Теорема Пика или формула для ленивых: imit_omsu — LiveJournal
- Наука
- История
- Cancel
Каждому из нас нередко приходилось считать площадь решётчатого многоугольника (изображённого, например, на клетчатой бумаге). В основном, это делают ещё по известным со школы формулам. Но в этом случае для каждой фигуры приходится помнить выражение её площади.
Не легче ли использовать одну формулу для всех многоугольников?
— Сказка? — Нет, теорема Пика!
• Названа она в честь Георга Пика (нет, не оружия или покемона), доказавшего её в 1899 году.
Формулировка звучит так:
S 
• Важное замечание: формула справедлива только для многоугольников, у которых вершины расположены в узлах решетки.
Например, для многоугольника на рисунке, В=7 (красные точки), Г=8 (зелёные точки), поэтому S = 7 + 8/2 – 1 = 10 квадратных единиц.
Докажем теорему Пика:
• Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны a и b. Имеем в этом случае В = (a-1)(b-1), Г = 2a+2b и, по формуле Пика, S = (a-1)(b-1)+a+b-1 = ab .
• Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами a и b, рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат c целочисленных точек.
Тогда для этого случая В = ((a-1)(b-1)-c+2)/2, Г = (2a+2b)/2+c-1 и получаем, что S = ab/2.
• Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников (см. рисунок). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.
• Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно триангулировать, т.е. разбить на треугольники (например, диагоналями). Отсюда по индукции следует, что формула Пика верна для любого многоугольника.
К сожалению, эта столь простая и красивая формула плохо обобщается на высшие размерности.
Наглядно показал это Рив, предложив в 1957 г. рассмотреть тетраэдр (называемый теперь тетраэдром Рива) со следующими вершинами:
A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(1,1,k)
Тогда этот тетраэдр ABCD при любых k не содержит внутри ни одной точки с целочисленными координатами, а на его границе — лежат только четыре точки A, B, C, D.
Таким образом, объём и площадь поверхности этого тетраэдра могут быть разными, в то время как число точек внутри и на границе — неизменны; следовательно, формула Пика не допускает обобщений даже на трёхмерный случай.
Специально для ЖЖ матфака, Сергей Романов.
ликбез
Формула Пика
Авторы: Куровская Юлия, Шагаева Диана.
Руководители:
- Могутова Татьяна Михайловна
- Дерюшкина Оксана Валерьевна
Девиз проекта:
“Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду.
а если хотите научиться решать задачи, то решайте их”.
Д. Пойя.
Выбор темы проекта не случаен.
Мы знаем разные способы выполнения таких заданий: способ сложения, способ вычитания и др.
Нас очень заинтересовала эта тема, мы изучили много литературы и к нашей огромной радости нашли еще один способ, способ не известный по школьной программе, но способ замечательный! Вычисление площади, используя формулу, выведенную австрийским ученым – математиком Георгом Пиком.
Мы решили изучить формулу Пика, при помощи которой выполнять задания на нахождении площади очень легко!
Решили поделиться нашим открытием с одноклассниками, учащимися других школ, создать электронную презентацию.
Цель исследования
1. Изучение формулы Пика.
2. Расширение знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.
Задачи:
1. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
2.
Проанализировать и систематизировать
полученную информацию
3. Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам
4. Сделать выводы по результатам работы.
5. Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры.
Методы исследования:
1. Моделирование
2. Построение
3. Анализ и классификация информации
4. Сравнение, обобщение
5. Изучение литературных и Интернет-ресурсов
Георг Пик – австрийский ученый – математик. Пик поступил в университет в Вене в 1875 году. Свою первую работу опубликовал в возрасте 17 лет. Круг его математических интересов был чрезвычайно широк. 67 его работ посвящены многим разделам математики, таким как: линейная алгебра, интегральное исчисление, геометрия, функциональный анализ, теория потенциала.
Широко известная Теорема появилась в сборнике работ Пика в 1899 году.
Теорема привлекла довольно большое внимание и
начала вызывать восхищение своей простотой и
элегантностью.
Формула Пика, формула вычисления площади многоугольника, изображенного на бумаге в клетку, полезна при решении заданий ЕГЭ и ОГЭ. Именно, поэтому, она нас очень заинтересовала.
Формула Пика — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел.
По теореме Пика площадь многоугольника равна:
Г : 2 + В – 1
где
Г – число узлов решетки на границе многоугольника
В – число узлов решетки внутри многоугольника.
Первым делом мы поставили задачу: изучить, что такое узлы решетки и как правильно вычислять их количество. Оказалось, это очень просто. Приведем несколько примеров.
Пусть дан произвольный треугольник. Узлы на границе изображены оранжевым цветом, узлы внутри изображены синим цветом. Найти узлы и подсчитать их количество очень легко.
В данном случае Г= 15, В = 35
Пример №2 Узлов на границе 18, т.е. Г = 18, узлов внутри 20, В = 20.
И еще один пример. Дан произвольный
многоугольник.
Считаем узлы на границе. Их 14.
Узлом внутри многоугольника 43. Г = 14, В = 43.
С первой задачей мы справились!
Второй этап нашей работы: вычисление площадей многоугольников.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример №1.
Г = 14, В = 43, S = + 43 – 1 = 49
Пример №2.
Г = 11, В = 5, S = + 5 – 1 = 9,5
Пример №3.
Г = 15, В = 22, S = + 22 – 1 = 28,5
Пример №4.
Г = 8, В = 16, S = + 16 – 1 = 19
Пример №5
Г = 10, В = 30, S = + 30 – 1 = 34
На рассмотрение пяти примеров мы затратили всего 1-2 минуты. Вычислять площадь по формуле Пика не только быстро, но и очень легко!
Но перед нами встал очень серьезный вопрос:
Можно ли доверять теореме Пика?
Получаются ли одинаковые результаты при вычислении площадей разными способами?
Найдем площади многоугольников по формуле Пика
и обычным способом, применяя формулы геометрии и
способы достроения или разбиения на части.
Вот
какие результаты мы получили:
Пример №1.
Вычислим площадь многоугольника по формуле Пика:
Подсчитаем количество узлов на границе и внутри. Г = 3, В = 6.
Вычислим площадь: S = 6 + – 1 = 6,5
Достроим многоугольник до прямоугольника. Площадь прямоугольника равна: 3 * 5 = 15, S? = = 3, S? = = 3 , S = = 2,5
S = 15-3-3-2,5 = 6,5
Результат одинаковый.
Пример №2.
Вычислим площадь по формуле Пика.
Г = 4, В = 9, S = 9 + – 1 = 10
Достроим до прямоугольника.
Площадь прямоугольника равна: 5 * 4 = 20, S1 = 2 * 1 = 2, S2 = = 3,
S = = 2 , S = = 1,5, S = = 2,5
Площадь прямоугольника равна
S = 20 – 2 – 3 – 2 – 1,5 – 2,5 = 10
Мы снова получили одинаковые результаты.
Рассмотрим еще один пример.
Пример №3
Вычислим площадь по формуле Пика.
Г = 5, В = 6, S = 6 + – 1 = 7,5
Вычислим площадь, используя способ достроения.
Площадь прямоугольника равна 5·4 = 20
S1 = 2 * 1 = 2, S2 = = 1, S3 = 2 * 1 = 2, S4 = = 1, S5 = = 1, S6 = = 2,5
S7 = = 3
S = 20 – 2 -1– 2 – 1 – 1 – 2,5 – 3 = 7,5
Результат одинаковый.
В презентации мы рассмотрели три примера, но на самом деле мы рассмотрели очень много самых разных примеров. Результат всегда был один и тот же: Вычисление площади по формуле Пика и другими способами дает одинаковый результат.
Вывод: формуле Пика можно доверять! Она дает точный результат.
Мы довольны!
И еще один вопрос встал перед нами: какой способ вычисления наиболее рациональный, наиболее удобный для использования?
Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно использовать всю предыдущую работу. Но рассмотрим еще три примера, которые окончательно позволят получить ответ на наш вопрос.
Пример №2
Пример №3
При помощи формулы Пика легко вычислить
площадь многоугольника даже самой причудливой
формы.
Рассмотрим пример:
Г=16, В=4
S=16:2+4-1=11
Вывод однозначный: наиболее рациональный способ вычисления площади многоугольника, изображенного на бумаге в клетку: формула Пика!
Предлагаем каждому из вас вычислить площадь многоугольника, используя формулу Пика:
– вычислите количество узлов на границе. Они изображены желтым цветом.
– вычислите количество узлов внутри, красный цвет.
– Подставьте в формулу, назовите результат. Вы за одну минуту вычислили площадь.
Итак, формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:
Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу:
S = Г:2 + В – 1.
Формула Пика очень проста для запоминания.
Формула Пика очень удобна и проста в применении.
Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.
Применяя формулу Пика легко выполнять задание
ЕГЭ и ОГЭ.
Приведем несколько примеров вычисления площади из вариантов ЕГЭ – 2015.
Мы решили научить пользоваться формулой Пика учащихся 9 – 11 классов нашей школы. Провели фестиваль “Формула Пика”.
Все учащиеся с большим интересом познакомились с презентацией, научились пользоваться формулой Пика.
За 30 минут практической работы учащиеся выполнили большое количество заданий. Каждый учащийся получил памятку “Формула Пика”.
Мы помогли им в подготовке к ЕГЭ и ОГЭ!
Спустя месяц работы, мы провели опрос учащихся 9–11 классом.
Задали следующие вопросы:
Вопрос №1:
Формула Пика – это рациональный способ вычисления площади многоугольника?
“Да” – 100% учащихся.
Вопрос №2:
Вы пользуетесь формулой Пика?
“Да” – 100% учащихся
Наша работа не прошла даром! Мы довольны!
Презентацию нашего проекта мы разместили в
сети Интернет. Много просмотров и скачиваний
нашей работы.
Мы оформили альбом “Формула Пика”. Им постоянно, особенно первое время, пользовались учащиеся нашей школы.
Результаты работы над проектом:
В процессе работы над проектом изучили справочную, научно-популярную литературу по теме исследования.
- Изучили теорему Пика, научились находить площади фигур, изображенных на бумаге в клетку просто и рационально.
- Расширили свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии.
- Провели для учащихся 9–11 фестиваль “Формула Пика”, научили их находить площадь, использую эту формулу. Подобрали много интересных примеров.
- Создали электронную презентацию в помощь своим ровесникам.
- Оформили альбом “Формула Пика”, который постоянно используют учащиеся школы.
Предлагает вам выполнить два задания, чтобы вы убедились в рациональности нашей работы.
Спасибо за внимания!
BSPP Трубная резьба Whitworth DIN ISO 228 (DIN 259)
BSPP Трубная резьба Whitworth DIN ISO 228 (DIN 259)| Спецификации международных стандартов на резьбу | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Трубная параллельная резьба по британскому стандарту, с герметиком, (параллельная, цилиндрическая), наружная = G. Реклама:
| Реклама: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
128
082
3095.1 Основы
Граф $G$ состоит из пары $(V,E)$, где $V$ — множество
вершины и $E$ множество ребер.
Через $V(G)$ обозначим вершины
$G$ и $E(G)$ для ребер $G$, когда это необходимо, чтобы избежать неоднозначности,
например, когда обсуждается более одного графика.
Если нет двух ребер с одинаковыми концами, говорят, что нет несколько ребер , и если ни одно ребро не имеет одна вершина как обе конечные точки, мы говорим, что нет циклов . Граф без петель и кратных ребер — это простой граф . Граф без петель, но возможно, с несколькими ребрами – это мультиграф . Конденсация мультиграфа — это простой граф, образованный удалением нескольких ребер, то есть удалением все ребра, кроме одного, с одинаковыми концами. Для образования конденсата график, все петли также снимаются. Иногда мы называем граф общий график чтобы подчеркнуть, что граф может иметь петли или несколько ребер.
Ребра простого графа
может быть представлен как набор из двух наборов элементов; например,
$$(\{v_1,\ldots,v_7\},\{\{v_1,v_2\},\{v_2,v_3\},\{v_3,v_4\},\{v_3,v_5\},
\{v_4,v_5\},\{v_5,v_6\},\{v_6,v_7\}\})
$$
представляет собой граф, который можно представить как
рисунок 5.
1.1. Этот график также является связных графов: каждая пара вершин $v$,
$w$ соединен последовательностью вершин и ребер,
$v=v_1,e_1,v_2,e_2,\ldots,v_k=w$, где
$v_i$ и $v_{i+1}$ — концы ребра $e_{i}$. Показанные графики
на рисунке 4.4.2 соединены, но на рисунке
можно интерпретировать как единый несвязный граф.
Рисунок 5.1.1. Простой график.
Граф $G=(V,E)$ это непросто, можно представить с помощью мультимножеств: петля представляет собой мультимножество $\{v,v\}=\{2\cdot v\}$, а кратные ребра представлено превращением $E$ в мультимножество. Конденсация мультиграфа может быть образована интерпретацией мультимножество $E$ как множество.
Общий граф, который не связан, имеет петли и имеет несколько ребра показаны на рисунке 5.1.2. Конденсация этого графика показан на рисунок 5.1.3.
Рисунок 5.1.2. Общий граф: несвязный, имеет петли и кратные ребра.
Рисунок 5.1.3. Уплотнение предыдущего графика.
Степень вершины $v$, $\d(v)$, это количество раз, когда она
появляется как конечная точка ребра.
Если циклов нет, то
равно количеству ребер, инцидентных $v$, но если $v$
концах ребра, а именно петли, то это дает 2 вклада в
степень $v$. Последовательность градусов граф — список его степеней; порядок не имеет значения, но обычно
мы перечисляем степени в порядке возрастания или убывания. Степень
последовательность графика на рисунке 5.1.2, перечисленная
по часовой стрелке, начиная с верхнего левого угла, составляет $0,4,2,3,2,8,2,4,3,2,2$. Мы
обычно обозначают степени вершин графа через $d_i$,
$i=1,2,\ldots,n$, где $n$ — количество вершин. В зависимости от
контекст, нижний индекс $i$ может совпадать с нижним индексом вершины, поэтому
что $d_i$ является степенью $v_i$, или нижний индекс может указывать на
положение $d_i$ в возрастающем или убывающем списке степеней;
например, мы можем указать, что последовательность степеней $d_1\le d_2\le
\cdots\le d_n$.
9n d_i$ считает каждое ребро дважды.
$\qed$
Простое следствие этой теоремы:
Следствие 5.1.2 Количество нечетных чисел в последовательности степеней четно.
$\qed$
Сразу возникает интересный вопрос: задана конечная последовательность целые числа, это последовательность степеней графа? Ясно, что если сумма последовательность нечетная, ответ – нет. Если сумма четная, то нет слишком трудно понять, что ответ положительный, при условии, что мы допускаем циклы и несколько ребер. Последовательность не обязательно должна быть последовательностью степеней простой график; например, нетрудно видеть, что ни один простой граф имеет последовательность степеней $0,1,2,3,4$. Последовательность, являющаяся степенью последовательность простого графа называется 9n \мин(d_i,k).$$ $\qed$
Нетрудно видеть, что если последовательность является графической, она имеет свойство в теореме; гораздо труднее увидеть, что какой-либо последовательность со свойством является графической.
Что означает, что два графика одинаковы? Рассмотрим эти три
графики:
$$\выравнивание{
G_1&=(\{v_1,v_2,v_3,v_4\},\{\{v_1,v_2\},\{v_2,v_3\},\{v_3,v_4\},\{v_2,v_4\}\} )\кр
G_2&=(\{v_1,v_2,v_3,v_4\},\{\{v_1,v_2\},\{v_1,v_4\},\{v_3,v_4\},\{v_2,v_4\}\} )\кр
G_3&=(\{w_1,w_2,w_3,w_4\},\{\{w_1,w_2\},\{w_1,w_4\},\{w_3,w_4\},\{w_2,w_4\}\} )\кр
}$$ Они изображены на рисунке 5.
1.4. Просто
Глядя на списки вершин и ребер, они не кажутся
одинаковый. При более внимательном рассмотрении $G_2$ и $G_3$ — это одно и то же, за исключением
для имен, используемых для вершин: $v_i$ в одном случае, $w_i$ в другом
другой. Глядя на фотографии, становится очевидным, что
все три одинаковы: каждый представляет собой треугольник с ребром (и вершиной)
свисающие с одной из трех вершин. Хотя $G_1$ и $G_2$ используют
одинаковые имена для вершин, они относятся к разным вершинам в
граф: в $G_1$ “висячая” вершина (официально называемая подвеска вершина) называется $v_1$, а
в $G_2$ он называется $v_3$. Наконец, обратите внимание, что на рисунке $G_2$
и $G_3$ выглядят по-разному, хотя они явно одинаковы на основе
в списках вершин и ребер.
Рисунок 5.1.4. Три изоморфных графа.
Итак, как нам определить «одинаковость» для графиков? термин и определение: изоморфизм.
Определение 5.1.4 Предположим, что $G_1=(V,E)$ и $G_2=(W,F)$. $G_1$ и $G_2$ изоморфный если существует биекция $f\colon V\to W$ такая, что
$\{v_1,v_2\}\in E$ тогда и только тогда, когда $\{f(v_1),f(v_2)\}\in F$.
Кроме того, число повторений
$\{v_1,v_2\}$ и $\{f(v_1),f(v_2)\}$ совпадают, если несколько ребер
или петли разрешены. Эта биекция $f$
называется изоморфизм .
Когда $G_1$ и $G_2$ изоморфны, мы пишем $G_1\cong G_2$.
$\квадрат$
Каждая пара графиков на рисунке 5.1.4 изоморфный. Например, чтобы явно показать, что $G_1\cong G_3$, изоморфизм $$\выравнивание{ f(v_1)&=w_3\cr f(v_2)&=w_4\cr f(v_3)&=w_2\cr f(v_4)&=w_1.\cr }$$
Ясно, что если два графа изоморфны, то их последовательности степеней равны такой же. Обратное неверно; графики в рисунок 5.1.5 оба имеют последовательность степеней $1,1,1,2,2,3$, но в одном вершины степени 2 смежны с каждым другом, а в другом их нет. В общем случае, если два графа изоморфны, они обладают всеми «теоретико-графовыми» свойствами, т. е. свойства, зависящие только от графа. Как пример неграфика теоретическое свойство, рассмотрим «количество раз, когда ребра пересекаются, когда график рисуется на плоскости.”
Рисунок 5.1.5.
Неизоморфные графы с последовательностью степеней $1,1,1,2,2,3$.
Более или менее очевидным образом одни графы содержатся в других.
Определение 5.1.5 Граф $H=(W,F)$ является подграфом графа граф $G=(V,E)$, если $W\subseteq V$ и $F\subseteq E$. (Поскольку $H$ является граф, ребра в $F$ имеют свои концы в $W$.) $H$ является порожденный подграф , если $F$ состоит из все ребра в $E$ с концами в $W$. Видеть рисунок 5.1.6. Всякий раз, когда $U\subseteq V$, мы обозначаем индуцированный подграф $G$ на вершины $U$ как $G[U]$. $\квадрат$
Рисунок 5.1.6. Слева направо: граф, подграф, индуцированный подграф.
Путь в графе — это подграф, являющийся путем; если конечные точки путь равен $v$ и $w$, мы говорим, что это путь из $v$ в $w$. Цикл в графе есть подграф, являющийся циклом. кликов в граф — это подграф, являющийся полным графом.
Если граф $G$ несвязен, определить $v\sim w$ тогда и только тогда, когда
существует путь, соединяющий $v$ и $w$.
n d_i$ четно, то существует граф
(не обязательно простой) с последовательностью степеней $d_1,d_2,\ldots,d_n$.
9n d_i$.
Пример 5.1.4 Докажите, что $0,1,2,3,4$ не является графическим.
Пример 5.1.5 Является ли $4,4,3,2,2,1,1$ графическим? Если нет, объясните почему; если так, найдите простой граф с этой последовательностью степеней.
Пример 5.1.6 $4,4,4,2,2$ графические? Если нет, объясните почему и найдите мультиграф (без петель) с этой последовательностью степеней; если так, найдите простой граф с этой последовательностью степеней.
Пример 5.1.7 Докажите, что простой граф с $n\ge 2$ вершинами имеет два вершины одной степени. 9k d_{i_j}\le k(k-1)+ \sum_{i\notin \{i_1,i_2,\ldots, i_k\}} \min(d_i,k).$$ Не используйте теорему 5.1.3.
Пример 5.1.10 Нарисуйте 11 неизоморфных графов с четырьмя вершинами.
Пример 5.1.11 Предположим, что $G_1\cong G_2$. Покажите, что если $G_1$ содержит цикл
длины $k$ так же, как и $G_2$.