Уклон 1 к 2 сколько градусов: Калькулятор уклонов

Угол наклона лестницы – Оптимальные значения и как рассчитать

С каждым годом при строительстве частных домов предъявляются все более жесткие требования к качеству, эргономичности и практичности отдельных конструкций. Лестница является наиболее используемым элементом в любом многоэтажном доме и в этой статье мы постараемся ответить на вопрос, как подобрать наиболее оптимальный угол наклона марша, для того чтобы эксплуатация изделия была наиболее комфортной и не сопровождалась трудностями при перемещении между ярусами.

Попробуйте наши калькуляторы расчета лестниц – у нас вы найдете качественную графику, подробные расчеты и готовую смету по материалам.

 

Содержание

• Что такое угол наклона лестницы
• Оптимальный угол наклона лестницы
• Какие показатели влияют на уклон лестницы
• Как рассчитать угол наклона лестницы
• Расчет угла наклона лестницы – Онлайн калькулятор
• Расчет наклона лестницы вручную

 

Что такое угол наклона лестницы?

Угол наклона лестницы – это угол наклона лестничного марша по отношению к поверхности пола. Соответственно, чем меньше числовое значение угла, тем более пологая конструкция получается.

Небольшой угол подъема позволяет подобрать наиболее оптимальную ширину проступи и высоту ступени, что в свою очередь обеспечивает более высокий уровень безопасности при эксплуатации пожилыми, детьми и людьми с ограниченными возможностями.

Главным недостатком такого типа конструкции является чрезвычайная массивность и громоздкость – не в каждом доме найдется свободное пространство под такое сооружение, а если и найдется, то без необходимости, редко кто готов так неэффективно использовать жилую площадь.

Также не рекомендуется устанавливать слишком крутую конструкцию, так как она накладывает определенные физические ограничения на жильцов. Из-за высоких ступеней перемещаться по такой лестнице будет проблематично, утомительно и зачастую небезопасно.

Нас часто спрашивают: уклон лестницы 1:1 – что это значит и сколько это ? Ответ крайне прост – уклон 1:1 равен углу в 45 градусов, т. е. глубина ступени фактически равна ее высоте. Уклон 1:2 – это угол в 27,5 градусов, т.е. глубина ступени в два раза больше ее высоты.

 

Оптимальный угол наклона лестницы

Для определения оптимального угла наклона лестничного марша ориентируются на строительные нормативы, технические особенности помещения и конечно же, личные предпочтения.

Считается, что в частном домостроении для повседневного использования наиболее приемлемым является уклон в 45 градусов, оптимальным 35-45 градусов, а идеальным – 30-35. В этих случаях, при использовании лестницы человек будет прилагать наименьшие усилия при перемещении и у него не возникнет чувство дискомфорта.

Тем не менее не всегда рационально использовать именно такие уклоны. В зависимости от назначения и места установки, ориентироваться стоит на другие рекомендованные значения.

Например, разбив все конструкции на несколько групп можно определить оптимальные углы наклона:

• Пандусы . Используются при наличии людей с ограниченными возможностями. Обязательно должны быть пологими с углами не более 15 градусов.
• Уличные и садовые лестницы. Применяются в общественных пространствах, парках, садах. Должны обеспечивать комфортный подъем для широкого круга людей, поэтому наклон не должен быть значительным – до 30 градусов.
• Внутренние лестницы. Используются в многоквартирных и частных домах. Считается что лестница с уклоном от 30 до 45 градусов является наиболее оптимальной, так обеспечивает комфортное перемещение для среднестатистического человека и не занимает большую площадь.
• Чердачные лестницы. В случаях, когда невозможно и/или нецелесообразно установить классическую лестничную конструкцию, применяются крутые, но компактные чердачные лестницы с углом до 60 градусов.
• Стремянки, трапы, пожарные лестницы. Приставные лестницы являются временным решением и используются крайне редко, они устанавливаются с минимальным уклоном, т.е. практически вертикально.

Не забывайте, что главным критерием при выборе угла наклона лестницы должны быть потребности проживающих в доме людей, так как именно им придется использовать конструкцию в наибольшей степени.

 

Какие показатели влияют на уклон лестницы?

Как уже было не раз отмечено, что на показатель уклона лестницы влияют ширина и высота ступеней. Низкие ступени и широкая проступь обеспечивают более пологую, но в то же время более громоздкую конструкцию, соответственно, более высокие и узкие ступени позволяют использовать меньшее пространство, так как увеличивается максимальный угол подъема лестницы.

Считается, что оптимальным показателем высоты ступени является 15-18 см. Более высокое значение приводит к возникновению трудностей при перемещении, а меньшее к нецелесообразному укрупнению сооружения.

Ширина проступи определяет непосредственно эффективную глубину ступенек. Подбирается на основании средней длины шага пользователей и технических возможностей помещения. Рекомендованная ширина 27-30 см.

Почти все конструктивные особенности изделия определяет ГОСТ 23120-78 «Лестницы маршевые, площадки и ограждения».

 

Как рассчитать угол наклона лестницы?

Расчет угла наклона лестничного марша является одной из самых важных задач при проектировании конструкции, так как именно этот параметр предопределяет характеристики остальных элементов сооружения. Мы предлагаем вам ознакомиться с двумя методами расчета – автоматизированный с помощью онлайн-калькулятора и классический ручной.

 

Расчет угла наклона лестницы – Онлайн калькулятор

Если вы боитесь ошибиться и у вас нет лишнего времени, лучшим решением для того чтобы рассчитать угол наклона лестницы на второй этаж станут наши надежные онлайн-калькуляторы. У нас доступен расчет следующих типов конструкций:

• прямая лестница на тетивах;
• прямая лестница на косоурах;
• прямая лестница с ломаным косоуром;
• лестница на косоурах с забежными ступенями с поворотом на 90;
• лестница на косоурах с забежными ступенями с поворотом на 180;
• одномаршевая лестница на косоурах с площадкой с поворотом на 90;
• двухмаршевая лестница на косоурах с площадкой с поворотом на 180;
• трехмаршевая лестница на косоурах с площадкой с поворотом на 180.

Перейдите на страницу интересующей лестницы, введите необходимые параметры проема и нажмите кнопку «Рассчитать».

Вам будет доступен блок с результатами расчета, в котором вы можете подчерпнуть большое количество полезной информации – практически готовую смету. В отдельном окне выводятся чертежи, схемы и 3D-модель конструкции.

 

Расчет наклона лестницы вручную

Классическим, но не всегда рациональным методом является расчет угла лестницы вручную. Мы покажем, как применяя простые геометрические правила можно определить искомое значение и разберем пример.

Существует два основных способа расчета:

• Способ #1 – наиболее простой. Зная параметры глубины и высоты ступени, вы можете сразу определить угол наклона лестницы, так как фактически он будет совпадать с углом наклона гипотенузы прямоугольного треугольника, образованного ступенями. Для того чтобы его определить нужно знать тангенс угла А.

Формула расчета угла наклона лестницы: tg(A) = h / s

• Способ #2. Суть расчета сводится к тому же, только здесь в качестве катетов прямоугольного треугольника выступает высота и длина проема. Рассмотрим второй случай, как наиболее подробный.

Считается, что максимально комфортными и удобными лестницами являются те, при ходьбе на которых не приходится искусственно изменять привычную длину шага. У каждого человека свой стандарт, однако среднее значение находится в пределах 60-65 см. Вы можете измерить свой, а мы продолжим пример с размером равным 63 см.

Рекомендованные значения ширины проступи и высоты ступеней мы уже обсуждали, но как понять какое именно значение подобрать из этих интервалов.

Опытным путем специалисты выяснили, что длина шага равна сумме глубины проступи и двойной высоте ступеней. То же самое можно записать в виде формулы:

Формула расчета ступеней: 2 × h + s = 60/65 см

Т.е. зная длину шага человека и допустимые интервалы, можно подобрать наиболее комфортные параметры ступеней. Перебрав все возможные варианты, у нас получились найти две пары теоретических значений: s = 27 см и h = 18 см или s = 29 см и h = 17 см. Возьмем первую.

Для тех, кто не хочет углубляться в подробности, можно остановиться на формуле tg(A) = h / s и закончить расчет прямо сейчас.

Далее нам необходимо определить высоту этажа. Мы возьмем стандартный потолок для частного дома – 270 см и прибавим толщину перекрытия с конструкцией пола верхнего этажа, в среднем, это составляет 30 см. Вам же необходимо измерить рулеткой фактическое значение и в дальнейших расчетах использовать именно его.

Зная высоту этажа и высоту ступеней, мы можем определить их количество:

300 см / 18 см = 16,7 ступеней.

Так как число получилось не целое, округлим в большую сторону (до 17) и произведем обратный расчет, для определения точной высоты ступеней.

300 см / 17 = 17,6 см.

Теперь вернемся к первоначальной формуле и рассчитаем реальную ширину проступи по известной высоте ступеней.

63 см – 17,6 см × 2 = 27,8 см.

У нас получилось, что h = 17,6 см, s = 27,8 см – оба значение соответствуют рекомендуемым, значит можно продолжить расчет.

Так как мы рассчитываем пример для наглядности – для упрощения расчетов мы округляем сотые доли полученных значений. В реальной ситуации, так делать не рекомендуется .

Дальше определим длину лестницы в горизонтальной проекции на основании данных по количеству ступеней и их длине.

17 × 27,8 см = 472,6 см.

После проведения вычислений вам необходимо убедиться в наличии необходимого пространства для монтажа лестницы. Если такового нет (что часто случается), необходимо выполнить расчет в обратную сторону, отталкиваясь не от оптимального угла наклона лестницы, а от возможностей помещения.

Также следует рассмотреть многомаршевые конструкции. Для них расчет проводится аналогично, только для каждого марша в отдельности.

Но предположим, что у вас имеется необходимая площадь, тогда заключительный этап работ сводится к определению тангенса угла, образованного длиной и высотой проема.

В этом случае, оптимальный угол наклона лестницы будет равен:

tg(α) = 300 / 472,6 = 0,63

α = arctg(0,63) = 32. 2°

У нас получилась идеальная лестница , так как мы заранее взяли идеальные размеры ступеней, но из-за ограниченных размеров помещения, чаще всего так не получается и приходится увеличивать угол.

Например, если мы возьмем максимальный угол наклона лестницы в 40 градусов, то длину проема можно уменьшить до 357 см.

tg(40°) ≈ 0,84

0,84 = 300 см / x см

x ≈ 357 см

Манипуляции с длиной проема и углом наклона лестницы непременно приведут к изменению параметров ступеней и скорее всего они выйдут из диапазона комфортных, но если помещение технически не может вместить лестницу – другого выбора нет.

Помните, что грамотно выполненный расчет угла наклона лестницы – это единственно верный путь к удобству и безопасности при эксплуатации. Доверьте свои расчеты нашим надежным калькуляторам лестниц и будьте уверены в своей конструкции!

СНиП, стандарты для разных зданий и помещений

Опубликовано: 5 марта 2021

Содержание

• 1 Являются ли нормы уклоны лестницы по СНиП обязательными?

• 2 Как рассчитываются нормы уклона лестниц

  • 2. 1 Нормы уклона наружной лестницы

  • 2.2 Нормы уклона лестницы в подвал

  • 2.3 Нормы уклона лестницы в производственных зданиях

  • 2.4 Нормы уклона лестницы внутри квартиры или частного дома

  • 2.5 Расчет норм уклона одномаршевой, двухмаршевой лестниц в зависимости от высоты этажа

• 3 Сравнительная таблица норм угла наклона лестниц

• 4 Как размеры ступеней влияют на угол наклона лестницы

Нормы для уклона лестницы позволяют сделать ее безопасной и удобной в эксплуатации. Нужно понимать, что принятые стандарты (в частности, СНиП относительно норм уклона лестницы) созданы для того, чтобы обеспечить минимальный травматизм при пользовании подъемной конструкцией. Поэтому не стоит игнорировать просчитанные специалистами параметры. Так вы не только защитите себя и близких от возможности получения травмы, но и не нарветесь на штраф. Ознакомьтесь с тем, какие существуют нормы для уклона лестницы и как они определяются.

Являются ли нормы уклоны лестницы по СНиП обязательными?

При разработке проекта лестничных маршей, их изготовлении и установке на объекте следует строго соблюдать установленные законом нормы и придерживаться требований СНиП (строительные нормы и правила).

Указанные в СНиП нормы уклоны лестницы относятся к рекомендательным документам, т.е. не являются строго обязательными. Они разработаны, в первую очередь, для того, чтобы предупредить серьезные ошибки при проектировании деревянных, межэтажных бетонных, винтовых, маршевых и пожарных лестниц в возводимых жилых и общественных зданиях. Исходя из норм СНиП, возводят безопасные (при спуске и подъеме) для людей, удобные в эксплуатации, не провоцирующие опасные ситуации и соответствующие правилам эвакуации жильцов объекты.

Нормы уклона лестницы по СНиП не являются обязательными. Но все же стоит их придерживаться.

Как рассчитываются нормы уклона лестниц

Чем чаще используется лестница, тем меньше должен быть ее угол наклона

Стоит отметить, что для разных видов лестниц нормы уклона будут отличаться. Тем не менее существуют общие стандарты, которые позволят эксплуатировать объект без каких-либо проблем.

Итак, нормы уклона для внутренней межэтажной лестницы рассчитываются следующим образом:

• оптимальный угол наклона – 45 градусов;
• максимальный угол наклона – 50 градусов;
• минимальный угол наклона – 20 градусов.

Таким образом, уклон для внутренних лестниц будет находиться в пределах 1:1 – 1:2,75.

Для приставной лестницы нормы угла наклона определяются соотношением 1:0,85.

Для пандусов оптимальный угол наклона находится в пределах 5 градусов, но не должен превышать 9 градусов.

Что значит угол наклона лестницы? Соотношение 1:1 указывает на то, что длина и высота ступени конструкции равны. Чем больше второе число, тем более пологой является лестница.

Таблица зависимости уклона лестницы от размеров ступеней

Нормы уклона наружной лестницы

Нормы уклона для наружной лестницы, предназначенной для ежедневного пользования, составляют 9-20 градусов. Если лестница будет эксплуатироваться редко, в основном для технического обслуживания подсобных помещений), то угол уклона может составлять 45-50 градусов.

Нормы уклона лестницы в подвал

Часто в целях экономии места делают угол наклона лестницы больше

Для лестницы из подвала нормы уклона будут такими же, как и для наружных вспомогательных лестниц, − 45-50 градусов.

Нормы уклона лестницы в производственных зданиях

Согласно действующим СНиП, для общественных и производственных зданий нормы уклона лестницы варьируются в пределах 20-35 градусов.

Нормы уклона лестницы внутри квартиры или частного дома

Несмотря на то, что предельный угол для лестниц внутри зданий задается в 50 градусов, этот параметр не является оптимальным, поскольку подъем и спуск в этом случае получаются достаточно крутыми. Строительные нормативы и стандарты рекомендуют для внутриквартиных лестниц делать угол наклона в диапазоне 20-35 градусов. Такая конструкция хоть и будет занимать больше места, зато будет комфортной и безопасной для всех членов семьи.

Расчет норм уклона одномаршевой, двухмаршевой лестниц в зависимости от высоты этажа

Сравнительная таблица норм угла наклона лестниц

В таблице ниже представлены значения норм угла наклона для лестниц разного назначения. Эти параметры носят рекомендательный характер и основаны на удобстве эксплуатации.

Вид лестниц, их назначение	Градусы
рампы и пандусы	до 9
наружные пологие лестницы	10-20
лестницы в жилых, общественных и производственных зданиях	20-35
лестницы в частных домах и двухуровневых квартирах	35-40
наружные лестницы, в том числе в технические помещения (подвал, чердак)	40-45
стремянки, технические лестницы	до 75
трапы	от 75

Как размеры ступеней влияют на угол наклона лестницы

На значение уклона лестницы влияют ширина и высота ступеней. Поэтому их размеры тоже надо принять во внимание, чтобы спроектировать лестницу, соответствующую нормам угла наклона. Низкие ступени и широкая проступь обеспечивают более пологую, но при этом более громоздкую конструкцию. Следовательно, более высокие и узкие ступеньки дают возможность использовать меньшее пространство, так как увеличивается максимальный угол подъема лестницы.

Считается, что оптимальным показателем высоты ступени является 15-18 см. Более высокое значение приводит к возникновению трудностей при перемещении, а меньшее к нецелесообразному увеличению конструкции. Хотя если есть возможность, то надо стремиться сделать угол наклона лестницы минимальным, т.е. ступенька должна быть в длину больше, чем в высоту.

Ширина проступи определяет непосредственно эффективную глубину ступенек. Подбирается на основании средней длины шага и технических возможностей помещения. Рекомендованная ширина 27-30 см.

Оптимальные размеры ступеней и нормы угла наклона лестницы представлены на схеме

• Автор: admin
• Распечатать

Оцените статью:

(10 голосов, среднее: 4. 4 из 5)

Поделитесь с друзьями!

Что такое наклон 2 1? – Reviews Wiki

В числовом выражении уклон – это изменение высоты (подъем) на заданном расстоянии (прогоне). Другими словами, количество футов, на которое земля поднимается или опускается по горизонтали. … Наклон 2:1 также равен 50% наклону , а наклон 1:1 соответствует 100% наклону.

Как записать 2 2 в процентах? Чтобы дать процент, обычно должно быть два значения, поэтому мы можем знать, с чем сравнивается 2.

1. В этом случае давайте поработаем с 2 как со значением 2,00.
2. 2.00=200100=200%
3. = 20%
4. Чтобы выразить число или дробь в процентах →×100%
5. 2×100%=200%

Сколько градусов составляет 1 /2 уклон? Таблица общих уклонов в архитектуре

Градусы	Градиент	Проценты
15°	1 : 3,73 900 36	26,8%
26,57°	1 : 2	50%
30°	1 : 1,73 90 036	57,7%
45°	1 : 1	100%

• 5 мая 2021 г.

Дополнительно Что такое коэффициент наклона? Наклон линии — это угол, под которым она поднимается или опускается, а отношение — это сравнение значений . … В случае наклона линии соотношение представляет собой «подъем» линии, выраженный по отношению к «пробегу» линии. Возможно, вам придется работать с коэффициентами наклона на уроках алгебры в средней школе или колледже.

Как построить график наклона 2? Наклон графика

1. Наклон = подъем/спуск.
2. Подсчет подъема. Так как подъем положительный 2, я посчитал 2.
3. Подсчитайте пробег. …
4. Повторите процесс для построения третьей точки.
5. Проведите прямую через точки.
6. Подсчет подъема. …
7. Считать пробег. ( …
8. Повторите процесс, если вы хотите нанести на график третью точку.

Как записать 2 процента в виде десятичной дроби?

Таблица преобразования процентов в десятичные числа

1. 0,01.
2. 0,02.
3. 0,03.
4. 0,04.
5. 0,05.
6. 0,06.
7. 0,07.
8. 0,08.

Что такое 1,0 в процентах? Проценты – особый тип дроби

900 26

100%	=100/100	= 1,0 (десятичное)
25%	= 25/100	= 0,25 (десятичное)
40%	= 40/100	= 0,4 (десятичное)
5%	= 5/100	= 0,05 (десятичное число)
0,5%	= 5/1000	= 0,005 (десятичное число)

Что такое 0,5 в процентах? Умножьте 0,5 на 100/100. Поскольку 100/100 = 1, мы умножаем только на 1 и не меняем значение нашего числа. 50/100 — это 50 на 100 и означает 50 на 100. 50 «на 100» означает 50 «процентов» или 50% .

Как построить график наклона 1/2?

Также Как рассчитать коэффициент рампы? Как рассчитать уклон пандуса?

1. уклон[соотношение] = подъем : пробег.
2. уклон[угол] = арктангенс(подъем/подъем)
3. уклон[%] = 100% * подъем/подъем = 100% * тангенс(угол)

Что такое уклон для 2?

y=2 — это горизонтальная линия, которая имеет наклон, равный нулю . x — единственная переменная, которая изменяется, так как y всегда равно 2. Поскольку у нас нет изменения y , у нас нет «подъема», поэтому наклон равен нулю.

Как рассчитать коэффициент падения? Падение трубы также иногда можно описать как градиент. Чтобы вычислить уклон, разделите вертикальное падение на горизонтальную длину участка трубы . Таким образом, в нашем примере 1 из 40 расчет будет (1/40), что даст градиент 0,025.

Как найти отношение линии?

Как преобразовать соотношения в уклоны?

Наклон поверхности между двумя точками может быть выражен в виде отношения (A), в процентах (B) или в виде угла (C), где tan ^{– 1} читается как «угол, тангенс которого равен…». Вы также можете выразить отношение как процент наклона (также называемый процентным подъемом) (рис. 3). Для этого просто умножьте коэффициент наклона на 100 .

Что такое 1/2 наклона на графике? Как видите, y=12 — это горизонтальная линия, поскольку значение x всегда постоянно и никогда не меняется. Каждый раз, когда график представляет собой горизонтальную линию, это означает, что наклон равен 0 . Причина этого в том, что RiseRun будет означать 01, что равно 0. Следовательно, наклон равен 0 .

Как выглядит склон? Уклон равен подъему, деленному на пробег: . Вы можете определить наклон линии по ее графику, взглянув на подъем и бег. Одной из характеристик линии является то, что ее наклон постоянен на всем ее протяжении. Таким образом, вы можете выбрать любые 2 точки на графике линии, чтобы вычислить наклон.

Является ли процент соотношением?

Процент — это еще один способ описания отношения к 100 . Процент (%) — это значение, соответствующее тому, сколько из ста (на сотню).

Как записать 50% в виде десятичной дроби? Записано в виде десятичной дроби 50% равно 0,5 .

Затем мы выполняем деление дроби (50 на 100), чтобы получить ответ 0,5.

Что такое 0,3%, записанное в виде десятичной дроби?

Что такое 1,5 в процентах? Ответ: 1,5 в процентах это 150% .

Здесь мы выразим десятичное число 1,5 в процентах.

Как найти 1% числа?

Чтобы найти 1% чего-то (1/100 чего-то), разделить на 100 . Вспомните, как мысленно делить на 100: просто переместите запятую на два знака влево. Например, 1% от 540 — это 5,4. А 1% от 8,30 это 0,083.

Что такое 0,1 в процентах? Ответ: 0,1 в процентах равно 10% .

Измерение углов

Измерение углов

Понятие угла

Понятие угла — одно из важнейших понятий геометрии. Понятия равенства, суммы и разности углов важны и используются во всей геометрии, но предмет тригонометрии основан на измерение углов.

Существуют две широко используемые единицы измерения углов. Более привычной единицей измерения являются градусы. Окружность разделена на 360 равных градусов, так что прямой угол равен 90°. Пока мы будем рассматривать только углы от 0° до 360°, но позже, в разделе о тригонометрических функциях, мы будем рассматривать углы больше 360° и отрицательные углы. Градусы могут быть далее разделены на минуты и секунды, но это разделение не так универсально, как раньше. Каждый градус делится на 60 равных частей, называемых минутами. Итак, семь с половиной градусов можно назвать 7 градусов и 30 минут, записать 7° 30′. Каждая минута далее делится на 60 равных частей, называемых секунд, и, например, 2 градуса 5 минут 30 секунд записывается как 2° 5′ 30″. Деление градусов на минуты и угловые секунды аналогично делению часы в минуты и секунды времени.

Части градуса теперь обычно указываются в десятичном виде. Например, семь с половиной градусов теперь обычно записывают как 7,5&deg.

Когда один угол рисуется на плоскости xy для анализа, мы рисуем его в стандартном положении с вершиной в начале координат (0,0), одна сторона угла вдоль x -ось, а другая сторона выше оси

x .

Радиан

Другой распространенной единицей измерения углов являются радианы. Для этого измерения рассмотрим единичную окружность (окружность радиуса 1), центр которой является вершиной рассматриваемого угла. Тогда угол отсекает дугу окружности, и длина этой дуги является мерой угла в радианах. Легко конвертировать между измерением в градусах и измерением в радианах. Длина окружности равна 2 π , отсюда следует, что 360° равняется 2 π радиан. Следовательно, 1° равно π /180 радиан и 1 радиан равен 180/ π градусов Большинство калькуляторов можно настроить на использование углов, измеряемых в градусах или радианах. Убедитесь, что вы знаете, какой режим использует ваш калькулятор.

Краткая заметка об истории радианов

Хотя слово «радиан» было придумано Томасом Мьюиром и/или Джеймсом Томпсоном примерно в 1870 году, математики давно измеряли углы таким способом. Например, Леонард Эйлер (1707–1783) в своей Элементы алгебры прямо говорят, что углы измеряются длиной дуги, отсеченной в единичной окружности. Это было необходимо, чтобы дать его знаменитую формулу с комплексными числами, которая связывает функции знака и косинуса с показательной функцией. e ^iθ = cos θ + i sin θ

где θ — это то, что позже было названо измерением угла в радианах. К сожалению, объяснение этой формулы выходит далеко за рамки этих заметок. Но для получения дополнительной информации о комплексных числах см. мой Краткий курс комплексных чисел.

Радианы и длина дуги

Альтернативное определение радианов иногда дается как отношение. Вместо единичной окружности с центром в вершине угла θ возьмите любую окружность с центром в вершине угла. Тогда радианной мерой угла является отношение длины стягиваемой дуги к радиусу r окружности. Например, если длина дуги равна 3, а радиус окружности равен 2, то мера радиана равна 1,5.

Причина, по которой это определение работает, заключается в том, что длина стягиваемой дуги пропорциональна радиусу окружности. В частности, определение в терминах отношения дает ту же цифру, что и приведенная выше, с использованием единичного круга. Однако это альтернативное определение более полезно, поскольку его можно использовать для связи длин дуг с углами. Длина дуги равна радиусу r , умноженному на угол θ , где угол измеряется в радианах.

Например, дуга θ  = 0,3 радиана в окружности радиусом r  = 4 имеет длину 0,3 умножить на 4, то есть 1,2.

Радианы и площадь сектора

Сектором окружности называется та часть окружности, которая ограничена двумя радиусами и дугой окружности, соединяющей их концы.

Площадь этого сектора легко вычислить из радиуса r окружности и угла θ между радиусами, если он измеряется в радианах. Так как площадь всего круга равна πr ² , а сектор относится ко всей окружности как угол θ к 2 π , поэтому

Углы общие

Ниже приведена таблица общих углов как в градусах, так и в радианах. Обратите внимание, что измерение в радианах дается как π . Его можно, конечно, представить в десятичном виде, но радианы часто появляются с коэффициентом π . .

Угол	градусов	радиан
	90°	№ /2
	60°	№ /3
	45°	№ /4
	30°	№ /6

Упражнения

Эдвин С. Кроули написал книгу «Тысяча упражнений в плоской и сферической тригонометрии», Университет Пенсильвании, Филадельфия, 1914 г. Задачи этого краткого курса взяты из этого текста (но не все 1000 из них!) Он дал свои задачи с точностью до пяти знаков, поэтому учащимся пришлось поработать над их решением, и они использовали таблицы логарифмов, чтобы помочь в умножении и делении. Студенты должны были уметь пользоваться таблицей синусов-косинусов, тангенсов, логарифмов, логарифмических синусоидальных и логарифмических таблиц. Теперь мы можем использовать калькуляторы! Это означает, что вы можете сосредоточиться на концепциях, а не на трудоемких вычислениях.

Кроули использовал не десятичную запись для долей градуса, а минуты и секунды.

Каждый набор упражнений включает, во-первых, формулировки упражнений, во-вторых, несколько советов по решению упражнений и, в-третьих, ответы на упражнения.

1. Выразите следующие углы в радианах.
(а). 12 градусов 28 минут, то есть 12° 28′.
(б). 36° 12′.

2. Сократите следующие числа радианов до градусов, минут и секунд.
(а). 0,47623.
(б). 0,25412.

3. Учитывая угол a и радиус r, найти длину стягивающей дуги.
(а). a  = 0° 17′ 48″, r  = 6,2935.
(б). a  = 121° 6′ 18″, r  = 0,2163.

4. Зная длину дуги l и радиус r, найти угол, опирающийся на центр.
(а). l  = 0,16296, r  = 12,587.
(б). l = 1,3672, r = 1,2978.

5. Зная длину дуги l и угол a , на который она опирается в центре, найти радиус.
(а). a  = 0° 44′ 30″, l  = 0,032592.
(б). a  = 60° 21′ 6″, l  = 0,4572.

6. Найдите длину с точностью до дюйма дуги окружности 11 градусов 48,3 минуты, если радиус равен 3200 футов.

7. Железнодорожная кривая образует дугу окружности 9 градусов 36,7 минут, радиус от центральной линии пути составляет 2100 футов. Если ширина колеи 5 футов, найдите разницу в длине двух рельсов с точностью до полдюйма.

9. На сколько человек изменит широту, пройдя на север одну милю, если предположить, что Земля представляет собой сферу радиусом 3956 миль?

10. Вычислите длину одной угловой минуты в футах по большому кругу Земли. Какова длина одной угловой секунды?

14. На окружности радиусом 5,782 метра длина дуги 1,742 метра. На какой угол он сужается в центре?

23. Известно, что воздушный шар диаметром 50 футов вытягивается из глаза под углом 8 1/2 минут. Как далеко это?

Советы

1. Чтобы преобразовать градусы в радианы, сначала преобразуйте количество градусов, минут и секунд в десятичную форму. Разделите количество минут на 60 и прибавьте к количеству градусов. Так, например, 12 ° 28 ‘это 12 + 28/60, что равно 12,467°. Далее умножить на π и разделите на 180, чтобы получить угол в радианах.

2. И наоборот, чтобы преобразовать радианы в градусы, разделите π и умножьте на 180. Таким образом, 0,47623, деленное на π и умноженное на 180, дает 27,286°. Вы можете преобразовать доли градуса в минуты и секунды следующим образом. Умножьте дробь на 60, чтобы получить количество минут. Здесь 0,286 умножить на 60 равно 17,16, поэтому угол можно записать как 27° 17,16′. Затем возьмите любую оставшуюся долю минуты и снова умножьте на 60, чтобы получить количество секунд. Здесь 0,16 умножить на 60 примерно равно 10, поэтому угол можно также записать как 27° 17′ 10″.

3. Чтобы найти длину дуги, сначала переведите угол в радианы. Для 3(a) 0°17’48” составляет 0,0051778 радиан. Затем умножьте на радиус, чтобы найти длину дуги.

4. Чтобы найти угол, разделите его на радиус. Это дает вам угол в радианах. Это можно преобразовать в градусы, чтобы получить ответы Кроули.

5. Как упоминалось выше, радиан умножить на радиус = длине дуги, поэтому, используя буквы для этой задачи, ar  =  l, , но a необходимо сначала преобразовать из градусов в радианы. Итак, чтобы найти радиус 90 259 r, 90 260 сначала преобразуйте угол 90 259 a 90 260 в радианы, а затем разделите его на длину дуги 90 259 l 90 260.

6. Длина дуги равна произведению радиуса на угол в радианах.

7. Помогает нарисовать фигуру. Радиус внешней направляющей равен 2102,5, а радиус внутренней направляющей равен 209.7.5.

9. У вас есть круг радиусом 3956 миль и дуга этого круга длиной 1 миля. Какой угол в градусах? (Средний радиус Земли был известен довольно точно в 1914 году. Посмотрите, сможете ли вы узнать, каким Эратосфен считал радиус Земли еще в третьем веке до нашей эры.)

10. Угловая минута равна 1/60 градуса. Преобразовать в радианы. Радиус равен 3956. Какова длина дуги?

14. Поскольку длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах, отсюда следует, что угол в радианах равен длине дуги, деленной на радиус. Радианы легко перевести в градусы.

23. Представьте, что диаметр воздушного шара является частью дуги окружности, в центре которой вы находитесь. (Это не совсем часть дуги, но довольно близко.) Эта дуга имеет длину 50 футов. Вы знаете угол, так каков радиус этого круга?

Ответы

1. (а). 0,2176. (б). 0,6318.

2. (а). 27° 17′ 10 дюймов (б). 14,56 ° = 14 °33,6′ = 14°33’36”.

3. (а). 0,03259 (б). 2,1137 умножить на 0,2163 равно 0,4572.

4. (а). 0,16296/12,587 = 0,012947 радиан = 0° 44′ 30″.
(б). 1,3672/1,2978 = 1,0535 радианы = 60,360° = 60° 21,6′ = 60° 21′ 35″.

5. (а). л/год  = 0,032592/0,01294 = 2,518.
(б). л/год  = 0,4572/1,0533 = 0,4340.

6. ra  = (3200′) (0,20604) = 659,31′ = 659′ 4 дюйма.

7. Угол a  = 0,16776 радиан. Разница в длинах есть 2102,5 a  – 1997,5 a , что составляет 5 a. Таким образом, ответ равен 0,84 фута, что с точностью до дюйма равно 10 дюймам.

9. Угол = 1/3956 = 0,0002528 радиан = 0,01448° = 0,8690′ = 52,14″.

10. Одна минута = 0,0002909 радиан. 1,15075 мили = 6076 футов. Поэтому одна секунда будет соответствовать 101,3 фута.

14. a = л/об = 1,742/5,782 = 0,3013 радиан = 17,26° = 17°16′.

23. Угол a равен 8,5′, что составляет 0,00247 радиана. Значит радиус равен r = л/год = 50/0,00247 = 20222′ = 3,83 мили, почти четыре мили.

О разрядах точности.

Кроули старается давать свои ответы примерно с той же точностью, что и данные в вопросах. Это важно, особенно сейчас, когда у нас есть калькуляторы. Например, в задаче 1 исходная точка равна 12°28′, что имеет точность около четырех знаков, поэтому ответ 0,2176 также должен быть дан с точностью только до четырех знаков. (Обратите внимание, что начальные нули не учитываются при подсчете цифр точности.) Ответ 0,21758438 предполагает восемь цифр точности, и это может ввести в заблуждение, поскольку данная информация не была такой точной.