Расчет погрешности измерения: Погрешности измерений физических величин – что это такое?

Содержание

Расчет погрешности измерений

Измерения называются прямыми, если значения величин определяются приборами непосредственно (например, измерение длины линейкой, определение времени секундомером и т. д.). Измерения называютсякосвенными, если значение измеряемой величины определяется посредством прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой определенной зависимостью.

Случайные погрешности при прямых измерениях

Абсолютная и относительная погрешность. Пусть проведеноNизмерений одной и той же величиныxв отсутствии систематической погрешности. Отдельные результаты измерений имеют вид:x1,x2, …,xN. В качестве наилучшего выбирается среднее значение измеренной величины:

. (1)

Абсолютной погрешностью

единичного измерения называется разность вида:

.

Среднее значение абсолютной погрешности Nединичных измерений:

(2)

называется средней абсолютной погрешностью.

Относительной погрешностью называется отношение средней абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины:

. (3)

Приборные погрешности при прямых измерениях

  1. Если нет особых указаний, погрешность прибора равна половине его цены деления (линейка, мензурка).

  2. Погрешность приборов, снабженных нониусом, равна цене деления нониуса (микрометр – 0,01 мм, штангенциркуль – 0,1 мм).

  3. Погрешность табличных величин равна половине единицы последнего разряда (пять единиц следующего порядка за последней значащей цифрой).

  4. Погрешность электроизмерительных приборов вычисляется согласно классу точности

    С, указанному на шкале прибора:

Например: и,

где Umax и Imax – предел измерения прибора.

  1. Погрешность приборов с цифровой индикацией равна единице последнего разряда индикации.

После оценки случайной и приборной погрешностей в расчет принимается та, значение которой больше.

Вычисление погрешностей при косвенных измерениях

Большинство измерений являются косвенными. В этом случае искомая величина Х является функцией нескольких переменных а, b, c, значения которых можно найти прямыми измерениями: Х = f(a,b,c…).

Среднее арифметическое результата косвенных измерений будет равно:

X = f(a,b,c…).

Одним из способов вычисления погрешности является способ дифференцирования натурального логарифма функции Х = f(

a,b,c…). Если, например, искомая величина Х определяется соотношением Х = , то после логарифмирования получаем:lnX = lna + lnb + ln(c+d).

Дифференциал этого выражения имеет вид:

.

Применительно к вычислению приближенных значений его можно записать для относительной погрешности в виде:

 = . (4)

Абсолютная погрешность при этом рассчитывается по формуле:

Х = Х(5)

Таким образом, расчет погрешностей и вычисление результата при косвенных измерениях производят в следующем порядке:

1) Проводят измерения всех величин, входящих в исходную формулу для вычисления конечного результата.

2) Вычисляют средние арифметические значения каждой измеряемой величины и их абсолютные погрешности.

3) Подставляют в исходную формулу средние значения всех измеренных величин и вычисляют среднее значение искомой величины:

X = f(a,b,c…).

4) Логарифмируют исходную формулу Х = f(a,b,c…) и записывают выражение для относительной погрешности в виде формулы (4).

5) Рассчитывают относительную погрешность  = .

6) Рассчитывают абсолютную погрешность результата по формуле (5).

7) Окончательный результат записывают в виде:

Х = ХсрХ

 = …%

Абсолютные и относительные погрешности простейших функций приведены в таблице:

Функция

Абсолютная

погрешность

Относительная

погрешность

a+b

a+b

a-b

a+b

ab

ab+ba

sin a

cos a

Онлайн калькулятор: Оценка погрешности прямых измерений

Измеряя линей­ные размеры предметов измерительными инстру­ментами : линейкой, штангенциркулем, микрометром, проводя измерения времени секундомером или силы электрического тока или величины напряжения соответствующими электроизмерительными приборами Вы проводите прямые измерения.

Погрешность измерений

Любое измерение проводится с определенной точностью, при этом измеренное значение всегда отличается от истинного, так как инструменты измерения, методики и органы чувств человека несовершенны. Поэтому важную роль играет оценка погрешности измерений, результат измерений с учетом погрешности записывается в виде: X ± ΔX, где ΔX — абсолютная погрешность измерений.

Случайные и систематичес­кие погрешности

Погрешности подразделяются на случайные и систематичес­кие.
Систематические погрешности остаются постоянными или закономерно меняются в процессе измерения. Например неточность прибора, неправильная его регулировка ведет к систематической погрешности. Если причина систематической погрешности известна, то чаще всего такую погрешность можно исключить.
Случайные погрешности вызваны различными случайными факторами, влияющими на точность измерений. Например, при измерении секундомером отрезков времени, случайные погрешности связаны с различным (случайным) временем реакции экспериментатора на события запускающие и останавливающие секундомер. Чтобы уменьшить влияние случайной погрешности необходимо проводить многократное измерение физической величины.
Калькулятор ниже вычисляет случайную погрешность выборки прямых измерений для заданного доверительного интервала. Немного теории можно найти сразу за калькулятором.

Расчет погрешностей непосредственных измерений.
Измерения
Записей:

Измерения

Сохранить Отменить

Импортировать данныеОшибка импорта

Загрузить данные из csv файла

Импортировать Назад Отменить Точность вычисления

Знаков после запятой: 3

Среднее значение

 

Абсолютная погрешность

 

Относительная погрешность в %

 

Коэффициент Стьюдента

 

Ссылка Сохранить Виджет

В большинстве случаев результат измерения подчиняется нормальному закону распределения, поэтому истинное значение измерения будет равно пределу:

В случае ограниченного количества измерений, наиболее близким к истинному будет среднее арифметическое:

Согласно элементарной теории ошибок Гаусса случайную погрешность отдельного измерения характеризует так называемое среднеквадратическое отклонение:
, квадрат этой величины называется дисперсией. При увеличении этой величины возрастает разброс результатов измерений, т. е. увеличивается погрешность.

Для оценки погрешности

всей серии измерений, вместо отдельного измерения надо найти среднюю квадратичную погрешность среднего арифметического, характеризующую отклонение от истинного значения искомой величины .
По закону сложения ошибок среднее арифметическое имеет меньшую ошибку, чем результат каждого отдельного измерения. Cред­няя квадратичная погрешность среднего арифметического равна:

Стандартная случайная погрешность Δх равна:
, где — коэффициент Стьюдента для заданной доверительной вероятности и числа степеней свободы k = n-1.
Коэффициент Стьюдента можно получить по таблице или воспользоваться нашим калькулятором для вычисления квантилей распределения Стьюдента: Квантильная функция распределения Стьюдента. Следует иметь в виду, что квантильная функция выдает значения одностороннего критерия Стьюдента. Значение двустороннего квантиля для заданной доверительно вероятности соответствует значению одностороннего квантиля для вероятности:

Расчет погрешности измерения » Лазерное сканирование и архитектурные обмеры в Санкт-Петербурге | НПП “Фотограмметрия”

РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ВЫБОРЕ МЕТОДОВ И СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ


1. Определяют предельную погрешность измерения:

Для измерений, выполняемых в процессе и при контроле точности изготовления и установки элементов, а также при контроле точности разбивочных работ принимают К = 0,2.
Для измерений, выполняемых в процессе производства разбивочных работ, К = 0,4.

2. Принимают предварительно метод и соответствующие ему средства измерений.

3. Устанавливают перечень и определяют значения систематических и случайных составляющих погрешностей, влияющих на суммарную погрешность результата измерения.
При этом учитывают:
– погрешности средства измерения, которые принимают по результатам его государственной или ведомственной поверки из свидетельства о поверке или из эксплуатационной документации на средство измерения;
– погрешности принятого метода измерений. Их устанавливают на основе анализа приемов и операций, которые могут быть источниками погрешностей;

– погрешности измерения значений параметров (температуры окружающего воздуха, давления и т.д.), определяющих нормальные условия измерений.

4. Вычисляют расчетную погрешность измерения по одной из формул:


При расчете по указанным формулам принимается, что составляющие погрешности независимы между собой или слабо коррелированны.

5. Для случаев, когда процесс измерения состоит из большого числа отдельных операций, на основе принципа равных влияний определяют среднее значение составляющих погрешностей по формуле


Выделяют те составляющие погрешности, которые легко могут быть уменьшены, увеличивая соответственно значения тех составляющих погрешностей, которые трудно обеспечить имеющимися методами и средствами.

6. Проверяют соблюдение условия (п.1.) настоящего стандарта (ГОСТ 26433.0-85) и в случае несоблюдения этого условия назначают более точные средства или принимают другой метод измерения.

7. Вычисления расчетной погрешности измерения могут не производиться, если принимают стандартный метод с известной для данных условий погрешностью измерения.

Предельные погрешности измерений с применением рекомендуемых средств измерений приведены в табл. 1 – 3 и рассчитаны для температуры воздуха t = (20 ± 8) °С и разности температур объекта и средства измерения, равной 2 °С. Натяжение рулетки осуществляется вручную.

Таблица 1.

Предельные погрешности измерения линейных размеров


Предельные погрешности измерения линейных размеров

Таблица 2.

Предельные погрешности измерения параметров формы и взаимного положения поверхностей


Предельные погрешности измерения параметров формы и взаимного положения поверхностей

Таблица 3.

Предельные погрешности измерения угловых размеров


Распечатать

Вконтакте

Facebook

Twitter

Одноклассники

Google+

СО 153-34.11.325-90 «Методические указания по определению погрешности измерения активной электроэнергии при ее производстве и распределении»

МИНИСТЕРСТВО ЭНЕРГЕТИКИ И ЭЛЕКТРИФИКАЦИИ СССР

ГЛАВНОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИКИ И ЭЛЕКТРИФИКАЦИИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ
АКТИВНОЙ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ
ПРИ ЕЕ ПРОИЗВОДСТВЕ И РАСПРЕДЕЛЕНИИ

РД 34.11.325-90

СО 153-34.11.325-90

ОРГРЭС

Москва 1991

РАЗРАБОТАНО Всесоюзным научно-исследовательским институтом электроэнергетики (ВНИИЭ)

ИСПОЛНИТЕЛИ Л.А. БИБЕР, Ю.Е. ЖДАНОВА

УТВЕРЖДЕНО    Главным научно-техническим управлением энергетики и электрификации 12.12.90 г.

Заместитель начальника К.М. АНТИПОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ АКТИВНОЙ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ ПРИ ЕЕ ПРОИЗВОДСТВЕ И РАСПРЕДЕЛЕНИИ

РД 34.11.325-90

Срок действия установлен

с 01.08.91 г.

до 01.08.96 г.

Настоящие Методические указания (МУ) распространяются на измерения количества активной электрической энергии переменного тока промышленной частоты, проводимые в условиях установившихся режимов работы энергосистем и при качестве электроэнергии, удовлетворяющем требованиям ГОСТ 13109-87, с помощью постоянно действующих измерительных комплексов с использованием счетчиков электроэнергии индукционной или электронной системы. В Методических указаниях приведен метод расчета погрешности измерительного комплекса.

Методические указания не распространяются на измерения электроэнергии с использованием линий дистанционной (телемеханической) передачи данных и с использованием информационно-измерительных систем.

В настоящих Методических указаниях уточнен метод расчета погрешности измерительного комплекса при определении допустимого небаланса электроэнергии, приведенный в «Инструкции по учету электроэнергии в энергосистемах». И 34-34-006-83 (М.: СПО Союзтехэнерго, 1983).

Указания предназначены для применения персоналом энергопредприятий и энергосистем Минэнерго СССР.

1.1. В состав измерительных комплексов (ИК) систем учета активной электроэнергии в качестве средств измерений (СИ) входят измерительные трансформаторы тока (ТТ) и напряжения (ТН), индукционные или электронные счетчики (С) активной электроэнергии, а также линии связи (ЛМ) между трансформаторами напряжения и счетчиками.

1.2. Схемы подключения счетчиков и трансформаторов определяются числом фаз, уровнем напряжений и токов контролируемой сети и должны соответствовать проектной документации на данный энергообъект, требованиям Госстандарта и Минэнерго СССР.

1.3. Допускаемые классы точности счетчиков и измерительных трансформаторов, а также допустимые уровни потерь напряжения в линиях связи при учете электроэнергии, приведенные в таблице, соответствуют требованиям ПУЭ («Правила устройства электроустановок». Шестое издание. Переработанное и дополненное. (М.: Энергоатомиздат, 1986).

1.4. Должны иметься в наличии действующие свидетельства о поверке средств измерений электроэнергии либо свидетельства их метрологической аттестации в условиях эксплуатации, подтверждающие класс точности.

1.5. Условия эксплуатации счетчиков и трансформаторов (в том числе вторичные нагрузки) должны находиться в пределах рабочих условий применения согласно НТД и инструкциям применяемых типов СИ.

1.6. Оценка показателей точности измерений количества активной электроэнергии в реальных условиях эксплуатации производится по показаниям электросчетчиков и нормируемым метрологическим характеристикам счетчиков и трансформаторов.

Допускаемые классы точности счетчиков и измерительных трансформаторов, а также допустимые уровни потерь напряжения в линиях связи при учете электроэнергии

Наименование

Расчетный учет

Технический учет

Классы точности для

δU, % Uноpм

Классы точности для

δU, % Uноpм

СА

ТТ

ТН

СА

ТТ

ТН

Генераторы мощностью более 50 МВт, межсистемные линии электропередачи 220 кВ и выше, трансформаторы мощностью 63 МВ×А и более

0,5

0,5

0,5

0,25

1,0

1,0

1,0

1,5

Генераторы мощностью 15 – 20 МВт, межсистемные линии электропередачи 110 – 150 кВ, трансформаторы мощностью 10 – 40 МВ×А

1,0

0,5

0,5

0,25

2,0

1,0

1,0

1,5

Прочие объекты учета

2,0

0,5

1,0

0,5

2,0

1,0

1,0

1,5

СА – счетчики активной электроэнергии; ТТ - измерительный трансформатор тока; ТН – измерительный трансформатор напряжения; δU – потери напряжения в процентах от номинального значения.

2.1. В качестве показателей точности измерений количества активной электроэнергии согласно МИ 1317-86 (Методические указания. Государственная система обеспечения единства измерений. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров. – М.: Издательство стандартов, 1986) принимаются границы, в пределах которых суммарная погрешность измерений находится с заданной вероятностью.

2.2. Результаты измерений представляются в форме

W; ΔW от ΔWв до ΔWн; P,

где                  W  – результат измерений по показаниям счетчика, кВт×ч;

ΔW, ΔWв, ΔWн     – абсолютная погрешность измерений с ее верхней и нижней границей соответственно, кВт×ч;

P     – установленная доверительная вероятность, с которой погрешность измерений находится в этих границах.

2.3. Установленная доверительная вероятность принимается равной 0,95; доверительные границы погрешности результата измерений принимаются

Wв| = |ΔWн| = ΔW.

2.4. Суммарная абсолютная погрешность измерения количества электроэнергии (ΔW), кВт×ч, определяется как

ΔW = ±δИК(W/100),                                                        (1)

где δИК – суммарная относительная погрешность измерительного комплекса, %.

2.5. Предельно допускаемая погрешность ИК в реальных условиях эксплуатации (δИК) определяется как совокупность частных погрешностей СИ, распределенных по закону равномерной плотности (см. приложение 1),

                                                  (2)

где δоpi  – предел допускаемого значения основной погрешности i-го СИ по НТД, %;

δдpij – наибольшее возможное значение дополнительной погрешности i-го СИ от j-й влияющей величины, определяемое по данным НТД на СИ для реальных изменений влияющей величины, %;

n  – количество СИ, входящих в состав ИК;

l   – количество влияющих величин, для которых нормированы изменения метрологических характеристик i-го СИ.

2.6. В соответствии с формулой (2) числовое значение предельно допускаемой погрешности измерительного комплекса при трансформаторном подключении счетчика рассчитывается по формуле

                             (3)

где δpI, δpU  – пределы допускаемых значений погрешностей соответственно ТТ и ТН по модулю входной величины (тока и напряжения) для конкретных классов точности, %;

δ     – предел допускаемых потерь напряжения во вторичных цепях ТН в соответствии с ПУЭ;

δpθ     – предельное значение составляющей суммарной погрешности, вызванной угловыми погрешностями ТТ и ТН, %;

δоpсч  – предел допускаемого значения основной погрешности счетчика, %;

δpсчj   – предельные значения дополнительных погрешностей счетчика, %.

3.1. Определяются предельно допускаемые значения частных погрешностей СИ, входящих в измерительный комплекс, для условий эксплуатации.

3.2. Рассчитывается доверительный интервал с предельно допускаемыми нижней δикн и верхней δикв границами, в котором с заданной доверительной вероятностью (P = 0,95) находится суммарная относительная погрешность измерительного комплекса для учета электроэнергии в условиях эксплуатации.

3.3. Рассчитывается доверительный интервал с предельно допускаемыми нижней ΔWн и верхней ΔWв границами, в котором с заданной доверительной вероятностью (P = 0,95) находится абсолютная погрешность результата измерений.

3.4. Результатами расчета являются численные значения границ доверительного интервала ΔW.

4.1. Расчет проводится для ИК с трансформаторной схемой подключения трехфазного счетчика электроэнергии. Классы точности ТТ и ТН пофазно равны.

4.2. Средства измерений, входящие в состав ИК, характеризуются предельно допускаемыми значениями погрешностей в соответствии с классом точности по ГОСТ 7746-89, ГОСТ 1983-89, ГОСТ 6570-75, ГОСТ 26035-83.

4.2.1. В связи с отсутствием в НТД на ТТ и ТН данных об их дополнительных погрешностях и функциях влияния при расчете используется только предельные значения допускаемых погрешностей по ГОСТ 7746-89 и ГОСТ 1983-89. При этом, если диапазон изменения первичного тока I1 известен, то для погрешностей ТТ принимаются предельные значения погрешностей для нижней границы I1мин того из нормированных в ГОСТ 7746-89 диапазонов тока, внутри которого находится реальный диапазон изменения тока сети. В ином случае в качестве погрешностей ТТ для расчета принимаются наибольшие из всех значений, нормированных для данного класса ТТ.

4.3. Для линий связи ТН со счетчиком электроэнергии принимаются предельно допускаемые значения погрешности напряжения в виде потерь напряжения согласно ПУЭ, равные 0,25 %, 0,5 % или 1,5 % от U2ном (см. таблицу).

4.4. Составляющая относительной погрешности ИК, вызываемая частными угловыми погрешностями компонентов трансформаторной схемы подключения счетчика, рассчитывается по формуле

δ = 0,0291×θtgφ,                                                  (4)

                                                   (5)

где θ  – суммарный фазовый сдвиг между векторами тока и напряжения на входе счетчика, мин;

φ    – угол сдвига между векторами тока и напряжения контролируемой сети (первичных тока и напряжения), град;

θpI   – предел допускаемого значения угловой погрешности ТТ при I1 = Iмин по ГОСТ 7746-89 мин;

θpU  – предел допускаемого значения угловой погрешности ТН по ГОСТ 1963-89, мин.

4.5. Погрешности индукционного счетчика определяются по нормативным данным ГОСТ 6570-75, паспортным данным или результатам поверки в рабочих условиях применения.

4.5.1. При наличии априорных сведений о параметрах контролируемой сети I и cosφ значение основной погрешности индукционного счетчика принимается равным наибольшему значению допускаемой систематической погрешности класса точности по ГОСТ 6570-75 для соответствующего диапазона изменения рабочего тока счетчика при том нормативном значении cosφ, какое наиболее близко к реальному. В противном случае в качестве δоpсч принимается наибольшее из всех нормированных для данного класса значений погрешности, т.е. значение при I = 0,1Iном и cosφ = 0,5 инд.

При однофазной токовой нагрузке трехфазного счетчика значение погрешности δоpсч принимается по ГОСТ 6570-75 п. 1.11.

4.5.2. Дополнительные погрешности индукционного счетчика при отклонении влияющих величин от нормальных значений рассчитываются с использованием функций влияния по ГОСТ 6570-75 и значении пределов изменения влияющих величин: напряжения, частоты, температуры, наклона установки счетчика, внешнего магнитного поля.

Наибольшее возможное значение дополнительной погрешности δpсчj от влияющей величины ξi вычисляется по формуле

δpсчj = KpjΔξpj,                                                            (6)

где Kpj   – предельное значение допускаемого коэффициента изменения систематической составляющей относительной погрешности счетчика по ГОСТ 6570-75, %/% или %/°С, или %/град. геом.;

Δξpj  – предел изменения влияющей величины в реальных или в рабочих условиях применения счетчика по НТД, % или °С, или град. геом.

4.6. Погрешности электронного счетчика определяются по данным ПУ для конкретного типа счетчика или по ГОСТ 26035-83, или по данным поверки в рабочих условиях применения.

4.6.1. Предел допускаемого значения основной погрешности δоpсч (%) электронного счетчика активной энергии определяется в зависимости от m отношения произведения значений параметров реальных входных сигналов I, U и cosφ к произведению номинальных значений параметров счетчика

                                                           (7)

и вычисляется для 0,01 ≤ m < 0,2 по формуле

δоpсч = ± Kкл(0,9 + 0,02/m),                                              (8)

а для m ≥ 0,2 определяется как

δоpсч = ± Kкл,                                                          (9)

где Kкл – класс точности счетчика.

В случае однофазной токовой нагрузки трехфазного счетчика предел допускаемого значения основной погрешности равен 1,2δоpсч.

4.6.2. Дополнительные погрешности электронных счетчиков нормированы для следующих влияющих величин: изменение температуры окружающего воздуха при отклонении, от нормального tноpм до любого значения t в пределах рабочих условий, отклонение частоты Δf ≤ 2,5 Гц от нормального значения 50 Гц, воздействие внешнего магнитного поля индукции 5 мТ. При этом по ГОСТ 26035-83 определяются наибольшие возможные значения дополнительных погрешностей электронного счетчика

                                               (10)

где Δt = ttноpм.

Примечание. После введения новой подготавливаемой редакции ГОСТ на электронные счетчики, расчет погрешностей производится аналогично п. 4.5 на индукционные счетчики.

4.7. Примеры расчетов суммарной погрешности ИК учета электроэнергии на базе индукционного и электронного счетчика приведены в приложениях 2 и 3.

Обязательное

В соответствии с ГОСТ 8.009, Методическими указаниями. Характеристики погрешности средств измерений в реальных условиях эксплуатации. Методы расчета. РД 50-453-84 (М.: Издательство госстандартов, 1984) и МИ 1317-86 принимается допущение, что погрешности СИ являются случайными величинами. Факторы, влияющие на погрешности СИ, также рассматриваются как случайные и независимые величины.

1. Суммарная относительная погрешность ИК определяется как совокупность независимых частных погрешностей СИ:

                                     (11)

где K(P)   – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью и законом распределения погрешности;

σ[δИК]   – среднее квадратическое отклонение (с.к.о.) случайной относительной погрешности ИК для реальных условий эксплуатации, %;

σ[δi]   – с.к.о. случайной относительной погрешности i-го СИ, %;

n   – количество СИ, входящих в состав ИК.

2. Среднее квадратическое отклонение случайной относительной погрешности i-го СИ определяется по формуле

                                                (12)

где σ[δоi]  – с.к.о. основной относительной погрешности i-го СИ, %;

σ[δдij] – с.к.о. дополнительной относительной погрешности i-го СИ от j-й влияющей величины, %;

l   – количество влияющих величин, для которых нормированы изменения метрологических характеристик i-го СИ.

3. Среднее квадратическое отклонение основной относительной погрешности i-го СИ вычисляется по формуле

σ[δoi] = δоpi/Ki(P),                                                         (13)

где δоpi   – предел допускаемого значения основной относительной погрешности i-го СИ по НТД, %;

Ki(P)  – коэффициент, определяемый законом распределения основной относительной погрешности δоi и принятой доверительной вероятностью.

4. Среднее квадратическое отклонение дополнительной относительной погрешности i-го СИ, вызванное j-ой влияющей величиной, определяется по формуле

σ[δдij] = δдpij/Kij(P),                                                       (14)

где δдpij   – наибольшее возможное значение дополнительной относительной погрешности i-го СИ от j-ой влияющей величины, определяемое по НТД на СИ для реальных изменений влияющей величины, %;

Kij(P) – коэффициент, определяемый законом распределения дополнительной погрешности СИ и принятой доверительной вероятностью.

5. Расчет суммарной относительной погрешности ИК (δИК) в процентах производится по формуле

δИК = K(P)σ[δИК] =                                     (15)

полученной из (11) подстановкой (12 – 14), при известных или предполагаемых законах распределения частных погрешностей СИ.

6. Ввиду отсутствия в НТД данных о законах распределения погрешностей используемых СИ, ГОСТ 8.009-84 и 8.207-76 принимается допущение, что погрешности являются случайными величинами, распределенными по закону равномерной плотности, т.е. внутри интервала, ограниченного предельными значениями погрешностей, все значения равновероятны. Для расчетов допускается предположение Ki(P) = Kij(P) = √3, P = 1.

Тогда с.к.о. погрешности ИК определяется формулой

                                       (16)

7. Распределение суммарной погрешности принимается за нормальное, если частные погрешности распределены по закону равномерной плотности и число их не менее трех. При этом допущении для принятой доверительной вероятности P = 0,95 принимается K(P) = 1,96. Предельно допускаемая погрешность ИК в рабочих условиях применения по формуле (15) определяется выражением

                     (17)

Справочное

Данные для расчета

1. Измерительный комплекс схемы учета электроэнергии состоит из трехфазного индукционного счетчика активной энергии САЗУ-И681, подключенного через измерительные трансформаторы тока ТШВ 24 и напряжения ЗНОЛ 06-24.

2. Результат измерений за учтенный период по показаниям счетчика W = 100000 кВт×ч.

3. Характеристики входных сигналов измерительного комплекса за учетный период:

I = (0,5 ¸ 0,8)Iном;

U = (0,9 ¸ 1,0)Uном;

f = 50 ± 0,5 Гц

cosφ = 0,8 инд.

Фазы сети равномерно нагружены.

4. Технические и метрологические характеристики СИ

4.1. Трансформатор тока ТШВ 24-10Р (0,2)-24000/5 УЗ ГОСТ 7746-89, ТУ 16-517.861-80. Класс точности обмотки для измерений 0,2.

Условия эксплуатации – в пределах нормативных по НТД.

Пределы допускаемых значений погрешностей с учетом диапазона измерения первичного тока по ГОСТ 7746-89:

по току δрI = ±0,3 %;

по углу θрI = ±13′.

4.2. Трансформатор напряжения ЗНОЛ 06-24 УЗ, ГОСТ 1983-89. Класс точности 0,5.

Условия эксплуатации, в том числе вторичная нагрузка, – в пределах нормативных по НТД.

Пределы допускаемых значений погрешностей по ГОСТ 1983-89:

по напряжению δрU = ±0,5 %;

по углу θрU = ±20′.

4.3. Потери напряжения в линии связи – в пределах, допускаемых ПУЭ. Принимаются предельные значения погрешностей по напряжению δ = 0,25 %.

4.4. Суммарный сдвиг фазы θ между векторами тока и напряжения, вносимый трансформаторной схемой подключения счетчика, вычисляется по формуле (5) и составляет

4.5. Расчет составляющей суммарной погрешности ИК, определяемой угловыми погрешностями СИ, производится по формуле (4)

δpθ = ±0,0291×24×0,754 = ±0,527 %.

4.6. Трехфазный трехпроводный счетчик активной энергии САЗУ-И681, ГОСТ 6570-75. Класс точности 1,0.

Условия эксплуатации – в пределах нормативных по НТД, а именно: пределы изменения влияющих величин:

по напряжению ΔU = Δξр1 = ±10 % от Uном;

по частоте Δf = Δξр2 = ±1 % от fном;

по температуре tн= 10 °С, tв = 30 °С, Δt = Δξp3 = ±10 °С;

по отклонению оси счетчика от вертикали αS = Δξ = 3° геом.;

внешнее магнитное поле отсутствует.

Функции влияния по ГОСТ 6570-75 (с учетом диапазона изменения тока счетчика) в виде коэффициентов изменения погрешности от:

напряжения KрU = Kр1 = ±0,08 %/%;

частоты Kрf = Kр2 = ±0,18 %/%;

температуры Kpt = Kp3 = ±0,06 %/°С;

наклона KрS = Kр4 = ±0,13 %/°геом.

В соответствии с п. 4.5.1 МУ принимается предельное значение основной погрешности счетчика по ГОСТ 6570-75 δоpсч = ±1,0 %.

Дополнительные погрешности счетчика рассчитываются по формуле (6) и составляют

δpсч1 = Kр1Δξp1 = 0,08×10 = ±0,8 %;

δpсч2 = Kр2Δξp2 = 0,18×1 = ±0,18 %;

δpсч3 = Kр3Δξp3 =  0,06×10 = ±0,6 %;

δpсч4 = Kр4Δξp4 = 0,13×3 = ±0,39 %.

5. Расчет относительной погрешности измерительного комплекса учета электроэнергии.

Численное значение предельно допускаемой относительной погрешности ИК рассчитывается по формуле (3) с подстановкой значений частных погрешностей, указанных выше

δИК н(в) = ±1,1

Для сравнения: погрешность данного ИК в нормальных условиях, т.е. без учета дополнительных погрешностей счетчика, составляет δИК = ±1,43 %.

Принимается значение нижней (верхней) границы доверительного интервала, в котором с заданной вероятностью P = 0,95 находится относительная погрешность канала измерения активной электроэнергии

δИК н(в) = ±1,9 %.

6. По формуле (1) определяется численное значение нижней (верхней) границы доверительного интервала, в котором с вероятностью P = 0,95 находится абсолютная погрешность результата измерения электроэнергии

ΔWн(в) = ±(1,9×100000)/100 = ±1900 кВт×ч.

7. Результат измерения записывается в виде:

W = 100000 кВт×ч; ΔW = ±1900 кВт×ч; P = 0,95.

Справочное

Данные для расчета

1. Измерительный комплекс схемы учета электроэнергии, отпущенной с шин электростанции, состоит из электронного трехфазного счетчика электроэнергии Ф443, подключенного через измерительные трансформаторы тока ТФРМ-330 Б и напряжения НКФ-330.

2. Результат измерения за учетный период по показаниям счетчика 300000 кВт×ч.

3. Характеристики контролируемой сети:

I = (0,8 ¸ 1,0)Iном;

U = (1,0 ¸ 1,05)Uном;

f = 50 ± 0,2 Гц;

cosφ = 1,0.

Система симметрично нагружена.

4. Технические и метрологические характеристики СИ

4.1. Трансформатор тока ТФРМ-330 Б-VI, ГОСТ 7746-89, ТУ 16-517.929-80. Класс точности обмотки для измерений 0,2.

Условия эксплуатации – в пределах нормативных по НТД. Пределы допускаемых значений погрешностей по ГОСТ 7746-89 с учетом диапазона изменения первичного тока:

по току δрI = ±0,25 %

по углу θрI = ±11′.

4.2. Трансформатор напряжения НКФ-330-83-VI-1, ГОСТ 1983-89, ТУ 16-671.003-83. Класс точности 0,5.

Условия эксплуатации, в том числе вторичная нагрузка, – в пределах нормативных по НТД.

Пределы допускаемых значений погрешностей:

по напряжению δрU = ±0,5 %,

по углу θрU = ±20′.

4.3. Потери напряжения в линии связи ТН со счетчиком – в пределах, допускаемых ПУЭ. Принимаются предельные значения погрешностей по напряжению δ = 0,25 %.

4.4. Составляющая погрешности ИК, определяемая частными угловыми погрешностями элементов трансформаторной схемы подключения счетчика, в соответствии с формулой (4) МУ при cosφ = 1 равна нулю, т.е. δpθ = 0.

4.5. Трехфазный электронный счетчик электроэнергии Ф 443, ГОСТ 26035-83, ТУ 25-0420.012-83. Класс точности измерения активной энергии 0,5.

Условия эксплуатации – в пределах рабочих условий применения по НТД, а именно: пределы изменений по температуре tн = -10°С, tв = +50 °С, Δt = ±30 °С при tноpм = +20 °С; внешнее магнитное поле индукции 0,5 мТ.

Предел допускаемого значения основной погрешности счетчика определяется в соответствии с п. 4.6.1 МУ и ГОСТ 26035-83 и составляет δоpсч = ±0,5 %.

Пределы дополнительных погрешностей счетчика определяются по формулам п. 4.6.2 МУ и равны

δpсч1 = δpсчt = 0,05×0,5×30 = ±0,75 %;

δpсч2 = δpсчf = 0,5×0,5 = ±0,25 %,

δpсч3 = ±0,5 %.

5. Расчет относительной погрешности измерительного комплекса учета электроэнергии

Численное значение предельно допускаемой относительной погрешности ИК рассчитывается по формуле (3) с подстановкой значений, указанных выше:

δИК н(в) = ±1,1

Принимается значение нижней (верхней) границы доверительного интервала, в котором с заданной вероятностью P = 0,95 находится относительная погрешность комплекса измерения активной электроэнергии

δИК н(в) = ±1,7 %.

6. По формуле (1) определяется численное значение нижней (верхней) границы доверительного интервала, в котором с вероятностью P = 0,95 находится абсолютная погрешность результата измерения электроэнергии

ΔWн(в) = ±(1,7×300000)/100 = ±5100 кВт×ч.

7. Результат измерения записывается в виде:

W = 300000 кВт×ч; ΔW = ±5100 кВт×ч; P = 0,95.

СОДЕРЖАНИЕ

 

Точность и погрешность измерений — урок. Физика, 7 класс.

Измерение физических величин основано на том, что физика исследует объективные закономерности, которые происходят в природе.

Найти значение физической величины — умножить конкретное число на единицу измерения данной величины, которая стандартизирована (эталоны). 

 

Обрати внимание!

Процесс измерения физической величины состоит из:

1) поиска ее значения с помощью опытов и средств измерения,

2) вычисления достоверности (точности измерений) полученного значения. 

Точность измерений зависит от многих причин:

  • расположение наблюдателя относительно измерительного прибора: если на линейку смотреть сбоку, погрешность измерений произойдёт по причине неточного определения полученного значения;
  • деформация измерительного прибора: металлические и пластиковые линейки могут изогнуться, сантиметровая лента растягивается со временем;
  • несоответствие шкалы прибора эталонным значениям: при множественном копировании эталонов может произойти ошибка, которая будет множиться;
  • физический износ шкалы измерений, что приводит к невозможности распознавания значений

Рассмотрим на примере измерения длины бруска линейкой с сантиметровой шкалой.

 

 

Рис. \(1\). Линейка и брусок

 

Внимательно рассмотрим шкалу. Расстояние между двумя соседними метками составляет \(1\) см. Если этой линейкой измерять брусок, который изображён на рисунке, то правый конец бруска будет находиться между \(9\) и \(10\) метками.

У нас есть два варианта определения длины этого бруска.

\(1\). Если мы заявим, что длина бруска — \(9\) сантиметров, то недостаток длины от истинной составит более половины сантиметра (\(0,5\) см \(= 5\) мм).

\(2\). Если мы заявим, что длина бруска — \(10\) сантиметров, то избыток длины от истинной составит менее половины сантиметра (\(0,5\) см \(= 5\) мм).

Погрешность измерений — это отклонение полученного значения измерения от истинного.

Погрешность измерительного прибора равна цене деления прибора.

Для первой линейки цена деления составляет \(1\) сантиметр. Значит, погрешность этой линейки \(1\) см.

Если нам необходимо произвести более точные измерения, то следует поменять линейку на другую, например, с миллиметровыми делениями. В этом случае цена деления будет равна \(1\) мм, а длина бруска —  \(9,8\) см.

 

 

Рис. \(2\). Деревянная линейка

 

Если же необходимы еще более точные измерения, то необходимо найти прибор с меньшей ценой деления, например, штангенциркуль. Существуют штангенциркули с ценой деления \(0,1\) мм и \(0,05\) мм.

 

 

Рис. \(3\). Штангенциркуль

 

На процесс измерения влияют следующие факторы: масштаб шкалы прибора, который определяет значения делений и расстояние между ними; уровень экспериментальных умений.

Считается, что погрешность прибора превосходит по величине погрешность метода вычисления, поэтому за абсолютную погрешность принимают погрешность прибора.

Результаты измерения записывают в виде A=a&PlusMinus;Δa, где \(A\) — измеряемая величина, \(a\) — средний результат полученных измерений, Δa  — абсолютная погрешность измерений.

Источники:

Рис. 1. Линейка и брусок. © ЯКласс.

что это такое, как измеряется

Чтобы качественно проводить маркетинговые исследования, необходимо учитывать погрешность измерений. Из-за пренебрежения этим параметром рекламная кампания может не пройти успешно и принести убытки фирме. Производя математические расчеты, удается получить данные, максимально приближенные к реальным цифрам.

Определение

Проводя измерение параметров рынка, маркетолог получает результаты в виде таблиц, графиков и пр. Эти данные он предоставляет заказчику. Но в отчетах не все специалисты указывают важную величину — погрешность, о которой клиент не подозревает. 

Погрешность — это отклонение результата данных от измеряемой величины. Термин используется в физике, экономике и маркетинге.

Погрешность измерений — это сумма всех погрешностей, у каждой из которых имеется причина.

Оценка специалиста считается неточной, если эта величина не указана.

Что влияет на погрешность

На погрешность влияют:

  • неточности из-за принципа регистрации;

  • причины, объясняемые концевой мерой;

  • факторы, обусловленные исполнителем действий;

  • причины, провоцируемые изменениями условий.

Погрешность, связанная с методиками измерения (их несовершенство, упрощение) возникает из-за выбора примерных формул или неподходящего способа. Использование не того метода случается из-за несоответствия рассматриваемой величины и модели.

Факторы, влияющие на процесс:

  • Вариативность показаний — это самая явная разность показателей, полученных в прямом или обратном ходе при одинаковом действительном значении рассматриваемой величины и неизменных окружающих условий процесса.

  • Прецизионность — позволяет понять, насколько точно производятся расчеты. Определяется тем, насколько схожие получается показатели при одинаковых условиях измерений.

Классификация

Погрешности классифицируются по нескольким характеристикам. В маркетинговых исследованиях используются не все ее виды, поскольку погрешность в этой сфере не измеряется при помощи специальных приборов.

По форме представления

Первый тип — абсолютная погрешность. Она представляет собой алгебраическую разность между реальным и номинальными значениями. Она регистрируется в тех же величинах, что и основной объект. В расчетах абсолютный показатель помечается буквой ∆.

Например, линейка — наиболее простой и привычный каждому измерительный инструмент. При помощи верхней шкалы на ней определяются значения с точностью до миллиметра. Нижняя имеет другой масштаб (до 0,1 дюйма–2,54 мм). Несложно проверить, что на этом приборе погрешность верхней части меньше, чем нижней. Точность измерений в случае с линейкой будет зависеть от ее конструктивных особенностей.

Абсолютная погрешность измеряется той же единицей измерений, что и изучаемая величина. В процессе используется формула:

Δ = х1 – х2, где х1 — измеренная величина, а х2 — реальная величина.

Второй тип – относительная погрешность (проявляется в виде отношение абсолютного и истинного значения). Показатель не имеет собственной единица измерения или отражается процентно. В расчетах помечается как δ.

Она является более сложным значением, чем может показаться. В расчетах используется формула:

δ = (Δ / х2)·100 %

Стоит отметить, что если истинное значение имеет малую величину, то относительная — большую. Например, если стандартной линейкой (30 см) измеряется коробки (150 мм), то вычисление будет иметь вид: δ = 1 мм/150 мм = 0,66%. Если этот же прибор использовать для экрана смартфона (80 мм), то получится δ = 1 мм/80 мм = 1,25%. Получается, что в обоих случаях абсолютная погрешность не изменяется, но относительная отличается в разы. Во втором случае рекомендуется использовать более точный прибор.

Последний тип — приведенная погрешность. Она используется, чтобы не допустить такого разброса на одном приборе. Работает, как относительная, но вместо истинного значения в формуле применяется нормирующая шкала (общая длина линейки, например).

γ = (Δ / х3)·100 %, где х3 — это нормирующая шкала

Например, если потребуется измерить ту же коробку и смартфон, то придется учесть абсолютную величину в 1мм и приведенную погрешность — 1/300*100 =0,33 %. Если взять швейный метр и сравнить его с линейкой, то получится, что первый показатель в обоих случаях остается 1 мм, а второй отличается в разы (0,33% и 0,1%).

По причине возникновения

Тут выделяются два типа погрешностей:

  • Инструментальные — они объясняются особенностями строения измерительных приборов. Могут встречаться на фоне недостаточного качества частей оборудования. К такого рода погрешностям относят производство конструкции, ошибки из-за трения механизмов, малой жесткости поверхностей. Показатель отличается для любого из измерений и не может быть обобщен.

  • Методическая — это неточности расчетов, проявляющиеся из-за несовершенства применяемых методом, ошибок вычислений, соотношений, применяемых для оценки.

В маркетинге возможен только второй тип погрешности.

По характеру проявления

Выделяются систематические погрешности, которые характеризуются постоянными или закономерными изменениями показателей при повторных измерениях в пределах одной величины. 

Другой вид — случайные погрешности. Они проявляются в произвольном порядке при повторном измерении одних и тех же величин. 

Статическая погрешность — это неточность результата, характерная для статических измерений. 

Динамическая погрешность — характерна для изменяемых величин. 

По способу измерения

Выделяется погрешность градуировки приборов. Относится к действительному значению величины, указанному в той или другой отметке прибора в результате нанесения градуировки.

Также встречается неточность адекватности модели. Проявляется в виде неточности при подборе функциональной зависимости. В качестве примера можно взять процесс расчета линейной зависимости по сведениям, которые эффективнее отражаются совсем другим методом. Эта неточность используется для проверки модели.

Заключение

В маркетинге обычно используют данные статистической погрешности. Они помогают специалистам предварительно узнать результат и определить успешность рекламной кампании. Знание формул и умение проводить расчеты повышает экспертность и ценность специалиста. 


Погрешность измерения — что это такое, определение в маркетинге на ROMI center

Что такое погрешность измерения

Любой расчет состоит из истинного и вычисляемого значения. При этом всегда должны учитываться значения ошибки или погрешности. Погрешность — это расхождение между истинным значением и вычисляемым. В маркетинге выделяют следующие виды погрешностей.

  1. Математическая погрешность. Она описывается алгебраической формулой и бывает абсолютной, относительной и приведенной. Абсолютная погрешность измерения — это разница между вычисляемым и истинным значением. Относительная погрешность вычисляется в процентном соотношении истинного значения и полученного. Вычисление погрешности приведенной схоже с относительной, указывается она также в процентах, но дает разницу между нормирующей шкалой и полученными данными, то есть между эталонными и полученными значениями.
  2. Оценочная погрешность. В маркетинге она бывает случайной и систематической. Случайная погрешность возникает из-за любых факторов, которые случайным образом влияют на измерение переменной в выборке. Систематическая погрешность вызывается факторами, которые систематически влияют на измерение переменной в выборке.

Математическая погрешность: формула для каждого типа

Если определение погрешности можно провести точным путем, она считается математической. Зачем нужно вычисление этого значения в маркетинге?

Погрешности возникают настолько часто, что популярной практикой в исследованиях является включение значения погрешности в окончательные результаты. Для этого используются формулы. Математическая погрешность — это значение, которое отражает разницу между выборкой и фактическим результатом. Если при расчетах учитывалась  погрешность, в тексте исследования указывается что-то вроде: «Абсолютная погрешность для этих данных составляет 3,25%». Погрешность можно вычислить с любыми цифрами: количество человек, участвующих в опросе, погрешность суммы, затраченной на маркетинговый бюджет, и так далее.

Формулы погрешностей вычисляются следующим образом.

Абсолютная погрешность измерений: формула

Формула дает разницу между измеренным и реальным значением.

Формула абсолютной погрешности

Относительная погрешность: формула

Формула использует значение абсолютной погрешности и вычисляется в процентах по отношению к фактическому  значению.

Формула относительной погрешности

Приведенная погрешность: формула

Формула также использует значение абсолютной погрешности. В чем измеряется приведенная погрешность? Тоже в процентах, но в качестве «эталона» используется не реальное значение, а единица измерения любой нормирующей шкалы. Например, для обычной линейки это значение равно 1 мм.

Формула приведенной погрешности

Классификация оценочной погрешности

Определение погрешности в оценках — это всегда методическая погрешность, то есть допустимое значение ошибки, основанное на методах проведения исследования. Погрешность метода вызывает два типа погрешностей — случайные и систематические. Таблица погрешностей в графической форме покажет все возможные типы.

Классификация оценочной погрешности

Что такое случайная погрешность

Случайная погрешность бывает статической и динамической. Динамическая погрешность возникает, когда мы имеем дело с меняющимися значениями — например, количество человек в выборке при маркетинговом исследовании. Статическая погрешность описывает ошибки при вычислении неизменных величин — вроде количества вопросов в вопроснике. Все они относятся к случайным погрешностям.

Типичный пример возникновения случайной погрешности — настроение участников маркетингового опроса. Как известно, эмоциональный настрой человека всегда влияет на его производительность. В ходе тестирования одни люди могут быть в хорошем расположении духа, а другие — в «миноре». Если настроение влияет на их ответы по заданному критерию выборки, это может искусственно завышать или занижать наблюдаемые оценки. Например, в случае с истинным значением 1 случайная погрешность может дать как -0,8, так и +0,5 к этому числу. Очень часто это случается при оценке времени ответа, например.

Случайная погрешность добавляет изменчивости данным, но не оказывает постоянного влияния на всю выборку. Вместо этого она произвольно изменяет измеряемые значения в диапазоне. В маркетинговой практике считается, что все случайные погрешности в распределении перекрывают друг друга и практически не влияют на конечный результат. Поэтому случайная погрешность считается «шумом» и в расчет не принимается. Эту погрешность нельзя устранить совсем, но можно уменьшить, просто увеличив размер выборки.

Что такое систематическая погрешность

Систематическая погрешность существует в результатах исследования, если эти результаты показывают устойчивую тенденцию к отклонению от истинных значений. Иными словами, если полученные цифры постоянно выше или ниже расчетных, речь идет о том, что в данных имеется систематическая погрешность.

В маркетинговых исследованиях есть два основных типа систематической погрешности: погрешность выборки и погрешность измерения. 

Погрешность выборки

Погрешность выборки возникает, когда выборка, используемая в исследовании, не репрезентативна для всей совокупности данных. Типы такой погрешности включают погрешность структуры, погрешность аудитории и погрешность отбора.

Погрешность структуры

Погрешность структуры возникает из-за использования неполной или неточной основы для выборки. Распространенным источником такой погрешности в рамках маркетинговых исследований является проведение какого-либо опроса по телефону на основе существующего телефонного справочника или базы данных абонентов. Многие данные там указаны неполно или неточно — например, если люди недавно переехали или изменили свой номер телефона. Также такие данные часто указывают неполную или неверную демографию.

Если в качестве основы для исследования взят телефонный справочник, оно подвержено погрешности структуры, так как не учитывает всех возможных респондентов.

Погрешность аудитории

Погрешность аудитории возникает, если исследователь не знает, как определить аудиторию для исследования. Пример — оценка результатов исследования, проведенного среди клиентов крупного банка. Доля ответов на анкету составила чуть менее 1%. Анализ профессий всех опрошенных показал, что процент пенсионеров среди них в 20 раз выше, чем в целом по городу. Если эта группа значительно различается по интересующим переменным, то результаты будут неверными из-за погрешности аудитории.

Погрешность отбора

Даже если маркетологи правильно определили структуру и аудиторию, они не застрахованы от погрешности отбора. Она возникает, когда процедуры отбора являются неполными, неправильными или не соблюдаются должным образом. Например, интервьюеры при полевом исследовании могут избегать людей, которые живут в муниципальных домах. Потому что, по их мнению, жители вряд ли согласятся пройти такой опрос. Если жители муниципальных домов отличаются от тех, кто проживает в домах бизнес-класса, в результаты опроса будет внесена погрешность отбора.

Как минимизировать погрешность выборки

  • Знайте свою аудиторию.
    Знайте, кто покупает ваш продукт, использует его, работает с вами и так далее. Имея базовую социально-экономическую информацию, можно составить стабильную выборку целевой аудитории. Маркетинговые исследования часто касаются одной конкретной группы населения — например, пользователей Facebook или молодых мам.
  • Разделите аудиторию на группы.
    Вместо случайной выборки разбейте аудиторию на группы в соответствии с их численностью в общей совокупности данных. Например, если люди с определенной демографией составляют 35% населения, убедитесь, что 35% респондентов исследования отвечают этому условию.
  • Увеличьте размер выборки.
    Больший размер выборки приводит к более точному результату.

Погрешность измерения

Погрешность измерения представляет собой серьезную угрозу точности исследования. Она возникает, когда существует разница между искомой информацией — то есть истинным значением, и информацией, фактически полученной в процессе измерения. К таким погрешностям приводят различные недостатки процесса исследования. Погрешность измерения, в основном, вызывается человеческим фактором — например, формулировкой вопросника, ошибками ввода данных и необъективными выводами.

К погрешностям измерения приводят следующие виды ошибок.

Ошибка цели

Ошибка цели возникает, когда существует несоответствие между информацией, фактически необходимой для решения проблемы, и данными , которые собирает исследование. Например, компания Kellogg впустую потратила миллионы на разработку завтраков для снижения уровня холестерина. Реальный вопрос, который нужно было бы задать в исследовании, заключался в том, купят ли люди овсяные хлопья для решения своей проблемы. Ответ «Нет» обошелся бы компании дешевле.

Предвзятость ответов

Некоторые люди склонны отвечать на конкретный вопрос определенным образом. Тогда возникает предвзятость ответа. Предвзятость ответа может быть результатом умышленной фальсификации или неосознанного искажения фактов.

Умышленная фальсификация происходит, когда респонденты целенаправленно дают неверные ответы на вопросы. Есть много причин, по которым люди могут сознательно искажать информацию. Например, они хотят скрыть  или хотят казаться лучше, чем есть на самом деле.

Бессознательное искажение информации происходит, когда респондент пытается быть правдивым, но дает неточный ответ. Этот тип предвзятости может возникать из-за формата вопроса, его содержания или по другим причинам.

Предвзятость интервьюера

Интервьюер оказывает влияние на респондента — сознательно или бессознательно. Одежда, возраст, пол, выражение лица, язык тела или тон голоса могут повлиять на ответы некоторых или всех респондентов.

Ошибка обработки

Примеры включают наводящие вопросы или элементы дизайна анкеты, которые затрудняют запись ответов или приводят к ошибкам в них.

Ошибка ввода

Это ошибки, возникающие при вводе информации. Например, документ может быть отсканирован неправильно, и его данные по ошибке перенесутся неверно. Или люди, заполняющие опросы на смартфоне или ноутбуке, могут нажимать не те клавиши.

Виды проводимых маркетинговых исследований различны, поэтому универсальных рецептов не существует. Мы дадим несколько общих советов, используемых для минимизации систематических погрешностей разного типа.

Как минимизировать погрешность измерения

  • Предварительно протестируйте.
    Погрешностей обработки и предвзятости можно избежать, если проводить предварительные тесты вопросника до начала основных интервью.
  • Проводите выборку случайным образом.
    Чтобы устранить предвзятость, при выборке респондентов можно включать каждого четвертого человека из общего списка.
  • Тренируйте команду интервьюеров и наблюдателей.
    Отбор и обучение тех, кто проводит исследования, должен быть тщательным. Особое внимание нужно уделять соблюдению инструкций в ходе каждого исследования.
  • Всегда выполняйте проверку сделанных записей.
    Чтобы исключить ошибки ввода, все данные, вводимые для компьютерного анализа, должны быть перепроверены как минимум дважды.

Мир без ошибок  не может существовать. Но понимание факторов, влияющих на маркетинговые исследования и измеряемые погрешности, имеет важное значение для сбора качественных данных.

7 шагов для расчета погрешности измерения

Введение

Расчет неопределенности измерения непрост. На самом деле, я каждый день разговариваю с людьми, у которых есть проблемы с оценкой неопределенности. Поэтому я решил составить это руководство, раскрывающее мой эксклюзивный семиэтапный процесс расчета неопределенности измерений.

В этом руководстве вы узнаете, как рассчитать погрешность измерения за семь простых шагов.Кроме того, вы узнаете, какая информация вам нужна для расчета неопределенности, как определить факторы, влияющие на неопределенность, и как оценить ваши расчеты, чтобы предотвратить переоценку или недооценку неопределенности. Кроме того, я поделюсь с вами некоторыми из своих эксклюзивных советов, которые помогут вам рассчитать неопределенность на профессиональном уровне.

Данное руководство не является полным практическим руководством. И не ответит на все ваши вопросы. Вместо этого его следует использовать в качестве краткого справочного руководства, чтобы упростить процесс оценки неопределенности до семи шагов и узнать некоторые секреты моего персонала, используемые при расчете неопределенности.

Итак, прочтите это руководство и воспользуйтесь моими советами, которые помогут вам рассчитать неопределенность. Если у вас есть вопросы, обязательно свяжитесь со мной. Кроме того, не стесняйтесь использовать это руководство, чтобы помочь вам написать процедуру определения неопределенности для вашей лаборатории.

 
Нажмите здесь, чтобы бесплатно загрузить простой калькулятор неопределенности!

 
 

Как рассчитать погрешность измерения

Оценка неопределенности измерения может оказаться сложной задачей.Тем более, что в большинстве руководств по оценке неопределенности измерений не приводится процесс или процедура.

Поэтому я разработал процесс из семи шагов, который вы можете использовать каждый раз, когда оцениваете неопределенность измерений. Просто следуйте инструкциям ниже, когда вам нужно создать бюджет неопределенности.

  1. Укажите процесс измерения
  2. Выявление источников неопределенности
  3. Количественная оценка источников неопределенности
  4. Характеристика источников неопределенности
  5. Преобразование неопределенностей в стандартные отклонения
  6. Расчет совокупной неопределенности
  7. Расчет расширенной неопределенности
  8. Оцените свой бюджет на случай неопределенности

 
 

Шаг 1.Укажите процесс измерения и уравнение

Прежде чем погрузиться и начать вычислять неопределенность, лучше иметь план. Первая часть вашего плана должна состоять в том, чтобы определить процесс измерения или систему, которую вы хотите оценить.

Это поможет вам сформулировать анализ неопределенности и сосредоточить внимание на самом важном.

 
 

Как указать процесс измерения

Чтобы указать процесс измерения, следуйте приведенным ниже инструкциям:

  1. Выберите тест или функцию измерения для оценки.
  2. Выберите используемый метод измерения или процедуру.
  3. Выберите оборудование, которое будет использоваться.
  4. Выберите желаемый диапазон функции измерения.
  5. Определите контрольные точки для оценки.

Если применимо, укажите математическое уравнение, характеризующее функцию измерения.

 
 

Нужна дополнительная помощь

Если у вас возникли проблемы с этим процессом, попробуйте ответить на следующие вопросы:

  1. Что я измеряю?
  2. Как мне его измерить?
  3. Какой метод я буду использовать?
  4. Какое оборудование мне понадобится?
  5. Каков диапазон (т.грамм. min и max) моей измерительной способности?
  6. Каковы мои целевые тест-поинты?

Ответив на приведенные выше вопросы, используйте свои ответы, чтобы определить, какой процесс измерения вы оцениваете. Затем добавьте эту информацию в свой бюджет неопределенности. Взгляните на изображение ниже.

После того, как вы определили, что будете оценивать, вы можете перейти к следующему шагу.

 

 
 

Как насчет косвенных измерений?

Если вы выполняете непрямые измерения, требующие расчета результатов измерений, вам следует оценить уравнение, используемое для определения результата измерения.Каждая переменная в уравнении будет иметь свою собственную неопределенность, которая напрямую повлияет на неопределенность, связанную с вычисленным результатом измерения.

Чтобы помочь вам, подумайте об использовании грузопоршневых манометров или о калибровке датчиков крутящего момента и стандартных резисторов. Каждый из этих процессов измерения требует, чтобы вы использовали уравнение для вычисления результата в целях сравнения. Чтобы оценить неопределенность, вы захотите разбить уравнение и оценить неопределенность каждой переменной в уравнении.

 
Если вы хотите узнать больше о задании функции измерения и процесса для анализа неопределенности, ознакомьтесь с этим руководством:

 
 

Шаг 2. Идентификация и характеристика источников неопределенности

Теперь, когда вы определили процесс измерения, который собираетесь оценивать, необходимо определить факторы, влияющие на неопределенность результатов измерения.

Этот процесс обычно непрост и может быть очень утомительным.Так что сохраняйте спокойствие, наберитесь терпения и продолжайте исследования. Вы можете быть удивлены тем, как много факторов может повлиять на результаты ваших измерений.

Прежде чем вы начнете, я рекомендую вам найти книгу или руководство по процессу измерения, который вы оцениваете. Учебники по физике, химии и инженерному делу могут пригодиться для понимания основ и подробной информации о вашем процессе измерения. Если новые учебники слишком дороги, вы можете купить подержанные книги по разумной цене на таких сайтах, как eBay, Amazon или Chegg.

Другими ресурсами, которые вы, возможно, захотите рассмотреть, являются методы ASTM и ISO. Однако, если вам нравятся бесплатные ресурсы (как и мне), вы можете поискать на веб-сайтах Национального института метрологии, таких как NIST, NPL и BIPM. У них могут быть загружаемые руководства, относящиеся к вашим конкретным процессам измерения.

 
 

Поиск источников неопределенности

Поиск источников неопределенности может быть затруднен. Для проведения исследования требуется много времени и усилий.Это наиболее трудоемкий процесс при оценке неопределенности измерений.

Исходя из моего опыта, поиск факторов, влияющих на неопределенность, обычно требует 50 % времени, затрачиваемого на оценку неопределенности. Взгляните на график ниже, чтобы увидеть, как вы обычно тратите свое время на оценку неопределенности.

 

 

Однако, если вы потратите время на оценку вашего процесса и проведение исследований, вы сможете определить несколько источников неопределенности для своего анализа.После этого составьте список этих предметов. Вы попытаетесь количественно их оценить позже.

 

Pro-Tip: Сохраняйте и архивируйте свои заметки и ресурсы, на поиски которых вы потратили так много времени. Это сэкономит вам время в будущем.

 
 

Как найти источники неопределенности

Чтобы найти источники неопределенности для вашего анализа, выполните шаги, перечисленные ниже:

  1. Оцените метод испытаний, процедуру калибровки или процесс измерения.
  2. Оцените уравнения измерения (если имеются).
  3. Оцените оборудование, эталонные стандарты и реагенты.
  4. Определите минимально необходимые источники неопределенности.
  5. Исследуйте различные источники информации.
  6. Проконсультируйтесь со специалистом.

 
 

Лучшие места для поиска источников неопределенности

Когда вам нужно найти источники неопределенности, полезно иметь список доступных ресурсов.

Ниже приведен список мест, включая ссылки, которые вы можете использовать для поиска источников неопределенности.

 
 

Функции измерения с уравнениями

Если ваша функция измерения включает уравнения, то процесс оценки неопределенности немного отличается. Вы захотите определить каждую переменную в уравнении и подумать о том, что влияет на каждую переменную.

Например, если вы оцениваете калибровку датчика крутящего момента, вы сначала запишете уравнение.

 

 

При дальнейшей оценке уравнения вы начинаете учитывать другие факторы, влияющие на уравнение. В этом примере мы начинаем учитывать радиус моментного рычага и троса, массу грузов и чаши, а также местную гравитацию. При необходимости мы можем еще больше оценить уравнение, чтобы учесть больше влияний и повысить сложность вашего анализа неопределенностей.

 

 

Теперь, когда вы определили уравнение и переменные, вы можете начать исследовать, какие факторы могут вызвать изменения или вариации каждой переменной.Используя приведенный выше пример, подумайте о том, как изменения температуры могут вызвать тепловое линейное расширение или сжатие радиуса руки и как это может повлиять на плотность воздуха, которая влияет на поправку на плавучесть воздуха, которая может изменить величину приложенной силы.

Как видите, оценка уравнений может помочь найти источники неопределенности. Хотя этот процесс может показаться простым, он может стать довольно сложным в зависимости от сложности уравнения. Знание правил распространения неопределенности может пригодиться на шаге 5.

 
 

Функции измерения без формул

Большинство функций измерения, которые вы оцениваете, не будут иметь уравнений. Таким образом, вам нужно будет оценить процесс измерения, чтобы найти факторы, влияющие на неопределенность измерений.

Начните с оценки основных элементов процесса измерения, включая:

  1. Метод,
  2. Оборудование,
  3. Персонал,
  4. Окружающая среда,
  5. Тестируемый блок и
  6. Результаты

Оценивая эти категории, вы обнаружите источники неопределенности, влияющие на результаты измерений.

Взгляните на таблицу ниже. Начните разбивать каждую категорию, чтобы увидеть, что вы найдете.

 

 

Возможно, вам повезет, и вы найдете документ или руководство с диаграммой причин и следствий (также известной как «рыбья кость») или уже подготовленным бюджетом неопределенности с информацией, применимой к вашему анализу неопределенности.

Главное, что вы должны сделать, чтобы найти источники неопределенности, — это исследовать и исследовать.

 
Чтобы узнать больше о поиске источников погрешности измерений, ознакомьтесь с этим руководством:

 
 

Шаг 3.Количественная оценка компонентов неопределенности

Перед расчетом неопределенности измерения необходимо сначала определить величину каждого фактора, влияющего на результат. Для этого вам может потребоваться выполнить некоторую обработку и анализ данных.

 
 

Как количественно оценить неопределенность

Для количественной оценки неопределенности необходимо выполнить следующие четыре шага:

  1. Сбор информации и данных
  2. Оценка и выбор правильных данных
  3. Анализ данных
  4. Количественная оценка компонентов неопределенности

 
 

Сбор информации и данных

Для начала вам необходимо собрать информацию и данные, связанные с вашим анализом неопределенности.Вы должны были найти большую часть этой информации на шаге 2.

Взгляните на список ниже и соберите следующие предметы. Они понадобятся вам для количественной оценки источников неопределенности.

  1. Последние 3 отчета о калибровке
  2. Исследования повторяемости и воспроизводимости (R&R)
  3. Метод или процедура
  4. Результаты эксперимента
  5. Руководства по производству и спецификации
  6. Технические документы и руководства
  7. Опубликованные статьи, исследования, журнальные статьи и т. д.

Используя пункты из приведенного выше списка, вы сможете определить, какая доля неопределенности вносится каждым источником. Если вам нужна помощь, вы можете связаться со мной для получения дополнительных рекомендаций или нанять меня для анализа данных для вас.

 
 

Оценка информации и выбор правильных данных

Далее вам необходимо оценить имеющуюся у вас информацию и найти данные, которые вы будете использовать для оценки неопределенности. Вам нужно найти данные, относящиеся к вашему анализу неопределенности, и исключить все остальное из рассмотрения.

Это должно включать информацию и данные, относящиеся к вам:

  1. функция измерения,
  2. диапазон измерения
  3. и
  4. тест-пойнт.

 
 

Анализ данных

Затем проанализируйте имеющиеся у вас данные, используя соответствующие методы анализа, чтобы найти величину каждого компонента неопределенности. Вы можете анализировать данные разными способами, поэтому выбирайте методы, подходящие для данных, которые вы анализируете.

Если вам нужна помощь, приобретите качественный учебник по статистике или ознакомьтесь с бесплатным Справочником по инженерной статистике NIST SEMATECH. Вы также можете ознакомиться с некоторыми из моих руководств по количественной оценке источников неопределенности.

 
 

Количественная оценка компонентов неопределенности

Наконец, используйте полученные результаты для количественной оценки каждого компонента неопределенности и добавьте значения в свой бюджет неопределенности или калькулятор неопределенности.

Вы можете добавить неопределенность и единицу измерения непосредственно в свой бюджет неопределенности.

 

 

Или вы можете добавить погрешности, их единицы измерения и коэффициент чувствительности к вашим бюджетам неопределенностей. Вариант за вами.

 

 

Люди используют разные техники, и это нормально. Просто убедитесь, что вы можете объяснить, откуда взялись ваши данные и как они оцениваются. Я рекомендую добавлять подробные примечания к вашим бюджетам неопределенности. Это поможет вам вспомнить, как вы это сделали и почему.

 

 
 

Источники неопределенности

Ниже вы увидите список компонентов неопределенности, которые вы должны включить в каждый бюджет неопределенности.Многие из этих факторов требуются в соответствии с разделом 6 документа с требованиями A2LA R205. Хотя это требование не для всех, мне нравится их список минимально необходимых факторов неопределенности, и я решил использовать их в каждом из своих анализов неопределенности.

Кроме того, я предпочитаю включать в свои бюджеты больше источников неопределенности, так как считаю их обычно значительными. Дополнительными источниками, которые я хотел бы рассмотреть, являются долговременная стабильность, систематическая ошибка и дрейф.

Вот мой список минимально рекомендуемых источников неопределенности, которые следует включать в каждый бюджет неопределенности.

  1. Повторяемость
  2. Воспроизводимость
  3. Стабильность
  4. Смещение
  5. Дрифт
  6. Разрешение
  7. Эталонная стандартная погрешность
  8. Эталонный стандарт стабильности
  9. Другие важные участники

 
 

Повторяемость

Повторяемость — это оценка изменчивости процесса измерения в аналогичных условиях.

 

 
 

Как рассчитать повторяемость

Следуйте этим инструкциям для расчета повторяемости:

  1. Повторить измерение «n» раз
  2. Запишите результаты каждого измерения.
  3. Рассчитать стандартное отклонение.

 
 

Воспроизводимость

Воспроизводимость — это оценка изменчивости процесса измерения в различных условиях.

 

 
 

Как рассчитать воспроизводимость

Следуйте этим инструкциям для расчета воспроизводимости:

  1. Проведите тест на воспроизводимость.
  2. Вычислить среднее значение.
  3. Измените переменную и повторите тест повторяемости
  4. Вычислить среднее или среднее значение.
  5. Рассчитайте стандартное отклонение средних значений теста.

 
 

Стабильность

Стабильность — это оценка изменчивости процесса измерения с течением времени.

 

 
 

Как рассчитать устойчивость

Следуйте этим инструкциям для расчета стабильности:

  1. Просмотрите 3 последних отчета о калибровке.
  2. Запишите результаты каждого отчета о калибровке.
  3. Рассчитайте стандартное отклонение результатов калибровки.

 
 

Смещение

Смещение — это оценка систематической ошибки в процессе измерения.

 

 
 

Как рассчитать смещение

Следуйте этим инструкциям для расчета смещения:

  1. Просмотрите свой последний отчет о калибровке.
  2. Найдите значение As Left или результат измерения.
  3. Найдите Номинальное значение или стандартное значение.
  4. Рассчитать разницу.

 
 

Дрейф

Дрейф — это оценка систематических изменений в вашем измерительном процессе или системе с течением времени.

 

 

 

Как рассчитать дрейф

Следуйте этим инструкциям для расчета дрейфа:

  1. Просмотрите 3 последних отчета о калибровке.
  2. Запишите результаты каждого отчета о калибровке.
  3. Запишите дату выполнения каждой калибровки.
  4. Рассчитайте среднесуточную скорость дрейфа.
  5. Умножьте среднесуточную скорость дрейфа на интервал калибровки (в днях).

 
 

Разрешение Разрешение

— это оценка наименьшего постепенного изменения, наблюдаемого в вашем измерительном процессе или системе.

 

 
 

Как найти разрешение

Следуйте этим инструкциям, чтобы найти разрешение:

  1. Посмотрите на свою измерительную систему или оборудование.
  2. Найдите младшую значащую цифру.
  3. Обратите внимание на наименьшее постепенное изменение.

 
 

Эталонная стандартная погрешность

Погрешность эталонного стандарта — это прослеживаемая неопределенность, связанная с калибровкой оборудования или эталонных материалов, используемых в процессе измерения.

 

 
 

Как рассчитать эталонную стандартную неопределенность

Следуйте этим инструкциям, чтобы найти эталонную стандартную неопределенность:

  1. Просмотрите свой последний отчет о калибровке.
  2. Найдите представленную оценку неопределенности измерения.

 
 

Эталонный стандарт Стабильность Стабильность эталонного стандарта

— это оценка изменчивости неопределенности вашего эталонного стандарта с течением времени.

 

 
 

Как рассчитать эталонную стандартную стабильность

Следуйте этим инструкциям для расчета стабильности эталонного стандарта:

  1. Просмотрите 3 последних отчета о калибровке.
  2. Запишите оценку неопределенности из каждого отчета о калибровке.
  3. Рассчитать стандартное отклонение.

 
 

Другие значительные участники

Не забудьте включить любые другие существенные факторы, влияющие на погрешность измерения. Существенным фактором считается источник неопределенности, составляющий 5 % или более от общей комбинированной стандартной неопределенности.

 
Чтобы узнать больше об источниках неопределенности и способах их количественной оценки, ознакомьтесь с этими руководствами:

 

Узнайте, как мы можем помочь вашей лаборатории получить аккредитацию ISO/IEC 17025:2017

  • Бюджеты неопределенности – позвольте нам оценить для вас неопределенность.
  • Пользовательская СМК – мы создадим для вас руководство по качеству, процедуры, списки и формы.
  • Обучение — пройдите онлайн-обучение, которое научит вас оценивать неопределенность.

Заказать звонок

 
 

Шаг 4. Охарактеризовать источники неопределенности

Теперь, когда вы определили и количественно оценили источники неопределенности, следующим шагом будет характеристика каждого фактора по типу неопределенности и распределению вероятностей.

 
 

Как охарактеризовать источники неопределенности

Чтобы охарактеризовать ваши источники неопределенности, выполните следующие задачи:

  1. Классифицировать каждый источник неопределенности: Тип A или Тип B,
  2. Назначьте распределение вероятностей каждому компоненту неопределенности.

 
 

Типы неопределенности

Первым шагом к характеристике ваших компонентов неопределенности является их классификация либо по типу A, либо по типу B.Прочтите разделы ниже, чтобы узнать разницу между неопределенностью типа A и типа B.

 
 

Тип А Неопределенность

Согласно Словарю по метрологии (VIM), неопределенность типа А представляет собой «оценку компонента неопределенности измерения, определяемую статистическим анализом значений измеренных величин, полученных при определенных условиях измерения».

 
 

Тип B Неопределенность

Согласно Словарю по метрологии (VIM), неопределенность типа B — это «оценка компонента неопределенности измерения, определенная с помощью средств, отличных от оценки неопределенности измерения типа A.

 
 

Как выбрать тип неопределенности

Если вы не уверены, какой тип неопределенности выбрать, задайте себе следующие вопросы:

1. Вы сами собирали данные путем тестирования и экспериментов?

  1. Если ДА, перейдите к вопросу 2
  2. Если нет, выберите тип B

2. Данные старше 1 года?

  1. Если ДА, выберите тип B
  2. Если нет, выберите тип A

 

 
 

Распределения вероятностей

Это важный шаг, потому что выбранное вами распределение вероятностей будет определять, как ваш источник неопределенности будет преобразован в стандартное отклонение на следующем шаге.

Несмотря на то, что существует множество различных типов распределений вероятностей, из которых вы можете выбрать, наиболее часто используются нормальное (т. е. гауссовское) и прямоугольное (т. е. равномерное) распределения.

 
 

Распределения вероятностей для оценки неопределенности

Некоторые из наиболее распространенных распределений вероятностей, используемых для оценки неопределенности:

  • Нормальное (т.е. гауссовское) распределение
  • Прямоугольный (т.е.Униформа) Раздача
  • Треугольное распределение
  • Логнормальное распределение
  • Квадратичное распределение
  • U-образный распределитель
  • Рэлеевское распределение

Используйте приведенную ниже таблицу, чтобы выбрать подходящее распределение вероятностей.

 

 

Чтобы назначить соответствующее распределение, подумайте, как охарактеризовать набор данных для каждого источника неопределенности.

Если вы оценивали данные неопределенности типа А, результаты калибровки или использовали спецификацию точности, вы, скорее всего, захотите назначить нормальное распределение.

Если вы оценивали разрешение, влияние окружающей среды или физические факторы, вы можете использовать прямоугольное распределение.

Если вы не уверены, какое распределение следует использовать, то, как правило, менее рискованно назначить прямоугольное распределение.

 
 

Как назначить распределение вероятностей

При выборе распределения вероятностей у вас есть два варианта, которые помогут вам найти правильный.

  1. Вариант A: создание и оценка гистограммы
  2. Вариант B: использование дерева принятия решений о распределении вероятностей

Скорее всего, вы захотите использовать вариант B.

 
 

Вариант A: создание и оценка гистограммы

Этот вариант лучше всего подходит для оценки данных типа А, но он сложнее и требует больше времени, если у вас нет статистического программного обеспечения. Скорее всего, вы не будете использовать этот метод. Однако, если вы это сделаете, вы найдете инструкции ниже.

Чтобы найти распределение вероятности поиска, следуйте приведенным ниже инструкциям:

  1. Создайте гистограмму из набора данных.
  2. Оцените гистограмму.
  3. Найдите распределение вероятностей, которое лучше всего характеризует набор данных.

 
 

Вариант B: Схема распределения вероятностей

Создание гистограмм не для всех, и вы можете сделать это, только если у вас есть данные. В большинстве случаев у вас не будет данных, необходимых для создания гистограммы, потому что многие из ваших компонентов неопределенности будут количественно определяться информацией, опубликованной в руководствах, документах, справочниках и т. д.

Поэтому вам нужно будет сделать некоторые предположения, чтобы выбрать правильное распределение вероятностей.Чтобы помочь вам, я создал дерево решений распределения вероятностей. Это лучший вариант для данных типа B.

Если вы не хотите или не можете создать гистограмму вашего набора данных, попробуйте использовать дерево решений распределения вероятностей. Все, что вам нужно сделать, это ответить на вопросы ниже:

1. Вы сами собирали данные путем тестирования и экспериментов?

  1. Если ДА, выберите Обычный.
  2. Если НЕТ, переходите к вопросу 2.

2. Делали ли другие (например,грамм. производство, другая лаборатория и т. д.) собирают данные с помощью тестирования и экспериментов?

  1. Если вы думаете, что ДА, выберите Обычный.
  2. Если НЕТ, переходите к вопросу 3.

3. Вы не уверены, как были собраны данные?

  1. Если ДА (т.е. если вы не уверены), выберите Прямоугольный.
  2. Или рассмотрим вопрос 4.

4. Ожидаются ли результаты на крайних значениях диапазона?

  1. Если ДА, выберите U-образный.
  2. Если НЕТ, переходите к вопросу 5.

5. Ожидается ли, что результаты будут находиться в центре диапазона?

  1. Если ДА, выберите Обычный или Треугольник.
  2. Если НЕТ, выберите Прямоугольный.

 

 

 
Если вы хотите узнать больше о распределениях вероятностей, ознакомьтесь со следующим руководством:

 
 

Шаг 5. Преобразование компонентов неопределенности в эквиваленты стандартного отклонения

Выбрав распределение вероятностей, вы можете определить уравнение, необходимое для преобразования каждой составляющей неопределенности в эквивалент стандартного отклонения.Это уменьшит каждый источник неопределенности до уровня 1 сигма (т. е. достоверность 68,27%), чтобы вы могли правильно объединить их с помощью метода GUM на следующем шаге.

Обязательно выполните эту задачу для каждого фактора неопределенности, который вы определили количественно на шаге 3.

 
 

Как преобразовать неопределенность в стандартное отклонение

Чтобы преобразовать компоненты неопределенности в стандартные отклонения, выполните шаги, перечисленные ниже:

  1. Назначение распределения вероятности каждому источнику неопределенности,
  2. Найти делитель для выбранного распределения вероятностей,
  3. Разделите каждый источник погрешности на его соответствующий делитель.

Обратитесь к таблице ниже, чтобы найти делитель, связанный с распределением вероятностей, которое вы выбрали на шаге 4.

 

 

Затем разделите компоненты неопределенности на соответствующий делитель, чтобы преобразовать их в стандартную неопределенность. После этого все ваши участники должны иметь одинаковый уровень достоверности (например, 1-сигма или 68,27%) и эквивалентны стандартному отклонению.

 
 

Какой делитель использовать для преобразования неопределенности

Чтобы преобразовать неопределенность в стандартные отклонения, лучше всего больше узнать о распределениях вероятностей и связанных с ними делителях.

 
 

Нормальное распределение

Если вы выберете нормальное распределение, то вы разделите свою неопределенность на связанный с ней коэффициент охвата, k.
Используйте таблицу из JCGM 100:2008, Приложение G.

 

 

Внимательно изучите источники неопределенности, которые вы оцениваете, чтобы определить, какой коэффициент охвата следует использовать. Как правило, ваши участники будут иметь уровень достоверности 68%, 95% или 99%.Соответственно, это означает, что вы будете использовать делитель 1, 2 или 2,576.

 
 

Прямоугольное распределение

Если вы выберете прямоугольное распределение, то вы разделите компонент неопределенности на квадратный корень из 3 или 1,7321.

 
 

U-образный распределитель

Если вы выберете U-образное распределение, то вы разделите компонент неопределенности на квадратный корень из 2 или 1,4142.

 
 

Треугольное распределение

Если вы выберете треугольное распределение, то вы разделите компонент неопределенности на квадратный корень из 6 или 2.4495.

 
 

Квадратичное распределение

Если вы выберете квадратичное распределение, то вы разделите компонент неопределенности на квадратный корень из 5 или 2,2361.

 
 

Логнормальное распределение

Если вы выберете логарифмически-нормальное распределение, то вы разделите компонент неопределенности на 2,3750.

 
 

Рэлеевское распределение

Если вы выберете распределение Рэлея, то вы разделите компонент неопределенности на 2.4477.

 
 

Обращение с компонентами с различными единицами измерения

При преобразовании неопределенности в эквиваленты стандартного отклонения необходимо помнить, что все стандартные отклонения выражены в одних и тех же единицах измерения.

Это необходимо перед расчетом суммарной неопределенности. В противном случае ваша расчетная неопределенность будет неверной.

Нельзя комбинировать погрешности с разными единицами измерения (без использования коэффициентов чувствительности).

Если у вас есть участники с разными единицами измерения, вам нужно будет использовать коэффициенты чувствительности, чтобы преобразовать их в единицы измерения, которые соответствуют результату измерения или термину, относящемуся к результату измерения (например, процентам).

Это ошибка многих людей при оценке неопределенности измерения. Поэтому обязательно проверьте это, прежде чем вычислять комбинированную стандартную неопределенность.

 

 
 

Коэффициенты чувствительности

Если вы хотите узнать больше о коэффициентах чувствительности, просто нажмите на ссылку ниже, чтобы ознакомиться с моим руководством по коэффициентам чувствительности.

 
 

Шаг 6. Расчет суммарной неопределенности

После преобразования ваших источников неопределенности в эквиваленты стандартного отклонения настало время рассчитать комбинированную неопределенность с использованием метода суммы квадратов (т.е. RSS), рекомендованного в Руководстве по выражению неопределенности в измерениях (т.е. GUM; JCGM 100:2008). .

Это математически объединит ваши источники неопределенности в квадратуре. Итак, продолжайте читать, чтобы узнать, как комбинировать неопределенность.

 
 

Как рассчитать комбинированную неопределенность

Чтобы рассчитать комбинированную стандартную неопределенность, просто следуйте этим инструкциям:

  1. Возведение в квадрат значения каждой составляющей неопределенности,
  2. Сложить вместе все результаты шага 1,
  3. Вычислить квадратный корень из результата шага 2.

 

 

Чтобы обобщить приведенные выше инструкции, просто возведите в квадрат значение каждого источника неопределенности.Затем сложите их все вместе, чтобы вычислить сумму (то есть сумму квадратов). Затем вычислите квадратный корень из суммированного значения (т.е. сумму корней квадратов). Результатом будет объединенная стандартная неопределенность.

После того, как вы завершите этот процесс, вы получите объединенную стандартную неопределенность на уровне 1 сигма (т. е. достоверность 68,27%), характеризуемую нормальным распределением в соответствии с центральной предельной теоремой.

 

 
 

Центральная предельная теорема

Когда вы комбинируете источники неопределенности, вы также комбинируете их распределения вероятностей.

Согласно центральной предельной теореме, сумма набора независимых случайных величин (то есть источников неопределенности) будет приближаться к нормальному распределению независимо от распределения отдельной переменной.

Таким образом, распределение вероятностей, связанное с вашей комбинированной неопределенностью, теперь будет нормальным. Посмотрите на изображение выше для визуального представления.

 
 

Метод суммы квадратов

Если вы более визуальный ученик, как и я, взгляните на процесс ниже, чтобы увидеть, имеет ли он больше смысла.

Ниже вы увидите уравнение для расчета комбинированной неопределенности.

 

Где
c i = коэффициент чувствительности
u i (x i ) = неопределенность x
u c (y) = неопределенность y

 

Если приведенное выше уравнение выглядит запутанным, вы можете попробовать приведенную ниже упрощенную версию.

 

Где
u i = неопределенность x
u c (y) = неопределенность y

 

Это уравнение я обычно использую, так как я обычно включаю коэффициенты чувствительности (т.е. c i ) ранее в процессе, прежде чем я переведу компоненты неопределенности в стандартные отклонения.

Если вы оцениваете неопределенность измерения таким же образом, вы сможете использовать упрощенное уравнение. Если вы вообще не используете коэффициенты чувствительности, вы также можете использовать упрощенное уравнение.

Оба уравнения дают одинаковый результат. Итак, используйте уравнение, которое лучше всего подходит для вас. Если вы используете калькулятор электронных таблиц Excel, вам может оказаться полезной функция из следующего раздела.

 
 

Функция Excel для объединения неопределенностей

Если вы используете Microsoft Excel для оценки неопределенности, вы можете легко объединить неопределенность, используя приведенную ниже формулу. Это комбинация функции извлечения квадратного корня и суммы квадратов.

=sqrt(sumsq(Ячейка 1, Ячейка 2, …, Ячейка n))

 
 
Посмотрите на изображение ниже, чтобы увидеть функцию, используемую в моем простом калькуляторе неопределенности.

 

 

Если вы хотите узнать больше о расчете комбинированной неопределенности, щелкните ссылку, чтобы прочитать руководство:

 
 

Шаг 7.Расчет расширенной неопределенности

Вы почти закончили оценку неопределенности, так что оставайтесь со мной. Я собираюсь показать вам, как рассчитать расширенную неопределенность.

На этом шаге вы узнаете, как рассчитать расширенную неопределенность с доверительным интервалом 95 %. Для этого вам нужно будет выбрать коэффициент охвата и умножить его на рассчитанную комбинированную неопределенность.

Посмотрите на изображение ниже, чтобы увидеть нормальное распределение вероятностей, когда вы расширите свою неопределенность до 2-сигма или 95.45% уверенности.

 

 
 

Как рассчитать расширенную неопределенность

Для расчета расширенной неопределенности измерения выполните следующие действия:

  1. Расчет совокупной неопределенности,
  2. Расчет эффективных степеней свободы (необязательно),
  3. Найти/выбрать коэффициент охвата (k) и
  4. Умножьте суммарную неопределенность на коэффициент охвата.

 
Результатом будет расширенная неопределенность, и если вы используете коэффициент охвата 2 или 1.96, вы расширите неопределенность до уровня достоверности 95%.

Ознакомьтесь с приведенным ниже упрощенным уравнением для расчета расширенной неопределенности.

Где,
EU – Расширенная неопределенность
k – Коэффициент охвата
CU – Комбинированная неопределенность

 

 
В следующем разделе вы узнаете о некоторых возможностях выбора коэффициента покрытия.

 
 

Выбор коэффициента покрытия

Коэффициент охвата — это множитель, который вы будете использовать для расширения неопределенности до 95% доверительного интервала.Однако у вас есть несколько вариантов. Вы можете использовать:

  1. k=2 для доверительного интервала 95,45%,
  2. k=1,96 для доверительного интервала 95%, или
  3. таблицу Т Стьюдента, чтобы найти коэффициент охвата (k).

 
Щелкните ссылку ниже, чтобы просмотреть таблицу Т Стьюдента.
Факторы охвата и расширенная неопределенность

 

 

Примечание: Чтобы использовать таблицу Т Стьюдента, вам необходимо рассчитать эффективные степени свободы, используя уравнение Уэлча-Саттертуэйта.

 
Чтобы соответствовать требованиям ISO/IEC 17025:2017, вы должны увеличить неопределенность примерно до 95 %. Большинство людей используют коэффициент расширения (k), равный 2, для достижения доверительного интервала 95,45%. Однако вы также можете использовать коэффициент расширения 1,96 для доверительного интервала ровно 95,00%.

Кроме того, вы можете найти свой коэффициент охвата с помощью таблицы Т Стьюдента. Это не распространено, но это вариант, если вам это нужно. Просто рассчитайте эффективные степени свободы, используя уравнение Уэлча-Саттертуэйта, и используйте таблицу, чтобы найти правильный коэффициент охвата для достижения доверительного интервала 95%.

Выбор за вами. Просто убедитесь, что вы выбрали коэффициент расширения, который вы будете последовательно использовать в каждом анализе неопределенности. Кроме того, полезно знать, почему вы выбрали свой коэффициент расширения, чтобы вы могли обосновать его перед оценщиками (если они спросят).

 

СОВЕТ: Если вы сомневаетесь, какую опцию следует использовать, учтите следующее:
  1. Используйте стандартный k-фактор (например, 2 или 1,96), если ваш бюджет неопределенности содержит множество источников неопределенности (типа A и типа B), каждый из которых имеет собственное значение,
  2. Используйте таблицу Т Стьюдента, если ваш анализ неопределенности ограничен в основном данными типа А и трудно найти или количественно определить другие источники неопределенности.

 
 

Расчет расширенной неопределенности

После определения коэффициента охвата (k) рассчитайте расширенную неопределенность путем умножения коэффициента охвата и объединенной стандартной неопределенности. Используйте приведенную ниже формулу для руководства.

 

 

Результатом является расширенная неопределенность (т.е. U). Это ваша неопределенность в измерении, оцененная с доверительным интервалом 95%.

Посмотрите на изображение ниже, чтобы увидеть уравнение, используемое в одном из моих калькуляторов неопределенности.

 

 

Вот оно! Вы только что узнали, как рассчитать расширенную неопределенность за 7 шагов, и завершили процесс оценки неопределенности измерений.

Однако это еще не все. Рекомендую проверить свои расчеты и оценить результаты. В следующем разделе я расскажу вам, как оценить правильность расчетов неопределенности.

Чтобы узнать больше о коэффициентах охвата и расширенной неопределенности или о составлении уравнений неопределенности CMC для вашей области аккредитации, нажмите на ссылки ниже:

 
 

Шаг 8.Оценка неопределенности на соответствие

После того, как вы рассчитали расширенную неопределенность, лучше всего оценить вашу оценку неопределенности на предмет ее уместности. По сути, вы хотите убедиться, что ваша оценка неопределенности измерения адекватно представляет ваш процесс измерения и не завышена или занижена.

 
 

Как оценить свой бюджет на случай неопределенности

Чтобы оценить расширенные оценки неопределенности измерений, используйте один или несколько из перечисленных ниже методов.Затем определите, является ли ваша расширенная неопределенность разумной и уместной.

 
 

1. Оценка значимости факторов неопределенности

Для этой оценки рассчитайте значимость каждого источника неопределенности и проанализируйте, насколько сильно он влияет на общую неопределенность измерений. Дважды проверьте компоненты неопределенности с чрезмерно большими и маленькими процентами, чтобы убедиться, что их значения верны.

 

 
 
 

2.Расширенная неопределенность в сравнении с эталонной стандартной неопределенностью

Для этой оценки просмотрите свою расширенную неопределенность и убедитесь, что она больше вашей эталонной стандартной неопределенности. Если нет, у вас есть проблема, и вам необходимо перепроверить значение, введенное в ваш бюджет неопределенности, и формулы, используемые для расчета неопределенности.

 
 

3. Расширенная неопределенность по сравнению с BIPM KCDB

Для этой оценки проверьте базу данных сравнения ключей BIPM и убедитесь, что ваша расширенная неопределенность больше, чем значение, сообщаемое вашим национальным метрологическим институтом (NMI).Иногда это недоступно, но вы должны хотя бы проверить.

 

 

 
 

4. Расширенная неопределенность по сравнению с сертификатом анализа SRM

Для этой оценки просмотрите Сертификат анализа стандартного эталонного материала, до которого можно проследить ваш эталонный эталон, и убедитесь, что ваша неопределенность больше, чем неопределенность SRM.

 
 

5. Расширенная неопределенность по сравнению с другими лабораториями (вариант A

В этой оценке сравните вашу расчетную неопределенность с другими лабораториями.Выполните поиск в базе данных вашего органа по аккредитации и просмотрите от 3 до 5 других областей аккредитации лабораторий, чтобы убедиться, что ваша расширенная неопределенность разумно сопоставима. Если нет, возможно, вы переоценили или недооценили неопределенность.

Этот вариант лучше всего подходит для калибровочных лабораторий, поскольку их неопределенность опубликована в их областях аккредитации. Этот вариант сложнее, если вы тестовая лаборатория. Большинство испытательных лабораторий не сообщают о неопределенности своих испытаний в области своей аккредитации, что затрудняет сравнение ваших возможностей с другими лабораториями.

 

 

 
 

6. Расширенная неопределенность по сравнению с другими лабораториями (вариант B)

Для этой оценки примите участие в схеме проверки квалификации и сравните свою неопределенность с другими лабораториями. Затем определите, являются ли ваши результаты разумными и уместными. Убедитесь, что ваша расширенная неопределенность не намного больше или меньше, чем у других участвующих лабораторий.

 

 

При оценке результатов проверки квалификации вы действительно хотите смотреть на свой z-показатель больше, чем на значение нормализованной ошибки (En).И то, и другое может быть полезным, но z-показатель сравнивает производительность вашей лаборатории с другими участвующими лабораториями.

Если ваш показатель En велик или близок к единице, возможно, вы указали заниженное значение неопределенности или у вас возникли проблемы с процессом измерения.

Если ваш z-показатель велик или близок к значению двух, возможно, вы указали заниженное значение неопределенности. В результате вам необходимо оценить свои бюджеты неопределенности.

 
 

7.Расширенная неопределенность по сравнению с данными типа A

Для этой оценки проведите исследование повторяемости и воспроизводимости в своей лаборатории. Убедитесь, что ваши результаты не превышают вашу оценку неопределенности. Если это так, возможно, вы преуменьшаете свою расширенную неопределенность.

Оценка ваших бюджетов неопределенности имеет решающее значение. Хотя это не надежный процесс, это лучше, чем ничего не делать. Вы не хотите выполнять всю работу по расчету неопределенности измерений, а только находить ошибки во время оценки.Лучше заранее выполнить тяжелую работу, чем иметь дело со всеми документами и головной болью, возникающей в результате того, что вас упомянули о недостатке. Кроме того, оценка вашего анализа неопределенности дает вам объективные доказательства, подтверждающие ваши результаты, если оценщик усомнится в вашей расширенной неопределенности.

Я надеюсь, что приведенные в этом разделе оценки помогут вам подтвердить свои результаты.

 

 
 

Заключение

Оценить погрешность измерения непросто.Это требует много времени и усилий. Однако при наличии правильных процессов, источников информации и инструментов анализ неопределенностей не должен вызывать затруднений.

В этом руководстве я изложил семь шагов, которые помогут вам рассчитать погрешность измерения. Хотя это не полное практическое руководство, я предоставил вам много информации, которая поможет вам самостоятельно выполнить оценку неопределенности. Итак, начните оценивать неопределенность и скажите мне, что работает для вас, а с чем вы боретесь.

Если у вас есть дополнительные вопросы или предложения, которые помогут улучшить это руководство, свяжитесь со мной и поделитесь своими комментариями.Буду рад получить ваши отзывы.

Если вам нужна дополнительная помощь, ознакомьтесь с некоторыми из моих калькуляторов неопределенности и обучающими курсами измерения неопределенности.

 
 

Каталожные номера

Каструп, Х. (2007). Распределения для анализа неопределенностей. Бейкерсфилд, Калифорния: Integrated Sciences Group.

Миллер, В. (2002). NISTIR 6919: Рекомендуемое руководство по определению и регистрации погрешностей для весов и весов. Гейтерсбург: Национальный институт стандартов и технологий.

Служба аккредитации Соединенного Королевства. (2012). M3003: Выражение неопределенности и уверенности в измерении. Миддлсекс: Служба аккредитации Соединенного Королевства.

JCGM/WG1. (2008). JCGM 100:2008 – Оценка данных измерений – Руководство по выражению неопределенности в измерениях. Севр: BIPM.

Процентная ошибка – формула, способы расчета и примеры решения

Как следует из названия, процентная ошибка – это разница между точным или известным значением чего-либо и его приблизительным или измеренным значением в процентном выражении.В научных экспериментах он используется для сообщения о разнице между экспериментальным значением и его истинным или точным значением. Он рассчитывается как процент от точного значения. В качестве примера из реальной жизни, если вы посмотрите на автомат с жевательной резинкой и подсчитаете, сколько там шариков жевательной резинки, а затем подсчитаете количество шариков жевательной резинки, тогда вы сможете измерить процент ошибки, которую вы сделали. в вашем предположении.

Ошибка в процентах позволяет увидеть, насколько вы далеки от точного значения в оценке ценности чего-либо.Эти ошибки могут возникать из-за неточности оборудования, измерений (человеческий фактор или ошибка инструмента) или некоторых корректировок, внесенных в методы расчета (округление и т. д.). Существует простая и понятная формула для расчета этой процентной ошибки, которая приведена ниже:

Процентная ошибка = (Приблизительное или экспериментальное значение – Точное или известное значение/Точное или известное значение)*100

Если процентная ошибка равна близко к 0, то ваше приближение очень близко к фактическому или истинному значению.Эта формула очень важна для определения точности ваших вычислений. Для большинства приложений процентная ошибка представлена ​​как положительное число, но для некоторых наук, таких как химия, принято выражать его как отрицательное число, поскольку положительное значение в химии указывало бы на потенциальную проблему с экспериментом или реакциями, которые не учитываются.

Как рассчитать процент?

Для расчета процентной ошибки в любом эксперименте или наблюдении необходимо выполнить следующие шаги:

Вы получаете значение «ошибки», вычитая одно значение из другого.Если вы не сохраняете знак, то порядок не имеет значения, но если вы сохраняете отрицательный знак, вы получаете значение «ошибки», вычитая точное значение из измеренного значения.

Затем вы делите это значение «ошибки» на известное или точное значение (не измеренное или экспериментальное значение).

Это деление даст вам десятичное число. Умножьте это десятичное значение на 100, чтобы преобразовать его в процентное значение.

Наконец, вы должны добавить обозначение % перед вычисленным значением, чтобы сообщить о своей процентной ошибке.

Решенные примеры погрешности в процентах

У нас есть несколько различных примеров по расчету погрешностей в процентах, чтобы углубиться в концепцию и получить больше ясности:

1. Организаторы подсчитали, что на концерте будет 90 человек. но на самом деле на концерт пришло 120 человек. Рассчитайте процент ошибки в догадке организаторов.

Формула для процентной ошибки =

\[\frac{\text{Расчетное или приблизительное значение – известное или точное значение}}{\text{известное или точное значение}}\ast\] 100

Подставляя вышеуказанные значения мы получили; % ошибки = \[\frac{\mid 90-120\mid }{120}\ast 100 = \frac{30}{120}\ast100\] = 25%

2.Оле Рёмер был датским астрономом, который заметил, что в зависимости от расстояния Юпитера от Земли периоды спутников Юпитера колеблются. Спутникам требовалось больше времени, чтобы появиться из-за планеты, если Юпитер находился дальше от Земли, чем в противном случае. Он связал это со скоростью света и дал приблизительное значение 220 000 км/с для скорости света. Принятое значение скорости света в настоящее время составляет 299 800 км/с. Какова процентная ошибка наблюдения Ремера?

% ошибка = \[\frac{\mid2,20,000-299,800 \mid}{299,800}\ast \] 100 = 26.62%

Метод определения процентной ошибки

Найти процентную ошибку довольно просто. Студенты должны знать несколько важных вещей для нахождения процентной ошибки. Они должны знать оценочное значение и исходное значение, чтобы найти процентную ошибку.

Во-первых, они должны найти разницу между расчетным значением и первоначальным значением. Значение может быть отрицательным или положительным. Учащиеся могут игнорировать отрицательный знак. Они должны вычесть исходное значение из расчетного значения.

Найдя разницу, учащиеся должны разделить разницу на исходное значение и умножить на сто, чтобы получить процентное значение. Это способ найти процент ошибки для любого эксперимента.

Весьма полезно для студентов разных специальностей. Поэтому учащиеся должны понимать формулу и метод расчета процентной ошибки. Vedantu предоставляет наилучшую информацию о процентной ошибке. Студенты могут посетить веб-сайт Vedantu, чтобы получить необходимое определение, формулу и примеры, связанные с процентной ошибкой.Это может помочь студентам хорошо подготовиться к экзаменам.

Решенные примеры для процентной ошибки

Здесь приведены несколько решенных примеров, которые могут помочь учащимся понять тип вопросов, задаваемых на экзамене, связанных с процентной ошибкой, а также понять метод нахождения процентной ошибки.

1. Мужчина установил прилавок и думал, что ежедневно прилавок будет посещать 100 человек, но каждый день приходило только 80 человек. Вычислите процент ошибки.

Решения: Студенты должны применить формулу:

Предполагаемое значение: 100

Оригинальное значение: 80

Процент ошибки = Ориентированное значение – Оригинальное значение


Оригинальное значение

100-80


80

¼ 80

¼ 80

¼ 80

¼ 80

¼ 80

¼ 80

¼ x 100= 100/4 = 25%

Преимущества поиска процентных ошибок

Нахождение процентных ошибок дает множество преимуществ.Ниже приведены некоторые преимущества поиска процентных ошибок:

Процентная ошибка важна для определения точности. Точность означает степень близости измеренного значения к его исходному значению. Процентная ошибка рассчитывается путем деления разницы расчетного значения и исходного значения на исходное значение и умножения на 100. стоимость. Процентная ошибка может быть как незначительной, так и очень высокой в ​​зависимости от ваших наблюдений.Таким образом, если процентная ошибка очень мала, ею можно пренебречь, но если процентная ошибка высока, вам придется снова вычислять или измерять вещи, чтобы получить абсолютное значение.

Несколько обработанных примеров:

1. Подсчитано, что расстояние до Луны составляет 235 755 миль в конкретный день. Но фактическое расстояние составляет 250 655 миль. Вычислите процент ошибки.

Анс. Процентная ошибка может быть рассчитана как:

235 755 – 250 655/250 655 = 0,059 x 100 = 5.9%

2. Джон планировал поход с друзьями. Он оценил высоту пешеходной тропы в 215 футов на милю. Но когда он пошел со своими друзьями, он обнаружил, что фактическая высота тропы составляет 230 футов / милю. Какова была погрешность в процентах в расчетах Джона?

Анс. \[\frac{215-230}{230} =\frac{15}{230}\] = 0,065 x 100 = 6,5%

3. Школа организовала праздник, открытый для всех. Учителя и студенты подсчитали, что каждый день его будут посещать 1000 человек. Но реальное количество людей, посетивших фестиваль, составило 1050 человек.Вычислите процент ошибки.

Анс. \[\frac{1000-1050}{1050} =\frac{50}{1050}\] = 0,047 x 100 = 4,7%

4. Мужчина хотел подготовить квадратный газон перед своим домом. Он оценил его площадь в 450 квадратных метров. Но когда он начал копать для сада, фактическая площадь, которую нужно было покрыть, составляла 470 квадратных метров. Вычислите процент ошибки.

Анс. \[\frac{450-470}{470} =\frac{20}{470}\] = 0,042 x 100 = 4,2%

Заключение

Процентная ошибка – это разница между измеренным значением и точным значением любого количество под наблюдением.Он рассчитывается как процент от точного или известного значения. Его значение можно рассчитать по формуле: 

\[\frac{\text{Расчетное или приблизительное значение – известное или точное значение}}{\text{известное или точное значение}}\ast\] 100

Знак процентная ошибка не учитывается в большинстве приложений, за исключением химии и некоторых других наук, где принято сохранять отрицательный знак. Процентная ошибка – это тип вычисления ошибки. Несколько других типов вычислений распространенных ошибок — это относительная ошибка и абсолютная ошибка.

Когда мы делаем анализ, мы можем делать ошибки. Процентные ошибки помогают нам определить наши ошибки, когда мы что-то измеряем. Если процентная ошибка небольшая, это означает, что мы рассчитали близко к точному значению. Например, если процентная ошибка составляет всего 2%, это означает, что мы очень близки к исходному значению, но если процентная ошибка велика, до 30%, это означает, что мы очень далеки от исходного значения. Ошибки измерения распространены по разным причинам. Некоторые причины процентных ошибок приведены здесь:

Процентные ошибки могут возникать из-за неточных доступных материалов.Иногда у людей, проводящих эксперимент, нет подходящих материалов, что может привести к процентной ошибке.

Ошибки также могут возникать из-за неподходящих инструментов, доступных для расчетов, поскольку доступный инструмент может не иметь возможности точно измерить конкретный элемент.

Анализ ошибок и важные цифры

Ошибки при использовании неадекватных данных намного меньше, чем вообще без данных.

                                                                                                     C.Бэббидж]

Никакое измерение физической величины не может быть абсолютно точным. это Поэтому важно знать, насколько вероятно измеренное значение. отклоняться от неизвестного, истинного, значения величины. Искусство оценка этих отклонений, вероятно, должна называться анализом неопределенности, но по историческим причинам называется анализом ошибок. Этот документ содержит краткие обсуждения того, как сообщается об ошибках, виды ошибки, которые могут возникнуть, как оценивать случайные ошибки и как учитывать оценки ошибок в расчетные результаты.Нас нет и не будет, связаны с упражнениями на «процентную ошибку», распространенными в высоких школе, где ученик довольствуется вычислением отклонения от какой-то якобы авторитетный номер.

Вас также может заинтересовать наш туториал по использованию рисунков (графиков).

Значащие цифры

При каждом измерении количество значащих цифр, вы записываете, подразумевает погрешность в измерении.Например, если вы сказать, что длина объекта 0,428 м, вы подразумеваете неопределенность около 0,001 м. Чтобы записать это измерение как 0,4 или 0,42819667 будет означать, что вы знаете его только до 0,1 м в первом случае или до 0,00000001 м во втором. Вы должны сообщать столько значащих цифр, сколько согласуются с предполагаемой ошибкой. Сказано количество 0,428 м иметь три значащие цифры, то есть три цифры, имеющие смысл с точки зрения измерения.Обратите внимание, что это не имеет ничего общего с «количество десятичных разрядов». То же измерение в сантиметрах будет 42,8 см и по-прежнему будет трехзначным числом. То принятым соглашением является то, что следует сообщать только одну неопределенную цифру для измерения. В примере, если расчетная ошибка составляет 0,02 м, вы сообщил бы результат 0,43 ± 0,02 м, а не 0,428 ± 0,02 м.

Студенты часто не понимают, когда считать ноль значимым. фигура.Правило таково: если ноль имеет ненулевую цифру где-нибудь слева от него, то ноль значим, иначе нет. Например 5.00 имеет 3 значащие цифры; число 0,0005 имеет только одну значащую цифру, а 1,0005 имеет 5 значащих цифр. Такое число, как 300, не совсем точно определено. Вместо этого следует написать 3 x 10 2 , одну значащую цифру или 3,00 x 10 2 , 3 значащие цифры.

Абсолютные и относительные погрешности

Абсолютная ошибка измеряемой величины – это неопределенность количество и имеет те же единицы измерения, что и само количество.Например, если Вы знаете, что длина равна 0,428 м ± 0,002 м, 0,002 м — это абсолютная величина. ошибка. Относительная ошибка (также называемая дробной ошибкой) получается путем деления абсолютной ошибки количества на само количество. Относительная ошибка обычно более значительна, чем абсолютная ошибка. Например, ошибка в 1 мм в диаметре колеса конька, вероятно, более серьезно, чем ошибка в 1 мм в грузовой шине. Обратите внимание, что относительные ошибки являются безразмерными.При сообщении об относительных ошибках обычно умножают дробную ошибку на 100 и сообщить ее в процентах.

Систематические ошибки

Систематические ошибки возникают из-за дефекта схемы измерения, который повторяется при каждом измерении. Если вы сделаете то же самое неправильно каждый раз, когда вы делаете измерение, ваше измерение будет отличаться систематически (то есть каждый раз в одном и том же направлении) от правильного результат.Некоторые источники систематической ошибки:

  • Ошибки при калибровке средств измерений.
  • Неправильный метод измерения: Например, можно сделать неправильный чтение шкалы из-за ошибки параллакса.
  • Предвзятость экспериментатора. Экспериментатор может последовательно читать инструмент неправильно, или может дать информацию об ожидаемом значении результата влияют на измерения.

Ясно, что систематические ошибки не усредняются до нуля, если вы усредняете много измерений.Если обнаружена систематическая ошибка, исправление можно внести данные для этой ошибки. Если вы измеряете напряжение с помощью измеритель, который позже окажется со смещением 0,2 В, вы можете исправить первоначально определенные напряжения на эту величину и устранить ошибку. Хотя случайные ошибки можно обрабатывать более или менее рутинно, нет предписанного способа найти систематические ошибки. надо просто сесть и подумайте обо всех возможных источниках ошибок в данном измерении, а затем проведите небольшие эксперименты, чтобы увидеть, активны ли эти источники.То Цель хорошего эксперимента — уменьшить систематические ошибки до значения меньше, чем случайные ошибки. Например, измерительная линейка должна иметь изготовлены таким образом, что миллиметровая маркировка расположена значительно точнее одного миллиметра.

Случайные ошибки

Случайные ошибки возникают из-за наиболее легко наблюдаемых флуктуаций путем проведения нескольких испытаний данного измерения. Например, если вы должны были измерять период маятника много раз секундомером, вы обнаружите, что ваши измерения не всегда были одинаковыми.Главный источником этих колебаний, вероятно, была бы трудность оценки именно тогда, когда маятник приходил в данную точку своего движения, и в запуск и остановка секундомера в то время, которое вы судите. С вы не получите одно и то же значение периода каждый раз, когда пытаетесь чтобы измерить его, ваш результат, очевидно, неопределенный. Есть несколько общие источники таких случайных неопределенностей в типе экспериментов которые вы, вероятно, выполните:

  • Неконтролируемые колебания начальных условий при измерениях.Такие колебания являются основной причиной того, что, как бы квалифицированно ни игрок, никто не может бросить баскетбольный мяч с линии штрафного броска через обруч каждый раз, гарантировано. Небольшие вариации в условиях запуска или движения воздуха вызывают изменение траектории и мяч не попадает в кольцо.
  • Ограничения, накладываемые точностью вашего измерительного прибора, и неопределенность интерполяции между наименьшими делениями.Точность просто означает наименьшую величину, которую можно измерить. напрямую. Типичная метровая палочка делится на миллиметры и таким образом, его точность составляет один миллиметр.
  • Отсутствие точного определения измеряемой величины. Длина стола в лаборатории плохо определяется после того, как он пострадал лет использования. Вы бы нашли разные длины, если бы измеряли в разных точках. точки на столе. Другая возможность состоит в том, что количество измеряемая величина также зависит от неконтролируемой переменной.(Температура объекта, например).
  • Иногда измеряемая величина четко определена, но может присущим случайным флуктуациям. Такие флуктуации могут быть квантовыми. природы или возникают из-за того, что значения величины, измеренные определяются статистическим поведением большого числа частиц. Другим примером является шум переменного тока, из-за которого стрелка вольтметра колебаться.

Независимо от источника неопределенности, должен быть помечен как “случайный” неопределенность должна обладать тем свойством, что отклонения от некоторого «истинного» значения с одинаковой вероятностью могут быть как положительными, так и отрицательными.Этот факт дает нам ключ чтобы понять, что делать со случайными ошибками. Вы могли бы сделать большой количество измерений и средний результат. Если неопределенности действительно с одинаковой вероятностью будут положительными или отрицательными, вы ожидаете, что среднее значение большого количества измерений будет очень близко к правильному значению измеряемой величины, поскольку положительные и отрицательные колебания будут иметь тенденцию компенсировать друг друга.

Оценка случайных ошибок

Существует несколько способов разумной оценки случайной ошибки. в конкретном измерении.Лучше всего сделать серию измерений заданного количества (скажем, 91 599 x 91 600 ) и рассчитайте среднее , и стандартное отклонение 91 599 91 600    от эти данные. Среднее значение определяется как

, где x i — результат измерения i th N – количество измерений. Стандартное отклонение дано

Если измерение (которое подвержено только случайным колебаниям) повторяется много раз примерно 68% измеренных клапанов попадут в спектр .

      Мы становимся более уверенными в том, что , является точным представлением истинного значения величины x больше мы повторяем измерение. Таким образом, полезной величиной является стандарт . отклонение среднего   определено так как . Количество   хорошая оценка нашей неопределенности в . Обратите внимание, что точность измерения увеличивается пропорционально увеличиваем количество измерений. Вы не только сделали больше точное определение значения, у вас также есть набор данных, которые позволит вам оценить неопределенность вашего измерения.

Следующий пример прояснит эти идеи. Предположим, вы сделали следующие пять измерений длины:

 

Длина (мм)

Отклонение от среднего

 
 

22,8

0,0

 
 

23.1

0,3

 
 

22,7

0,1

 
 

22,6

0,2 ​​

 
 

23,0

0.2

 

сумма

114,2

0,18

сумма квадратов отклонений

разделить на 5

разделить на 5 и
извлечь квадратный корень

( N = количество точек данных = 5)

среднее

22.8

0,19

стандартное отклонение
    разделить на  
   

0,08

стандартное отклонение среднего

Таким образом, результат равен 22,84 ± 0,08 мм. (Обратите внимание на использование значительного фигуры).

В некоторых случаях вряд ли стоит повторять измерение несколько раз. раз. В таких ситуациях вы часто можете оценить ошибку, взяв счет наименьшего счета или наименьшего деления измерительного прибора. Например, при использовании метровой палки можно измерить примерно половину а иногда даже пятую часть миллиметра. Таким образом, абсолютная ошибка оценивается как 0,5 мм или 0,2 мм.

В принципе, вы должны тем или иным способом оценить неопределенность в каждом измерении, которое вы делаете.Но не делайте большого производства этого. Основная идея заключается в следующем: правильно ли измерение примерно на 10%? или примерно до 5%, или 1%, или даже 0,1%? Когда вы оценили ошибку, вы будете знать, сколько значащих цифр следует использовать в отчете о вашем результате.

Распространение ошибок

Если у вас есть несколько экспериментальных измерений, вы обычно объединяете их по некоторой формуле, чтобы получить желаемое количество. Чтобы найти расчетная ошибка (неопределенность) для расчетного результата необходимо знать, как объединить ошибки во входных величинах.Самая простая процедура было бы добавить ошибки. Это было бы консервативным предположением, но это переоценивает неопределенность результата. Ясно, если ошибки входы случайны, они будут аннулировать друг друга, по крайней мере, некоторые из время. Если ошибки измеряемых величин случайны и если они независимы (то есть, если одна величина измеряется как скажем, большее, чем оно есть на самом деле, другое количество по-прежнему столь же вероятно быть меньше или больше), то теория ошибок показывает, что неопределенность в расчетном результате (распространенная ошибка) может быть получена из несколько простых правил, некоторые из которых перечислены в таблице 1.Например, если два или более числа должны быть добавлены (таблица 1, № 2), то абсолютная ошибка в результате получается квадратный корень из суммы квадратов абсолютного ошибки входов, т.е.

если                                  

, затем     

В этом и следующих выражениях и абсолютные случайные ошибки в x и y и составляет распространяющаяся неопределенность в z .Формулы не применимы к систематические ошибки.

Общая формула, к вашему сведению, следующая;

Подробно обсуждается во многих текстах по теории ошибок и анализ экспериментальных данных. На данный момент сборник формул в таблице 1 будет достаточно.

Таблица 1: Распространение ошибок в z из-за ошибок x и y . Предполагается, что ошибки в a , b и c равны пренебрежимо мало в следующих формулах.

Чемодан

Функция Распространенная ошибка

1)

z = ось ± b

2)

г = х ± у

3)

г = сху

4)

г = с(у/х)

5)

г = сх а

6)

z = сх а у б

7)

z = sin x

8)

г = потому что х

9)

z = тангенс x

Объяснение урока: Ошибка измерения | Nagwa

В этом объяснителе мы научимся определять и вычислять абсолютные и относительные погрешности измеренных значений.

При измерении значения важно знать, насколько точным является измерение. При определении такой точности значение должно быть сравнено с некоторым другим значением, которое считается правильным, принятым значением .

Принятое значение , также называемое фактическим значением, представляет собой измеренное значение, полученное безошибочным процессом измерения. Это то, с чем сравниваются все другие измеренные значения. Принятые значения обычно являются константами, такими как гравитационное константа или заряд электрона.

Ошибка измерения — это когда измерение значения отличается от принятого значения. Если мы знаем, что масса блок сыра весит 1 кг, а весы говорят, что это 1,2 кг, это пример погрешности измерения.

Каким бы ни был источник ошибки, есть два разных способа ее количественной оценки. Давайте сначала посмотрим на абсолютная ошибка .

Абсолютная погрешность – это абсолютная разница между принятым значением и измеренным значением.Когда выражается как уравнение, оно выглядит следующим образом: absoluteerroracceptedvaluemeasuredvalue=|−|.

Линии в правой части уравнения показывают, что разница представляет собой абсолютное значение . Абсолютное значение заботится только о величине числа, то есть оно всегда будет положительным, даже если измеренное значение больше чем принятое значение.

Для сыра принятое значение составляет 1 кг, а измеренное значение составляет 1,2 кг.Подстановка этих значений в уравнение дает |1−1,2|=0,2.kgkgkg

Таким образом, хотя 1−1,2 приводит к отрицательным 0,2, поскольку это абсолютное значение, оно становится положительным. Сыр имеет абсолютную погрешность 0,2 кг.

Давайте посмотрим на пример.

Пример 1: Расчет абсолютной погрешности измерения принятого значения

В ходе эксперимента ускорение силы тяжести на поверхности Земли измеряется как 9,90 м/с 2 .Найдите абсолютную погрешность измерения используя принятое значение 9,81 м/с 2 .

Ответ

Чтобы найти абсолютную погрешность измерения значения 9,90 м/с 2 , мы должны найти разницу между ним и принятым значением 9,81 м/с 2 , как показано в уравнении для абсолютной ошибки. Отзывать что уравнение для абсолютной ошибки absoluteerroracceptedvaluemeasuredvalue=|−|.

Допустимое значение 9.81 м/с 2 , а измеренное значение равно 9,90 м/с 2 , поэтому подставляя их в уравнение для абсолютного ошибка дает ||9,81/−9,90/||=0,09/.msmsms

Абсолютная ошибка является абсолютной величиной, поэтому она всегда будет положительной, даже если 9,81–9,90 дает отрицательное число. То абсолютная ошибка, таким образом, составляет 0,09 м/с 2 .

Однако абсолютная погрешность не всегда помогает определить точность измерения.Скажи, что у нас есть колоссальный сырное колесо с принятым значением массы 1‎ ‎000 кг. Когда сырное колесо поставлено на весы, его измеренная масса составляет 1‎ ‎‎000,2 кг.

Используя эти значения, мы видим, что при подстановке их в уравнение для абсолютной ошибки |1000−1000,2|=0,2,кгкгкг мы имеем такое же значение абсолютной ошибки для колоссальной 1‎ ‎‎кг сырное колесо, как у нас было для значительно меньшего 1-килограммового блока сыр. 0,2 кг имеет большее значение для меньших масс, чем для больших. и есть способ выразить это, относительная ошибка .

Относительная ошибка — это способ отображения ошибки, пропорциональной принятому значению. Его находят, беря абсолютную ошибки и делением ее на принятое значение 𝑟=Δ𝑥𝑥, где 𝑟 — относительная ошибка, Δ𝑥 — абсолютная ошибка, а 𝑥 является принятым значением.

И колоссальное колесо сыра, и блок имеют одинаковое значение абсолютной ошибки, 0,2 кг. Поскольку колоссальное колесо сыра имеет гораздо большую общепринятую ценность, мы должны ожидать, что относительная ошибка будет меньше, чем один блок сыра.Относительная ошибка для колеса 0,21000=0,0002,кгкг и относительная ошибка для блока 0.21=0.2.kgkg

Обратите внимание, что поскольку единицы измерения одинаковы как для числителя, так и для знаменателя уравнения, они сокращаются, что делает относительная ошибка безразмерная.

Давайте посмотрим на несколько примеров.

Пример 2: Расчет абсолютной погрешности из относительной погрешности

Если относительная погрешность измерения площади 320 м 2 была 0.03, рассчитайте абсолютную ошибку для этого измерения.

Ответ

Изначально нам даны два значения: относительная ошибка 0,03 и принятое значение 320 м 2 . Нам нужно найти абсолютную ошибку, что мы можем сделать, посмотрев в уравнении для относительной ошибки. Напомним, что уравнение для относительной ошибки имеет вид 𝑟=Δ𝑥𝑥, где 𝑟 — относительная ошибка, Δ𝑥 — абсолютная ошибка, а 𝑥 — принятое значение.

Чтобы выделить абсолютную ошибку Δ𝑥, нам нужно мыслить алгебраически.Умножим обе части уравнения по принятому значению, 𝑥𝑟×𝑥=Δ𝑥𝑥×𝑥, что отменяет принятое значение в правой части уравнения, давая 𝑟×𝑥=Δ𝑥.

Теперь, используя это модифицированное уравнение, мы можем подставить заданные значения. Относительная ошибка 0,03, принятое значение 320 м 2 : 0,03×320=9,6 мм

Относительная ошибка безразмерна, поэтому умножение наследует единицы м 2 . Таким образом, наше значение абсолютной ошибки равно 9.6 м 2 .

Пример 3. Определение измерения с наибольшей точностью

Какое из следующих измерений времени является наиболее точным?

  1. 3,4±0,1 с
  2. 5,2±0,01 с
  3. 7,3±0,2 с
  4. 4,1±0,2 с

Ответ

ошибка. Чтобы определить, какое измерение времени является наиболее точным, нам потребуется найти относительную погрешность, так как измерение который имеет наименьшую относительную ошибку , является наиболее точным.Напомним, что уравнение относительной ошибки представляет собой абсолютную ошибку выше принятого значения, 𝑟=Δ𝑥𝑥.

В этой задаче абсолютная ошибка — это число после ±, а принятое значение — перед ним. Давайте рассмотрим каждый потенциальный ответ по отдельности, начиная с A: 0.13.4=0.029.ss

Следовательно, относительная ошибка для B равна 0,015,2=0,002, сс относительная ошибка для C равна 0,27,3=0,027,сс а относительная ошибка для D равна 0.24,1=0,049.ss

Из них мы видим, что ответ B имеет наименьшую относительную ошибку, всего 0,002. Мы могли бы также определить это, посмотрев при абсолютных ошибках для каждого варианта: гораздо меньшие абсолютные ошибки также давали бы меньшие относительные ошибки.

Относительная погрешность часто выражается с помощью небольшой модификации, в виде процента.

Относительная ошибка в процентах — относительная ошибка, выраженная в процентах, которая рассчитывается путем умножения значения на 100%: 𝑟×100%=𝑟,% где 𝑟% — относительная ошибка в процентах.

Оглядываясь назад на сыр, меньший кусок сыра имел относительную ошибку 0,2. Таким образом, относительная ошибка в процентах равна 0,2×100%=20%, таким образом, блок сыра имеет процентную относительную погрешность 20%, или измерение было ошибочным на 20%.

Колоссальное колесо сыра имеет гораздо меньшую относительную погрешность в процентах: 0,0002×100%=0,02%.

Эта большая пропорциональная разница в процентной ошибке для небольших блоков сыра означает, что ошибки в измерения будут складываться намного быстрее.Если, например, перед вами стоит задача измерить 1‎ ‎000 кг сыра, выбрав единственное колоссальное колесо 1‎ ‎000 кг дает точность 0,02%. Если бы вместо этого вы выбрали 1‎ ‎блоков меньшего размера, относительная ошибка в процентах использовала бы гораздо более высокие 20%.

Чтобы получить фактическое значение количества сыра в килограммах относительная ошибка в процентах приведет к, разделите относительную ошибку в процентах на 100%, чтобы преобразовать обратно к относительной ошибке.Сравнивая их, колоссальное колесо 1000×0,02%100%=0,2 кгкг в то время как меньший блок сыра 1000×20%100%=200.kgkg

Таким образом, хотя масса колоссального колеса изменится всего на 0,2 кг, если вместо этого использовать стопку из 1‎ ‎блоков сыра меньшего размера, их масса будет отличаться на полную 200 кг. Приведение где-нибудь между 800 и 1‎ ‎200 кг сыра, когда вы должны были есть 1‎ ‎000 кг — большая ошибка.

Поскольку относительная ошибка основана на абсолютной ошибке и принятом значении, уравнение относительной ошибки в процентах, 𝑟% записывается как 𝑟=Δ𝑥𝑥×100%,% где Δ𝑥 — абсолютная ошибка, а 𝑥 — принятое значение.

Давайте рассмотрим несколько примеров с использованием процентной относительной ошибки.

Пример 4: Расчет относительной погрешности измерения принятого значения

В эксперименте скорость звуковых волн на Земле на уровне моря при температуре 21∘С 333 м/с. Найдите относительную погрешность измерения в процентах. используя принятое значение 344 м/с. Дайте свой ответ одному десятичное место.

Ответ

В этой задаче данные значения являются измеренным значением 333 м/с и принятое значение 344 м/с.Напомним относительную ошибку в процентах уравнение 𝑟=Δ𝑥𝑥×100%,% где Δ𝑥 — абсолютная ошибка, а 𝑥 — принятое значение.

Необходима абсолютная погрешность, которую находят, взяв разность между измеренным и принятым значениями: 344/−333/=11/.msmsms

Затем вычисляется относительная ошибка путем деления абсолютной ошибки на 11 м/с, по принятому значению 344 м/с: Δ𝑥𝑥=11/344/11/344/=0,03197…,msmsmsms делая относительную ошибку 0.03197…. В конечном итоге ответ должен быть с точностью до одного десятичного знака, но это не округляется до конца задачи для максимальной точности. Чтобы получить относительную ошибку в процентах, это значение затем умножить на 100%: 0,03197…×100%=3,197…%.

Теперь, когда ответ в окончательной форме, его можно округлить до одного десятичного знака, что сделает относительную ошибку в процентах. 3,2%.

Пример 5. Определение значения по его абсолютной и относительной погрешности

Найдено, что относительная и абсолютная погрешности измерения массы некоторого ящика равны 1.6% и 0,4 кг соответственно. Вычислите фактическое значение массы.

Ответ

Фактическое значение является принятым значением, и его можно найти с помощью расширенного уравнения для процентной относительной ошибки Δ𝑥𝑥×100%=𝑟,% где Δ𝑥 — абсолютная ошибка, а 𝑥 — принятое значение.

Принятое значение 𝑥 необходимо выделить, что можно сделать алгебраически. Начнем с умножая обе части на принятое значение: Δ𝑥𝑥×100%×𝑥=𝑟×𝑥.%

Это приводит к тому, что принятые значения слева отменяются, оставляя позади Δ𝑥×100%=𝑟×𝑥.%

Затем обе части можно разделить на процент относительной ошибки, чтобы получить Δ𝑥×100%𝑟=𝑟×𝑥𝑟,%%% устранение относительной ошибки в процентах справа, что формирует уравнение с изолированным принятым значением: Δ𝑥×100%𝑟=𝑥.%

Теперь значения абсолютной ошибки, 0,4 кг и процентной относительной ошибки 1,6% можно заменить на 0.4×100%1,6%=25,кгкг в результате чего знаки процента отменяются, оставляя принятое значение массы как 25 кг.

Давайте теперь обобщим то, что мы узнали из этого объяснения.

Ключевые точки

  • Принятое значение — это фактическое значение, которое считается правильным.
  • Ошибка измерения – это когда измеренное значение отличается от допустимого.
  • Абсолютная погрешность представляет собой разницу между принятым значением и измеренным значением и выражается в тех же единицах, что и значения.
  • Относительная ошибка — это отношение абсолютной ошибки к принятому значению, и оно безразмерно.
  • Относительная ошибка в процентах — это относительная ошибка, выраженная в процентах.

Как измерять ошибки

Как измерять ошибки
Далее: Дополнительная информация: Как Up: Точность и стабильность Предыдущий: Дополнительные сведения: с плавающей запятой &nbsp Содержимое &nbsp Индекс

Подпрограммы LAPACK возвращают четыре типа выходных аргументов с плавающей запятой:

  • Скаляр , например собственное значение матрицы,
  • Вектор , например, решение x линейной системы Ax = b ,
  • Матрица , например обратная матрица A -1 , и
  • Подпространство , такое как пространство, натянутое одним или несколькими собственными векторами матрицы.
В этом разделе представлены меры для ошибок в этих количествах, которые мы необходимо для того, чтобы выразить границы ошибки.

Сначала рассмотрим скаляров . Пусть скаляр быть приближением верный ответ. Мы можем измерить разницу между а также либо по абсолютной ошибке , или если отличен от нуля из-за относительной ошибки . Как вариант, иногда удобнее использовать вместо стандартного выражения для относительной ошибки (см. раздел 4.2.1). Если относительная ошибка это, скажем, 10 -5 , тогда мы говорим, что с точностью до 5 знаков после запятой .

Чтобы измерить ошибку векторов , нам нужно измерить размер или норма вектора x . Популярная норма – величина наибольшего компонента, , который мы обозначаем . Это читается как бесконечная норма x . См. сводку норм в Таблице 4.2.

Если является приближением к точный вектор x , мы будем ссылаться на как абсолютная ошибка в (где p — одно из значений в таблице 4.2), и обратитесь к как относительная ошибка в (при условии ). Как и скаляры, мы будем иногда использовать для относительной ошибки. Как и выше, если относительная ошибка это, скажем, 10 -5 , тогда мы говорим это с точностью до 5 десятичных знаков. Следующий пример иллюстрирует эти идеи:




Таким образом, мы бы сказали, что приблизительно x до 2 десятичные цифры.

Ошибки в матрицах тоже можно измерять нормами. Самый очевидный обобщение для матриц, казалось бы, , но это не имеет определенного важные математические свойства, которые делают вывод границ ошибки удобно (см. раздел 4.2.1). Вместо этого мы будем использовать , где A является m матрицей n , или ; см. Таблицу 4.2 для других матричных норм. Как прежде является абсолютным ошибка в , относительная ошибка в , и относительная ошибка в из 10 -5 означает с точностью до 5 десятичных знаков.Следующий пример иллюстрирует эти идеи:




так с точностью до 1 десятичной цифры.

Вот некоторые связанные обозначения, которые мы будем использовать в наших границах ошибок. Номер состояния матрицы A определяется как , где А является квадратным и обратимым, а p является или одно из другого возможности в таблице 4.2. Номер условия измеряет чувствительность A -1 к изменениям в A ; чем больше номер состояния, более чувствительный A -1 .Например, для тех же А что и в последнем примере,


ЛАПАК подпрограммы оценки ошибок обычно вычисляют переменную, называемую RCOND, который является обратным числом условия (или приближение обратного). Обратное условие номер используется вместо самого номера условия, чтобы чтобы избежать возможности переполнения, когда число условий очень велико. Кроме того, некоторые из наших границ ошибок будут использовать вектор абсолютных значений x , |x| ( |х| i = |x i | ), или аналогично |A| ( |А| ij = |a ij | ).

Теперь рассмотрим ошибки в подпространствах . Подпространства – это выходные данные подпрограмм, которые вычисляют собственные векторы и инвариант подпространства матриц. Нам нужно точное определение ошибки в этих случаях по следующей причине. Ненулевой вектор x называется (справа) собственный вектор матрицы A с собственным значением если . Из этого определения мы видим, что x , 2 x или любое другое ненулевое кратное x также является собственный вектор.Другими словами, собственные векторы не уникальны. Этот означает, что мы не можем измерить разницу между двумя предполагаемыми собственными векторами и x вычислением , потому что это может быть большим, пока мало или даже равно нулю для немного . Это верно даже если мы нормализуем x так, чтобы |x| 2 = 1 , так как оба x и x можно нормализовать одновременно. Итак, чтобы определить ошибка полезным способом, нам нужно вместо этого рассмотреть множество из все скалярные кратные из х .Набор является называется подпространством , натянутым на x , и определяется однозначно любым ненулевым членом . Мы измерим разницу между двумя такими наборами на острый угол между ними. Предполагать охватывает а также охватывается . Тогда острый угол между а также определяется как


Можно показать, что не меняется ни при или x умножается на любой ненулевой скаляр. Например, если

как указано выше, то для любого ненулевые скаляры а также .

Вот еще один способ интерпретировать угол между а также . Предполагать является единичным вектором ( ). Тогда есть скаляр такой, что


приближение держится, когда намного меньше 1 (меньше 0,1 подойдет). Если является приблизительным собственный вектор с границей ошибки , где x — истинный собственный вектор, существует еще один истинный собственный вектор удовлетворяющий . Например, если

тогда для .

Некоторые подпрограммы LAPACK также возвращают подпространства, охватываемые более чем одним вектор, такой как инвариантные подпространства матриц, возвращаемые xGEESX.Здесь также применяется понятие угла между подпространствами; подробности см. в разделе 4.2.1.

Наконец, многие из наших границ ошибок будут содержать коэффициент p ( n ) (или p ( m , n ) ), которая растет как функция размерности матрицы n (или размерностей m и n ). Он представляет потенциально разные функции для каждой проблемы.На практике истинные ошибки обычно растут линейно; с использованием p ( n )=10 n в формулах оценки погрешности часто дают разумную оценку. Поэтому мы будем называть p ( n ) “умеренно растущей” функцией n . Однако иногда он может быть намного больше, см. раздел 4.2.1. Для простоты границы ошибок, вычисляемые фрагментами кода в следующих разделах будет использоваться p ( n )=1 . Это означает, что эти вычисленные границы ошибки могут иногда немного занижают истинную ошибку. По этой причине мы ссылаемся к этим вычисленным границам ошибки как “приблизительные границы ошибки”.




Далее: Дополнительная информация: Как Up: Точность и стабильность Предыдущий: Дополнительные сведения: с плавающей запятой &nbsp Содержимое &nbsp Индекс
Сьюзан Блэкфорд
1999-10-01

Расчет ошибки – Энциклопедия окружающей среды

Рисунок 1.Метеорологическая измерительная станция Ecole Normale de La Rochelle, использовавшаяся в 1910 году (слева), и метеорологическая измерительная станция в местечке Le bout Blanc в Ла-Рошели, использовавшаяся в 1998 году. [Источник: Météo-France]Из всех этих источников ошибок те, которые относятся к выборке (количество наблюдений на расчетную ячейку сетки) и неполному охвату (отсутствие наблюдений в некоторых ячейках сетки), являются наиболее важными. Даже если количество учитываемых наблюдений увеличивается с оцифровкой старых архивных данных, некоторые районы, особенно вблизи полюсов, остаются плохо охваченными.Методы, используемые для оценки этих ошибок, заключаются в создании псевдонаблюдений на основе численного моделирования (в частности, повторного анализа, упомянутого в разделе 3) с точным охватом (например, как в Lenssen et al , (2019) псевдонаблюдения). примерно каждые полградуса по широте и долготе) по всей планете. Они используются для оценки влияния сокращения пространственно-временного охвата реальных наблюдений на расчет эволюции температуры на сетках реконструкций или в среднем.Например, Lenssen et al . (2019) оценивают, что неопределенности выборки и охвата среднегодовой континентальной температуры уменьшаются примерно с 0,20 °C в 1880-х годах до 0,05 °C в 2000-х годах (здесь, как и далее, если не указано иное, эти значения неопределенности характеризуют 95-процентную достоверность). интервал).

Эффекты урбанизации частично корректируются в реконструкциях с использованием различных методов, таких как удаление наблюдений, наиболее затронутых урбанизацией, или корректировка данных городских станций с данными соседних сельских станций [1].После этих поправок необходимо учитывать остаточные ошибки в неопределенностях восстановленных температур. Однако они имеют лишь ограниченное влияние на тренд среднегодовой температуры для всех континентов, так как потепление за весь XX в. по британской реконструкции составляет, например, менее 0,06°С, т. е. гораздо меньшего порядка величины, чем сам тренд [2].

На рисунке показаны разрывов в однородности серии с фотографиями метеостанции Ла-Рошель, использовавшейся в 1910 году, и станции 1998 года, оборудованной укрытием, отвечающим международным стандартам.Ряды данных, используемые в реконструкциях, должны быть сначала проанализированы, чтобы обнаружить эти разрывы в однородности, например, путем сравнения пар географически соседних рядов наблюдений. Затем эти разрывы необходимо исправить, опять же используя близость станций, наблюдения которых пространственно коррелированы. Но какими бы точными ни были эти поправки, остаточные ошибки, такие как не обнаружение некоторых разрывов максимум в несколько десятых градуса, способствуют увеличению неопределенностей при реконструкции температуры и поэтому должны учитываться при их оценке.

Морские данные также подлежат поправкам смещения , в частности, из-за:

  • недавнее увеличение числа наблюдений на буй в сочетании с уменьшением числа наблюдений на судно привело к уменьшению предполагаемого тренда температуры.
  • применение измерения температуры путем забора воды из более или менее теплоизолированного ведра по сравнению с более современным методом измерения температуры на входе в водозаборники, применяемые для охлаждения лодочных двигателей.

Сосуществование этих различных методов измерения в определенные периоды, например, во время или сразу после Второй мировой войны, иногда затрудняет оценку необходимых поправок [3]. Влияние этих погрешностей на тенденции сильно зависит от периода анализа, и включение нескорректированных эффектов в оценки неопределенности остается необходимым.

Общая неопределенность среднегодовой глобальной температуры рассчитывается путем объединения всех упомянутых выше неопределенностей как для океана, так и для континента.Поэтому разрабатываются все более полные и точные модели для расчета неопределенностей [4]. Эти модели постоянно совершенствуются, например, недавно были включены корреляции ошибок измерений с одних и тех же лодок или буев. Недавняя разработка также заключается в построении больших наборов реконструкций температуры (100 или даже 1000 элементов) путем изменения параметров, используемых для расчета средних значений и исправления ошибок в наблюдаемых данных (урбанизация, гомогенизация, систематическая ошибка в морских данных и т. д.).

Результаты расчетов общей ошибки по различным моделям ошибок следующие:

  • для британской реконструкции, общая ошибка уменьшается примерно с 0,22°C в 1850-х годах до 0,15°C в 1880-х годах и до 0,10°C в 2000-х годах;
  • для реконструкции NOAA, она уменьшается примерно с 0,15°C в 1880-х годах до примерно 0,05°C в 2000-х годах;
  • для НАСА |7], она уменьшается примерно с 0,14°C в 1880-х годах до 0,08°C в 2000-х годах;
  • для трех реконструкций суммарные неопределенности возрастают на 1-2 десятых градуса в периоды двух мировых конфликтов.

Примечания и ссылки

Наклейка на обложку. [Источник: Météo-France]

[1] Уикхэм, К., Роде, Р., Мюллер, Р.А., Вуртеле, Дж., Карри, Дж., Грум, Д., Якобсен, Р., Перлмуттер, С., Розенфельд А., Мошер С. (2014) Влияние городского отопления на глобальную среднюю температуру на суше с использованием сельских участков, определенных по классификациям MODIS. Геоинформатика и геостатистика: обзор , 1:2 , 2-6.

[2] Джонс, П.Д., Нью М., Паркер Д.Э., Мартин С., Ригор И.Г. (1999) Приземная температура и ее изменения за последние 150 лет. Обзор геофизики , 32 , (2), 173-199.

[3] Кеннеди, Дж. Дж., Райнер, Н. А., Смит, Р. О., Паркер, Д. Е., Саунби, М. (2011) Переоценка погрешностей и других неопределенностей в наблюдениях за температурой поверхности моря, измеренных на месте с 1850 года: 2. Погрешности и гомогенизация. Journal of Geophysical Research, 116 , D14104.DOI: 10.1029/2010JD015220.

[4] Brohan, P., Kennedy, JJ, Harris, I., Tett, SFB, Jones, PD (2006) Оценки неопределенности в региональных и глобальных наблюдаемых изменениях температуры: новый набор данных с 1850 года. Journal of Geophysical Исследования , 111 , D12106. DOI: 10.1029/2005JD006548.

ошибок измерения | Prelim Standard Math с Art of Smart

Что такое ошибки измерения?

Существуют различные степени погрешности прибора и погрешности измерения при измерении.Каждый раз, когда измерение повторяется, будет получен несколько иной результат. Важно, чтобы вы понимали следующие расчеты: 

  • Точность: наименьшая единица измерения или предел показаний
  • Абсолютная ошибка: измеренное значение – фактическое значение или 1/2 x точность
  • Верхняя граница: измерение + абсолютная ошибка
  • Нижняя граница: измерение – абсолютная ошибка
  • Относительная ошибка: абсолютная ошибка/измерение
  • Процентная ошибка: (абсолютная ошибка/измерение) x 100

Загрузите шпаргалку здесь!

Что такое различные термины и как мы их решаем?

В приведенных ниже видеороликах более подробно объясняются различные определения и способы их нахождения при заданном измерении.

Часть 1:

Часть 2:

Как рассчитать относительную ошибку и ошибку в процентах

В следующем видео показано, как рассчитать относительные и процентные ошибки при заданном измерении.

Дальнейший расчет различных ошибок измерения

Следующие видеоролики демонстрируют дополнительные примеры этих вычислений.

Часть 1:

Часть 2: