Построить сечение наклонной плоскостью: Наклонное сечение шестигранной призмы • СПЛАЙН

Простая физика – EASY-PHYSIC

2013-12-11 | Автор: Анна

Приветствую Вас у себя на сайте EASY-PHYSIC.RU!

Меня зовут Денисова Анна Валерьевна.

Закончив кафедру Электротехники и Прецизионных Электро-Механических Систем (ЭТиПЭМС) Университета ИТМО в 1998, я поступила в аспирантуру, защитила диссертацию, став кандидатом наук, и осталась преподавать на кафедре.

Мой сайт называется “Простая физика” – да, физика может быть простой! И математика, и электротехника, и даже электроника!

Этот сайт как раз и был создан мной для того, чтобы студенты не боялись электротехники, а школьники – ЕГЭ.

Уважаемые школьники! Поверьте, ЕГЭ по физике и математике не так уж и страшны! Можно освоить любые задачи, было бы желание и время. Я объясняю доступно и понятно, стараюсь, чтобы на занятиях было интересно. Но от вас самих зависит 80 процентов успеха: большая работа откликается хорошими баллами на экзамене. Когда к экзаменам готовишься заранее, обязательно наступает момент, когда появляется уверенность в себе – а это тоже немаловажный фактор в достижении успеха. Для вас на сайте еженедельно выходят варианты ЕГЭ по физике для подготовки.

Уважаемые студенты! Если вы учитесь в техническом ВУЗе, то электротехника – неотъемлемая часть вашего учебного плана. Опыт показывает, что часов, отведенных нам учебным планом, хватает не всем студентам, чтобы освоить электротехнику. Поэтому не все успешно сдают этот не самый простой предмет. Сайт, я надеюсь, поможет восстановить эти пробелы, какой-то материал повторить, какой-то – освоить самостоятельно (как говорится, раньше студенты учились и подрабатывали, а теперь – работают и подучиваются). Студенты ИТМО найдут здесь полезные видео, статьи, которые помогут им сдать тесты, статьи, помогающие справиться с домашними заданиями, оформить лабораторные работы и т.

п. Надеюсь, заглянут и студенты прочих технических вузов, которые также обязательно изучают электротехнику. Я стараюсь наполнить сайт простыми и понятными статьями и видео, чтобы этот нелегкий предмет перестал вызывать у вас сложности. Также вы найдете здесь лекции по электронике и микропроцессорной технике.

Хочется, чтобы на этом сайте вам было удобно, понятно и нескучно! Пишите, если у вас возникнут пожелания: если вам интересна какая-либо тема, а на сайте она еще не раскрыта, я могу сделать статью по вашей просьбе! Также буду благодарна за сообщения об опечатках.

Круг интересов любого человека не может ограничиваться только работой, пусть даже и любимой. Я воспитываю троих детей, увлекаюсь переводами песен с разных языков, сама являюсь автором песен (их пока всего две), играю на гитаре и барабанной установке, пишу картины, очень хорошо знаю и очень люблю собирать грибы, обожаю рыбалку, люблю и умею готовить…

Сечением сферы плоскостью общего положения является

Сечение сферы плоскостью

Сечение сферы плоскостью представляет плоскую кривую — окружность, принадлежащую секущей плоскости. Построить сечение сферы плоскостью общего положения β

Так как секущая плоскость общего положения, то эта окружность проецируется на плоскости проекций в виде эллипсов. Для построения эллипса необходимо знать размеры эллипса по его осям большой и малой. Для тел вращения, к каковым относят цилиндр, конус и сферу, линия сечения может быть построена с характерными точками кривой к которым относятся: — точки в которых меняется знак видимости; — точки в которых ее координаты принимают максимальные и минимальные значения: — x_max; x_min; — y_max; y_min; — z_max; z_min; Использование характерных точек позволяет выполнить более точное построение линии пересечения поверхности вращения и плоскости.

Решение задачи на сечение сферы плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость занимает проецирующее положение.

Способом перемены плоскостей проекций переведем плоскость β из общего положения в частное — фронтально-проецирующее. На фронтальной плоскости проекций V₁ построим след плоскости β и проекцию шара. На следе плоскости β_V берем произвольную точку 3″ замеряем ее удаление от плоскости проекций H и откладываем его по линии связи уже на плоскости V₁, получая точку 3″₁. Через нее и пройдет след. Линия сечения шара — точки A»₁, B»₁ совпадает здесь со следом плоскости. Далее на фронтальной плоскости проекций V₁ построим центр окружности сечения — точку C»₁ которую получим восстановив перпендикуляр из центра шара (точка 0″₁) к [A»₁ B»₁] на их пересечении. Далее включаем обратное проецирование: через точки A»₁, B»₁ и C»₁ проводим горизонтали h принадлежащие плоскости β, и на плоскости проекций H через центр шара проводим вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость γ₁. Горизонтальный след плоскости γ₁ пресечет проекцию горизонтали h и определит в этом месте точку C` — центра окружности сечения. Горизонталь h` пересекает проекцию шара в точках D` и E`, определяя тем самым действительную величину отрезка [DE] — большой оси эллипса. Аналогично строятся точки A` и B`, определяющие величину отрезка [A`B`] — малой оси эллипса.

Проекции большой и малой оси эллипса на горизонтальную плоскость проекции H найдены, а это означает что эллипс — проекция окружности сечения на H может быть построен, смотри статью: Окружность

Повторим те же действия на для фронтальной плоскости проекций V и построим другой эллипс — проекцию окружности сечения на V.

Для нахождения точек указывающих границы видимости горизонтальной проекции окружности сечения

проводим через центр шара фронтально-проецирующую плоскость γ₂ ⊥ V, которая пересечет плоскость β по горизонтали h(h`, h»). Линия h` пересекается с горизонтальной проекцией окружности сечения по точкам 5,6 указывающим границу видимости. Точки окружности сечения расположенные на фронтальной проекции ниже следа плоскости γ₂, на горизонтальной плоскости проекции H будут располагаться слева от отрезка [5`, 6`] — и будут на ней невидимы.

Для нахождения точек указывающих границы видимости фронтальной проекции окружности сечения. Проводим через центр шара горизонтально-проецирующую плоскость γ₁ ⊥ H, которая пересечет плоскость β по фронтали f(f`, f»). Линия f» пересекается с фронтальной проекцией окружности сечения по точкам 7″, 8″ указывающим границу видимости. Точки окружности сечения расположенные на горизонтальной проекции выше следа плоскости γ₁, на фронтальной плоскости проекции V будут располагаться слева от отрезка [7″, 8″] — и будут на ней невидимы.

Источник

Сечение сферы плоскостью

Сфера всякой плоскостью пересекается по окружности. Если секущая плоскость параллельна плоскости проекций, то окружность проецируется на эту плоскость в натуральную величину.

Окружность, лежащая в наклонной плоскости, проецируется в эллипс.

В сечении сферы плоскостью Σ получается окружность диаметром d, равным отрезку 1₁-2₁. У этой окружности – множество диаметров и все они как-то искажены при проецировании на плоскости П₂ и П₃. Самое большое искажение у диаметра 1-2: отрезок 1₂-2₂ соответствует малой оси эллипса. И только один из всех диаметров – диаметр 3-4, перпендикулярный плоскости П₁, а следовательно, параллельный плоскостям П₂ и П_3, проецируется на эти плоскостив натуральную величину и определяет большую ось эллипса (отрезок 3₂-4₂).

Пример. Построить проекции линии пересечения сферы плоскостью Λ.

Решение. В сечении сферы фронтально-проецирующей плоскостьюполучается окружность диаметром 1₂-2₂, которая на плоскости П₁ и П₃ проецируется в эллипсы.

1.1 Точки 1₂, 2₂ – на фронтальном очерке сферы; проекции этого отрезка на

плоскости П₁ и П₃ – малые оси эллипсов: 1₁-2₁ и 1₃-2₃ соответственно.

1.2 Точка 3₂=4₂ – проекция большой оси эллипса. Она лежит в середине отрезка 1₂-2₂ и совпадает с проекцией центра окружности, которая получилась в сечении. Можно найти эту точку, опустив перпендикуляр из центра сферы на плоскость Λ. Горизонтальная и профильная проекции отрезка 3-4 (3₁-4₁ и 3₃-4₃) лежат на соответствующих линиях связи и равны диаметру окружности (длине отрезка 1₂-2₂). 1.3 Точки 5 и 6 лежат на профильном очерке сферы; очевидные.

1.4 Точки 7 и 8 – на горизонтальном очерке сферы; очевидные.

2. Промежуточные точки 9 и 10 определены с помощью параллели m.

3. Определение видимости кривой. На горизонтальной проекции границы видимости – точки 7 и 8 – на горизонтальном очерке. Участок эллипса 7-1-8 –невидимый, так как лежит на нижней половине сферы.

На профильной проекции границы видимости – точки 5 и 6 – на профильном очерке. Участок эллипса 6-2-5 –невидимый, так как лежит на невидимой половине сферы.

4. Натуральный вид фигуры сечения – окружность (но не эллипс!).

Линейчатой называют поверхность, которая образуется движением прямой линии (образующей) в пространстве. В зависимости от закона движения образующей прямой выделяют три вида линейчатых поверхностей. Линейчатые поверхности с тремя направляющими образуются движением прямолинейной образующей по трем направляющим a, b и c (кривым или прямым), которые единственным образом определяют движение образующей l. Так, выбрав на направляющей a любую точку А, можно будет провести через эту точку бесконечное множество прямолинейных образующих конической поверхности

с вершиной в точке А и пересекающих направляющую c. Из рисунка1 видно, что через точку А, взятую на направляющей a,проходит одна и только одна прямолинейная образующая, пересекающая две другие направляющие b и c.

Описанным способом через точки, принадлежащие направляющей a,можно построить любое число прямолинейных образующих, которые выделят в пространстве одну единственную линейчатую поверхность.

Примером линейчатой поверхности с тремя направляющими является однополосный гиперболоид, у которого направляющими служат три произвольно скрещивающиеся прямые a, b и c (рис. 2).

Часто линейчатые поверхности задаются меньшим числом направляющих. В этих случаях отсутствие недостающих направляющих дополняют условиями, обеспечивающими заданный характер движения образующей. Для получения линейчатых поверхностей с двумя направляющими задается дополнительное условие сохранения параллельности образующей какой-либо плоскости, называемой плоскостью параллелизма, или сохранения заданного угла наклона образующей относительно какой-либо плоскости или оси вращения (у геликоидов). Такие поверхности называются поверхностями с плоскостью параллелизма. К ним относятся:

— цилиндроид образуется движением прямолинейной образующей l по двум криволинейным направляющим a и b, причем во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма Σ

— коноид образуется движением прямолинейной образующей l по двум направляющим, из которых одна является кривой линией a, а другая – прямой b, причем во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма Σ.

На рис. 4 изображена косая плоскость, направляющими которой служат

прямые a и b, а плоскость параллелизма – горизонтальная плоскость проекций П1, следовательно, образующие косой плоскости являются горизонталями.

Так как в сечении косой плоскости можно получить, кроме прямолинейных образующих и направляющих, также гиперболу и параболу, эту поверхность еще называют гиперболическим параболоидом. Параболой является горизонтальный очерк косой плоскости, приведенной на рис. 5.

— торс образуется движением прямолинейной образующей l, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной кривой m, называемой ребром возврата. Ребро возврата является направляющей торса, который полностью определяет поверхность

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Источник

Наклонные плоскости, перспектива арт

ГЛАВА V

Применение правила III к рисунку ступеней. — Доска, уложенная на лестничный пролет, будет касаться каждой ступеньки в том месте, где ступенька встречается со стойкой. Доска в таком положении была бы плоскостью, наклоненной вверх; поэтому его стороны, если смотреть на него снизу в ракурсе, стремились бы к точке, расположенной непосредственно над этой точкой, куда они направились бы, если бы доска лежала в горизонтальном положении (т. е. В. П. для сторон ступеней ).

Если бы доска была такой же ширины, как лестница, ее боковые линии выявили бы не только крутизну лестницы, но и положение углов каждой ступеньки, на которую она опиралась.

Имея это в виду, мы можем изобразить высоту и глубину всех ступеней в полете, используя четыре таких наклонных линии — по две на каждом конце. Верхняя линия с каждой стороны будет обозначать верхние углы каждой ступени, нижние линии дадут нам те углы, которые образуются при встрече задней части проступи с нижней частью подъема. Но сначала мы должны нарисовать одну ступеньку в ее правильных пропорциях или спроектировать так, как мы хотим.

(1) Вид сбоку. — Если это вид сбоку на ступени, которые нам предстоит преодолеть, можно использовать наклонные линии. Тогда они не удалялись бы от нас, а были бы параллельны друг другу (как на рис. 116).

Практика. — Для рис. 116 нарисуйте ступеньку А. Проведите линию 1-2 через углы ступени, видимой в конце-масле, и продолжите ее до 3. Сделайте линию 4-5 касающейся края ступени и параллельно 1-3. Повторите эти строки на дальней стороне шага, а именно 6-7 и 8-9.. Чтобы сформировать ступеньку B, нарисуйте по одной стойке на каждом конце между наклонными линиями. Они определяют его высоту. Нарисуйте горизонтальные линии, чтобы зафиксировать глубину протектора. Соедините ближний и дальний углы, чтобы получились передний край и задняя линия протектора. Этим завершается шаг B. Другие шаги выполняются таким же образом.

илл. XV. Рисунок автора
A ЛИЧСКИЕ ВОРОТА
Обратите внимание, что ступени потерты по краям, так что мы видим больше их верхних поверхностей, чем если бы они были новыми.

(2) Ступеньки, вид спереди. —Практика.

— (Рис. 117.) Нарисуйте ступеньку А, стараясь получить правильную глубину проступи по сравнению с высотой ступеньки. Поперек ступени из угла в угол проводят линию 1-2, и продолжают ее до тех пор, пока она не окажется выше «уровня» В.П. для того, чтобы найти “в гору” В.П. Проведите линии от «в гору» к трем другим углам на передней части ступени. Сделайте переднюю часть ступени B (2-3) такой же высоты, как и заднюю часть ступени A (4-2). Затем вы увидите, что высота каждой ступени может быть получена прямыми линиями (например, 2-3 и 6-5), проведенными между наклонными линиями.

Соединить 3-5.. Из углов 5 и 3 вывести линии на «уровень» В.П., где разрезав наклонные линии (в 7 и 8) поднять стойки для переда ступени. Соедините 7 и 8, чтобы завершить шаг B. Обратите внимание, что глубина каждого шага также определяется наклонными линиями, которые образуют шкалу на каждом конце. Сделайте последовательные шаги, как вы сделали шаг B.

Использование этих наклонных линий в качестве шкалы для фиксации не только высоты, но и глубины каждой ступени лучше видно на .

4 рис. 118. Пять верхних ступеней находятся выше уровня нашего глаза. Их высота и глубина получается так же, как показано пунктиром, поэтому масштаб также определяет, насколько каждая ступенька скрыта ступенью перед ней, и это более чем удобно (рис. XVI, XVII) .

Глубина ступеней, найденных по правилу. — Начертить глубину ступени в правильной пропорции к ее высоте не составит труда. Линейка, которую держат в вертикальном положении на расстоянии вытянутой руки, даст пропорциональное измерение; но вы можете нарисовать его по правилам перспективы, если хотите.

илл. XVI. С картины Байрана Шоу, R.W.S.
ЭТО СЕРДЦЕ, НА КОРОЛЕВУ Опиралась

Проблема . — (Рис. 119.) Начертить ступеньку, передняя часть которой параллельна линии горизонта, длиной 4 фута, высотой 1 фут и 2 фута в глубину. Нарисуйте переднюю часть ступени, сделав ее высоту одной четвертой длины. Из четырех углов пройдите линии к P.V.P. для формирования сторон.

Длина от 0 до 2 представляет собой половину длины или два фута; поэтому из точки 2 возьмите линию до В.П. к которым идут диагонали квадратов (как объяснено в главе III, рис. 77). Глубина от 0 до А, отсекаемая этой линией, будет 2 фута, потому что она представляет собой длину от 0 до 2 в ракурсе. Поднимитесь вертикально в точке А, пока она не встретится с линией, идущей к P.V.P. от верхнего угла ступеньки. Сделайте заднюю часть шага параллельно передней.

“В гору” В.П. нашел по перилам. — Лестница, не проложенная между стенами, будет защищена по бокам балюстрадой или поручнями.

Если мы скопируем направление поручней и продолжим их линии (по мере их отступления), то найдем «в гору» В.П. в месте их встречи (рис. 120). Затем опускаем вертикальную линию от «горы» В.П. до касания линии горизонта и так найти «уровень» В.П. Это простой способ обойти трудность, но лучше также использовать шкалу отступления, как объяснялось выше, чтобы сэкономить время и обеспечить точность определения высоты каждой ступени (см.

рис. XVIII).

Рис. XVII. В.Ф. Годнес, Р.А. (Галерея Тейт)
ЭМИ РОБСАРТ

(3) Ступеньки под углом. — Там, где ступени находятся в таком положении, что вы смотрите в один угол, передняя и боковые стороны от нас отступают. Мы должны использовать два «уровня» В.П. при рисовании первого шага. Остальной полет можно построить, используя наклонную шкалу и только один «уровень» В.П. (Рис. XXXII и рис. 121 и 125).

Практика. — (Рис. 121.) Нарисуйте ближний конец шага А и продолжайте верхнюю и нижнюю линии до их встречи на горизонте (В.П. «уровень»). Добавьте переднюю часть ступени, измерив угол (см. примечание, стр. 38, гл. II), и продолжайте одну линию, чтобы найти В.П. 2. Найти «в гору» В.П. пройдя по диагонали (1-2) сбоку от ступени и продолжая ее до тех пор, пока она не окажется сразу над В.П. ” уровень.” С «в гору» В.П. проведите линии к трем другим углам передней части ступени, чтобы сформировать шкалу — по одной на каждом конце. Вровень с задней частью ступени А, поднимите переднюю часть ступени В, ее высота на каждом конце (2-3 и 5-4) будет находиться между линиями наклонных чешуек. Из передних углов (4 или 3) шага Б проведите линии на «уровень» В.П. для формирования протектора. Там, где эти линии пересекают нижние линии наклонных чешуек, поднимаются стойки для ступени С. Соедините 7 и 6, чтобы выполнить шаг B. Сформируйте другие шаги аналогичным образом.

(4) Лестничный пролет, вид сверху. — Ступени, уходящие вниз, можно нарисовать по наклонной шкале, к которой мы привыкли, рисуя ступени снизу. В.П. ибо наклонные весы будут в какой-то момент сразу под «уровнем» В.П. к которым стремятся боковые линии ступеней.

Практика для рис. 122. — Найдите горизонт в природе[1] и скопируйте его положение на картинке. Нарисуйте угол верхней ступени и следующей (1 и 2), стараясь точно определить их относительное положение, и запишите, насколько верхняя ступень перекрывает ступеньку под ней. Продолжить линию (1-3) верхней ступени до горизонта, чтобы найти «уровень» В.П.

Соедините это с углом 2 и продолжайте линию, пока она не окажется под углом 1. Проведенная таким образом линия (2-4) будет вершиной ступени 2 (как если бы вы могли видеть сквозь верхнюю ступеньку). Соедините 1 и 4, чтобы найти высоту ступени. Проведите линию, касающуюся углов (1 и 2) обеих ступенек, продолжайте ее до «уровня» В.П., чтобы найти «под горку» В.П. Эта линия образует одну из наклонных линий шкалы, которой должен касаться верхний угол каждой ступени.

Другая шкала-линия выполнена путем соединения нижнего угла (4) верхней ступени с «нисходящей» В.П. Нарисуйте высоту следующего шага (линия 2-5) между линиями шкалы. Присоединяйтесь к 5 на “уровень” В.П. чтобы сформировать вершину третьей ступени. Начертите 1—А ширину лестницы. Присоединяйтесь к “уровню” В.П. с A и продолжайте B, чтобы завершить верхний шаг. Соединить угол А с «под горкой» В.П. Присоединитесь 2 к C. Присоединитесь к “уровню” В. П. с C и продолжайте до D. Остальную часть полета можно быстро нарисовать таким же образом, используя шкалу слева, чтобы найти высоты, и одну линию шкалы справа, чтобы найти углы.

1. Как указано в гл. 1

илл. XVIII. Рисунок Автора.
СОДОВОРОД_НАСОС, БУРХЭМ

“Скоростной спуск” В.П. нашел по плинтусу. — При наличии плинтуса, спускающегося по лестнице, его направление можно продолжать до тех пор, пока он не окажется под «уровнем» В.П. к которому стремятся отступающие линии ступеней. Таким образом, мы можем найти «нисходящий» В.П.

Лестница, не проложенная между стенами, будет снабжена поручнями или балюстрадами. Это хороший план, чтобы нарисовать их первыми, чтобы найти «нисходящий» В.П. (рис. 123).

Это сэкономит время, но необходимо выполнить операцию, описанную на рис. 122. Тогда утомительного описания можно избежать ради простоты исполнения.

(5) Ступени с обеих сторон, ведущие к платформе. — в важных зданиях вход часто обрамлен лестничными пролетами по обеим сторонам террасы или портика, украшающего фасад. В этом случае, если бы мы стояли около одного угла, то должны были бы видеть перед собой восходящий марш, а в дальнем конце углы только нисходящих ступеней. Мы могли бы применить уже объясненные методы (121-122) для рисования каждого полета.

Рис. 124 говорит сам за себя, но заметим, что «под горку» В.П. ибо дальние ступени должны быть на таком же расстоянии ниже горизонта, как и «в гору» В.П. (для ближнего полета) над ним.

Высота ступеней, найденная измерительной рейкой . — Также обратите внимание, что высота каждой ступени на дальнем и ближнем конце регулируется вертикальными стойками на углу ближайшей ступени. Стойка разделена на промежутки, равные высоте ближайшей ступеньки; из этих делений линии вынесены на «уровень» В.П. и определить высоту каждого ряда ступеней. Вертикальная линия действует так же, как несколько ступенек, если их поставить одну поверх другой. (Этот метод можно было бы применить к любому из предыдущих примеров.)

Этот способ измерения высоты каждой ступеньки будет лучше понятен при обращении к рис. 125, хотя в данном случае мы находимся непосредственно перед лестничным пролетом.

Практика для рис. 125.— Нарисуйте переднюю часть нижней ступеньки. Начертите вертикаль и отметьте деления, равные высоте нижней ступеньки. От этих делений проводят линии к «уровню» В.П. (для формирования вершины каждой ступени). От нижнего угла ступени проведите наклонную линию к нижнему углу следующей, следя за тем, чтобы вершина ступени имела правильную глубину для ее высоты. Продолжайте наклонную линию. Видно, что точка встречи отступающих линий с наклонной линией определяет не только положение нижних углов, но и глубину каждой ступени. Эта практика является лишь еще одним применением отступающей шкалы и наклонной линии, которые были объяснены в гл. II и используется на рис. 69..

(6) Лестница с промежуточной площадкой, ведущая в галерею. — Начните с наброска его пропорций; затем найти горизонт, «уровень» В.П. и «в гору» В.П. (как на рис. 130). Найдя высоту перил в вершине первого марша (с помощью линий, идущих к «в гору» В.П.), вы проводите линии от вершины и низа стойки и от вершины поручня к «уровень» В.П. чтобы найти высоту перил вдоль лестничной площадки и высоту следующего столба, где начинается вторая лестница. Линии, взятые от поста (внизу «второго марша») до «в гору» В.П. определяет высоту стойки в верхней части второго марша.

Высота перил и стоек с правой стороны определяется горизонтальными линиями, проведенными поперек на каждом стыке лестницы с площадкой от левых перил и стоек. Сами лестницы рисуются так же, как и в предыдущих примерах.

Высота фигур на лестничном марше, вид снизу. — Пока высота каждой ступеньки видна и частично не скрыта краем ближайшей ступеньки (как это происходит ближе к вершине марша), мы можем оценить высоту фигуры по отношению к высоте ступеньки. он должен стоять, в десять раз выше и так далее. В противном случае мы можем использовать отступающую шкалу таким образом, рис. 131: Вдоль земли по одной стороне лестницы провести линию до «уровня» В.П. которые вы использовали для боковых сторон ступеней; определить высоту фигуры в какой-нибудь близлежащей точке (по сравнению с высотой ступени или шириной лестницы), поставить ее на линию и нести другую с ее направляйтесь к В.П. для завершения шкалы. На других ступенях, где должны быть размещены фигуры, проведите вертикальную линию вниз по краю лестницы, пока она не коснется земли; там требуемая высота будет показана такой же высотой на шаге выше, и проведите его по этой ступеньке до места, где он должен стоять (рис. 132). Помните, что измерения, как только что описано, должны быть сделаны сбоку от марша, потому что шкала находится прямо под ним, хотя на чертеже это не всегда так выглядит.

Это было бы обременительно при работе с простым полетом; было бы лучше использовать шкалу, идущую вверх по краю ступеней к «в гору» В. П., но она найдет применение там, где последовательные марши ведут к промежуточным галереям. Альтернативный метод, в последнем случае, был бы тем, который мы использовали для определения высоты стоек новелла на рис. 130.

Высота фигур на лестничном марше при взгляде сверху. — Масштаб, использованный на рис. 122 для рисования нисходящих ступеней, одинаково хорошо служил бы для определения высоты фигуры на любой из них.

Это можно сделать, отметив высоту каждой ступеньки (как если бы те, что ближе к нам, были прозрачными) и нарисовав нашим фигурам их правильную высоту по отношению к ступеньке, на которой они стоят. Но в конце концов было бы проще сделать шкалу, представляющую рост человека; нижняя линия этой шкалы будет касаться конечного края каждой ступени (рис. 134) в ее центре (обозначен цифрой 1).

Отметив положение ног нашей фигуры на той ступеньке, где он должен быть, мы должны передвинуть его ноги по ступеньке в масштабе ; установив там его рост, мы можем заставить человека вернуться туда, где мы указали его ноги.

Если бы ступени (рис. 135) были так широки, что мы не могли бы пройти от одной к другой одним шагом, — назовем их платформами, — то мы должны были бы зафиксировать высоту фигуры на конце каждой платформы ( сделать это по отступающей шкале до «нисходящей» В.П.). После этого надо взять масштаб на «уровень» В.П., чтобы найти высоту фигуры на той или иной площадке, на которой мы его вводим.

На двух платформах я выстроил отряд людей-призраков, просто чтобы понятнее объяснить идею. Операция действительно такая же, как и предыдущие; в них, однако, мы предполагали, что ноги человека занимают всю ширину ступени; на этих платформах мы добавили весы, чтобы определить рост человека, когда он идет от передней к задней части платформы.

(7) Ступени с четырех сторон квадрата. Основание креста или солнечных часов часто строится на платформах, установленных на более крупных платформах, образующих ступени концентрических ступеней. Их можно нарисовать, платформу за раз, методом, описанным для концентрических квадратов (глава IV, рис. 108, 109). Высоту каждой ступеньки (рис. 136) можно определить по отступающей шкале, прикрепленной к краю самой нижней платформы. Ширина каждой ступени может быть отмечена галочкой на ближнем краю самой нижней площадки, как в точках A, D, E. Линия от D (проведенная к В.П.) будет в точках пересечения с диагональю определять ближнюю и дальние углы одной стороны меньшей платформы. Линия от А также должна быть доведена до В.П. Там, где он встречается с основанием меньшей (второй) платформы в точке B, он поднимается к краю (к C). От C она действует на третью платформу, как линия D действует на вторую платформу (верхняя поверхность второй платформы пересекается диагоналями). Каждая последующая платформа будет подниматься так же, как и предыдущая.

Те же ступени (как на рис. 136), вид под углом. — Это не представляет никаких других трудностей, кроме получения последовательных значений глубины верхней поверхности на каждой ступени и их высоты. Нарисуем сначала самую нижнюю платформу с обозначенным на ней основанием следующей.

Практика. — Нарисуйте самую нижнюю платформу (рис. 137) с диагоналями, пересекающими ее верхнюю поверхность; оцените расстояние между его ближним углом и основанием второй платформы (от 1 до 2). Из ближнего угла второй площадки (2) провести линии на В.П. 1 и В.П. 2; там, где разрезали диагонали, поместите еще два уголка; от угла 3 пройти по линии до В.П. 1, чтобы найти четвертый угол (5) ; соединить 5 с 4.

Найти глубины на верхней поверхности каждой последующей площадки и их высоту. — Повторите действия, описанные на рис. 137, чтобы получить рис. 138. Продолжайте боковую линию второй платформы (с 1 по 2), пока она не встретится с краем нижней платформы (в позиции 3). Продолжите это вниз по стороне (3 к 4). Теперь вы можете использовать сторону как шкалу отступления, отмеченную делениями, которые кажутся пропорционально меньшими (метод объяснен в главе II, рис. 59). Каждое деление представляет собой глубину между одной платформой и следующей, но прежде чем мы сможем ее использовать, мы должны найти высоту второй платформы; для этого возьмите высоту платформы ниже точки 3 и поднимите ее выше 3, чтобы она стояла на краю (строка 5-3). Сверху и снизу этой линии height_take до В.П. 1, чтобы найти высоту второй площадки в углу 2. Нарисуйте вторую площадку так же, как первую, и проведите диагонали. Чтобы найти ближний угол третьей площадки, проведите линию от точки 6 (в сторону В.П. 1) через вершину первой платформы, вверх по стороне второй платформы и по ее вершине (к В.П. 1) до пересечения с диагоналями. Точно так же можно найти высоту третьей платформы, подняв высоту второй платформы на 7-8. Глубина между третьей и четвертой платформами будет найдена линией, начинающейся с точки 9и ведет себя как линия из 6, которую мы только что подробно описали. Таким же образом можно было поднять любое количество платформ.

Следующая страница
Примеры наклонной плоскости Предыдущая страница
Чертеж в ракурсе

Наклонная плоскость: определение, уравнение и пример

Вспомните свое детство, когда вы были беззаботным ребенком, игравшим на детской площадке. Помните, как вы взбирались на тренажерный зал для джунглей и спускались по пластиковой горке? Если бы вы не были осторожны, вы иногда терлись бы локтями о стороны горки на пути вниз, оставляя болезненные царапины на руках. Это произошло из-за трения между вами и слайдом. Эти пластиковые слайды являются примером применения наклонных плоскостей. Объект на наклонной плоскости испытывает гравитацию из-за своего веса, заставляя его скользить по краю. И когда он скользит по плоскости, он также испытывает трение, которое препятствует его движению и замедляет его. В этой статье мы научимся описывать и рассчитывать эти силы, избегая при этом каких-либо ударов и синяков!

Рис. 1. Ребенок, скользящий по горке игровой площадки, испытывает ту же физику, что и объект на наклонной плоскости.

Наклонная плоскость Определение

Наклонная плоскость — это поверхность, поднятая под определенным углом, в которой мы рассматриваем движение объекта.

Наклонная плоскость может быть сложным сценарием, поскольку мы должны учитывать различные компоненты каждой приложенной силы.

Наклонная плоскость может быть сложным сценарием, поскольку мы должны учитывать различные компоненты каждой приложенной силы.

Рассмотрим простейший сценарий: ящик на горизонтальной плоскости. В этом случае нам нужно рассмотреть только две силы: вес ящика, действующий вниз, и силу реакции со стороны плоскости, которая равна и противоположна весу. В результате ящик остается неподвижным в соответствии со вторым законом Ньютона.

Вес ящика на горизонтальной плоскости действует перпендикулярно плоскости. На наклонной плоскости этого не происходит. Но мы можем разделить вес на составляющие, параллельные и перпендикулярные плоскости.

Взгляните на рисунок выше. Мы противопоставляем положение горизонтальной плоскости наклонной плоскости справа. Для наклонной плоскости полезно разложить силу на составляющие, параллельные или перпендикулярные рассматриваемой нами наклонной плоскости. Мы можем видеть это разложение для веса, показанное на рисунке цветными стрелками. Обратите внимание, как компонент веса толкает коробку вниз по плоскости, в то время как другой компонент прижимается к поверхности плоскости. Из-за этих компонентов блок на наклонном склоне скользит вниз, не теряя контакта со склоном. В этой статье мы узнаем, как описать эти силы более математически, а также поймем, как трение играет роль в движении объектов!

Силы на наклонной плоскости

В этом разделе мы вычислим компоненты веса с помощью тригонометрии. Но давайте посмотрим, почему это полезно.

Для объекта на плоской поверхности нормальная сила направлена ​​вертикально вверх. Она находится в направлении, противоположном весу объекта, потому что нормальная сила является контактной силой и, таким образом, действует перпендикулярно поверхности. Однако для объекта на наклонной плоскости поверхность не перпендикулярна силе тяжести! Следовательно, нормальная сила не действует в направлении, противоположном силе тяжести. Вместо этого он действует перпендикулярно направлению наклонной плоскости. \circ \). Во-вторых, если у нас есть две параллельные прямые, \( a \) и \( b \), как на рисунке ниже, и у вас есть поперечная линия, пересекающая их, то соответствующие внутренние углы конгруэнтны. На рисунке углы \(\alpha\) и \(\beta\) имеют одинаковую меру, потому что они являются соответствующими внутренними углами. 9\circ \), мы можем показать, что оставшийся угол, назовем его \( x \), должен измерять \( 90-\theta \):

\[\begin{align} & \theta +90+x = 180 \\ & x = 180-90-\theta \\ & x=90-\theta\end{align} \]

Кроме того, две линии на диаграмме ниже, обозначенные фиолетовым цветом, параллельны, поэтому по свойству внутреннего угла мы знаем, что оба угла, обозначенные как \(90-\theta\), будут одинаковыми.

Диаграмма, показывающая равенство углов по правилу внутренних углов. 9{\circ} + \theta \\[8pt] y &= \theta \end{align} \]

Прямоугольный треугольник определяется силой веса и ее компонентами.

Отлично! Теперь у нас есть угол, относящийся к перпендикулярной и параллельной компонентам силы веса! Теперь мы можем применить некоторую тригонометрию для вычисления этих компонентов. Вспомните определение различных тригонометрических соотношений:

\[ \begin{align} \sin(\theta) &= \frac{\text{против}}{\text{гипотенуза}} \\[8pt] \cos( \theta) &= \frac{\text{смежный}}{\text{гипотенуза}}\\[8pt]\tan(\theta) &= \frac{\text{напротив}}{\text{смежный}} \end{выравнивание} \]

Давайте сначала рассчитаем параллельный компонент (красный) из рисунка выше. Обратите внимание, что параллельная составляющая является стороной, противоположной углу \(\theta\). И, поскольку мы знаем значение гипотенузы \( (mg) \), мы можем использовать определение \(\sin(\theta)\). Применение соотношения дает

\[ \begin{align} \sin(\theta) &= \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{гипотенуза}} \\[8pt] \sin(\theta) &= \frac{\text{противоположная сторона}}{mg} \end{align} \]

Отсюда мы можем найти противоположную сторону и определить компонент, параллельный наклонной плоскости.

\[ \text{противоположная сторона} = mg\sin(\theta) = \text{параллельная составляющая} \]

Точно так же мы можем вычислить нормальную составляющую, показанную синим цветом, используя определение \(\cos (\theta)\), так как этот компонент является примыкающей стороной к \(\theta \).

\[\begin{align} \cos(\theta) &= \frac{\text{прилегающая сторона}}{\text{гипотенуза}} \\[8pt] \cos(\theta) &= \frac{ \text{прилегающая сторона}}{mg} \end{align} \]

Теперь мы вычисляем соседнюю сторону, чтобы определить нормальную составляющую.

$$ \text{прилегающая сторона} = mg\cos(\theta) = \text{нормальная составляющая} $$

Нормальная и параллельная составляющие силы веса вычисляются с использованием тригонометрических тождеств.

Уравнение наклонной плоскости

Теперь, когда мы разделили вес на составляющие, мы можем использовать второй закон Ньютона, чтобы вычислить ускорение объекта по наклонной плоскости. Начнем с того, что сделаем это для идеального случая и на мгновение пренебрежем трением.

A гладкая плоскость – это тот, который не представляет эффектов трения при рассмотрении движения объекта.

Сначала предположим, что у нас есть гладкая плоскость и проигнорируем эффекты трения. Поскольку движение объекта параллельно наклонной плоскости, нам нужно рассмотреть только компонент веса, действующий в этом направлении \( mg\sin(\theta) \). Приравнивая это ко второму закону Ньютона, мы имеем

\[ \begin{align}F &= ma \\ F=& mg\sin(\theta) \end{align} \]

Таким образом, ускорение объекта из остальных 9{2}}\), а \(\theta\) — угол между горизонталью и наклонной плоскостью, измеренный в градусах.

Трение о наклонную плоскость

На самом деле наклонная плоскость не является действительно гладкой. Поэтому мы должны учитывать влияние трения.

Сила трения — это сила, которая противодействует движению двух объектов, скользящих друг относительно друга.

Уравнение для силы трения имеет вид \(r\) — сила реакции (или нормальная составляющая веса объекта) в ньютонах (\(N\)), а \( \mu \) — коэффициент трения.

Коэффициент трения — это безразмерное число, которое определяет, насколько трудно скользить конкретным объектом по определенной поверхности.

Обратите внимание, что сила трения всегда действует против движения объекта. Таким образом, его направление противоположно направлению движения.

Теперь нам нужно рассмотреть две силы: силу веса объекта (движение вниз по плоскости) и силу трения, противодействующую движению (движение вверх по плоскости). Используя второй закон Ньютона, мы можем записать сумму сил, действующих на ящик, как

\[\begin{align} F &= ma\\ mg\sin(\theta) – \mu mg\cos(\theta) &= ma \end{align}\]

где первый член левая часть второго уравнения — это сила веса, действующая вниз по склону, а второй член — это сила трения, действующая вверх по склону. Обратите внимание, что мы определяем наше положительное направление вниз по плоскости, так что сила трения становится отрицательной (встречное движение). Теперь перегруппировав, чтобы изолировать ускорение, мы можем увидеть, что

\[ a = g\sin(\theta) – \mu g\cos(\theta), \]

дает нам ускорение объекта на наклонной плоскости.

Статическое трение и кинетическое трение

Важно отметить, что при рассмотрении трения на наклонной плоскости существует два типа: статическое и кинетическое трение. В наших предыдущих примерах мы предполагали, что объект на плоскости будет скользить вниз, как только мы его поместим. Однако, если бы у самолета была очень шероховатая поверхность, как мы можем определить, будет ли он скользить вниз или нет? Ну, нам нужно рассмотреть статическое трение.

Статическое трение — это трение между двумя объектами, когда две поверхности неподвижны.

Чтобы объект начал скользить по наклонной плоскости, он должен преодолеть трение покоя между собой и поверхностью наклонной плоскости. Однако, как только он начинает двигаться, трение, как правило, уменьшается. Вот почему легче продолжать двигать объект, чем начать его двигать. Чтобы рассчитать трение, когда объект находится в движении, мы вычисляем кинетическое трение.

Кинетическое трение — это трение между двумя объектами, когда они движутся относительно друг друга.

Способ расчета каждой из этих сил трения одинаков: мы умножаем нормальную силу на соответствующий коэффициент: \( \mu_s \) для статического трения или \( \mu_k \) для кинетического трения. В наших предыдущих примерах мы не указывали это явно, но мы ссылались на кинетический коэффициент трения для наших расчетов, потому что предполагали, что коробка уже скользит.

Примеры наклонной плоскости

Рассмотрим несколько примеров задач наклонной плоскости. Мы уже видели, как найти ускорение тела на наклонной плоскости. Пойдем немного дальше и посмотрим, как найти время, за которое объект достигает дна.

Ящик на наклонной плоскости

Обозначенные силы на наклонной плоскости, силы либо параллельны, либо перпендикулярны плоскости. Трение происходит в направлении, противоположном движению. 9{2}}\). Здесь предполагается, что между плоскостью и коробкой есть трение, но коробка все равно скользит вниз.

Первое, что мы хотим решить, это сколько времени понадобится ящику, чтобы соскользнуть до конца склона. Обратите внимание, что мы предполагаем, что объекты движутся без проскальзывания. Это означает, что край объекта, движущийся по плоскости, остается в контакте с плоскостью на протяжении всего движения. Без этого предположения проблема становится намного сложнее! 9{2}}} } = 2,0 с\].

Что произойдет, если коробку опустить? Это типичный экзаменационный вопрос. Единственная разница в том, что нам нужно добавить силу, толкающую коробку вниз, при вычислении ускорения.

Эксперимент с наклонной плоскостью “Галилео”

В наши дни может показаться общеизвестным, что все объекты движутся к Земле с постоянной скоростью. Мы называем это ускорение ускорением свободного падения \(g\). Однако в пятнадцатом веке, когда родился знаменитый физик Галилео Галилей, это не было общеизвестным фактом! На самом деле, Галилей проявил изобретательность, выдвинув гипотезу о том, что все объекты падают с одинаковой скоростью, так как же он это сделал?

В то время технология была не такой, как сейчас; не было сверхточных световых таймеров или секундомеров, чтобы точно измерить, сколько времени потребовалось для падения объекта. Вместо этого Галилей использовал эксперимент с наклонной плоскостью. Игнорируя в то время эффекты трения, он считал, что объект, ускоряющийся вниз по наклонной плоскости, ничем не отличается от объекта в свободном падении. Только значение его ускорения будет немного другим, потому что вдоль плоскости действует только составляющая этого ускорения. С помощью этой идеи он смог доказать, что все объекты ускоряются с одинаковой скоростью! Причина, по которой была необходима версия эксперимента с наклонной плоскостью, связана с ограничениями его технологии. Версии таймеров, которые были доступны еще в пятнадцать тысячелетий, были такими часами, как водяные часы . Это хитроумное устройство отслеживало время, используя постоянный поток воды в кувшин, измеряя разницу в уровне воды за прошедший период времени. Определенно не самый точный метод измерения времени, но он сделал свою работу!

Экспериментальная установка

Галилей измерил время, необходимое для того, чтобы мяч преодолел известное расстояние, как показано на диаграмме.

Ссылаясь на рисунок выше, Галилео использовал аналогичную экспериментальную установку, используя рампу и измеряя диапазон расстояний по всей плоскости. Затем, используя водяные часы, как упоминалось ранее, он позволил мячу свободно катиться по пандусу, записывая время, которое потребовалось мячу, чтобы преодолеть различные расстояния. Он повторил этот эксперимент несколько раз, чтобы получить среднее время, сделав измерения более точными. Это создало основу для хороших научных экспериментов. 9{2}})\) — ускорение мяча, а \(t\;(\mathrm{s})\) — время, за которое мяч катится. Выглядит знакомо? Это потому, что это точное кинематическое уравнение , которое мы использовали в предыдущем разделе, чтобы найти время, необходимое мячу, чтобы скатиться по пандусу, когда начальная скорость мяча равна \(0\;\mathrm{m /с}\).

Затем Галилей вычислил, как связать ускорение мяча, катящегося по пандусу, с ускорением мяча, если бы он находился в свободном падении, или силой тяжести как 9{2}} \end{aligned} \]

Это была революция в физике в то время, когда Галилею удалось рассчитать гравитационное ускорение с помощью простого горшка с водой, мяча и пандуса!

Кстати, стоит отметить, что если мы считаем угол подъема рампы равным \( \theta \), то рампа образует прямоугольный треугольник, как мы обсуждали ранее. И здесь высота ската \(h\) – это противоположная сторона, а длина \(l\) – гипотенуза. Тогда

$$\frac{h}{l} = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{гипотенуза}} = \sin \theta$$

Следовательно, его выражение для ускорения равно тому, которое мы нашли для гладкой наклонной плоскости!

\[ a = \frac{gh}{l} =g\frac{h}{l}=g\sin \theta \]

Наклонные плоскости – ключевые выводы

• Наклонная плоскость – это поверхность, поднятая на определенный угол, под которым мы рассматриваем движение объекта.
• Вес блока массы на наклонной плоскости можно разложить на составляющую, параллельную наклонной плоскости, и другую, перпендикулярную ей.
• Мы можем использовать тригонометрические отношения, чтобы найти параллельные и перпендикулярные компоненты вектора весов.
• Параллельная составляющая веса равна \(mg\sin(\theta)\), а перпендикулярная составляющая равна \(mg\cos(\theta)\).
• Ускорение объекта вниз по склону на гладкой поверхности (без трения) можно представить как \( a = g\sin(\theta)\).