|
“Задачи на построение сечений”
Урок геометрии в 10 классе
Аксиомы и теоремы стереометрии
А 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
В
А
α
Аксиомы и теоремы стереометрии
β
А 3 . Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
А
a
α
Аксиомы и теоремы стереометрии
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
β
α
γ
Сечения тетраэдра и параллелепипеда
Задача 1. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки D, Е, K .
Построение:
S
1 . DE
2. ЕК
3. ЕК ∩ АС = F
4 . FD
5. FD ∩ B С = M
6 . KM
E
D Е K М – искомое сечение
K
F
А
С
M
D
В
Задача 2. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Р, К, М, М∈ВС.
Построение:
В 1
C 1
1. К P
Р
2. EM ║ К P (К 1 Р 1 )
К
3. EK
4. М N ║ EK
А 1
D 1
5. Р N
N
K Р N М E – искомое сечение
М
С
В
Р 1
А
D
К 1
E
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ.
Построение:
C 1
В 1
Выберите верный вариант:
1. НМ
1. МТ
А 1
D 1
1. Н T
Н
Т
С
В
М
D
А
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ.
Построение:
В 1
1. НМ
C 1
Комментарии:
Данные точки принадлежат разным граням!
А 1
D 1
Н
Т
С
В
М
Назад
D
А
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ.
Построение:
В 1
1. М T
C 1
Комментарии:
Данные точки принадлежат разным граням!
А 1
D 1
Н
Т
С
В
М
Назад
D
А
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
C 1
1. НТ
В 1
Выберите верный вариант:
2. НТ ∩ B С = Е
А 1
D 1
2. НТ ∩ D С = Е
Н
Т
С
В
М
D
А
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В 1
1. НТ
C 1
2. НТ ∩ ВС = Е
А 1
D 1
Комментарии:
Данные прямые – скрещивающиеся!
Пересекаться не могут!
Н
Т
В
С
М
Назад
А
D
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В 1
1. НТ
C 1
2. НТ ∩ D С = Е
Выберите верный вариант:
А 1
D 1
3 . ME ∩ AA 1 = F
Н
3 . ME ∩ CC 1 = F
3 . ME ∩ B С = F
Т
Е
В
С
М
А
D
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
1. НТ
C
В 1
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ AA 1 = F
А 1
D 1
Комментарии:
Данные прямые – скрещивающиеся!
Пересекаться не могут!
Н
Т
E
С
В
М
Назад
D
А
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
1. НТ
C 1
В 1
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ CC 1 = F
А 1
D 1
Комментарии:
Данные прямые – скрещивающиеся!
Пересекаться не могут!
Н
Т
E
С
В
М
Назад
D
А
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В 1
C 1
1. НТ
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
Выберите верный вариант:
Н
4. Н F
4. МТ
Т
4. Т F
E
F
С
В
М
D
А
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
1. НТ
В 1
C 1
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Н F
Н
Комментарии:
Данные точки принадлежат разным граням!
Т
E
F
С
В
М
Назад
А
D
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
1. НТ
В 1
C 1
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. MT
Н
Комментарии:
Данные точки принадлежат разным граням!
Т
E
F
С
В
М
Назад
А
D
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В 1
C 1
1. НТ
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Т F
Выберите верный вариант:
Н
5. Т F ∩ А 1 А = K
Т
5. Т F ∩ В 1 В = K
E
F
С
В
М
А
D
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
C 1
В 1
1. НТ
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Т F
5. Т F ∩ А 1 А = K
Н
Комментарии:
Данные прямые – скрещивающиеся!
Пересекаться не могут!
Т
E
F
С
В
М
Назад
А
D
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
C 1
В 1
1. НТ
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Т F
5. Т F ∩ В 1 В = K
Н
Выберите верный вариант:
Т
6 . Н K ∩ А D = L
6. Т K ∩ А D = L
E
6. М K ∩ АА 1 = L
F
В
С
М
D
А
K
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
Комментарии:
Данные прямые – скрещивающиеся!
Пересекаться не могут!
В 1
1. НТ
C 1
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Т F
5. Т F ∩ В 1 В = K
Н
6. Н K ∩ А D = L
Т
E
F
С
В
М
Назад
D
А
K
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
Комментарии:
Данные прямые – скрещивающиеся!
Пересекаться не могут!
1. НТ
В 1
C 1
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Т F
Н
5. Т F ∩ В 1 В = K
6. T K ∩ А D = L
Т
E
F
С
В
М
Назад
D
А
K
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В 1
C 1
1. НТ
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Т F
5. Т F ∩ В 1 В = K
Н
6. М K ∩ АА 1 = L
Т
Выберите верный вариант:
7. LF
E
7. LT
F
С
В
М
L
7. LH
А
D
K
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
C 1
1. НТ
В 1
2. НТ ∩ D С = E
Комментарии:
Данные точки принадлежат разным граням!
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Т F
5. Т F ∩ В 1 В = K
Н
6. М K ∩ АА 1 = L
Т
7. L Т
E
F
В
С
L
М
Назад
D
А
K
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
C 1
1. НТ
В 1
2. НТ ∩ D С = E
Комментарии:
Данные точки принадлежат разным граням!
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Т F
5. Т F ∩ В 1 В = K
Н
6. М K ∩ АА 1 = L
Т
7. LF
E
F
В
С
L
М
Назад
D
А
K
Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.
Построение:
В 1
C 1
1. НТ
2. НТ ∩ D С = E
3 . ME ∩ ВС = F
А 1
D 1
4. Т F
5. Т F ∩ В 1 В = K
Н
6. М K ∩ АА 1 = L
Т
7. L Н
НТ F М L – искомое сечение
E
F
В
С
L
М
D
А
K
Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки Е, F, K .
Построение:
1. KF
К
2. FE
В 1
3. FE ∩ А B = L
C 1
F
4 . LN ║ FK
5 . LN ∩ AD = M
А 1
6 . EM
D 1
7 . KN
E
EFKNM – искомое сечение
N
В
С
Пояснения к построению:
4 . Проводим прямую LN параллельно FK (если секущая плоскость пересекает противоположные грани, то она пересекает их по параллельным отрезкам).
А
Пояснения к построению:
3. Прямые FE и АВ, лежащие в одной плоскости АА 1 В 1 В, пересекаются в точке L .
Пояснения к построению:
2. Соединяем точки F и E , принадлежащие одной плоскости АА 1 В 1 В.
Пояснения к построению:
1. Соединяем точки K и F , принадлежащие одной плоскости А 1 В 1 С 1 D 1 .
М
D
L
Пояснения к построению:
6 . Соединяем точки Е и М, принадлежащие одной плоскости АА 1 D 1 D .
Пояснения к построению:
7 . Соединяем точки К и N , принадлежащие одной плоскости ВСС 1 В 1 .
Пояснения к построению:
5 . Прямая LN пересекает ребро AD в точке M .
Задача 5. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки К, М, Р, Р∈АВС
Построение:
S
1. КМ
2. КМ ∩ СА = Е
3. E Р
4 . ЕР ∩ АВ = F
ЕР ∩ В C = N
К
5 . М F
6 . N К
КМ FN – искомое сечение
М
Е
С
Р
А
F
N
В
Задача 6. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки К, L, М.
Построение:
1. ML
T
2. ML ∩ D 1 А 1 = E
К
В 1
3. EK
C 1
4 . EK ∩ А 1 B 1 = F
F
5 . LF
E
P
А 1
6 . LM ∩ D 1 D = N
D 1
7 . Е K ∩ D 1 C 1 = T
8 . NT
9 . NT ∩ DC = G
NT ∩ CC 1 = P
L
В
10 . MG
С
11 . PK
М LFKPG – искомое сечение
G
А
D
М
N
Задача 7. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки F, K, L .
В 1
C 1
К
А 1
D 1
L
В
С
А
D
F
Задача 7. Построить сечение плоскостью,
проходящей через данные точки F, K, L .
Проверка:
В 1
C 1
К
М
А 1
D 1
L
В
С
N
F М KLN – искомое сечение
А
D
F
Простые сечения – Сечения многогранников и тел вращения
1. Диагональные сеченияДиагональное сечение параллелепипеда – это сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.
Это сечение всегда представляет собой прямоугольник или квадрат.
Диагональное сечение разбивает параллелепипед на две призмы
Диагональным сечением пирамиды называется
сечение её плоскостью, проходящей через два боковых ребра пирамиды, не лежащих
в одной грани.
Это сечение всегда представляет собой треугольник.
Любое диагональное сечение разбивает пирамиду на две пирамиды..
2. Осевые сечения
Осевое сечение фигуры – это сечение, которое проходит через ось фигуры и перпендикулярно основанию.
Осевое сечение конуса – это всегда равнобедренный треугольник.
Осевое сечение усеченного конуса – равнобедренная трапеция
Осевое сечение цилиндра – прямоугольник. Любое сечение, параллельное осевому – тоже прямоугольник.
3. Сечения плоскостью, параллельной основанию
3.1. Сечение цилиндра
плоскостью, параллельной его основаниям
Плоскость,
параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность
по окружности, равной окружности основания.
Rсеч = Rосн
r: r1=BO: BO1
3.2. Сечение конуса плоскостью,
параллельной его основанию
Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу,
а боковая поверхность – по окружности с центром на оси конуса.
4. Сечение шара плоскостью
О – Центр шара, В – центр круга сечения.
Самое большой сечение шара – сечение, проходящее через его центр
.Сечение шара плоскостью — урок. Геометрия, 11 класс.
Сферическая поверхность — это геометрическое место точек (т. е. множество всех точек) в пространстве, равноудалённых от одной данной точки, которая называется центром сферической поверхности.
На рисунке все точки равноудалены от точки \(C\), радиус \(CA\) соединяет центр с точкой на сфере.
Рис. \(1\). Сфера.
Все расстояния от центра до любой точки на сфере одинаковы и равны радиусу. Используя формулу расстояния между точками с данными координатами, можно составить уравнение сферы:
AC=x−x02+y−y02+z−z02=R;AC2=x−x02+y−y02+z−z02=R2;
x−x02+y−y02+z−z02=R2.
Шар — это тело, ограниченное сферической поверхностью.
Можно получить шар, вращая полукруг (или круг) вокруг диаметра. Все плоские сечения шара — круги. Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара.
Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов.
Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра, можно провести бесчисленное множество больших кругов.
Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.
Рис. \(2\). Глобус.
Всякое сечение шара плоскостью есть круг (или точка, если плоскость касается шара).
При решении заданий удобнее вместо шара чертить один из больших кругов, а плоскость сечения заменить хордой этого круга.
Рис. \(3\). Шар и его сечение.
Круговое сечение шара делит его на два шаровых сегмента, а сферу — на две сегментные поверхности.
Часть шара, ограниченная двумя параллельными круговыми сечениями и лежащим между ними сферическим поясом (или зоной), называется шаровой зоной.
Радиусы, проведённые от центра шара к точкам сферы, принадлежащим одной сегментной поверхности, или сферическому поясу, образуют шаровой сектор, он может быть ограничен сферическим сегментом, или зоной, и одной или двумя коническими поверхностями.
Высота шаровой или сферической зоны — это расстояние между плоскостями сечений; высота шарового сегмента, или сегментной поверхности, определяется как расстояние от плоскости сечения до параллельной ей плоскости, касательной к этому сегменту. Высоту шарового сектора определяют как высоту соответствующей сегментной поверхности, или сферического пояса.
Рис. \(4\). Шар, разделённый на сегменты.
OO1 \(= d\) — расстояние между центром шара и плоскостью сечения;
\(OA = R\) — радиус шара;
O1A \(= r\) — радиус окружности сечения. h.
На основании цилиндра отметим точки А1 и В1 – горизонтальные проекции новых образующих АА’ и ВВ’. Построим эти образующие в плоскости П4: т.А4, В4 лежат на оси Х1,4. А4А’4 = В4В’4 – высота цилиндра. А4А’4В’4В4 – новая фронтальная проекция цилиндра.
Аналогично построим «старые» образующие СС¢ и DD¢. Точки С4 и D4 лежат на оси Х1,4. С4С¢4 = D4D¢4 — высота цилиндра.
3. В системе плоскостей проекций П1/П4 секущая плоскость Т занимает фронтально проецирующее положение, ее фронтальная проекция Т4 – прямая.
Для построения прямой достаточно иметь две точки, например М и N.
Пусть точка М – пересечение фронтали и горизонтали плоскости Т.
М1 = М2 и совпадают с осью Х1,2. Точку N возьмем произвольно на фронтали f. N2 Î f2, N1 Î f1.
Из т. М1 и N1 проводим линии проекционных связей, перпендикулярные оси Х1,4, и на их продолжении от новой оси откладываем координаты Z точек М и N. ZМ = 0; ZN = N1N2.
Прямая М4N4 – новая фронтальная проекция секущей плоскости Т.
4. Секущая плоскость пересекает все образующие цилиндра, поэтому сечение – эллипс, на плоскости П4 совпадающий со следом М4N4 секущей плоскости Т.
Горизонтальные 11, 21, 31, 41 проекции точек находим по их принадлежности к горизонтальному очерку цилиндра. Фронтальные 12, 22, 32, 42 проекции точек линии сечения определяем по их принадлежности к соответствующим образующим, отложив от оси Х1,2 вверх высоту каждой точки: 12В2 = 14В4, 22А2 = 24А4, 32D2 = 34D4, 42С2 = 44С4. П4; П5 ? Т.
На чертеже ось Х4,5 параллельна следу М4N4 секущей плоскости Т.
8. В новую плоскость П5 проецируем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Для этого из 14, 24, 34, 44, 54, 64 проводим линии проекционных связей, перпендикулярные к оси Х4,5 и на их продолжении откладываем отрезки, равные расстояниям от оси Х1,4 до заменяемых точек 11, 21, 31, 41, 51, 61. Получаем точки 15, 25, 35, 45, 55, 65, соединяем их плавной линией. Построенный эллипс — натуральная величина сечения.
Натуральную величину сечения можно определить проще, если построить сначала большую ось эллипса; ее горизонтальная проекция совпадает на П1 с проекцией прямой АВ (А1В1). В плоскости П5 находим точки 15 и 25, отложив от оси Х4,5 по линиям связи расстояния 11В4 = 21А4. h1.
На основании конуса отметим точки М и N – пересечение вспомогательной плос-кости Σ с основанием конуса, SM и SN — полученные при этом новые очерковые образующие.
3. В системе плоскостей проекций П1/П4 секущая плоскость Т занимает фронталь-но — проецирующее положение, ее фронтальная проекция Т4 – прямая.
Для построения прямой достаточно иметь две точки, например, В и С.
Из т. В1 и С1 проводим линии проекционных связей перпендикулярно оси Х1,4, и на их продолжении от новой оси Х1,4 откладываем координаты Z точек В и С.
Прямая С4В4 – новая фронтальная проекция секущей плоскости Т.
4. Секущая плоскость пересекает все образующие конуса, поэтому сечение – эллипс, на плоскости П4 совпадающий со следом С4В4 секущей плоскости Т.
Для определения очерковых точек построим в плоскости П4 очерковые образу-ющие KS и LS (К4S4 и L4S4).
Горизонтальные 11, 21, 31, 41 и фронтальные 12, 22, 32, 42 проекции точек линии сечения определяем по их принадлежности к соответствующим образующим.
5. Возьмем еще две промежуточные точки 5 и 6 линии сечения, 54 Î C4B4, 64 Î C4B4
Находим их горизонтальные 51, 61 и фронтальные 52, 62 проекции по принадлежности точки поверхности конуса. Для нахождения проекций 61 и 62, через проекцию 64 точки 6 проводим вспомогательную плоскость Г(Г4), параллельную основанию конуса. Плоскость Г рассекает конус по окружности радиуса R.
Теперь из центра О1 ≡ S1 проводим окружность радиуса R и проецируем на эту окружность точку 64. Получаем точки 61 и 61′, из этих точек проводим линии проекционной связи перпендикулярно оси Х1,2 и откладываем на них от оси расстояния, равные высоте точки 6. П4; П5 ? Т.
На чертеже ось Х4,5 параллельна следу С4В4 секущей плоскости Т.
8. В новую плоскость П5 проецируем точки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Для этого из 14, 24, 34, 44, 54, 64 проводим линии проекционных связей, перпендикулярные оси Х4,5 и на их продолжении от оси Х4,5 откладываем отрезки, равные расстояниям от оси Х1,4 до заменяемых точек 11, 21, 31, 41, 51 и 61. Получаем точки 15, 25, 35, 45, 55, 65, соединяем их плавной линией. Построенный эллипс — натуральная величина сечения конуса плоскостью Т.
Проще найти натуральную величину сечения, построив сначала большую ось эллипса — отрезок 1,2. Строим проекции 15 и 25 точек 1 и 2: отрезок 1525 – натуральная величина большой оси эллипса. Проводим линии проекционной связи из точек 34, 44, 54, 64 и в обе стороны от оси 1525 откладываем расстояния, равные расстояниям от прямой 1121 до точек 31, 41, 51, 61 соответственно.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8544 — | 7399 — или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Построение фигур сечения поверхностей плоскостью общего положения является более сложной задачей. Рассмотрим ее на примере нахождения фигуры сечения треугольной пирамиды плоскостью fh (рис. 5.13а).
Условие задачи. Построить две проекции и натуральную фигуру сечения заданной поверхности плоскостью fh.
Наметим план решения задачи. Для этого обратимся к наглядному изображению (рис. 5.136).
Горизонтальный след h. расположенный в плоскости П|, пересекает расположенное в той же плоскости основание пирамиды в точках А и В. Таким образом, точки А и В принадлежат одновременно пирамиде и рассекающей ее плоскости fh. а значит — искомой фигуре сечения. Как видно из рис. 5.136, левое ребро пирамиды, выходящее за h. в пределах данного изображения с плоскостью fh не пересекается.
Рассмотрим построение точек С и D. Каждое из ребер, на которых они расположены, можно рассматривать как прямую, пересекающуюся с заданной плоскостью, поэтому для нахождения точек С и D вновь может быть использован знакомый нам прием (см. и. 3.3.4). Заметим попутно, что этот прием удобно применить и в тех случаях, если плоскостью fh рассекаются конус или цилиндр. Тогда на этих поверхностях нужно выделить несколько образующих и, в свою очередь, рассматривать их как прямые, пересекающиеся с заданной плоскостью.
Рис. 5.13а
Рис. 5.13в
Рис. 5.13г
Теперь обратимся к эпюру и рассмотрим построение точки С на правом ребре (рис. 5.1 Зв). Вначале проведем через него вспомогательную фронтально-нроецирующую плоскость (р и отметим точки Ь и 2з, в которых ее вырожденная проекция qb пересекается с f2 и h2. Затем найдем 1| на fi и 2 на hi. Соединив 1| и 2|, получим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей
на фронтальной проекции этого ребра. Положение точки D на среднем ребре определяется аналогично с помощью вспомогательной фронтально-иросцирующей плоскости у (рис. 5.1 Зг). Соединив между собой соответствующие проекции точек А, В, С и D, получим проекции искомого сечения. Их видимость определяется с учетом того, что плоскость fh считается непрозрачной (рис. 5.1 Зг).
На этом же рисунке показано построение натуральной фигуры сечения способом вращения плоскости fh вокруг h до совмещения с П|. При совмещении этих плоскостей точки А и В, расположенные на оси вращения h, не изменяют своего положения, а точки С и D займут место С и D (см. рис.5.1 Зг).
A, D С В| — есть искомая натуральная фигура сечения.
- Артём Заборовский 3 лет назад Просмотров:
1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Методические указания к выполнению эпюра 3 по дисциплине «Начертательная геометрия» Иркутск 2010
2 УДК 744 ББК С 28 Составители: М.В. Малова, к.т.н., доцент кафедры начертательной геометрии и графики ИрГУПС; Т.А. Дарманская, к.т.н., ст. преподаватель кафедры начертательной геометрии и графики ИрГУПС; В.В. Алексеев, учитель черчения НОУ «Школа-интернат 25 ОАО РЖД» Рецензенты: Н.К.Чепурных, к.т.н., доцент ВСИ МВД России Б.И. Китов, д.т.н., профессор, зав. каф. ТиПМ ИрГУПС С 28 Сечение поверхности плоскостью : метод. указ. к выполнению эпюра 3 / сост. М.В. Малова, Т.А. Дарманская, В.В. Алексеев. Иркутск : ИрГУПС, с. В методических указаниях подробно изложен теоретический материал, необходимый для выполнения эпюра 3. Детально рассмотрено решение основных типовых задач по определению линии сечения поверхности плоскостью. Методические указания предназначены для студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения, изучающих курс начертательной геометрии. Ил. 17. Табл. 5. Библиогр.: 4 назв. Иркутский государственный университет путей сообщения,
3 1. Общие положения Сечением называется плоская замкнутая фигура, которая получается при пересечении поверхности плоскостью. Контур сечения определяется множеством точек, которые одновременно принадлежат поверхности и секущей плоскости. В зависимости от формы заданной поверхности и расположения секущей плоскости фигура сечения может быть или ломаной линией (при пересечении многогранников плоскостью), или плавной замкнутой кривой (при пересечении криволинейных поверхностей плоскостью). Для построения опорных промежуточных точек (границы видимости, высшие и низшие точки и др.) используются вспомогательные секущие плоскости-посредники и иногда применяется способ преобразования ортогональных проекций (например, способ перемены плоскостей проекций). Для построения фигуры сечения необходимо: 1. Определить каркас поверхности. 2. Найти точки пересечения каждой каркасной линии с заданной плоскостью. 3. Найденные точки последовательно соединить между собой, выделяя видимую и невидимую части фигуры сечения. В случае многогранников найденные точки соединяют прямыми линиями, в случае кривых поверхностей плавной кривой. Различные формы линий сечения показаны на рисунке 1. Для многогранников за линии каркаса принимают ребра. Для кривых поверхностей один из видов образующих. Так, для конуса и цилиндра это могут быть прямолинейные образующие, криволинейные (окружности), параллели, для шара и тора только окружности. Возможные формы линий каркаса для различных поверхностей показаны на рисунке 2. 3
5 Рис. 2 Для тех геометрических тел, которые имеют основания, в каркас включаются и линии основания. При построении сечения поверхностей геометрических тел могут встретиться две группы задач: секущая плоскость занимает частное положение; секущая плоскость занимает общее положение. 2. Первая группа задач. Секущая плоскость занимает частное положение Задача 1. Построить сечение треугольной пирамиды фронтальнопроецирующей плоскостью Г (Г 2 ) и определить натуральную величину фигуры сечения (рис. 3). 5
6 Рис. 3 Секущая плоскость занимает частное положение (фронтальнопроецирующая), поэтому фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальной проекцией Г 2 секущей плоскости. Плоскость Г проходит так, что не пересекает ребро SА, но пересекает основание пирамиды треугольник ABC. Решение: за линии каркаса принимаем ребра SС, SВ и основание пирамиды. Находим точки пересечения каркасных линий с проекцией заданной плоскости. Фронтальная проекция сечения прямая Горизонтальные проекции точек 1 и 2 находим по линиям проекционной связи на горизонтальных проекциях ребер SС и SВ, а точек 3 и 4 на сторонах основания АВ и АС. Горизонтальные проекции точек соединяем прямыми, выделяя видимые и невидимые участки линии. 6
7 Натуральную величину фигуры сечения определяем методом замены плоскостей проекций: П 2 П 2 П1 // Г, Х // Г 2 П 1 П 1 Задача 2. плоскостью Σ (Σ 2 ) (рис. 4). Построить сечение сферы фронтально-проецирующей Рис. 4 Фронтальная проекция сечения проецируется в прямую, совпадающую с фронтальной проекцией плоскости Σ. Решение: намечаем каркас на поверхности сферы из окружностей (параллелей). На плоскость П 2 параллели проецируются в прямые, на П 1 в окружности. Находим точки пересечения каркасных линий с заданной плоскостью. Фронтальные проекции точек сечения определяются в пересечении каркасных линий с фронтальной проекцией плоскости Σ, а 7
8 горизонтальные проекции определяются по линиям проекционной связи каждая на своей параллели. Точки 1 и 10 на главном меридиане и точки 6 и 7 на экваторе определяют границу видимости сечения на горизонтальной плоскости проекций. Полученные на горизонтальной плоскости проекций точки соединяем плавной кривой с учетом видимости. Задача 3. Построить сечение цилиндра фронтально-проецирующей плоскостью. Эпюр выполнить в 3-х проекциях (рис. 5). Рис. 5 Решение: на поверхности цилиндра намечаем каркас из образующих. Определяем точки пересечения каркасных линий с заданной плоскостью. Образующие цилиндра горизонтально-проецирующие прямые, поэтому горизонтальная проекция сечения совпадает с основанием. Высшая и 8
9 низшая точки сечения 1 и 8 находятся на очерковых образующих цилиндра, точки 2, 3, 4, 5, 6 и 7 на промежуточных образующих. На профильную плоскость проекций сечение проецируется в эллипс. Строим профильные проекции образующих и на них определяем точки сечения. Профильные проекции полученных точек соединяем плавной кривой, выделяя видимые и невидимые участки эллипса. Задача 4. Построить сечение поверхности прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Г (Г 2 ) и определить натуральную величину фигуры сечения (рис. 6). Рис. 6 Секущая плоскость Г пересекает все образующие конуса, и в сечении образуется эллипс. Фронтальная проекция эллипса совпадает с фронтальной проекцией секущей плоскости Г 2. 9
10 Решение: на поверхности конуса намечаем каркас из прямых образующих или окружностей (параллелей). Горизонтальные проекции точек сечения будут расположены на горизонтальных проекциях соответствующих линий каркаса. Так, горизонтальные проекции точек 1 и 8 находятся на горизонтальных проекциях очерковых образующих SA и SB, горизонтальные проекции точек 2 и 3 на горизонтальных проекциях образующих SС и SD и т.д. Горизонтальные проекции точек 4 и 5 найдем при помощи параллели, которая проецируется на П 2 в прямую, перпендикулярную оси конуса, а на П 1 в окружность. Полученные горизонтальные проекции точек сечения соединяем плавной кривой. Прямая 1 8 определяет большую ось эллипса, ее натуральная величина. Малая ось эллипса проходит через середину большой (точка О) и перпендикулярна к ней. На плоскость П 1 малая ось эллипса проецируется в натуральную величину. Натуральная величина фигуры сечения определяется методом замены плоскостей проекций. Заменяем плоскость П 1 на 2, П 2 2 П1 // Г, Х // Г 2 П 1 П П 1 Задача 5. Построить сечение поверхности прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Г (Г 2 ) и определить натуральную величину фигуры сечения (рис. 7). 10
11 Рис. 7 Секущая плоскость параллельна одной образующей конуса и в сечении дает параболу. Фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальной проекцией секущей плоскости Г 2. Решение: на поверхности конуса получаем каркас из образующих или окружностей (параллелей). Горизонтальные проекции точек сечения находятся на горизонтальных проекциях соответствующих каркасных линий. Так, вершина гиперболы (точка 1) находится на очерковой образующей SA (1 2 на S 2 A 2, 1 1 на S 1 A 1 ). Точки 8 и 9 находятся на основании конуса. Горизонтальные проекции точек сечения соединяем плавной кривой. Натуральная величина фигуры сечения определяется методом замены плоскостей проекций: П 2 П 2 П1 // Г, Х // Г 2 П 1 П 1 11
12 3. Вторая группа задач. Секущая плоскость занимает общее положение Задача 1. Построить сечение конуса плоскостью Σ (h f) (рис. 8). Рис. 8 Решение: За линии каркаса принимаем образующие и параллели. Определяем последовательно точки пересечения соответствующих образующих или параллелей конуса с секущей плоскостью Σ (h f). 12
13 Порядок действий следующий: 1. Определяем наиболее и наименее удаленные от горизонтальной плоскости проекций высшую и низшую точки. Эти точки определяются методом замены плоскостей проекций. Заменяем плоскость П 1 на 2, П 2 П 1. Новая ось проводится перпендикулярно горизонтальной П 1 П 2 проекции горизонтали. Высшая точка 1 и низшая точка 2 построены как точки пересечения образующих конуса, лежащих в новой плоскости 2, и секущей плоскости Σ ( ). 2. Строим промежуточные точки (расположенные между найденными точками 1 и 2) с помощью вспомогательных секущих плоскостей частного положения горизонтальных плоскостей уровня, проходящих через соответствующие параллели конуса. 3. Полученные точки соединяем плавной кривой линией. 4. Точки, которые на фронтальной проекции будут находиться на очерковых образующих конуса и определять границы видимости линии сечения, должны быть спроецированы с горизонтальной плоскости проекций (точки пересечения построенной линии и горизонтальной осевой линии). Определяем истинную величину фигуры сечения методом замены плоскостей проекций. Для этого проводим новую ось плоскостей проекций параллельно проекции плоскости. Задача 2. Построить сечение пирамиды SABC плоскостью Σ ( DEF). 13
14 Решение задачи представлено на рисунке 9. Рис Сечение плоскостью частного положения поверхности, имеющей сквозное отверстие 14
15 Задача 1. Построить сечение усеченного цилиндра фронтальнопроецирующей плоскостью. Рис. 10 При решении задач по построению линии сечения плоскостью частного положения поверхности, имеющей сквозное отверстие, на первом этапе выполняется построение сквозного отверстия, а затем непосредственно сечение поверхности плоскостью. На линии контура сквозного отверстия выбираем точки от 1 до 9. Все они являются парными. Поскольку цилиндр является проецирующей поверхностью (его боковая поверхность перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций), проекции всех точек на горизонтальной плоскости проекций будут находиться на окружности (проекции основания цилиндра). Для нахождения проекций точек на профильной плоскости проекций необходимо пользоваться вспомогательными плоскостями уровня (Г 1 Г 4 ). 15
16 Проекции плоскостей уровня будут определять положение точек по высоте, а положение точек по ширине на каждом уровне будет определяться расстояниями проекций точек от горизонтальной оси (А 1 В 1 ) вверх и вниз, отложенными на профильной плоскости проекций от вертикальной оси симметрии влево и вправо соответственно. Найденные точки соединяем плавной кривой ( ) или прямыми ( ) линиями. Рис.11 На втором этапе работы (рис. 11) выполняется линия сечения поверхности плоскостью. На проекции секущей плоскости выбирается ряд точек (C 2, D 2, E 2, F 2, M 2, N 2 ) и определяется их положение на горизонтальной и профильной плоскостях проекций (аналогично действиям на первом этапе). Найденные точки соединяются плавными 16
17 кривыми или прямыми линиями. Площадь сечения штрихуется. Предполагается, что мы мысленно удаляем часть поверхности, отсеченную плоскостью. На эпюре усеченную часть показываем сплошной тонкой линией. Задача 2. Построить сечение усеченной пирамиды фронтальнопроецирующей плоскостью. Рис. 12 Аналогично решению задачи 1 (рис. 10, 11) на первом этапе необходимо выполнить линию сквозного отверстия на поверхности детали. На рисунке 12 это симметричные ломаные линии Далее (рис. 13) выполняется сечение пирамиды с отверстием фронтально-проецирующей плоскостью. 17
18 Рис. 13 Подобным образом решаются и задачи 3 и 4. Примеры решения приведены на рисунках 14, 15 и 16, 17. Задача 3. Построить сечение усеченной призмы фронтальнопроецирующей плоскостью. 18
19 Рис. 14 Рис. 15 Задача 4. Построить сечение усеченного конуса фронтальнопроецирующей плоскостью. 19
20 Рис. 16 Рис. 17 Задания для выполнения эпюра 3 20
21 Сечение геометрической фигуры секущей плоскостью частного положения (Таблица 1). Сечение гранных поверхностей секущей плоскостью частного положения (Таблица 2). Сечение поверхностей вращения секущей плоскостью частного положения (Таблица 3). Сечение полых геометрических фигур секущей плоскостью частного положения (Таблица 4). Сечение геометрических фигур плоскостью общего положения (Таблица 5). 21
Издания | Библиотечно-издательский комплекс СФУ
Все года изданияТекущий годПоследние 2 годаПоследние 5 летПоследние 10 лет
Все виды изданийУчебная литератураНаучная литератураМатериалы конференций
Все темыЕстественные и точные наукиАстрономияБиологияГеографияГеодезия. КартографияГеологияГеофизикаИнформатикаКибернетикаМатематикаМеханикаОхрана окружающей среды. Экология человекаФизикаХимияТехнические и прикладные науки, отрасли производстваАвтоматика. Вычислительная техникаБиотехнологияВодное хозяйствоГорное делоЖилищно-коммунальное хозяйство. Домоводство. Бытовое обслуживаниеКосмические исследованияЛегкая промышленностьЛесная и деревообрабатывающая промышленностьМашиностроениеМедицина и здравоохранениеМеталлургияМетрологияОхрана трудаПатентное дело. Изобретательство. РационализаторствоПищевая промышленностьПолиграфия. Репрография. ФотокинотехникаПриборостроениеПрочие отрасли экономикиРыбное хозяйство. АквакультураСвязьСельское и лесное хозяйствоСтандартизацияСтатистикаСтроительство. АрхитектураТранспортХимическая технология. Химическая промышленностьЭлектроника. РадиотехникаЭлектротехникаЭнергетикаЯдерная техникаОбщественные и гуманитарные наукиВнешняя торговляВнутренняя торговля. Туристско-экскурсионное обслуживаниеВоенное делоГосударство и право. Юридические наукиДемографияИскусство. ИскусствоведениеИстория. Исторические наукиКомплексное изучение отдельных стран и регионовКультура. КультурологияЛитература. Литературоведение. Устное народное творчествоМассовая коммуникация. Журналистика. Средства массовой информацииНародное образование. ПедагогикаНауковедениеОрганизация и управлениеПолитика и политические наукиПсихологияРелигия. АтеизмСоциологияФизическая культура и спортФилософияЭкономика и экономические наукиЯзыкознаниеХудожественная литература
Все институтыВоенно-инженерный институтБазовая кафедра специальных радиотехнических системВоенная кафедраУчебно-военный центрГуманитарный институтКафедра ИТ в креативных и культурных индустрияхКафедра истории России, мировых и региональных цивилизацийКафедра культурологии и искусствоведенияКафедра рекламы и социально-культурной деятельностиКафедра философииЖелезногорский филиал СФУИнженерно-строительный институтКафедра автомобильных дорог и городских сооруженийКафедра инженерных систем, зданий и сооруженийКафедра проектирования зданий и экспертизы недвижимостиКафедра строительных конструкций и управляемых системКафедра строительных материалов и технологий строительстваИнститут архитектуры и дизайнаКафедра архитектурного проектированияКафедра градостроительстваКафедра дизайнаКафедра дизайна архитектурной средыКафедра изобразительного искусства и компьютерной графикиИнститут горного дела, геологии и геотехнологийКафедра геологии месторождений и методики разведкиКафедра геологии, минералогии и петрографииКафедра горных машин и комплексовКафедра инженерной графикиКафедра маркшейдерского делаКафедра открытых горных работКафедра подземной разработки месторожденийКафедра технической механикиКафедра технологии и техники разведкиКафедра шахтного и подземного строительстваКафедра электрификации горно-металлургического производстваИнститут инженерной физики и радиоэлектроникиБазовая кафедра “Радиоэлектронная техника информационных систем”Базовая кафедра инфокоммуникацийБазовая кафедра физики конденсированного состояния веществаБазовая кафедра фотоники и лазерных технологийКафедра нанофазных материалов и нанотехнологийКафедра общей физикиКафедра приборостроения и наноэлектроникиКафедра радиотехникиКафедра радиоэлектронных системКафедра современного естествознанияКафедра теоретической физики и волновых явленийКафедра теплофизикиКафедра экспериментальной физики и инновационных технологийКафедры физикиИнститут космических и информационных технологийБазовая кафедра “Интеллектуальные системы управления”Базовая кафедра геоинформационных системКафедра высокопроизводительных вычисленийКафедра вычислительной техникиКафедра информатикиКафедра информационных системКафедра прикладной математики и компьютерной безопасностиКафедра разговорного иностранного языкаКафедра систем автоматики, автоматизированного управления и проектированияКафедра систем искусственного интеллектаИнститут математики и фундаментальной информатикиБазовая кафедра вычислительных и информационных технологийБазовая кафедра математического моделирования и процессов управленияКафедра алгебры и математической логикиКафедра высшей и прикладной математикиКафедра математического анализа и дифференциальных уравненийКафедра математического обеспечения дискретных устройств и системКафедры высшей математики №2афедра теории функцийИнститут нефти и газаБазовая кафедра пожарной и промышленной безопасностиБазовая кафедра химии и технологии природных энергоносителей и углеродных материаловКафедра авиационных горюче-смазочных материаловКафедра бурения нефтяных и газовых скважинКафедра геологии нефти и газаКафедра геофизикиКафедра машин и оборудования нефтяных и газовых промысловКафедра разработки и эксплуатации нефтяных и газовых месторожденийКафедра технологических машин и оборудования нефтегазового комплексаКафедра топливообеспеченя и горюче-смазочных материаловИнститут педагогики, психологии и социологииКафедра информационных технологий обучения и непрерывного образованияКафедра общей и социальной педагогикиКафедра психологии развития и консультированияКафедра современных образовательных технологийКафедра социологииИнститут торговли и сферы услугБазовая кафедра таможенного делаКафедра бухгалтерского учета, анализа и аудитаКафедра математических методов и информационных технологий в торговле и сфере услугКафедра технологии и организации общественного питанияКафедра товароведения и экспертизы товаровКафедра торгового дела и маркетингаОтделение среднего профессионального образования (ОСПО)Институт управления бизнес-процессамиКафедра бизнес-информатики и моделирования бизнес-процессовКафедра маркетинга и международного администрированияКафедра менеджмент производственных и социальных технологийКафедра цифровых технологий управленияКафедра экономики и управления бизнес-процессамиКафедра экономической и финансовой безопасностиИнститут физ.культуры, спорта и туризмаКафедра медико-биологических основ физической культуры и оздоровительных технологийКафедра теоретических основ и менеджмента физической культуры и туризмаКафедра теории и методики спортивных дисциплинКафедра физической культурыИнститут филологии и языковой коммуникацииКафедра восточных языковКафедра журналистики и литературоведенияКафедра иностранных языков для гуманитарных направленийКафедра иностранных языков для естественнонаучных направленийКафедра иностранных языков для инженерных направленийКафедра романских языков и прикладной лингвистикиКафедра русского языка и речевой коммуникацииКафедра русского языка как иностранногоКафедра теории германских языков и межкультурной коммуникацииИнститут фундаментальной биологии и биотехнологииБазовая кафедра “Медико-биологические системы и комплексы”Базовая кафедра биотехнологииКафедра биофизикиКафедра водных и наземных экосистемКафедра медицинской биологииИнститут цветных металлов и материаловеденияБазовая кафедра “Технологии золотосодержащих руд”Кафедра автоматизации производственных процессов в металлургииКафедра аналитической и органической химииКафедра инженерного бакалавриата СDIOКафедра композиционных материалов и физико-химии металлургических процессовКафедра литейного производстваКафедра металловедения и термической обработки металловКафедра металлургии цветных металловКафедра обогащения полезных ископаемыхКафедра обработки металлов давлениемКафедра общаей металлургииКафедра техносферной безопасности горного и металлургического производстваКафедра физической и неорганической химииКафедра фундаментального естественнонаучного образованияИнститут экологии и географииКафедра географииКафедра охотничьего ресурсоведения и заповедного делаКафедра экологии и природопользованияИнститут экономики, государственного управления и финансовКафедра бухгалтерского учета и статистикиКафедра международной и управленческой экономикиКафедра социально-экономического планированияКафедра теоретической экономикиКафедра управления человеческими ресурсамиКафедра финансов и управления рискамиКрасноярская государственная архитектурно-строительная академияКрасноярский государственный технический университетКрасноярский государственный университетМежинститутские базовые кафедрыМежинститутская базовая кафедра “Прикладная физика и космические технологии”Политехнический институтБазовая кафедра высшей школы автомобильного сервисаКафедра конструкторско-технологического обеспечения машиностроительных производствКафедра материаловедения и технологии обработки материаловКафедра машиностроенияКафедра прикладной механикиКафедра робототехники и технической кибернетикиКафедра стандартизации, метрологии и управления качествомКафедра тепловых электрических станцийКафедра теплотехники и гидрогазодинамикиКафедра техногенных и экологических рисков в техносфереКафедра техносферной и экологической безопасностиКафедра транспортаКафедра транспортных и технологических машинКафедра химииКафедра электроэнергетикиХакасский технический иститутЮридический институтКафедра гражданского праваКафедра иностранного права и сравнительного правоведенияКафедра конституционного, административного и муниципального праваКафедра международного праваКафедра предпринимательского, конкурентного и финансового праваКафедра теории и истории государства и праваКафедра теории и методики социальной работыКафедра уголовного праваКафедра уголовного процеса и криминалистики
По релевантностиСначала новыеСначала старыеПо дате поступленияПо названиюПо автору
Репетитор по математике (Полоцк, Новополоцк): Построение сечений многогранников
Всем здравствуйте. Опустим мои поздравления с новым учебным годом и пожелания успехов в учебе. Поступим так же, как поступили учителя 10-х классов: разберем сразу же самую сложную тему не только в 10 классе, но и вообще в школьной математике – более того, любимой всеми геометрии и, в частности, стереометрии. Будет все и сразу.
Изучив аксиомы стереометрии и следствия из них, попробуем построить сечение многогранника.
Итак задача, которую я взяла из 2 этапа репетиционного тестирования прошлого года. Дан куб. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки M, N и C, где M – середина ребра A1B1, N – середина ребра AD.
В самом начале нужно обратиться к некоторым понятиям и разграничить четко: чем отличается понятие “грань многогранника” от понятия “плоскость, содержащая грань многогранника”, а так же “сечение” от понятия “секущая плоскость”.
Грань – это часть плоскости, ограничивающая многогранник, т.е. грань куба – это всегда квадрат, например, грань ABCD, в то время, как плоскость бесконечна и для ее задания достаточно назвать три буквы (обращаемся к первой аксиоме стереометрии). Плоскость, содержащая грань ABCD может быть задана любыми тремя точками, не лежащими на одной прямой, например, плоскость ABC или ACD.
Аналогично разграничим понятия “секущая плоскость” и “сечение”.
Плоскость – бесконечна, а сечение – это n-угольник, полученный в результате пересечения секущей плоскости с гранями многогранника. Говоря более простым и понятным языком, сечение – это срез многогранника. Будто разрезать наш многогранник ножом и посмотреть, что получится на срезе. Поэтому для построения сечения необходимо найти прямые, по которым секущая плоскость пересекает плоскости, содержащие грани многогранника и взять отрезки, находящиеся в гранях, концы которых лежат на ребрах многогранника. (Выучите и разберитесь в понятиях ребро, грань и вершина многогранника).
1. Первое, с чем справляется большинство учеников – это найти точки, лежащие в одной плоскости – это точки C и N. Так как обе точки лежат в одной плоскости, то и вся прямая CN лежит в плоскости ABC. Соединяем их. Получаем, что секущая плоскость пересекает плоскость ABC по прямой NC. Тогда отрезок NC – сторона сечения, лежащая в грани ABCD.
И вот здесь многие ученики испытывают самое большое затруднение: а дальше что? Можно ли соединить точки M и N? НЕТ!!! Эти точки не лежат ни в одной из плоскостей, содержащих грань куба, поэтому прямая MN будет лежать в плоскости сечения, но не будет являться стороной сечения, соответственно никак не приблизит нас к решению поставленной задачи.
2. Задаем себе вопрос: в плоскости какой грани лежат прямые, содержащие стороны сечения? Отвечаем: прямая NC лежит в плоскости грани ABCD.
3. Вопрос: какие прямые, содержащие ребра многогранника пересекает эта прямая? Ответ: прямую AB, так как прямые AB и MN лежат в плоскости ABC. Они пересекаются в точке X.
4. Так как точка X принадлежит прямой AB, а прямая AB помимо плоскости ABC, содержится в плоскости ABB1, то точка X так же находится в плоскости ABB1. В плоскости ABB1 по условию. находится точка M, поэтому соединяем эти две точки, так как они лежат в одной грани. Однако, точка X не содержится в грани ABB1A1, так как выходит за ее границы. Поэтому нас интересует, какая точка будет ограничивать сечение в грани ABB1A1 – это точка пересечения прямой MX с ребром AA1 (они пересекаются, так как лежат в одной плоскости). Построили точку P.
5. Точки P и N лежат в грани ADD1A1, поэтому соединяем их и получаем сторону сечения NP.
6.Теперь мы снова вернулись к ситуации, когда не знаем как быть дальше, потому что точки M и C не лежат в одной грани, а значит, и соединять их нельзя. Возвращаемся к пункту 2 и задаем себе тот же вопрос: в плоскости какой грани лежат прямые, содержащие стороны сечения? Отвечаем: прямая PM лежит в плоскости грани ABB1A1.
7. Вопрос: какие прямые, содержащие ребра многогранника пересекает эта прямая? Ответ: прямую BB1, так как прямые PM и BB1 лежат в плоскости ABB1. Они пересекаются в точке Y.
8. Так как точка Y принадлежит прямой BB1, а прямая BB1 помимо плоскости ABB1, содержится в плоскости BCC1, то точка Y так же находится в плоскости BCC1. В плоскости BCC1 по условию. находится точка C, поэтому соединяем эти две точки, так как они лежат в одной грани. Однако, точка Y не содержится в грани BCC1B1, так как выходит за ее границы. Поэтому нас интересует, какая точка будет ограничивать сечение в грани BCC1B1 – это точка пересечения прямой CY с ребром B1C1 (они пересекаются, так как лежат в одной плоскости). Построили точку Q.
9. Соединяем точки M и Q, так как они находятся в плоскости сечения и обе лежат в грани A1B1C1D1.
10. Получили отрезки пересечения секущей плоскости с каждой из граней куба, значит построили искомое сечение NPMQC.
Кстати, в репетиционном тестировании был вопрос – какая фигура является сечением. И теперь очевидно, что правильный ответ – пятиугольник.
Анатомические плоскости и сечения тела – Анатомия и физиология
В анатомии и физиологии анатомических плоскостей и сечений тела помогают нам понять различные способы, с помощью которых можно рассматривать тело при разрезании на сечения. Их особенно важно знать, если вы планируете работать в сфере здравоохранения, которая включает анализ изображений с аппаратов МРТ и других типов оборудования для визуализации.
Думая о плоскости тела, представьте воображаемую плоскую поверхность, напоминающую стеклянный прямоугольник, который делит тело на две части.
Arisa_J / ShutterstockЧетыре типа плоскостей тела
Существует четыре основных типа плоскостей тела, и простой способ запомнить их – это запомнить аббревиатуру «SOFT», что означает
.- S agittal
- O blique
- F горизонтальный
- T трансверс
Две из этих плоскостей вертикальные (сагиттальная и фронтальная), проходят сверху вниз. Одна плоскость является горизонтальной (поперечной), а все наклонные плоскости представляют собой «нечетные» углы между горизонтальным и вертикальным углами.
Сагиттальные плоскости (срединно-сагиттальная и парасагиттальная)
Сагиттальная плоскость проходит вертикально сверху вниз (и спереди назад) и делит тело на левую и правую части. Это легко запомнить, потому что на вашем черепе есть так называемый сагиттальный шов, который разделяет его на левую и правую стороны. Именно это и делает этот самолет: он делит тело на правую и левую стороны, если смотреть с анатомической позиции. Вы можете пойти дальше сагиттальной плоскости и добавить префикс, который поможет вам определить тип сагиттальной плоскости.
«Срединная сагиттальная» или «средняя» плоскость – это сагиттальная плоскость, которая идеально разделяет тело по средней линии. Приставка «mid» может напоминать вам, что она находится прямо посередине. «Парасагиттальная» плоскость – это любая сагиттальная плоскость, которая не проходит точно по средней линии тела.
Наклонные плоскости
Наклонная плоскость – это плоскость, которая может быть буквально любым углом, кроме горизонтального или вертикального. Фактически, слово «наклонный» означает, что что-то не является параллельным или прямым углом.Легкий способ запомнить это – помнить, что «косые углы – это нечетные углы». Также можно подумать о своих косых мышцах. Эти мышцы спускаются под углом и располагаются сбоку от мышц живота.
Поперечные плоскости (горизонтальные или осевые)
Поперечная плоскость (также называемая горизонтальной плоскостью) легко запомнить, потому что это единственная плоскость, которая проходит горизонтально, разделяя тело или структуру на верхнюю (верхнюю) и нижнюю (нижнюю) половины.Чтобы запомнить это, позвольте названию помочь вам: префикс trans означает «поперек». Подумайте о трансатлантических авиалиниях, которые летают вам через Атлантический океан. Или подумайте о горизонте, который является горизонтальной границей между землей и небом, и вы запомните направление горизонтальной (поперечной) плоскости.
Фронтальные (корональные) плоскости
Фронтальная плоскость (также называемая корональной плоскостью ) – это плоскость, которая проходит вертикально сверху вниз (и слева направо) и разделяет тело на переднюю (переднюю) часть и заднюю (заднюю) части. .Опять же, позвольте названию помочь вам. Фронтальная плоскость буквально оставит вам переднюю и заднюю часть!
Готовы проверить свои знания? Пройдите нашу бесплатную викторину с самолетами тела и секциями. У нас есть целый раздел тем по анатомии, который мы добавим в будущем, а также плейлист по анатомии и физиологии, поэтому не забудьте подписаться на наш канал YouTube.
Мы не можем найти эту страницу
(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})
{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}} *
{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}
{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}} / 500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$ item}} {{l10n_strings.ПРОДУКТЫ}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}
{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$ select.selected.display}}{{article.content_lang.display}}
{{l10n_strings.AUTHOR}}{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}
{{$ select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}Разрез плоскости чертежа
Чертежная плоскость в разрезе
ИнструментНарисовать сечение плоскости позволяет создать сечение, содержащее точки на плоскости. Пользователь определяет одно или несколько круговых местоположений образца в облаке точек, из которых программное обеспечение выводит уравнение плоскости.Затем программа проверяет, какие точки подходят к одной плоскости, и рисует их в разрезе. Инструмент можно использовать для рисования сечения любой трехмерной плоскости.
Инструмент может быть полезен, например, для ручной 3D-оцифровки в облаке точек. Чтобы оцифровать плоскую часть дорожных знаков, вы можете нарисовать плоское сечение таблички с указателем и оцифровать его границу на виде сечения.
Для построения плоского сечения:
1. Запустите инструмент Построение плоского сечения.
Откроется диалоговое окно «Рисование сечения плоскости»:
2.Определите настройки.
3. Поместите щелчок по данным на виде, который отображает облако точек. Это может быть вид сверху или в разрезе.
Это вычисляет уравнение плоскости для точек внутри радиуса выборки и выделяет области, в которых точки подходят к этой плоскости.
4. (Необязательно) Разместите больше щелчков данных в том же виде, чтобы уточнить выбор плоскости.
5. Поместите щелчок по данным на другом виде, чтобы нарисовать сечение плоскости.
Здесь отображаются точки, которые соответствуют плоскости в разрезе.
НАСТРОЙКА | ЭФФЕКТ |
|---|---|
Классы использования | Классы точки, которые должны соответствовать плоскости. |
Открывает диалоговое окно Выбрать классы, которое содержит список активных классов в TerraScan. Вы можете выбрать несколько исходных классов из списка, которые затем будут использоваться в поле «Использовать классы». | |
Радиус выборки | Радиальное расстояние от щелчка данных. Уравнение плоскости выводится из точек, находящихся внутри радиуса образца. |
Допуск | Расстояние, на которое точки могут отличаться от идеальной плоскости. Точки, находящиеся в пределах допустимого расстояния, считаются точками, принадлежащими плоскости. |
Глубина | Отображение глубины плоского сечения по обе стороны от центральной линии сечения. |
Закрепить в вертикальном / горизонтальном положении | Если включено, программа заставляет плоскость быть точно вертикальной или горизонтальной, если все точки плоскости находятся в пределах двух градусов от вертикали / горизонтали. |
Фильтр с использованием вектора нормали | Если включено, для рисования плоского сечения используются только точки плоского размера. Это требует вычисления нормальных векторов для точек. |
Просмотр изображения | Если включено, изображение отображается на фоне плоского сечения. Для этого требуется наличие TerraPhoto и загрузка списка миссий и изображений. См. Руководство пользователя TerraPhoto для получения дополнительной информации. |
Эффективное создание и редактирование плоскостей сечения в ANSYS® Mechanical
Вы можете создавать плоскости сечения в ANSYS®, чтобы увидеть ситуацию внутри твердых тел.Здесь мы объясняем, как создавать плоскости сечения и редактировать их в ANSYS® Mechanical, чтобы видеть изнутри твердых тел, на очень простом примере ниже.
Загрузите и установите ANSYS® R20!
Как создать плоскости сечения в ANSYS® Mechanical?
Щелкните «Новая плоскость сечения» в ANSYS® Mechanical.Чтобы создать новую плоскость сечения, щелкните команду «Новая плоскость сечения» на панели инструментов ANSYS® Mechanical, как показано красной стрелкой выше.
Разрежьте геометрию, чтобы создать плоскость сечения.После нажатия команды «Новая плоскость сечения» в ANSYS® Mechanical, нарисуйте линию сечения, как показано красной стрелкой, которая будет срезать геометрию для получения плоскости сечения, перпендикулярной экрану. Ориентация геометрии также очень важна для создания желаемой плоскости сечения.
ВЫ МОЖЕТЕ ИЗУЧИТЬ ANSYS® НА МЕХАНИЧЕСКОЙ БАЗЕ; Нажмите и начните изучать ANSYS®!
Все созданные плоскости сечения будут перечислены в окне «Сечение плоскости», как показано зеленой стрелкой выше.
Нарезанная геометрия.Как вы видите выше, плоскость сечения создается с помощью линии разреза, нарисованной в ANSYS® Mechanical.
Опции плоскости сечения в ANSYS® Mechanical.В окне «Сечение плоскости» в ANSYS® Mechanical есть несколько параметров. Если вы нажмете на созданную плоскость сечения, параметры, доступные для плоскостей сечения справа налево, внутри зеленого поля;
- Новая плоскость сечения: Вы можете создать новую плоскость сечения, выполнив шаги, описанные выше.
- Редактировать плоскость сечения: Вы можете редактировать выбранную плоскость сечения из списка.
- Удалить плоскость сечения: Вы можете удалить выбранную плоскость сечения из списка.
- Показать элементы: По умолчанию элементы сетки также делятся на созданную плоскость сечения. Если вы нажмете на эту опцию, созданный раздел будет показан, как показано ниже;
Как вы видите выше, все элементы сетки, которые совпадают с плоскостью сечения, полностью показаны в ANSYS® Mechanical.
Заключение
Как вы видите выше, создание плоскостей сечения в ANSYS® Mechanical очень просто.
Не забывайте оставлять ниже свои комментарии и вопросы о плоскостях сечения в ANSYS® Mechanical.
Ваши ценные отзывы очень важны для нас.
ПРИМЕЧАНИЕ. Все снимки экрана и изображения используются в образовательных и информационных целях. Изображения любезно предоставлены ANSYS, Inc.
Детали самолета
На этой странице показаны части самолета и их функции.Самолеты – это транспортные средства, которые предназначены для двигаться люди и грузы из одного места в другое. Самолеты бывают во многих другой формы и размеры в зависимости от предназначение самолета. Самолет, показанный на этот слайд представляет собой авиалайнер с турбинным двигателем, который был выбран в качестве представительский самолет.
Чтобы самолет мог летать, нужно поднимать вес. самого самолета, топлива, пассажиров и груза.В крылья создают большую часть подъемной силы держать самолет в воздухе. Для создания подъемной силы самолет должен быть проталкивается по воздуху. Воздух сопротивляется движению в форма аэродинамической тащить, тянуть. Современные авиалайнеры используют крылышки на концах крыльев для уменьшения лобового сопротивления. Турбинные двигатели, которые расположены под крыльями, обеспечивают тягу преодолеть сопротивление и толкнуть самолет вперед по воздуху. Небольшие низкоскоростные самолеты используют пропеллеры для силовой установки система вместо турбинных двигателей.
Кому контроль и маневрировать самолетом, меньшие крылья расположены на хвост самолета. Хвост обычно имеет фиксированную горизонтальную часть, называется горизонтальным стабилизатором, а фиксированная вертикальная деталь, называемая вертикальный стабилизатор. Задача стабилизаторов – обеспечить устойчивость для самолета, чтобы он летел прямо. В вертикальный стабилизатор предотвращает раскачивание носовой части самолета из стороны в сторону, что называется рыскание.Горизонтальный стабилизатор предотвращает движение носа вверх-вниз, которое называется подача. (На первом самолете брата Райта горизонтальный стабилизатор размещался перед крыльями. Такая конфигурация называется слух после французского слова «утка»).
В задней части крыльев и стабилизаторов есть небольшие подвижные секции. которые крепятся к неподвижным секциям на петлях. На рисунке эти движущиеся части окрашены в коричневый цвет.Изменение задняя часть крыла изменит величину силы, которая крыло производит. Способность изменять силы дает нам средство управление и маневрирование самолета. Навесная часть вертикальный стабилизатор называется рулем направления; Это используется для отклонения хвоста влево и вправо, если смотреть со стороны перед фюзеляжем. Откидная часть горизонтального стабилизатора называется лифтом; он используется для отклонения хвост вверх-вниз. Подвесная навесная часть крыла называется элерон; он привык к рулон крылья от бок о бок.Большинство авиалайнеров также можно катать из стороны в сторону. используя спойлеры. Спойлеры небольшие тарелки которые используются для нарушения обтекания крыла и изменения количества силы за счет уменьшения подъемной силы при раскрытии спойлера.
Крылья имеют дополнительные шарнирные задние части у корпуса, которые называются закрылками. Закрылки открыты вниз при взлете и приземление для увеличения силы, создаваемой крылом. На на некоторых самолетах передняя часть крыла также будет отклонить. Предкрылки используются при взлете и посадке для производства дополнительных сила. Спойлеры также используются во время приземляться, чтобы замедлить самолет и противодействовать закрылкам, когда самолет находится на земле. В следующий раз, когда ты полетишь на самолете, обратите внимание, как меняется форма крыла во время взлета и посадки.
фюзеляж или корпус самолета, держит все части вместе. Пилоты сидят в кабине в передней части фюзеляж.Пассажиры и груз перевозятся в задней части фюзеляж. Некоторые самолеты несут топливо в фюзеляже; другие несут топливо в крыльях.
Как уже упоминалось выше, конфигурация самолета на рисунке была выбрана только в качестве примера. Конфигурация отдельного самолета может отличаться от конфигурации этого авиалайнера. Братья Райт Флаер 1903 года имел толкающие винты и лифты в передней части самолета. В самолетах-истребителях реактивные двигатели часто находятся внутри фюзеляжа. вместо стручков висели под крыльями.Многие истребители также объединить горизонтальный стабилизатор и руль высоты в единый поверхность стабилизатора. Возможных конфигураций самолетов много, но любые конфигурация должна предусматривать четыре силы необходимо для полета.Действия:
Экскурсии с гидом
- Части самолета:
- Панели управления:
Навигация..
- Руководство для начинающих Домашняя страница
Упругая жесткость в плоскости для уменьшенного сечения балки (RBS) круглого среза
Член
БЕСПЛАТНОНе член
10 долларов.00
Iwankiw, Nestor R .; Мохаммади, Джамшид (2004). «Упругая жесткость в плоскости сокращенного сечения балки (RBS)», Engineering Journal , Американский институт стальных конструкций, Vol.41, стр. 23-36.
Одним из более новых моментных соединений, которое было введено и одобрено (предварительно квалифицировано) для использования в зонах с высокой сейсмичностью, является так называемое «собачье соединение» или сокращенное сечение луча (RBS). Целью данной статьи является краткий обзор базовой формулировки жесткости в плоскости для призматической балки, более тщательная разработка всех непризматических изменений упругой жесткости первого порядка, вызванных круговой RBS, обеспечение ее упрощенного представления и, наконец, заключение. с общими предложениями по эффекту жесткости RBS для дизайна.Другие вопросы проектирования сейсмических систем RBS и производительности этой эффективной и популярной детали не будут рассматриваться, поскольку они уже хорошо освещены в других доступных источниках.
- Опубликовано: 2004 г., Квартал 1
Автор (ы)
Нестор Р.Иванкив; Джамшид Мохаммади
Визуализация плоскости сечения
Визуализация плоскости сеченияПлоскости сечения
Урок 5 в Учебном пособии по промежуточной версии Twilight Render V2
Одна из наиболее уникальных функций SketchUp – это плоскости сечения.С момента выпуска V2 в Twilight Render появилась возможность визуализировать плоскости сечения, как они появляются в SketchUp. Немного поработав, вы даже можете анимировать плоскости сечения для создания динамических компоновок конструкций или деконструкций продуктов.
| | Немного ознакомившись с тем, как плоскости сечения и компоненты взаимодействуют в SketchUp, вы сможете создавать наиболее эффективные сцены. Знание того, как Twilight Render по-разному обрабатывает плоскости сечения, поможет вам настроить сцены для правильного рендеринга. Компоненты и группы SketchUp используются для создания иерархии . Вверху (или внизу, в зависимости от того, как на это смотреть) находится мир или корень. Добавление компонента добавляет еще один уровень в иерархию. Размещение дочернего компонента внутри первого (вложенных компонентов) добавляет еще один уровень и так далее. Мировой корень, как и любой заданный компонент, может содержать любое количество родственных компонентов. Так какое отношение это имеет к рендерингу плоскостей сечения? Плоскости сечения Только влияют на геометрию, компоненты и группы, которые находятся на том же уровне иерархии и ниже. В нашем примере сцены у нас есть три компонента, добавленных к миру (с разбросанной геометрией комнаты): стол и два стула. Стул справа представляет собой простую однокомпонентную деталь. Таблица содержит 2 вложенных компонента, верхнюю и нижнюю. Стул слева содержит 7 вложенных компонентов. Мы посмотрим, как плоскости сечения и компоненты взаимодействуют в нашей сцене. |
Первый, корневой уровень или мировой уровень, плоскости сечения разрезают все . Вы можете легко увидеть это, добавив плоскость сечения к корню мира. Поскольку вся геометрия находится ниже корневого уровня мира, вся геометрия разрезается плоскостью сечения. Независимо от того, насколько глубоко они вложены, все компоненты и группы разрезаются плоскостью сечения корневого уровня. Twilight Render создает изображения, которые воспроизводят это точно так же для плоскостей сечения корневого уровня. Обратите внимание, что все компоненты универсально вырезаны, даже если они вложены друг в друга. Также обратите внимание, что фон комнаты также обрезан, открывая фоновый свет окружающей среды. Важно помнить, что вся геометрия разрезается корневой плоскостью сечения, несмотря ни на что. |
Не забывайте, вы должны включить рендеринг плоскости сечения! По умолчанию рендеринг плоскости сечения выключен и должен быть включен в .Настройки => Отрисовка плоскости сечения |
А теперь попробуем другое.После удаления плоскости сечения из корня, давайте добавим плоскости сечения к нашим двум вложенным компонентам. Помните, что и стол, и левый стул являются компонентами с подчиненными компонентами. Если мы добавим плоскость сечения только внутри компонента, SketchUp обрежет все внутренние ( вложенных ) компонентов. Но когда мы рендерим … мы не получаем того же результата! Если вы заметили на изображении слева, плоскость сечения не отображается, но представление SketchUp отображается по-другому (вы можете щелкнуть изображение, чтобы увеличить его).Не паникуйте. Мы покажем вам, как обойти эту проблему и даже использовать это в ваших интересах. Причина, по которой это происходит, полностью связана с природой компонентов. В SketchUp все экземпляры компонентов являются идентичными копиями одного и того же определения. Это верно и для компонентов в Twilight Render. Но в SketchUp плоскости сечения – это, по сути, визуальный трюк, на который не распространяется правило «идентичного копирования». Не так в Twilight Render, где плоскости сечения – это свойства геометрии / материала. Зная это, рассмотрим два экземпляра таблицы компонентов. Таблица A разрезается по вертикали плоскостью сечения, а таблица B разрезается по горизонтали. Как они могут больше считаться идентичными копиями? Они не могут, и поэтому вложенных компонентов никогда не разрезаются плоскостями сечения их родительских компонентов . (Да, плоскости сечения корневого уровня могут разрезать компоненты; есть причина, по которой это отличается, но это связано с несколькими системами координат, о которых вы действительно не хотите знать). |
Итак, если мы не можем вырезать вложенные компоненты, как нам вырезать геометрию, не вырезая всю сцену? Даже если Twilight Render не будет вырезать вложенные компоненты, он будет визуализировать плоскости сечения, которые прорезают локальную геометрию компонента . Это любое лицо в компоненте, не во вложенном компоненте. Во многих случаях это все, что вам нужно.Во многих других случаях это позволит вам создавать сложные рендеры, которые вы фактически не можете создать в SketchUp. Подумайте, как можно разрезать дом, не повредив компоненты мебели внутри него? |
Используя то, что мы только что узнали, мы можем сделать еще один шаг вперед. В SketchUp группы иерархичны, как и компоненты. Однако, в отличие от компонентов, группы нельзя использовать для создания нескольких идентичных экземпляров.Они уникальны по своей сути. Из-за этого Искорка рассматривает их, как если бы они были простой геометрией на одном уровне иерархии. Для нас это означает, что, преобразовывая наши вложенные компоненты в группы, мы можем гарантировать, что плоскость сечения, включенная в компонент, прорезает всю вложенную геометрию. Возможно, вы начнете видеть, как, работая с группами и компонентами, мы можем достичь целого ряда эффектов в управлении местом рендеринга плоскости сечения. Просто запомните:
|
Одно из самых крутых применений визуализированных плоскостей сечения – их использование в анимации. Если вы настроили плоскость сечения в SketchUp с несколькими сценами, вы можете анимировать положение и поворот плоскости сечения как анимацию SketchUp от сцены к сцене. Было бы здорово воспроизвести этот эффект в рендере! К сожалению, если мы попытаемся это сделать, мы быстро столкнемся с проблемами. Кажется, что, если анимация сцены не управляется кнопкой «Воспроизвести» анимации SketchUp, плоскости сечения быстро разваливаются и даже полностью теряют свое положение.Twilight Render должен иметь возможность точно контролировать положение анимации, чтобы визуализировать правильный вид сцены. Так что же нам делать? ВTwilight Render есть что-то под названием Twilight Render Section. Это специальный компонент, созданный Twilight Render для замены секущих плоскостей. Он не будет вырезать вашу сцену в SketchUp, но как фактический компонент вы можете делать с ним все, что можно сделать с любым компонентом.
Добавив один из многих сторонних плагинов для анимации, вы можете управлять положением и поворотом раздела TWR по мере продвижения вашей анимации. Настройте нормальный рендеринг TWR Animation, выпейте кофе во время рендеринга, и в конце у вас будут полностью анимированные разрезы секций! |
| Пользователи Twilight Render Pro имеют некоторые дополнительные функции.Мы решили, что, поскольку плоскость сечения – это просто математическое описание плоскости, почему мы не можем использовать другие формы? Почему не Секция Сфера , Куб или Цилиндр ? Так мы и поступили. Работая точно так же, как Twilight Render Section, пользователи Pro могут вставлять сферы, кубы и цилиндры, которые разрезают геометрию в сцене (следуя точно тем же правилам, что и плоскости сечения).
Вы должны сразу увидеть что-то значимое.Плоскость сечения не ограничена; режет все по плоскости (по указанным выше правилам). Но объект раздела так не действует! У них есть определенные границы, которые при некотором тщательном расположении позволяют добиться самых разных эффектов вырезания! А когда вы масштабируете их до эллипсов и прямоугольников, полученный вырез будет точным совпадением! Так же, как и плоскости сечения сумеречного рендеринга, фигуры сечений можно анимировать. И не только по положению, но и по размеру.И, как упоминалось выше, этот масштаб не обязательно должен быть однородным, что позволяет создавать прямоугольники и эллипсы любого размера и формы. У фигуресть еще одна замечательная особенность. Как и в случае с плоскостью сечения, вы можете изменить направление на противоположное. Для такой формы, как куб или сфера, вырезанная область выворачивается наизнанку! Таким образом, вместо того, чтобы вырезать отверстие в объекте, вы можете визуализировать только ту часть, которая попадает в куб, сферу или цилиндр.
|
Понедельник, 8 ноября 2021 г.
Авторские права 2012 Twilight Render LLC, Все права защищены
.