Сечение фигуры: Решутест. Продвинутый тренажёр тестов

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике – Стереометрия

Справочник по математике

Геометрия (Стереометрия)

Призмы

Сечения призмы

Перпендикулярные сечения призмы

Сечения призмы

     Определение 1.Сечением тела некоторой плоскостью α называют фигуру, состоящую из всех точек этого тела, лежащих в плоскости  α.

      В качестве примера рассмотрим сечение куба куба   ABCDA₁B₁C₁D₁   плоскостью, проходящей через точку   D  и середины ребер   A₁B₁   и   B₁C₁ . Рассмотрим процесс построения сечения подробно.

      Обозначим буквами   E   и   F середины ребер   A₁B₁   и   B₁C₁ (рис. 1).

Рис.1

      Поскольку точки   E   и   F   лежат на ребрах одной грани куба   A₁B₁C₁D₁ , то проведем прямую   EF   до пересечения с продолжениями двух других ребер этой грани. Обозначим буквой   G   точку пересечения прямой   EF   с продолжением отрезка   D₁C₁   за точку   C₁,   а буквой   Н   – точку пересечения прямой   EF   с продолжением отрезка   D₁A₁  за точку  A₁ . Эти точки пересечения существуют, поскольку все указанные прямые лежат в одной плоскости   A₁B₁C₁D₁   и не параллельны параллельны попарно (рис. 2).

Рис.2

      Точки   G   и   D   принадлежат плоскости сечения, а, значит, и вся прямая   DG   лежит в плоскости сечения. С другой стороны, эти точки лежат на ребрах (или их продолжениях) одной грани куба   DD₁C₁C.   Значит, точка пересечения   DG   с ребром куба   C₁C (точка   N ) будет принадлежать сечению. Таким образом, мы получаем еще два отрезка сечения:   FN  и   DN   (рис. 3).

Рис.3

      Теперь, действуя аналогичным образом, проводим прямую   HD,   обозначаем точку перечения этой прямой с ребром   AA₁ буквой   M   и проводим линии сечения   ME   и   MD   в плоскостях граней   AA₁B₁B   и   AA₁D₁D   (рис. 4).

Рис.4

      В результате, как и показано на рисунке 4, получаем, что искомое сечение – пятиугольник   DMEFN.

      Предлагаем посетителю нашего сайта решить в качестве полезного упражнения следующую задачу.

     Задача. Найти площадь сечения   DMEFN, если ребро куба равно 6.

     Указание к решению. Треугольники   HA₁E,   EB₁F и   FC₁G равны.

Перпендикулярные сечения призмы

      Определение 2. Перпендикулярным сечением призмы называют такое сечение, плоскость которого пересекает все боковые ребра призмы и перпендикулярна к ним.

     На рисунке 5 построено перпендикулярное сечение наклонной треугольной призмы – треугольник   KLM.   Хотим обратить Ваше внимание на то, что призма на рисунке 5 изображена лежащей на одной из своих боковых граней. Такой способ представления призмы на чертеже часто очень удобен при решении задач.

Рис.5

      Замечание 1. Все перпендикулярные сечения призмы равны между собой.

     Замечание 2. С понятием призмы и различными видами призм можно ознакомиться в разделе «Призмы».

     Замечание 3. С различными формулами для вычисления объема призмы и площадей боковой и полной поверхности призмы можно ознакомиться в разделе «Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности призмы».

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Сечение многогранников плоскостью

Плоская фигура, полученная при пересечении любого многогранника плоскостью, представляет собой некоторый многоугольник. Вершины этого многоугольника находятся как точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а стороны многоугольника строятся как линии пересечения граней многогранника с секущей плоскостью.
Сечение призмы проектирующей плоскостью (фиг. 302).

I, а. Пятиугольная прямая призма поставлена основанием на плоскость П₁ и рассечена фронтально-проектирующей плоскостью δ.
Требуется:
а) построить проекции сечения;
б) найти натуральную величину фигуры сечения;
в) построить развертку поверхности усеченной призмы;
г) построить аксонометрическую проекцию усеченной призмы.
I, б. Нахождение проекций сечений. Фронтальная проекция В

2С₂А₂D₂Е₂ фигуры сечения совпадает с фронтальной проекцией δ₂ плоскости δ, так как вершины фигуры сечения являются точками пересечения ребер призмы с плоскостью δ. Горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы, так как призма прямая и ее ребра и грани перпендикулярны плоскости П₁. Профильная проекция фигуры сечения выявится многоугольником, полученным путем построения третьей проекции по двум данным.
I, в. Нахождение натуральной величины фигуры сечения.
а) Метод совмещения. Совместим плоскость δ с плоскостью П₁. За ось вращения принимаем горизонтальный след плоскости δ. Проекция δ₂ совместится с осью х₁₂. Пользуясь правилом совмещения, находим натуральную величину фигуры сечения ¯A¯B¯C¯D¯E.
б) Метод перемены плоскостей проекций. Принимаем плоскость δ за новую плоскость проекций, а проекцию δ₂ – за новую ось проекций s₂₄. Проводим из проекций B₂C₂A₂D₂ и Е₂ перпендикуляры к новой оси s₂₄ и на них откладываем глубины вершин фигуры сечения, например: E₂E₄ = E₁E₄ и т.д. Точки A₄, B₄, С₄, D₄, E₄ последовательно соединяем прямыми и получаем натуральную величину фигуры сечения.
Фигуру сечения и ее проекции на чертеже выделяют штриховкой под углом 45° к оси х₁₂.
Штриховка может быть наклонена как вправо, так и влево, но для всех проекций и фигуры сечения штриховку следует выполнять в одну сторону.
II. Построение развертки поверхности усеченной призмы. Строим развертку боковой поверхности данной призмы. Затем на соответствующих боковых ребрах откладываем размеры оставшихся после отсечения плоскостью частей ребер H, Н₁, Н₂, H₃ и Н₄, которые берем с фронтальной и профильной проекций. Соединив последовательно прямыми точки D_O, Е_O, А_O, В_O, С_O, D_O, получим линию сечения, по которой плоскость δ рассекает призму на две части. Для получения развертки поверхности усеченной призмы к соответствующим боковым граням пристраиваем фигуру сечения и нижнее основание.
III. Построение аксонометрических проекций усеченной призмы.
III, а. Строим аксонометрическую проекцию призмы, пользуясь координатами на (фиг.302, I, а).
III, б. На соответствующих ребрах боковых граней откладываем от нижнего основания оставшиеся части ребер, используя для этого размеры Н, Н

1, Н₃, Н₃, H₄.
Полученные точки А’, В’, С, D’, Е’ и А’ соединяем прямыми. Определяем невидимые и видимые элементы и обводим их соответствующими линиями.
Сечение призмы плоскостью общего положения (фиг.303).

I, а. Треугольная прямая призма поставлена основанием на плоскость П₁ и рассечена плоскостью а общего положения.
Требуется:
а) построить проекции сечения;
б) найти натуральную величину фигуры сечения;
в) построить развертку поверхности усеченной призмы;
г) построить аксонометрическую проекцию усеченной призмы.
В этом случае горизонтальная проекция фигуры сечения сливается с горизонтальной проекцией призмы, так как боковые ребра и грани призмы перпендикулярны плоскости П

1. Для построения фронтальной проекции воспользуемся горизонталями. Через точку А₁ – горизонтальную проекцию ребра – проводим прямую, параллельную проекции следа k₁ – горизонтальную проекцию h₁ горизонтали. Затем найдем ее фронтальную проекцию h₂, которая, пересекаясь с фронтальной проекцией ребра D₂E₂ в точке А₂ определит фронтальную проекцию точки пересечения ребра призмы с плоскостью а.
I, б. Аналогичным построением находим остальные точки пересечения ребер призмы плоскостью а (В₂, С₂), после чего соединим последовательно прямыми точки А₂, В₂, С₂ и А₂ и получим фронтальную проекцию А₂В₂С₂ фигуры сечения – треугольника.
I, в. Натуральную величину фигуры сечения находим путем совмещения плоскости а с плоскостью П

1 вращением вокруг проекции следа k₁
II и III. Построение развертки поверхности усеченной призмы и аксонометрических проекций аналогично соответствующим построениям для пятиугольной призмы (фиг.302).
Сечение пирамиды фронтально – проектирующей плоскостью (фиг. 304).

1, а. Правильная четырехугольная пирамида поставлена основанием на плоскость П1 и рассечена фронтально-проектирующей плоскостью б.
Требуется:
а) построить проекции сечения;
б) найти натуральную величину фигуры сечения;
в) построить развертку поверхности усеченной пирамиды;
г) построить аксонометрическую проекцию усеченной пирамиды (фиг.304, а).
I. б. Фронтальная проекция фигуры сечения – отрезок E

2F₂К₂М₂ – совпадает с фронтальной проекцией δ₂ так как точки пересечения ребер пирамиды с секущей плоскостью лежат в плоскости δ.
Горизонтальные проекции точек пересечения находят при помощи вертикальных линий связи на горизонтальных проекциях соответствующих ребер, например: точку Е₁ на горизонтальной проекции ребра S₁A₁, точку F₁ на S₁B₁ и т.д.
Соединив последовательно прямыми точки Къ Ei, &i, JWi и Кг, получим горизонтальную проекцию фигуры сечения.
Профильная проекция фигуры сечения – четырехугольник E₃F₃M₃K₃ находится, как третья проекция, по двум данным (фиг.304,б).
I. в. Натуральная величина фигуры сечения находится способом совмещения плоскости δ с плоскостью П

1 и способом перемены плоскостей проекций, где за новую плоскость П₄ принята плоскость δ, а за новую ось проекций S₂₄ – проекция δ₂ (фиг.304,в).
II. Для построения развертки боковой поверхности находим натуральную величину ребра пирамиды путем построения прямоугольного треугольника S₂O₂¯D₂, у которого S₂O₂ = H, a O₂¯D₂ = S₁¯D₁; гипотенуза S₂D₂ является натуральной величиной ребра. Зто равносильно повороту ребра до параллельности плоскости П₂. Затем строим развертку боковой поверхности нерассеченной пирамиды – фигуру, состоящую из четырех равнобедренных треугольников, основания которых равны сторонам квадрата основания, а боковые стороны – натуральным величинам ребер.
Для определения величины отсеченных частей ребер, вместо поворота их, переносим с профильной проекции на натуральную величину ребра точки E₃,F₃,M₃ и К₃, получаем размеры R₁,R₂,R₃,R₄ Равные отсеченным частям ребер размер R₁ равен отсеченной части S₂¯E₂, R₂ равен S₂¯F₂ и т. д. (фиг.304, I, б).
Перенеся на развертку при помощи этих размеров на соответствующие ребра точки Ео, Fo, Мо, Ко и Ео и соединив их последовательно прямыми, получим ломаную линию, по которой пирамида рассечена фронтально-проектирующей плоскостью δ. Для получения развертки поверхности усеченной пирамиды к линии сечения присоединяем соответствующей стороной фигуру сечения, а к линии основания — основание пирамиды.
III, а. Для изображения изометрической проекции усеченной пирамиды, пользуясь координатами с (фиг.304, I, б), сначала строим основание и вершину пирамиды, а затем вторичную проекцию фигуры сечения (горизонтальную проекцию фигуры сечения) E’

1F’₁M’₁K’₁.
III, б. Соединяем прямыми точку S’ (вершину пирамиды) с точками А’, В’, С и D’ (вершинами основания) – получаем изометрическую проекцию пирамиды.
Из точек Е’₁, F’₁, M’₁ и К’₁ параллельно оси z проводим прямые до пересечения с соответствующими ребрами пирамиды. Точки Е’₁, F’₁, M’₁ и К’₁ явятся вершинами фигуры сечения, соединив которые прямыми, получим изометрическую проекцию фигуры сечения.
III, в. Определив видимые и невидимые элементы усеченной призмы, обводим их соответствующими линиями и заштриховываем фигуру сечения. Над усеченной частью пирамиды изображена отсеченная ее часть.

Сечение тел вращения плоскостью…..



 

Разбиение на

 — Как убедиться, что рисунки отображаются в том разделе, с которым они связаны? – ТеХ

спросил 12 лет, 10 месяцев назад

Изменено 5 лет, 2 месяца назад

Просмотрено 165 тысяч раз

Часто плавающие элементы могут приземляться в документе немного позже, чем точка, в которой они созданы, иногда после разрыва раздела.

Есть ли способ заставить новый раздел начинаться на новой странице после любых неразмещенных поплавков?

• секционирование
• поплавки
• позиционирование
• разбивка страниц
• разделы-абзацы

1

Используйте пакет placeins .

Как отмечено в комментариях, вы можете использовать

 \usepackage[section]{placeins}
 

, чтобы автоматически гарантировать, что поплавки не перейдут в следующий раздел.

Пакет также содержит команду \FloatBarrier , которую можно использовать для предотвращения появления плавающих элементов за пределами определенного места в документе. Используйте его как

 %... некоторые плавают здесь...
\FloatBarrier
\subsection{Мой новый подраздел}
 

6

Команда \clearpage не только запустит новую страницу, но также принудительно установит все неустановленные плавающие элементы перед разрывом страницы. Для документов с левой и правой страницей \cleardoublepage делает то же самое, но также гарантирует, что следующая непустая страница будет правой страницей.

Все это не зависит от разрыва раздела, за исключением того, что если вы используете класс, который не ставит разрыв страницы перед разрывами раздела, этот метод заставит их принудительно. Но, судя по вашему вопросу, в вашем случае это не проблема.

4

Сейчас я использую:

 \usepackage{placeins}
\let\Oldsection\раздел
\renewcommand{\section}{\FloatBarrier\Oldsection}
\let\Oldsubsection\подраздел
\renewcommand{\subsection}{\FloatBarrier\Oldsubsection}
\let\Oldsubsubsection\подподраздел
\renewcommand{\subsubsection}{\FloatBarrier\Oldsubsubsection}
 

Это безбожно затыкается от объединения этого и других ответов по теме, плюс это. Поскольку я еще не могу комментировать (глупое требование, это ..), вместо этого я делюсь им с помощью нового ответа.

Редактировать: Кроме того, ради возможности копирования для других, я включил отличное исправление egregs, чтобы использовать неаргументированную версию переопределения раздела (ранее фрагмент выше читал \renewcommand{\section}[1] {\FloatBarrier\Oldsection{#1}} и т. д. – Спасибо, эгрег

1

У меня код хорошо работает для всех разделов и подразделов, пакет необходимо обновить в библиотеке пакетов miktex

 \usepackage[section]{placeins}
\FloatBarrier
 

Над/под каждым изображением или разделом

1

float – Сплошная нумерация рисунков, таблиц и других элементов документа по главам/разделам – TeX

Изменение нумерации (например) рисунков включает две модификации:

1. Переопределение того, будет ли сбрасываться счетчик цифра при каждом увеличении счетчика главы/раздела;

2. Переопределение “внешнего вида” счетчика цифра ( \thefigure ), т.е. удаление (или добавление) префикса главы/раздела.

Стандартное решение:

\counterбез

Стандартное решение, относящееся к упомянутым выше модификациям 1 и 2, заключается в использовании \counterбез и \counterв пределах команд.

_{С октября 2018 года команды находятся в ядре LaTeX; для более ранних выпусков требуется \usepackage{chngcntr}}

В следующем примере показано, как добиться непрерывной нумерации рисунков в классе book :

 \documentclass{book}
\countwithout{рисунок}{глава}
\начать{документ}
\ глава {foo}
\начать{рисунок}
\центрирование
\rule{1cm}{1cm}% заполнитель для графики
\caption{Фигурка}
\конец{рисунок}
\конец{документ}
 

И наоборот, вот как добиться нумерации рисунков по разделам в классе статьи :

 \documentclass{article}
\counterwithin{рисунок}{раздел}
\начать{документ}
\section{foo}
\начать{рисунок}
\центрирование
\rule{1cm}{1cm}% заполнитель для графики
\caption{Фигурка}
\конец{рисунок}
\конец{документ}
 

Аналогичным образом работает, например, с таблицами, пользовательскими числами с плавающей запятой, уравнениями и сносками. (Обратите внимание, что во многих классах документов, использующих команду \chapter , сноски пронумерованы для каждой главы, несмотря на то, что сноска счетчик не показывает префикс главы. ) Команды также могут использоваться для сред теорем; однако проще указать нумерацию среды новой теоремы при ее определении:

 \newtheorem{thm}{Theorem}% Непрерывная нумерация
\newtheorem{prop}{Proposition}[section]% Нумерация разделов
 

Вы также можете настроить нумерацию самих заголовков разделов. Чтобы, скажем, осуществить сплошную нумерацию разделов в книге (по умолчанию они пронумерованы по главам), но при покомпонентной нумерации глав (которые по умолчанию нумеруются непрерывно), ваша преамбула должна содержать

 \counterwithout{section}{chapter}
\counterwithin{глава}{часть}
 

Чтобы повлиять на сброс счетчиков без изменения внешнего вида , используйте версии макроса со звездочкой \counterwithout* и \counterwithin* . Например, для нумерации рисунков по разделам в статье 9 0030 class — но без добавления префикса раздела к \thefigure — добавьте в преамбулу следующее:

 \counterwithin*{figure}{section}
 

Также возможно любое количество раз переопределить сброс и появление счетчика в теле документа. Обратите внимание, что \counterбез , \counterwithin и их варианты не повлияют на текущее значение счетчика; чтобы изменить последнее, используйте \setcounter{}{} .

Решение AMSmath

Классы AMS и пакет amsmath содержат макрос \numberwithin , который соответствует \counterwithin . Однако нет AMS, эквивалентного \countless . Пример использования: \numberwithin{equation}{section} . См. полный пример cmhughes. Если вы используете математику, вы можете предпочесть загрузить amsmath и использовать \numberin .

Прочие растворы

В пакете caption есть опции ключ-значение фигура внутри и таблица внутри , которые позволяют изменить нумерацию (неожиданных) рисунков и таблиц. Допустимые значения параметров: глава , раздел и нет .