Сечение поверхностей: Сечение поверхности плоскостью

Содержание

Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу заданной площади

Авторы: Мурадов Шмидт Каримович, Ташимов Нурлан Эрполатович, Рахматова Икболхон Иномжановна, Кукиев Бобурмирзо Баходир угли

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №50 (184) декабрь 2017 г.

Дата публикации: 18.12.2017 2017-12-18

Статья просмотрена: 224 раза

Скачать электронную версию

Скачать Часть 2 (pdf)

Библиографическое описание:

Мурадов, Ш. К. Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу заданной площади / Ш. К. Мурадов, Н. Э. Ташимов, И. И. Рахматова, Б. Б. Кукиев. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2017. — № 50 (184). — С. 99-102. — URL: https://moluch.ru/archive/184/47203/ (дата обращения: 03.02.2023).

В настоящей статье определяется положения плоскостей общего положения пересекающих поверхностей 2-го порядка (на примере трёхосного эллипсоида) по эллипсу на перёд заданной площади.

In persisting article is defined positions of the planes of the general provisions crossing surfaces 2-go order (on example of the ellipsoid with three axises) on ellipse on before given area.

В инженерной практике наряду с задачей нахождения положения секущих плоскостей, содержащих конические сечения заданных параметров, нередко может возникнуть необходимость определения на теле, ограниченном поверхностями 2-го порядка, плоских сечений, имеющих наперед заданную площадь.

Как известно, из всех поверхностей 2-го порядка только площадь эллиптических сечений выражается через их параметры. В связи с этим исследуем только положение плоскостей, пересекающих тело, ограниченное поверхностью 2-го порядка, по эллипсу, площадь которого наперед задана и равна S.

Площадь эллипса S через его параметры характеризуется формулой

S=π·a_n·b_n, (1)

где a_n_{и_{b_n-полуоси эллипса, которые в данном случае неизвестны.}}

При изменении значения одной из полуосей вторая изменяется обратно пропорционально первой, удовлетворяя наперед заданному знчению S. При такой постановке вопроса задача остается неопределенной, так как можно построить множество плоскостей, пересекающих тело, ограниченное поверхностью 2-го порядка, по эллипсу наперед заданной площади S.

Исследуем задачу нахождения положения плоскости, пересекающей тело, ограниченное поверхностью 2-го порядка общего вида, по эллипсу наперед заданной площади S, при условии, что искомая плоскость параллельна плоскости Θ общего положения и пересекает заданную поверхность по эллипсу [3. 135 ст.]. Следует отметить, что при такой постановке задачи нахождение полуосей вспомогательного эллипса существующими методами усложняется. Поэтому можно допустить следующие упрощения.

Вращаем рассматриваемую систему вокруг оси симметрии заданной поверхности до такого положения, пока плоскость Θ окажется фронтально-проецирующей. Тогда поверхность принимает новый фронтальный очерк.

Если пересечь поверхность ф² в повернутом положении фронтально-проецирующей плоскостью, параллельной заданной плоскости, то получим сечение в виде эллипса, сопряженными полудиаметрами которого будут а_i_{и_{b_i. Эти полудиаметры можно определить, используя теорему подобия эллипсов. Площадь одного из эллипсов известна, площадь второго эллипса лежит в плоскости, которая параллельна Θ и проходит через специально выбранную точку рассматриваемой поверхности.}}

Используя теорему об отношении площадей родственных фигур, можно легко доказать, что площадь эллипса равна

S_i=πa_i¹b_i¹sinα_1,(2)

где α₁-угол между сопряженными диаметрами эллипса. Исходя из этого, для площади данного сечения получим значение [1.18 ст.].

S_n= πa_n¹b_n¹sinα_1,(3)

Совместно решая (2) и (3) относительно a_n¹и^{b_n¹, находим выражение для сопряженных полудиаметров искомого сечения в повернутом положении}

(4)

По найденным параметрам a_n¹и^{b_n¹ по формулам (4) легко определить положение искомой плоскости, пересекающей тело по заданной площади сечения S.}

Для построения фронтального очерка поверхности в повернутом положении проводим касательные к горизонтальному очерку поверхности в повернутом положении по направлению проекционной связи. По фронтальной проекции этих точек и по некоторым неподвижным точкам, используя свойства очерковых кривых, строим фронтальный очерк поверхности в повернутом положении.

На примере трехосного эллипсоида.

Чтобы определить положение плоскости, пересекающей трехосный эллипсоид по заданной площади S, вращаем его вокруг вертикальной оси до тех пор, пока заданная плоскость θ не станет фронтально-проецирующей. При таком повороте оси A₁B₁и_{C₁D₁займут положение A₁¹B₁¹и С₁¹D₁¹(рис. 1), соответственно изменится и фронтальный очерк трехосного эллипсоида. Для построения фронтального очерка после поворота достаточно провести касательную прямую по направлению проекционной связи к повернутому положению горизонтального очерка заданного трехосного эллипсоида. При помощи родственного соответствия, не строя горизонтального очерка, находим точки касания. Для этого окружность с радиусом О₁¹В₁¹и^{O₁D₁¹ принимаем родственной эллипсу с полуосями.
Ось родства является прямая- A₁¹B₁¹, пара родственных точек- D₁¹и1₁¹ [2. с.193]. Построим направление прямой O₁2₁¹, отвечающей направлению касательной. Проведем диаметр O₁3₁окружности, перпендикулярный к O₁2₁¹. Диаметрам O₁2₁¹ и O₁3₁соответствуют сопряженные диаметры эллипса O₁2₁и_{O₁3₁¹. Точка 3₁¹, соответствующая точке 3₁, является точкой касания касательной к горизонтальному очерку эллипса, совпадающей с вертикальной линией связи. Определив фронтальные проекции этих точек и используя точки I}
2}}II_2, лежащие на оси вращения, получим возможность построить фронтальный очерк трехосного эллипсоида в повернутом положении.

Затем проводим через центр эллипсоида вспомогательную плоскость Г₂//θ₂. Плоскость Г₂пересечет эллипсоид по эллипсу, сопряженными полудиаметрами которого являются ОЕ¹и^{OF (рис. 1). Натуральную величину ОЕ¹ определяем методом вращения, а OF-исходя из родства эллипса и окружности.}

Благодаря подобию между вспомогательным и искомым сечениями сопряженные полудиаметры искомого сечения опишем выражением

и (5)

Полученные параметры (5) представим графически (рис.2) Проведем две пересекающиеся прямые m₀ и n₀под углом α, затем построим следующие отрезки [4.325 ст.]: В₀С₀, измеряющий OF sin α; C

0A₀, пропорциональный трем отрезкам, имеющим длину S/π; ОЕ и В₀С₀; α₁= A₀¹D₀¹как среднее геометрическое отрезков длиной C₀A₀¹ и 1. Построим также отрезок b₁= A₀E_0,пропорциональный трем отрезкам длиной S/π, 1 и A₀¹D₀¹, где A₀¹D₀¹= α₁sinα.

Для построения положения искомой плоскости от точки О₁ отложим на отрезке О₁ Е₁ величину отрезка а₁и_{найдем соответствующие проекции 5₁ и 5₂ точки 5 (см.рис.1). Построим прямую n_2,сопряженную направлению Θ₂. Через точки 5₂и 5₂}

¹ проведем прямую, параллельную n₂ и пересекающуюся с очерком трехосного эллипсоида в повернутом положении, по эллипсу заданной площади S. Обратным поворотом находим искомые плоскости Q и Q¹(плоскость Q¹ на рис.1 не показана) общего положения.

Рис. 1.

Рис. 2.

Литература:

Н. Ф. Четверухин «Проективная геометрия» издательство «Просвещение», М.1949
Н. С. Кузнецов «Начертательная геометрия» издательство «Высшая школа» М.1969
Ш. К. Муродов «Эллиптическое сечение тел, ограниченных поверхностями 2-го порядка, по заданной площади». В сборнике «Прикладная геометрия и инженерная графика». Вып. V Киев: Будiвельник 1967
Отажанов Р. К. «Геометрик ясашлар», Ташкент «Ўқитувчи нашриёти»,1965

Основные термины

(генерируются автоматически): повернутое положение, заданная площадь, трехосный эллипсоид, фронтальный очерк, искомая плоскость, общее положение, поверхность, эллипс, горизонтальный очерк, проекционная связь.

Взаимное пересечение поверхностей геометрических тел.

Линии пересечения и перехода

В предыдущей статье рассмотрены методы построения линий пересечения поверхностей многогранных геометрических тел, при этом опорные точки таких линий лежат на ребрах и гранях, что позволяет достаточно легко определить позицию проекций точек на том или ином виде.

Детали, составляющие различные технические конструкции, нередко имеют сложную форму, в которой можно выделить сочетание геометрических тел – цилиндра, конуса, сферы, а также различных тел, содержащих плоские грани. Пересекаясь определенным образом, эти тела образуют общую линию, принадлежащую их поверхностям, которая называется линией пересечения.
На чертежах линии пересечения поверхностей изображаются сплошной основной линией.

Линии пересечении поверхностей некоторых тел, например – литых или штампованных деталей, невозможно показать на чертеже четко из-за плавного перехода одной поверхности в другую. В этом случае воображаемая линия пересечения указывается на чертеже сплошной тонкой линией, которая начинается и заканчивается в точках пересечения продолжения контура взаимно пересекающихся поверхностей.

Встречаются и детали, имеющие всевозможные линии пересечения и перехода поверхностей. Особенно много линий перехода бывает у деталей, изготовленных литьем.

Построение линий пересечения и перехода поверхностей при выполнении чертежей различных технических деталей требует знания основных приемов начертательной геометрии, применяемых при взаимном пересечении поверхностей геометрических тел.
Для нахождения линий пересечения геометрических тел наиболее часто используют способ секущих плоскостей, а в некоторых случаях – способ вспомогательных сфер.

При выполнении машиностроительных чертежей наиболее часто встречаются случаи пересечения двух цилиндрических поверхностей, а также поверхностей многогранников, цилиндра и конуса, сферы с цилиндром, многогранником или конусом.

***

Построение линии пересечения тел методом секущих плоскостей

Этот метод заключается в проведении вспомогательных секущих плоскостей через взаимно пересекающиеся геометрические тела, и нахождении общих точек, составляющих линию пересечения поверхностей данных геометрических тел. Построение линии пересечения поверхностей тел начинают с нахождения очевидных точек.
Например, на рис. 1, где изображены линии пересечения призмы с конусом, такими точками являются точки А и В.

Затем определяют характерные точки, расположенные, например, на очерковых образующих поверхностей вращения или крайних ребрах, отделяющих видимую часть линий перехода от невидимой. На рис. 1 это точки С и D. Они располагаются на крайних ребрах верхней горизонтальной грани призмы.

Все остальные точки линии пересечения называются промежуточными (например, точки Е и F на рис. 1). Обычно для их определения используют вспомогательные параллельные секущие плоскости (рис. 1, а).

В качестве вспомогательных плоскостей выбирают такие плоскости, которые пересекают обе заданные поверхности по простым линиям – прямым или окружностям, причем окружности должны располагаться в плоскостях, параллельных плоскостям проекций.

В примере, показанном на рис. 1, в, плоскость Р рассекает конус по окружности, с помощью которой находят горизонтальные проекции точек e и f.

Во всех случаях перед тем, как строить линию пересечения поверхностей на чертеже, необходимо представить себе эту линию в пространстве (рис. 1, б).

***

На рисунках 2 и 4 показаны примеры построения линии пересечения треугольной призмы и цилиндра, а также конуса и цилиндра с помощью вспомогательных горизонтальных секущих плоскостей.
На рисунках 3 и 5 показаны примеры построения линии пересечения двух цилиндров, а также цилиндра и тора с использованием вспомогательных вертикальных секущих плоскостей.

***

Построение фигуры сечения и линий пересечения геометрических тел плоскостью

Главная страница

Страничка абитуриента

Дистанционное образование

Группа ТО-81
Группа М-81
Группа ТО-71

Специальности

Ветеринария
Механизация сельского хозяйства
Коммерция
Техническое обслуживание и ремонт автотранспорта

Учебные дисциплины

Инженерная графика
МДК. 01.01. «Устройство автомобилей»
Карта раздела
Общее устройство автомобиля
Автомобильный двигатель
Трансмиссия автомобиля
Рулевое управление
Тормозная система
Подвеска
Колеса
Кузов
Электрооборудование автомобиля
Основы теории автомобиля
Основы технической диагностики
Основы гидравлики и теплотехники
Метрология и стандартизация
Сельскохозяйственные машины
Основы агрономии
Перевозка опасных грузов
Материаловедение
Менеджмент
Техническая механика
Советы дипломнику

Олимпиады и тесты

«Инженерная графика»
«Техническая механика»
«Двигатель и его системы»
«Шасси автомобиля»
«Электрооборудование автомобиля»

Поверхность Civil 3D по группам точек

Во-первых, что такое Civil 3D Поверхность по группам точек? Что ж, давайте узнаем в этом онлайн-курсе обучения. Безусловно, это пошаговое руководство является частью книги Основные сведения о Civil 3D и практических руководств .

Определение поверхности Civil 3D по группам точек?
Сначала откройте раздел Surface Definition , щелкнув значок “+” слева от поверхности.
Во-вторых, перейдите к разделу Группа точек .

В-третьих, щелкните правой кнопкой мыши и выберите Добавить .

Далее, поскольку мы создаем поверхность по группам точек для существующей земли, мы собираемся выбрать группу точек Existing Ground , которую мы создали ранее.
Нажмите OK.
Теперь поверхность определена с использованием существующей группы точек заземления.
Теперь мы можем быстро проверить некоторые статистические данные о поверхности по группам точек. Просто чтобы убедиться, что ничего необычного не произошло во время процесса.
Для этого выберите поверхность в изыскателе, щелкните правой кнопкой мыши и выберите Свойства поверхности

Активируйте вкладку Статистика и разверните раздел Общие .

На данный момент, глядя на высоты, мы довольны предварительными результатами. Высоты, кажется, находятся в пределах диапазона данных съемки, координаты разумны, и количество точек соответствует ожидаемому.
Нажмите OK , чтобы закрыть окна статистики и вернуться к чертежу.
Теперь мы рассмотрели один из наиболее часто используемых методов определения поверхности — групп точек .
По мере прохождения этого курса мы будем изучать другие варианты.
Связанные учебные курсы и книги по Civil 3D

По возможности опишите и назовите любой поверхностный водоем на территории или поблизости, включая ручьи (постоянные, временные или сезонные), реки, пруды, водно-болотные угодья, озера, соленую воду и т. д. Хотя расстояние не установлено Как правило, хорошее эмпирическое правило для определения «поблизости» заключается в том, находится ли участок в пределах 300 футов от обычной отметки прилива или в пределах ширины поймы — в зависимости от того, что больше.
Водные объекты включают круглогодичные и сезонные ручьи, соленую воду, озера, пруды, водно-болотные угодья, водозаборы для бытовых нужд или любые покрытые лесом или не покрытые лесом водно-болотные угодья на участке, ниже по течению или на склоне. Укажите, пожалуйста, возможные рыбоносные водотоки. В прерывистом ручье рыба может присутствовать в течение нескольких недель или месяцев, когда течение реки сильное.
Также обратите внимание на наличие просачиваний, родников, водно-болотных угодий или искусственных водоемов. Участок может казаться сухим, но включает в себя участки, которые являются переходными между открытой водой и возвышенностями. Он может периодически затапливаться или затапливаться.
Выявление любых проблем с качеством воды , таких как общая максимальная суточная нагрузка – это локально ориентированное научное исследование, в ходе которого рассчитывается загрязнение, которое может получить водоем и при этом соответствовать стандартам качества воды. Он предоставляет информацию о существующих условиях и чувствительности водораздела к дополнительным воздействиям развития.
Опишите любые водные инвазивные виды в этом районе (например, водяной тысячелистник, новозеландские грязевые улитки, желтый ирис, бразильская элодея) и шаги, предпринятые для предотвращения их распространения во время проекта.

2. Потребуются ли для проекта какие-либо работы над описанными водами, в них или рядом с ними (в пределах 200 футов)?

В этом ответе указывается любая часть проекта, плана или другого предложения, влияющая на береговую линию водоема. Включите планировку, засыпку или раскопки; установка, строительство или снос; мощение; покрасочные или ремонтные работы; хранение материалов; посадка или удаление растительности; и т. д., если это произойдет в пределах 200 футов от воды, и опишите, где будут происходить действия по отношению к водоему.
Вы должны определить возможность преднамеренного или непреднамеренного заполнения или стока в ручьи, водно-болотные угодья или другие водоемы. Приложить планы (или предварительный схематический рисунок с включением всех водоемов), если это подходит для вида деятельности. Если проект связан с воздействием на водные угодья, вам может потребоваться утверждение гидротехнического проекта (HPA) от государственного Департамента рыболовства и дикой природы, разрешение на береговую линию от местного правительства и, возможно, разрешение на использование от Департамента природных ресурсов.
Опишите любые инвазивные виды, обитающие в воде, которые, как известно, существуют в этом районе (например, водяной тысячелистник, новозеландские грязевые улитки, желтый ирис, бразильская элодея) и шаги, предпринятые для предотвращения их распространения во время проекта. Для получения информации обратитесь к ресурсам, перечисленным ниже:
Опишите любые меры, которые будут приняты для обеспечения того, чтобы используемое оборудование не вводило и не распространяло инвазивные виды. Вашингтонский совет по инвазивным видам разработал протоколы профилактики, которые следует использовать при работе в воде или рядом с ней. В случае удаления или размещения сооружений в воде опишите, как материал, подлежащий удалению или размещению, был проверен на наличие инвазивных видов и как любые обнаруженные инвазивные виды будут удалены и утилизированы соответствующим образом.

Дополнительные ресурсы:
Опишите количество, тип материала и местонахождение, включая размер площади, подлежащей засыпке или дноуглублению. Включите результаты испытаний на токсичность или другую информацию о наполнителе или грунтовочном материале. Насыпь — это любой материал, который изменит отметку дна акватории, водно-болотного угодья или водоема. Водные объекты включают круглогодичные и сезонные ручьи, соленую воду, озера, пруды, водно-болотные угодья, бытовые водозаборы или любые покрытые лесом или не покрытые лесом водно-болотные угодья на участке или вниз по течению/вниз по склону.
Совет: Также опишите любые меры, которые будут приняты для обеспечения того, чтобы используемое оборудование не вводило и не распространяло инвазивные виды. Вашингтонский совет по инвазивным видам разработал протоколы профилактики, которые следует использовать при работе в воде или рядом с ней. В случае удаления или размещения сооружений в воде опишите, как материал, подлежащий удалению или размещению, был проверен на наличие инвазивных видов и как любые обнаруженные инвазивные виды будут удалены и утилизированы соответствующим образом.

4. Предложение потребует забора или отвода поверхностных вод?
Опишите количество и место любого забора или использования поверхностных вод, даже если они используются в непотребительских целях (имеется в виду, что такое же количество воды возвращается в водный объект). Это включает временное или долгосрочное использование. Отводы относятся к изменениям в структуре потока, например, отводу потока от строительной площадки или созданию прудов или заливов. Экология регулирует забор поверхностных и подземных вод. Разрешение не требуется, если забор составляет менее 5000 галлонов в день для промышленных или бытовых нужд или для полива скота. Для любых работ, которые используют, отклоняют, препятствуют или изменяют естественный поток или русло любого источника пресной или морской воды, может потребоваться утверждение гидравлического проекта от Департамента рыболовства и дикой природы штата Вашингтон. Для проектов, связанных с водными угодьями, находящимися в государственной собственности, может потребоваться разрешение на использование от государственного департамента природных ресурсов.
Зоны затопления — это географические районы, определенные FEMA в соответствии с различными уровнями риска затопления. Эти зоны изображены на карте ставок страхования от наводнений (FIRM) или на карте границ опасностей наводнений. Каждая зона отражает серьезность или тип наводнения в данном районе. Если применимо, определите текущее обозначение риска наводнения на месте предложения. Эта информация важна и не ограничивается 100-летними зонами затопления.
Включая отходы или загрязняющие вещества, связанные с промышленными сточными водами; бытовая канализация; сельскохозяйственный сток; ливневая канализация с автостоянок, площадок хранения техники, химически обработанных газонов и благоустройства территории; и т.

Саргорстрой

Сечение поверхностей: Сечение поверхности плоскостью

Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу заданной площади

Похожие статьи

Исследование свойств

Способ

Способ создания линии пересечения

Изменение ширины координатной зоны

Изображение рельефа

К вопросу построения различных геометрических фигур на одной…

Аппроксимация трехпараметрического множества…

Демонстрация распределения гидростатического давления на…