Уклон линии: § 13. Уклон линии. Определение уклонов по горизонталям. Определение высот точек, лежащих между горизонталями

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

Проектный уклон – это… Что такое Проектный уклон в геодезии, определение

Превышение – То же, что относительная высота.

Профиль – Вертикальное сечение, разрез какого-либо участка земной поверхности, земной коры, гидросферы или атмосферы по заданной линии.

Пикет – Точка на местности (обозначенная знаком), служащая ориентиром для установки рейки при нивелировании и для закрепления трассы на местности. Закрепляет заданный интервал.

План – 1) Чертеж, изображающий в условных знаках на плоскости (в масштабе 1:10 000 и крупнее) часть земной поверхности (топографический план) и построенный без учета кривизны Земли. 2) Горизонтальный разрез или вид сверху какого-либо сооружения или предмета. 3) То же, что горизонтальная проекция.

Пятка рейки – Основание рейки, предназначенное для установки ее на репер, башмак или костыль.

Палетка – Прозрачная пластинка с нанесенной на нее сеткой линий (реже – точек), предназначенная для вычисления площадей на планах и картах, отсчета координат и т. д.

Планшет – 1) Часть мензулы, квадратная деревянная доска (размер стороны от 40 до 70 см), на которую наклеивается чертежная бумага. 2) Дощечка или папка, на которой укрепляются компас и бумага при глазомерной съемке.

Параллель – Линия сечения поверхности земного шара плоскостью, параллельной плоскости экватора. Все точки этой линии имеют одинаковую широту.

Привязка геодезическая – Интеграция (объединение) новых геодезических данных с ранее созданными.

Проектная линия – Линия, определяющая положение сооружений в плане и по высоте.

Пространственные данные – Цифровые данные о пространственных объектах, включающие сведения об их местоположении, форме и свойствах, представленные в координатно–временной системе.

Параллакс – Видимое изменение положение предмета (тела) вследствие перемещения глаза наблюдателя.

Пеленг – Угол между направлением на наблюдаемый объект и одной из основных плоскостей, принятых за начало отсчета угловых координат. В морской и воздушной навигации обычно то же, что азимут.

Полигонометрический пункт – Геодезический пункт, координаты которого определены методом полигонометрии, а положение на местности обозначено металлическими столбами или бетонными монолитами.

Первый вертикал – Плоскость перпендикулярная к меридиану.

Полигонометрия – Метод построения геодезической сети в форме ломаной линии, в которой измеряют все стороны и углы.

Постобработка (спутниковых наблюдений) – Окончательная обработка данных в камеральных условиях с целью получения координат пунктов.

Планиметр – Механическое или электронное устройство для измерения площадей объектов по планам и картам.

Прямая геодезическая задача – Вычисление геодезических координат – широты и долготы некоторой точки, лежащей на земном эллипсоиде, по координатам другой точки и по известным длине и дирекционному углу данного направления, соединяющей эти точки.

Полевое трассирование – Перенос запроектированной трассы на местность с уточнением ее изменения и закрепление в натуре.

Пантометр – Угломерный геодезический инструмент, применявшийся при съемке лесов и торфяных болот.

Плоскогорье – Обширный участок земной поверхности, представляющий собой горную равнину, характеризующуюся значительным эрозионным расчленением.

Произвольные проекции – Картографические проекции, искажающие углы и площади. Выделяются равнопромежуточные, сохраняющие масштаб длин по одному из направлений (например, по меридианам или параллелям), и ортодромические, в которых большие круги шара (ортодромы) изображаются прямыми. Применяются для карт мира.

Прямоугольные координаты – Система плоских координат образованная двумя взаимноперпендикулярными прямыми линиями, называемыми осями координат x и y. Точка их пересечения называется началом или нулем системы координат. Ось абсцисс – OX, ось ординат – OY.

Полярные координаты – Система плоских координат образованная направленным прямым лучом OX, называющимся полярной осью. Чаще всего за полярную ось принимают ось северного направления какого-либо меридиана. Начало координат – точка O – называется полюсом системы.

Перекрытие снимка – В фотограмметрии, доля площади снимка (аэроснимка), перекрываемая смежным снимком.

Плановая аэрофотосъемка – Фотографирование местности при положении оптической оси аэрофотоаппарата, близком к вертикальному.

Пеленгация – Определение направления на какой-либо объект – его угловых координат. Осуществляется оптическими, радиотехническими, акустическими и другими методами.

Пункт геодезический – Закрепленная на местности точка геодезической сети.

Плановая разбивочная основа – Геодезическое построение на строительной площадке, обеспечивающее взаимную увязку всех проектных элементов комплекса и служащее для получения исходных данных для выноса в натуру.

Перспективная аэрофотосъемка – Фотографирование местности аэрофотоаппаратом, оптическая ось которого отклонена от вертикали на некоторый постоянный угол.

Погрешности измерений – Отклонение результата геодезических измерений от истинного (действительного) значения измеряемой геодезической величины.

Поликонические проекции – Картографические проекции, параллели которых – дуги эксцентрических окружностей, а меридианы – кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана. Применяются для карт мира.

Полюсы магнитные Земли – Точки на земной поверхности, где магнитная стрелка располагается по вертикали, т. е. где магнитный компас неприменим для ориентировки по странам света.

Палеогеографические карты – Отображают физико-географические условия геологического прошлого (распределение суши, моря и речной сети, характер рельефа материков, климатические особенности и т. п.).

Уклон линии численно можно рассматривать как превышение, приходящееся на единицу горизонтального расстояния.

Определение уклона линии

Пусть линия местности AB (рис. 2) наклонена к горизонту АС под углом v. Тангенс этого угла называют уклоном линиии обозначают буквой i:

,

т. е. уклон линии равен отношению превышения hк горизонтальному проложению S.

Рис. 2. Схема определения уклона линии

Пример. Если h = 1 м, a S =20 м, то i = 1/20 = 0,05

Уклон i = 0,05 показывает, что линия местности повышается или понижается на 5 см через каждый 1 м или на 5 м через каждые 100 м горизонтального расстояния S.
Если превышение положительное (+h), то уклон положителен (линия направлена вверх на подъем), а когда превышение отрицательное (-h) – уклон отрицателен и линия направлена вниз на спуск.

Уклон линии численно можно рассматривать как превышение, приходящееся на единицу горизонтального расстояния.

Измерив на карте длину заложения(расстояние между двумя соседними горизонталями по заданному направлению) и зная высоту сечения, можно найти уклон линии. Уклон обычно выражают в процентах или промилле (промилле – это тысячная часть целого или 1/10 процента).

Пример. Измеренное по карте заложение d= 29 м. Высота сечения h = 1 м. Найти уклон линии.i = 1/29 = 0,034или, выразив уклон в процентах, получим i = 3,4%.3,4% означает, что разница высот в начале и конце 100 метрового горизонтального участка составляет 3,4 м.Если умножить 3,4% на 10, получим величину уклона в промилле (‰)3,4% × 10 = 34‰Уклон 34‰ означает, что разность высот в начале и конце горизонтального участка длиной 1 000 м составит 34 м.

3.3 Пример. Определить наклонное расстояние D если горизонтальная проекция d = 100,00 м (рисунок 3), а разность отметок концов линии h=16 м.

tg ν = h / d = 12 / 100 = 0,12; ν = 6о 51′

D = h / sin ν = 12 / 0, 1193 = 100,6

3.4 Пример Определить горизонтальную проекцию d линии АВ, если длина наклонной линии D= 100,00 м и отметки точек: Н_А = 120 ми Н_В = 123 м (рис. 4).

Решение Вычисляем превышение к точки В над точкой А (рисунок 8 ). Как видно из рисунка h = 123 м -120 м = +3 м.

4. Задачи 14,15

Прямая и обратная геодезические задачи

Прямая геодезическая задача

В геодезии часто приходится передавать координаты с одной точки на другую. Например, зная исходные координаты точки А (рис.5), горизонтальное расстояние S_AB от неё до точки В и направление линии, соединяющей обе точки (дирекционный угол α_AB или румб r_AB), можно определить координаты точки В. В такой постановке передача координат называется прямой геодезической задачей.

Рис. 5. Прямая геодезическая задача

Для точек, расположенных на сфероиде, решение данной задачи представляет значительные трудности. Для точек на плоскости она решается следующим образом.

Дано: Точка А( X_A, Y_A ), S_AB и α_AB.

Найти: точку В( X_B, Y_B ).

Непосредственно из рисунка имеем:

ΔX = XB – XA ;                   ΔY = YB – YA .

Разности ΔX и ΔY координат точек последующей и предыдущей называются приращениями координат. Они представляют собой проекции отрезка АВ на соответствующие оси координат. Их значения находим из прямоугольного прямоугольника АВС:

ΔX = S_AB · cos α_AB ;             ΔY = S_AB · sin α_AB .

Так как в этих формулах S_AB всегда число положительное, то знаки приращений координат ΔX и ΔY зависят от знаков cos α_AB и sin α_AB. Для различных значений углов знаки ΔX и ΔY представлены в табл.1.

Таблица 1.

Знаки приращений координат ΔX и ΔY

При помощи румба приращения координат вычисляют по формулам:

ΔX = SAB · cos rAB ;    ΔY = SAB · sin rAB .

Знаки приращениям дают в зависимости от названия румба.

Вычислив приращения координат, находим искомые координаты другой точки:

XB = XA + ΔX ;        YB = YA + ΔY .

Таким образом можно найти координаты любого числа точек по правилу: координаты последующей точки равны координатам предыдущей точки плюс соответствующие приращения.

Обратная геодезическая задача

Обратная геодезическая задача заключается в том, что при известных координатах точек А( XA, YA ) и В( XB, YB ) необходимо найти длину SAB и направление линии АВ: румб rAB и дирекционный угол αAB (рис.8).

Рис. 8. Обратная геодезическая задача

Даннная задача решается следующим образом.Сначала находим приращения координат:

ΔX = XB – XA ; ΔY = YB – YA .

Величину угла r_AB определим из отношения

                                              ΔY/ ΔX= tg rAB

По знакам приращений координат вычисляют четверть, в которой располагается румб, и его название. Используя зависимость между дирекционными углами и румбами, находим αAB.

Расстояние SAB можно определить по формуле

Как горизонтальный и вертикальный факторы влияют на путевое расстояние—Справка

Определение диаграммы вертикального фактора, который будет использоваться при определении вертикального фактора, включает те же самые шаги, что и определение диаграммы горизонтального фактора. Диаграмму можно выбрать из списка диаграмм, предоставленного программным обеспечением, либо вы можете создать пользовательскую диаграмму с помощью ASCII-файла. Графики вертикального фактора, предоставленные приложением, включают следующее:

    0    1.40
    10   2.43
    20   2.30
    30   3.44
    40   1.25
    50   1.02
    60   0.90
    70   0.86
    80   0.25
    90   0.78
    100  1.49
    110  2.35
    120  3.32
    130  2.39
    140  3.18
    150  2.13
    160  1.89
    170  1.20
    180  2.034

Как найти наклон линии

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Уравнение точки-наклона линии

Уравнение полезно, когда мы знаем:

• одна точка на линии: (x ₁ ,y ₁ )
• и уклон линии: м ,

и хотите найти другие точки на линии.

Сначала поиграйте с ним (переместите точку, попробуйте разные наклоны):

Теперь давайте узнаем больше.

Что это означает?

(x ₁ , y ₁ ) — известная точка

м – откос линии

(x, y) — любая другая точка на прямой

Понимание этого

Основан на уклоне:

Уклон м = изменение у изменение в х знак равно г − г ₁ х – х ₁

Значит, это просто формула наклона по-другому!

Теперь давайте посмотрим, как его использовать.

Пример 1:

уклон “м”  =   3 1   =  3

у – у ₁ = м(х – х ₁ )

Мы знаем m, а также знаем, что (x ₁ , y ₁ ) = (3,2), и поэтому имеем:

Это отличный ответ, но мы можем его немного упростить:

у – 2 = 3х – 9

у = 3х – 9 + 2

у = 3х – 7

Пример 2:

м = −3 1 = −3

у – у ₁ = м(х – х ₁ )

Мы можем выбрать любую точку для (x ₁ , y ₁ ), поэтому давайте выберем (0,0), и мы получим:

у – 0 = -3 (х – 0)

Что можно упростить до:

Пример 3: Вертикальная линия

Какое уравнение для вертикальной линии?
Наклон не определен!

На самом деле это частный случай , и мы используем другое уравнение, например:

Каждая точка на линии имеет координату x 1.5 ,
поэтому его уравнение x = 1,5

А как насчет y = mx + b ?

Возможно, вы уже знакомы с формой “y=mx+b” (называемой формой уравнения прямой с наклоном).

Это то же уравнение, только в другой форме!

Значение “b” (называемое точкой пересечения с осью y) находится там, где линия пересекает ось y.

Итак, точка (x ₁ , y ₁ ) на самом деле находится в точке (0, b)

и уравнение становится:

Начать сy − y ₁ = m(x − x ₁ )

(x ₁ , y ₁ ) на самом деле (0, b): y − b = m(x − 0)

То есть: y − b = mx

Поместите b на другую сторону: y = mx + b

Как найти наклон перпендикулярной линии

Нахождение наклона перпендикулярной линии

Две прямые перпендикулярны , если они пересекаются под углом ровно 90 градусов.Если вы знаете наклон одной из линий, на самом деле довольно легко найти наклон другой. Это связано с тем, что наклоны любых двух перпендикулярных линий являются отрицательными величинами, обратными друг другу. Это может показаться немного запутанным, поэтому давайте рассмотрим пример.

Здесь у нас есть две прямые, перпендикулярные друг другу.Используя график, мы видим, что синие линии поднимаются на 4 единицы на каждую единицу, которую они смещают вправо. Это означает, что он имеет наклон 4 к 1. Красная линия смещается на одну единицу вниз на каждые 4 единицы, которые она смещает вправо. Это означает, что она имеет наклон -1 относительно 4. Дроби 4/1 и -1/4 являются отрицательными обратными величинами друг к другу, что означает, что числители и знаменатели поменялись местами, а знаки противоположны.

Это правило справедливо для всех перпендикулярных линий и может сэкономить вам время на домашнюю работу по математике.Например, если бы вас попросили найти наклон линии, перпендикулярной другой линии с наклоном -3/4, вам даже не нужно было бы строить график, чтобы найти ответ. Используя свои знания о перпендикулярных прямых, вы можете поменять местами числитель и знаменатель дроби и изменить знак, чтобы найти наклон 4/3.

Использование перпендикулярных линий для решения задачи

Ваш дядя Гарри хочет, чтобы вы помогли ему разложить квадратный загон для его цыплят. Он уже выложил одну сторону ручки и хочет, чтобы вы сделали все остальное.С вашим надежным компасом в руке вы проходите по уже установленной стороне и видите, что она идет на 1 фут к северу и на 5 футов к востоку.

Используя только свое знание перпендикулярных линий, вы делаете шаг на 5 футов на север и на 1 фут на запад или на отрицательный восток. Это означает, что в то время как первая сторона пера имеет наклон 1/5, перпендикулярная сторона имеет наклон 5/-1.Гарри будет очень впечатлен этой новой ручкой, когда вы все закончите!

Резюме

Наклон — это термин, который вы встретите в алгебре , потому что он сообщает нам угол линии, изображаемой на графике. Наклон работает как дробь, с подъемом или движением вверх/вниз, по ходу или движением из стороны в сторону.

Две прямые перпендикулярны , если они пересекаются под углом ровно 90 градусов. Наклоны любых двух перпендикулярных линий являются отрицательными обратными величинами, что означает, что числители и знаменатели поменялись местами, а знаки противоположны.Например, если линия имеет наклон 4/3, линия, перпендикулярная ей, будет иметь наклон -3/4. Это соотношение справедливо для всех перпендикулярных прямых.

Наклон линии – Бесплатная помощь по математике

Наклон линии — это ее угол или крутизна. Оно может быть положительным, если линия наклонена вверх, если смотреть слева направо, или отрицательным, если линия наклонена вниз слева направо.

Пример:

Вот график уравнения \(y = 2x\) (красный) и уравнения \(y=0.5x\) (синий). Обратите внимание, как красная линия поднимается на 2 пункта за каждый 1 пункт, который она смещает вправо. Синяя линия поднимается на 1/2 пункта за каждую точку, в которой она идет правильно.

Горизонтальные и вертикальные линии

Горизонтальная линия идеально ровная. Он не имеет «крутизны» и не идет ни вверх, ни вниз. Математически мы можем выразить это, сказав, что горизонтальная линия имеет наклон 0 . На приведенном ниже графике наклон равен 0, и вы можете видеть, что он не имеет ни крутизны, ни наклона (он плоский!).

Если горизонтальная линия плоская, то как насчет вертикальной линии? Этот тип линии идет прямо вверх и вниз, поэтому на самом деле у него нет определенного наклона, который мы можем измерить. На самом деле, истинно вертикальная линия имеет бесконечных наклонов. Вот пример вертикальной линии:

Расчет уклона

Вам может быть любопытно, как мы точно определяем наклон. А наклон представляет собой изменение y по сравнению с изменением x . Что означает, что если бы у вас было две точки на линии, \((0,0)\) и \((2,2)\), наклон мог бы рассчитать так:

Вот что мы сделали:

1. Найдите две точки на прямой
2. Найти координаты первой точки \((x_1,y_1)\) и координаты второй точки \((x_2,y_2)\)
3. Подставьте значение к приведенной выше формуле или просто определите изменение y и разделите на изменение x.

Как построить линию с заданным наклоном

Теперь, когда мы знаем, как рассчитать наклон, мы должны выяснить, как чтобы построить линию. Линия часто пишется в наклоне-перехвате форме, y = mx + b, где m – наклон, а b – точка пересечения с осью y. Точка пересечения с осью Y — это точка пересечения прямой с осью Y. Если вам дано y = 2x + 0, то линия имеет наклон 2 и y-пересечение 0. Поскольку y-пересечение равно 0, мы знаем одну точку (0,0).Так как наклон равен 2, или 2/1, мы должны подняться на 2 за каждую 1, которую мы идем вправо. Строка выглядит так:

Как вы можете видеть, линия поднимается на 2 пункта за каждый 1 пункт, который она идет правильно, что означает, что изменение y равно 2, когда изменение x равно 1. Наклон = 2. Для получения дополнительной информации, пожалуйста, просмотрите наш урок на графических линиях.

Резюме

Наклон линии — это изменение y, деленное на изменение x между двумя точками.Это также сумма, на которую линия «поднимается» за каждую точку, в которой она идет правильно. Некоторые называют это «подъемом над бегом». В любом случае, имея две точки, вы всегда можете найти наклон линии с помощью этой быстрой формулы.

Уроки математики, связанные с наклоном:

Ссылки, связанные с уклоном

Наклон (м) линии (координатная геометрия)

Определение: Наклон линии — это число, измеряющее ее «крутизну», обычно обозначаемое буквой m.Это изменение у на единицу изменения х вдоль линии.

Попробуй это Отрегулируйте линию ниже, перетащив оранжевую точку в точке A или B. Наклон линии постоянно пересчитывается. Вы также можете перетащить исходную точку в (0,0).

Наклон линии (также называемый градиентом линии) — это число, описывающее, насколько она «крутая». На рисунке выше нажмите «Сброс». Обратите внимание, что для каждого увеличения на одну единицу вправо по горизонтальной оси x линия сдвинется вниз на полединицы.Поэтому он имеет наклон -0,5. Чтобы попасть из точки А в точку Б по прямой, нам нужно переместиться вправо на 30 единиц и вниз на 15. Опять же, это половина единицы вниз на каждую единицу в поперечнике.

Поскольку линия наклонена вниз вправо, она имеет отрицательный наклон. По мере увеличения x y уменьшается на . Если бы линия наклонялась вверх вправо, наклон был бы положительным числом. Отрегулируйте указанные выше точки, чтобы создать положительный наклон.

Формула для уклона

Пример

Определение наклона линии путем осмотра

1. Вычислите dx, расстояние по горизонтали от левой точки до правой точки. Поскольку B находится в (15,5), его координата x — это первое число, 15. Координата x точки A равна 30. Таким образом, разница (dx) равна 15.
2. Рассчитайте dy, на сколько линия поднимается или опускается при движении вправо. Поскольку B находится в (15,5) его координата y – второе число или 5. Координата Y точки A равна 25. Таким образом, разница (dy) равна +20.
   Положительный, потому что линия проходит вверх по , когда вы идете вправо.В противном случае он был бы отрицательным.
3. Подъем (dy) разделить на пробег (dx):
   

Способ запомнить этот метод – «подъем над бегом». Это “подъем” – разница между точками вверх и вниз, над “разбегом” – горизонтальный пробег между ними. Просто помните, что рост, идущий вниз, отрицателен.

Направление наклона

Положительный наклон

Отрицательный наклон

Нулевой наклон

Неопределенный уклон

Вертикальная линия имеет уравнение формы x = a, где a – точка пересечения с x. Подробнее об этом см. Наклон вертикальной линии.

Уравнение прямой

Подробнее об этом см.:

Наклон в виде угла

Наклон линии также может быть выражен в виде угла, обычно в градусах или радианах.

На рисунке выше нажмите «показать угол». По соглашению угол измеряется от любой горизонтальной линии (параллельной оси X). Линии с положительным наклоном (вверх и вправо) имеют положительный угол, а отрицательный угол — с отрицательным наклоном. Измените наклон, перетащив A или B, и убедитесь в этом сами.

угол = арктангенс (м)

м = тангенс (угол)

Что попробовать

1. На приведенной выше диаграмме перетащите точки A и B и обратите внимание на изменение расчетного уклона.Попробуйте и получите положительный, отрицательный, нулевой и неопределенный наклон
2. Нажмите «скрыть детали». Перетащите A и B в новые места и самостоятельно рассчитайте наклон линии. Затем нажмите «показать детали» и посмотрите, насколько близко вы подошли. В качестве бонуса оцените наклон по двум точкам на выбранной вами линии, а не по точкам A и B.
3. Отрегулируйте точки A и B, чтобы получить наклон +1 и -1. Что вы заметили в наклоне? (Ответ: наклон 45° – линия находится на полпути между вертикалью и горизонталью).Нажмите «показать угол», чтобы проверить.

Ограничения

В интересах ясности в приведенном выше апплете координаты округлены до целых чисел, а длины округлены до одного десятичного знака. Это может привести к тому, что расчеты будут немного ошибочными.

Подробнее см. Учебные заметки

Другие темы по координатной геометрии

(C) Открытый справочник по математике, авторское право, 2011 г.
Все права защищены

Наклон прямой

Пурпурная математика

Одним из наиболее важных свойств прямой линии является то, как она отклоняется от горизонтали.Эта концепция отражена в так называемом «наклоне» линии.

Посмотрим на прямую

MathHelp.com

Чтобы найти наклон, нам понадобятся две точки от линии.

Я выберу два значения x , подставлю их в линейное уравнение и решу для каждого соответствующего значения y . Если, скажем, я выберу x = 3, то:

Допустим, я выбираю x = 9; тогда:

(Кстати, я выбрал эти два значения x именно потому, что они кратны трем; таким образом я знал, что смогу очистить знаменатель дроби, чтобы в итоге я получил хорошее, аккуратные целые числа для моих результирующих значений и .Это не правило, что вы должны это делать, но это полезная техника.)

Итак, две точки, которые я нашел, (3, –2) и (9, 2), лежат на прямой

Чтобы найти уклон, обозначенный “ м “, мы можем использовать следующую формулу:

(Почему “ м ” для “уклона”, а не, скажем, “ с “? Официальный ответ: Никто не знает.)

В случае, если вы раньше не сталкивались с числами ниже переменных, они называются “индексами”. Нижние индексы обычно используются для различения похожих вещей или для подсчета, например, в последовательностях. В случае формулы наклона нижние индексы просто указывают, что у нас есть «первая» точка (координаты которой обозначены цифрой «1») и «вторая» точка (координаты которой обозначены цифрой «2»). Другими словами, нижние индексы указывают не более чем на то, что у нас есть две точки, с которыми мы работаем.

(Это полностью зависит от вас, какую точку вы пометите как «первую», а какую как «вторую». Как подсказывает логика, угол линии не изменится только потому, что вы посмотрели на две точки в другой порядок.)

Для вычисления наклонов с помощью формулы наклона важно, чтобы мы тщательно вычитали x и y из в том же порядке . Для наших двух точек, если мы выберем (3, –2) в качестве нашей «первой» точки, мы получим следующее:

Первое y -значение выше, -2, было взято из точки (3, -2) ; второе y -значение, 2, пришло из точки (9, 2); x -значения 3 и 9 были взяты из двух точек в том же порядке .

Если бы, с другой стороны, мы брали координаты точек в обратном порядке, результат был бы точно таким же:

Как видите, порядок, в котором вы перечисляете точки, на самом деле не имеет значения, пока вы вычитаете значения x в том же порядке, в каком вы вычитали значения y . Из-за этого формула наклона может быть записана так, как это было указано выше, или, альтернативно, также может быть записана как:

Позвольте мне подчеркнуть этот момент:

Не имеет значения, какую из двух формул “наклона” вы используете, и не имеет значения, какую точку вы выберете в качестве “первой”, а какую – в качестве “второй”. только имеет значение то, что вы вычитаете свои x -значения в том же порядке , в котором вы вычитали свои y -значения.

Для тех, кому интересно, эквивалентность двух приведенных выше формул наклона можно доказать, отметив следующее:

у ₁ – у ₂ = у ₁ + (– у ₂

)

= – г ₂ + г ₁

= – у ₁ – (– у ₂ )

= –( г ₂ – г ₁ )

Так же:

x ₁ – x ₂ = x ₁ + (– x ₂ )

= – х ₂ + х ₁

= – х ₁ – (– х ₂ )

= –( х ₂ – х ₁ )

Затем первая формула преобразуется во вторую следующим образом:

м = ( y ₁ – y ₂ ) / ( x ₁ – x ₂ ) = [- ( y ₂ – y ₁ )] / [- ( x ₂ – ₂ – ₁ )] = ( y ₂ – y ₁ ) / ( x ₂ – х ₁ )

Как вы можете видеть выше, выполнение вычитания в так называемом «неправильном» порядке служит только для создания двух знаков «минус», которые затем сокращаются.Вывод: не слишком беспокойтесь о том, какая точка является «первой», потому что на самом деле это не имеет значения. (И, пожалуйста, не присылайте мне по электронной почте, утверждая, что порядок имеет какое-то значение, или что одна из двух приведенных выше формул как-то «неправильная». Если вы думаете, что я не прав, подставьте пары точек в обе формулы. и попробуй доказать, что ошибается!И продолжай подключать, пока не “увидишь”, что математика на самом деле верна.)

Вернемся к строке

Если я позволю x = 0, то:

Это дает мне две точки (–3, –6) и (0, –4). Если я нанесу эти две точки на линию, я получу две синие точки, показанные ниже:

Если я поднимусь по лестнице от первой точки ко второй (по мере того, как я двигаюсь вправо по оси x ), я получу это:

Следующая точка, которую я буду использовать, это (3, –2).Нанося точку и рисуя ступени, я получаю:

А теперь хорошенько взгляните на эти ступени. Отсчитайте их по сетке, видимой на заднем плане. Вы увидите, что, переходя от одной точки графика к другой, я продвинулся на два шага вверх и на три шага назад. С точки зрения строительной отрасли, эти ступени имеют (вертикальный) «подъем» 2 и (горизонтальный) «пробег» 3. Когда люди называют «наклон» «подъемом над прогоном», это что они имеют в виду.(Для получения дополнительной информации попробуйте здесь.)

Найдем наклон другого уравнения прямой:

• Найдите наклон

  y = –2 x + 3

Графически линия выглядит так:

Я выберу пару значений для x и найду соответствующие значения для y .Выбирая x = -1, я получаю:

y = –2(–1) + 3 = 2 + 3 = 5

Собираю х = 2, получаю:

y = –2(2) + 3 = –4 + 3 = –1

Тогда точки (–1, 5) и (2, –1) находятся на линии y = –2 x + 3. Тогда наклон линии рассчитывается как:

Между прочим, если вы посмотрите на график и начнете с любой точки на линии (для простоты выберите ту, которая также лежит на сетке), вы заметите, что ступени идут вниз.Вы падаете два, больше одного; вниз два, больше одного; вниз два, больше одного. И это соответствует склону, который мы нашли выше:

(меньше на два)/(больше одного) = (–2)/(1) = –2

• Найдите наклон прямой, проходящей через точки (–3, 5) и (4, –1).

В этом случае мне не нужно искать очки, потому что мне их уже дали.Итак, я сразу перейду к формуле:

м = (5 – (–1))/(–3 – 4)

= (5 + 1)/(–3 + (–4)) = (6)/(–7)

= –(6/7)

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в нахождении уклона через пару точек. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение.Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустить виджет и продолжить урок.)

(Нажав «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», вы перейдете прямо на сайт Mathway, если хотите проверить их программное обеспечение или получить дополнительную информацию.)

URL: https://www.purplemath.com/modules/slope.htm

Наклон линии

Наклон линии  – это измерение крутизны и направления невертикальной линии.Когда линия поднимается слева направо, наклон является положительным числом. На рис. 1(а) показана линия с положительным наклоном. Когда линия падает слева направо, наклон является отрицательным числом. На рис. 1(б) показана линия с отрицательным наклоном. Ось x или любая линия, параллельная оси x , имеет нулевой наклон. На рис. 1(с) показана линия с нулевым наклоном. Ось y или любая линия, параллельная оси y , не имеет определенного наклона. На рис. 1(d) показана линия с неопределенным наклоном.

Рисунок 1 Различные варианты наклона линии.

Если м представляет наклон линии и A и B – учки с координатами ( x _l , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) соответственно, то наклон линии, проходящей через A и B , определяется по следующей формуле.

A и B не могут быть точками на вертикальной линии, поэтому x ₁ и x ₂ не могут быть равны друг другу. Если x   ₁  = x   ₂ , то линия вертикальна, а наклон не определен.

Пример 1:  Используйте рисунок , чтобы найти наклоны линий a, b, c и d.

Рисунок 2 Нахождение наклонов конкретных линий.

а. (а) Линия a проходит через точки (−7, 2) и (−3, 4).

б. (б) Линия b проходит через точки (2, 4) и (6, −2).

в. (c) Линия c параллельна оси x . Следовательно, м  = 0,

д. (d) Линия d параллельна оси y . Таким образом, линия d имеет неопределенный наклон.

Пример 2:  Линия проходит через (−5, 8) с наклоном 2/3.Если другая точка на этой прямой имеет координаты ( x , 12), найдите x.