы на уроке

Критерии самооценки:
Устная работа 1-2 балла
Решение задач 3-4балла
Сам. работа 3; 6 баллов
«5» – 15 баллов +
«4» – 10-14 баллов
В чём я вижу результат своей работы?
Что мне помогло достичь результата?

32. Китайская пословица

Не бойся, что не
знаешь – бойся, что не
учишься.

Конспект урока по теме: Тетраэдр.Построение сечений

Урок по теме «Тетраэдр. Построение сечений». (слайд1)

(10 класс)

Цель:

образовательная

повторить понятие тетраэдра, изученные понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей на примере тетраэдра;
научить изображать тетраэдр
организовать работу обучащихся по выработке умения строить сечения тетраэдра

развивающая

развивать пространственное мышление,
создать условия для развития познавательного интереса к предмету.

воспитательная

воспитывать интерес к математике,
воспитывать самостоятельность;
воспитывать правильное отношение к своему здоровью.

Оборудование:

ПК;
Мультимедийное оборудование;
Классная доска;
Учебники;
Тетради;
Школьные принадлежности;
Модели тетраэдра.

Тип урока: объяснение нового материала.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная, работа в парах

Методы контроля: устный

План урока

I Организационный момент

II .Мотивация. Постановка целей.

III Актуализация. Подготовка к изучению нового материала

IV Изучение нового материала

V Физ.минутка

V Закрепление учебного материала

VI Задание на дом

VII Рефлексия. Подведение итогов урока

Ход урока

Орг.момент.

Приветствие, проверка готовности к уроку.

Мотивация.

(слайд2)

– Что надо знать и уметь для решения данной задачи?

– Какова тема урока?

Постановка целей и задач урока.

Пространственное мышление- мысль, способная охватить Вселенную, включая ту её часть, для которой ещё не создано слов, сродни гениальности. (Аль Квотион) (слайд3)

Перед изучением нового материала учащимся предлагается вспомнить изученный материал о параллельных плоскостях, параллельности прямой и плоскости.

Активизация познавательной деятельности. Подготовка к восприятию нового материала.

Тест: (слайд 4)

Если две плоскости имеют общую точку, то

А) они называются скрещивающимися,

Б) они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку,

В) они параллельны

2. Через прямую и не лежащую на ней точку

А) проходит плоскость и при том только одна

Б) проходит бесконечно много плоскостей

В) нельзя провести плоскость

3. Две прямые называются скрещивающимися, если

А) они лежат в одной плоскости и не пересекаются

Б) они не пересекаются

В) они лежат в одной плоскости и пересекаются

4. Если две точки прямой лежат в плоскости, то

А) прямая пересекает плоскость в некоторой точке

Б) прямая параллельна данной плоскости

В) все точки прямой лежат в данной плоскости

5. Если две прямые параллельны третьей, то

А) все три лежат в одной плоскости

Б) они параллельны

В) они скрещивающиеся

(Слайд 5). сверяем ответы. 1Б, 2А, 3Б, 4В, 5Б. (обосновываем ).

Изучение нового материала.

Одна из глав нашего курса будет посвящена многогранникам – поверхностям геометрических тел, составленным из многоугольников и их сечениям.

На прошлом уроке мы рассмотрели один из них, это тетраэдр. Вы подготовили сообщение о тетраэдре.

Сообщение. (Слайд 6) Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку Д, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку Д отрезками с вершинами треугольника АВС, получим фигуру, которую назовём тетраэдром.

(слайд 7 ) Название этого многогранника пришло из Древней Греции, и в нём указывается число граней:

«тетра» – 4

«эдра» – грань

Тетраэдр является одним из правильных многогранников, которые мы рассмотрим на дальнейших наших уроках.

(слайд 8)

Платоновыми телами являются:

Гексаэдр, Тетраэдр, Октаэдр, Икосаэдр, Додекаэдр.

(слайд 9) Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников, где Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у пламени.

(слайд 10) В жизни мы встречаемся с тетраэдром например в химии

Молекула метана СН4 имеет форму правильного тетраэдра. Этот факт подтверждается фотографиями молекулы метана, полученными при помощи электронного микроскопа.

Чтобы дать определение тетраэдра введём некоторые геометрические понятия.

У меня на столе имеются различные геометрические тела. Выберете среди них тетраэдр, будьте внимательны.

Выбрали все верно хотя у меня на столе была фигура очень похожая на тетраэдр, но имеет она в основании другой многоугольник, это пирамида.

Работа в тетрадях. Сейчас в тетради запишите число, тему «Тетраэдр и его сечения», и сделаем практическую работу.

Одну грань ABC называют основанием, а три другие – боковыми гранями.

Мы рассмотрим с вами построение сечения в тетраэдре

Что же такое сечение? (слайд 11)

Узнаем: какая плоскость называется секущей ?

Плоскость, по обе стороны которой имеются точки тетраэдра , называется секущей.

Узнаем: что называется сечением тетраэдра?

Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением.

Какими многоугольниками могут быть сечения? (слайд 12)

Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть треугольники, четырёхугольники

Чтобы начать строить сечения мы должны с вами вспомнить некоторые геометрические утверждения

Работа у доски ( 1 ученик – на обороте, остальные в тетрадях) работа по чережу

1 В какой грани лежат т.М и N ?

2.Каково взаимное расположение (СD) и (AB) ?

3. Каково взаимное расположение (MN) и (ABC) ?

4.Какие грани пересекаются по (AD)?

5.Пересекаются ли (MК) и (АС) ?

(слайд13)

ПАМЯТКА

Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани.
Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам.
Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

Работа у доски ( 1 ученик – на обороте, остальные в тетрадях)

(слайды 27-33) Практическая работа: Построение сечения.

IV. Физ.минутка

Цель: восстановление работоспособности учащихся, воспитание правильного отношения к своему здоровью.

– А сейчас немного отдохнём.

В осенний период идёт распространение вируса ГРИППА, ОРВИ . Недаром в народе говорят, что инфекция распространяется с геометрической прогрессией. Есть много различных способов профилактики и лечения ОРЗ.

– Какие профилактические мероприятия вы проводите?

(Физ.рук проводит физ.минутку)

Работа с учебниками. СТР. 28 Рис 40 (а)

V. Закрепление учебного материала

Работа в парах

№4. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. ( 2 способа)

Устная работа

ИТОГ УРОКА:

О каком многограннике шла речь сегодня на уроке?
Какие задачи мы научились сегодня решать?
Какие действия должен уметь выполнять ученик для построения сечений многогранников? (находить точки пересечения прямой и плоскости; строить линию пересечения двух плоскостей)

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

1) Стр 24-29

П.12, 14

2) Творческое задание (по желанию): изготовить бумажную модель тетраэдра.

3) № 75

«4-5» Задача из ЕГЭ (С2):

В правильном тетраэдре АBCD с ребром 1,

N – середина AB,

DP : PC = DK : КВ = 1:3.

Найти площадь сечения NKP.

VII Рефлексия. Подведение итогов урока

Цель: подведение итогов урока, развитие у учащихся навыков самоконтроля.

Задача учителя: дать оценку успешности достижения цели и наметить перспективу на будущее.

– Что нового мы узнали на уроке?

Мне хочется вернуться к нашему девизу «Прогрессио – движение вперёд!

Учащимся предлагается поставить на значок + на линии в том месте, которое отражает их отношение к занятию и степень участия в уроке:

1. Я считаю, что занятие было интересным___________________скучным.

2.Я научился многому ______________________малому.

3. Я думаю, что слушал других внимательно__________________невнимательно.

4. Я принимал участие в дискуссии часто________________________редко.

5. Результатами своей работы на уроке я доволен_________________не доволен.

-Как вы думаете, а мы сегодня добились прогресса?

-В чём заключается наш прогресс?

(Оценки за урок)

Всего вам хорошего! Спасибо за урок!

Самоанализ урока.

Урок «Тетраэдр и его сечения» завершает изучение темы «Параллельность прямой и плоскости», которая является первой при изучении темы стереометрии – раздела геометрии. Одной из основных задач геометрии является формирование пространственного представления, и данный урок позволяет выполнить эту задачу.

На уроке спланировано включение учащихся в осознанную деятельность.

Избранные методы: информационные (объяснение с демонстрацией наглядных пособий) и репродуктивные (беседа с элементами самостоятельной работы) и формы организации познавательной деятельности были нацелены на достижение триединой цели урока.

Задачей на уроке было организовать деятельность учащихся таким образом, чтобы подвести их к теме урока, расширить знания о тетраэдре, научить строить сечения.

На первом этапе урока, используя проблемный вопрос, определили темы урока и целей.

На этапе (изучение нового материала) показать возможные сечения тетраэдра, научиться строить разные сечения.

Этап закрепления предполагал возможность учащихся самостоятельно построить различные сечения параллелепипеда.

ИТОГ урока.

В конце урока проведена рефлексия, которая побуждала учащихся к самоанализу и оценке деятельности.

Домашнее задание позволит учащимся поработать с учебником.

Приложения.

№1. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

Построение.

№2. Точка М лежит на грани ACD. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точку M и параллельно АВС

Построение.

№ 3. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K.

Построение.

№ 4. На ребрах AC, AD, DB тетраэдра – DABC. Отмечены точки M,N,P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

1способ. Построение. 2 способ. Построение.

Как строить сечения. Первый урок на построение сечений многогранников

Определение

Сечение – это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.

Замечание

Для построения сечений различных пространственных фигур необходимо помнить основные определения и теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, а также свойства пространственных фигур.\circ\) .

Важные аксиомы

1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Важные теоремы

1. Если прямая $a$ , не лежащая в плоскости $\pi$ , параллельна некоторой прямой $p$ , лежащей в плоскости $\pi$ , то она параллельна данной плоскости.

2. Пусть прямая $p$ параллельна плоскости $\mu$ . Если плоскость $\pi$ проходит через прямую $p$ и пересекает плоскость $\mu$ , то линия пересечения плоскостей $\pi$ и $\mu$ – прямая $m$ – параллельна прямой $p$ .

3. Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

4. Если две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересечены третьей плоскостью $\gamma$ , то линии пересечения плоскостей также параллельны:

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

5. Пусть прямая $l$ лежит в плоскости $\lambda$ . Если прямая $s$ пересекает плоскость $\lambda$ в точке $S$ , не лежащей на прямой $l$ , то прямые $l$ и $s$ скрещиваются.

6. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

7. Теорема о трех перпендикулярах.

Пусть $AH$ – перпендикуляр к плоскости $\beta$ . Пусть $AB, BH$ – наклонная и ее проекция на плоскость $\beta$ . Тогда прямая $x$ в плоскости $\beta$ будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции.

8. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Замечание

Еще один важный факт, часто использующийся для построения сечений:

для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, достаточно найти точку пересечения данной прямой и ее проекции на эту плоскость.

Для этого из двух произвольных точек $A$ и $B$ прямой $a$ проведем перпендикуляры на плоскость $\mu$ – $AA”$ и $BB”$ (точки $A”, B”$ называются проекциями точек $A,B$ на плоскость). Тогда прямая $A”B”$ – проекция прямой $a$ на плоскость $\mu$ . Точка $M=a\cap A”B”$ и есть точка пересечения прямой $a$ и плоскости $\mu$ .

Причем заметим, что все точки $A, B, A”, B”, M$ лежат в одной плоскости.

Пример 1.

Дан куб $ABCDA”B”C”D”$ . $A”P=\dfrac 14AA”, \ KC=\dfrac15 CC”$ . Найдите точку пересечения прямой $PK$ и плоскости $ABC$ .

Решение

1) Т.к. ребра куба $AA”, CC”$ перпендикулярны $(ABC)$ , то точки $A$ и $C$ – проекции точек $P$ и $K$ . Тогда прямая $AC$ – проекция прямой $PK$ на плоскость $ABC$ . Продлим отрезки $PK$ и $AC$ за точки $K$ и $C$ соответственно и получим точку пересечения прямых – точку $E$ .

2) Найдем отношение $AC:EC$ .\circ, \angle E\) – общий), значит, \[\dfrac{PA}{KC}=\dfrac{EA}{EC}\]

Если обозначить ребро куба за $a$ , то $PA=\dfrac34a, \ KC=\dfrac15a, \ AC=a\sqrt2$ . Тогда:

\[\dfrac{\frac34a}{\frac15a}=\dfrac{a\sqrt2+EC}{EC} \Rightarrow EC=\dfrac{4\sqrt2}{11}a \Rightarrow AC:EC=4:11\]

Пример 2.

Дана правильная треугольная пирамида $DABC$ с основанием $ABC$ , высота которой равна стороне основания. Пусть точка $M$ делит боковое ребро пирамиды в отношении $1:4$ , считая от вершины пирамиды, а $N$ – высоту пирамиды в отношении $1:2$ , считая от вершины пирамиды. Найдите точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $ABC$ .

Решение

1) Пусть $DM:MA=1:4, \ DN:NO=1:2$ (см. рисунок). Т.к. пирамида правильная, то высота падает в точку $O$ пересечения медиан основания. Найдем проекцию прямой $MN$ на плоскость $ABC$ . Т.к. $DO\perp (ABC)$ , то и $NO\perp (ABC)$ . Значит, $O$ – точка, принадлежащая этой проекции. Найдем вторую точку. Опустим перпендикуляр $MQ$ из точки $M$ на плоскость $ABC$ . Точка $Q$ будет лежать на медиане $AK$ .
Действительно, т.к. $MQ$ и $NO$ перпендикулярны $(ABC)$ , то они параллельны (значит, лежат в одной плоскости). Следовательно, т.к. точки $M, N, O$ лежат в одной плоскости $ADK$ , то и точка $Q$ будет лежать в этой плоскости. Но еще (по построению) точка $Q$ должна лежать в плоскости $ABC$ , следовательно, она лежит на линии пересечения этих плоскостей, а это – $AK$ .

Значит, прямая $AK$ и есть проекция прямой $MN$ на плоскость $ABC$ . $L$ – точка пересечения этих прямых.

2) Заметим, что для того, чтобы правильно нарисовать чертеж, необходимо найти точное положение точки $L$ (например, на нашем чертеже точка $L$ лежит вне отрезка $OK$ , хотя она могла бы лежать и внутри него; а как правильно?).

Т.к. по условию сторона основания равна высоте пирамиды, то обозначим $AB=DO=a$ .\circ, \ \angle L\) – общий). Значит,

\[\dfrac{MQ}{NO}=\dfrac{QL}{OL} \Rightarrow \dfrac{\frac45 a}{\frac 23a} =\dfrac{\frac{7}{10\sqrt3}a+x}{\frac1{2\sqrt3}a+x} \Rightarrow x=\dfrac a{2\sqrt3} \Rightarrow OL=\dfrac a{\sqrt3}\]

Следовательно, $OL>OK$ , значит, точка $L$ действительно лежит вне отрезка $AK$ .

Замечание

Не стоит пугаться, если при решении подобной задачи у вас получится, что длина отрезка отрицательная. Если бы в условиях предыдущей задачи мы получили, что $x$ – отрицательный, это как раз значило бы, что мы неверно выбрали положение точки $L$ (то есть, что она находится внутри отрезка $AK$ ).

Пример 3

Дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ . Найдите сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ , проходящей через точку $C$ и середину ребра $SA$ и параллельной прямой $BD$ .

Решение

1) Обозначим середину ребра $SA$ за $M$ . Т.к. пирамида правильная, то высота $SH$ пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания. Рассмотрим плоскость $SAC$ . Отрезки $CM$ и $SH$ лежат в этой плоскости, пусть они пересекаются в точке $O$ .

Для того, чтобы плоскость $\alpha$ была параллельна прямой $BD$ , она должна содержать некоторую прямую, параллельную $BD$ . Точка $O$ находится вместе с прямой $BD$ в одной плоскости – в плоскости $BSD$ . Проведем в этой плоскости через точку $O$ прямую $KP\parallel BD$ ($K\in SB, P\in SD$ ). Тогда, соединив точки $C, P, M, K$ , получим сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ .

2) Найдем отношение, в котором делят точки $K$ и $P$ ребра $SB$ и $SD$ . Таким образом мы полностью определим построенное сечение.

Заметим, что так как $KP\parallel BD$ , то по теореме Фалеса $\dfrac{SB}{SK}=\dfrac{SD}{SP}$ . Но $SB=SD$ , значит и $SK=SP$ . Таким образом, можно найти только $SP:PD$ .

Рассмотрим $\triangle ASC$ . $CM, SH$ – медианы в этом треугольнике, следовательно, точкой пересечения делятся в отношении $2:1$ , считая от вершины, то есть $SO:OH=2:1$ .\circ\) , то $\triangle ABD=\triangle CBD$ , следовательно, $AD=CD$ , следовательно, $\triangle DAC$ – тоже равнобедренный и $DK\perp AC$ .

Применим теорему о трех перпендикулярах: $BH$ – перпендикуляр на $DAC$ ; наклонная $BK\perp AC$ , значит и проекция $HK\perp AC$ . Но мы уже определили, что $DK\perp AC$ . Таким образом, точка $H$ лежит на отрезке $DK$ .

Соединив точки $A$ и $H$ , получим отрезок $AN$ , по которому плоскость $\alpha$ пересекается с гранью $DAC$ . Тогда $\triangle ABN$ – искомое сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ .

2) Определим точное положение точки $N$ на ребре $DC$ .

Обозначим $AB=CB=DB=x$ . Тогда $BK$ , как медиана, опущенная из вершины прямого угла в $\triangle ABC$ , равна $\frac12 AC$ , следовательно, $BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x$ .

Рассмотрим $\triangle BKD$ . Найдем отношение $DH:HK$ .

Заметим, что т.к. $BH\perp (DAC)$ , то $BH$ перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, значит, $BH$ – высота в $\triangle DBK$ . Тогда $\triangle DBH\sim \triangle DBK$ , следовательно

\[\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{DB}{DK} \Rightarrow DH=\dfrac{\sqrt6}3x \Rightarrow HK=\dfrac{\sqrt6}6x \Rightarrow DH:HK=2:1\]

Рассмотрим теперь $\triangle ADC$ . Медианы треугольника точной пересечения делятся в отношении $2:1$ , считая от вершины. Значит, $H$ – точка пересечения медиан в $\triangle ADC$ (т.к. $DK$ – медиана). То есть $AN$ – тоже медиана, значит, $DN=NC$ .

Задачи на построение сечений куба плоскостью, как правило, проще чем, например, задачи на сечения пирамиды.

Провести прямую можем через две точки, если они лежат в одной плоскости. При построении сечений куба возможен еще один вариант построения следа секущей плоскости. Поскольку две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым, то, если в одной из граней уже построена прямая, а в другой есть точка, через которую проходит сечение, то можем провести через эту точку прямую, параллельную данной.

Рассмотрим на конкретных примерах, как построить сечения куба плоскостью.

1) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.

Задачи такого вида — самые простые из всех задач на построение сечений куба. Поскольку точки A и C лежат в одной плоскости (ABC), то через них можем провести прямую. Ее след — отрезок AC. Он невидим, поэтому изображаем AC штрихом. Аналогично соединяем точки M и C, лежащие в одной плоскости (CDD1), и точки A и M, которые лежат в одной плоскости (ADD1). Треугольник ACM — искомое сечение.

2) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Здесь только точки M и N лежат в одной плоскости (ADD1), поэтому проводим через них прямую и получаем след MN (невидимый). Поскольку противолежащие грани куба лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость пересекает параллельные плоскости (ADD1) и (BCC1) по параллельным прямым. Одну из параллельных прямых мы уже построили — это MN.

Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS — след секущей плоскости в грани (BCC1).

Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый).

Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след — NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую.

Пятиугольник MNLPS — искомое сечение.

3) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскости (ВСС1), поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN (видимый). Плоскость (BCC1) параллельна плоскости (ADD1),поэтому через точку P, лежащую в (ADD1), проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро AD в точке E. Получили след PE (невидимый).

Больше нет точек, лежащей в одной плоскости, или прямой и точки в параллельных плоскостях. Поэтому надо продолжить одну из уже имеющихся прямых, чтобы получить дополнительную точку.

Если продолжать прямую MN, то, поскольку она лежит в плоскости (BCC1), нужно искать точку пересечения MN с одной из прямых этой плоскости. С CC1 и B1C1 точки пересечения уже есть — это M и N. Остаются прямые BC и BB1. Продолжим BC и MN до пересечения в точке K. Точка K лежит на прямой BC, значит, она принадлежит плоскости (ABC), поэтому через нее и точку E, лежащую в этой плоскости, можем провести прямую. Она пересекает ребро CD в точке H. EH -ее след (невидимый). Поскольку H и N лежат в одной плоскости (CDD1), через них можно провести прямую. Получаем след HN (невидимый).

Плоскости (ABC) и (A1B1C1) параллельны. В одной из них есть прямая EH, в другой — точка M. Можем провести через M прямую, параллельную EH. Получаем след MF (видимый). Проводим прямую через точки M и F.

Шестиугольник MNHEPF — искомое сечение.

Если бы мы продолжили прямую MN до пересечения с другой прямой плоскости (BCC1), с BB1, то получили бы точку G, принадлежащую плоскости (ABB1). А значит, через G и P можно провести прямую, след которой PF. Далее — проводим прямые через точки, лежащие в параллельных плоскостях, и приходим к тому же результату.

Работа с прямой PE дает то же сечение MNHEPF.

4) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку M, N, P.

Здесь можем провести прямую через точки M и N, лежащие в одной плоскости (A1B1C1). Ее след — MN (видимый). Больше нет точек, лежащих в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.

Продолжим прямую MN. Она лежит в плоскости (A1B1C1), поэтому пересечься может только с одной из прямых этой плоскости. С A1D1 и C1D1 точки пересечения уже есть — N и M. Еще две прямые этой плоскости — A1B1 и B1C1. Точка пересечения A1B1 и MN — S. Поскольку она лежит на прямой A1B1, то принадлежит плоскости (ABB1), а значит, через нее и точку P, лежащую в этой же плоскости, можно провести прямую. Прямая PS пересекает ребро AA1 в точке E. PE — ее след (видимый). Через точки N и E, лежащие в одной плоскости (ADD1), можно провести прямую, след которой — NE (невидимый). В плоскости (ADD1) есть прямая NE, в параллельной ей плоскости (BCC1) — точка P. Через точку P можем провести прямую PL, параллельную NE. Она пересекает ребро CC1 в точке L. PL — след этой прямой (видимый). Точки M и L лежат в одной плоскости (CDD1), значит, через них можно провести прямую. Ее след — ML (невидимый). Пятиугольник MLPEN — искомое сечение.

Можно было продолжать прямую NM в обе стороны и искать ее точки пересечения не только с прямой A1B1, но и с прямой B1C1, также лежащей в плоскости (A1B1C1). В этом случае через точку P проводим сразу две прямые: одну — в плоскости (ABB1) через точки P и S, а вторую — в плоскости (BCC1), через точки P и R. После чего остается соединить лежащие в одной плоскости точки: M c L, E — с N.

Вопрос. Назовите номер рисунка, на котором изображено сечение параллелепипеда плоскостью?

Итак, правильный ответ – на рисунке 3.

Решение: Выполним чертеж и определим, какие пары точек лежат в одной плоскости.

Пары точек X и Y, X и Z можно соединить, т.к. они лежат в одной плоскости.

Подведем итог. Чтобы построить сечение многогранника плоскостью, необходимо:

1) провести прямые через пары точек, лежащих в одной плоскости.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Сегодня еще раз разберем, как построить сечение тетраэдра плоскостью .
Рассмотрим самый простой случай (обязательный уровень), когда 2 точки плоскости сечения принадлежат одной грани, а третья точка – другой грани.

Напомним алгоритм построения сечений такого вида (случай: 2 точки принадлежат одной грани).

1. Ищем грань, которая содержит 2 точки плоскости сечения. Проводим прямую через две точки, лежащие в одной грани. Находим точки ее пересечения с ребрами тетраэдра. Часть прямой, оказавшаяся в грани, есть сторона сечения.

2. Если многоугольник можно замкнуть – сечение построено. Если нельзя замкнуть, то находим точку пересечения построенной прямой и плоскости, содержащей третью точку.

1. Видим, что точки E и F лежат в одной грани (BCD), проведем прямую EF в плоскости (BCD).
2. Найдем точку пересечения прямой EF c ребром тетраэдра BD, это точка Н.
3. Теперь следует найти точку пересечения прямой EF и плоскости, содержащей третью точку G, т.е. плоскости (ADC).
Прямая CD лежит в плоскостях (ADC) и (BDC), значит она пересекается с прямой EF, и точка К является точкой пересечения прямой EF и плоскости (ADC).
4. Далее находим еще две точки, лежащие в одной плоскости. Это точки G и K, обе лежат в плоскости левой боковой грани. Проводим прямую GK, отмечаем точки, в которых эта прямая пересекает ребра тетраэдра. Это точки M и L.
4. Осталось “замкнуть” сечение, т.е.соединить точки, лежащие в одной грани. Это точки M и H, и также L и F. Оба этих отрезка – невидимы, проводим их пунктиром.

В сечении получился четырехугольник MHFL. Все его вершины лежат на ребрах тетраэдра. Выделим получившееся сечение.

Теперь сформулируем “свойства” правильно построенного сечения:

1. Все вершины многоугольника, которое является сечением, лежат на ребрах тетраэдра (параллелепипеда, многоугольника).

2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника.
3. В каждой грани многоранника может находиться не более одной (одна или ни одной!) стороны сечения

Сечение – изображение фигуры, получающееся при мысленном рассечении предмета одной или несколькими плоскостями.
На сечении показывается только то, что получается непосредственно в секущей плоскости .

Сечения обычно применяют для выявления поперечной формы предмета. Фигуру сечения на чертеже выделяют штриховкой. Штриховые линии наносят в соответствии с общими правилами.

Порядок формирования сечения:
1. Вводится секущая плоскость в том месте детали, где необходимо более полно выявить ее форму. 2. Мысленно отбрасывается часть детали, расположенная между наблюдателем и секущей плоскостью. 3. Фигура сечения мысленно поворачивается до положения, параллельного основной плоскости проекций P. 4. Изображение сечения формируют в соответствии с общими правилами проецирования.

Сечения, не входящие в состав , разделяют на:

Вынесенные;
– наложенные.

Вынесенные сечения являются предпочтительными и их допускается располагать в разрыве между частями одного и того же вида.
Контур вынесенного сечения, а также сечения, входящего в состав разреза, изображают сплошными основными линиями.

Наложенным называют сечение , которое располагают непосредственно на виде предмета. Контур наложенного сечения выполняют сплошной тонкой линией. Фигуру сечения располагают в том месте основного вида, где проходит секущая плоскость, и заштриховывают.

Наложение сечений: а) симметричное; б) несимметричное

Ось симметрии наложенного или вынесенного сечения указывают штрихпунктирной тонкой линией без обозначения буквами и стрелками и линию сечения не проводят.

Сечения в разрыве. Такие сечения располагают в разрыве основного изображения и выполняют сплошной основной линией.
Для несимметричных сечений, расположенных в разрыве или наложенных линию сечения проводят со стрелками, но буквами не обозначают.

Сечение в разрыве: а) симметричное; б) несимметричное

Вынесенные сечения располагают:
– на любом месте поля чертежа;
– на месте основного вида;
– с поворотом с добавлением знака «повернуто»

Если секущая плоскость проходит через ось поверхности вращения, ограничивающие отверстие или углубления, то их контур в сечении показывают полностью, т.е. выполняют по правилу разреза.

Если сечение получается состоящим из двух и более отдельных частей, то следует применить разрез, вплоть до изменения направления взгляда.
Секущие плоскости выбирают так, чтобы получить нормальные поперечные сечения.
Для нескольких одинаковых сечений, относящихся к одному предмета, линию сечения обозначают одной буквой и вычерчивают одно сечение.

Выносные элементы.
Выносной элемент – отдельное увеличенное изображение части предмета для представления подробностей, не указанных на соответствующем изображении; может отличаться от основного изображения по содержанию. Например, основное изображение является видом, а выносной элемент – разрезом.

На основном изображении часть предмета выделяют окружностью произвольного диаметра, выполненной тонкой линией, от нее идет линия-выноска с полочкой, над которой ставят прописную букву русского алфавита, высотой более, чем высота размерных чисел. Над выносным элементом пишут эту же букву и справа от нее в круглых скобках, без буквы М, указывают масштаб выносного элемента.

Дидактические материалы по теме “Сечения”. 10 класс

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 82 Дзержинского района Волгограда

Районный конкурс методических разработок

по образованию и воспитанию учащихся

среди педагогов образовательных учреждений

Направление: технологии, изобретения, новые приёмы

и подходы к организации учебной деятельности

Номинация:

дидактические материалы

как научиться строить сечения многогранников на “отлично”

Выполнил:

Веремеенко Татьяна Васильевна

учитель математики

МОУ СШ № 82

Волгоград, 2017

Методическое пособие «Как научиться строить сечения многогранников на “отлично”» адресовано учителям и учащимся 10-х классов, изучающих математику на базовом уровне.

В общеобразовательной школе формированию навыка построения сечений отведено всего 2 академических часа в теме “Тетраэдр и параллелепипед”.

В данном пособии предлагается серия типовых заданий для формирования конструктивных умений и навыков от построения точек пересечения прямой, заданной двумя точками с плоскостями граней многогранника до построения секущей плоскости, заданной тремя точками или точкой и направлением секущей плоскости.

Данное пособие содержит:

тренажёры для организации практической работы;
проверочные работы двух уровней по два варианта в каждом уровне;
ответы к проверочным работам;
задания на построение сечений пирамиды и призмы;
подборку задач для подготовки к ЕГЭ.

Цель.

Задачи:

способствовать развитию логического мышления;
способствовать развитию коструктивных навыков;
актуализировать необходимые теоретические знания.
сформировать навык построения сечений тетраэдра и параллелепипеда;
создать благоприятные условия для самостоятельной работы ученика.

Работа с данными средствами позволит:

организовать с помощью тренажёров практическую работу по формированию навыков построения сечений;
организовать контроль уровня сформированности навыков;

организовать самопроверку или взаимопроверку;
организовать индивидуализацию домашнего задания;
организовать работу с высокомотивированными учащимися.

Учащиеся научатся:

строить точку пересечения прямой и плоскости грани;
применяя метод следов строить сечение тетраэдра и параллелепипеда плоскостью;
записывать на языке математики проводимые построения;
строить сечения пирамиды, призмы;
адекватно оценивать приобретённые умения;
аргументировать свою точку зрения.

Наиболее мотивированные учащиеся получат возможность применить полученные знания и умения при решении задач повышенной сложности для подготовки к ЕГЭ.

Содержание

Среди всего многообразия задач по геометрии есть задачи на построение сечений многогранников плоскостью. Научимся строить сечения многогранников на примерах построения сечений тетраэдра и параллелепипеда.

Сначала определим, что такое сечение плоскостью. Секущей плоскостью назовём любую плоскость, по обе стороны от которой лежат точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением.

1. Построение точки пересечения прямой и плоскости

Научимся строить точку пересечения заданной прямой с плоскостью грани многогранника, разобрав решение задач 1 и 2.

Задача1. Построить точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC.

1.X=MN∩AB, так как MN € ABD,

плоскости ABD и ABC имеют общую прямую AB.

2. X- искомая точка.

Задача 2. Построить точку пересечения прямой MN с плоскостями граней параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.

1. MN € BB₁C₁C, грани BB₁C₁C и A₁B₁C₁D₁ имеют общую прямую B₁C₁, поэтому X=MN∩B₁C₁.

2. Грани BB₁C₁C и ABCD пересекаются по прямой BC, поэтому Y= MN∩BC.

3. X и Y – искомые точки.

Отметим, что точку пересечения заданной прямой и плоскости грани надо искать на общей прямой двух плоскостей (плоскости, в которой лежит заданная прямая и плоскости грани).

Теперь надо самостоятельно выполнить задания тренажёра1 и проконтролировать уровень усвоения, выполнив проверочную работу по теме “Построение точки пересечения прямой и плоскости” и проверить с помощью листа ответов.

2. Построение сечений

Будем учиться строить сечения методом “следов”, то есть построим “следы” секущей плоскости на гранях многогранника. Для этого строятся точки пересечения (встречи) рёбер многогранника с секущей плоскостью.

Отметим некоторые важные моменты, которые необходимо знать и учитывать для успешного решения задач на построение сечений многогранников.

1. Если три точки секущей плоскости лежат на трёх рёбрах, имеющих общую вершину, то сечением является треугольник, вершины которого три заданные точки.

2. Если секущая плоскость пересекает две соседние грани, то на общем ребре этих граней лежит точка секущей плоскости.

3. Если секущая плоскость пересекает две параллельные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.

Задача 3. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью MNP.

Точки M, N, P лежат на рёбрах, имеющих общую вершину, поэтому треугольник MNP – искомое сечение.

Задача 4. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью MNP.

Анализ.

Если соединим точки M и N, то получим пересечение секущей плоскости с гранью ACD.

Если соединим точки M и P, получим пересечение секущей плоскости

с гранью ABD.

Осталось найти линии пересечения

секущей плоскости с гранями ABC и BCD.

Построение.

1. Плоскости MNP и ABC имеют общую точку P, а значит имеют общую прямую, проходящую через точку P. Вторая общая точка X=AC ∩ MN. MNP ∩ ABC = PX.

2. Y = XP ∩ BC

3. N € BCD, Y € BCD, поэтому MNP ∩ BCD =NY.

4. Четырёхугольник MNYP – искомое сечение.

Задача 5. Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁

плоскостью MNP.

Если соединим M и N, получим линию пересечения секущей плоскости и грани A₁B₁C₁D₁.

NP – линия пересечения секущей плоскости

и грани BB₁C₁C.

Надо найти линии пересечения с остальными гранями.

Построение.

1. Прямая MN лежит в плоскости грани A₁B₁C₁D₁, C₁D₁= A₁B₁C₁ ∩ DD₁C₁, поэтому X= MN∩ D₁C₁и точка X лежит в плоскости грани DD₁C.

2. A₁D₁ =A₁B₁C₁∩AA₁D₁ поэтому

Y = MN_{∩ A₁D₁ и точка Y лежит в плоскости грани AA₁D₁.}

3. Z = XP∩DD₁

4. K = YZ ∩AA₁.

5. Пятиугольник MNPZK – искомое сечение.

Задача 6. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точку M и параллельной грани ABC.

Секущая плоскость параллельна плоскости ABC, поэтому она пересекает грань ABD по прямой, параллельной AB и пересекает грань ACD по прямой, параллельной AC.

Построение.

1. Проведём в плоскости ABD MK параллельно AB.

2.Проведём в плоскости ACD MP параллельно AC.

3. Треугольник MPK – искомое сечение.

Затем самостоятельно выполняем задания тренажёров 2 и 3. Контролируем уровень усвоения, выполнив проверочную работу по теме “Сечение тетраэдра и параллелепипеда” и проверяем с помощью листа ответов.

Наиболее подготовленные учащиеся выполнят дополнительные задания (сечение пирамиды и призмы) и приступят к решению задач на построение сечений, которые предлагаются во второй части ЕГЭ.

Тренажёры

Проверочные работы

Дополнительные задания

Задачи для подготовки к ЕГЭ

1. Основанием параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является квадрат ABCD со стороной 4√2, боковое ребро параллелепипеда равно 8.

а) Построить сечение α, проходящее через середины рёбер AD и CD, параллельное диагонали BD.

б) Найдите площадь сечения.

2. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁известны длины рёбер: AA₁=4, AB=5, AD=6. Точка N – середина AA₁, M – середина AD, F – середина BC.

а) Постройте сечение, проходящее через точки M, N, F.

б) Найдите площадь сечения.

3. В прямой призме ABCA₁B₁C₁ в основании лежит треугольник ABC со сторонами AB=AC=16, BC=10. Боковое ребро равно √33.

а) Постройте сечение призмы плоскостью. проходящей через прямую A₁B и перпендикулярно плоскости CC₁B.

б) Найдите косинус угла между A₁B и плоскостью боковой грани CC₁B₁B.

4. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ . Через точки B, D₁ , F₁ проведена плоскость α.

а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна плоскости DCC₁

б) Найдите площадь сечения, если AB=1, AA₁=3.

5. В правильной треугольной пирамиде PABC боковое ребро равно 10, а сторона основания равна 2√30. Через точки B и C перпендикулярно ребру PA проведена плоскость α.

а) Докажите, что плоскость α делит пирамиду PABC на два многогранника, объёмы которых относятся как 2:3.

б) Найдите площадь сечения.

6. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁_{AB=8, BC=6, AA₁=12. Точка K середина AD, точка M лежит на ребре DD₁ так, что DM : D₁M =1:2.}

а) Докажите, что прямая BD₁ параллельна плоскости CKM.

б) Найдите площадь сечения.

7. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD все рёбра равны между собой. На ребре PC отмечена точка K.

а) Докажите. что сечение пирамиды плоскостью ABK является трапецией.

б) Найдите угол. который образует плоскость ABK с плоскостью основания пирамиды, если P K : KC=1:3.

8. В основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит треугольник со стороной 18. Высота призмы равна √131. Точка N делит ребро A₁C₁ в отношении 1:2, считая от точки A₁.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите площадь сечения.

9. Все рёбра куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равны .

а) Постройте сечение куба, проходящее через середины рёбер AB, BC, CC₁.

б) Найдите площадь сечения.

10. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁равны 4.

а) Постройте сечение призмы, проходящее через середины рёбер BC, CC₁, A₁C₁.

б) Найдите площадь сечения.

11. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра AB=8√3 и SC=17.

а) Докажите. что прямые AB и SC перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки A, B и середину высоты пирамиды. проведённой из вершины S.

12. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Постройте сечение куба плоскостью. проходящей через точки A, B, и C₁.

13. Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC. Точка P принадлежит ребру BB₁, BP : PB₁=1:3. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку P, перпендикулярно AC.

14. Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC. Постройте прямую пересечения плоскости. проходящей через середину рёбер AB,AC и SA, и плоскостью, проходящей через середину ребра BC и перпендикулярно ему.

15. Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC. Точка P – середина ребра BB₁. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку P перпендикулярно AC.

16. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ . Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки C, A₁и F₁ .

17. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ постройте прямую пересечения плоскости AA₁DD₁ с плоскостью, проходящей через точки D, B₁ и F₁.

18. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости, проходящей через вершину S этой пирамиды, через середину стороны AB и центр основания.

19. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ постройте прямую пересечения плоскости ABB₁ и плоскости, проходящей через точки C и C₁ , перпендикулярно плоскости ACC₁.

20. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ . Через точки B, D₁, F₁ проведена плоскость β. Докажите, что плоскость β пересекает ребро AA₁ в такой точке M, что AM : A₁M = 1:2.

Использованная литература

1. Л.С. Атанасян, Геометрия, 10-11, М.: Просвещение, 2014.

2. И. В. Ященко, Математика профильный уровень ЕГЭ 2016.

3. С. М. Саакян, Изучение геометрии в 10-11 классах, М. : Просвещение, 2012.

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ тетраэдра и параллелепипеда Цель урока научиться

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ тетраэдра и параллелепипеда Цель урока: научиться строить сечения тетраэдра и параллелепипеда плоскостью.

D M N K L C A B P E MN ∩ (ABC) = L KP ∩ (DBC) = E

M M P H N K D X К Прямая KX – след секущей плоскости на плоскости основания. Прямая KD – след секущей плоскости на плоскости основания.

Секущей плоскостью многогранника называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. А N M α K D В С

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Виды сечений тетраэдра Сечение – треугольник Сечение – четырехугольник

Виды сечений параллелепипеда Сечение – треугольник Сечение – пятиугольник Сечение – четырехугольник Сечение – шестиугольник

Найдите ошибки A AB ∩ m = C M B C C m B A N D MN ∩ BA = K K Рис. 1 Рис. 2

Найдите ошибки Рис. 3 Рис. 4

Задача № 1: Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки M, N, K. M K N

Решение задачи № 1 M K N

Задача № 2. Дан тетраэдр DABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK, если M, N, K соответственно принадлежат ребрам DC, DA, AB. D M N C A K B

Решение задачи № 2 1. MN ∩ AC = X 2. XK ∩ BC = P 3. NK, MP 4. KNMP – искомое сечение D M N C X A P K B

Задача № 3: Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки M, N, K. N M K

N M K L KNML – искомое сечение

Задача № 4 Постройте сечение тетраэдра DABC плоскостью MNK, если M и N –середины ребер AB и BC, K принадлежит D ребру DC. K C A N M B

1. MN 2. NK 3. LK II MN 4. ML 5. MNKL – искомое сечение D K L C A N M B

Задача № 5: Постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью MNK. В 1 С 1 N K D 1 А 1 B C M A D

В 1 С 1 N K D 1 А 1 B M C L A D

Задача № 6 Постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью PTO, если P, T, O принадлежат соответственно ребрам АА 1, ВВ 1, СС 1. В 1 С 1 T D 1 А 1 O B C P A D

С 1 В 1 T 1. 2. 3. 4. 5. 6. TO ∩ BC = M TP ∩ AB = N NM ∩ AD = L NM ∩ CD = F PL, FO PTOFL – искомое сечение D 1 А 1 O B C P F A N L D M

Задача № 7: Постройте сечение параллелепипеда плоскостью KMN. D 1 С 1 K В 1 А 1 D C N A M B

D 1 F 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. С 1 K В 1 А 1 E P D C N A M Q B MN ∩ DA = Q QK ∩ AA 1 = P PM KF II MN FE II PM NE MPKFEN – искомое сечение

Итог урока: «Мне понравился (не понравился) урок, потому что…» «Сегодня на уроке я научился…. » «Мне хочется, чтобы…. » «В этот урок я добавил(а) бы …»

Спасибо за урок!!! Задание на дом: п. 14 № 105, 106. (Дополнительное задание к № 105 на карточке)

Мы не можем найти эту страницу

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}} *

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}} / 500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$ item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}
{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}
{{l10n_strings.ЯЗЫК}} {{$ select.selected.display}}
{{article.content_lang.display}}
{{l10n_strings.AUTHOR}}
{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}
{{$ select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}
Создание геологического разреза
Студенческое задание
Геологические разрезы представляют собой двумерный срез недр Земли и используются, чтобы помочь понять геологические условия, которые возникают в определенных областях разреза.Создание и оценка разрезов – очень важный аспект профессии геолого-геофизиков. В следующем упражнении представлен обзор того, как создавать поперечные сечения и использовать их в качестве инструмента научной оценки.
Начало работы
Для построения геологического разреза вам понадобится карта, показывающая расположение скважин, из которых были получены геологические данные, и журналы скважин, которые содержат информацию о нижележащих отложениях и коренных породах. Карта будет иметь горизонтальный масштаб или расстояние между скважинами и проекцию высоты.Расстояние между скважинами интерпретируется по масштабу карты. Если поперечное сечение должно иметь тот же горизонтальный масштаб, что и карта, масштабы карты и поперечного сечения будут такими же. Однако, если вы хотите увеличить порядок поперечного сечения, чтобы увидеть дополнительные детали, вам необходимо уменьшить соотношение масштабов. Так, если масштаб карты 1 дюйм равен 40 футам, для его увеличения потребуется изменить горизонтальный масштаб поперечного сечения на 1 дюйм, равный 20 футам; по сути, это удваивает размер горизонтальной части поперечного сечения.
Обычно увеличивают вертикальный масштаб поперечного сечения для просмотра геологических деталей. Расширение вертикальной шкалы известно как «вертикальное преувеличение». Обычно коэффициент вертикального масштабирования увеличивается на порядок по сравнению с коэффициентом масштабирования по горизонтали. Таким образом, если горизонтальный масштаб 1 дюйм равен 100 футам, типичный вертикальный масштаб для геологического разреза будет 1 дюйм равен 10 футам. Интересное замечание по делу Уоберна связано с тем, что судья Скиннер не был знаком со стандартным профессиональным использованием вертикального преувеличения при подготовке геологических разрезов.Первоначально он запретил выставку экспонатов доктора Пиндера, потому что они использовали вертикальное преувеличение для просмотра геологических данных. Истцы лихорадочно воссоздали поперечные сечения в масштабе один к одному, только чтобы получить поперечные сечения почти на всю стену зала суда.
Размещение данных
Пример геологической карты и разреза представлен по прилагаемой ссылке, чтобы предоставить вам типичный макет для установки горизонтального и вертикального масштабов. Этот пример является копией геологической карты коренных пород Огайо.Вы заметите эту симметрию геологических единиц на западной половине штата, причем более старые единицы находятся в центре симметрии. Эта симметрия и возрастное соотношение указывают на структурную антиклиналь. Поперечное сечение, показанное внизу страницы, которое отражает подповерхностную структуру между точками A-A ‘, также показывает эту сводчатую вверх последовательность горных пород, образующих антиклиналь. Обратите внимание на вертикальное преувеличение поперечного сечения.
Следующие три файла содержат данные, необходимые для построения геологического профиля долины реки Абержона.Первый файл – это карта, показывающая расположение геологического разреза и расположение скважин, используемых для литологических каротажей. Второй файл представляет литологию для каждой скважины, данные скважины представлены в глубине от поверхности земли слева (эти отметки относительно поверхности земли, нулевое (0) значение, возрастающее вниз). Высота поверхности земли и столбец с надписью Top Elev., Которые находятся в правой части таблицы, относятся к среднему уровню моря (над уровнем моря).Среднее значение уровня моря, равное нулю (0), представляет собой высоту на уровне моря, положительные значения – над уровнем моря. Отрицательные значения ниже уровня моря. Третий файл – это шаблон для построения поперечного сечения. Пустые пространства под поперечным разрезом предназначены для обозначения цветовой кодировки, чтобы показать разные цвета, используемые для идентификации каждой литологии, представленной на геологическом разрезе.
Базовая карта (Excel 87kB Jun19 09)
Литологические журналы (Excel 87 КБ, 19 июня 2009 г.)
Шаблон поперечного сечения (Excel 1.4MB июн19 09)
Следуйте этим общим правилам для создания геологического разреза.
Решите, для чего будет использоваться геологический разрез, и используйте его, чтобы направлять вас при выборе подходящих масштабов.
Выберите подходящий масштаб по вертикали и горизонтали.
На карте укажите положение скважины или скважины, отметки наземных служб, глубину скважины и количество геологических единиц в каждой скважине.
Перенести геологическую информацию с каждой длины на поперечный разрез.Эта информация представляет собой отдельные точки знаний о геологии недр. Часть навыков геолога – это интерпретация этих дискретных точек знания в те области, которые лежат между ними. Частью этого упражнения является определение того, какие единицы можно объединить в одну группу, а какие – разделить. Опять же, это в основном связано с деталями, которые пытаются отобразить.
Сопоставьте геологическую информацию между скважинами. Применение знаний об особенностях осадконакопления породы или отложений может быть использовано для повышения точности модели.Ищите различия в литологии, текстуре или свойствах отложений или горных пород в качестве руководства для определения контактов между смежными геологическими единицами. Используйте сплошные линии, чтобы обозначить достаточно определенные отношения между дискретными точками данных. Пунктирные линии используются для обозначения неопределенности или предполагаемых данных. Области, в которых не существует, обычно помечаются вопросительными знаками.
Включите легенду в поперечный разрез, чтобы объяснить типы присутствующих геологических материалов. Легенда должна быть размещена внизу профиля.
Используйте соответствующую ориентацию и информацию об ориентирах, чтобы помочь зрителю определить положение поперечного сечения в пространстве относительно узнаваемых объектов (зданий, улиц, ручьев и т. Д.).
Включите вертикальную и горизонтальную шкалы вместе с указанием вертикального преувеличения.
На что следует обратить внимание

После заполнения упомянутого выше поперечного сечения, со ссылкой на это поперечное сечение, ответьте на следующие вопросы.
1. Какие единицы в геологическом разрезе кажутся водоносными горизонтами и способны накапливать и передавать значительные объемы воды? Предположим, что песчано-гравийные блоки имеют самую высокую гидравлическую проводимость, а глина и коренные породы имеют более низкую гидравлическую проводимость.
2. Какие единицы геологического разреза являются ограничивающими пластами, которые не могут передавать и хранить значительные объемы воды?
3. Предположим, что каждая из скважин, показанных в поперечном сечении, открыта или экранирована, чтобы вода могла поступать в ствол скважины только через 10 футов забоя скважины.Используйте свой геологический разрез, чтобы определить, какие скважины гидравлически связаны с наиболее проницаемыми материалами, такими как песок или песок и гравий?
Вернуться к обзору геологических условий
Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie
Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.
Настройка вашего браузера для приема файлов cookie
Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно.Ниже приведены наиболее частые причины:
В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, нажмите кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
Дата на вашем компьютере в прошлом.Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.
Почему этому сайту требуются файлы cookie?
Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу.Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.
Что сохраняется в файле cookie?
Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.
Как правило, в файлах cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта.Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.
Анализ поперечного сечения с помощью BuildIT Construction
Плагин Плагин Плагин Плагин Плагин Плагин Плагин Подключаемый модуль Плагин Плагин Плагин
Как построено В процессе сборки – Revit В процессе сборки – AutoCAD VirtuSurv – VirtuSurv 2018 В заводском исполнении – разработчик моделей VirtuSurv – VirtuSurv 2019
BuildIT BuildIT – Проектор BuildIT – Строительство BuildIT – Метрология
CAM2 CAM2 – SmartInspect CAM2 – 2018 CAM2 – Измерение 10 CAM2 – Измерение Q CAM2 – Измерение X CAM2 – Измерение 3/4 CAM2 – AnthroCAM CAM2 – 2019 CAM2 – 2020 CAM2 – 2021
Cobalt 3D Imager 3D-имидж-сканер – кобальт
Cobalt Design Кобальтовый дизайн – M Кобальтовый дизайн – S Cobalt Design – двойной
Компьютеры Компьютеры – все компьютеры
FARO Aras 360 и CAD Zone Зона FARO CAD – Пожарная безопасность и страхование Зона FARO CAD – Преступления и аварии FARO CAD Zone – Облако точек CZ FARO CAD Zone – Первый взгляд Pro FARO 360 – Реальность FARO 360 – HD FARO 360 – Блиц FARO 360 – Genius
Зона FARO присутствует4D – присутствует4D
Зона FARO 2D ФАРО Зона 2D – 2018 ФАРО Зона 2D – 2019 ФАРО Зона 2D – 2020 ФАРО Зона 2D – 2021
Зона FARO 3D ФАРО Зона 3D – 2018 ФАРО Зона 3D – 2019 Зона ФАРО 3D – 2020 Зона ФАРО 3D – 2021
FARO Zone 3D Advanced FARO Zone 3D Advanced – 2018 FARO Zone 3D Advanced – 2019 FARO Zone 3D Advanced – 2020 FARO Zone 3D Advanced – 2021
ФароАрм / СканАрм ФароАрм / СканАрм – Quantum S ФароАрм / СканАрм – Quantum M FaroArm / ScanArm – Quantum E FaroArm / ScanArm – Edge FaroArm / ScanArm – Fusion ФароАрм / СканАрм – Прайм FaroArm / ScanArm – Платина FaroArm / ScanArm – Наследие Quantum FaroArm / ScanArm – Титан FaroArm / ScanArm – Преимущество
ФароАрм / СканАрм FaroArm / ScanArm – Цифровой шаблон FaroArm / ScanArm – Gage FaroArm / ScanArm – Quantum S Max ФароАрм / СканАрм – Quantum M Max FaroArm / ScanArm – Quantum E Max FaroArm / ScanArm – Gage Max
Ручной сканер Ручной сканер 2D – ScanPlan Ручной 3D сканер – Freestyle3D Ручной 3D сканер – Freestyle3D X Ручной 3D сканер – Объекты Freestyle3D Ручной 3D сканер – Freestyle 2
Качество языка HT MT AT NT INT – внутренний Продажи – внутренние ресурсы Продажи – Заказ и предложение Продажи – Информация о продукте Продажи – Готовность к продажам Продажи – Обучение
Качество языка CS – Процедуры и продукция Продажи – Запуск продукта Распродажа – Акции CS – Цитата в счет-фактуру CS – Телефонная система CS – Обучение новых сотрудников CS – Общие CS – FARON, новый пользователь CS – Настройки Salesforce CS – Информация о продукте
Качество языка CS – Лицензирование
Языки Язык – английский Язык – японский Язык – немецкий Язык – китайский Язык – испанский Язык – итальянский Язык – португальский Язык – французский
Лазерный проектор RayTracer – RayTracer Лазерный проектор – Tracer M Лазерный проектор – Tracer SI
Лазерный радар Лазерный радар для визуализации изображений – VectorRI
Лазерный сканер Лазерный 3D-сканер – Focus S Лазерный 3D-сканер – Focus M Лазерный 3D-сканер – Focus3D Лазерный 3D-сканер – Focus3D X Лазерный 3D-сканер – Focus3D X HDR Лазерный 3D-сканер – Focus3D S 3D лазерный сканер – Photon Лазерный 3D-сканер – Focus S Plus 3D лазерный сканер – Swift
Laser Tracker Лазерный трекер – Vantage Лазерный трекер – ION Лазерный трекер – Vantage S Лазерный трекер – Si Лазерный трекер – X Лазерный трекер – Xi Лазерный трекер – Vantage E Лазерный трекер – Vantage S6 Лазерный трекер – Vantage E6
Legacy Gage Legacy Gage – Bluetooth Legacy Gage – Plus Legacy Gage – стандартный Legacy Gage – мощность
Устаревшее программное обеспечение Устаревшее программное обеспечение – CAM2 Gage Устаревшее программное обеспечение – Программное обеспечение Gage Устаревшее программное обеспечение – Insight
PointSense PointSense – Базовый PointSense – Pro PointSense – Корпус PointSense – Завод PointSense – Наследие PointSense – Revit CAD – TachyCAD Building CAD – TachyCAD Archeology CAD – TachyCAD Interior CAD – PhoToPlan Basic
PointSense CAD – PhoToPlan CAD – PhoToPlan Pro CAD – PhoToPlan Ultimate CAD – DisToPlan CAD – MonuMap CAD – hylasFM CAD – VirtuSurv
RevEng RevEng – RevEng
ScanArm ScanArm – Дизайн ScanArm 2.0 ScanArm – Дизайн ScanArm ScanArm – Криминалистический ScanArm ScanArm – Дизайн ScanArm 2.5C
СЦЕНА СЦЕНА – захват и обработка СЦЕНА – сервер WebShare и 2Go СЦЕНА – приложение WebShare 2Go СЦЕНА – 2018 СЦЕНА – 7.х СЦЕНА – 6.x СЦЕНА – 5.x СЦЕНА – 4.x СЦЕНА – LT СЦЕНА – 2019
СЦЕНА СЦЕНА – приложение 2go СЦЕНА – 2020 СЦЕНА – 2021
Серийный FaroArm Серийный FaroArm – Серебро Серийный FaroArm – золото Серийный FaroArm – бронза
Визуальный осмотр Визуальный осмотр – приложение Визуальный осмотр – переводчик САПР
WebShare WebShare – предприятие WebShare – Облако WebShare
Определение и важность поперечной анатомии.
Автор: Адриан Рад Бакалавр (с отличием) • Рецензент: Райан Сикстус MPhEd
Последний раз отзыв: 15 сентября 2020 г.
Время чтения: 11 минут
«Поистине великую книгу следует читать в юности, снова в зрелости и еще раз в старости, как прекрасное здание должно быть видно при утреннем свете, в полдень и при лунном свете». – Робертсон Дэвис
В этой статье мы узнаем, что такое поперечная анатомия и как она помогает закрепить ваши анатомические знания.
Жизнь – это перспективы. Каждое решение, которое вы принимаете с момента подъема утром до момента, когда вы снова ложитесь спать, имеет как минимум одну точку зрения. В идеальном мире каждый человек взял бы проблему, ситуацию или взаимодействие и проанализировал бы каждую возможную точку зрения. Другими словами, он или она будут читать книгу «в юности, снова в зрелости и еще раз в старости», как сказал вышеупомянутый канадский писатель.
Однако, когда дело доходит до дискуссий и повседневных проблем, многие люди всю жизнь упорно цепляются за одну точку зрения, обычно свою.Они игнорируют тот факт, что взгляд на проблему с разных сторон может помочь им лучше понять, с чем они сталкиваются.
Анатомия точно такая же. Требуется преданности , терпения и, прежде всего, множественных перспектив , чтобы по-настоящему понять этот предмет. Изучение структур и отношений строго под одним или двумя углами даст ложное ощущение знания, потому что построение двумерной картины, хотя и необходимо, не является полной картиной.Вы можете похлопать себя по спине, но сама «спина» вам не известна.
Эта статья объяснит, как срезание существующей или будущей анатомической теории и фактов устранит любые острые углы из ваших мысленных рисунков. Другими словами, эта статья сделает из вас анатомию Ван Гога.
Ваш мозг хочет 3D
Человеческий мозг и разум процветают благодаря сложности, цветам и изображениям, и это лишь некоторые из них. Другими словами, он любит все цветное и трехмерное.Точно так же он получает постоянный поток стимуляции из столь же тщательно продуманного 3D мира . Люди автоматически воспринимают окружающие их предметы по трем осям: длина, ширина / высота и глубина / толщина. Вы никогда не задумываетесь, является ли предмет повседневного обихода в 3D, а просто знаете. Вдобавок, если вы думаете об объекте, например о стуле, вы не думаете о пяти связанных вместе буквах, возникающих в вашем уме. Напротив, в вашем уме возникает реальный образ стула, имеющий длину, ширину и глубину.Это полностью интуитивно понятно и естественно. Это то, что мозг любит и к чему привык. Это то, чего он жаждет.
Следовательно, было бы разумно изучать анатомию подобным образом. Анатомические поперечные сечения включают разрезание конструкции под прямым углом к ее главной оси и просмотр вновь сформированной поверхности разреза в двух измерениях. Это представление дает основную картину «глубины», часто неправильно используемой в медицинском образовании, которая вместе с обычным представлением длины и ширины может привести к единому целому.
Поперечное сечение, компьютерная томография и анатомические плоскости
Оба изображения представляют собой двухмерные изображения, но с совершенно разных точек зрения. Другими словами, это здание, «видимое при утреннем, дневном и лунном свете». Это та же структура, но в другом свете. Ваш мозг интуитивно создает и сохраняет трехмерные изображения и структуры. Фактически, он предпочитает их, и делает это с самого начала человечества. Представьте, что вы пытаетесь съесть тарелку супа вилкой. В конце концов, после того, как вы расстроитесь, можно будет отложить вилку и выпить суп, но обычно вы будете использовать ложку.Мозг в этом тот же, он может справляться с простотой, но разочаровывается. Вместо этого дайте ему отточить, и он поблагодарит вас за это.
Дает другую перспективу
Малая грудная мышца (вид в разрезе)
В то время как рисунки , и , рисунки с использованием перспективы могут показаться резкими и четко очерченными, анатомия обычно совершенно противоположна. Проблема заключается в том, что человеческое тело представляет собой настолько сложную машину, что анатомические структуры, как правило, четко не разграничены.Например, подумайте о брюшине и ее складках в брюшной полости. Поворотов так много, что видя их только во фронтальном и сагиттальном разрезе, вы получите неполную картину.
Хотя эта точка зрения важна для того, чтобы помочь вам успешно сдать следующий анатомический экзамен, изучение поперечных сечений сделает вас более компетентным и безопасным врачом. Хирург может прочитать, что межреберные сосуды встроены и повторяют ход межреберных мышц в стенке грудной клетки.Точно так же для его понимания могут потребоваться лобные и сагиттальные разрезы. Однако только поперечный разрез мог бы четко проиллюстрировать ход сосудов, между которыми они расположены мышечными слоями, их отношения к нервам и их глубину в грудной стенке. Каждый тип раздела имеет свое предназначение, и их следует использовать вместе.
Облегчает обучение
Без поперечных сечений сложно нарисовать полную картину .Можно было бы поспорить в пользу 3D-моделей для замены поперечных сечений или даже в пользу их превосходства. Хотя такие интерактивные методы обучения определенно полезны, они не все и не все, как это обсуждается в этой статье Kenhub. Вы можете представить себе такую модель как «мастер на все руки, мастер на все руки» . Он может предложить вам возможность взглянуть на мир с любого направления, но не иллюстрирует одну точку зрения наилучшим образом. Точно так же поперечные сечения – не лучший способ обучения, но они лучше в одном аспекте – получаемые в результате знания персонализируются.Это похоже на строительство дома. Вы можете оценить красивый дом, который вы купили, но если вы построите его самостоятельно, вы действительно сможете сделать его своим уникальным способом. В то время как каждый мозг думает и воспринимает в 3D, создание этих изображений немного отличается от человека к человеку. В конце концов, мы люди и между нами есть нюансы. Собирая анатомическую структуру в виде пазла, кусочек за кусочком, вам будет легче вспомнить его в будущем, потому что вы соединили все части вместе.Это, безусловно, труднее и труднее, чем смотреть на трехмерную модель, но один мудрый человек однажды сказал, что «борьба, в которой вы участвуете сегодня, развивает силу, которая вам нужна для завтрашнего дня».
Наука также поддерживает этот аспект. Если у студентов-медиков была возможность исследовать поперечные сечения и использовать их бок о бок с фронтальными и / или сагиттальными срезами, полученными с помощью МРТ-сканера, то поперечное сечение было под рукой. По словам будущих врачей, этот вид «упростил сравнение и сопоставление» , он «позволяет еще больше дифференцировать структуры» , «это форма повторения и полезный инструмент исследования» .Что еще более важно, поперечные сечения были «легче читать» , и они «лучше определяли контуры и пределы, чтобы лучше понимать МРТ» . Говоря более кратко, поперечные сечения имеют важное значение.
Тело позвонка L3 (изображение МРТ)
На данный момент кажется, что поперечные сечения отмечают предпочтения и понимание. Однако, похоже, они также отмечают и эффективность . В частности, сопоставляя вскрытие трупа с радиологическими поперечными сечениями тех же структур, студентов-медиков можно было обучить информации, эквивалентной 2 часам 40 минутам, всего за 20 минут.Предлагаемое объяснение заключалось в возможности более целенаправленного преподавания со стороны инструкторов. Разве вы не хотели бы учиться быстрее, чтобы у вас было больше времени, чтобы учиться, получать удовольствие от жизни и больше ее ощущать? Конечно бы!
Поперечные сечения – все и все?
Эта статья могла бы создать у вас впечатление, что поперечные разрезы – это какое-то волшебное решение, дающее все пояснения. Включение их в медицинское образование – палка о двух концах.Несмотря на то, что они предоставляют все преимущества, о которых говорилось выше, они достигаются ценой потенциальной путаницы и информационной перегрузки. Анатомия уже сложна и, по сути, является визуальным предметом, что уже является проблемой для невизуальных учеников. Вы могли бы подумать, что прояснение контуров и точных структурных отношений будет способствовать пониманию каждый раз. Однако живое тело содержит так много пересекающихся частей и граней, что добавление еще одного измерения может просто заглушить ваш разум.Хотя эти недостатки могут присутствовать, компетентный врач должен видеть все стороны истории. Вместо того, чтобы сопротивляться волнам, вам нужно плыть по течению, потому что сопротивляться ему практически невозможно.
Подключичная артерия (поперечный разрез)
Следовательно, вам нужны четкие и сильные волны, которые будут направлять вас, а это означает, что вам нужны правильно созданные поперечные сечения. Отличной отправной точкой является атлас поперечных сечений Кенхуба . С его четкими секциями и маркированными структурами вы можете создать мысленное трехмерное изображение в рекордно короткие сроки.Хотите увидеть малую грудную мышцу? Просто иди сюда и начни учиться. Изображения поперечного сечения даже связаны с поверхностными и / или фронтальными видами тех же структур, чтобы облегчить визуализацию, понимание и сформировать полные ментальные связи внутри вашего мозга. Также доступны тесты для проверки ваших знаний по сечениям, которые помогут вам выучить и запомнить материал, чтобы вы могли использовать его в дальнейшем в своей повседневной практике.
Висцеральная брюшина
Как видите, поперечные сечения очень важны в анатомии.Часто недостаточно используемые как в обучении, так и в атласах, они являются ключом к рассеиванию облаков и вносят ясность в ваши анатомические знания. Эти разделы являются скорее ингредиентом, чем полным рецептом, эти разделы используются одновременно с другими источниками и представлениями, чтобы превратить вас в лучшего врача, которым вы потенциально можете быть.
Клиническая ценность: готовит к будущему
Компьютерная томография и Магнитно-резонансная томография – два наиболее распространенных диагностических теста, выполняемых после рентгеновских лучей.Другими словами, врачи ежедневно запрашивают и исследуют поперечные срезы. Хотя студенты-медики учатся читать такие изображения во время ротации в радиологическом отделении и во время ординатуры, предварительное воздействие на поперечные сечения было бы очень полезным.
Вместо того, чтобы начинать с нуля в больнице, вы могли бы изучить и попрактиковаться в интерпретации таких разделов в доклинические годы. Этот опыт облегчил бы обучение в клинике, поскольку основы уже были бы разработаны, что позволит вам углубить свои знания, а не изучать их заново.
Строительные сечения возврата акций Светлана Брызгалова, Маркус Пелгер, Джейсон Чжу :: SSRN
79 стр. Добавлено: 19 дек 2019 Последняя редакция: 28 сен 2020
См. Все статьи Светланы Брызгаловой Лондонская школа бизнеса – Департамент финансов
Стэнфордский университет – Департамент управленческих наук и инженерии
Стэнфордский университет – Менеджмент и инженерия
Дата написания: 25 сентября 2020 г.
Абстрактные
Мы показываем, как построить поперечное сечение доходности активов, то есть небольшой набор базовых или тестовых активов, которые собирают сложную информацию, содержащуюся в заданном наборе характеристик акций и охватывают стохастический коэффициент дисконтирования (SDF).Мы используем деревья решений, чтобы обобщить концепцию традиционной сортировки и представить новый подход к надежному восстановлению SDF, который эндогенно приводит к оптимальному разделению портфеля. Эти низкоразмерные долгосрочные инвестиционные стратегии, взвешенные по стоимости, хорошо диверсифицированы, легко интерпретируемы и одновременно отражают множество характеристик. Эмпирическим путем мы показываем, что традиционно используемые сечения портфелей и их комбинации, особенно децили и факторы длинно-коротких аномалий, представляют слишком низкое препятствие для оценки модели и служат неправильными строительными блоками для SDF.Созданные на основе тех же сигналов ценообразования, что и обычные двойные или тройные сортировки, наши поперечные сечения имеют значительно более высокие (до трех раз) коэффициенты Шарпа вне выборки и ошибки ценообразования по сравнению с ведущими моделями ценообразования в сокращенной форме.
Ключевые слова: Оценка активов, сортировка, портфели, сечение ожидаемой доходности, деревья решений, эластичная сеть, характеристики акций, машинное обучение
Классификация JEL: G11, G12, C55, C58
Предлагаемое цитирование: Предлагаемое цитирование
Ричард Платт, Стивен Бисти: 9780679853305: Amazon.com: Книги
На этот раз «невероятно» – не преувеличение. Эта великолепная книга предлагает распространение за распространением вырезанных иллюстраций, раскрывающих скрытую архитектуру 18 знаменитых построек, от готического собора до угольной шахты и космического челнока. Детали настолько сложны, что у читателя возникнет соблазн потянуться за увеличительным стеклом – каким-то образом Биести передает ощущение как пресловутого леса, так и его деревьев. Два складных помещения, почти три фута в длину, говорят о величественных масштабах их предметов: соответственно, океанского лайнера Queen Mary и паровоза, построенного в 1928 году.Выложенное в безошибочном стиле Дорлинга Киндерсли, произведение искусства затем связано с абзацами необычного пояснительного текста (в одном из пунктов о галеонах говорится, что моряки убили 4000 крыс при переходе через Атлантический океан в 1622 году; информация о гигантском реактивном самолете включает описание того, как вентилируется воздух. из туалетов и как удаляются отходы). Сайты панатлантические – Эмпайр-стейт-билдинг показан вместе с лондонским метрополитеном – поэтому читатели не будут возражать, что представленный автомобильный завод прикрепляет рулевое колесо к «неправильной» стороне автомобиля.В этом бесконечно увлекательном занятии нет ни одной ошибки. Все возраста.
Copyright 1992 Reed Business Information, Inc.
Биести, которая специализируется на исторических и архитектурных вырезках, анализирует 18 зданий, транспортных средств и т. Д. (От замка до космического корабля), чтобы показать их вены, сухожилия и кости. Каждый тщательный рисунок заполняет красочный двойной разворот большого размера; два («Королева Мэри» и паровоз «Летающий шотландец») складываются на 40 дюймов. Представленные краткими текстами и окруженные подписями, включающими исторические знания, факты и анекдоты, они содержат сотни мельчайших деталей конструкции и функций.Читатели могут так же навязчиво относиться к этой увлекательной книге, как и к Уолдо (одна из проблем здесь – найти фигуры, сидящие в туалете – их как минимум десять). Чертежи нелегко раскрыть все свои секреты: требуются значительные усилия, чтобы собрать воедино то, что происходит на автомобильном заводе или на нефтяной платформе в Северном море. Тем не менее, эта графическая информация будет восприниматься более интегрированным образом, чем из линейного текста. В одном или двух местах подписи указывают на неправильную область рисунка, и иногда они искажаются глупыми каламбурами.Одна ошибка: в Боингах 747 обычно не используются микроволновые печи – они слишком неэффективны для крупногабаритной еды и могут создавать помехи для радио. В целом: очень занимательно и поучительно. Показатель. (Документальная литература. 8-80 +) – Copyright © 1992, Kirkus Associates, LP. Все права защищены.
Обзор
“Читатели будут очарованы этими замысловатыми иллюстрациями, на которых изображены модели самых разных транспортных средств и зданий. От внутреннего устройства европейского замка XIV века до жизненно важных тонкостей орбитального корабля космического челнока – подробные чертежи удивительно реалистичны.В этом поразительном огромном томе чувство юмора придает аромат как искусству, так и тексту, которое гарантированно заинтригует как браузеры, так и серьезных исследователей ». – Список книг.
С внутренней стороны откидной створки
И все же лучшая, книга «Невероятные поперечные сечения» IRA Children’s Choice Book снова доступна – теперь по более низкой цене! Удивительные оригинальные рисунки в поперечном разрезе, которые появляются после распространения, переносят читателя внутрь 18 самых интересных строений мира – от Эмпайр-стейт-билдинг до обсерватории Хейла.И две из замечательных иллюстраций – “Королева Мария” и паровоз “Летающий шотландец
” – складываются в длину почти на три фута!
Об авторе
Ричард Платт и Стивен Бисти живут в Англии.
.

Как построено	В процессе сборки – Revit	В процессе сборки – AutoCAD	VirtuSurv – VirtuSurv 2018	В заводском исполнении – разработчик моделей	VirtuSurv – VirtuSurv 2019
BuildIT	BuildIT – Проектор	BuildIT – Строительство	BuildIT – Метрология
CAM2	CAM2 – SmartInspect	CAM2 – 2018	CAM2 – Измерение 10	CAM2 – Измерение Q	CAM2 – Измерение X	CAM2 – Измерение 3/4	CAM2 – AnthroCAM	CAM2 – 2019	CAM2 – 2020	CAM2 – 2021
Cobalt 3D Imager	3D-имидж-сканер – кобальт
Cobalt Design	Кобальтовый дизайн – M	Кобальтовый дизайн – S	Cobalt Design – двойной
Компьютеры	Компьютеры – все компьютеры
FARO Aras 360 и CAD Zone	Зона FARO CAD – Пожарная безопасность и страхование	Зона FARO CAD – Преступления и аварии	FARO CAD Zone – Облако точек CZ	FARO CAD Zone – Первый взгляд Pro	FARO 360 – Реальность	FARO 360 – HD	FARO 360 – Блиц	FARO 360 – Genius
Зона FARO	присутствует4D – присутствует4D
Зона FARO 2D	ФАРО Зона 2D – 2018	ФАРО Зона 2D – 2019	ФАРО Зона 2D – 2020	ФАРО Зона 2D – 2021
Зона FARO 3D	ФАРО Зона 3D – 2018	ФАРО Зона 3D – 2019	Зона ФАРО 3D – 2020	Зона ФАРО 3D – 2021
FARO Zone 3D Advanced	FARO Zone 3D Advanced – 2018	FARO Zone 3D Advanced – 2019	FARO Zone 3D Advanced – 2020	FARO Zone 3D Advanced – 2021
ФароАрм / СканАрм	ФароАрм / СканАрм – Quantum S	ФароАрм / СканАрм – Quantum M	FaroArm / ScanArm – Quantum E	FaroArm / ScanArm – Edge	FaroArm / ScanArm – Fusion	ФароАрм / СканАрм – Прайм	FaroArm / ScanArm – Платина	FaroArm / ScanArm – Наследие Quantum	FaroArm / ScanArm – Титан	FaroArm / ScanArm – Преимущество
ФароАрм / СканАрм	FaroArm / ScanArm – Цифровой шаблон	FaroArm / ScanArm – Gage	FaroArm / ScanArm – Quantum S Max	ФароАрм / СканАрм – Quantum M Max	FaroArm / ScanArm – Quantum E Max	FaroArm / ScanArm – Gage Max
Ручной сканер	Ручной сканер 2D – ScanPlan	Ручной 3D сканер – Freestyle3D	Ручной 3D сканер – Freestyle3D X	Ручной 3D сканер – Объекты Freestyle3D	Ручной 3D сканер – Freestyle 2
Качество языка	HT	MT	AT	NT	INT – внутренний	Продажи – внутренние ресурсы	Продажи – Заказ и предложение	Продажи – Информация о продукте	Продажи – Готовность к продажам	Продажи – Обучение
Качество языка	CS – Процедуры и продукция	Продажи – Запуск продукта	Распродажа – Акции	CS – Цитата в счет-фактуру	CS – Телефонная система	CS – Обучение новых сотрудников	CS – Общие	CS – FARON, новый пользователь	CS – Настройки Salesforce	CS – Информация о продукте
Качество языка	CS – Лицензирование
Языки	Язык – английский	Язык – японский	Язык – немецкий	Язык – китайский	Язык – испанский	Язык – итальянский	Язык – португальский	Язык – французский
Лазерный проектор	RayTracer – RayTracer	Лазерный проектор – Tracer M	Лазерный проектор – Tracer SI
Лазерный радар	Лазерный радар для визуализации изображений – VectorRI
Лазерный сканер	Лазерный 3D-сканер – Focus S	Лазерный 3D-сканер – Focus M	Лазерный 3D-сканер – Focus3D	Лазерный 3D-сканер – Focus3D X	Лазерный 3D-сканер – Focus3D X HDR	Лазерный 3D-сканер – Focus3D S	3D лазерный сканер – Photon	Лазерный 3D-сканер – Focus S Plus	3D лазерный сканер – Swift
Laser Tracker	Лазерный трекер – Vantage	Лазерный трекер – ION	Лазерный трекер – Vantage S	Лазерный трекер – Si	Лазерный трекер – X	Лазерный трекер – Xi	Лазерный трекер – Vantage E	Лазерный трекер – Vantage S6	Лазерный трекер – Vantage E6
Legacy Gage	Legacy Gage – Bluetooth	Legacy Gage – Plus	Legacy Gage – стандартный	Legacy Gage – мощность
Устаревшее программное обеспечение	Устаревшее программное обеспечение – CAM2 Gage	Устаревшее программное обеспечение – Программное обеспечение Gage	Устаревшее программное обеспечение – Insight
PointSense	PointSense – Базовый	PointSense – Pro	PointSense – Корпус	PointSense – Завод	PointSense – Наследие	PointSense – Revit	CAD – TachyCAD Building	CAD – TachyCAD Archeology	CAD – TachyCAD Interior	CAD – PhoToPlan Basic
PointSense	CAD – PhoToPlan	CAD – PhoToPlan Pro	CAD – PhoToPlan Ultimate	CAD – DisToPlan	CAD – MonuMap	CAD – hylasFM	CAD – VirtuSurv
RevEng	RevEng – RevEng
ScanArm	ScanArm – Дизайн ScanArm 2.0	ScanArm – Дизайн ScanArm	ScanArm – Криминалистический ScanArm	ScanArm – Дизайн ScanArm 2.5C
СЦЕНА	СЦЕНА – захват и обработка	СЦЕНА – сервер WebShare и 2Go	СЦЕНА – приложение WebShare 2Go	СЦЕНА – 2018	СЦЕНА – 7.х	СЦЕНА – 6.x	СЦЕНА – 5.x	СЦЕНА – 4.x	СЦЕНА – LT	СЦЕНА – 2019
СЦЕНА	СЦЕНА – приложение 2go	СЦЕНА – 2020	СЦЕНА – 2021
Серийный FaroArm	Серийный FaroArm – Серебро	Серийный FaroArm – золото	Серийный FaroArm – бронза
Визуальный осмотр	Визуальный осмотр – приложение	Визуальный осмотр – переводчик САПР
WebShare	WebShare – предприятие	WebShare – Облако WebShare

Учимся строить сечения многогранников. Часть 2.

Как научиться строить сечения. Построения сечений многогранников

17. Построение сечения цилиндра.

Задача на сечение параллелепипеда

Построение сечений тетраэдра. Решение задач

1. Содержание:

6. Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K

7. Решение задач на построение сечений тетраэдра

8. Цель: научиться строить сечения тетраэдра

9. Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K

10. Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K

11. Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K

12. Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

13. Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

14. Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

15. Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

16. Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

17. Самостоятельная работа

18. Вариант 1

19. Вариант 1 ответ

20. Вариант 1

21. Вариант 1 ответ

22. Вариант 2

23. Вариант 2 ответ

24. Вариант 2

25. Вариант 2 ответ

26. Вариант 3

27. Вариант 3 ответ

28. Вариант 3

29. Вариант 3 ответ

30. Творческое домашнее задание

31. Подведение итогов работы на уроке

32. Китайская пословица

Конспект урока по теме: Тетраэдр.Построение сечений

Как строить сечения. Первый урок на построение сечений многогранников

Дидактические материалы по теме “Сечения”. 10 класс

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ тетраэдра и параллелепипеда Цель урока научиться

Мы не можем найти эту страницу

Создание геологического разреза

Студенческое задание

Начало работы

Размещение данных

На что следует обратить внимание

Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Что сохраняется в файле cookie?

Анализ поперечного сечения с помощью BuildIT Construction

Определение и важность поперечной анатомии.

Ваш мозг хочет 3D

Дает другую перспективу

Облегчает обучение

Поперечные сечения – все и все?

Клиническая ценность: готовит к будущему

Строительные сечения возврата акций Светлана Брызгалова, Маркус Пелгер, Джейсон Чжу :: SSRN

Добавить комментарий Отменить ответ