Сечение объемных фигур: Математика – Геометрия – Стереометрия

Построение объемных фигур и сечений Geogebra 3d

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Физико-математический факультет

Кафедра информатики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

«Построение объемных фигур и сечений в GeoGebra 3D»

Выполнила:

студентка 5 курса группы МДИ-114

Сорочкина М.А.

Саранск 2018

Введение

GeoGebra – это бесплатная, кроссплатформенная динамическая математическая программа для всех уровней образования, включающая в себя геометрию, алгебру, таблицы, графы, статистику и арифметику, в одном удобном для использования пакете.

Кроме того, у программы богатые возможности работы с функциями (построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов и т.д.) за счёт команд встроенного языка (который, кстати, позволяет управлять и геометрическими построениями).

В отличии от других программ для динамического манипулирования геометрическими обьектами, идея GeoGebra заключается в интерактивном сочетании геометрического, алгебраического и числового представления. Вы можете создавать конструкции с точками, векторами, линиями, коническими сечениями, а также математическими функциями, а затем динамически изменять их.

Кроме того, GeoGebra позволяет напрямую вводить уравнения и манипулировать координатами. Таким образом, можно легко составлять графики функций, работать со слайдерами для подбора необходимых параметров, искать символические производные, и использовать мощные команды вроде корня и последовательности.

Интерфейс программы GeoGebra (ГеоГебра) напоминает классную доску, на которой можно рисовать графики, создавать геометрические фигуры и т.п. В окне программы будет наглядно отображены производимые изменения: если вы измените уравнение, кривая перестроится, изменится масштаб или ее положение в пространстве, уравнение, написанное рядом с кривой, автоматически будет скорректировано, согласно новым значениям.

Программу GeoGebra широко используют в мире миллионы пользователей для обучения алгебре и геометрии. Процесс обучения нагляден благодаря визуальной форме использования приложения.

Возможности программы по математике не ограничиваются только построением графиков, программу GeoGebra можно будет использовать для интерактивных чертежей при решении геометрических задач. Программа ГеоГебра обладает мощными и функциональными возможностями, которые позволяет наглядно и просто обучаться математике.

Приложение включает в себя геометрию, алгебру, есть возможность совершать арифметические операции, создавать таблицы, графики, возможна работа со статистикой, работа с функциями, поддерживается создание анимации и т.д. В программе GeoGebra можно будет создавать различные 2D и 3D фигуры, интерактивные ролики, которые затем можно будет размещать в интернете.

Все приложения, входящие в состав программы GeoGebra, доступны и синхронизируются между собой для работы в составе одного пакета.

GeoGebra была создана Маркусом Хохенвартером. Программа написана на языке Java, приложение поддерживает работу в различных операционных системах: Windows, Mac OS X, Linux, Android.

С сайта производителя можно будет скачать обычную версию программы GeoGebra для установки на компьютер. Также можно будет скачать переносную версию программы (GeoGebra Portable) для соответствующей операционной системы.

После запуска GeoGebra на компьютере, ознакомимся с интерфейсом программы.

Интерфейс GeoGebra

Интерфейс программы GeoGebra напоминает графический редактор. Программу можно использовать для черчения, но это не основное предназначение приложения.
Давайте рассмотрим основные элементы интерфейса программы GeoGebra:

1. Полоса меню. Из меню вы можете изменить настройки программы.

2. Панель инструментов. Здесь находятся инструменты для создания объектов. После щелчка по треугольнику в правом нижнем углу кнопки, будут открыты дополнительные инструменты. Операции, доступные в панели инструментов, можно производить с помощью строки ввода.

3. Панель объектов. В Панели объектов отображаются введенные переменные и функции. Вместо имен переменных здесь отображаются их значения. Для того, чтобы увидеть формулу в символьном виде, нужно будет кликнуть по ней правой кнопкой мыши.

4. Кнопки «Отменить» и «Повторить».

5. Строка ввода. Это основной инструмент при работе в программе GeoGebra. Здесь вводятся команды и формулы, задаются значения переменных. Справа от строки ввода расположена кнопка «Список команд». С помощью дополнительных команд можно будет вводить команды и отсутствующие на клавиатуре символы.

6. Рабочая область. Все построения в программе производятся в рабочей области. Вы можете изменить масштаб с помощью колесика мыши, перемещать по рабочей области ось координат.

Далее попытаемся выполнить некоторые элементарные действия в программе GeoGebra.

Построение графика функции в GeoGebra

Для построения графика функции достаточно будет набрать ее в поле ввода. Для отображения параболы нужно будет написать в строке «Ввод» следующее выражение:

x^2

Символ «^» в программе GeoGebra обозначает возведение в степень.

Далее нажмите на кнопку «Enter». После этого в рабочей области будет построен график. Рисунок можно будет масштабировать с помощью колесика мыши. Для перемещения рабочей области нужно будет нажать на клавишу «Shift», одновременно удерживая нажатой левую кнопку мыши.

Вы можете перемещать сам график при помощи нажатой правой кнопки мыши, при этом, в Панели объектов будут отображены изменения в уравнении.

Создание треугольника в GeoGebra

Давайте попробуем начертить треугольник в программе GeoGebra. Для этого нужно будет перейти в «геометрический» режим для того, чтобы включить отображение сетки, и отключить отображение оси координат.

Кликните правой кнопкой мыши по оси координат, в контекстном меню выберите пункт «Сетка», а затем там кликните по пункту «Оси» для отключения оси координат. На панели инструментов нажмите на кнопку «Многоугольник».

После этого нарисуйте треугольник, последовательно установив три вершины. При необходимости, вы можете ввести точные координаты. Для этого вам нужно будет кликнуть по точке правой кнопкой мыши.

Далее вы можете создать биссектрису угла. Для этого нажмите на треугольную кнопку под кнопкой «Перпендикулярная прямая», а затем выберите из выпадающего списка инструмент «Биссектриса угла». После этого, кликните по двум отрезкам образующих угол, биссектриса будет создана.

Geogebra online

У программы GeoGebra имеется онлайн версия: Geogebra online (ГеоГебра онлайн). После перехода на сайт www.geogebra.org, вы можете открыть программу GeoGebra в своем браузере для выполнения необходимых действий. Таким образом, даже не устанавливая программу GeoGebra на свой компьютер, при наличии интернета, вы можете работать в этой математической программе, войдя на онлайн сервис со своего мобильного устройства.

Поскольку построение простейших геометрических фигур рассмотрено в предыдущей главе при описании инструментов, то в данной главе они рассматриваться не будут. Данная глава является практикумом по освоению среды GeoGebra (3DwithJOGL2) на примерах решения конкретных задач. Задачи подобраны таким образом, чтобы они в полной мере охватывали возможности геометрических построений с использованием среды GeoGebra (3DwithJOGL2).

Построение призмы

Задача:

Построить призму ABCDEA1B1C1D1E1.

Решение:

Выбираем функцию Призма и отмечаем 5 точек на координатной оси как показано на рисунке 15.

Рис 15

Нажимая по оси z на нужную нам высоту, получим призму ABCDEA1B1C1D1E1.(рис 16)

Рис 16

Построение пирамиды

Задача:

Построить пирамиду SABCDE.

Решение:

Выбираем функцию Пирамида и отмечаем 5 точек на координатной оси, как показано на рисунке 17.

Рис 17

Нажимая по оси z на нужную нам высоту и после переименования точки на оси zполучим пирамиду SABCDE.(рис 18)

Рис 18

Построение прямоугольного параллелепипеда

Задача:

Построить прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Решение:

При помощи строки ввода ставим 4 точки на плоскость XOY и одну точку на плоскость XYZ как показано на рисунке 19.

Рис 19

После выполнения вышеуказанных шагом выбираем опцию Призма соединяем точки A,B,C,D потом нажимаем на точку А и получаем прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.(рис 20)

Рис 20

Построение цилиндра

Задача:

Построить цилиндр с радиусом 2.

Решение:

Для построения цилиндра есть опция Цилиндр. Выбираем эту опцию и на оси z выбираем две точки, после чего выйдет окно с запросом на радиус как на рисунке 21.

Рис 21

Вводим значение радиуса и имеем цилиндр с данным радиусом.(рис 22)

Рис 22

Построение конуса

Задача:

Построить конус с радиусом 3.

Решение:

Для построения конуса есть опция Cone. Выбираем эту опцию и на оси

Z выбираем две точки после чего выйдет окно с запросом на радиус как на рисунке 23.

Рис 23

Вводим значение радиуса и имеем конус с данным радиусом. (рис 24)

Рис 24

Построение шара

Задача:

Построить шар с радиусом 3.

Решение:

Шар можно построить с помощью двух опций. Первая из них называется

Сфера по центру и точке. При этом нужно выбрать точку центра и другую точку, которая будет являться крайней точкой сферы. Вторая функция Сфера по центру и радиусу. В этом случае нужно выбрать точку центра и выскакивает окно с запросом ввести радиус как показано на рисунке 25.

Рис 25

После ввода значения радиуса строиться сфера (рис 26)

Рис 26

Построение сечения пирамиды

Задача:

На ребрах AB,BC и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M,N и P (рис 27).

Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Рис 27

Решение:

Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ABC. Точка M является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки NP и BC до их пересечения в точке E (рис.28), которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ME. Прямая ME пересекает ребро AC в некоторой точке Q. Четырехугольник MNPQ – искомое сечение.

Рис 28

Построение сечения прямоугольного параллелепипеда

Задача:

На ребрах параллелепипеда даны три точки A, B и C. Построить сечение параллелепипеда плоскостью ABC.

Решение:

Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки A, B и C. Рассмотрим некоторые частные случаи. Если точки A,B и Cлежат на ребрах, выходящих из одной вершины (рис. 29), нужно провести отрезкиAB, BC и CA, и получится искомое сечение – треугольник ABC. Если точки A, B и Cрасположены так, как показано на рисунке 30, то сначала нужно провести отрезкиAB и BC, а затем через точку A провести прямую, параллельную AB. Пересечения этих прямых с ребрами нижней грани дают точки E и D. Остается провести отрезокED, и искомое сечение – пятиугольник ABCDE – построено. Более трудный случай, когда данные точки A,B и C расположены так, как показано на рисунке 31. В этом случае можно поступить так, сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведем прямую AB и продолжим нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и прямая AB, до пересечения с этой прямой в точке M. Далее через точку M проведем прямую, параллельную прямой BC. Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с ребрами нижнего основания в точках E и F. Затем через точку E проведем прямую, параллельную прямой AB, и получим точку D. Наконец, проводим отрезки AF и CD, и искомое сечение – шестиугольник ABCDEF – построено.

Рис 29 Рис 30

Рис 31

Заключение

Программа GeoGebra предназначена для обучения математике. С помощью этой программы можно работать в динамической математической среде, включающей в себя геометрию, алгебру и другие разделы, с широкими функциональными возможностями.

Использование программы GeoGebra на уроках позволяет:

–оптимизировать учебный процесс, более рационально используя время на различных этапах урока;

–осуществлять дифференцированный подход в обучении; – проводить индивидуальную работу, используя персональные компьютеры;

–снизить эмоциональное напряжение на уроке, внося в него элемент игры;

–расширять кругозор учащихся;

–способствует развитию познавательной активности учащихся.

Прогнозируемые эффекты от применения данной технологии:

–возможно повышение уровня самооценки;

–развитие навыка самоконтроля;

–побуждение к открытию и изучению нового в сфере информационных технологий, желанию поделиться с товарищами своими знаниями.

Список используемых источников

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

2. http://www.uchportal.ru/programma-trenazhyor-po-matematike-obyknovennye-drobi

3. http://my-soft-blog.net/397-geogebra.html

4. http://www.uchportal.ru/programma-trenazhyor-po-matematike-obyknovennye-drobi

5. http://www.uchportal.ru/kompyuternaya-programma-po-matematike-deliteli-naturalnogo-chisla

6. hhttp://soft.mydiv.net/win/download-GeoGebra.htmlttp://s427.spb.ru/attachments/article/480/matem_spo.pdf

Построение и сечение объемных фигур в GeoGebra

ФГБОУ ВО «Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева»

физико-математический факультет

направление подготовки 050100.65 «Педагогическое образование»

профиль «Информатика. Математика»

Физико-математический факультет

Кафедра информатики и ВТ

РЕФЕРАТ

«Построение объемных фигур и сечений в Geogebra3D»

Выполнил: студент 5 курса

группы МДИ – 112 : Журавлев Е.

Проверила: Кормилицына Т.В.

Саранск

2016

GeoGebra 3D – это свободная образовательная математическая программа, соединяющая в себе геометрию, алгебру и математические исчисления. GeoGebra 3D – свободно-распространяемая (GPL) динамическая геометрическая среда, которая даёт возможность создавать «живые чертежи» в планиметрии,стереометрии, в частности, для построений с помощью циркуля и линейки. Кроме того, у программы богатые возможности работы с функциями (построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов и т.д.) за счёт команд встроенного языка (который, кстати, позволяет управлять и геометрическими построениями). Программа написана Маркусом Хохенвартером на языке Java (соответственно работает медленно,

но на большинстве операционных систем). Переведена на 39 языков.

Полностью поддерживает русский язык.

Программная среда GeoGebra3D может быть быстро освоена людьми, имеющими элементарные навыки работы на компьютере, что, несомненно, является большим преимуществом данного программного продукта. К еще одному аргументу в пользу GeoGebra3D можно отнести её простую4 интеграцию с офисными приложениями – все чертежи легко могут через буфер обмена быть перенесены для дальнейшего использования как в текстовые редакторы, поддерживающие работу с изображениями, так и в графические редакторы.

Актуальность работы продиктована отсутствием русскоязычного раздела справки; данная квалификационная работа может претендовать на роль справочника по многим функциональным возможностям GeoGebra3D на русском языке.

Интерфейс программы.

При запуске окно программы имеет вид, приведенный на рисунке 1.

Помимо привычной для большинства программ строки меню, в окне программы расположены Панель инструментов (1), Панель объектов (2), Область геометрических построений (3) и Строка ввода (4).Для открытия полотна 3D нужно перейти в строке меню вкладку вид (Рисунок 2).

Положение свободных объектов можно изменять произвольно, тогда, как положение зависимых объектов изменяется только в соответствии с

изменениями свободных.

Строка ввода состоит из двух частей: непосредственно сама Строка

ввода, а также Список команд – выпадающее меню, в котором можно

выбрать команду для ввода из списка. Отображение Списка команд можно

отключить в меню Вид.

Отображение Панели объектов, Строки ввода можно отключить в меню Вид. В этом же меню можно включить отображение другого элемента окна программы – Таблицы. Также в меню Вид можно включить отображение на Панели объектов еще одного типа объектов – вспомогательных.

При запуске GeoGebra в области геометрических построений прорисовываются координатные оси. Также при желании можно при помощи

команды Вид – Сетка задать прорисовывание координатной сетки. Для

более подробной настройки рабочей области можно выполнить команду

Настройки – Полотно.

Здесь на вкладках Оси и Сетка можно задать цвет объектов, способы

начертания. Для осей можно указать их обозначение, указание единиц

измерения и т.д.

На Панели инструментов расположены различные инструменты для

геометрических построений, разбитые на группы, о чем свидетельствует

маленький треугольник в правом нижнем углу каждой кнопки на панели.

При нажатии на него раскрывается выпадающее меню, из которого можно

выбрать нужный инструмент. При построении различных геометрических

объектов информация о них автоматически вносится в список на Панели

объектов, а сами объекты отображаются в Области геометрических построений.

Все объекты разделяются на свободные и зависимые. К свободным относятся все независимые объекты, то есть построенные произвольно в области построений. Зависимые объекты строятся, опираясь на уже имеющиеся свободные или зависимые объекты.

Для построения различных объектов используется Панель

инструментов, инструменты на которой разбиты на группы. Рассмотрим

последовательно имеющиеся в распоряжении пользователя инструменты.

При помощи инструмента Перемещать можно выбирать объекты

(группы объектов) и изменять их положение на координатной плоскости. Для

того чтобы выделить сразу несколько объектов, нужно не отпуская клавиши

Ctrl последовательно указать на них мышью.

Для построения точки нужно выбрать инструмент Точка (рис.6) и указать место на плоскости. Точка по умолчанию обозначается заглавной буквой латинского алфавита и на плоскости задается парой координат. При наведении курсора мыши на область построений он принимает вид крестика, около которого отображаются текущие координаты. Точка по умолчанию имеет синий цвет.

Для построения точки на каком либо объекте используется функция Точка на объекте. Выбирая этот элемент нужно помнить что точку можно поставить только на объекте, она не сможет покинуть границы объекты. Перемещать точку внутри объекта возможно. Такая точка окрашивается в синий цвет. Для построения точек, являющихся пересечением двух объектов, можно использовать инструмент Пересечение двух объектов. Выбрав этот инструмент, нужно указать два объекта, точки пересечения которых нужно построить. Такие точки будут окрашены в серый цвет и будут являться зависимыми объектами. Для построения середины отрезка нужно выбрать инструмент Середина или центр и указать либо две точки – концы отрезка, либо отрезок, середину которого требуется построить. При помощи того же инструмента можно построить центр геометрической фигуры, например эллипса. Для того чтобы прикрепить или снять прикрепленную точку имеется функция Прикрепить / Снять точку. Функция Комплексное число позволяет вставлять точку на выбранную плоскость. Точка окрашивается в синий цвет. Инструменты Прямая по двум точкам, Отрезок по двум точкам, Луч по двум точкам, Вектор по двум точкам строят прямую, отрезок, луч и вектор соответственно по указанию на две точки, через которые проходит нужная линия. Можно выбирать точки, которые уже имеются на чертеже, либо указывать мышью, где будут располагаться эти точки.

Для построения прямой, перпендикулярной данной, нужно выбрать

инструмент Перпендикулярная прямая , указать прямую на плоскости, перпендикулярная к которой будет построена, а также точку, через которую будет проходить новая прямая. Аналогичным образом строится прямая, параллельная данной, при помощи инструмента Параллельная прямая.

Для построения произвольного многоугольника используется инструмент Многоугольник. Для построения фигуры с его помощью необходимо последовательно указать все вершины многоугольника, а затем указать на вершину, с которой начиналось построение.

Построение объемных фигур

1. Построение призмы.

Задача. Построить призму ABCDEA1B1C1D1E1.

Решение: Выбираем функцию Призма и отмечаем 5 точек на координатной оси

Нажимая по оси z на нужную нам высоту, получим призму ABCDEA1B1C1D1E1.

2. Построение пирамиды

Задача. Построить пирамиду SABCDE.

Решение:

Выбираем функцию Пирамида и отмечаем 5 точек на координатной оси.

Нажимая по оси z на нужную нам высоту и после переименования точки на

3. Построение прямоугольного параллелепипеда

Задача. Построить прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Решение:

При помощи строки ввода ставим 4 точки на плоскость XOY и одну точку на

плоскость XYZ .

После выполнения выше указанных шагом выбираем опцию Призма

соединяем точки A,B,C,D потом нажимаем на точку А и получаем

прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

4. Построение цилиндра

Задача. Построить цилиндр с радиусом 2.

Решение:

Для построения цилиндра есть опция Цилиндр. Выбираем эту опцию и на

оси z выбираем две точки после чего выйдет окно с запросом на радиус.

Вводим значение радиуса и имеем цилиндр с данным радиусом.

5. Построение конуса

Задача. Построить конус с радиусом 3.

Решение:

Для построения конуса есть опция Cone. Выбираем эту опцию и на оси

Z выбираем две точки после чего выйдет окно с запросом на радиус.

Вводим значение радиуса и имеем конус с данным радиусом.

6. Построение шара

Задача. Построить шар с радиусом 3.

Решение:

Шар можно построить с помощью двух опций. Первая из них называется

Сфера по центру и точке. При этом нужно выбрать точку центра и другую

точка которой будет являться крайней точкой сфера. Вторая функция Сфера

по центру и радиусу. В этом случае нужно выбрать точку центра и

выскакивает окно с запросом ввести радиус.

После ввода значения радиуса строиться сфера.

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ

1. Построение сечения пирамиды

Задача 1

На ребрах AB,BC и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M,N и P Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ABC. Точка M является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки NP и BC до их пересечения в точке E (рис.2), которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ME. Прямая ME пересекает ребро AC в некоторой точке Q. Четырехугольник MN PQ – искомое сечение.

Точка M лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно основанию ABC.

Так как секущая плоскость параллельна плоскости ABC , то она параллельна прямым, AB, BC и CA. Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника ABC. Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения. Проведём через точку M прямую, параллельную отрезку AB, и обозначим буквами P и Q точки пересечения этой прямой с боковыми ребрами DA и DB Затем через точку P проведем прямую, параллельную отрезку AC , и обозначим буквой R точку пересечения этой прямой с ребром DC. Треугольник PQR – искомое сечение.

Построение сечения прямоугольного параллелепипеда

Задача

На ребрах параллелепипеда даны три точки A, B и C. Построить

сечение параллелепипеда плоскостью ABC.

Решение

Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки A, B и C. Рассмотрим некоторые частные случаи. Если точки A,B и C лежат на ребрах, выходящих из одной вершины нужно провести отрезки AB, BC и CA, и получится искомое сечение – треугольник ABC. Если точки A, B и C , то сначала нужно провести отрезки AB и BC, а затем через точку A провести прямую, параллельную AB. Пересечения этих прямых с ребрами нижней грани дают точки E и D. Остается провести отрезок ED, и искомое сечение – пятиугольник ABCDE – построено. Более трудный случай, когда данные точки A,B В этом случае можно поступить так, сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведем прямую AB и продолжим нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и прямая AB, до пересечения с этой прямой в точке M. Далее через точку M проведем прямую, параллельную прямой BC. Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с ребрами нижнего основания в точках E и F. Затем через точку E проведем прямую, параллельную прямой AB.

Список использованных источников

1. Иванчук Н.В., Эйкен О.В., Мартынова Е.В., Самылова Ю.В., Данько О.Е. Использование компьютерной программы GeoGebra на уроках математики в 7-11 классах: Методическое пособие. – Мурманск: МГПУ, 2008. – 36 с.

2. Геометрия 10-11 кл. учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни. 19-е издание. Москва “просвещение” 2010. под руководством А Н Тихонова. Авторы – Л С Атанасян, В Ф Бутузов и др.

3. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. Для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. – 9-е изд. – М.:Просвещение, 1999

4. http://www.geogebra.org/cms/

5. http://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

6. http://www.slideshare.net/marinmets/geogebra-1962501

7. http://matematika88888.blogspot.com/2009/07/geogebra.html

8.http://shperk.ru/friends/2009/09/rukovodstvo-dlya-nachinayushhix izuchatprogrammu-geogebra/

9. http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=16&t=670

10.http://marinmets.blogspot.com/2010/02/geogebra.html

17

«Построение объемных фигур и сечений в GeoGebra 3D»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Физико-математический факультет

Кафедра информатики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

на тему:

«Построение объемных фигур и сечений в GeoGebra 3D»

Выполнила:

студентка 5 курса группы МДМ-213

Сурдина А. А.

Проверила:

кандидат физико-математических наук, доцент

Кормилицына Т. В.

Саранск 2018

Введение

GeoGebra – это бесплатная, кроссплатформенная динамическая математическая программа для всех уровней образования, включающая в себя геометрию, алгебру, таблицы, графы, статистику и арифметику, в одном удобном для использования пакете.

Кроме того, у программы богатые возможности работы с функциями (построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов и т.д.) за счёт команд встроенного языка (который, кстати, позволяет управлять и геометрическими построениями).

В отличии от других программ для динамического манипулирования геометрическими обьектами, идея GeoGebra заключается в интерактивном сочетании геометрического, алгебраического и числового представления. Вы можете создавать конструкции с точками, векторами, линиями, коническими сечениями, а также математическими функциями, а затем динамически изменять их.

Кроме того, GeoGebra позволяет напрямую вводить уравнения и манипулировать координатами. Таким образом, можно легко составлять графики функций, работать со слайдерами для подбора необходимых параметров, искать символические производные, и использовать мощные команды вроде корня и последовательности.

Интерфейс программы GeoGebra (ГеоГебра) напоминает классную доску, на которой можно рисовать графики, создавать геометрические фигуры и т.п. В окне программы будет наглядно отображены производимые изменения: если вы измените уравнение, кривая перестроится, изменится масштаб или ее положение в пространстве, уравнение, написанное рядом с кривой, автоматически будет скорректировано, согласно новым значениям.

Программу GeoGebra широко используют в мире миллионы пользователей для обучения алгебре и геометрии. Процесс обучения нагляден благодаря визуальной форме использования приложения.

Возможности программы по математике не ограничиваются только построением графиков, программу GeoGebra можно будет использовать для интерактивных чертежей при решении геометрических задач. Программа ГеоГебра обладает мощными и функциональными возможностями, которые позволяет наглядно и просто обучаться математике.

Приложение включает в себя геометрию, алгебру, есть возможность совершать арифметические операции, создавать таблицы, графики, возможна работа со статистикой, работа с функциями, поддерживается создание анимации и т.д. В программе GeoGebra можно будет создавать различные 2D и 3D фигуры, интерактивные ролики, которые затем можно будет размещать в интернете.

Все приложения, входящие в состав программы GeoGebra, доступны и синхронизируются между собой для работы в составе одного пакета.

GeoGebra была создана Маркусом Хохенвартером. Программа написана на языке Java, приложение поддерживает работу в различных операционных системах: Windows, Mac OS X, Linux, Android.

С сайта производителя можно будет скачать обычную версию программы GeoGebra для установки на компьютер. Также можно будет скачать переносную версию программы (GeoGebra Portable) для соответствующей операционной системы.

После запуска GeoGebra на компьютере, ознакомимся с интерфейсом программы.

1. Интерфейс GeoGebra

При запуске окно программы имеет вид, приведенный на рисунке 1.

Интерфейс программы GeoGebra напоминает графический редактор. Программу можно использовать для черчения, но это не основное предназначение приложения.
Основные элементы интерфейса программы GeoGebra:

1. Полоса меню. Из меню можно изменить настройки программы.

2. Панель инструментов. Здесь находятся инструменты для создания объектов. После щелчка по треугольнику в правом нижнем углу кнопки, будут открыты дополнительные инструменты. Операции, доступные в панели инструментов, можно производить с помощью строки ввода.

3. Панель объектов. В Панели объектов отображаются введенные переменные и функции. Вместо имен переменных здесь отображаются их значения. Для того, чтобы увидеть формулу в символьном виде, нужно будет кликнуть по ней правой кнопкой мыши.

4. Кнопки «Отменить» и «Повторить».

5. Строка ввода. Это основной инструмент при работе в программе GeoGebra. Здесь вводятся команды и формулы, задаются значения переменных. Справа от строки ввода расположена кнопка «Список команд». С помощью дополнительных команд можно будет вводить команды и отсутствующие на клавиатуре символы.

6. Рабочая область. Все построения в программе производятся в рабочей области. Вы можете изменить масштаб с помощью колесика мыши, перемещать по рабочей области ось координат.

Рис 1 – Интерфейс программы GeoGebra

2. Использование инструментов для построений в Geogebra 3D

Для открытия полотна 3D нужно перейти в строке меню вкладку вид (Рисунок 2)

Легким нажатием мыши на вкладку Полотно 3D GeoGebra превращается в 3D конструктор (Рисунок 3а и 3б)

Самыми важными фигурами в геометрии являются пирамида и призма, поэтому данная подгруппа функций именно для этих фигур. Функции Пирамида и Призма позволяют строить данные фигуры через любые точки и в любой плоскости оси координат ( Рисунок 4).

Рис 4 – Функции Пирамиды и Призмы

С помощью функций Выдавить пирамиду или конус и Выдавить призму или цилиндр возможности построения увеличиваются в двойне. Последняя подгруппа функций которую хочу представить это функции Сфера по точке и центру, Сфера по центру и радиусу, Cone и Cylinder (Рисунок 5 ). Как видно по названиям эта подгруппа специализируется по строению сферических фигур.

Рис 5 – Функции Сферы

3. Построение объемных фигур

1. Построение призмы.

Задача. Построить призму ABCD..G.

Решение: 1) Нужно выбирать функцию Призма и отметить 4 точки на координатной оси как показано на рисунке.

2) Нажимая по оси z на нужную высоту получится призма ABCD..G.

2. Построение пирамиды

Задача. Построить пирамиду SABCDE.

Решение: 1) Нужно выбрать функцию Пирамида и отметить 4 точки на координатной оси как показано на рисунке.

2) Нажать по оси z на нужную высоту и после переименования точки на осиz получим пирамиду SABCDE

3. Построение прямоугольного параллелепипеда

Задача. Построить прямоугольный параллелепипед ABCD..G.

Решение: При помощи строки ввода ставим 4 точки на плоскость XOYи одну точку на плоскость XYZ как показано на рисунке.

2) После выполнения вышеуказанных действий выбираем опцию Призма соединяем точки A,B,C,D потом нажимаем на точку и получаем прямоугольный параллелепипед ABCD..F

4. Построение цилиндра

Задача. Построить цилиндр с радиусом 3.

Решение: Для построения цилиндра есть опция Цилиндр. Выбираем эту опцию и на оси z выбираем две точки после чего выйдет окно с запросом на радиус как на рисунке 14.

Рис 14 – Окно с запросом на радиус

Вводим значение радиуса и имеем цилиндр с данным радиусом

5. Построение конуса

Задача. Построить конус с радиусом 3.

Решение: Для построения конуса есть опция Cone. Выбираем эту опцию и на оси z выбираем две точки после чего выйдет окно с запросом на радиус как на рисунке 16.

Рис 16 – Окно с запросом на радиус

Вводим значение радиуса и имеем конус с данным радиусом.

4. Построение плоских сечений

1. Построение сечения пирамиды

Задача 1. На ребрах AB, BC и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M, N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Решение: Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ABC. Точка M является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки NP и BC до их пересечения в точке E, которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ME.

Прямая ME пересекает ребро AC в некоторой точке Q. Четырехугольник MNPQ – искомое сечение.

Задача 2. Точка M лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC (рис.3). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно основанию ABC.

Решение: Так как секущая плоскость параллельна плоскости ABC, то она параллельна прямым AB, BC и CA. Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника ABC. Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения. Проведём через точку M прямую, параллельную отрезку AB, и обозначим буквами P и Q точки пересечения этой прямой с боковыми ребрами DA и DB. Затем через точку P проведем прямую, параллельную отрезку AC, и обозначим буквой R точку пересечения этой прямой с ребром DC. Треугольник PQR–искомое сечение.

1. Построение сечения прямоугольного параллелепипеда

Задача 1. На ребрах параллелепипеда даны три точки A, B и C. Построить сечение параллелепипеда плоскостью ABC.

Решение: Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки A, B и C. Рассмотрим некоторые частные случаи. Если точки A, B и C лежат на ребрах, выходящих из одной вершины, нужно провести отрезки AB, BC и CA, и получится искомое сечение–треугольник ABC. Если точки A, B и C расположены так, как показано на рисунке 6, то сначала нужно провести отрезки AB и BC, а затем через точку A провести прямую, параллельную AB. Пересечения этих прямых с ребрами нижней грани дают точки E и D. Остается провести отрезок ED, и искомое сечение–пятиугольник ABCDE–построено. Более трудный случай, когда данные точки A, B и C расположены так, как показано на рисунке 22. В этом случае можно поступить так, сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведем прямую AB и продолжим нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и прямая AB, до пересечения с этой прямой в точке M. Далее через точку M проведем прямую, параллельную прямой BC. Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с ребрами нижнего основания в точках E и F. Затем через точку E проведем прямую, параллельную прямой AB, и получим точку D. Наконец, проводим отрезки AF и CD, и искомое сечение –шестиугольник ABCDEF– построено.

Заключение

Программа GeoGebra предназначена для обучения математике. С помощью этой программы можно работать в динамической математической среде, включающей в себя геометрию, алгебру и другие разделы, с широкими функциональными возможностями.

Использование программы GeoGebra на уроках позволяет:

– оптимизировать учебный процесс, более рационально используя время на различных этапах урока;

– осуществлять дифференцированный подход в обучении; – проводить индивидуальную работу, используя персональные компьютеры;

– снизить эмоциональное напряжение на уроке, внося в него элемент игры;

– расширять кругозор учащихся;

– способствует развитию познавательной активности учащихся.

Прогнозируемые эффекты от применения данной технологии:

– возможно повышение уровня самооценки;

– развитие навыка самоконтроля;

– побуждение к открытию и изучению нового в сфере информационных технологий, желанию поделиться с товарищами своими знаниями.

Список используемых источников

1. Иванчук, Н.В. Использование компьютерной программы GeoGebra на уроках математики в 7-11 классах: Методическое пособие / Н. В. Иванчук, О. В. Эйкен. – Мурманск: МГПУ, 2013.– 36 с.

2. Погорелов, А.В. Геометрия: Учеб. Для 7–11 кл. общеобразоват. учреждений.–9-е изд.–М.:Просвещение, 2014.

3. GeoGebra [Электронный ресурс]. — Режим доступа: https://ru.wikipedia. org/wiki/GeoGebra

4. Внеклассные мероприятия по информатике [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://www.uchportal.ru/programma-trenazhyor-po-matematike-obyknovennye-drobi

5. Живая геометрия [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://my-soft-blog.net/397-geogebra.html

6. Использование GeoGebra на уроках математики [Электронный ресурс]. — Режим доступа: hhttp://soft.mydiv.net/win/download-GeoGebra.htmlttp://s427.spb.ru/attachments/article/480/matem_spo.pdf

Как определить площадь сечения цилиндра, конуса, призмы и пирамиды? Формулы — OneKu

На практике часто возникают задачи, которые требуют умения строить сечения геометрических фигур различной формы и находить площади сечений. В данной статье рассмотрим, как строятся важные сечения призмы, пирамиды, конуса и цилиндра, и как рассчитывать их площади.

Объемные фигуры

Из стереометрии известно, что объемная фигура совершенно любого типа ограничена рядом поверхностей. Например, для таких многогранников, как призма и пирамида, этими поверхностями являются многоугольные стороны. Для цилиндра и конуса речь идет уже о поверхностях вращения цилиндрической и конической фигур.

Вам будет интересно:Что значит слыть: толкование, синонимы

Если взять плоскость и пересечь ею произвольным образом поверхность объемной фигуры, то мы получим сечение. Площадь его равна площади части плоскости, которая будет находиться внутри объема фигуры. Минимальное значение этой площади равно нулю, что реализуется, когда плоскость касается фигуры. Например, сечение, которое образовано единственной точкой, получается, если плоскость проходит через вершину пирамиды или конуса. Максимальное значение площади сечения зависит от взаимного расположения фигуры и плоскости, а также от формы и размеров фигуры.

Ниже рассмотрим, как рассчитывать площади образованных сечений для двух фигур вращения (цилиндр и конус) и двух полиэдров (пирамида и призма).

Цилиндр

Круговой цилиндр является фигурой вращения прямоугольника вокруг любой из его сторон. Цилиндр характеризуется двумя линейными параметрами: радиусом основания r и высотой h. Ниже схематически показано, как выглядит круговой прямой цилиндр.

Для этой фигуры существует три важных типа сечения:

• круглое;
• прямоугольное;
• эллиптическое.

Эллиптическое образуется в результате пересечения плоскостью боковой поверхности фигуры под некоторым углом к ее основанию. Круглое является результатом пересечения секущей плоскости боковой поверхности параллельно основанию цилиндра. Наконец, прямоугольное получается, если секущая плоскость будет параллельна оси цилиндра.

Площадь круглого сечения рассчитывается по формуле:

S1 = pi*r2

Площадь осевого сечения, то есть прямоугольного, которое проходит через ось цилиндра, определяется так:

S2 = 2*r*h

Сечения конуса

Конусом является фигура вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Конус имеет одну вершину и круглое основание. Его параметрами также являются радиус r и высота h. Пример конуса, сделанного из бумаги, показан ниже.

Видов конических сечений существует несколько. Перечислим их:

• круглое;
• эллиптическое;
• параболическое;
• гиперболическое;
• треугольное.

Они сменяют друг друга, если увеличивать угол наклона секущей плоскости относительно круглого основания. Проще всего записать формулы площади сечения круглого и треугольного.

Круглое сечение образуется в результате пересечения конической поверхности плоскостью, которая параллельна основанию. Для его площади справедлива следующая формула:

S1 = pi*r2*z2/h3

Здесь z – это расстояние от вершины фигуры до образованного сечения. Видно, что если z = 0, то плоскость проходит только через вершину, поэтому площадь S1 будет равна нулю. Поскольку z

Треугольное получается, когда плоскость пересекает фигуру по ее оси вращения. Формой получившегося сечения будет равнобедренный треугольник, сторонами которого являются диаметр основания и две образующие конуса. Как находить площадь сечения треугольного? Ответом на этот вопрос будет следующая формула:

S2 = r*h

Это равенство получается, если применить формулу для площади произвольного треугольника через длину его основания и высоту.

Сечения призмы

Призма – это большой класс фигур, которые характеризуются наличием двух одинаковых параллельных друг другу многоугольных оснований, соединенных параллелограммами. Любое сечение призмы – это многоугольник. В виду разнообразия рассматриваемых фигур (наклонные, прямые, n-угольные, правильные, вогнутые призмы) велико и разнообразие их сечений. Далее рассмотрим лишь некоторые частные случаи.

Если секущая плоскость параллельна основанию, то площадь сечения призмы будет равна площади этого основания.

Если плоскость проходит через геометрические центры двух оснований, то есть является параллельной боковым ребрам фигуры, тогда в сечении образуется параллелограмм. В случае прямых и правильных призм рассматриваемый вид сечения будет представлять собой прямоугольник.

Пирамида

Пирамида – это еще один многогранник, который состоит из n-угольника и n треугольников. Пример треугольной пирамиды показан ниже.

Если сечение проводится параллельной n-угольному основанию плоскостью, то его форма будет в точности равна форме основания. Площадь такого сечения вычисляется по формуле:

S1 = So*(h-z)2/h3

Где z – расстояние от основания до плоскости сечения, So – площадь основания.

Если секущая плоскость содержит вершину пирамиды и пересекает ее основание, то мы получим треугольное сечение. Для вычисления его площади необходимо обратиться к использованию соответствующей формулы для треугольника.

Источник

Расчетный объем | SkillsYouNeed

На этой странице объясняется, как рассчитать объем твердых объектов, то есть насколько вы можете поместиться в объекте, если, например, вы заполните его жидкостью.

Площадь – это мера того, сколько места находится внутри двухмерного объекта (подробнее см. Нашу страницу: Расчет площади).

Объем – это мера пространства внутри трехмерного объекта. Наша страница, посвященная трехмерным формам, объясняет основы таких форм.

В реальном мире вычисление объема, вероятно, не то, что вы будете использовать так часто, как вычисление площади.

Однако это все еще может быть важным. Возможность рассчитать объем позволит вам, например, определить, сколько у вас есть места для упаковки при переезде, сколько офисного пространства вам нужно или сколько варенья вы можете уместить в банку.

Это также может быть полезно для понимания того, что имеют в виду средства массовой информации, когда говорят о пропускной способности плотины или течении реки.

Примечание к агрегатам

Площадь выражается в квадратных единицах ( ² ), потому что она измеряется в двух измерениях (например, длина × ширина).

Объем выражается в кубических единицах ( ³ ), потому что он измеряется в трех измерениях (например, длина × ширина × глубина). Кубические единицы включают см3, м3 и кубические футы. Кубические единицы включают см ³ , м ³ и кубические футы.

ВНИМАНИЕ!

Объем также можно выразить как вместимость по жидкости.

Метрическая система

В метрической системе объем жидкости измеряется в литрах, что напрямую сопоставимо с кубическим размером, поскольку 1 мл = 1 см. ³ . 1 литр = 1000 мл = 1000 см ³ .

Британская / английская система

В британской системе мер эквивалентных единиц измерения являются жидкие унции, пинты, кварты и галлоны, которые нелегко перевести в кубические футы. Поэтому лучше всего придерживаться жидких или твердых единиц объема.

Для получения дополнительной информации см. Нашу страницу «Системы измерения».

Основные формулы для расчета объема

Объем прямоугольных тел

В то время как основная формула для площади прямоугольной формы – длина × ширина, основная формула для объема – длина × ширина × высота.

То, как вы относитесь к различным размерам, не меняет расчет: например, вы можете использовать «глубину» вместо «высоты».Важно то, что три измерения умножаются. Вы можете умножать в любом порядке, поскольку это не изменит ответ (подробнее см. Нашу страницу о умножении ).

Коробка размером 15 см в ширину, 25 см в длину и 5 см в высоту имеет объем:
15 × 25 × 5 = 1875 см ³

Объем призм и цилиндров

Эта базовая формула может быть расширена для охвата цилиндров и призм .Вместо прямоугольного конца у вас просто другая форма: круг для цилиндров, треугольник, шестиугольник или любой другой многоугольник для призмы.

Фактически, для цилиндров и призм объем – это площадь одной стороны, умноженная на глубину или высоту формы.

Таким образом, основная формула для определения объема призм и цилиндров:

Площадь формы торца × высота / глубина призмы / цилиндра.

Остерегайтесь несовместимых единиц!

Прямой отрезок круглой трубы имеет внутренний диаметр 2 см и длину 1.7м. Рассчитайте объем воды в трубе.

В этом примере вам нужно рассчитать объем очень длинного и тонкого цилиндра, который образует внутреннюю часть трубы. Площадь одного конца можно рассчитать по формуле для площади круга πr ² . Диаметр 2 см, поэтому радиус 1 см. Таким образом, площадь равна π × 1 ² , что составляет 3,14 см ² .

Длина трубы 1,7 м, поэтому нужно умножить площадь конца на длину, чтобы найти объем.

Остерегайтесь несовместимых единиц! Площадь в сантиметрах, а длина в метрах. Сначала переведите длину в см 1,7 × 1000 = 1700 см.

Таким образом, объем равен 3,14 × 1700 = 5338 см ³ . Это эквивалентно 5,338 литрам или 0,0053 м ³ .

Объем конусов и пирамид

Тот же принцип, что и выше (ширина × длина × высота), применяется для расчета объема конуса или пирамиды, за исключением того, что, поскольку они достигают точки, объем – это только пропорция от общего количества, которое было бы, если бы они продолжались. такой же формы (сечения) насквозь.

Объем конуса или пирамиды составляет ровно одну треть от объема коробки или цилиндра с таким же основанием.

Таким образом, формула:

Площадь основания или торца × высота конуса / пирамиды × ¹ / ₃

Вернитесь на нашу страницу Расчет площади , если вы не можете вспомнить, как рассчитать площадь круга или треугольника.

Например, чтобы вычислить объем конуса с радиусом 5 см и высотой 10 см:

Площадь внутри круга = πr ² (где π (пи) приблизительно равно 3.14 и r – радиус окружности).

В этом примере площадь основания (круга) = πr ² = 3,14 × 5 × 5 = 78,5 см ² .

78,5 × 10 = 785

785 × 1/3 = 261,6667 см ³

Объем сферы

Как и в случае с кругом, вам нужно π (пи) для вычисления объема сферы.

Формула: 4/3 × π × радиус ³ .

Вам может быть интересно, как определить радиус шара.Если не протыкать через него спицу (эффективный, но конечный для мяча!), Есть способ попроще.

Вы можете измерить расстояние вокруг самой широкой точки сферы напрямую, например, с помощью рулетки. Этот круг является окружностью и имеет тот же радиус, что и сама сфера.

Длина окружности вычисляется как радиус 2 x π x.

Чтобы вычислить радиус по окружности, вы:

Разделите окружность на (2 x π) .

Рабочие примеры: расчет объема

Пример 1

Вычислите объем цилиндра длиной 20 см и радиусом круглого конца 2,5 см.

Сначала определите площадь одного из круглых концов цилиндра.

Площадь круга равна πr ² (π × радиус × радиус). π (пи) приблизительно равно 3,14.

Таким образом, площадь конца равна:

3.14 x 2,5 x 2,5 = 19,63 см ²

Объем – это площадь конца, умноженная на длину, и поэтому составляет:

19,63 см ² x 20 см = 392,70 см ³

Пример 2

Что больше по объему: сфера радиусом 2 см или пирамида с основанием в квадрате 2,5 см и высотой 10 см?

Сначала определим объем сферы .

Объем сферы 4/3 × π × радиус ³ .

Таким образом, объем сферы составляет:

4 ÷ 3 x 3,14 × 2 × 2 × 2 = 33,51 см ³

Затем вычислите объем пирамиды .

Объем пирамиды 1/3 × площадь основания × высота.

Площадь основания = длина × ширина = 2,5 см × 2,5 см = 6,25 см ²

Объем, следовательно, равен 1/3 x 6,25 × 10 = 20.83см ³

Таким образом, сфера больше по объему, чем пирамида.

Расчет объема твердых тел неправильной формы

Точно так же, как вы можете вычислить площадь неправильных двумерных форм, разбив их на правильные, вы можете сделать то же самое для вычисления объема неправильных твердых тел. Просто разделите твердое тело на более мелкие части, пока не получите только многогранники, с которыми вы сможете легко работать.

Рабочий пример

Вычислите объем водяного цилиндра общей высотой 1 м и диаметром 40 см с полусферической верхней частью (половина сферы).

Сначала вы делите фигуру на две части: цилиндр и полусферу.

Объем сферы 4/3 × π × радиус ³ . В этом примере радиус составляет 20 см (половина диаметра). Поскольку верхняя часть имеет полусферическую форму, ее объем будет вдвое меньше полной сферы. Таким образом, объем данного участка формы:

0,5 × 4/3 × π × 203 = 16,755,16 см ³

Объем цилиндра равен площади основания × высоте.Здесь высота цилиндра – это общая высота за вычетом радиуса сферы, которая составляет 1 м – 20 см = 80 см. Площадь базы ² грн.

Таким образом, объем цилиндрического сечения данной формы равен:

80 × π × 20 × 20 = 100 530,96 см ³

Таким образом, общий объем этого резервуара для воды составляет:
100 530,96 + 16 755,16 = 117 286,12 см ³ .

Это довольно большое число, поэтому вы можете преобразовать его в 117.19 литров путем деления на 1000 (поскольку в литре 1000 см ³ ). Однако вполне правильно выразить его как cm ³ , поскольку задача не требует, чтобы ответ был выражен в какой-либо конкретной форме.

Дополнительная литература по навыкам, которые вам нужны

Понимание геометрии
Часть необходимых навыков Руководство по счету

Эта электронная книга охватывает основы геометрии и рассматривает свойства форм, линий и твердых тел.Эти концепции выстроены в книге с отработанными примерами и возможностями, позволяющими вам практиковать свои новые навыки.

Если вы хотите освежить в памяти основы или помочь своим детям в обучении, эта книга для вас.

В заключение…

Используя эти принципы, если необходимо, теперь вы сможете рассчитать объем практически всего в своей жизни, будь то упаковочный ящик, комната или водяной баллон.

Объем твердого тела с известным поперечным сечением

В этом разделе мы узнаем, как найти объем твердого объекта, имеющего известные поперечные сечения. 2}}} \] и плоскость \ (z = 1.2} \] и ось \ (x – \). Найдите объем твердого тела, если поперечные сечения представляют собой равносторонние треугольники, перпендикулярные оси \ (x – \).

Пример 4

Найдите объем правильной квадратной пирамиды со стороной основания \ (a \) и высотой \ (H. \)

Пример 1.

Твердое тело имеет основание, лежащее в первом квадранте плоскости \ (xy – \) и ограниченное прямыми \ (y = x, \) \ (x = 1, \) \ (y = 0. \) Каждое плоское сечение, перпендикулярное оси \ (x – \), представляет собой полукруг.1 = \ frac {{\ sqrt 3}} {4} \ left [{\ left ({1 – \ frac {2} {3} + \ frac {1} {5}} \ right) – \ left ({ – 1 + \ frac {2} {3} – \ frac {1} {5}} \ right)} \ right] = \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \ left ({1 – \ frac { 2} {3} + \ frac {1} {5}} \ right) = \ frac {{4 \ sqrt 3}} {{15}}. \]

Пример 4.

Найдите объем правильной квадратной пирамиды со стороной основания \ (a \) и высотой \ (H. \)

Решение. 2}}}.2} H}} {3}. \]

См. Другие проблемы на странице 2.

математических формул для основных фигур и трехмерных фигур

В математике (особенно в геометрии) и естественных науках вам часто нужно вычислять площадь поверхности, объем или периметр различных форм. Будь то сфера или круг, прямоугольник или куб, пирамида или треугольник, каждая форма имеет определенные формулы, которым вы должны следовать, чтобы получить правильные измерения.

Мы собираемся изучить формулы, которые понадобятся вам для определения площади поверхности и объема трехмерных фигур, а также площади и периметра двухмерных фигур.Вы можете изучить этот урок, чтобы изучить каждую формулу, а затем сохранить ее для быстрого ознакомления в следующий раз, когда она вам понадобится. Хорошая новость заключается в том, что в каждой формуле используются одни и те же базовые измерения, поэтому изучение каждого нового становится немного проще.

Площадь поверхности и объем сферы

Трехмерный круг известен как сфера. Чтобы вычислить площадь поверхности или объем сферы, вам необходимо знать радиус ( r ). Радиус – это расстояние от центра сферы до края, и оно всегда одинаково, независимо от того, от каких точек на краю сферы вы измеряете.

Когда у вас есть радиус, формулы довольно просто запомнить. Как и в случае с окружностью круга, вам нужно будет использовать число пи ( π ). Как правило, это бесконечное число можно округлить до 3,14 или 3,14159 (принятая дробь – 22/7).

• Площадь поверхности = 4πr ²
• Объем = 4/3 πr ³

Площадь поверхности и объем конуса

Конус – это пирамида с круглым основанием, имеющая наклонные стороны, которые сходятся в центральной точке.Чтобы рассчитать его площадь поверхности или объем, необходимо знать радиус основания и длину стороны.

Если вы этого не знаете, вы можете найти длину стороны ( s ), используя радиус ( r ) и высоту конуса ( h ).

После этого вы можете найти общую площадь поверхности, которая является суммой площади основания и площади стороны.

• Площадь основания: πr ²
• Площадь стороны: πrs
• Общая площадь поверхности = πr ² + πrs

Чтобы найти объем сферы, вам нужны только радиус и высота.

Площадь и объем цилиндра

Вы обнаружите, что с цилиндром намного легче работать, чем с конусом. Эта форма имеет круглое основание и прямые параллельные стороны. Это означает, что для определения его площади поверхности или объема вам понадобятся только радиус ( r ) и высота ( h ).

Тем не менее, вы также должны учитывать то, что есть как верх, так и низ, поэтому радиус необходимо умножить на два для площади поверхности.

• Площадь поверхности = 2πr ² + 2πrh
• Объем = πr ² h

Площадь и объем прямоугольной призмы

Прямоугольник в трех измерениях становится прямоугольной призмой (или коробкой). Когда все стороны равны, он становится кубом. В любом случае для определения площади поверхности и объема требуются одни и те же формулы.

Для них вам нужно знать длину ( l ), высоту ( h ) и ширину ( w ).С кубом все три будут одинаковыми.

• Площадь поверхности = 2 (слева) + 2 (lw) + 2 (белый)
• Объем = lhw

Площадь и объем пирамиды

С пирамидой с квадратным основанием и гранями из равносторонних треугольников работать сравнительно легко.

Вам нужно будет знать размер одной длины основания ( b ). Высота ( х ) – это расстояние от основания до центральной точки пирамиды.Сторона ( s ) – это длина одной грани пирамиды от основания до верхней точки.

• Площадь поверхности = 2bs + b ²
• Объем = 1/3 b ² h

Другой способ вычислить это – использовать периметр ( P ) и площадь ( A ) базовой формы. Это можно использовать для пирамиды с прямоугольным, а не квадратным основанием.

• Площадь поверхности = (½ x P x s) + A
• Объем = 1/3 Ач

Площадь поверхности и объем призмы

При переходе от пирамиды к равнобедренной треугольной призме необходимо также учитывать длину формы ( l ). Запомните сокращения для основания ( b ), высоты ( h ) и стороны ( s ), потому что они необходимы для этих вычислений.

• Площадь поверхности = bh + 2ls + lb
• Объем = 1/2 (bh) л

Тем не менее, призма может быть любой формы. Если вам нужно определить площадь или объем нечетной призмы, вы можете полагаться на площадь ( A ) и периметр ( P ) базовой формы.Часто в этой формуле будет использоваться высота призмы или глубина ( d ), а не длина ( l ), хотя вы можете видеть любое сокращение.

• Площадь поверхности = 2A + Pd
• Объем = Ad

Площадь сектора круга

Площадь сектора круга может быть вычислена в градусах (или радианах, как это чаще всего используется в расчетах). Для этого вам понадобятся радиус ( r ), пи ( π ) и центральный угол ( θ ).

• Площадь = θ / 2 r ² (в радианах)
• Площадь = θ / 360 πr ² (в градусах)

Площадь эллипса

Эллипс также называют овалом и по сути представляет собой удлиненный круг. Расстояния от центральной точки до стороны непостоянны, что делает формулу для определения ее площади немного сложной.

Чтобы использовать эту формулу, вы должны знать:

• Semiminor Axis ( a ): кратчайшее расстояние между центральной точкой и краем.
• Большая полуось ( b ): наибольшее расстояние между центральной точкой и краем.

Сумма этих двух точек остается постоянной. Вот почему мы можем использовать следующую формулу для вычисления площади любого эллипса.

Иногда вы можете увидеть эту формулу, записанную с r ₁ (радиус 1 или малая полуось) и r ₂ (радиус 2 или большая полуось), а не a и b .

Площадь и периметр треугольника

Треугольник – одна из самых простых фигур, и вычислить периметр этой трехсторонней формы довольно просто. Вам необходимо знать длины всех трех сторон ( a, b, c ), чтобы измерить полный периметр.

Чтобы узнать площадь треугольника, вам понадобится только длина основания ( b ) и высота ( h ), которая измеряется от основания до вершины треугольника. Эта формула работает для любого треугольника, независимо от того, равны ли стороны или нет.

Площадь и окружность круга

Подобно сфере, вам нужно знать радиус ( r ) круга, чтобы узнать его диаметр ( d ) и длину окружности ( c ). Имейте в виду, что круг – это эллипс, у которого одинаковое расстояние от центральной точки до каждой стороны (радиуса), поэтому не имеет значения, где на краю вы измеряете.

• Диаметр (d) = 2r
• Окружность (c) = πd или 2πr

Эти два измерения используются в формуле для вычисления площади круга.Также важно помнить, что отношение длины окружности к ее диаметру равно пи ( π ).

Площадь и периметр параллелограмма

У параллелограмма есть два набора противоположных сторон, идущих параллельно друг другу. Форма четырехугольная, поэтому у нее четыре стороны: две стороны одной длины ( a ) и две стороны другой длины ( b ).

Чтобы узнать периметр любого параллелограмма, используйте эту простую формулу:

Когда вам нужно найти площадь параллелограмма, вам понадобится высота ( х ).Это расстояние между двумя параллельными сторонами. Также требуется основание ( b ), это длина одной из сторон.

Имейте в виду, что b в формуле площади не то же самое, что b в формуле периметра. Вы можете использовать любую из сторон, которые были соединены как a и b при вычислении периметра, хотя чаще всего мы используем сторону, перпендикулярную высоте.

Площадь и периметр прямоугольника

Прямоугольник – это тоже четырехугольник.В отличие от параллелограмма, внутренние углы всегда равны 90 градусам. Кроме того, стороны, противоположные друг другу, всегда будут иметь одинаковую длину.

Чтобы использовать формулы для периметра и площади, вам необходимо измерить длину прямоугольника ( l ) и его ширину ( w ).

• Периметр = 2h + 2w
• Площадь = h x w

Площадь и периметр квадрата

Квадрат даже проще, чем прямоугольник, потому что это прямоугольник с четырьмя равными сторонами.Это означает, что вам нужно знать только длину одной стороны ( с ), чтобы найти ее периметр и площадь.

Площадь и периметр трапеции

Трапеция – это четырехугольник, который может показаться сложной задачей, но на самом деле это довольно просто. У этой формы только две стороны параллельны друг другу, хотя все четыре стороны могут иметь разную длину. Это означает, что вам нужно знать длину каждой стороны ( a, b ₁ , b ₂ , c ), чтобы найти периметр трапеции.

• Периметр = a + b ₁ + b ₂ + c

Чтобы найти площадь трапеции, вам также понадобится высота ( х ). Это расстояние между двумя параллельными сторонами.

Площадь и периметр шестиугольника

Шестигранный многоугольник с равными сторонами – это правильный шестиугольник. Длина каждой стороны равна радиусу ( r ). Хотя это может показаться сложной формой, вычисление периметра – это простой вопрос умножения радиуса на шесть сторон.

Определить площадь шестиугольника немного сложнее, и вам придется запомнить эту формулу:

Площадь и периметр восьмиугольника

Правильный восьмиугольник похож на шестиугольник, но у этого многоугольника восемь равных сторон. Чтобы найти периметр и площадь этой формы, вам понадобится длина одной стороны ( a ).

• Периметр = 8a
• Площадь = (2 + 2√2) a ²

| Определение | Формулы

Калькулятор объема рассчитает объем некоторых из наиболее распространенных трехмерных тел.Прежде чем мы перейдем к тому, как рассчитать объем, вы должны знать определение объема. Объем отличается от площади, которая представляет собой объем пространства, занимаемого двухмерной фигурой. Таким образом, вы можете быть сбиты с толку относительно того, как найти объем прямоугольника по сравнению с тем, как найти объем коробки. Калькулятор поможет вычислить объем сферы, цилиндра, куба, конуса и прямоугольных тел.

Что такое объем? – Определение объема

Объем – это объем пространства, занимаемого объектом или веществом.Как правило, под объемом контейнера понимается его вместимость, а не объем пространства, которое сам контейнер перемещает. Кубический метр (м ³ ) – это единица измерения объема в системе СИ.

Однако термин том может также относиться ко многим другим вещам, например,

• степень громкости или интенсивность звука (вы можете проверить наш калькулятор шумового загрязнения или калькулятор дБ)
• количество или количество чего-либо (обычно большого количества)
• формальное слово для книги или одной из набора связанных книг.

Единицы измерения объема и таблица преобразования

Популярные единицы объема:

1. Метрические единицы объема
   • Кубические сантиметры (см³)
   • Кубические метры (м³)
   • литров (л, л)
   • Миллилитры (мл, мл)
2. Стандарт США, Великобритания
   • Жидкая унция (жидкая унция)
   • Кубический дюйм (у.е. дюйма)
   • Кубический фут
   • Чашки
   • Пинты (pt)
   • кварты (кварты)
   • галлонов (гал.)

Если вам нужно преобразовать единицы объема, вы можете использовать наш конвертер больших объемов.Еще один полезный инструмент – наш калькулятор граммов в чашки, который может помочь, если вы хотите использовать рецепт еды из другой страны. Обратите внимание, что это не простое преобразование, а переход от веса (граммов) к единице объема (чашки) – поэтому вам нужно знать тип ингредиента (или, точнее, его плотность).

Кроме того, вы можете взглянуть на эту аккуратную таблицу преобразования единиц объема, чтобы узнать коэффициент преобразования в мгновение ока:

Как рассчитать объем? – Формулы объема

На этот вопрос нет однозначного ответа, так как он зависит от формы рассматриваемого объекта. Вот формулы для некоторых из наиболее распространенных форм:

1. Куб = с³ , где с – длина стороны.

2. Сфера = (4/3) πr³ , где r – радиус.

3. Цилиндр = πr²h , где r – радиус, а h – высота.

4. Конус = (1/3) πr²h , где r – радиус, а h – высота.

5. Прямоугольное тело (объем ящика) = lwh , где l – длина, w – ширина и h – высота (примером такой формы может служить простой бассейн).

6. Пирамида = (1/3) Ah , где A – площадь основания, а h – высота. Для пирамиды с правильным основанием также можно использовать другое уравнение: Пирамида = (n / 12) * h * длина_сокры ² * кроватка (π / n) , где n – количество сторон основания для правильный многоугольник.

7. Призма = πAh , где A – площадь основания, а h – высота. Для прямоугольной призмы уравнение можно легко вывести, как и для правой прямоугольной призмы, которая, по-видимому, имеет такую ​​же форму, как прямоугольник.

Калькулятор объема и инструменты, предназначенные для определенных форм

Мы решили сделать из этого калькулятора объема простой инструмент, охватывающий пять самых популярных трехмерных фигур.Однако не все уравнения объема и формы могут быть реализованы здесь, так как это сделает калькулятор перегруженным и не интуитивно понятным. Так что, если вы ищете конкретную форму, ознакомьтесь с калькуляторами, посвященными объемам выбранных форм:

Как пользоваться калькулятором объема?

Давайте посмотрим на примере использования этого калькулятора объема:

1. Выберите тип 3D-формы . Если вы не можете найти форму, объем которой хотите рассчитать, выберите другие специальные специальные калькуляторы (ссылки вы найдете выше).В этом примере предположим, что вы хотите рассчитать объем цилиндра.

2. Выберите правый раздел калькулятора объема . В нашем случае это деталь под названием Объем цилиндра .

3. Введите данные в соответствующие поля . Наш цилиндр имеет радиус 1 фут и высоту 3 фута. Вы можете изменить единицы измерения простым щелчком по названию единицы.

4. Вот и все! Объем выбранной формы отображается .В нашем случае это 9,42478 куб. Футов

Если вы хотите проверить, сколько это в баррелях США, просто нажмите на название единицы и выберите бочки из раскрывающегося списка. Наш цилиндр имеет емкость ~ 2,24 баррелей масла.

Измерение объема твердых тел, жидкостей и газов

Как найти объем объектов с разным состоянием материи?

1. Цельный

Итак, если вы хотите измерить объем необычного объекта, просто следуйте по стопам Архимеда (хотя вы можете опустить часть «голая гонка»):

• Возьмите емкость больше, чем объект, объем которого вы хотите измерить, .Это может быть ведро, мерный стаканчик, химический стакан или мерный цилиндр. На нем должна быть шкала.

• Налейте воду в емкость и снимите показания объема.

• Поместите объект внутрь . Он должен быть полностью погружен для измерения всего объема объекта. Прочтите том. Этот метод не сработает, если ваш объект растворяется в воде.

• Разница между замерами – это объем нашего объекта.

Эти измерения необходимы для расчета выталкивающей силы, основанной на принципе Архимеда.

2. Жидкость

Обычно измерить объем жидкости довольно просто – все, что вам нужно, это какой-нибудь мерный сосуд с градуировкой. Выберите тот, который соответствует вашим потребностям: необходимо учитывать количество жидкости и степень точности. Емкости, используемые для выпечки торта (посмотрите отличный калькулятор для рецепта блинов), будут отличаться от тех, что используются в химии (например.грамм. в расчетах молярной концентрации) будет отличаться от тех, которые используются в медицинских целях (например, доза лекарства).

3. Газ

Мы должны использовать более сложные методы для измерения объема газа. Вы должны помнить, что на объем газа влияют температура и давление, и что газы расширяются, чтобы заполнить любой контейнер, в который они помещены. Вы можете попробовать измерить это:

• Надуйте баллон газом, который вы хотите измерить (например,г., с гелием, чтобы поднять вас в воздух). Затем можно воспользоваться методом Архимеда – опустить баллон в ведро с водой и проверить разницу объемов. Вы найдете подробные инструкции на странице wikihow.

• Проверьте показатели, связанные с объемом ваших легких, с помощью прибора, называемого спирометром .

• В химии, газовый шприц используется для ввода или отбора объема газа из закрытой системы . Эту лабораторную посуду также можно использовать для измерения объема газа, выделяющегося в результате химической реакции.

Или рассчитать :

• Найдите объем газа , учитывая его плотность и массу . Используйте простое уравнение объема V = m / d .

• Рассчитайте объем сжатого газа в баллоне, используя уравнение идеального газа.

Как найти объем прямоугольника и объем коробки

Вы не можете рассчитать объем прямоугольника , объем круга или объем квадрата, потому что это двухмерные геометрические фигуры.Таким образом, прямоугольник не имеет объема (но имеет площадь). Вероятно, вы ищете объем прямоугольного кубоида (или, говоря более общим языком, вы хотите найти объем коробки), который представляет собой трехмерный объект.

Чтобы найти объем коробки, просто умножьте длину, ширину и высоту – и готово! Например, если размер коробки 5 × 7 × 2 см, то объем коробки составляет 70 кубических сантиметров. Для размеров, которые представляют собой относительно небольшие целые числа, легко вычислить объем вручную.Для больших или десятичных чисел использование калькулятора объема очень эффективно.

В реальной жизни есть много приложений, в которых может пригодиться калькулятор объема. Один из таких примеров – строительство дорог или тротуаров, где должны быть построены бетонные плиты. Как правило, бетонные плиты представляют собой твердые тела прямоугольной формы, поэтому можно использовать калькулятор бетона, который является приложением калькулятора объема.

Также формулы объема могут быть полезны, если вы увлеченный садовник или просто счастливый обладатель дома с двором.Ознакомьтесь с нашими замечательными инструментами, такими как:

Более того, вы можете встретить объем на кухне или в ванной: у любой жидкости, которую мы пьем (например, воды в бутылках), а также косметических товаров или зубной пасты, на упаковке продукта указан объем (в миллилитрах / литрах или жидких унциях). / галлоны).

Еще одно родственное приложение, хотя и немного другое, – это концепция площади поверхности. Предположим, весь фасад здания должен быть окрашен. Чтобы знать, сколько нужно приобрести краски, необходимо рассчитать площадь здания.Удобный в использовании калькулятор площади рассчитает это за вас.

FAQ

Как найти объем?

Формула объема зависит от формы объекта . Одной из самых популярных форм является прямоугольная призма, также известная как коробка, где вы можете просто умножить длину на ширину на высоту , чтобы найти ее объем. Другой распространенной формой является цилиндр – чтобы найти его объем, умножьте высоту цилиндра на площадь его основания (π × r ² ).Для других трехмерных фигур проверьте Калькулятор объема Omni.

Как измерить объем?

Измерение объема зависит от материального состояния вашего объекта. Для жидкостей вы можете использовать мерный цилиндр или бюретку для измерений в химической лаборатории или мерную чашку и ложку для повседневных целей. Что касается газов, чтобы приблизительно измерить объем, вы можете надуть баллон и использовать его для вытеснения воды в мерном цилиндре. Аналогичный метод работает для твердых тел – поместите объект в градуированный контейнер и измерьте изменение показаний.

Объем – квадрат или куб?

Объем кубический, так как это трехмерная мера. Площадь – это «квадратное» значение, поскольку площадь фигуры охватывает два измерения. Вы можете вспомнить, что объем представляет собой кубическое значение, вспомнив несколько названий единиц объема, например, кубических метров , кубических футов или кубических ярдов .

Как рассчитать объем?

В зависимости от формы объекта вы можете использовать разные формулы для расчета объема:

• Объем куба = сторона ³
• Кубоид (прямоугольная коробка) объем = длина × ширина × высота
• Объем сферы = (4/3) × π × радиус ³
• Объем цилиндра = π × радиус ² × высота
• Объем конуса = (1/3) × π × радиус ² × высота
• Объем пирамиды = (1/3) × площадь основания × высота

В чем измеряется объем?

Кубический метр – единица объема в системе СИ.Однако, поскольку это непрактично, чаще всего вы можете встретить объем, выраженный в:

• Кубические сантиметры
• Кубические дюймы
• Миллилитры
• литров
• галлонов

Как найти объем жидкости?

Градуированные цилиндры и Колбы Эрленмейера подойдут, если вам нужно приблизительно измерить объем жидкости. Для более точных измерений нужно использовать мерную пипетку и бюретку.Однако, если вы печете торт или готовите вкусное блюдо и в рецепте используются единицы измерения объема, вы можете просто использовать мерный стакан, стакан или ложку.

Что такое единица СИ для объема?

Кубический метр (м ³ ) – единица объема в системе СИ. Он образован от основной единицы длины в системе СИ – метра. Хотя кубический метр является базовой единицей СИ, чаще используются другие единицы: для метрической системы популярны миллилитры, литры или кубические сантиметры, а для имперской системы вы можете найти объем, выраженный в пинтах, галлонах, кубических дюймах и т. Д. кубические футы или кубические ярды.

Объем интенсивный или обширный?

Объем – это обширное свойство , такое же, как количество вещества, массы, энергии или энтропии. Обширное свойство – это мера, в которой зависит от количества вещества . Посмотрите на этот пример: стакан, бочка и бассейн, полный воды, имеют разные объем и массу ( расширенных свойств ), но вода в этих трех контейнерах будет иметь одинаковую плотность, показатель преломления и вязкость ( интенсивных свойств ). ).

В чем разница между площадью поверхности и объемом?

Объем – это трехмерная мера , а площадь поверхности – двумерная . Объем сообщает нам о кубическом пространстве, которое занимает объект, а площадь поверхности – это сумма всех областей, образующих трехмерную форму. Возьмем, например, картонную коробку 📦:

• Объем – это объем места, занимаемого коробкой, просто это свободного места внутри коробки .
• Площадь поверхности – это пространство , занимаемое сторонами коробки, вычисленное при окрашивании сторон или обертывании коробки бумагой.

Как найти объем объекта неправильной формы?

Вы можете использовать метод вытеснения жидкости для твердых объектов неправильной формы:

1. Наполните емкость водой и отметьте уровень воды.
2. Бросьте ваш объект внутрь и снова отметьте уровень. Убедитесь, что ваш объект не растворяется в воде.
3. Для масштабированных контейнеров вы можете всего вычесть исходного объема из нового объема. И все, поздравляю!

Но если на вашем оригинальном контейнере нет шкалы:

4. Вынести предмет.
5. Заполните вашу емкость водой до второй отметки, налейте этой воды в мерный цилиндр / другую мерную емкость.
6. Повторите шаг 6 для другого отмеченного уровня и вычтите объемы.
7. Пэт себе на спину – вы нашли объем объекта неправильной формы!

Что измеряет объем?

Объем измеряет единиц пространства, занимаемого объектом в трех измерениях .Еще один близкий термин – вместимость, то есть объем внутреннего пространства объекта. Другими словами, вместимость описывает, сколько контейнер может вместить (воды, газа и т. Д.).

Каков объем Земли?

Объем Земли примерно равен 1,08321 × 10 ¹² км ³ ( 1,08 квадриллион кубических километров ), или 2,59876 × 10 ¹¹ кубических миль ( 259 триллионов кубических миль ). Вы можете получить этот результат, используя формулу объема сферы (4/3) × π × радиус ³ и предполагая, что средний радиус Земли составляет 6371 километр (3958.76 миль).

Как рассчитать отношение площади поверхности к объему?

Чтобы вычислить отношение площади поверхности к объему SA: V, вы просто разделите площадь поверхности на объема. Для некоторых выбранных форм:

• Соотношение SA: V для куба = (6 × сторона ² ) / (сторона ³ ) = 6 / сторона
• Отношение SA: V для сферы = (4 × π × радиус ² ) / ((4/3) × π × радиус ³ ) = 3 / радиус
• Соотношение SA: V для цилиндра = (2 × π × радиус ² + 2 × π × радиус × высота) / (π × радиус ² × высота) = 2 × (радиус + высота) / ( радиус × высота)

Калькулятор объема

Квадратная пирамида

h = высота
s = наклонная высота
a = длина стороны
e = длина боковой кромки
г = а / 2
V = объем
L = площадь боковой поверхности
B = площадь основания
S = общая площадь поверхности

Рассчитывайте больше с
Калькулятор пирамид

Использование калькулятора

Онлайн-калькулятор для расчета объема геометрических тел, включая капсулу, конус, усеченную вершину, куб, цилиндр, полусферу, пирамиду, прямоугольную призму, сферу и сферический колпачок.

Единицы: Обратите внимание, что единицы показаны для удобства, но не влияют на вычисления. Единицы измерения указывают на порядок результатов, например футы, футы ² или футы ³ . Например, если вы начинаете с мм и знаете a и h в мм, ваши вычисления приведут к V в мм ³ .

Ниже приведены стандартные формулы объема.

Формулы объема:

Объем капсулы

• Объем = πr ² ((4/3) r + a)
• Площадь поверхности = 2πr (2r + a)

Объем и площадь кругового конуса

• Объем = (1/3) πr ² ч
• Площадь боковой поверхности = πrs = πr√ (r ² + h ² )
• Площадь базовой поверхности = πr ²
• Общая площадь
  = L + B = πrs + πr ² = πr (s + r) = πr (r + √ (r ² + h ² ))

Объем круглого цилиндра

• Объем = πr ² ч
• Площадь верхней поверхности = πr ²
• Площадь нижней поверхности = πr ²
• Общая площадь поверхности
  = L + T + B = 2πrh + 2 (πr ² ) = 2πr (h + r)

Объем конической усадки

• Объем = (1/3) πh (r ₁ ² + r ₂ ² + (r ₁ * r ₂ ))
• Площадь боковой поверхности
  = π (r ₁ + r ₂ ) s = π (r ₁ + r ₂ ) √ ((r ₁ – r ₂ ) ² + h ² )
• Площадь верхней поверхности = πr ₁ ²
• Площадь базовой поверхности = πr ₂ ²
• Общая площадь
  = π (r ₁ ² + r ₂ ² + (r ₁ * r ₂ ) * s)
  = π [r ₁ ² + r ₂ ² + (r ₁ * r ₂ ) * √ ((r ₁ – r ₂ ) ² + h ² )]

Объем куба

• Объем = a ³
• Площадь поверхности = 6a ²

Объем полушария

• Объем = (2/3) πr ³
• Площадь изогнутой поверхности = 2πr ²
• Площадь базовой поверхности = πr ²
• Общая площадь поверхности = (2πr ² ) + (πr ² ) = 3πr ²

Объем пирамиды

• Объем = (1/3) ² ч
• Площадь боковой поверхности = a√ (a ² + 4h ² )
• Площадь базовой поверхности = a ²
• Общая площадь поверхности
  = L + B = a ² + a√ (a ² + 4h ² ))
  = а (а + √ (а ² + 4h ² ))

Объем прямоугольной призмы

• Объем = л / ч
• Площадь поверхности = 2 (lw + lh + wh)

Объем сферы

• Объем = (4/3) πr ³
• Площадь поверхности = 4πr ²

Сферический колпачок объем

• Объем = (1/3) πh ² (3R – h)
• Площадь поверхности = 2πRh

Объем треугольной призмы

\ [V = \ dfrac {1} {4} h \ sqrt {(a + b + c) (b + c-a) (c + a-b) (a + b-c)} \]

Объем цилиндра

А цилиндр представляет собой твердое тело, состоящее из двух конгруэнтных окружностей в параллельных плоскостях, их внутренних частей и всех отрезков прямых, параллельных сегменту, содержащему центры обеих окружностей с концами на круговых областях.

В объем из 3 -размерное твердое тело – это объем занимаемого пространства. Объем измеряется в кубических единицах ( в 3 , футов 3 , см 3 , м 3 и так далее). Перед вычислением объема убедитесь, что все измерения относятся к одной и той же единице.

Громкость V цилиндра с радиус р это площадь основания B раз больше высоты час .

V знак равно B час или V знак равно π р 2 час

Пример:

Найдите объем показанного цилиндра. Округлить до кубического сантиметра.

Решение

Формула объема цилиндра: V знак равно B час или V знак равно π р 2 час .

Радиус цилиндра 8 см и высота 15 см.

Заменять 8 для р а также 15 для час в формуле V знак равно π р 2 час .

V знак равно π ( 8 ) 2 ( 15 )

Упрощать.

V знак равно π ( 64 ) ( 15 ) ≈ 3016

Следовательно, объем цилиндра составляет около 3016 кубические сантиметры.

томов твердых форм – формулы, примеры

В геометрии трехмерные формы называются трехмерными формами или твердыми телами. Они занимают пространство и имеют 3 измерения. Обычно трехмерные формы получаются путем вращения двухмерных фигур. Грани твердых фигур представляют собой только 2D-фигуры. Некоторые примеры трехмерных форм: куб, кубоид, конус, цилиндр, сфера, призма и т. Д. Количество любого вещества, которое могут удерживать эти формы, называется его объемом.

Введение в объем трехмерных фигур

Лучший способ визуализировать объем – представить его в терминах пространства, заключенного / занятого любым трехмерным объектом или твердой формой.

Выполните это простое упражнение:

• Возьмите прямоугольный лист бумаги длиной l см и шириной h см.
• Соедините противоположные стороны листа бумаги, не сгибая / не сгибая лист.
• Смотрите! Вы создали трехмерный объект (цилиндр), который охватывает пространство внутри, из двухмерного листа (прямоугольника).

Объем трехмерной формы определяется как общее пространство, заключенное / занятое любым трехмерным объектом или твердой формой. Его также можно определить как количество единичных кубиков, которые можно уместить в форму. Единица измерения объема в системе СИ – кубический метр. Другими единицами измерения являются жидкие унции, галлон, кварта, пинта, чайная ложка, жидкий драм, кубические ярды, баррель и т. Д.

Объемные формулы трехмерных фигур

Объем различных трехмерных фигур можно рассчитать по разным формулам для каждой формы.Некоторые важные из них вместе с их примерами из реальной жизни перечислены в разделе ниже:

Объем цилиндра

Чтобы сравнить количество жидкости, содержащейся в цилиндрических банках для напитков различных размеров, нам необходимо рассчитать объем консервной бутылки. Цилиндр представляет собой трубчатую конструкцию с круглыми гранями одинакового радиуса на обоих концах, соединенных плоской круговой поверхностью. Думайте об этом как о площади круга, умноженной на новое измерение – высоту.Если вы рассматриваете r как радиус круглого основания (и вершины), а h как высоту цилиндра, объем цилиндра = πr ² h

Объем конуса

Предположим, вы и ваш друг наслаждаетесь охлажденными летними напитками в разных стаканах конической формы. Как вы рассчитаете количество напитка, которое нужно налить в каждый стакан?

Конус – это трехмерная форма, которая имеет плоскую поверхность на одном конце и изогнутую поверхность, направленную наружу к точке на другом конце (которая называется вершиной).Объем конуса по формуле определяется как, объем конуса = (1/3) πr ² ч кубических единиц, где,

• ‘r’ – радиус основания конуса
• ‘l’ – наклонная высота конуса
• ‘h’ – высота конуса

Как видно из приведенной выше формулы для конуса, вместимость конуса составляет одну треть вместимости цилиндра. Это означает, что если мы возьмем 1/3 объема цилиндра, мы получим формулу для объема конуса.Объем конуса = (1/3) πr ² ч

Объем куба

Объем куба можно легко определить, просто зная длину ребра куба. Если длина куба равна s, то формула для вычисления объема куба следующая: Объем куба = s ³ , где s – длина стороны куба.

Объем кубоида

Что произойдет, если вы сложите пачку из множества листов бумаги? Как это выглядит? Он составляет кубоид.

Пусть площадь прямоугольного листа бумаги равна A, высота, на которую они сложены, равна h, а объем кубоида равен V. Затем объем кубоида определяется путем умножения площади основания и высоты. Таким образом, объем кубоида = площадь основания × высота = объем кубоида =

Объем сферы

Объем здесь зависит от диаметра или радиуса сферы, поскольку если мы возьмем поперечное сечение сферы, это будет круг.Площадь поверхности сферы – это площадь или область ее внешней поверхности. Чтобы рассчитать объем сферы, радиус которой равен «r», мы имеем следующую формулу: Объем сферы = 4/3 πr ³

Объем полушария

Хотите знать, каков будет общий объем шарика мороженого на ваших вафлях? Поскольку совок имеет полусферическую форму, мы воспользуемся формулой объема полусферы для его расчета.

Если разрезать сферу пополам, получится полусфера.Следовательно, объем полусферы того же радиуса равен половине объема сферы того же радиуса. Таким образом, объем полусферы = 2/3 πr ³

Объем призмы

Призма – это трехмерный объект с плоскими гранями, грани которых параллельны друг другу. Он имеет такое же поперечное сечение по длине. Математически объем призмы – это произведение площади основания и высоты.

Следовательно, объем призмы = площадь основания × высота

Объем пирамиды

Пирамиды можно разделить на разные типы в зависимости от их основания.Они включают треугольную пирамиду, четырехугольную пирамиду, пятиугольную пирамиду и т. Д. Объем пирамиды относится к пространству, заключенному между ее гранями. Объем любой пирамиды всегда составляет одну треть объема призмы, где основания призмы и пирамиды совпадают, а высота пирамиды и призмы также одинакова. Таким образом, объем пирамиды = (1/3) (Bh), где

• B = Площадь основания пирамиды
• h = Высота пирамиды (также называемая «высотой»)

Важные примечания

• Фоторецептор, расположенный в сетчатке глаза, который помогает улучшить зрение, имеет форму конуса.
• Конус имеет только одну вершину или вершину.
• Призма – это трехмерный объект с плоскими гранями и одинаковым поперечным сечением по длине.

Существует 3 различных типа единиц объема, которые обсуждаются в таблице ниже:

1. Объем емкости:

2. Объем жидкости:

3. Сухой объем:

Сложный вопрос

Мариам – настоящая сладкоежка. У нее есть баночка со сладостями. Каждый кусок содержит сахарный сироп, который составляет 30% от объема. Если каждый кусок имеет форму шара диаметром 1 дюйм, сколько сиропа потребуется для 45 конфет?

Связанные темы

Ознакомьтесь с этими интересными статьями об объемах 3D-фигур. Нажмите, чтобы узнать больше!

Часто задаваемые вопросы об объеме трехмерных фигур

Как определить объем трехмерной формы?

Объем трехмерной фигуры – это объем занимаемого ею места.Обычно его измеряют в кубических единицах. Объем любой трехмерной формы легко найти, используя простые формулы объема.

Что такое объем 3D-формы?

Объем любой трехмерной формы относится к занимаемому ею пространству. Объем обычно выражается в кубических единицах.

Как найти объем неправильной трехмерной формы?

Мы можем найти объем неправильной трехмерной формы точно так же, как мы находим площадь неправильной двухмерной формы, то есть разбивая ее на правильные формы.

• Шаг 1: Разделите твердое тело на более мелкие части, пока не получите формы, с которыми можно легко работать.
• Шаг 2: Определите все эти формы.
• Шаг 3: Найдите их объем.
• Шаг 4: Добавьте их тома.
• Шаг 5: Запишите эту сумму в соответствующей единице.

Какие единицы измерения используются для объема трехмерных фигур?

Объем любого объекта в трехмерном пространстве измеряется в кубических единицах, таких как кубические сантиметры, кубический дюйм, кубический фут, кубический метр и т. Д.

Как измерить объем 3D-фигур?

Объем различных трехмерных фигур можно рассчитать по разным формулам для каждой формы. В случае, если любая фигура состоит из кубических блоков, можно пересчитать кубики, чтобы найти объем фигуры.

Какова общая формула для определения объема трехмерных фигур?

Объем трехмерных геометрических фигур, таких как куб, кубоид, цилиндр, призма, конус и т. Д., Можно легко вычислить с помощью простых арифметических формул., например, объем куба равен s ³ , где s – край куба, а объем кубоида – lwh, где l – длина, w – ширина, а h – высота кубоида.

Совпадает ли объем 3D-формы с ее вместимостью?

Мы знаем, что объем и вместимость – это свойства трехмерных объектов. С одной стороны, объем отображает меру пространства, которое занимает трехмерный объект. С другой стороны, емкость описывает, сколько чего-либо может вместить контейнер.