Как показать узел на чертеже: Узлы и сечения на строительных чертежах по ГОСТ

Обозначение на чертежах строительных – Стр 2

Выноски и ссылки на строительных чертежах. На чертежах планов,

разрезов и фасадов из-за мелкого масштаба изображения нельзя достаточно подробно показать отдельные детали и узлы здания. Однако в проекте или альбоме типовых деталей может быть дан узел или деталь, вычерченные в более крупном масштабе с достаточной степенью детализации. В таком случае на эту деталь или узел делается ссылка на основном чертеже. Выноски, ссылки, поясняющие надписи на строительных чертежах выполняют по ГОСТ 2.316-68 и ГОСТ 2.305-68 ЕСКД с учётом требований ГОСТ 21.101-97 СПДС.

Линии-выноски, как правило, заканчиваются полками, на которые наносят краткие указания. Линию-выноску, пересекающую контур изображения и не идущую от какой-либо линии, заканчивают точкой. Линию-выноску, отводимую от линии видимого или невидимого контура, а также от линий, обозначающих поверхность, заканчиваются стрелкой (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Нанесение линий-выносок

Линии-выноски не должны пересекаться между собой. Если линиявыноска проходит по заштрихованному полю, она не должна быть параллельна линиям штриховки. Допускается выполнять линии-выноски с одним изломом, а так же проводить от одной полки две и более линии-выноски. Надписи, относящиеся непосредственно к изображению, могут содержать не более двух строк, расположенных над полкой линии-выноски и под ней. Допускается марки (позиции) элементов наносить на общей полке нескольких линий-выносок

11

или без линий-выносок рядом с изображением или в пределах контура

(рис. 3.9).

Рис. 3.9. Линии-выноски с общей полкой

Выносные надписи к многослойным конструкциям делают на этажерках (рис. 3.10). В этом случае линия-выноска представляет собой прямую линию со стрелкой. На этой выносной надписи в порядке расположения слоёв даётся наименование материала или конструкции с указанием размеров. Последовательность надписей к отдельным слоям должна соответствовать последовательности их расположения на чертеже сверху вниз или справа налево.

Рис. 3.10. Обозначение многослойных материалов

Выносные элементы – узлы, фрагменты фасадов, планов, разрезов, выполняют по ГОСТ 2.305-68 с учётом требований СПДС. Выносной элемент – отдельное увеличенное изображение какой-либо части конструкции или здания, требующее дополнительных графических пояснений. При выполнении чертежей узлов, то место, которое необходимо показать на выносном элементе, отмечают на виде (фасаде), плане, разрезе замкнутой сплошной тонкой линией (окружность или овал) с указанием на полке линии-выноски порядкового номера выносного элемента арабской цифрой. Если на полке линии-выноски стоит

12

одна цифра, это значит, что выносной элемент расположен на том же листе, что и основной чертёж. Если узел (выносной элемент) размещён на другом листе основного комплекта рабочих чертежей, то под полкой линии-выноски или рядом с номером узла в скобках, указывают номер листа, на котором помещён узел. При вычерчивании выносного элемента тип изображения (вид, разрез узла) может быть такой же, как и на основном чертеже. Ориентация его при этом должна соответствовать так же положению на основном чертеже.

Выносной элемент обозначается маркировочным кружком диаметром 12–14 мм. Если узел расположен на том же листе, что и основной чертёж, то в кружке указывают его порядковый номер. Если же узел расположен на другом листе и на него не сделана ссылка, то маркировочный кружок делится горизонтальной линией на две части. В верхней части указывается номер узла, а в нижней части указывают номер листа, на котором узел замаркирован. Внутри кружка ставят цифру, обозначающую номер узла. Кружок с номером узла рекомендуется размещать над выносным элементом или справа от него. Ссылку на узлы, которые даются в сечении, изображают с помощью сплошной толстой линии, которая проходит через рассекаемые элементы, и тонкой линиейвыноской с полочкой или без неё (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Выносные элементы и их обозначение

13

Фрагменты на фасадах и планах зданий или сооружений обозначают фигурной скобкой. Под фигурной скобкой, а так же над соответствующим фрагментом, наносят его наименование, например: «Фрагмент фасада». Если фрагмент помещён на другом листе основного комплекта, то его обозначение аналогично обозначению выносного элемента.

4.КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОСНОВНЫХ КОНСТРУКТИВНЫХ

ИАРХИТЕКТУРНЫХ ЭЛЕМЕНТАХ ЗДАНИЯ

Общий чертёж здания представляет собой сборочный чертёж, так как каждое здание в целом состоит из отдельных частей-узлов, а каждый узел состоит из отдельных элементов. Для понимания строительного чертежа следует вначале ознакомиться с терминологией, применяемой в строительном деле. Для этого надо рассмотреть основные части, из которых состоит здание.

Деталь строительная (деталь) – часть строительной конструкции (изделия), изготовленная из однородного материала без применения сборочных операций, например: нога стропильная, стержень арматурный, петля монтажная.

Изделие строительное – элемент заводского изготовления, поставляемый на строительство в готовом виде.

Рис. 4.1. Типовые железобетонные изделия

14

На рис. 4.1 приведены некоторые виды железобетонных изделий: 1– фундаментный блок, 2,3– стеновые блоки, 4– настил перекрытия, 5– плита перекрытия с круглыми отверстиями, 6– ригель или прогон, 7– колонна, 8– лестничный марш, 9– мозаичная проступь, 10– балконная плита.

Строительные изделия изготавливаются либо из разнородных материалов (бетон и стальная арматура), либо из однородного материала с помощью сборочных операций (стропила деревянные, блоки фундаментные и др.).

Здание – наземное сооружение, включающее различные изолированные помещения (жилые дома, школы, театры, заводские корпуса и т. п.).

Конструктивными элементами зданий являются отдельные части, изображённые на рис. 4.2 и рис. 4.3.

Рис. 4.2. Здание с совмещённой кровлей

15

Рис. 4.3. Здание со стропильной крышей

Основание – слой грунта, на который опирается фундамент и который воспринимает вес здания. Основания бывают естественные (грунт) и искусственные (сваи и т. п.).

Фундамент – это часть здания, которая находится в земле и на которую опираются стены и колонны. Фундамент служит для передачи и распределения нагрузки от здания на грунт. Верхняя часть фундамента называется поверхностью, или обрезом, а нижняя – подошвой фундамента.

16

Отмостка служит для отвода атмосферных вод от стен здания. Отмостка состоит из бетонной подготовки и асфальтового покрытия, но могут применяться и другие конструкции и материалы. Обычно ширину отмостки принимают равной 700–1000 мм, с уклоном 1–3 %.

Гидроизоляция защищает стены здания от увлажнения грунтовой водой. Чаще всего гидроизоляцию делают из двух слоёв рубероида, склеенных битумной мастикой, или из других материалов.

Цоколь – нижняя часть стены над фундаментом до уровня пола первого этажа. Цоколь предохраняет эту часть стены от атмосферных влияний и механических повреждений. Кроме того, цоколь зрительно придаёт зданию более устойчивый вид.

Стены представляют собой вертикальные ограждения помещений, начинающиеся от фундаментов. Назначением стен является ограждение помещений от внешней среды (наружние стены) или от смежных помещений (внутренние стены). Стены, несущие нагрузку от других, опирающихся на них конструктивных элементов здания, называют несущими, или капитальными. Стены, опирающиеся на фундамент, но не несущие нагрузок от других элементов зданий, кроме собственного веса, называют самонесущими. Материалом стен могут служить кирпич, бетон, дерево, пластмасса и т. п. Толщина шва кирпичной кладки должна быть не менее 10 мм.

Карниз – горизонтальный профилированный выступ стены, служащий для отвода от поверхности стен атмосферных осадков. Величина, на которую карниз выступает за поверхность стены, называется выносом карниза или карнизным свесом. Карниз, расположенный по верху стены, называют венчающим или главным. Венчающий карниз придаёт зданию законченный вид. Промежуточные карнизы, имеющие меньший вынос, устраивают обычно на уровне междуэтажных перекрытий и называют поясками. Небольшие карнизы над окнами и дверьми называют сандриками.

Парапет – часть стены, расположенная выше карниза и заменяющая ограждение.

Треугольную стенку, закрывающую пространство чердака при двухскатных крышах и обрамлённую карнизом, называют фронтоном, а без карниза –

щипцом.

Проёмы – отверстия в стенах для окон и дверей. Боковые и верхние плоскости проёмов называют откосами (притолоками).

Простенок – участок стены, расположенный между проёмами. Четверть – прямоугольные выступы, предназначенные для опирания

оконных и дверных коробок.

Перемычка – конструкция, перекрывающая проём сверху и воспринимающая нагрузку от расположенной выше кладки с передачей её на простенки.

Ниша – углубления в стене для размещения в них различного оборудования (встроенных шкафов, труб, батарей отопления и др.).

Раскреповкой называют уступы, образованные изменением толщины стен по их длине (в плане).

17

Пилястры – вертикальные узкие выступы стен (для увеличения устойчивости стен).

Полуколонны – вертикальные узкие выступы полукруглого сечения. Контрфорсы – вертикальные выступы стен с наклонной внешней гра-

нью.

Перегородки разделяют внутреннее пространство здания в пределах этажа на отдельные помещения. Толщина межкомнатных перегородок 50–180 мм.

Перекрытия разделяют здание по высоте на этажи или отделяют верхний этаж от чердака. В первом случае их называют междуэтажными, а во втором – чердачными. Если под первым этажом есть подвал, то перекрытие называют надподвальным. Конструкция перекрытий включает, обычно, несущие и изолирующие элементы, пол и потолок.

Крыши состоят из несущей и ограждающей частей. Несущими конструкциями чердачных крыш являются стропила. В зданиях небольшой ширины или при наличии внутренних опор (внутренняя капитальная стена) применяют наслонные стропила. Если в здании значительной ширины внутренние опоры отсутствуют, то в качестве несущей конструкции крыши устраивают висячие стропила (стропильные фермы). Стропильные ноги наслонных стропил опираются на подстропильные брусья – мауэрлаты, уложенные по верхнему обрезу стен. Мауэрлат может состоять из брусьев – коротышей, размещаемых только под каждой стропильной ногой.

Ограждающей частью крыши является верхний водонепроницаемый слой, т. е. кровля и основание под неё. Основанием для кровли служит обрешётка – бруски или доски, уложенные на стропильные ноги параллельно стенам здания.

Кобылка – короткая доска, которую прибивают к стропильной ноге для крепления обрешётки в карнизной части крыши.

Плоскости, образующие крышу, называются скатами. На практике применяются разнообразные формы скатных крыш (рис. 4.4).

Пересечения скатов крыш образуют двугранные углы, которые называются разжелобками или ендовами, если обращены книзу, и рёбрами, если обращены кверху. Верхнее расположенное горизонтально ребро называется коньком. В четырёхскатных крышах скаты, направленные к торцевым стенам, назы-

ваются вальмами.

Рис. 4.4. Примеры построения планов крыш

18

Рис. 4.5. Типы крыш

Окна служат для освещения и проветривания помещения. В строительной практике используют оконные блоки. Оконный блок состоит из оконной коробки, остеклённых переплётов и подоконной доски. Оконная коробка представляет собой раму и является неподвижной частью оконного блока. Коробку устанавливают в оконный проём. К оконной коробке крепят переплёты. Вертикальные переплёты называют створками, горизонтальные – фрамугами. Фрамуги чаще всего располагают в верхней части окна над створками. Створки и фрамуги могут быть открывающимися или неоткрывающимися (глухими) Оконные переплёты определяют тип окна. Оно может быть одно-, двух-, трёхстворчатое или с балконной дверью. Окна могут быть с одинарным, двойным или с тройным остеклением.

19

Рис. 4.6. Типы окон

На рис. 4.6 показаны окна: а – одностворчатое; б – двухстворчатое; в – трёхстворчатое; г – с балконной дверью (1 – форточка; 2 – глухая фрамуга; 3 – вертикальная створка переплёта; 4 – средник; 5 – открывающаяся фрамуга; 6 – импост).

Двери служат для сообщения между помещениями. На дверные коробки, укреплённые в проёмах стен, навешивают дверные полотна. По числу полотен различают двери одно-, двупольные. По способу открывания двери можно разделить на открывающиеся в одну или в обе стороны, вращающиеся двери – турникеты, складчатые, откатные и подъёмные. Дверные полотна могут быть

глухими, остеклёнными и полностью из стекла.

Лестницы являются средством сообщения между этажами. Они состоят из наклонных элементов – маршей и горизонтальных элементов – площадок.

Пандус – гладкий наклонный въезд или вход в здание или помещение. Уклон пандуса небольшой – от 5 до 12 %.

20

Создание видов на чертежах | Tekla User Assistance

1. Главная
2. Tekla Structures
3. Create drawings
4. Edit drawings
5. Create and modify drawing views
6. Создание видов на чертежах

Tekla Structures

2022

Tekla Structures

После создания чертежа можно вручную добавить на него дополнительные виды.

На существующем чертеже можно создать виды следующих типов:

• Виды сечений
• Виды криволинейных сечений
• Виды узлов
• Виды спереди, сверху, сзади и снизу деталей
• 3D-виды деталей
• Виды чертежа из целого вида модели
• Виды чертежа из выбранных областей на виде модели
• Виды чертежа из выбранных областей на виде чертежа

Создавать виды сечений деталей на виде чертежа можно на открытом чертеже, содержащем хотя бы один вид.

1. Сначала задайте свойства метки сечения: На вкладке Чертеж выберите Свойства > Метка сечения.
2. Измените свойства подписи сечения, символа направления разреза и линии разреза.

   Дополнительные сведения см. в разделах Изменение свойств меток сечения и Задание подписей видов и меток в подписях видов.

3. Задайте свойства вида сечения: На вкладке SHIFT, удерживая клавишу Виды, выберите Вид сечения.
4. Внесите необходимые изменения в свойства вида.

   Дополнительные сведения см. в разделе Свойства видов на чертежах.

5. Укажите две точки, чтобы задать положение плоскости сечения.
6. Укажите две точки, чтобы задать направление рамки разреза и глубину вида сечения.
7. Укажите местоположение для вида сечения.

(1) Первые две указанные точки задают положение плоскости сечения.

(2) Третья указанная точка определяет направление рамки разреза и глубину вида сечения. Глубину можно слегка преувеличить.

(3) При указании четвертой точки создается рамка разреза.

(4) Символ вида следует за указателем мыши при размещении вида сечения. Вид сечения размещается в выбранном месте. После создания вид сечения остается выбранным, а граница вида выделяется.

На исходный вид наносится метка сечения. Сразу же после создания вида сечения граница вида сечения выделяется также на исходном виде.

Можно создать вид криволинейного сечения из существующего вида чертежа. Это удобно делать, когда требуется показать развернутую грань здания или обшивку.

Ограничение: создать вид криволинейного сечения не удастся, если сечение создается для вертикального или трехмерного криволинейного объекта.

1. Откройте чертеж.
2. Сначала задайте свойства метки сечения: На вкладке Чертеж выберите Свойства > Метка сечения.
3. Измените свойства подписи сечения, символа направления разреза и линии разреза.

   Дополнительные сведения см. в разделах Изменение свойств меток сечения и Задание подписей видов и меток в подписях видов.

4. Задайте свойства вида сечения: удерживая клавишу SHIFT, на вкладке Виды нажмите Вид криволинейного сечения.
5. Внесите необходимые изменения в свойства вида.

   Дополнительные сведения см. в разделе Свойства видов на чертежах.
6. Укажите три точки на плоскости разреза.
7. Укажите две точки для задания рамки разреза.
8. Укажите точку, чтобы задать местоположения вида криволинейного сечения.

   Символ вида следует за курсором, позволяя увидеть, где будет размещен вид криволинейного сечения.

Tekla Structures создает вид криволинейного сечения, используя текущие свойства вида и метки сечения, и добавляет на исходный вид метку сечения. После создания вида свойства можно изменить.

Можно создать вид узла из выбранной области на существующем виде чертежа внутри другого вида. По умолчанию вид узла имеет тот же масштаб, что и главный вид, однако в некоторых средах масштаб вида узла увеличивается. Направление вида узла совпадает с направлением исходного вида. Прежде чем создавать подпись вида узла и метку узла, задайте начальный номер или букву в свойствах чертежа.

1. Откройте чертеж.
2. Сначала задайте свойства метки узла: На вкладке Чертеж выберите Свойства > Метка узла.
3. Введите имя для узла и измените свойства подписи вида узла, границы узла и метки узла в диалоговом окне Свойства символа узла.
4. Нажмите кнопку ОК или Применить.
5. Задайте свойства вида: На вкладке SHIFT, удерживая клавишу Виды, выберите Вид узла.
6. Внесите необходимые изменения в свойства вида.

   Дополнительные сведения см. в разделе Свойства видов на чертежах.

7. Нажмите кнопку ОК или Применить.
8. В зависимости от выбранной формы границы узла выполните одно из следующих действий:
9. Укажите местоположение метки узла.
10. Укажите местоположение вида узла.

Tekla Structures создает вид узла, используя текущие свойствах в диалоговых окнах Свойства вида и Свойства символа узла. Глубина вида для вида узла берется с исходного вида, даже если вы попытаетесь ее изменить. После создания вида свойства можно изменить.

(1) Форма границы узла — Окружность. Символ узла можно увеличить или уменьшить, перетаскивая ручку на границе узла.

(2) Метка узла

(3) Вид узла

(4) Подпись вида узла

Задание начального номера или буквы для подписи и метки вида узла

1. Дважды щелкните открытый чертеж.
2. Щелкните переключатель установки/снятия флажков внизу диалогового окна и установите только флажок рядом с кнопкой Вид узла.
3. Нажмите Вид узла.
4. Введите начальный номер или букву.
5. Нажмите кнопку Изменить.

На чертеже отдельной детали, отлитого элемента или сборки можно создать дополнительные виды детали. Можно выбрать плоскость детали (передняя, верхняя, задняя, нижняя) для использования на виде или создать 3D-вид детали.

1. Откройте чертеж.
2. На вкладке Виды выберите Вид детали и затем одну из следующих команд:
3. Дважды щелкните рамку вида, чтобы открыть диалоговое окно Свойства вида, и внесите необходимые изменения в свойства вида.
4. Нажмите кнопку Изменить.

В примере ниже чертеж первоначально содержал только вид спереди. Были добавлены трехмерный вид и вид сверху. Угол 3D-вида был изменен в диалоговом окне Свойства вида.

Можно создать вид чертежа из целого вида модели и добавить его на чертеж.

1. Откройте чертеж.
2. Откройте список видов модели: на вкладке Виды выберите Виды модели > Список видов модели и оставьте список открытым.
3. Задайте свойства вида чертежа: удерживая клавишу SHIFT, на вкладке Виды нажмите Весь вид модели.
4. Измените свойства вида, например масштаб вида, и нажмите кнопку ОК или Применить.
5. Откройте вид модели из списка видов модели.
6. Щелкните открытый вид модели.

Tekla Structures создает вид чертежа, используя текущие свойства вида. Глубина вида чертежа соответствует глубине вида модели. Tekla Structures вычисляет границы так, чтобы вид модели целиком поместился на виде чертежа, после чего вид помещается на чертеж.

Можно создать вид чертежа из выбранной области в модели и добавить его на чертеж.

1. Откройте чертеж.
2. Откройте список видов модели: на вкладке Виды выберите Виды модели > Список видов модели и оставьте список открытым.
3. Задайте свойства вида чертежа: удерживая клавишу SHIFT, на вкладке Виды нажмите Область на виде модели.
4. Внесите в свойства вида чертежа необходимые изменения и нажмите кнопку ОК или Применить.
5. Откройте вид модели из списка видов модели.
6. Укажите в модели два угла, чтобы определить размеры вида чертежа по осям X и Y.

   Размеры по осям X и Y основываются на системе координат вида модели. Глубина вида равна заданной в настройках, примененных в свойствах вида чертежа.

Tekla Structures создает вид чертежа, используя текущие свойства вида, и помещает вид на текущий чертеж.

Можно создать новый вид чертежа из области на существующем виде чертежа.

Чтобы создать новый вид чертежа из области на существующем виде чертежа, выполните следующие действия.

1. Откройте чертеж.
2. Удерживая клавишу SHIFT, на вкладке Виды нажмите Область на виде чертежа.
3. Цвет подписи вида можно изменить.

   Другие свойства вида наследуются из исходного вида чертежа. Дополнительные сведения о свойствах видов чертежа см. в разделе Свойства видов на чертежах.

4. Нажмите кнопку ОК или Применить.
5. Выберите на виде чертежа область, которую требуется добавить на новый вид.
6. Выберите местоположение для нового вида.

   Символ, представляющий созданный вид, следует за указателем мыши, позволяя видеть будущее местоположение вида.

Tekla Structures создает вид чертежа, используя свойства исходного вида.

Was this helpful?

What is missing?

Назад Далее

Искусство и магия тривиального узла

Питер Превос | 7 июля 2021 г.
Последнее обновление | 28 сентября 2021 г.
2119 слов | 10 минут

Поделиться этим контентом

Наука

Математика

Одно из моих самых больших разочарований при поливе сада заключается в том, что шланг всегда кажется завязанным узлом. Независимо от того, насколько тщательно я сворачиваю его, узлы появляются везде, где они вам не нужны — на садовых шлангах, проводах наушников, удлинителях или даже на ваших мышцах. Однако в большинстве случаев эти узлы — всего лишь иллюзия, а мой шланг — всего лишь сложный «узел», как сказали бы математики.

Математики очень подробно изучают узлы. Не для того, чтобы их садовые шланги не запутались, а для того, чтобы лучше понять реальность. Например, этот раздел математики дает представление о структуре ДНК и запутанности в квантовой механике и о поведении жидкостей. Но узлы сами по себе могут быть красивыми и увлекательными объектами изучения.

Развязанный узел, также известный как тривиальный узел, является самым простым узлом. В своей простейшей форме это просто цикл, но со скрытой сложностью. Развязка обманчива, потому что то, что выглядит как узел, на самом деле таковым не является. Математики разработали сложные узлы для изучения их свойств. Незавязанный узел также вдохновлял художников как произведения искусства. Наконец, фокусники разработали методы создания узлов, которые выглядят как настоящие узлы.

Эта статья — ода тривиальному узлу и содержит галерею математических, художественных и магических диаграмм незавязанных узлов.

Проблема развязывания

Теория узлов — молодой раздел математики, зародившийся около века назад. Математический узел — это не то же самое, что узел в реальном мире. Вместо этого математические узлы представляют собой замкнутые петли в трехмерном пространстве. Петли должны быть закрыты, чтобы гарантировать, что их свойства останутся прежними, когда мы их деформируем. Математики определили тысячи узлов и проанализировали их свойства. На изображении ниже показаны первые четыре основных узла.

Проекции первых четырех основных узлов.

Незавязанный узел — это замкнутая петля, которая не завязана узлом. Это запутанный способ сказать, что узел — это круг. Хотя это описание максимально простое, не всегда понятно, завязана петля или просто кольцо. На диаграмме ниже показаны два примера, которые бесспорно не завязаны.

Две простые проекции узла.

Одной из фундаментальных и наиболее сложных задач теории узлов является задача о развязывании узлов.0046 . В то время как в физическом мире вы просто дергаете за нитку, чтобы проверить ее узел, нам требуется более строгий и воспроизводимый процесс в абстрактном мире математики. Пример ниже выглядит как настоящий узел, но вы увидите, что это просто петля, когда вы создадите ее из куска веревки.

Проекция противного тривиального узла с 7 пересечениями. ¹

Проблема развязывания обманчива, потому что сложные проекции развязывания выглядят как настоящие узлы. Математики разработали множество систематических методов, чтобы проверить, является ли запутанная петля реальным узлом или просто тривиальным узлом.

Райдемайстер движется

Движения Рейдемейстера — старейшая проверка того, является ли узел тривиальным. Это набор из трех разрешенных изменений узла для перевода его из одного состояния в другое. Последовательность этих ходов является доказательством того, что узел на самом деле является развязанным узлом.

На приведенной ниже диаграмме показано, как распутать узел Виновника с помощью движений Райдемайстера. ² Обратите внимание, что первый шаг увеличивает количество пересечений, прежде чем его можно будет распутать.

Райдемайстер пытается развязать узел Виновника (10 переходов). 9{11}}$, где $n$ — количество пересечений.

Другими словами, если вы возьмете сложный узел с множеством пересечений и будете выполнять одно случайное движение Рейдемейстера в секунду, на поиск решения может уйти гораздо больше времени, чем множество веков Вселенной. Обратите внимание, что это непостижимо большое число является максимальным количеством случайных ходов. При наличии человеческого интеллекта большинство неувязок можно разрешить гораздо быстрее.

Алгоритмы развязывания

Ходы Райдемайстера — это наглядный и практичный способ распутать математические узлы. {C \log{n}}$ шагов, что меньше, чем несколько возрастов Вселенной.

В 1954 году Алан Тьюринг писал: «Пока не известен систематический метод, с помощью которого можно было бы определить, одинаковы ли два узла».

В 2021 году Марк Лакенби продемонстрировал выдающееся мастерство Гордиана, раскрывая новый алгоритм распознавания узлов, работающий за квазиполиномиальное времяhttps://t.co/0jGImTa9Uc pic.twitter.com/Y0n15Bu8DT @OxUniMaths) 2 февраля 2021 г.

Если вам интересно узнать о теории узлов, то я очень рекомендую лекцию Джессики Перселл по математике узлов из Школы математики Университета Монаша. Если вам нравится углубляться в теорию математических узлов, посмотрите увлекательные лекции Энтони Босмана в Университете Эндрюса.

Зал славы Unknot Diagram

Теоретики узлов, работающие над проблемой развязывания узлов, разработали несколько чертовски сложных тривиальных узлов для проверки своих догадок о проблеме развязывания узлов и своего программного обеспечения. ³

В то время как эти конструкции, безусловно, имеют математическое значение и играют роль в распутывании тайн вселенной, неузелок также может быть прекрасной вещью. Сложные узлы по своей сути обманчивы, потому что они не то, чем кажутся. Развязки — это замаскированные узлы, и попытка распутать их в уме может оказаться непростой задачей.

Гериц

Лебрехт Гериц был немецким математиком, который почти столетие назад сконструировал несколько тривиальных узлов. Его самый известный узел имеет одиннадцать пересечений. Прелесть этого узла в том, что вы можете увеличить количество перекрещиваний, добавляя клубки на левой и правой частях посередине.

Гёриц без узлов (11 скрещиваний). ⁴

Тистлтуэйт

Морвен Тистлтуэйт — теоретик узлов, внесший существенный вклад в эту область. Он стал соавтором нотации Даукера-Тистлтуэйта, которая представляет собой инструмент для кодирования узлов для компьютеров. Он также определил тривиальный узел с пятнадцатью пересечениями, который часто цитируется в литературе.

Тистлтуэйт (15 переходов). ⁵

Очиай

Японский исследователь Мицуюки Очиаи разработал компьютерную программу для решения проблемы развязывания узлов. Он также построил четыре сложных тривиальных узла с увеличивающимся числом пересечений для проверки своих теорем и программного обеспечения. На изображении ниже показаны первые два его творения.

Первые два тривиальных узла Очиай (16 и 45 пересечений). ⁶

Хакен

Вольфганг Хакен разработал самые сложные тривиальные узлы, доступные в литературе. Брайан Сандерсон привел пример того, как распутать творение Хакена.

Хакен известен тем, что совместно решил теорему о четырех красках, которая гласит, что любую карту можно заполнить только цветами, так что никакие две соседние области не будут иметь одинаковый цвет. Вы также можете применить эту теорему к его знаменитому узлу, показанному ниже.

Гордиев узел Хакена (141 пересечение). ⁷

Название этого узла связано с классической легендой о гордиевом узле. Александру Македонскому было предложено развязать узел. Местная легенда гласила, что тот, кто сможет отменить это, будет править Азией. Вместо того, чтобы использовать приемы Райдемайстера или осторожно распутать веревку, он смело перерезал ее своим мечом.

Развязки в искусстве

Узлы были частью человеческой культуры на протяжении десятков тысяч лет. Люди раннего каменного века использовали узлы для создания рыболовных сетей и связывания вещей. Узлы не только практичны; они также фигурируют в искусстве. Мы находим изображения узлов в искусстве культур по всему миру и на протяжении веков. ⁸

Традиционные песочные рисунки Вануату, о которых я говорил в предыдущей статье, выглядят как геометрические проекции узлов. Большинство дизайнов рисуются пальцем на песке одной непрерывной линией. Поскольку палец не отрывается от песка, эти узоры представляют собой тривиальные узлы.

Схема рисунка на песке Ни-Вануату (изображение черепахи и батата). ⁹

Незавязанность вдохновляла не только математиков, но и художников-визуалистов. Например, художник-абстракционист Джеймс Сиенна написал несколько работ, вдохновленных распутыванием. Будут ли эти конструкции на самом деле тривиальными узлами, еще неизвестно.

Мик Бертон — художник непрерывной линии, что означает, что он рисует картины одной непрерывной линией. Мик нашел вдохновение в теории узлов и, в частности, в гордиевом узле Хакена, благодаря которому была создана эта замечательная картина.

Мик Бертон, Скручивание, перекрывающаяся окраска гордиева узла Хакена.

Волшебное развязывание

Волшебники любят использовать веревки и узлы, чтобы создать иллюзию волшебства. В архиве колдовства перечислены сотни эффектов, связанных с узлами. Большинство из них либо вызывают появление узлов, либо их растворение.

Распускающийся узел — это фокус, в котором фокусник вроде бы завязывает настоящий узел, но он тает. Эти типы трюков неразборчивы в движении. Фокусники разработали ряд техник, чтобы завязать узел.

В этом видео фокусника Дуга Конна показано, как завязывать два наиболее распространенных распускающихся узла.

Дуг Конн, Учебное пособие по вязанию волшебных узлов.

Распутывание узлов обманчиво, потому что, по нашему опыту, каждая спутанная веревка завязана узлом. К сожалению, мы не можем определить, завязан ли узел на веревке, просто взглянув на него. Сложность проблемы развязывания узлов в математике поддерживает эту интуицию.

Так же, как математические узлы, растворяющиеся узлы названы в честь человека, который их составил. Двумя самыми известными вариантами являются узел Чефало и узел Охотничий лук, которым Дуг обучает в своем видео.

Магия и топология часто идут рука об руку, поскольку множество трюков используют топологию либо как метод, либо как сюжет. Известный теоретик узлов Луи Кауфман любит показывать на своих лекциях фокусы с узлами.

Итак, давайте относиться к этим двум растворяющимся узлам так же, как к математическим проекциям, которые мы видели выше. Сначала я сделала узлы, соединила концы и разложила их на столе, прежде чем распустить. Затем я сфотографировал веревки и нарисовал проекцию.

На полученных диаграммах показаны проекции узла Чефало (11 пересечений) и бантика Хантера (9 пересечений).переходы). Вы также можете комбинировать эти узлы, завязав узел Чефало поверх банта, что дает развязку с 20 пересечениями.

Возможно, математик, читающий эту страницу, сможет доказать, что это действительно тривиальные узлы, не дергая за концы.

Математическая проекция узла Чефало и банта Хантера.

Ода развязному

Эта ода неизвестному показывает, что она отнюдь не тривиальна. Наоборот, за неувязкой скрывается глубокая математическая сложность, и она вдохновляла как художников, так и фокусников.

Сложные тривиальные узлы обманчивы, потому что они кажутся более сложными, чем они есть на самом деле. Так что в следующий раз, когда вы застрянете с запутанным садовым шлангом, не паникуйте, а найдите развязку, которая прячется внутри. Возможно, более важный урок заключается в том, что как бы ни была запутана ваша жизнь, есть способ упростить ситуацию.

Не стесняйтесь обращаться ко мне или оставить комментарий ниже, если у вас есть какие-либо дополнения к моей коллекции unknots.

Примечания

---

¹

Адамс, CC, Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов (1994), Нью-Йорк: WH Фримен.

²

Генрих А. и Кауфман Л. Х., Unknotting Unknots, The American Mathematical Monthly , 121(5), 379 (2014) DOI 10.4169/amer.math.monthly.5.371.

³

Бертон, Б.А. и др. Жесткие диаграммы развязывания, (2021). архив: 2104.14076.

⁴

Кауфман, Л. Х., и Ламбропулу, С., Жесткие развязки и разрушающиеся клубки, Серия , посвященная узлам и всему , 187–247 (2011) DOI 10. 1142/9789814313001_0009.

⁵

Петронио, К., и Занеллати, А., Алгоритмическое упрощение диаграмм узлов: новые ходы и эксперименты (2016). архив: 1508.03226v3.

⁶

Очиаи, М., Нетривиальные проекции тривиального узла, Звездочка , 192, 7–10 (1990).

⁷

Стюарт, И., Кабинет математических редкостей профессора Стюарта (2008), Лондон: Profile Books.

⁸

Яблан С., Радович Л., Сазданович Р. и Зекович А., Узлы в искусстве, Symmetry , 4(2), 302–328 (2012) DOI 10.3390/ сим4020302.

⁹

Дикон, А. Б., и Веджвуд, С. Х., Геометрические рисунки с Малекулы и других островов Новых Гебридских островов, Журнал Королевского антропологического института Великобритании и Ирландии , 64, 129–175 (1934) DOI 10. 2307/2843952.

Поделитесь этим контентом

Виртуальные узлы

 

Узел представляет собой простую замкнутую кривую в трехмерном пространстве, где “простая” означает, что кривая не пересекает сама себя, а “замкнутая” означает он заканчивается там же, где и начинается, т. е. образует замкнутый цикл без свободных концов. Мы можем думайте об узле в этом смысле как о результате взятия отрезка кривой, завязывания узел в нем, а затем соединить концы вместе, чтобы узел не мог выйти отменено Обычно мы описываем узлы, рисуя картинки, называемые диаграммами узлов. А 9Схема узла 0258 — проекция или тень узла на плоскость, с ограничение, состоящее в том, что каждая точка на диаграмме является тенью не более чем две точки на узле. Каждая двойная точка, т. е. каждая точка, являющаяся тень двух точек на узле, называется пересечением , и рисуем пересечения на диаграмме узла с разрывами, чтобы показать, какая нить пересекается над и какая нить пересекает под.

Выбор направления движения вокруг узла называется ориентация узла, а узел вместе с конкретным выбором ориентации называется (что неудивительно) -ориентированным узлом.

Когда мы считаем ориентированным узлов, мы находим, что существует два типа перекрестков, соответствующих правша повороты и левосторонние повороты. Назовем один тип скрещивания положительный (правосторонний поворот) и другой тип минус (левый поворот), а знаки + и – будут присоединены к положительным и отрицательным перекресткам соответственно.

Любой разведчик или моряк знает, что существует множество различных узлов. В теории узлов мы хотели бы знать, когда два узла одинаковые и когда два узла разные. В частности, мы бы хотелось бы знать все возможные типы узлов.

Перемещение узла в пространстве не меняет его типа — в Чтобы получить другой узел, мы должны отрезать нить, завязать другой узел. узел в нем, и воссоединить концы. В общем, трудно сказать, просто взглянув на два узла. диаграммы, представляют ли они разные узлы или один и тот же узел. Интуитивное представление о “перемещении узла в пространстве” соответствует математическая идея эмбиентная изотопия; мы вольны растягиваться, сгибаться, и иначе деформируем узел и до тех пор, пока мы не порвем его или не пересечем это само по себе, мы не меняем, какой это узел. Когда один узел может быть получено от другого окружающим изотопия, два узла называются объемлющими изотопами . Другими словами, сказать, что два узла относятся к одному и тому же типу, значит просто сказать, что они окружающий изотопный.

С точки зрения диаграмм узлов окружающие изотопы переводятся в последовательности плоские изотопии и движения Рейдемейстера. А 9Изотопия плоскости 0258 позволяет нам перемещать кривую по плоскости, растягивая или сгибая ее, как мы хотим до тех пор, пока мы не пересекаем его с другой кривой или не смещаем его самолета. Если мы хотим переместить часть узла из одной позиции в плоскости к другой, есть четыре типа ситуаций, которые могут происходят, в зависимости от того, какие вещи могут быть на пути:

1. ничего (плоская изотопия)
2. дуга, которую мы хотим переместить (переместить I)
3. другая дуга (ход II)
4. перекрёсток (ход III)

В первой ситуации, когда ничего не мешает, мы просто делаем самолет isotopy, чтобы переместить дугу туда, где мы хотим. В остальных трех ситуациях мы применяем следующие ходов Рейдемейстера:

На этих рисунках мы имеем в виду, что если у нас есть две диаграммы узлов, которые идентичны за пределами изображенной области и единственное отличие от одного к другому происходит так, как показано на рисунке, то две диаграммы представляют одно и то же морской узел. Последовательность плоских изотопий и движений Рейдемейстера будем называть изотопия , и две диаграммы узлов, связанные изотопией, будут называется , изотопным .

Существует теорема, утверждающая, что две диаграммы узлов, возникающие из объемлющих изотопические узлы связаны серией плоских изотопий и Рейдемейстера движется, и, наоборот, плоские изотопии и движения Рейдемейстера могут быть «подняты» для получения объемных изотопий в узлах. Итак, если мы можем произвести серию эти движения, которые превращают одну диаграмму узла в другую, то мы будем иметь показано, что две диаграммы представляют один и тот же узел. Не будучи в состоянии создать такую ​​последовательность, однако, ничего нам не говорит — мы не можем были достаточно умны, чтобы найти правильную последовательность или последовательность ходов (если он существует) может быть очень сложным, включая тысячи или даже миллионы ходов.

Итак, чтобы доказать, что два узла не одинаковы, надо быть хитрее. Обычный метод, который используют теоретики узлов, состоит в том, чтобы разработать узел . инварианты, которые являются числовыми или алгебраическими величинами, связанными с конкретных диаграмм узлов таким образом, что выполнение Рейдемейстера перемещается по диаграмма не изменяет числовую величину. Если числовая величина рассчитанный по диаграмме узлов, остается неизменным при движениях Рейдемейстера (и плоские изотопии), то любые две диаграммы один и тот же узел даст нам такое же значение этого инварианта; в частности, если две диаграммы узлов дают нам разные значения для некоторого конкретного инварианта, тогда они не могут представлять один и тот же узел. Это дает нам возможность доказать, что две рассматриваемые диаграммы представляют разные узлы.

Однако, если две диаграммы узлов дают одно и то же значение для инварианта, это обычно не означает, что две диаграммы узлов представляют одно и то же морской узел; мы должны либо проверить другие инварианты, чтобы убедиться, что другой инвариант может различать диаграммы узлов или находить последовательность изотопий до мы можем определить, представляют ли две диаграммы один и тот же узел.

Поиск последовательностей изотопий и вычисление инвариантов могут быть трудоемкими задачами и, как и во всех сложных расчетах, выполнять их вручную может легко привести к человеческим ошибкам. Таким образом, имеет смысл искать способ заставить компьютеры делать эту работу за нас.

Однако есть очевидная проблема: то, как мы обычно описываем узлы заключается в рисовании рисунков, наших диаграмм узлов, упомянутых выше, и хотя эти удобны для человека в том смысле, что они дают нам четкое визуальное представление о рассматриваемый узел, диаграммы узлов не очень удобны для компьютера. Таким образом если мы собираемся использовать компьютеры для расчетов узлов, нам нужно найти более удобный для компьютера способ описания узлов.

Один из способов сделать это — использовать коды Гаусса . Создаем код Гаусса из диаграмму узлов, сначала обозначив каждое пересечение номером. (Предположим имеется лишь конечное число переходов; узлы с бесконечным числом перекрестки называются дикие узлы и могут быть проблематичными, так что будем ограничим наше внимание ручными узлами, т.е. узлами только с конечным количество переходов). Затем мы выбираем начальную точку в любом месте, которое нам нравится. узел и следуйте выбранному направлению вокруг узла и запишите порядок, в котором мы сталкиваемся с каждым переходом, а также переходим ли мы над ним или под ним и какова его локальная ориентация (+ или -), продолжая до тех пор, пока мы возвращаемся в исходную точку. Таким образом, код Гаусса представляет собой последовательность метки пересечения, перечисленные с помощью “O” или “U” и “+” или “-“. Так как мы встречаемся с каждым пересечением ровно дважды, один раз переходя и один раз опускаясь ниже, каждая метка будет встречаться ровно дважды в нашем коде Гаусса, один раз с «О» и один раз с «У». Знаком данного пересечения является одинаково для обоих вхождений его метки в код Гаусса.

Пример: Это узел-трилистник (также обычно называемый верхний узел), который большинство из нас использует, завязывая шнурки на ботинках. Он имеет код Гаусса. O1-U2-O3-U1-O2-U3-, в чем можно убедиться, начав с указанной точки и следуя за узлом, записывая пересечения в том порядке, в котором вы столкнуться с ними и пересекаете ли вы над или под и является ли пересечение положительно или отрицательно, пока вы не вернетесь в исходную точку. Обратите внимание, что все три пересечения здесь отрицательные.

Отлично! Теперь у нас есть способ описания диаграмм узлов, использующий только обычные символы клавиатуры и может уместиться всего в одну строку. Для того чтобы Чтобы коды Гаусса были полезны для нас в качестве способа описания узлов, мы должны проверить что мы можем восстановить обычную диаграмму узла из кода Гаусса. Конечно, точный код, который мы получаем, зависит от нашего выбора начальной точки, но он легко увидеть, что выбор другой начальной точки просто сдвинет некоторые метки от конца к началу кода.

Гораздо более серьезная проблема возникает, когда мы рассматриваем произвольное Код Гаусса и попытка построить из него диаграмму узлов: как оказалось, есть некоторые коды Гаусса, которые вообще не дают нам диаграмм узлов! Попробуй нарисовать диаграмму узла, например, кодом Гаусса O1+U2+U1+O2+; Вы будете обнаружите, что вам нужно ввести дополнительное пересечение, чтобы соединить конец обратно к начальной точке.

Это плохо, потому что в коде Гаусса мы должны уже перечислить все переходов; мы не можем добавить дополнительные пересечения без изменение кода Гаусса.

Коды Гаусса более удобны для компьютера, чем диаграммы узлов для указания узлы, но некоторые коды Гаусса не соответствуют обычным узлам. Тем не менее, Коды Гаусса потенциально очень полезны при выполнении расчетов. поэтому мы не хотим отказываться от них; как оказалось, нам это не нужно. Гаусс код O1+U2+U1+O2+ может не представлять собой реальный узел , т.е. простой закрытый кривая в трехмерном пространстве, но она представляет собой нечто, называемое «виртуальный узел». 92 = – 1 позволяет нам решить все наши алгебраические уравнения. Мы хотели бы расширить нашу идею “узлов” аналогичным образом, так что каждый код Гаусса представляет “узел” какого-то типа.

Способ, которым мы это делаем, состоит в том, чтобы начать с рассмотрения движения Райдемайстера. термины кодов Гаусса. Точнее, мы запишем наши коды Гаусса в виде немного более удобная для человека (т. е. геометрическая) форма, использующая то, что мы называем Диаграммы Гаусса. Берем круг и пишем наш код Гаусса против часовой стрелки по кругу, соединяя два вхождения каждая метка со стрелкой, указывающей на подземный переход (тот, у которого “U”) и украшая каждую стрелку знаком “+” или “-” для локального ориентация.

С точки зрения диаграмм Гаусса движения Рейдемейстера теперь выглядят нравиться:

Опять же, эти картинки означают, что две диаграммы Гаусса идентичны за пределами изображенных областей. Эпсилон означает либо знак +1, либо -1. (или просто + или -). Так, например, перемещение I означает, что мы можем ввести стрелку с любым знаком где-либо на диаграмме при условии, что между голову и хвост того, кого мы вводим, а также то, что если есть стрела без наконечников или хвостов между ее головкой и хвостом, мы можем удали это.

Теперь мы определяем виртуальных узлов как классы эквивалентности Диаграммы Гаусса (или коды Гаусса, в зависимости от того, какую форму вы предпочитаете) под три вышеуказанных хода. Другими словами, два Гаусса диаграммы представляют один и тот же виртуальный узел, если существует последовательность три вышеупомянутых хода, которые превращают одну диаграмму в другую. Такой последовательность будет называться виртуальной изотопией . Диаграмма Гаусса, которая представляет собой обычную диаграмму узлов, называется , классическая или реализуемый и диаграмма Гаусса, которая не представляет реальный узел (т.е. тот, для которого мы имеем ввести дополнительные пересечения, чтобы диаграмма работала) называется неклассический или нереализуемый .

Это новое определение согласуется с нашим старым представлением о том, что такое «узел». поскольку любая последовательность обычных движений Рейдемейстера на диаграммах узлов переводит к последовательности вышеуказанных ходов на диаграммах Гаусса. Однако мы можем превратить реализуемый узел в нереализуемый, используя указанные выше действия: незаузленную диаграмму (без пересечений) можно заменить на нереализуемую диаграмму U1+U2-O1+O2- ходом типа II, например. Мы могли бы тогда беспокоиться, что два классически неэквивалентных классических узла могут быть эквивалентны виртуальным узлам, но это не так. На самом деле имеем:

Теорема [2]: два практически эквивалентных классических узлы классически эквивалентны. Другими словами, если два реализуемых Гаусса диаграммы виртуально изотопны, то они имеют реализации (т.е. представляют собой настоящие диаграммы узлов), которые связаны последовательностью обычных изотопии.

Итак, мы расширили наше представление о том, что такое «узел», включив в него виртуальные узлы, абстрактные коды Гаусса, не соответствующие обычным диаграммам узлов. Коды и диаграммы Гаусса хороши для компьютеров, но мы, люди, предпочитаем обычные диаграммы узлов, поскольку они ясно показывают нам, как выглядят узлы, поэтому мы хотели бы иметь возможность рисовать диаграммы узлов для виртуальных узлов. Мы можем сделать это, если мы включим новый тип пересечения, называемый виртуальный переход. Виртуальные переходы виртуальны, потому что их на самом деле нет; они результат рисования неплоских диаграмм на плоскости. Виртуальные переходы не имеют смысл над или под, и они не представляют самопересечения или. Виртуальные переходы не отображать в кодах или диаграммах Гаусса; это просто уловка, которую мы используем, чтобы рисовать “диаграммы узлов” для виртуальных узлов. Итак, чтобы нарисовать виртуальную диаграмму узла из кода Гаусса рисуем пересечения и соединяем нити в порядке заданной диаграммой, вводя виртуальные пересечения всякий раз, когда у нас есть к.

Виртуальный переход выглядит так:

Любые две виртуальные диаграммы узлов (диаграммы узлов, включая реальные и, возможно, виртуальные пересечения) с такими же реальными пересечениями (включая ориентации) происходящие в одном и том же порядке, будут иметь один и тот же код Гаусса, поэтому они представляют такой же виртуальный узел. Код или диаграмма Гаусса говорит нам, сколько реальных пересечений (также называемых классическими пересечениями) в нашем виртуальном узле, в каком порядке мы сталкиваемся с ними и какова их ориентация. В других Другими словами, код Гаусса определяет, как малая окрестность каждого реального пересечения выглядит и в каком порядке соединяются сегменты в этих окрестностях. Кроме того, мы можем рисовать дуги за пределами этих окрестностей. однако мы хотим использовать виртуальные пересечения всякий раз, когда одна дуга встречается с другой (или себя). В частности, чтобы изменить одну виртуальную диаграмму узла на другую эквивалентная виртуальная диаграмма узла, нам нужно иметь возможность перемещать дугу, которая содержит только виртуальные пересечения, произвольно расположенные на диаграмме.

Для этого нужны аналоги ходов Рейдемейстера для виртуальных переходы. Как и прежде, давайте рассмотрим, какие вещи могут попасть в способ перемещения дуги только с виртуальными пересечениями в другое место:

1. ничего (снова изотопия самолета)
2. сама дуга (ход VI)
3. еще одна дуга (ход VII)
4. виртуальный переход (ход VIII)
5. реальная переправа (движение V)

Это приводит нас к следующим виртуальных ходов:

Мы будем использовать термин «виртуальные ходы» для обозначения обычных движений Рейдемейстера. ходы, а также четыре вышеуказанных хода; ходы V-VIII будут называться строго виртуальный . Любые две виртуальные диаграммы узлов, соединенные последовательность виртуальных ходов (виртуальная изотопия ) представляют собой одно и то же виртуальный узел.

Обратите внимание, что есть только один тип потенциального хода, который мы не допускающий: мы не можем переместить нить с двумя реальными пересечениями над или под виртуальный переход. Эти два движения называются Запрещенными движениями, которые я номер IV-т и IV-ч. Причина, по которой они запрещены (извините за каламбур :), заключается в том, что с помощью обоих мы можем превратить любой узел в любой другой узел, виртуальный или классический! С точки зрения диаграмм Гаусса запрещенные ходы позволяют переключиться порядок любых двух соседних наконечников стрел (IV-h) или наконечников стрел (IV-t), поэтому что мы можем в конечном итоге получить все стрелки, тривиализируемые типом I. движется. Разрешение обоих запрещенных ходов сделало бы теорию виртуального узлы тривиальны, так как каждые две диаграммы виртуальных узлов эквивалентны последовательность виртуальных и запрещенных ходов. К счастью, нам не о чем беспокоиться: запрещенный ход изменяет код Гаусса, обращая порядок, в котором мы сталкиваемся с двумя пересечениями, поэтому это не квалифицируется как движение на виртуальном узле диаграммы, которые сохраняют код Гаусса, и у нас нет причин включать либо запрещенный ход в нашем списке виртуальных ходов.

Собственно, вот демонстрация как распутать трилистник с помощью запрещенных ходов. Мы можем у нас проблемы с обувью, если бы мы могли использовать эти движения!

Многие обычные теоремы из классической теории узлов переносятся на виртуальные теория узлов с небольшими изменениями или без них; многочлен Джонса, круче, фундаментальная группа и другие расширяются довольно хорошо. Однако мы часто находим неожиданные результаты, такие как существование двух разных квандлов, связанных каждому виртуальному узлу и виртуальным узлам, имеющим тривиальную фундаментальную группу или тривиальным многочленом Джонса, но не эквивалентны неузлу.