Сечение поверхностей: Сечение поверхности плоскостью

Начертательная геометрия | Контрольные работы | Взаимное пересечение поверхностей

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1250 р./ак.ч.

5.1. Условие задания

Построить линию пересечения поверхностей методом секущих плоскостей в соответствии с вариантом, предложенным преподавателем.

5.2. Рекомендации по выполнению задания

На ватмане формата А 4 или А 3, в зависимости от условия задачи, построить две проекции пересекающихся тел.Построение линии пересечения поверхностей рекомендуется выполнять в следующем порядке:

1. Определить, какие поверхности участвуют в пересечении;
2. Определить положение поверхностей относительно плоскостей проекций, при этом выяснить наличие поверхностей, перпендикулярных к плоскостям проекций;
3. Построить проекции характерных (опорных) точек, к которым относятся:

• очки, расположенные на границах видимости и линии пересечения;
• точки, расположенные на очерковых линиях, не являющихся границей видимости;
• экстремальные точки (высшая и низшая).

4. Соединить одноименные проекции точек линии пересечения.

Для построения линии пересечения поверхностей методом секущих плоскостей необходимо:

1. Провести вспомогательную секущую плоскость, выбрав её так, чтобы она пересекала обе заданные поверхности по простейшим линиям – окружностям или прямым;
2. Построить линии пересечения вспомогательной плоскости с обеими поверхностями;
3. Найти точки пересечения полученных линий;
4. С помощью ещё нескольких секущих плоскостей найти необходимое количество точек и их соединить.

ПРИМЕЧАНИЕ: построение следует начинать с отыскания характерных точек, а затем – промежуточных.

5.3. Пример выполнения задания

Рассмотрим задачу на построение линии пересечения поверхностей прямого кругового цилиндра и закрытого тора (рисунок 5.1).

Для построения линии пересечения потребуется профильная проекция заданных поверхностей, а в качестве вспомогательных секущих плоскостей следует воспользоваться горизонтальными плоскостями уровня γ_ν. Пересечение профильных очерков определяет опорные точки А и G (A₃, G₃). Фронтальные проекции этих точек  A₂и G₂ находим по горизонтальным линиям связи, а A₁ и G₁ – по координате y, измеренной от вертикальной плоскости симметрии цилиндра или от оси i (i₃ , i₁) тора.

Плоскость γ_ν рассекает тор по параллели и проходит через образующую фронтального очерка цилиндра. Пересечение их горизонтальных проекций определяет точки В (В₁ → В₂) и В′ (В’₁ → В′₂). Это самые высокие точки, и они же являются верхней границей видимости для цилиндра.

Аналогично находим  самые нижние точки F(F₁ → F₂) и F′ (F‘₁ → F′₂). ( для них посредник не обозначен, а точки F₁ и F‘₁ определены засечками из без построения всей параллели).

Точки С (С₃→  С₂ → С₁),  С’ (С’₃→  С’₂ → С’₁) и  Е (Е₃→  Е₂ → Е₁),  Е’ (Е’₃→  Е’₂ → Е’₁) пересечения главного меридиана тора с цилиндром определяются по линиям связи и не требуют дополнительных построений.

Точки D (D₁ → D₂) и D′ (D‘₁ → D′₂), принадлежащие образующей горизонтального очерка цилиндра, определяются с помощью посредника γ(γ³₃). На профильной проекции от i₃ измерим радиус параллели в плоскости γ³₃, этим радиусом строим окружность с центром i₁, и ее пересечение с очерком цилиндра определяет точки D₁и D‘₁.

Рисунок 5.1 – построение линии пересечения поверхностей

Для определения случайных точек 1, 1^′ воспользуемся посредником γ¹ (γ¹₃), который пересекает цилиндр по образующей, находящейся на расстоянии y от вертикальной плоскости симметрии цилиндра.

Если на горизонтальной проекции расстояние  y отложить от оси цилиндра в соответствующую сторону, то мы построим горизонтальную проекцию этой образующей, а ее пересечение с проекцией соответствующей параллели тора определяет случайные точки 1₁и 1₁^′ линии пересечения. По линиям связи отмечаем точки 1₂ и 1₂^′ на фронтальной проекции.

Можно решить задачу и без профильной проекции заданных поверхностей, если построить дугу окружности основания радиусом R из проекции О₂ центра основания цилиндра, которую можно рассматривать как проекцию цилиндра на плоскость, перпендикулярную его оси. Тогда координата y для любой образующей плоскости γ определяется по этой дуге, как показано на Рисунке 5.1.

Полученные точки соединяются плавной кривой с учетом видимости.

Видеопример выполнения задания №4

5.4. Варианты заданий 4

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1250 р./ак.ч.

Сечение поверхности выдавливания 

Вы можете использовать в качестве сечения поверхности выдавливания уже существующий в модели объект — ребро, кривую, эскиз (область в эскизе) или грань, а можете создать новый объект — контур или эскиз — не прерывая операцию.

Существующий объект можно указать перед запуском операции. Он будет автоматически выбран в качестве сечения.

Требования к сечению

•В качестве сечения можно выбрать:

•эскиз или область в эскизе, полученную пересечением контуров эскиза или ограниченную одним из них,

•ребро,

•кривую,

•грань.

•Сечение может быть замкнутым или разомкнутым.
Для замкнутого сечения доступно построение замкнутой поверхности. Если сечение разомкнуто, то замыкание поверхности невозможно. Примеры построения замкнутой и незамкнутой поверхностей приведены на рисунке Выдавливание грани.

•Сечение должно состоять из одной цепочки объектов.
В случае замкнутого сечения допускается наличие дополнительных цепочек объектов при выполнении следующих условий:

•все цепочки замкнуты,

•одна из цепочек — наружная, а все остальные вложены в нее с уровнем вложенности 1,

•на Панели параметров включена опция Замкнуть поверхность — в этом случае выполняется построение замкнутой поверхности.

Задание сечения

•Чтобы выбрать в качестве сечения существующий объект, укажите его в Дереве построения или в графической области модели.
Особенности указания эскиза и области в эскизе:

•чтобы выбрать эскиз, укажите один из его объектов в графической области модели или сам эскиз в Дереве построения,

•чтобы выбрать область в эскизе, щелкните мышью внутри нужной области.

•Чтобы создать новый объект (контур или эскиз), выполните следующие действия.

•Для построения контура нажмите кнопку Построить контур справа от поля Сечение. Запустится процесс создания контура. Укажите объекты, входящие в контур, и нажмите кнопку Создать объект.

•Для построения эскиза нажмите кнопку Построить эскиз справа от поля Сечение. Запустится процесс задания плоскости эскиза, а затем система перейдет в режим эскиза для построения изображения на выбранной плоскости. Постройте нужные объекты и завершите работу в режиме эскиза.

После завершения процесса создания контура/эскиза система возвращается в процесс построения поверхности. Созданный контур/эскиз появляется в Дереве построения и автоматически выбирается в качестве сечения поверхности выдавливания.

Название объекта, выбранного в качестве сечения, отображается в поле Сечение. Если сечением является область в эскизе, то в поле показывается название эскиза и слово Область.

При необходимости вы можете сменить сечение поверхности выдавливания. Для этого щелкните в поле Сечение и выберите нужный объект.

Если сечением является эскиз или контур, то его можно отредактировать, щелкнув мышью по значку в поле Сечение.

Если при перемещении сечения в заданном направлении две или более точек сечения имеют совпадающие траектории, то выполнение операции невозможно. Необходимо сменить сечение или направление.

Поверхность сечения Пуанкаре | Dr. Kaos

Поверхность сечения Пуанкаре | Доктор Каос

Поверхность сечения Пуанкаре (также называемая сечением Пуанкаре или картой Пуанкаре) — это мощный метод извлечения фундаментальных свойств из потоков в виде дискретных карт. Траектория или набор траекторий периодически отбираются путем просмотра последовательных пересечений с плоскостью в фазовом пространстве.

Многие физические, химические и биологические процессы в природе описываются набором связанных автономных дифференциальных уравнений первого порядка или автономных потоков. Широко используемым методом при изучении этих систем является метод поверхности сечения Пуанкаре (также называемый сечением Пуанкаре или картой Пуанкаре). На сечении Пуанкаре динамика может быть описана дискретным отображением, размерность фазового пространства которого на единицу меньше ($n-1$) исходного непрерывного потока. Этот метод разделения обеспечивает естественную связь между непрерывными потоками и дискретными картами. В некоторых случаях эти карты облегчают анализ многих фундаментальных динамических свойств основного потока. Тщательно отобранный разрез Пуанкаре также дает визуальные подсказки о природе лежащего в основе аттрактора. Эти преимущества сделали метод поверхности сечения Пуанкаре одним из самых популярных инструментов анализа нелинейной динамики и хаоса.

 %matplotlib встроенный
утилиты импорта
utils.plot_poincare_surface()
 

Поверхность сечения создается путем просмотра последовательных пересечений траектории или набора траекторий с плоскостью в фазовом пространстве. Обычно плоскость натянута на ось координат и канонически сопряженную ось импульса. Мы увидим, что поверхности сечения, сделанные таким образом, обладают хорошими свойствами. Выбор поверхности Пуанкаре — это немного черного искусства и вопрос удобства, но следует соблюдать осторожность, чтобы полученная карта Пуанкаре помогла нам понять внутренние свойства лежащего в основе потока.

Например, в уравнениях Лоренца для большинства начальных условий кажется, что траектория оглядывается на две поверхности, которые напоминают знаменитые крылья бабочки, перетекающие одно крыло к другому нерегулярным образом. Что еще более интересно, траектории являются апериодическими, то есть при последовательном увеличении траектории остаются отдельными и демонстрируют самоподобные полосы, наблюдаемые во многих хаотических потоках и картах. Эту детальную структуру лучше всего раскрывает сечение Пуанкаре.

Мы начинаем со случайно выбранных $N=30$ точек и интегрируем уравнения Лоренца для $t_{max} = 400$.

 %matplotlib встроенный
импортировать matplotlib.pyplot как plt
N=30
t, x_t = utils.solve_lorenz (10,0, 8,0/3, 28,0, N, 400)
 

Мы снова используем бмх стиль сюжета. Каждый цвет на графике представляет собой другую траекторию со случайно выбранными начальными условиями. Мы добавляем область подграфика в нижний левый угол рисунка и увеличиваем небольшой участок графика.

 plt.style.use('bmh')
рис, топор = plt.subplots(figsize=[10, 10])
хс = []
з = []
# увеличить левый нижний угол осей вставки, а также его ширину и высоту.
оси = ax.inset_axes ([0,06, 0,07, 0,3, 0,3])
# часть исходного изображения
х1, х2, у1, у2 = -3,0, -2,5, 24,8, 25,8
axins.set_xlim (x1, x2)
axins.set_ylim(y1, y2)
axins.set_xticklabels('')
axins.set_yticklabels('')
axins.  set_facecolor('белый')
ax.indicate_inset_zoom (аксины)
для я в диапазоне (N):
    х, у, г = х_т[я,:,:].Т
    xi, zi = utils.find_zero_crossings(x,y,z)
    ax.plot(xi, zi, '.')
    axins.plot(xi, zi, '.')
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$z$')
plt.title('Разрез Пуанкаре в точке $y=0$')
plt.show()
 

На рисунке выше показано сечение Пуанкаре аттрактора Лоренца, построенное путем построения плоскости $x-z$ каждый раз, когда траектория проходит через крылья бабочки при $y=0$. На рисунке показана ось симметрии, расположенная в точке $x=0$. Точки, кажется, не образуют единую нить вокруг оси симметрии, но последовательные увеличения показывают мелкую чешуйчатую структуру.

Хаотические траектории можно визуально отличить от других, рассматривая сечения Пуанкаре. Например, периодическое поведение проявляется в виде фиксированных точек в сечении Пуанкаре, тогда как квазипериодическое поведение демонстрирует замкнутую кривую или точки. Однако сечение Пуанкаре на рисунке выше категорически отличается от периодических или квазипериодических потоков.

Отдельный набор точек выше указывает на то, что эволюция траекторий во времени хаотична и чрезвычайно чувствительна к начальным условиям. Кроме того, поперечное сечение аттрактора Лоренца, как и сам аттрактор Лоренца, имеют фрактальную структуру и нецелочисленную фрактальную размерность.

в следующий раздел , мы посмотрим, как мы можем вычислить фрактальная размерность .

• М. Энон, Двумерное отображение со странным аттрактором. Коммуникации в математической физике. Том 50 Номер. 1, 1976.

Поверхность сечения Пуанкаре (также называемая сечением Пуанкаре или картой Пуанкаре) — это мощный метод извлечения фундаментальных свойств из потоков в виде дискретных карт. Траектория или набор траекторий периодически отбираются путем просмотра последовательных пересечений с плоскостью в фазовом пространстве.

фазовое пространство странный аттрактор

28 апреля 2019 г.

• Лоренц Аттрактор
  Мы начнем с изучения дифференциальных уравнений Лоренца (также известных как аттрактор Лоренца), используя…
• Поверхность Пуанкаре сечения
  Поверхность сечения Пуанкаре (также называемая сечением Пуанкаре или картой Пуанкаре) является мощной…
• Фрактальное измерение
  При изучении динамических систем есть много величин, которые идентифицируют как «энтропию». Уведомление…

• Фазовое пространство (5)
• Странный аттрактор (2)
• Хаос (5)
• Временная последовательность (4)

9.

6.1 Разрез по поверхности | Dlubal Software

Онлайн-руководства, вводные примеры, учебные пособия и другая документация

Дом Загрузки и информация Документы Онлайн-руководства RFEM 9 Оценка результатов 9.6 Разделы 9.6.1 Разрез по поверхности

Разрез по поверхности

Изображение 9.24 Диалоговое окно «Создать сечение » для поверхности

В дополнение к № раздела необходимо ввести Название раздела , что обеспечивает надежное присвоение при оценке результатов. Все разделы хранятся в навигаторе Data под разделами , где их можно настроить задним числом. Ввод номера и имени не требуется, если флажок Сохранить раздел снят в диалоговом разделе Параметры .

Если вы создаете Section Through a  Поверхность , параметры поверхности и соответствующая графика отображаются в диалоговых разделах Тип сечения и Направление проекции .

Сечение типа может быть создано как плоскость , которая разрезает модель. Как вариант можно разрезать по любой линии в модели. Номер строки можно ввести вручную или определить в рабочем окне с помощью .

краевых точек раздела необходимо указать с глобальными координатами XYZ обеих точек A и B. Вы также можете выбрать их графически с помощью . Чтобы иметь возможность выбирать свободные точки (т. е. без узлов) в рабочем окне, возможно, вам придется настроить текущую рабочую плоскость.

Начиная с точек А и В, в направлении проекции «проводят» две прямые линии. Если линии пересекают поверхность, содержащуюся в списке На поверхностях № , результирующая диаграмма отображается вдоль соединительной линии обеих точек пересечения. Если плоскостью проекции разрезается несколько поверхностей, диаграммы результатов отображаются для каждой из этих поверхностей.

В дополнение к глобальным направлениям проекции по осям X, Y и Z можно определить вектор. С помощью вы можете выбрать две точки в рабочем окне для определения вектора.

Диалоговое окно Show Result Diagram in Plane определяет, в какой плоскости поверхности отображается сечение. Настройка влияет только на рабочее окно (см. рис. 9.27), но не на диалоговое окно Result Diagram (рис. 9.25).

В диалоговом разделе На поверхностях перечислены номера поверхностей, на которых отображаются линии разреза. Этот параметр полезен, если секущая плоскость пересекается с несколькими поверхностями. Вы также можете выбрать соответствующие поверхности графически с помощью кнопки.

Три флажка в диалоговом разделе Параметры позволяют управлять отображением диаграмм результатов в виде диалогового окна после нажатия [OK] (рис. 9.25) и при желании сохранить раздел . При установке флажка Показать значения на изолиниях изолинии автоматически маркируются в рабочем окне.

Если диалоговое окно завершено, выберите [OK]. Обычно появляется следующее диалоговое окно Result Diagram :

Изображение 9. 25 Диаграмма результатов в диалоговом окне Section

Когда вы перемещаете мышь по разделу на диаграмме, вы можете видеть «перемещающиеся» значения результатов для текущего x-местоположения. Положение x связано с началом раздела A и указано в правом верхнем углу окна. Также можно вручную ввести конкретное местоположение x в текстовое поле. Флажок Fixed закрепляет указатель в указанном месте.

Используйте список на панели инструментов для переключения между отдельными разделами.

Кнопки диалогового окна Диаграмма результатов описаны в таблице 9.1.

С помощью кнопки, показанной слева, вы можете включать и выключать разделы в рабочем окне. Вы также можете воспользоваться навигатором Результаты , который позволяет дополнительно выбирать определенные разделы среди сохраненных.

Навигатор Display предоставляет глобальные параметры настройки для отображения разделов.

Изображение 9.26 Дисплей навигатор для отображения разделов

На следующем рисунке показано сечение плоскости и криволинейной поверхности, которые пересекаются секущей плоскостью.