Точность измерения это: ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ | это… Что такое ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ?

3.4. Определение точности измерений

3.4.1. Понятие погрешности измерения

При практическом использовании тех или иных результатов измерений важно оценить их точность. Термин «точность измерений», т. е. степень приближения результатов измерения к некоторому истинному значению, не имеет строгого определения и используется для качественного сравнения измерительных операций. Для количественной оценки применяется понятие «погрешность измерений» (чем меньше погрешность, тем выше точность).

Погрешностью называют отклонение результата измерений от истинного (действительного) значения измеряемой величи­ны. При этом следует иметь в виду, что истинное значение физической величины считается неизвестным и применяется в теоретических исследованиях. Действительное значение физической величины устанавливается экспериментальным путем в предположении, что результат эксперимента (измерения) в максимальной степени приближается к истинному значению. Оценка погрешности измерения – одно из важных мероприятий по обеспечению единства измерений.

Погрешность измерений зависит в первую очередь от погрешностей СИ, а также от условий, в которых проводится измерение, от экспериментальной ошибки методики и субъективных особенностей человека в случаях, где он непосредственно участвует в измерениях. Поэтому можно говорить о нескольких составляющих погрешности измерений или о ее суммарной погрешности.

Количество факторов, влияющих на точность измерения, достаточно велико, и любая классификация погрешностей измерения (рис.15) в известной мере условна, так как различные погрешности в зависимости от условий измерительного процесса проявляются в разных группах.

Рис. 15. Классификация погрешностей измерения

3.4.2. Виды погрешностей

Как указывалось выше, погрешность измерения – это отклонение результата измерения Х от истинного Х_и значения измеряемой величины.

При этом вместо истинного значения физической величины Х_и используют ее действительное значение Х_д.

В зависимости от формы выражения различают абсолютную, относительную и приведенную погрешности измерения.

Абсолютная погрешность – это погрешность средства измерений, выраженная в единицах измеряемой физической величины. Она определяется как разность Δ’= Х_i – Х_и или Δ = X – Х_д., где X_i – результат измерения.

Относительная погрешность – это погрешность средства измерений, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к результату измерений или действительному значению измеряемой физической величины. Она определяется как отношение δ = ±(Δ/Х_д)·100%.

Приведенная погрешность – это погрешность средства измерений, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений Χ

N_.

В качестве нормирующего значения можно использовать диапазон измерений прибора, верхний предел измерений и т.д. Она определяется как отношение γ=±(Δ/Χ_n)·100%.

Методами теории вероятностей установлено, что в качестве действительного значения результата при многократных измерениях параметра, изменяющегося случайным образом, выступает среднее арифметическое значение X:

X = _i ,

где X_i– результат i -го измерения, n – число измерений.

Величина X, полученная в одной серии измерений, является случайным приближением к Х_и. Для оценки ее возможных отклонений от Х

и определяют оценку среднего квадратического отклонения от среднего арифметического:

S(X)= .

Для оценки рассеяния отдельных результатов измерения Xi относительно среднего арифметического X определяют выборочное среднее квадратическое отклонение:

σ = .

Эти формулы соответствуют центральной предельной теореме теории вероятностей, согласно которой среднее арифметическое из ряда измерений всегда имеет меньшую погрешность, чем погрешность каждого определенного измерения:

S(X)= σ / .

Эта формула отражает фундаментальный закон теории погрешностей. Из него следует, что если необходимо повысить точность результата (при исключенной систематической погрешности) в 2 раза, то число измерений нужно увеличить в 4 раза; если точность требуется увеличить в 3 раза, то число измерений увеличивают в 9 раз и т.д.

Нужно четко разграничивать применение величин S и σ: первая используется при оценке погрешностей окончательного результата, а вторая – при оценке погрешности метода измерения.

В зависимости от характера проявления, причин возникновения и возможностей устранения различают систематическую и случайную погрешности измерений, а также грубые погрешности (промахи).

Систематическая погрешность – это составляющая погрешности, принимаемая за постоянную или закономерно изменяющуюся при повторных измерениях одного и того же параметра. Как правило, считают, что систематические погрешности могут быть обнаружены и исключены. Однако в реальных условиях полностью исключить эти погрешности невозможно. Всегда остаются какие-то неисключенные остатки, которые нужно учитывать, чтобы оценить их границы. Это и будет систематическая погрешность измерения.

Случайная погрешность – это составляющая погрешности, изменяющаяся в тех же условиях измерения случайным образом. Значение случайной погрешности заранее неизвестно, она возникает из-за множества не уточненных факторов. Исключить из результатов случайные погрешности нельзя, но их влияние может быть уменьшено путем статистической обработки результатов измерений.

Случайная и систематическая составляющие погрешности из­мерения проявляются одновременно, так что при их независимости их общая погрешность равна сумме погрешностей. В принципе систематическая погрешность тоже случайна и указанное деление обусловлено лишь установившимися традициями обработки и представления результатов измерения.

В отличие от случайной погрешности, выявляемой в целом, вне зависимости от ее источников, систематическая погрешность рассматривается по составляющим в зависимости от источников ее возникновения. Различают субъективную, методическую и инструментальную составляющие систематической погрешности.

Субъективная составляющая погрешности связана с индивидуальными особенностями оператора. Как правило, эта погрешность возникает из-за ошибок в отсчете показаний и неверных навыков оператора. В основном же систематическая погрешность возникает из-за методической и инструментальной составляющих.

Методическая составляющая погрешности обусловлена несовершенством метода измерения, приемами использования средств измерения, некорректностью расчетных формул и округления результатов.

Инструментальная составляющая возникает из-за собственно погрешности средств измерения, определяемой классом его точности, влиянием средств измерения на объект измерения и ограниченной разрешающей способности средств измерения.

Целесообразность разделения систематической погрешности на методическую и инструментальную составляющие объясняется следующим:

для повышения точности измерений можно выделить лимитирующие факторы и, следовательно, принять решение либо об усовершенствовании методики, либо о выборе более точных средств измерения;

появляется возможность определить составляющую общей погрешности, увеличивающейся либо со временем, либо под влиянием внешних факторов, и, следовательно, целенаправленно осуществлять периодические поверки и аттестации;

инструментальная составляющая может быть оценена до разработки методики, а потенциальные точностные возможности выбранного метода определит только методическая составляющая.

Грубые погрешности (промахи) возникают из-за ошибочных действий оператора, неисправности средств измерения или резких изменений условий измерений. Как правило, грубые погрешности выявляются в результате статистической обработки результатов измерений при помощи специальных критериев.

2. Определение точности измерения

При практическом использовании тех или иных измерении важно оценить их точность. Термин «точность измерений», т. е. степень приближения результатов измерения к некоторому действительному значению, не имеет строгого определения и используется для качественного сравнения измерительных операций. Для количественной оценки применяется понятие «погрешность измерений» (чем меньше погрешность, тем выше точность).

Погрешностью называют отклонение результата измерений от действительного (истинного) значения измеряемой величи­ны. При этом следует иметь в виду, что истинное значение физической величины считается неизвестным и применяется в теоретических исследованиях.

Действительное значение физической величины устанавливается экспериментальным путем в предположении, что результат эксперимента (измерения) в максимальной степени приближается к истинному значению. Оценка погрешности измерении – одно из важных мероприятий по обеспечению единства измерении.

Погрешности измерений приводятся обычно в технической документации на средства измерений или в нормативных документах. Правда, если учесть, что погрешность зависит еще и от условий, в которых проводится само измерение, от экспериментальной ошибки методики и субъективных особенностей человека в случаях, где он непосредственно участвует в измерениях, то можно говорить о нескольких составляющих погрешности измерений, либо о суммарной погрешности.

Количество факторов, влияющих на точность измерения, достаточно велико, и любая классификация погрешностей измерения (рис.2) в известной мере условна, так как различные погрешности в зависимости от условий измерительного процесса проявляются в разных группах.

2.2 Виды погрешностей

Погрешность измерения – это отклонение результата измерения Х от истинного Х_и значения измеряемой величины. При определении погрешностей измерения вместо истинного значения физической величины Х_и , реально используют ее действительное значение Х_д.

В зависимости от формы выражения различают абсолютную, относительную и приведенную погрешности измерения.

Абсолютная погрешность определяется как разность Δ’= Х – Х_и или Δ = Х – Х_д , а относительная – как отношение δ = ± Δ / Х_д ·100%.

Приведенная погрешность γ= ±Δ/Χ_Ν·100%, где Χ_N — нормирующее значение величины, в качестве которого используют диапазон измерений прибора, верхний предел измерений и т.д.

В качестве данного истинного значения при многократных измерениях параметра выступает среднее арифметическое значение :

= _i ,

где Xi – результат i -го измерения, – n число измерений.

Величина , полученная в одной серии измерений, является случайным приближением к Х_и. Для оценки ее возможных отклонений от Х_и определяют оценку среднего квадратического отклонения среднего арифметического:

S()=

Для оценки рассеяния отдельных результатов измерения Xi относительно среднего арифметического определяют выборочное среднее квадратическое отклонение:

σ =

Данные формулы применяют при условии постоянства из­меряемой величины в процессе измерения.

Эти формулы соответствуют центральной предельной теореме теории вероятностей, согласно которой среднее арифметическое из ряда измерений всегда имеет меньшую погрешность, чем погрешность каждого определенного измерения:

S()=σ /

Эта формула отражает фундаментальный закон теории погрешностей. Из него следует, что если необходимо повысить точность результата (при исключенной систематической погрешности) в 2 раза, то число измерений нужно увеличить в 4 раза; если точность требуется увеличить в 3 раза, то число измерений

увеличивают в 9 раз и т. д.

Нужно четко разграничивать применение величин S и σ: первая используется при оценке погрешностей окончательного результата, а вторая – при оценке погрешности метода измерения. Наиболее вероятная погрешность отдельного измерения Δ_в0,67S.

В зависимости от характера проявления, причин возникновения и возможностей устранения различают систематическую и случайную погрешности измерений, а также грубые погрешнос­ти (промахи).

Систематическая погрешность остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одного и того же параметра.

Случайная погрешность изменяется в тех же условиях измерения случайным образом.

Грубые погрешности (промахи) возникают из-за ошибочных действий оператора, неисправности средств измерения или резких изменений условий измерений. Как правило, грубые погрешности выявляются в результате обработки результатов измерений с помощью специальных критериев.

Случайная и систематическая составляющие погрешности из­мерения проявляются одновременно, так что их общая погрешность равна сумме погрешностей при их независимости.

Значение случайной погрешности заранее неизвестно, она возникает из-за множества не уточненных факторов. Исключить из результатов случайные погрешности нельзя, но их влияние может быть уменьшено путем обработки результатов измерений.

Для практических целей весьма важно уметь правильно сформулировать требования к точности измерений. Например, если за допустимую погрешность изготовления принять Δ = 3σ, то, повышая требования к точности (например, до Δ = σ), при сохранении технологии изготовления увеличиваем вероятность брака.

Как правило, считают, что систематические погрешности мо­гут быть обнаружены и исключены. Однако в реальных условиях полностью исключить эти погрешности невозможно. Всегда остаются какие-то неисключенные остатки, которые нужно учитывать, чтобы оценить их границы. Это и будет систематическая погрешность измерения.

Другими словами, в принципе систематическая погрешность тоже случайна и указанное деление обусловлено лишь установившимися традициями обработки и представления результатов измерения.

В отличие от случайной погрешности, выявленной в целом вне зависимости от ее источников, систематическая погрешность рассматривается по составляющим в зависимости от источников ее возникновения. Различают субъективную, методическую и инструментальную составляющие погрешности.

Субъективная составляющая погрешности связана с индивидуальными особенностями оператора. Как правило, эта погреш­ность возникает из-за ошибок в отсчете показаний (примерно 0,1 деления шкалы) и неверных навыков оператора. В основном же систематическая погрешность возникает из-за методической и инструментальной составляющих.

Методическая составляющая погрешности обусловлена несовершенством метода измерения, приемами использования средств измерения, некорректностью расчетных формул и округления результатов.

Инструментальная составляющая возникает из-за собственной погрешности средств измерения, определяемой классом точности, влиянием средств измерения на результат и ограниченной разрешающей способности средств измерения.

Целесообразность разделения систематической погрешности на методическую и инструментальную составляющие объясняется следующим:

– для повышения точности измерений можно выделить лимитирующие факторы, а, следовательно, принять решение об усовершенствовании методики или выборе более точных средств измерения;

– появляется возможность определить составляющую общей погрешности, увеличивающейся со временем или под влиянием внешних факторов, а, следовательно, целенаправленно осуществлять периодические поверки и аттестации;

– инструментальная составляющая может быть оценена до разработки методики, а потенциальные точностные возможности выбранного метода определит только методическая составляющая.

2.3 Показатели качества измерений

Единство измерений, однако, не может быть обеспечено лишь совпадением погрешностей. При проведении измерений также важно знать показатели качества измерений. Под качеством измерений понимают совокупность свойств, обусловливающих получение результатов с требуемыми точностными характеристиками, в необходимом виде и в установленные сроки.

Качество измерений характеризуется такими показателями, как точность, правильность и достоверность. Эти показатели должны определяться по оценкам, к которым предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности.

Истинное значение измеряемой величины отличается от среднего арифметического значения результатов наблюдений на величину систематической погрешности Δ_с, т. е. X = -Δ_с. Если систематическая составляющая исключена, то X = .

Однако из-за ограниченного числа наблюдений величину точно определить также невозможно. Можно лишь оценить ее значение, указать с определенной вероятностью границы интервала, в котором оно находится. Оценкучисловой характеристики закона распределения Х, изображаемую точкой на числовой оси, называют точечной. В отличие от числовых характеристик оценки являются случайными величинами, причем их значение зависит от числа наблюденийn. Состоятельной называют оценку, которая при n→∞ сводится по вероятности к оцениваемой величине.

Несмещенной называется оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемой величине.

Эффективной называют такую оценку, которая имеет наименьшую дисперсию σ² = min.

Перечисленным требованиям удовлетворяет среднеарифметическое значение результатовn наблюдений.

Таким образом, результат отдельного измерения является случайной величиной. Тогда точность измерений – это близость результатов измерений к истинному значению измеряемой величины. Если систематические составляющие погрешности исключены, то точность результата измерений характеризуется степенью рассеяния его значения, т. е. дисперсией. Как показано выше, дисперсия среднеарифметическогоσ в n раз меньше дисперсии отдельного результата наблюдения.

На рисунке 3 показана плотность распределения отдельного и суммарного результата измерения. Более узкая заштрихованная площадь относится к плотности вероятности распределения среднего значения. Правильность измерений определяется близостью к нулю систематической погрешности.

Достоверность измерений определяется степенью доверия к результату и характеризуется вероятностью того, что истинное значение измеряемой величины лежит в указанных окрестностях действительного. Эти вероятности называют доверительными, а границы (окрестности) – доверительными границами. Другими словами, достоверность измерения – это близость к нулю неисключенной систематической погрешности.

Доверительным интервалом с границами (или доверительными границами) от – Δ_д до + Δ_д называют интервал значений случайной погрешности, который с заданной доверительной вероятностью Р_д, накрывает истинное значение измеряемой величины.

Р_д { – Δ_д ≤,Х ≤ + Δ_д }.

При малом числе измерений (n 20) и использовании нормального закона не представляется возможным определить доверительный интервал, так как нормальный закон распределения описывает поведение случайной погрешности в принципе при бесконечно большом числе измерений.

Поэтому, при малом числе измерений используют распределение Стьюдента или t – распределение (предложенное английским статистиком Госсетом, публиковавшимся под псевдонимом «студент»), которое обеспечивает возможность определения доверительных интервалов при ограниченном числе измерений. Границы доверительного интервала при этом определяются по формуле:

Δ_д = t·S(),

где t – коэффициент распределения Стьюдента, зависящий от задаваемой доверительной вероятности Р_д и числа измерений n.

При увеличении числа наблюдений n распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному и совпадает с ним уже при n ≥30.

Следует отметить, что результаты измерений, не обладающие достоверностью, т. е. степенью уверенности в их правильности, не представляют ценности. К примеру, датчик измерительной схемы может иметь весьма высокие метрологические характеристики, но влияние погрешностей от его установки, внешних условий, методов регистрации и обработки сигналов приведет к большой конечной погрешности измерений.

Наряду с такими показателями, как точность, достоверность и правильность, качество измерительных операций характеризуется также сходимостью и воспроизводимостью результатов. Эти показатели наиболее распространены при оценке качества испытаний и характеризуют их точность.

Очевидно, что два испытания одного и того же объекта одинаковым методом не дают идентичных результатов. Объективной мерой их могут служить статистически обоснованные оценки ожидаемой близости результатов двух или более испытаний, полученных при строгом соблюдении их методики. В качестве таких статистических оценок согласованности результатов испы­таний принимаются сходимость и воспроизводимость.

Сходимость – это близость результатов двух испытаний, полученных одним методом, на идентичных установках, в одной лаборатории. Воспроизводимость отличается от сходимости тем, что оба результата должны быть получены в разных лабораториях.

Точность, точность и значащие цифры

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Определять необходимое количество значащих цифр при сложении и вычитании, а также при вычислениях умножения и деления .
• Вычислить процент неопределенности измерения.

Рис. 1. Механические весы с двумя чашами используются для сравнения различных масс. Обычно объект с неизвестной массой помещается в одну чашу, а предметы с известной массой помещаются в другую чашу. Когда стержень, соединяющий две чаши, расположен горизонтально, массы в обеих чашах равны. «Известные массы» обычно представляют собой металлические цилиндры стандартной массы, такой как 1 грамм, 10 грамм и 100 грамм. (кредит: Серж Мелки)

Рисунок 2. Многие механические весы, такие как весы с двумя чашами, были заменены цифровыми весами, которые обычно могут более точно измерять массу объекта. В то время как механические весы могут считывать массу объекта только с точностью до ближайшей десятой грамма, многие цифровые весы могут измерять массу объекта с точностью до ближайшей тысячной грамма. (кредит: Карел Якубек)

Точность и прецизионность измерения

Наука основана на наблюдении и эксперименте, то есть на измерениях. Точность показывает, насколько близко измерение к правильному значению для этого измерения. Например, предположим, что вы измеряете длину стандартной компьютерной бумаги. На упаковке, в которой вы приобрели бумагу, указано, что ее длина составляет 11,0 дюймов. Вы измеряете длину бумаги три раза и получаете следующие измерения: 11,1 дюйма, 11,2 дюйма и 10,9 дюйма. Эти измерения достаточно точны, поскольку они очень близки к правильному значению 11,0 дюймов. Напротив, если бы вы получили измерение 12 дюймов, ваше измерение не было бы очень точным.

Точность системы измерения относится к тому, насколько близко согласование между повторными измерениями (которые повторяются в тех же условиях). Рассмотрим пример бумажных измерений. Точность измерений относится к разбросу измеренных значений. Одним из способов анализа точности измерений может быть определение диапазона или разницы между самым низким и самым высоким измеренными значениями. В этом случае наименьшее значение было 10,9.дюйма, а максимальное значение составило 11,2 дюйма. Таким образом, измеренные значения отклонялись друг от друга не более чем на 0,3 дюйма. Эти измерения были относительно точными, поскольку они не слишком сильно различались по значению. Однако, если бы измеренные значения были 10,9, 11,1 и 11,9, то измерения не были бы очень точными, поскольку были бы значительные различия от одного измерения к другому.

Измерения в бумажном примере точны и точны, но в некоторых случаях измерения точны, но неточны, или точны, но неточны. Давайте рассмотрим пример системы GPS, которая пытается определить местоположение ресторана в городе. Думайте о местоположении ресторана как о находящемся в центре цели «бычьего глаза», а о каждой попытке GPS найти ресторан — как о черной точке. На рисунке 3 видно, что измерения GPS разбросаны далеко друг от друга, но все они относительно близки к фактическому местоположению ресторана в центре цели. Это указывает на низкую точность, высокую точность измерительной системы. Однако на рис. 4 измерения GPS сосредоточены достаточно близко друг к другу, но далеко от целевого местоположения. Это указывает на высокую точность, низкую точность измерительной системы.

Рисунок 3. Система GPS пытается найти ресторан в центре мишени. Черные точки обозначают каждую попытку точно определить местонахождение ресторана. Точки разбросаны довольно далеко друг от друга, что указывает на низкую точность, но каждая из них довольно близко к фактическому местоположению ресторана, что указывает на высокую точность. (кредит: Dark Evil)

Рисунок 4. На этом рисунке точки сосредоточены довольно близко друг к другу, что указывает на высокую точность, но они довольно далеко от фактического местоположения ресторана, что указывает на низкую точность. (кредит: Темное зло)

Точность, точность и погрешность

Степень точности и точности измерительной системы связаны с погрешностью в измерениях. Неопределенность — это количественная мера того, насколько ваши измеренные значения отклоняются от стандартного или ожидаемого значения. Если ваши измерения не очень точны или прецизионны, то неопределенность ваших значений будет очень высокой. В более общем смысле неопределенность можно рассматривать как отказ от ответственности за ваши измеренные значения. Например, если кто-то попросил вас указать пробег вашего автомобиля, вы можете сказать, что он составляет 45 000 миль плюс-минус 500 миль. Сумма плюс или минус — это неопределенность вашей ценности. То есть вы указываете, что фактический пробег вашего автомобиля может составлять от 44 500 до 45 500 миль или где-то посередине. Все измерения содержат некоторую долю неопределенности. В нашем примере измерения длины бумаги можно сказать, что длина бумаги составляет 11 дюймов плюс-минус 0,2 дюйма. Неопределенность измерения A часто обозначается как δ A («дельта A»), поэтому результат измерения будет записан как A ± δ A . В нашем примере с бумагой длина бумаги может быть выражена как 11 дюймов ± 0,2.

Факторы, влияющие на неопределенность измерения, включают:

1. Ограничения измерительного устройства,
2. Мастерство человека, производящего измерение,
3. Неровности измеряемого объекта,
4. Любые другие факторы, влияющие на результат (сильно зависят от ситуации).

В нашем примере такими факторами, влияющими на неопределенность, могут быть следующие: наименьшее деление на линейке 0,1 дюйма, у человека, использующего линейку, плохое зрение, или одна сторона бумаги немного длиннее другой. В любом случае неопределенность измерения должна основываться на тщательном рассмотрении всех факторов, которые могут внести свой вклад, и их возможных эффектов.

Установление связей: связи в реальном мире – лихорадка или озноб?

Неопределенность является важной частью информации как в физике, так и во многих других реальных приложениях. Представьте, что вы ухаживаете за больным ребенком. Вы подозреваете, что у ребенка высокая температура, поэтому проверяете его или ее температуру с помощью термометра. Что, если бы погрешность термометра была 3º? Если показания температуры тела ребенка были 37ºC (что является нормальной температурой тела), «истинная» температура могла быть где угодно от гипотермических 34º до опасно высоких 40º. Термометр с погрешностью 3º был бы бесполезен.

Неопределенность в процентах

Одним из способов выражения неопределенности является процент от измеренного значения. Если измерение A выражается с неопределенностью, δ A , неопределенность в процентах (%unc) определяется как

[латекс]\%\text{unc}=\frac{\delta{A}}{ A}\times100\%[/latex]

Пример 1.

Расчет неопределенности в процентах: пакет яблок

В продуктовом магазине продаются 5-фунтовые пакеты яблок. Вы покупаете четыре пакета в течение месяца и каждый раз взвешиваете яблоки. Вы получаете следующие измерения:

• Вес 1-й недели: 4,8 фунта
• Вес 2-й недели: 5,3 фунта
• Вес 3-й недели: 4,9 фунта
• Вес 4-й недели: 5,4 фунта

Вы определили, что вес 5-фунтового мешка имеет погрешность ±0,4 фунта. Какова процентная неопределенность веса мешка?

Стратегия

Во-первых, обратите внимание, что ожидаемое значение веса мешка, A , составляет 5 фунтов. Неопределенность этого значения, δ A , составляет 0,4 фунта. Мы можем использовать следующее уравнение для определения процент неопределенности веса:

[латекс]\%\текст{ unc}=\frac{\delta{A}}{A}\times100\%[/latex]

Решение

Подставьте известные значения в уравнение:

[latex]\%\text{ unc}=\frac{0. 4\text{ lb}}{5\text{ lb}}\times100\%=8\%[/latex]

Обсуждение

Мы можем сделать вывод, что вес мешка с яблоками составляет 5 фунтов ± 8%. Подумайте, как изменилась бы эта процентная неопределенность, если бы мешок с яблоками был вдвое меньше, а неопределенность в весе осталась прежней. Подсказка для будущих расчетов: при расчете процентной неопределенности всегда помните, что вы должны умножить дробь на 100%. Если вы этого не сделаете, у вас будет десятичная величина, а не процентное значение.

Неопределенности в расчетах

Неопределенность есть во всем, что вычисляется на основе измеренных величин. Например, площадь пола, рассчитанная по измерениям его длины и ширины, имеет неопределенность, поскольку длина и ширина имеют неопределенности. Насколько велика неопределенность в том, что вы вычисляете путем умножения или деления? Если измерения, входящие в расчет, имеют небольшие погрешности (несколько процентов или меньше), то для умножения или деления можно использовать метод добавления процентов. Этот метод говорит, что процент неопределенности в количестве, рассчитанном путем умножения или деления, представляет собой сумму процентных неопределенностей в элементах, используемых для расчета .Например, если пол имеет длину 4,00 м и ширину 3,00 м, с неопределенностью 2% и 1% соответственно, тогда площадь пола составляет 12,0 м ²  и имеет неопределенность 3. (Выраженная в виде площади, это 0,36 м ² , которую мы округлим до 0,4 м ²  так как площадь пола дана в десятых долях квадратного метра.)

Проверьте свое понимание

Тренер по легкой атлетике только что купил новый секундомер. В инструкции к секундомеру указано, что погрешность секундомера составляет ±0,05 с. Бегуны в команде тренера по легкой атлетике регулярно показывают время в спринте на 100 м от 11,49 до 15,01 с. На последних школьных соревнованиях по легкой атлетике спринтер, занявший первое место, финишировал с результатом 12,04 с, а спринтер, занявший второе место, с результатом 12,07 с. Поможет ли новый секундомер тренера определить время спринтерской команды? Почему или почему нет?

Решение

Нет, погрешность секундомера слишком велика, чтобы эффективно различать время спринта.

Точность измерительных инструментов и значимых цифр

Важным фактором точности и прецизионности измерений является точность измерительного инструмента. В общем, точный измерительный инструмент — это тот, который может измерять значения с очень малыми приращениями. Например, стандартная линейка может измерять длину с точностью до миллиметра, а штангенциркуль — с точностью до 0,01 миллиметра. Штангенциркуль является более точным измерительным инструментом, поскольку он может измерять очень малые различия в длине. Чем точнее измерительный инструмент, тем более точными и точными могут быть измерения.

Когда мы выражаем измеренные значения, мы можем перечислить только столько цифр, сколько мы первоначально измерили с помощью нашего измерительного инструмента. Например, если вы используете стандартную линейку для измерения длины палки, вы можете измерить ее как 36,7 см. Вы не могли выразить это значение как 36,71 см, потому что ваш измерительный инструмент не был достаточно точным, чтобы измерить сотые доли сантиметра. Следует отметить, что последняя цифра измеренного значения каким-то образом оценивается человеком, выполняющим измерение. Например, человек, измеряющий длину палки линейкой, замечает, что длина палки кажется где-то между 36,6 см и 36,7 см, и должен оценить значение последней цифры. При использовании метода значащих цифр правило состоит в том, что последняя цифра, записанная в измерении, является первой цифрой с некоторой неопределенностью . Чтобы определить количество значащих цифр в значении, начните с первого измеренного значения слева и подсчитайте количество цифр до последней цифры, записанной справа. Например, измеренное значение 36,7 см состоит из трех цифр или значащих цифр. Значащие цифры указывают на точность измерительного инструмента, который использовался для измерения значения.

Нули

Особое внимание уделяется нулям при подсчете значащих цифр. Нули в 0,053 не имеют значения, потому что они всего лишь заполнители, определяющие местонахождение десятичной точки. В 0,053 есть две значащие цифры. Нули в числе 10.053 не являются заполнителями, а являются значащими — в этом числе пять значащих цифр. Нули в числе 1300 могут быть значащими, а могут и не быть, в зависимости от стиля написания чисел. Они могут означать, что число известно до последней цифры, или они могут быть заполнителями. Таким образом, 1300 может иметь две, три или четыре значащие цифры. (Чтобы избежать этой двусмысленности, запишите 1300 в экспоненциальном представлении.) Нули являются значащими, за исключением случаев, когда они служат только заполнителями .

Проверьте свое понимание

Определите количество значащих цифр в следующих измерениях:

1. 0,0009
2. 15 450,0
3. 6 × 10 ³
4. 87,990
5. 30,42

Растворы

(а) 1; нули в этом числе являются заполнителями, обозначающими десятичную точку

(б) 6; здесь нули означают, что измерение было выполнено с точностью до 0,1 десятичной точки, поэтому нули являются значащими

(в) 1; значение 10 ³ означает десятичный разряд, а не количество измеренных значений

(d) 5; последний нуль указывает на то, что измерение было выполнено с точностью до 0,001 десятичной точки, поэтому он является значащим

(e) 4; любые нули, расположенные между значащими цифрами в числе, также являются значащими

Значащие цифры в расчетах

При объединении измерений с разной степенью точности и прецизионности, количество значащих цифр в окончательном ответе не может быть больше, чем количество значащих цифр в наименее точном измеренном значении . Существует два разных правила: одно для умножения и деления, а другое для сложения и вычитания, как описано ниже.

1. Для умножения и деления: Результат должен иметь такое же количество значащих цифр, как и величина, имеющая младшие значащие цифры, входящие в расчет . Например, площадь круга можно рассчитать по его радиусу, используя A = πr ² . Посмотрим, сколько значащих цифр имеет площадь, если радиус имеет только две, скажем, r = 1,2 м. Затем

A = π r ² = (3,1415927…) × (1,2 м) ² = 4,5238934 м ²

— это то, что вы получите, используя калькулятор с восьмиразрядным выходом. Но поскольку радиус имеет только две значащие цифры, он ограничивает расчетное количество двумя значащими цифрами или A = 4,5 м ² , даже если π подходит как минимум для восьми цифр.

2. Для сложения и вычитания: Ответ не может содержать больше знаков после запятой, чем наименее точное измерение . Предположим, вы покупаете в продуктовом магазине 7,56 кг картофеля, измеренного на весах с точностью до 0,01 кг. Затем вы отправляете в лабораторию 6,052 кг картофеля, измеренного на весах с точностью до 0,001 кг. Наконец, вы идете домой и добавляете 13,7 кг картофеля, измеренного на напольных весах с точностью до 0,1 кг. Сколько килограммов картофеля у вас теперь есть, и сколько значащих цифр уместно в ответе? Масса находится простым сложением и вычитанием:

7,56 кг − 6,052 кг + 13,7 кг = 15,208 кг = 15,2 кг

Далее определяем наименее точное измерение: 13,7 кг. Это измерение выражается с точностью до 0,1 знака после запятой, поэтому наш окончательный ответ также должен быть выражен с точностью до 0,1 знака после запятой. Таким образом, округляем ответ до десятых, что дает нам 15,2 кг.

Значащие цифры в этом тексте

В этом тексте предполагается, что большинство чисел имеют три значащих цифры. Кроме того, во всех проработанных примерах используется постоянное количество значащих цифр. Вы заметите, что ответ, заданный тремя цифрами, основан, например, на вводе как минимум трех цифр. Если во входных данных меньше значащих цифр, то и в ответе будет меньше значащих цифр. Также позаботятся о том, чтобы количество значащих цифр соответствовало изложенной ситуации. В некоторых темах, особенно в оптике, требуются более точные числа, и будет использоваться более трех значащих цифр. Наконец, если число равно точное , например, два в формуле для длины окружности c  = 2π r , это не влияет на количество значащих цифр в расчетах.

Проверьте свое понимание

Выполните следующие расчеты и выразите свой ответ, используя правильное количество значащих цифр.

(a) У женщины две сумки весом 13,5 фунтов и одна сумка весом 10,2 фунта. Каков общий вес мешков?

(b) Сила F , действующая на объект, равна его массе m, умноженной на его ускорение a. Если вагон массой 55 кг движется со скоростью 0,0255 м/с ² , с какой силой действует вагон? (Единица силы называется ньютон и обозначается символом Н. )

Растворы

(а) 37,2 фунта; Поскольку количество мешков является точным значением, оно не учитывается в значащих цифрах.

(б) 1,4 Н; Поскольку значение 55 кг имеет только две значащие цифры, конечное значение также должно содержать две значащие цифры.

Исследования PhET: Оценка

Исследуйте оценку размера в одном, двух и трех измерениях! Несколько уровней сложности позволяют постепенно улучшать навыки.

Нажмите, чтобы запустить

Резюме

• Точность измеренного значения показывает, насколько близко измерение к правильному значению. Неопределенность в измерении представляет собой оценку величины, на которую результат измерения может отличаться от этого значения.
• Точность измеренных значений относится к тому, насколько близко согласование между повторными измерениями.
• Точность измерительного инструмента связана с размером шага его измерения. Чем меньше шаг измерения, тем точнее инструмент.
• Значащие цифры выражают точность измерительного инструмента.
• При умножении или делении измеренных значений окончательный ответ может содержать ровно столько значащих цифр, сколько наименее точное значение.
• При сложении или вычитании измеренных значений окончательный ответ не может содержать больше десятичных знаков, чем наименее точное значение.

Концептуальные вопросы

1. Какова связь между точностью и неопределенностью измерения?

2. Рецепты для коррекции зрения выдаются в единицах, называемых диоптрий (D). Определите значение этой единицы. Получите информацию (возможно, позвонив оптометристу или выполнив поиск в Интернете) о минимальной погрешности, с которой определяются поправки в диоптриях, и о точности, с которой могут быть изготовлены корректирующие линзы. Обсудите источники неопределенностей как в рецепте, так и в точности изготовления линз.

Задачи и упражнения

Ответы на задачи в этом разделе выражайте с правильным количеством значащих цифр и правильными единицами измерения.

1. Предположим, что ваши напольные весы показывают вашу массу как 65 кг с погрешностью 3%. Какова неопределенность вашей массы (в килограммах)?

2. Качественная измерительная лента может отклоняться на 0,50 см на расстоянии 20 м. Какова его неопределенность в процентах?

3. (a) Автомобильный спидометр имеет погрешность 5,0%. Каков диапазон возможных скоростей, когда он читает 90 км/ч? Преобразуйте этот диапазон в мили в час. (1 км = 0,6214 м)

4. Измеренная частота пульса младенца составляет 130 ± 5 ударов в минуту. Какова процентная неопределенность в этом измерении?

5. (a) Предположим, что у человека средняя частота сердечных сокращений составляет 72,0 удара в минуту. Сколько ударов у него или нее за 2,0 года? (б) Через 2.00 года? (c) В 2.000 лет?

6. В банке 375 мл газировки. Сколько осталось после удаления 308 мл?

7. Укажите, сколько значащих цифр является правильными в результатах следующих вычислений: (a) (106.7)(98,2) / (46,210)(1,01) (б) (18,7 ² ) (в) (1,60 × 10 ^–19 ) (3712).

8. а) Сколько значащих цифр в числах 99 и 100? (b) Если неопределенность каждого числа равна 1, какова процентная неопределенность каждого числа? (c) Какой способ выразить точность этих двух чисел более осмысленно: значащие цифры или неопределенность в процентах?

9. (a) Если ваш спидометр имеет погрешность 2,0 км/ч при скорости 90 км/ч, какова погрешность в процентах? (b) Если он имеет такую ​​же процентную неопределенность, когда он показывает 60 км/ч, каков диапазон скоростей, в котором вы могли бы двигаться?

10. (a) Артериальное давление человека измеряется как 120 ± 2 мм рт.ст. Какова его неопределенность в процентах? (b) Предполагая тот же процент неопределенности, какова неопределенность измерения артериального давления 80 мм рт. ст.?

11. Человек измеряет частоту сердечных сокращений, подсчитывая количество ударов за 30 секунд. Если за 30 ± 0,5 с насчитывают 40 ± 1 ударов, какова частота сердечных сокращений и ее неопределенность в ударах в минуту?

12. Какова площадь круга диаметром 3,102?

13. Если марафонец набирает в среднем 90,5 мили/ч, сколько времени ему или ей потребуется, чтобы пробежать марафон на 26,22 мили?

14. Марафонец преодолевает дистанцию ​​42,188 км за 2 часа 30 минут и 12 секунд. Неопределенность пройденного расстояния составляет 25 м, а прошедшего времени – 1 с. (a) Рассчитайте процент неопределенности расстояния. (b) Рассчитайте неопределенность в прошедшем времени. в) Какова средняя скорость в метрах в секунду? г) Какова неопределенность средней скорости?

15. Длина сторон небольшой прямоугольной коробки составляет 180 ± 0,01 см, 2,05 ± 0,02 см и 3,1 ± 0,1 см. Вычислите его объем и погрешность в кубических сантиметрах.

16. Когда в Соединенном Королевстве использовались неметрические единицы, использовалась единица массы, называемая фунт-масса (lbm), где 11bm = 0,4539 кг. (a) Если существует погрешность в 0,0001 кг в единице массы фунта, какова ее неопределенность в процентах? (b) Исходя из этой неопределенности в процентах, какая масса в фунтах имеет погрешность в 1 кг при переводе в килограммы?

17. Длина и ширина прямоугольного помещения измеряются как 3,955 ± 0,005 м и 3,050 ± 0,005 м. Рассчитайте площадь помещения и ее неопределенность в квадратных метрах.

18. Автомобильный двигатель перемещает поршень с круглым поперечным сечением диаметром 7,500 ± 0,002 см на расстояние 3,250 ± 0,001 см для сжатия газа в цилиндре. а) На сколько уменьшился объем газа в кубических сантиметрах? б) Найдите неопределенность в этом объеме.

Глоссарий

точность:

степень, в которой измеренное значение согласуется с правильным значением для этого измерения

способ сложения процентов:

процентная неопределенность величины, рассчитанная путем умножения или деления, представляет собой сумму процентных неопределенностей элементов, используемых для расчета

процент неопределенности:

отношение неопределенности измерения к измеренному значению, выраженное в процентах

точность:

степень, в которой повторяющиеся измерения согласуются друг с другом

значащие цифры:

выражают точность измерительного инструмента, используемого для измерения значения 90 395

неопределенность:

количественная мера того, насколько ваши измеренные значения отклоняются от стандартного или ожидаемого значения

Избранные решения задач и упражнений

1, 2 кг

3. (a) от 85,5 до 94,5 км/ч (b) от 53,1 до 58,7 миль/ч

5. (a) 7,6 × 10 9013 1 7 уд. (б) 7,57 × 10 ⁷ уд (в) 7,57 × 10 ⁷ уд

7. (а) 3 (б) 3 (в) 3

9. (а) 2,2% (б) от 59 до 61 км/ч

11, 80 ± 3 уд/мин

13, 2,6 ч

15, 11 ± 1 см ³

17. 12.06 ± 0,04 м ²

Точность и точность измерений

Точные и точные измерения необходимы для разработки смеси. Независимо от того, используете ли вы кувшины, контейнеры или чашки для измерения, гарантия того, что продукт обеспечивает надежные и стабильные результаты, защищает безопасность потребителя.

Как определить точность измерения по сравнению с прецизионностью

Чтобы определить, является ли измерение продукта точным и точным, очень важно понимать разницу между этими двумя терминами.

Что такое точность?

Точность — это то, насколько точно измерение соответствует единому стандарту. Другими словами, точность относится к близости измеренного значения к общепринятому или промышленно известному значению. Например, предположим, что вы получаете только 2,5 унции вещества для смеси, для которой требуется 2,8 унции. В этом случае ваш химикат не точен, потому что в нем дефицит необходимого материала составляет 0,3 унции.

Что такое точность?

Точность — также называемая «повторяемость вариации» — гарантирует, что конечный продукт или смесь каждый раз получают один и тот же результат, не вызывая случайных ошибок. Например, если вы продолжаете измерять 2,5 унции вещества после трех или четырех измерений, измерение будет точным.

Axiom Products — ведущая компания в Миннесоте, занимающаяся измерением и обработкой химических продуктов. Начните разговор с нами сегодня, чтобы обеспечить безопасность и уменьшить количество систематических ошибок.

Свяжитесь с нами

Как измерить точность

При работе с опасными химическими веществами измерение продуктов со значительной степенью точности имеет решающее значение для разработки безопасной смеси. Очень важно определить отклонение, чтобы определить точность измерения. Вот шаги для обеспечения высокой точности:

1. Сбор в виде нескольких измерений необходимого материала
2. Найдите среднее значение ваших измерений
3. Найдите абсолютное значение отличия каждого измерения от среднего
4. Определите среднее значение всех отклонений, сложив их и разделив на количество измерений

Как измерять точность

В дополнение к точности точность важна для обеспечения правильности каждого измерения, чтобы не было несоответствий в результатах работы или смеси. Точность определяется стандартным отклонением, то есть насколько и как часто измерения отличаются друг от друга. Если стандартное отклонение высокое, то это говорит о низкой точности. С другой стороны, если стандартное отклонение низкое, то это предполагает высокую точность.

Продукция Axiom дает достоверные результаты

Надежная измерительная система жизненно важна для обеспечения безопасной и эффективной смеси.