Метод вспомогательных сечений: Методы построения сечений многогранников

Содержание

Способ вспомогательных секущих плоскостей – Энциклопедия по машиностроению XXL

Способ плоскостей посредников. Идея способа вспомогательных секущих плоскостей, которые называют посредниками, показана на рис.90.  [c.84]

ПЭВМ с развитой системой машинной графики позволяют создать системы, повышающие качество обучения основам начертательной геометрии и черчению. Построение одной проекции можно сопровождать автоматическим синхронным построением второй (третьей) или второй и третьей проекций и аксонометрического изображения. Можно быстро построить большое число изображений геометрических объектов при изменении размеров элементарных пересекающихся поверхностей и исследовать выявляющиеся закономерности. Применение способа вспомогательных секущих плоскостей можно показывать на примерах построения линий пересечения любых математически заданных поверхностей с любым их взаимным расположением в пространстве. При этом будут демонстрироваться различные виды кривых линий, получающихся в сечениях. Можно вызвать на экран фрагменты наглядного аксонометрического изображения для консультации (подсказки) или изображения сечения в интересующей нас зоне детали.  

[c.428]


В чем заключается способ вспомогательных секущих плоскостей (посредников)  [c.331]

Построение начинают с полного аксонометрического изображения основного тела, затем тела, входящего в него. Выполняют построение линии пересечения, определяя положение крайних точек и промежуточных точек, используя способ вспомогательных секущих плоскостей (посредников).  [c.330]

В ряде случаев такого количества точек недостаточно. Чтобы получить дополнительные точки, можно применять способ вспомогательных секущих плоскостей.  [c.76]

Способ вспомогательных секущих плоскостей. Этот способ заключается в том, что по-  [c.76]

Точки /1 и /а, в которых на горизонтальной проекции происходит разделение на видимую и невидимую части, определены при помощи пл. Г, проходящей через ось конуса. Это пример применения в одном и том же построении двух способов — способа вспомогательных секущих плоскостей и способа вспомогательных секущих сфер.  

[c.285]

Примеры построения линий пересечения цилиндрических и конических поверхностей вращения между собой. Линии пересечения строят по точкам эти точки находят или по их координатам, взятым с ортогональных проекций, или способом вспомогательных секущих плоскостей непосредственно в аксонометрических проекциях. Последнее показано на рис. 478, а—г.  [c.350]

В чем состоит способ вспомогательных секущих плоскостей Когда его применяют  [c.86]

В чем состоит способ вспомогательных СЕкущих плоскостей, применяемый для построения линии пересечения двух поверхностей  [c.139]

Для построения точек линии пересечения нелинейчатой кривой поверхности плоскостью применяют основной способ – способ вспомогательных секущих плоскостей. Вспомогательные секущие плоскости проводят так, чтобы поверхность пересекалась по графически простым линиям, а секущая плоскость-по прямым линиям. Точки пересечения этих линий будут искомыми точками линии пересечения.  

[c.87]

Пример 2. Построить линию пересечения эллиптических поверхностей конуса и цилиндра (рис. 138, а). Применение основного способа вспомогательных секущих плоскостей уровня (горизонтальных) в данном случае нерационально и трудоемко. Помимо этого, невозможно графически точно определить опорные точки линии пересечения – точки касания ее проекций к очерковым образующим конуса и цилиндра.  [c.102]

Пример 2. Построить в прямоугольной диметрии пересечение двух полуцилиндров (рис. 267). Требуется построить в аксонометрии линию пересечения полуцилиндров при соотношении размеров их оснований, равном т п. Ортогональные проекции, как и в предыдущем примере, даны для пояснений. Сначала построены (с увеличением в два раза) граничные контуры полуцилиндров-четыре полуэллипса. Для построения точек линии пересечения применим способ вспомогательных секущих плоскостей-посредников.  

[c.200]


Описанный способ построения линии пересечения поверхностей называется способом вспомогательных секущих плоскостей и в приведенном виде может применяться для построения линии пересечения в любых сочетаниях конических, цилиндрических, пирамидальных и призматических поверхностей.  [c.250]

Во многих случаях для построения линии пересечения поверхности вращения с другой поверхностью или поверхностей вращения между собой удобно использовать способ вспомогательных секущих плоскостей. Чтобы построить линию пересечения открытого тора с цилиндрической и призма-  [c.256]

Пример 1. Определить линию пересечения двух цилиндрических поверхностей аире пересекающимися осями (рис. 194). Для решения этой задачи можно использовать как способ вспомогательных секущих плоскостей (см. 51, п. 2), так и способ концентрических сфер ( 52, п. 1). В данном случае решение следует осуществлять с помощью связки секущих плоскостей, проходящих через несобственную прямую.  

[c.142]

Применение способа вспомогательных секущих плоскостей Ь аксонометрии  [c.41]

Промежуточные точки линии пересечения (п, т п, т п”, т”) строим способом вспомогательных секущих плоскостей. Этот способ заключается в проведении проецирующих плоскостей, пересекающих обе данные поверхности по графически простым линиям (прямым или окружностям). Пересечение этих линий или контуров вспомогательных сечений дает точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей.  [c.47]

Если пересекающиеся цилиндрические поверхности имеют оси, расположенные под углом, отличным от прямого угла, то линию их пересечения строят при помощи вспомогательных секущих плоскостей или другими способами (например, способом сфер, рассматриваемым ниже).  

[c.107]

При построении линии пересечения некоторых поверхностей, а также при их особом взаимном расположении не всегда рационально применять вспомогательные секущие плоскости. В некоторых случаях применяют способ вспомогательных секущих сфер.  [c.227]

Рассмотрим пример построения линии пересечения двух поверхностей вращения с общей плоскостью симметрии одна из поверхностей — сфера (рис. 334). Этот пример может быть решен уже известными способами — пользуясь вспомогательными секущими плоскостями уровня или способом концентрических сфер. Здесь ось поверхности вращения и центр сферы располагаются в одной фронтальной плоскости.  [c.228]

Построения начнем с определения опорных точек. Для нахождения низшей А и высшей В точки кривой сечения проводим через центр сферы О вспомогательную секущую плоскость 7 i Л од Точки А и В принадлежат линии пересечения плоскостей 7 и Д. Эти точки находят в результате пересечения прямой (1, 2) = = 7] П /3 с поверхностью а. А и В = = (], 2) Па. Для их определения воспользуемся способом замены плоскостей  

[c.133]

Рис. 221 иллюстрирует наглядную геометрическую модель рассматриваемого способа. Чтобы выбрать наиболее рациональное положение вспомогательной секущей плоскости для определения линии пересечения двух произвольно расположенных цилиндрических поверхностей, достаточно представить заданные цилиндрические поверхности как образованные из конических поверхностей с вершинами в несобственных точках  [c.150]

Чтобы получить рациональное решение, следуе пользоваться наиболее простым способом определения линии 1(1 = 70а). Этого можно достигнуть двумя путями 1) соответствующим выбором положения вспомогательной секущей плоскости 7 или 2) переводом секущей прямой а в частное положение. Рассмотрим каждый из этих вариантов решения.  [c.168]

В 4.2 изложен общий способ построения линии пересечения двух плоскостей с помощью вспомогательных секущих плоскостей (см. рис. 4.9). Но для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения можно использовать точки пересечения двух прямых, принадлежащих одной из плоскостей, с другой плоскостью. Построение же точек пересечения прямой линии с плоскостью общего положения изложено в 4.3.  

[c.45]

На рис. 136 для построения сечения применен способ ребер . Как целесообразно провести вспомогательные секущие плоскости (и сколько), если для решения этой задачи применить способ граней  [c.103]


Обратим внимание на то, что указанный способ вспомогательных секущих поверхностей уже несколько раз применялся в предшествующих главах курса при решении различных задач на пересечение (например, для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью, при пересечении двух плоскостей, при пересечении поверхности с плоскостью и, наконец, для пересечения поверхности с прямой линией).  [c.286]

Во всех этих задачах для решения вводили вспомогательные плоскости. Поскольку плоскость — частный вид поверхности, то можно считать, что рассматриваемый способ использовали в простейшем частном случае. Тогда назначение вспомогательной секущей плоскости заключалось В том, чтобы свести каждую из четырех названных задач к задаче о пересечении двух линий, лежащих в одной вспомогательной плоскости. Теперь вспомогательная поверхность имеет такое же назначение свести задачу о пересечении двух кривых поверхностей к более простой задаче пересечения двух линий, лежащих на одной вспомогательной поверхности.  [c.286]

В 24 был изложен общий способ построения линии пересечения двух плоскостей, а именно применение вспомогательных секущих плоскостей (см. рис. 166). Рассмотрим теперь другой способ построения в применении к плоскостям общего положения. Этот способ закатается в том, что находят точки пересечения двух прямых, принадлежащих одной из плоскостей, с другой плоскостью. Следовательно, надо уметь строить точку пересечения прямой линии с плоскостью общего положения, что изложено в 25.  

[c.94]

Наиболее общий способ построения линии пересечения двух поверхностей называется способом вспомогательных секущих поверхностей или способом посредников. Сущность способа заключается в следующем. Две данные поверхности Фив (рис. 106, а) пересекаются вспомогательными поверхностями или, в частном случае, вспомогательными плоскостями — посредниками. Каждый из посредников пере-  [c.100]

Пусть заданы две геометрические поверхности — / и II (рис. 144). Чтобы определить точки, общие для этих поверхностей, рассекают их вспомогательной секущей плоскостью С (способ секущих плоскостей). Строят линию пересечения 1—1 вспомогательной плоскости О с заданной поверхностью/ и линию пересечения 2—2 плоскости О с поверхностью II. Линии I—I и  [c.131]

МИДЫ, до пересечения с горизонтальным следом секущей плоскости в точке 3. Точки Г и 3 принадлежат линии пересечения ЕР данной грани и секущей плоскости. Построим третью точку О таким же способом, так как вспомогательная секущая плоскость, проведенная через ребро С8, будет параллельна профильной плоскости проекции и не даст рещения. Точка 4 является точкой пересечения горизонтальных следов грани Л5С и секущей плоскости. Соединив полученные точки прямыми и выделив на фронтальной проекции невидимый участок е / сечения, закончим построение.  

[c.45]

Основной способ построения линии пересечения поверхностей-способ вспомогательных секущих поверхностей (плоскостей). Он аналогичен построению линии пересечений двух плоскостей общего положения, рассмотренному ранее в 7 (см. рис. 27).  [c.96]

Оси поверхностей вращения пересекаются (рис. 140,6). Для построения линии пересечения некоторых поверхностей вращения, как в данном случае, нецелесообразно использовать вспомогательные секущие плоскости. Они не могут дать вспомогательные линии сечения, которые проецировались бы графически простыми линиями. Поэтому для построения линии пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями и общей плоскостью симметрии следует применить так называемый способ вспомогательных концентрических сфер.  [c.104]

Так как оси поверхностей а и р не пересекаются, то единственно приемлемым путем решения задачи будет использование способа эксцентрических поверхностей (применение вспомогательных секущих плоскостей нецелесообразно, так как в этом случае пришлось бы строить лекальные кривые).  [c.145]

Чтобы получить рациональное решение, следует пользоваться наиболее простым способом определения линии I (1 = []а). Это можно достигнуть а) путем выбора положения вспомогательной секущей плоскости (у а) или б) переводом секущей прямой а в частное положение.  [c.152]

Линию пересечения поверхностей вращения находят с помощью вспомогательных секущих плоскостей или методом секущих сфер. Первый способ изложен в 32. На рис. 183, а линия пересечения двух цилиндров найдена с помощью секущих плоскостей, расположенных параллельно плоскости V. На плоскости V получается сечение цилиндров в виде прямоугольников. Точки пересечения прямоугольников принадлежат искомой линии пересечения цилиндров.  [c.130]

Способ вспомогательных секущих плоскостей. Этот способ заклн чается в том, что поверхности тел пересекают вспомогательной плоскостью, образующей фигуры сечений, контуры которых пересекаются. Точки, полученные в результате пересечения контуров сечений, находятся на линии пересечения.  [c.82]

В двумерных графических системах плоские объекты описывают с помощью координат и У В трехмерных системах допускается использование координат Л, У и Z, что позволяет записывать в памяти объемные изображения и воспроизводить их проекщш на экране с различных направлений наблюдения. Опыт показывает, что ПЭВМ с развитой системой машинной графики позволяют создать системы, которые целесообразно использовать для обучения основам начертательной геометрии и черчению. При этом имеется рад новых возможностей, важных при обучении. Так, построение одной проекции можно сопровождать автоматическим синхронным построением вторе , третьей или второй и третьей проекций и аксонометрического изображения. Можно быстро построить большое число изображений при изменении размеров элементарных пересекающихся поверхностей и исследовать выявляющиеся при этом закономерности. Применение способа вспомогательных секущих плоскостей можно показывать на примерах построения линий пересечения любых математически определенных поверхностей с любым расположением в пространстве. При этом буцут демонстрироваться различные виды кривых линий, получающихся в сечениях Можно вызвать на экран фрагменты наглядного аксонометрического изображения для консультации или подсказки либо изображения сечения в интересующей области.  [c.334]


Построение точки пересечения прямой линии со сферой (рис. 9.19). Используя вспомогательную секущую плоскость, проходящую через данную прямую, получают окружность. Искомые точки А и получаются при пересечении этой окружности прямой линией. На рисунке 9.19 построения выполнены способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций б” выбирают параллельной вспомогательной, например горизонтально-проецирующей плоскости / (/ /,). В этом случае линия пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью сферы проецируется на плоскость 5 в окружность с центром с которой проекция йА прямой линии пересекается в точках и /,. По ним строят горизонтальные и / и фронтальные А и / проекции искомьгх точек пересечения.  [c.125]

Пример, приведенный на рис. 414, позволяет установить преимущество способа вспомогательных сфер перед другими для данного случая. Требуется построить проекции линии соединения поверхностей конуса вращения и кругового кольца (на рис. 414 изображена половина кольца). В левой части чертежа показано применение вспомогательных секущих плоскостей, параллельных оси конуса. Эги плоскости рассекают поверхность конуса по гиперболам, которые приходится строить по точкам, а кольцо — по полуокружностям радиусов о а и Охйх. Например, построив на фронтальной проекции гиперболу — линию пересечения конической поверхности плоскостью Р, проводим дугу окружности радиуса 0 а =01а, находим точки к и т на фронтальной проекции и соответствующие им горизонтальные проекции кат.  [c.285]

Как и в предыдущем примере, решение может быть осуществлено двумя способами спосооом вспомогательных секущих плоскостей ( 51, п. 1) и способом концентрических сфер ( 52, п. 1).  [c.143]


Методы построения сечений многогранников — Студопедия

Сечение

В пространстве две фигуры, для нашего случая плоскость и многогранник могут иметь следующее взаимное расположение: не пересекаются, пересекаются в точке, пересекаются по прямой и плоскость пересекает многогранник по его внутренности (рис.1), и при этом образуют следующие фигуры:

а) пустая фигура (не пересекаются)

б) точка

в) отрезок

г) многоугольник

Если в пересечении многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника с плоскостью.

рис.1

Определение.Сечением пространственного тела (например, многогранника) называется фигура, получающаяся в пересечении тела с плоскостью.

Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

Будем рассматривать только случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности. При этом, пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок.

Если плоскости пересекаются по прямой , то прямую называют следом одной из этих плоскостей на другой.

В общем случае секущая плоскость многогранника пересекает плоскость каждой его грани (а также любую другую секущую плоскость этого многогранника). Она пересекает и каждую из прямых, на которых лежат ребра многогранника.

Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют следом секущей плоскости на плоскости этой грани, а точку, в которой секущая плоскость пересекает прямую, содержащую какое – либо ребро многогранника, называют следом секущей плоскости на этой прямой. Эта точка является и следом прямой на секущей плоскости. Если секущая плоскость пересекает непосредственно грань многогранника, то можно говорить о следе секущей плоскости на грани, и, аналогично, о следе секущей плоскости на ребре многогранника, то есть о следе ребра на секущей плоскости.

Так как прямая однозначно определяется двумя точками, то для нахождения следа секущей плоскости на любой другой плоскости и, в частности, на плоскости любой грани многогранника, достаточно построить две общие точки плоскостей

Для построения следа секущей плоскости, а также для построения сечения многогранника этой плоскостью, должен быть задан не только многогранник, но и секущая плоскость. А построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Основными способами задания плоскости, и в частности секущей плоскости, являются следующие:

1. тремя точками не лежащих на одной прямой;

2. прямой и не лежащей на ней точкой;

3. двумя параллельными прямыми;

4. двумя пересекающимися прямыми;

5. точкой и двумя скрещивающимися прямыми;


Возможны и другие способы задания секущей плоскости.

Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.

Методы построения сечений многогранников

Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.

Существует три основных метода построения сечений многогранников:

I. Аксиоматический метод:

a. Метод следов.

b. Метод вспомогательных сечений.

II. Комбинированный метод.

III. Координатный метод.

Заметим, что метод следов и метод вспомогательных сечений являются разновидностями Аксиоматического метода построения сечений.

Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:

1. построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;

2. построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно, другой заданной прямой;

3. построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;

4. построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;

5. построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

Основными действиями, составляющие методы построения сечений, являются нахождение точки пересечения прямой с плоскостью, построения линии пересечения двух плоскостей, построение прямой параллельной плоскости, перпендикулярной плоскости. Для построения прямой пересечения двух плоскостей обычно находят две ее точки и проводят через них прямую. Для построения точки пересечения прямой и плоскости находят в плоскости прямую, пересекающую данную. Тогда искомая точка получается в пересечении найденной прямой с данной.


Рассмотрим отдельно перечисленные намиметоды построения сечений многогранников:

Метод следов.

Метод следов основывается на аксиомах стереометрии, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют основным следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения.

Отметим,что при построении основного следа секущей плоскости используется следующее утверждение.

Если точки принадлежат секущей плоскости и не лежат на одной прямой, а их проекция (центральными или параллельными) на плоскость, выбранную в качестве основной, являются соответственно точки то точки пересечения соответственных прямых, то есть точки и лежат на одной прямой (рис.1, а, б).

рис.1.а рис.1.б

Эта прямая является основным следом секущей плоскости. Так как точки лежат на основном следе, то для его построения достаточно найти две точки из этих трех.

Сечения многогранников

Сечение многогранников

В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.

Многогранник — это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник называетсявыпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины — вершинами многогранника.

Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью.

Поскольку плоскость определяется:

Тремя точками;

Прямой и точкой;

Двумя параллельными прямыми;

Двумя пересекающимися прямыми,

построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости.

Поверхность многогранника состоит из ребер – отрезков и граней – плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость могут пересекаться только в одной точке, а две плоскости – по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник. Вершинами этого многоугольника служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами – отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомого сечения данного многогранника плоскостью α достаточно построить точки её пересечения с ребрами многогранника или прямыми, содержащими эти ребра. Затем, последовательно соединив отрезками прямых эти точки, необходимо выделить сплошными линиями видимые, и штриховыми – невидимые стороны полученного многоугольника-сечения.

Рассмотрим основные методы построений сечений:

1. Построение сечений многогранников на основе системы аксиом и теорем стереометрии. (Аксиоматический метод)

Примеры сечений, построенных аксиоматическим способом:

В качестве примера рассмотрим решение следующих задач:

Задача 1-4. Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками

2. Метод следов

Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания.

Из определения следа получаем: в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая – в плоскости основания. Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. Причем в секущей плоскости удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника.

Задача 1.Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N,P.

Задача 2. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N,P.

Задача 3.

3. Метод внутреннего проектирования.

Метод внутреннего проекти­рования называют еще методом соответствий, или методом диагональных сечений.

При применении этого метода каждая заданная точка проектируется на плоскость основания. Существует два возможных вида проектирования: центральное и параллельное. Центральное проектирование, как правило, используется при построении сечений пирамид, вершина пирамиды при этом является центром проекции. Параллельное проектирование используется при построении сечений призм.

При применении этого метода каждая заданная точка проектируется на плоскость основания. Существует два возможных вида проектирования: центральное и параллельное. Центральное проектирование, как правило, используется при построении сечений пирамид, вершина пирамиды при этом является центром проекции. Параллельное проектирование используется при построении сечений призм.

Сущность метода внутреннего проектирования рассмотрим на примере построения сечения призмы.

Задача 1. Постройте сечение призмы ABCDE плоскостью α, заданной точками M є B,P є , Q є E (рис 10).

Рис. 10

Решение. Плоскость нижнего основания призмы обозначим β. Для построения искомого сечения построим точки пересечения плоскости α с ребрами призмы..

ПятиугольникMNPQR – искомое сечение.

Задача 2.

4.Метод вспомогательных сечений.

Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере

универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются «искусственное». Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

Задача.На ребре BM пирамиды MABCD зададим точку Р. Построим сечение пирамиды плоскостью PQR, точку R которой зададим на грани АMD,аQ на грани DMC.

5. Координатный метод.

Суть координатного метода заключается в вычислении координат точек пересечения ребер или многогранника с секущей плоскостью, которая задается уравнением плоскости. Уравнение плоскости сечения вычисляется на основе условий задачи.

Любую плоскость можно задать уравнением первой степени вида

A x + B y + C z + D = 0 (общее уравнение плоскости), где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то можно записать уравнение плоскости в отрезках

Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x0, y0, z0), перпендикулярно вектору нормали n (A; B; C) имеет вид: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Если заданы координаты трех точек A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3), лежащих на плоскости, уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой можно найти по следующей формуле:

Задача. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 все ребра которой равны, точка  К — середина В1С1.  Найти угол между плоскостью АВС и плоскостью В1КР,  где Р — середина АА1.

Решение.

Пусть ребро заданной призмы равно 2. Введем декартову систему координат. Выберем начало координат в точке О — середине ребра АВ. Ось   направим по ОС,  ось у — по ОВ,  ось   — по ОО1; О1 — середина А1В1.  При выбранной системе координат и длине ребра призмы найдем координаты нужных точек:

Ясно, что уравнение плоскости АВС будет иметь вид:   , а плоскость В1КР пройдет через точку С1 , т.е. совпадет с плоскостью В1С1Р.

Уравнение плоскости В1С1Р будем искать в виде  Пусть   Найдем значения   и   методом неопределенных коэффициентов.

         

 Искомое уравнение имеет вид:   или 

Угол между плоскостями АВС  и  В1С1Р  равен углу между их нормальными векторами   и   соответственно    Для отыскания угла   (так обозначим искомый угол) воспользуемся определением скалярного произведения двух векторов:

Ответ: 30º.

Комбинированный метод.

Сущность комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в том, что искомое сечение строится с помощью метода следов или метода внутреннего проектирования или метода вспомогательных сечений, при этом дополнительно используются свойства данного многогранника.

Для иллюстрации применения этого метода рассмотрим задачи:

Задача 1. Постройте сечение куба, проходящее через точки P,R,Q.

Задача 2.

Задачи с решениями по теме

«Сечения многогранников»

(Задание 8 № 324451)

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны оснований равны 2, боковые рёбра равны 5. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер ABACA1B1 и A1C1.

Решение.

Противоположные стороны сечения являются соответственно средними треугольников, лежащих в основании, и прямоугольников, являющихся боковыми гранями призмы. Тем самым, сечение представляет собой прямоугольник со сторонами 1 и 5, площадь которого равна 5.

Ответ: 5.

(Задание 8 № 513339)

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 16, AD = 21, AA1 = 28. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки AB и C1.

Решение.

Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому сечение   — параллелограмм. Кроме того, ребро   перпендикулярно граням   и   Поэтому углы   и   — прямые. Поэтому сечение   — прямоугольник.

 

Из прямоугольного треугольника   найдем 

Тогда площадь прямоугольника   равна:

 

Ответ: 560

3. (Задание 8 № 76613)

Ребра тет­ра­эд­ра равны 38. Най­ди­те площадь сечения, про­хо­дя­ще­го через се­ре­ди­ны четырех его ребер.

Решение.

В правильном тетраэдре скрещивающиеся ребра перпендикулярны. Каждая сторона сечения является средней линией соответствующей грани, и поэтому вдвое меньше параллельного ей ребра. Значит, сечением является квадрат со стороной 19. Тогда площадь сечения равна 361.

 

Ответ: 361.

(Задание 8 № 524067)

В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 70. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Решение.

Каждая из сторон сечения является средней линией боковой грани. Поэтому стороны сечения образуют квадрат со стороной 35, площадь которого равна 1225.

 

Ответ: 1225.

(Задание 8 № 505383)

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро BC = 4, ребро   ребро BB1 = 4. Точка K — середина ребра CC1. Найдите площадь сечения, проходящего через точки B1A1 и K.

Решение.

Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому четырехугольник   — параллелограмм. Кроме того, ребро   перпендикулярно граням   и  , поэтому углы   и   — прямые. Следовательно, сечение   — прямоугольник.

 

Из прямоугольного треугольника   по теореме Пифагора найдем 

Тогда площадь прямоугольника   равна:

 

Ответ:20.

(Задание 8 № 508229)

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны оснований равны   боковые рёбра равны 5. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, и A1B1и точку С.

Решение.

Введём обозначения как показано на рисунке. Треугольник  правильный, следовательно, медиана   является биссектрисой и высотой. Из прямоугольного треугольника   по теореме Пифагора найдём 

Площадь искомого сечения — это площадь прямоугольника   найдём её:

 

Ответ: 15.

7. Задание 14 № 507887

В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A1C1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите периметр этого сечения.

Решение.

а) Проведём через точку N прямую, параллельную прямой AB, до пересечения с прямой B1C1 в точке K. Трапеция ABKN — искомое сечение.

б) Имеем A1N= 3, так как точка N — середина ребра A1C1. Значит,   Аналогично BK = 5.

Далее NK = 3, как средняя линия треугольника A1B1C1. Следовательно, искомый периметр сечения равен 6 + 5 + 5 + 3 = 19.

 

Ответ: 19.

(Задание 14 № 508233)

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K ― середина бокового ребра AP.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.

б) Найдите площадь сечения.

Решение.

а) В плоскости ABP через точку K проведем прямую, параллельную прямой PB до пересечения ее с прямой AB в точке L— середине AB. В основании ABCD через точку L проведем прямую, параллельную прямой BC до пересечения ее с ребром СDв точке M — его середине. По признаку параллельности прямой и плоскости плоскость KLM параллельна прямым PB и BC. Прямая LM параллельна прямой AD, следовательно, она параллельна плоскости APD, а, значит, плоскость KLM пересекает плоскость APD по прямой, параллельной LM и пересекает ребро PD в его середине N.

Таким образом, искомое сечение ― трапеция KLMN.

б) Отрезки KL и MN равны, как средние линии равных правильных треугольников ABP и DCP, а отрезок LM ― средняя линия квадрата ABCD, следовательно, построенное сечение ― равнобедренная трапеция, в которой LM = 4, KL = KN = MN = 2. Проведем высоту KFэтой трапеции. Тогда   и из прямоугольного треугольника KLF находим 

Окончательно получаем 

 

Ответ: 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 2008.

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 2008.

Потоскуев Е.В. Изображение пространственных фигур на плоскости. Построение сечений многогранников. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педвуза. — Тольятти: ТГУ, 2004.

Научно-практический журнал для старшеклассников «Математика для школьников»,-2009,№2/№3,1-64.

Смирнов В.А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия: пособ. для подготовки к ЕГЭ / под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2009. — 272 с. 

https://ege.sdamgia.ru/

ege.fipi.ru/os11/xmodules/qprint/index.php?theme_guid=f6ec29149541e311bacb001fc68344c9&proj_guid=AC437B34557F88EA4115D2F374B0A07B

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/407220-sechenie-mnogogrannikov

Презентация к реферату по теме: “Построение сечений многогранников”

Слайд 1

Построение сечений в многограннике Выполнили : Ученик 11 класса «В» МБОУ «СОШ №14» Смирнов Денис Сергеевич Научный руководитель – Козлова Наталья Борисовна

Слайд 2

Практическая значимость данного материала Уровень производства, научно-технический прогресс предъявляют к современному специалисту среднего звена высокие требования. Для специалиста – техника важно составлять грамотно техническую документацию, а для этого нужны знания. Решая задачи на построение секущих плоскостей на различных геометрических телах, мы учимся определять линии пересечения плоскостей, что несомненно пригодится при построении чертежей разрезов деталей.

Слайд 3

Методы построения сечений Аксиоматический метод . Метод внутреннего проектирования Комбинированный метод.

Слайд 4

Аксиоматический метод построения сечений Метод следа Суть метода заключается в построении вспомогатель­ной прямой, являющейся изображением линии пересече­ния секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры F . Удобнее всего строить изображение линии пе­ресечения секущей плоскости с плоскостью нижнего ос­нования. Эту линию называют следом секущей плоско­сти. Чтобы построить след, достаточно знать две его точки, т. е. точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построения, так называемого, основного следа секущей плоскости, т. е. следа секущей плоскости на плоскость основания многогранника.

Слайд 5

Аксиоматический метод построения сечений Метод следа Суть метода заключается в построении вспомогатель­ной прямой, являющейся изображением линии пересече­ния секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры F Чтобы построить след, достаточно знать две его точки, т. е. точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани.

Слайд 6

Аксиоматический метод построения сечений Метод внутреннего проектирования Этот метод удобен при построении сечений в тех случаях, когда почему-либо неудобно находить след секущей плоскости, например, след получается очень далеко от заданной фигуры

Слайд 7

Аксиоматический метод построения сечений Комбинированный метод Комбинированный метод построения сечений многогранников заключается в том, что при построении этим методом на каких-то этапах построения сечения применяются приёмы метода следа, а на каких-то применяются теоремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве.

Слайд 8

Правила построения сечений методом следа Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти точки. Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определённой боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью (точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани) Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить, как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с её проекцией на плоскость основания.

Слайд 9

Алгоритм построения сечений Определить вид данной фигуры Проанализировать данные: Если даны 3 точки, то где они находятся . Есть ли пара точек, лежащих в одной грани данной фигуры . Лежит ли третья точка в плоскости какой-то грани или в её продолжении, а может она лежит в пространстве. Если даны точка и прямая линия или две прямые, то где они находятся, что я знаю о них. Если нет по условию двух точек, лежащих в плоскости одной грани многогранника или одна из трёх точек находится внутри фигуры или же снаружи, находясь в пространстве, то поступать надо так: Сначала надо построить вспомогательную плоскость, которая пересекала бы основание данной фигуры или его продолжение, которая в свою очередь будет пересекать какие-то стороны основания или их продолжение.

Слайд 10

Проверка правильности построенного сечения Построенное сечение выпуклого многогранника всегда выпуклый многоугольник. Вершины сечения всегда лежат на соответствующих рёбрах данного многогранника. Точки, лежащие на гранях многогранника, обязательно должны лежать на сторонах многоугольника, полученного в сечении. Две стороны многоугольника, получившегося в сечении, не могут принадлежать одной грани данного многогранника. Если сечение пересекает параллельные грани у многогранника, то и соответствующие этим граням стороны построенного сечения должны быть параллельны .

Слайд 11

Задача №1 Построить сечение пирамиды NABCD плоскостью, проходящей через точку М, принадлежащую ребру NB , точку Р, принадлежащую ребру NA и точку К, принадлежащую плоскости, на которой стоит пирамида . В плоскости ( NAB ) лежат точки P и M , значит след c екущей плоскости проходит по ( PM ) ( PM ) ( AB ) = F α Т. К. точка К α , то след секущей плоскости проходит по ( FK ) ( FK ) ( AD ) = E , ( FK ) ( DC ) = R

Слайд 12

Окончание решения задачи №1 След секущей плоскости с основанием будет ER ( FK ) ( BC ) = T ( MT ) ( N С) = Q Т. к. P и Е ( AND ), то проводим ( PE ) ( PMQRE ) – искомое сечение.

Слайд 13

Задача №2 (Комбинированный метод) Среди заданных точек нет двух, лежащих в одной грани куба. Построить сечение куба М NKRM 1 N 1 K 1 R 1 плоскостью, проходящей через точки A , B , C . Т. к. по условию задачи, нет двух данных точек, лежащих в одной грани куба, то необходимо построить вспомогательную плоскость. Этой вспомогательной плоскость будет плоскость, проходящая через точки A и C и их проекции на основание MNKR , это будут точки А1 и K Проводим плоскость через точки А и С и их проекции А1 и K AC A 1 K в точке D ( М NKR )

Слайд 14

Задача №2 (Комбинированный метод) Среди заданных точек нет двух, лежащих в одной грани куба. Построить сечение куба М NKRM 1 N 1 K 1 R 1 плоскостью, проходящей через точки A , B , C . Проводим плоскость через точки А и С и их проекции А1 и K AC A 1 K в точке D ( М NKR ) BD MN = F BD KR = E (ABC) (М NKR) = FE (ABC) ( MNN1M1) = AF (ABC) (RR1KK1) = CE

Слайд 15

Окончание решения задачи №2 (ABC) (M1N1K1R1) = AT FE (ABC) ( NN1KK1) = TC (ATCEF) – искомое сечение Рассмотренная задача служит примером комбинированного метода построения сечения, т. к. в пункте 8 проводится АТ параллельно F Е, потому что грань ( M 1 N 1 K 1 R 1) параллельна грани ( MNKR ), а по теореме: Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью ( секущая плоскость) , то линии пересечения будут параллельны.

Слайд 16

Задача №1 В пра­виль­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — бис­сек­три­са угла SAC . Пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды, про­хо­дя­ще­го через точки A, M и B , равна Най­ди­те сто­ро­ну ос­но­ва­ния. Ре­ше­ние : Ответ : 10. Сечения в задачах ЕГЭ (Задание №14).

Слайд 17

Задача №2 В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD , все ребра ко­то­рой равны 4, точка K ― се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра AP . а ) По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку K и па­рал­лель­ной пря­мым PB и BC . б ) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния. Ре­ше­ние. В плос­ко­сти ABP через точку K про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой PB до пе­ре­се­че­ния ее с пря­мой AB в точке L , а в плос­ко­сти ABC через точку L про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой BC до пе­ре­се­че­ния ее с пря­мой СD в точке M . По при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти плос­кость KLM па­рал­лель­на пря­мым PB и BC . Пря­мая LM па­рал­лель­на пря­мой AD , сле­до­ва­тель­но, она па­рал­лель­на плос­ко­сти APD , а, зна­чит, плос­кость KLM пе­ре­се­ка­ет плос­кость APD по пря­мой, па­рал­лель­ной LM . Обо­зна­чим через N точку пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с реб­ром PD . Таким об­ра­зом, ис­ко­мое се­че­ние ― тра­пе­ция KLMN . б) От­рез­ки KL и MN равны, как сред­ние линии рав­ных пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков ABP и DCP , а от­ре­зок LM ― сред­няя линия квад­ра­та ABCD , сле­до­ва­тель­но, по­стро­ен­ное се­че­ние ― рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция, в ко­то­рой LM = 4, KL = KN = MN = 2. Про­ве­дем вы­со­ту KF этой тра­пе­ции. Тогда и из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KLF на­хо­дим Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем Ответ:

Слайд 18

Задача №2 В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD , все ребра ко­то­рой равны 4, точка K ― се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра AP . а ) По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку K и па­рал­лель­ной пря­мым PB и BC . б ) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния. Ре­ше­ние. а) С е­че­ние ― тра­пе­ция KLMN . б) От­рез­ки KL и MN равны, как сред­ние линии рав­ных пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков ABP и DCP , а от­ре­зок LM ― сред­няя линия квад­ра­та ABCD , сле­до­ва­тель­но, по­стро­ен­ное се­че­ние ― рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция, в ко­то­рой LM = 4, KL = KN = MN = 2. Про­ве­дем вы­со­ту KF этой тра­пе­ции. Тогда и из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KLF на­хо­дим Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем Ответ:

Слайд 19

Задача №3 В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де с вер­ши­ной сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны а бо­ко­вые ребра равны Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку и се­ре­ди­ну ребра па­рал­лель­но пря­мой Ре­ше­ние. Пусть точка E — се­ре­ди­на ребра MD. От­ре­зок BE пе­ре­се­ка­ет плос­кость MAC в точке P. В тре­уголь­ни­ке MBD точка Р яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, сле­до­ва­тель­но, MP : РО = 2 : 1, где O — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. От­ре­зок FG па­рал­ле­лен AC и про­хо­дит через точку P (точка F при­над­ле­жит ребру MA, G — ребру MC ), от­ку­да Четырёхуголь­ник BFEG — ис­ко­мое се­че­ние. От­ре­зок BE — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка MBD, зна­чит , По­сколь­ку пря­мая BD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти MAC, диа­го­на­ли BE и FG четырёхуголь­ни­ка BFEG пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но, Ответ :

Слайд 20

Задача №6 Решение: APFDCM – усечённая пирамида, её объём вычисляется по формуле: V = 1/3* H *(SB+ S н + , где Н=А D =4, SB =1/2*1*3=1,5 , а S н=1/2*2*6 = 6, значит объём усечённой пирамиды будет: V =1/3*4*(1,5 + 6 + = 1/3*4*(7,5 +3)= 1/3*4*10,5 = 4*3,5 = 14, а т. к. объём всего параллелепипеда будет: 6*4*7=168, то объём части параллелепипеда над ( MPC ) будет: 168 – 14 = 154, следовательно, ( MPC ) делит объём параллелепипеда : 14 / 154 = 1 / 11, что и требовалось доказать. В прямоугольном параллелепипеде АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 АВ =6, ВС =4, АА 1=7. Точка Р – середина ребра АВ , точка М лежит на ребре DD 1 так, что DM : D 1 M =2:5. Докажите, что плоскость МРС делит объем параллелепипеда в отношении 1:11

Слайд 21

Построение сечения сложного многогранника (комбинированный метод). Задача : Прямоугольный параллелепипед стоит на кубе так, что противоположные боковые грани параллелепипеда и куба соответственно параллельны. Построить в образовавшейся фигуре сечение, проходящее через точки M , N , P . Построенное сечение в данной фигуре наглядно показывает, что сечение невыпуклого многогранника будет невыпуклый многоугольник, а параллельные грани многогранника секущая плоскость пересекает по параллельным прямым.

Слайд 22

Анкетирование одноклассников Из проведённой мною анкеты видно, что тема «Построение сечений многогранников» необходима, для того, чтобы знать внутреннюю структуру предмета, кроме того ребят заинтересовал вопрос об использовании многогранников( ведь все семь чудес света построены на основе многогранников). Хотелось бы ещё отметить тот факт, что одноклассники забыли факты, определяющие секущую плоскость.

Слайд 23

Заключение Проведя исследование построения сечения методом следов, я установил, что метод следов легко объясним, нагляден, но не всегда удобен в практике построения сечений многогранников, так как расположение точек Х и У следа s может быть за рамками чертежа, прямые, определяющие точку Х (или Y ) могут быть параллельны. В тех случаях, когда применение метода следа затруднено, применяют метод внутреннего проецирования или так называемый метод вспомогательных сечений или комбинированный метод. Знание методов построения сечений, способов нахождения точек и линий пересечения секущих плоскостей с различными геометрическими объектами поможет в будущем и при изучении общепрофессиональных дисциплин , и при работе инженера, что очень важно для любого конкурентоспособного специалиста , что бы выяснить внутреннее строение предмета.

Слайд 24

Спасибо за в нимание!

Тема 4. Методы построения сечений. Комбинированный метод.

На ребрах АВ и AD пирамиды MABCD зададим соответственно точки P и Q – середины этих ребер, а на ребре МС зададим точку R. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R.

Решение:

1. Основным следом плоскости PQR является прямая PQ.

2. Найдем точку К, в которой плоскость МАС пересекает прямую PQ. Точки К и R принадлежат и плоскости PQR, и плоскости МАС. Поэтому, проведя прямую KR, мы получим линию пересечения этих плоскостей.

3. Найдем точку N=AC∩BD, проведем прямую MN и найдем точку F’=KR∩MN.

4. Точка F’ является общей точкой плоскостей PQR и MDB, то есть эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку F’.

5. Дальнейшие построения понятны из рисунка. В итоге мы получаем многоугольник PQD’RB’ – искомое сечение.

Пример№2

На ребрах ВС и МА пирамиды МАВС зададим соответственно точки P и Q, построим сечение пирамиды плоскостью а, проходящей через прямую PQ параллельную прямой AR, точку R, которую зададим следующим образом: а) На ребре МВ; б) Она совпадает с точкой В в грани МАВ.

Решение:

а)

1. Плоскость, проходящая через вторую прямую, то есть прямую AR, и точку Q, взятую на первой прямой, – это плоскость MAB.

2. В плоскости МАВ через точку Q проведем прямую QF, параллельную AR.

3. Пересекающиеся прямые PQ и QF определяется плоскостью α (эта плоскость PQF) – плоскость искомого сечения. Построим это сечение методом следов.

4. Точка В совпадает с точкой F’- проекцией точки F на плоскость АВС (из центра М), а точка А совпадает с точкой Q’ – проекция точки Q на эту плоскость. Тогда точка S’=FQ∩F’Q’ лежит на основном следе секущей плоскости α. Так как точка P лежит на основном следе секущей плоскости, то прямая S’P это основной след плоскости α на грани ABC. Далее точку P следует соединить с точкой F. В итоге получаем четырёхугольник PFQS” – искомое сечение.

Построение сечений поверхностей вращения плоскостями частного положения

В общем случае, для того чтобы построить фигуру сечения поверхности плоскостью, необходимо найти ряд точек пересечения образующих этой поверхности с плоскостью и затем соединить эти точки плавной линией с учетом видимости. Для нахождения точек пересечения образующих поверхности с плоскостью используется метод вспомогательных секущих плоскостей частного положения. Его применение покажем ниже на конкретном примере. Построение фигуры сечения начинают с нахождения, так называемых, характерных точек линии пересечения. Это точки, лежащие на очерках проекций поверхности, самая верхняя и самая нижняя, правая и левая точки фигуры сечения.

Пример– Построить фигуру сечения сферы плоскостью Н (рисунок 42). План решения задачи (этой и всех аналогичных других).

1) Если возможно, определяем тип линии, которую будем строить. Это придаст уверенность в работе при ее построении. В данном случае секущая плоскость Н наклонена к плоскостям проекций. Значит окружность, по которой будет пересекаться сфера, на плоскости П1 и П2 спроецируется в эллипсы.

2) Определяем тип вспомогательных плоскостей – посредников. Основной принцип выбора – они должны рассекать заданную поверхность по простейшим линиям: или прямым, или окружностям. В данном случае посредниками являются горизонтальные плоскости уровня типа Т. Плоскость Т (Т2) рассекает сферу по окружности, на которой и находятся горизонтальные проекции точек 7 и 8.

 

Рисунок 42

3) Находим проекции характерных точек линии пересечения. Это точки 1 и 6, лежащие на очерке фронтальной проекции сферы (они же и верхняя и нижняя и правая и левая), точки 4 и 5, принадлежащие очерку горизонтальной проекции сферы (экватору), и точки 2 и 3, находящиеся на очерке профильной проекции сферы.

4) Пользуясь вспомогательными плоскостями-посредниками Т и ТI строим проекции точек 7 и 8, 9 и 10.

5) Соединяем получаемые точки с учетом их видимости.

Метод секущих плоскостей частного положения применяется при построении поверхностей вращения с различными вырезами. На рисунке 43 представлен конус со сквозным отверстием, образованным тремя плоскостями частного положения. Проведя анализ положений секущих плоскостей, которые образовывают вырез, легко построить 3 проекции этой фигуры.

 

Рисунок 43

 


Сечение многогранника плоскостью – презентация по Геометрии

Презентация на тему: Сечение многогранника плоскостью

Скачать эту презентацию

Скачать эту презентацию

№ слайда 1 Описание слайда:

Сечение многогранников Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать. Галилео Галилей. 900igr.net

№ слайда 2 Описание слайда:

Содержание Основные понятия Демонстрация сечений Метод следов Метод вспомогательных сечений Комбинированный метод Тест Защита проектов

№ слайда 3 Описание слайда:

Многогранником называют тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Элементы многогранника: вершины, ребра, грани.

№ слайда 4 Описание слайда:

Сечением поверхности геометрических тел называется плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости

№ слайда 5 Описание слайда: № слайда 6 Описание слайда:

Плоскость (в том числе и секущую) можно задать следующим образом

№ слайда 7 Описание слайда:

Демонстрация сечений

№ слайда 8 Описание слайда:

Призма Плоскость основания Секущая плоскость Даны три точки на боковых ребрах Сечение

№ слайда 9 Описание слайда:

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по прямым, а точнее по отрезкам – разрезам. Так как секущая плоскость идет непрерывно, то разрезы образуют замкнутую фигуру-многоугольник. Полученный таким образом многоугольник и будет сечением тела.

№ слайда 10 Описание слайда:

Методы построения сечений Аксиоматический метод Аксиомы стереометрии

№ слайда 11 Описание слайда:

Аксиоматический метод Метод следов Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры . Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры .    

№ слайда 12 Описание слайда:

A B C D K L M N F G Проводим через точки F и O прямую FO. O Отрезок FO есть разрез грани KLBA секущей плоскостью. Аналогичным образом отрезок FG есть разрез грани LMCB. Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки). Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Почему мы уверены, что сделали разрезы на гранях? Постройте сечение призмы, проходящее через точки O,F,G Шаг 1: разрезаем грани KLBA и LMCB

№ слайда 13 Описание слайда:

A B C D K L M N F G Шаг 2: ищем след секущей плоскости на плоскости основания Проводим прямую АВ до пересечения с прямой FO. O Получим точку H, которая принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания. Аналогичным образом получим точку R. Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки). Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Через точки H и R проводим прямую HR – след секущей плоскости Почему мы уверены, прямая HR – след секущей плоскости на плоскости основания?

№ слайда 14 Описание слайда:

A B C D K L M N F G Шаг 3: делаем разрезы на других гранях Так как прямая HR пересекает нижнюю грань многогранника, то получаем точку E на входе и точку S на выходе. O Таким образом отрезок ES есть разрез грани ABCD. Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки). Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Проводим отрезки ОЕ (разрез грани KNDA) и GS (разрез грани MNDC). Почему мы уверены, что все делаем правильно?

№ слайда 15 Описание слайда:

C B A D K L M N F G Шаг 4: выделяем сечение многогранника Все разрезы образовали пятиугольник OFGSE, который и является сечением призмы плоскостью, проходящей через точки O, F, G. O G

№ слайда 16 Описание слайда:

Задание № 1 Задание № 2 Построй сечения призмы по трем данным точкам. Ответ А теперь проверь себя!!!

№ слайда 17 Описание слайда:

Метод вспомогательных сечений Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются «искусственное». Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

№ слайда 18 Описание слайда:

На ребре BM пирамиды MABCD зададим точку Р. Построим сечение пирамиды плоскостью PQR, точку R которой зададим на грани АMD,а Q на грани DMC. 1. Находим точки Р’, Q’ и R’ и затем строим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, определяемой какими-нибудь двумя пересекающимися прямыми из трех прямых MP, MQ и МR. Например, плоскостью МРQ. B(P’) 2. Построим другое вспомогательное сечение пирамиды плоскостью определяемой двумя пересекающимися прямыми, одна из которых — это прямая MR, а другая прямая — та, на которой мы хотим найти след плоскости PQR. Например, прямая МС.

№ слайда 19 Описание слайда:

3. Находим точку F, в которой пересекаются прямые Р’Q’ и R’С, а затем строим прямую MF — линию пересечения плоскостей. 4 В плоскости MPQ’ проводим прямую PQ и находим точку F’=PQ пересекается MF. 5. Так как точка F’ лежит на прямой PQ, то она лежит в плоскости PQR. Тогда и прямая RF, лежит в плоскости PQR. Проводим прямую RF’, и находим точку С’=RF’ пересекается МС. Точка С’, таким образом, лежит и на прямой МС, и в плоскости PQR, т. е. она является следом плоскости PQR на прямой МС (в данном случае и на ребре МС). B(P’) P R Q М А R’ D C Q’ F F’ C’

№ слайда 20 Описание слайда:

6. Дальнейшие построения вполне понятны: строим C’Q, D’, D’R, А’, А’Р, РС’. Четырехугольник РС’D’А’ — искомое сечение D’ R’ P R Q М А R’ D Q’ F C’

№ слайда 21 Описание слайда:

Задание № 3 Построить сечение призмы по трем данным точкам Ответ Удачи вам, в решении задачи!                                                                            

№ слайда 22 Описание слайда:

Комбинированный метод Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

№ слайда 23 Описание слайда:

Постройте сечение куба, проходящее через точки P, R, Q. A B C D A’ B’ C’ D’ R P Q 1. Точки P и R лежат в одной плоскости, проведём прямую PR. 2. Прямая PR лежит в плоскости AA’B’B, точка Q лежит в плоскости DD’C’C, параллельной AA’B’B. 3. Проведём через точку Q прямую параллельную прямой PR, получим точку K Почему мы уверены, что все делаем правильно? Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Теорема K Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны

№ слайда 24 Описание слайда:

A B C D A’ B’ C’ D’ R P Q 4. Найдём точку пересечения прямых PR и AB, получим точку L. K L 5. Прямая LK в плоскости ABCD оставляет след FK F 6. Точки R и F лежат в одной плоскости AA’D’D, проведём прямую RF. M 7. Прямая RF лежит в плоскости АA’D’D, точка Q в плоскости BB’C’C,параллельной плоскости AA’D’D. 8. Проведём прямую параллельную прямой RF, через точку Q, получим точку M. Почему мы уверены, что все делаем правильно? Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Теорема Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны

№ слайда 25 Описание слайда:

B A C D A’ B’ C’ D’ R P Q K F M 9. Проведем PM. 10. Полученный шестиугольник является искомым сечением

№ слайда 26 Описание слайда:

Задание № 4 Построй сечение куба, по трем данным точкам, а потом проверь себя, кликнув по этому рисунку А теперь проверь себя!!!

№ слайда 27 Описание слайда:

Защита проектов

№ слайда 28 Описание слайда:

Защита проектов Многоугольники, полученные при сечении куба Нахождение площади сечений многогранников

№ слайда 29 Описание слайда:

ТЕСТ Давайте, протестируемся

№ слайда 30 Описание слайда:

Отлично!

№ слайда 31 Описание слайда:

Молодец!

№ слайда 32 Описание слайда:

Если все сечения совпали, то тема усвоена!

%PDF-1.6 % 1092 0 объект > эндообъект внешняя ссылка 1092 623 0000000016 00000 н 0000015637 00000 н 0000015806 00000 н 0000015851 00000 н 0000016068 00000 н 0000016105 00000 н 0000016244 00000 н 0000016384 00000 н 0000017041 00000 н 0000017091 00000 н 0000017141 00000 н 0000017189 00000 н 0000017267 00000 н 0000017305 00000 н 0000017354 00000 н 0000017403 00000 н 0000017453 00000 н 0000018078 00000 н 0000018470 00000 н 0000019012 00000 н 0000019552 00000 н 0000020094 00000 н 0000021083 00000 н 0000021159 00000 н 0000024661 00000 н 0000025003 00000 н 0000025539 00000 н 0000025918 00000 н 0000026128 00000 н 0000028063 00000 н 0000028118 00000 н 0000028399 00000 н 0000028758 00000 н 0000028889 00000 н 0000032323 00000 н 0000032637 00000 н 0000033005 00000 н 0000033171 00000 н 0000033558 00000 н 0000033931 00000 н 0000034167 00000 н 0000040822 00000 н 0000041399 00000 н 0000041824 00000 н 0000042282 00000 н 0000047451 00000 н 0000048142 00000 н 0000048711 00000 н 0000049251 00000 н 0000053227 00000 н 0000053423 00000 н 0000053809 00000 н 0000054147 00000 н 0000054473 00000 н 0000057564 00000 н 0000057964 00000 н 0000058158 00000 н 0000058839 00000 н 0000059477 00000 н 0000060011 00000 н 0000060769 00000 н 0000061151 00000 н 0000061395 00000 н 0000066093 00000 н 0000066516 00000 н 0000066950 00000 н 0000067514 00000 н 0000067760 00000 н 0000068078 00000 н 0000068169 00000 н 0000068468 00000 н 0000073200 00000 н 0000073585 00000 н 0000074121 00000 н 0000074315 00000 н 0000074990 00000 н 0000075067 00000 н 0000075120 00000 н 0000075195 00000 н 0000076038 00000 н 0000076216 00000 н 0000076789 00000 н 0000076843 00000 н 0000079514 00000 н 0000080471 00000 н 0000082128 00000 н 0000082575 00000 н 0000083018 00000 н 0000085071 00000 н 0000086406 00000 н 0000086577 00000 н 0000087453 00000 н 0000087686 00000 н 0000087891 00000 н 0000129478 00000 н 0000129750 00000 н 0000132824 00000 н 0000136451 00000 н 0000136536 00000 н 0000136753 00000 н 0000137692 00000 н 0000138300 00000 н 0000138722 00000 н 0000141996 00000 н 0000144181 00000 н 0000144602 00000 н 0000145258 00000 н 0000147339 00000 н 0000147622 00000 н 0000147982 00000 н 0000148116 00000 н 0000148159 00000 н 0000148203 00000 н 0000148277 00000 н 0000148412 00000 н 0000148487 00000 н 0000148524 00000 н 0000148623 00000 н 0000148681 00000 н 0000148783 00000 н 0000148825 00000 н 0000148916 00000 н 0000148959 00000 н 0000149057 00000 н 0000149113 00000 н 0000149172 00000 н 0000149284 00000 н 0000149334 00000 н 0000149388 00000 н 0000149538 00000 н 0000149588 00000 н 0000149730 00000 н 0000149873 00000 н 0000149923 00000 н 0000150006 00000 н 0000150168 00000 н 0000150298 00000 н 0000150348 00000 н 0000150466 00000 н 0000150627 00000 н 0000150764 00000 н 0000150814 00000 н 0000150939 00000 н 0000150990 00000 н 0000151145 00000 н 0000151275 00000 н 0000151325 00000 н 0000151404 00000 н 0000151552 00000 н 0000151662 00000 н 0000151712 00000 н 0000151791 00000 н 0000151940 00000 н 0000152048 00000 н 0000152098 00000 н 0000152177 00000 н 0000152323 00000 н 0000152436 00000 н 0000152486 00000 н 0000152565 00000 н 0000152616 00000 н 0000152722 00000 н 0000152773 00000 н 0000152889 00000 н 0000152940 00000 н 0000153061 00000 н 0000153112 00000 н 0000153227 00000 н 0000153277 00000 н 0000153334 00000 н 0000153391 00000 н 0000153448 00000 н 0000153505 00000 н 0000153562 00000 н 0000153619 00000 н 0000153669 00000 н 0000153726 00000 н 0000153777 00000 н 0000153883 00000 н 0000153934 00000 н 0000154043 00000 н 0000154094 00000 н 0000154210 00000 н 0000154261 00000 н 0000154384 00000 н 0000154435 00000 н 0000154492 00000 н 0000154549 00000 н 0000154606 00000 н 0000154663 00000 н 0000154720 00000 н 0000154777 00000 н 0000154827 00000 н 0000154884 00000 н 0000154935 00000 н 0000155041 00000 н 0000155092 00000 н 0000155208 00000 н 0000155259 00000 н 0000155378 00000 н 0000155429 00000 н 0000155560 00000 н 0000155611 00000 н 0000155668 00000 н 0000155725 00000 н 0000155782 00000 н 0000155839 00000 н 0000155896 00000 н 0000155953 00000 н 0000156003 00000 н 0000156060 00000 н 0000156111 00000 н 0000156217 00000 н 0000156268 00000 н 0000156376 00000 н 0000156427 00000 н 0000156572 00000 н 0000156623 00000 н 0000156741 00000 н 0000156792 00000 н 0000156841 00000 н 0000156898 00000 н 0000156947 00000 н 0000157004 00000 н 0000157061 00000 н 0000157118 00000 н 0000157168 00000 н 0000157225 00000 н 0000157282 00000 н 0000157339 00000 н 0000157460 00000 н 0000157510 00000 н 0000157589 00000 н 0000157640 00000 н 0000157746 00000 н 0000157797 00000 н 0000157914 00000 н 0000157965 00000 н 0000158082 00000 н 0000158133 00000 н 0000158269 00000 н 0000158320 00000 н 0000158448 00000 н 0000158499 00000 н 0000158556 00000 н 0000158613 00000 н 0000158670 00000 н 0000158727 00000 н 0000158784 00000 н 0000158841 00000 н 0000158898 00000 н 0000158948 00000 н 0000159005 00000 н 0000159056 00000 н 0000159205 00000 н 0000159311 00000 н 0000159361 00000 н 0000159440 00000 н 0000159588 00000 н 0000159685 00000 н 0000159735 00000 н 0000159814 00000 н 0000159965 00000 н 0000160085 00000 н 0000160135 00000 н 0000160214 00000 н 0000160368 00000 н 0000160486 00000 н 0000160536 00000 н 0000160615 00000 н 0000160766 00000 н 0000160881 00000 н 0000160931 00000 н 0000161010 00000 н 0000161162 00000 н 0000161273 00000 н 0000161323 00000 н 0000161402 00000 н 0000161453 00000 н 0000161559 00000 н 0000161610 00000 н 0000161718 00000 н 0000161785 00000 н 0000161911 00000 н 0000161962 00000 н 0000162078 00000 н 0000162144 00000 н 0000162193 00000 н 0000162250 00000 н 0000162299 00000 н 0000162356 00000 н 0000162413 00000 н 0000162470 00000 н 0000162520 00000 н 0000162577 00000 н 0000162628 00000 н 0000162734 00000 н 0000162785 00000 н 0000162925 00000 н 0000162976 00000 н 0000163096 00000 н 0000163147 00000 н 0000163273 00000 н 0000163324 00000 н 0000163381 00000 н 0000163438 00000 н 0000163495 00000 н 0000163552 00000 н 0000163609 00000 н 0000163666 00000 н 0000163716 00000 н 0000163773 00000 н 0000163824 00000 н 0000163930 00000 н 0000163981 00000 н 0000164094 00000 н 0000164145 00000 н 0000164272 00000 н 0000164322 00000 н 0000164438 00000 н 0000164488 00000 н 0000164545 00000 н 0000164602 00000 н 0000164659 00000 н 0000164716 00000 н 0000164773 00000 н 0000164830 00000 н 0000164880 00000 н 0000164937 00000 н 0000164988 00000 н 0000165094 00000 н 0000165145 00000 н 0000165261 00000 н 0000165312 00000 н 0000165438 00000 н 0000165489 00000 н 0000165610 00000 н 0000165661 00000 н 0000165718 00000 н 0000165775 00000 н 0000165832 00000 н 0000165889 00000 н 0000165946 00000 н 0000166003 00000 н 0000166053 00000 н 0000166110 00000 н 0000166161 00000 н 0000166267 00000 н 0000166318 00000 н 0000166437 00000 н 0000166487 00000 н 0000166608 00000 н 0000166658 00000 н 0000166715 00000 н 0000166772 00000 н 0000166829 00000 н 0000166886 00000 н 0000166943 00000 н 0000166993 00000 н 0000167050 00000 н 0000167101 00000 н 0000167207 00000 н 0000167258 00000 н 0000167375 00000 н 0000167426 00000 н 0000167549 00000 н 0000167600 00000 н 0000167708 00000 н 0000167759 00000 н 0000167881 00000 н 0000167932 00000 н 0000167989 00000 н 0000168046 00000 н 0000168103 00000 н 0000168160 00000 н 0000168217 00000 н 0000168274 00000 н 0000168331 00000 н 0000168381 00000 н 0000168438 00000 н 0000168487 00000 н 0000168544 00000 н 0000168647 00000 н 0000168697 00000 н 0000168776 00000 н 0000168827 00000 н 0000168933 00000 н 0000168984 00000 н 0000169094 00000 н 0000169145 00000 н 0000169275 00000 н 0000169326 00000 н 0000169460 00000 н 0000169511 00000 н 0000169568 00000 н 0000169625 00000 н 0000169682 00000 н 0000169739 00000 н 0000169796 00000 н 0000169853 00000 н 0000169903 00000 н 0000169960 00000 н 0000170010 00000 н 0000170100 00000 н 0000170150 00000 н 0000170263 00000 н 0000170314 00000 н 0000170440 00000 н 0000170490 00000 н 0000170588 00000 н 0000170639 00000 н 0000170752 00000 н 0000170802 00000 н 0000170911 00000 н 0000170961 00000 н 0000171083 00000 н 0000171133 00000 н 0000171272 00000 н 0000171323 00000 н 0000171474 00000 н 0000171580 00000 н 0000171630 00000 н 0000171709 00000 н 0000171876 00000 н 0000172004 00000 н 0000172054 00000 н 0000172133 00000 н 0000172280 00000 н 0000172378 00000 н 0000172428 00000 н 0000172507 00000 н 0000172558 00000 н 0000172664 00000 н 0000172715 00000 н 0000172828 00000 н 0000172879 00000 н 0000173009 00000 н 0000173060 00000 н 0000173185 00000 н 0000173235 00000 н 0000173292 00000 н 0000173349 00000 н 0000173406 00000 н 0000173463 00000 н 0000173520 00000 н 0000173577 00000 н 0000173627 00000 н 0000173684 00000 н 0000173735 00000 н 0000173841 00000 н 0000173892 00000 н 0000174003 00000 н 0000174054 00000 н 0000174195 00000 н 0000174246 00000 н 0000174365 00000 н 0000174415 00000 н 0000174472 00000 н 0000174529 00000 н 0000174586 00000 н 0000174643 00000 н 0000174700 00000 н 0000174757 00000 н 0000174807 00000 н 0000174864 00000 н 0000174915 00000 н 0000175021 00000 н 0000175072 00000 н 0000175190 00000 н 0000175240 00000 н 0000175355 00000 н 0000175405 00000 н 0000175462 00000 н 0000175519 00000 н 0000175576 ​​00000 н 0000175633 00000 н 0000175690 00000 н 0000175740 00000 н 0000175797 00000 н 0000175854 00000 н 0000175914 00000 н 0000175974 00000 н 0000176034 00000 н 0000176094 00000 н 0000176154 00000 н 0000176214 00000 н 0000176271 00000 н 0000176331 00000 н 0000176388 00000 н 0000176511 00000 н 0000176561 00000 н 0000176640 00000 н 0000176691 00000 н 0000176797 00000 н 0000176848 00000 н 0000176961 00000 н 0000177012 00000 н 0000177150 00000 н 0000177201 00000 н 0000177318 00000 н 0000177368 00000 н 0000177425 00000 н 0000177482 00000 н 0000177539 00000 н 0000177596 00000 н 0000177653 00000 н 0000177710 00000 н 0000177760 00000 н 0000177817 00000 н 0000177871 00000 н 0000178007 00000 н 0000178057 00000 н 0000178171 00000 н 0000178222 00000 н 0000178377 00000 н 0000178496 00000 н 0000178546 00000 н 0000178625 00000 н 0000178784 00000 н 0000178889 00000 н 0000178939 00000 н 0000179018 00000 н 0000179170 00000 н 0000179278 00000 н 0000179328 00000 н 0000179407 00000 н 0000179561 00000 н 0000179675 00000 н 0000179725 00000 н 0000179804 00000 н 0000179855 00000 н 0000179961 00000 н 0000180012 00000 н 0000180121 00000 н 0000180172 00000 н 0000180290 00000 н 0000180341 00000 н 0000180463 00000 н 0000180514 00000 н 0000180571 00000 н 0000180628 00000 н 0000180685 00000 н 0000180742 00000 н 0000180799 00000 н 0000180856 00000 н 0000180906 00000 н 0000180963 00000 н 0000181014 00000 н 0000181120 00000 н 0000181171 00000 н 0000181293 00000 н 0000181344 00000 н 0000181455 00000 н 0000181506 00000 н 0000181620 00000 н 0000181671 00000 н 0000181728 00000 н 0000181785 00000 н 0000181842 00000 н 0000181899 00000 н 0000181956 00000 н 0000182013 00000 н 0000182063 00000 н 0000182120 00000 н 0000182171 00000 н 0000182277 00000 н 0000182328 00000 н 0000182439 00000 н 0000182490 00000 н 0000182603 00000 н 0000182654 00000 н 0000182770 00000 н 0000182821 00000 н 0000182932 00000 н 0000182983 00000 н 0000183084 00000 н 0000183134 00000 н 0000183191 00000 н 0000183248 00000 н 0000183305 00000 н 0000183362 00000 н 0000183419 00000 н 0000183476 00000 н 0000183533 00000 н 0000183590 00000 н 0000183640 00000 н 0000183697 00000 н 0000183748 00000 н 0000183854 00000 н 0000183905 00000 н 0000184014 00000 н 0000184065 00000 н 0000184182 00000 н 0000184233 00000 н 0000184363 00000 н 0000184414 00000 н 0000184529 00000 н 0000184579 00000 н 0000184636 00000 н 0000184693 00000 н 0000184750 00000 н 0000184807 00000 н 0000184864 00000 н 0000184921 00000 н 0000184978 00000 н 0000185028 00000 н 0000185085 00000 н 0000185142 00000 н 0000185199 00000 н 0000185311 00000 н 0000185361 00000 н 0000185453 00000 н 0000185504 00000 н 0000185627 00000 н 0000185678 00000 н 0000185810 00000 н 0000185861 00000 н 0000185918 00000 н 0000185975 00000 н 0000186032 00000 н 0000186089 00000 н 0000186139 00000 н 0000012756 00000 н трейлер ]>> startxref 0 %%EOF 1714 0 объект>поток xڬWyTSWe!H0X0″ HAUͭ2ֆEh2q”V Ng9iXEEE.؞/ Z9spoke}

%PDF-1.4 % 1924 0 объект > эндообъект внешняя ссылка 1924 73 0000000016 00000 н 0000004853 00000 н 0000004999 00000 н 0000005037 00000 н 0000005445 00000 н 0000005574 00000 н 0000005700 00000 н 0000005827 00000 н 0000005959 00000 н 0000006091 00000 н 0000006222 00000 н 0000006354 00000 н 0000006486 00000 н 0000006613 00000 н 0000006745 00000 н 0000006877 00000 н 0000007009 00000 н 0000007140 00000 н 0000007266 00000 н 0000007396 00000 н 0000007528 00000 н 0000007659 00000 н 0000007791 00000 н 0000007923 00000 н 0000008055 00000 н 0000008182 00000 н 0000008312 00000 н 0000008540 00000 н 0000009718 00000 н 0000010712 00000 н 0000011879 00000 н 0000013061 00000 н 0000013264 00000 н 0000013472 00000 н 0000013576 00000 н 0000013784 00000 н 0000013957 00000 н 0000015111 00000 н 0000016291 00000 н 0000025926 00000 н 0000026127 00000 н 0000026558 00000 н 0000026880 00000 н 0000027945 00000 н 0000028925 00000 н 0000029102 00000 н 0000030069 00000 н 0000030932 00000 н 0000031969 00000 н 0000033151 00000 н 0000034335 00000 н 0000042890 00000 н 0000043091 00000 н 0000043542 00000 н 0000043863 00000 н 0000046459 00000 н 0000046642 00000 н 0000047038 00000 н 0000047397 00000 н 0000048381 00000 н 0000049145 00000 н 0000049775 00000 н 0000064822 00000 н 0000079602 00000 н 0000080272 00000 н 0000096740 00000 н 0000097846 00000 н 0000098054 00000 н 0000098583 00000 н 0000098695 00000 н 0000113687 00000 н 0000113728 00000 н 0000001756 00000 н трейлер ]>> startxref 0 %%EOF 1996 0 объект >поток xX?k+qFY(Fꠚ]J_PU^Vdçњii+[Q9{E{Y}̰j۹’Ap’?s~0[-0c/2OI~ Rאj Hښ2t#O%QS!w>yNaϬ:odYbb ~7*cussioncqZ1EKᄍNq)553Ed`1fugt,#t1\Z r}۳Nf 4!A2[H=ʊ2ͦW2O[iIG))5/ nfy.ژawjZvnjU.#UI# [ //vzJ/c[Gw+n)

Сходимость, анализ ошибок и долговременное поведение метода скалярных вспомогательных переменных для нелинейного уравнения Шредингера | Журнал численного анализа IMA

Получить помощь с доступом

Институциональный доступ

Доступ к контенту с ограниченным доступом в Oxford Academic часто предоставляется посредством институциональных подписок и покупок. Если вы являетесь членом учреждения с активной учетной записью, вы можете получить доступ к контенту следующими способами:

Доступ на основе IP

Как правило, доступ предоставляется через институциональную сеть к диапазону IP-адресов.Эта аутентификация происходит автоматически, и невозможно выйти из учетной записи с проверкой подлинности IP.

Войдите через свое учреждение

Выберите этот вариант, чтобы получить удаленный доступ за пределами вашего учреждения.

Технология Shibboleth/Open Athens используется для обеспечения единого входа между веб-сайтом вашего учебного заведения и Oxford Academic.

  1. Щелкните Войти через свое учреждение.
  2. Выберите свое учреждение из предоставленного списка, после чего вы перейдете на веб-сайт вашего учреждения для входа.
  3. Находясь на сайте учреждения, используйте учетные данные, предоставленные вашим учреждением. Не используйте личную учетную запись Oxford Academic.
  4. После успешного входа вы вернетесь в Oxford Academic.

Если вашего учреждения нет в списке или вы не можете войти на веб-сайт своего учреждения, обратитесь к своему библиотекарю или администратору.

Войти с помощью читательского билета

Введите номер своего читательского билета, чтобы войти в систему. Если вы не можете войти в систему, обратитесь к своему библиотекарю.

Члены общества

Многие общества предлагают своим членам доступ к своим журналам с помощью единого входа между веб-сайтом общества и Oxford Academic. Из журнала Oxford Academic:

  1. Щелкните Войти через сайт сообщества.
  2. При посещении сайта общества используйте учетные данные, предоставленные этим обществом. Не используйте личную учетную запись Oxford Academic.
  3. После успешного входа вы вернетесь в Oxford Academic.

Если у вас нет учетной записи сообщества или вы забыли свое имя пользователя или пароль, обратитесь в свое общество.

Некоторые общества используют личные аккаунты Oxford Academic для своих членов.

Личный кабинет

Личную учетную запись можно использовать для получения оповещений по электронной почте, сохранения результатов поиска, покупки контента и активации подписок.

Некоторые общества используют личные учетные записи Oxford Academic для предоставления доступа своим членам.

Институциональная администрация

Для библиотекарей и администраторов ваша личная учетная запись также предоставляет доступ к управлению институциональной учетной записью.Здесь вы найдете параметры для просмотра и активации подписок, управления институциональными настройками и параметрами доступа, доступа к статистике использования и т. д.

Просмотр ваших зарегистрированных учетных записей

Вы можете одновременно войти в свою личную учетную запись и учетную запись своего учреждения. Щелкните значок учетной записи в левом верхнем углу, чтобы просмотреть учетные записи, в которые вы вошли, и получить доступ к функциям управления учетной записью.

Выполнен вход, но нет доступа к содержимому

Oxford Academic предлагает широкий ассортимент продукции.Подписка учреждения может не распространяться на контент, к которому вы пытаетесь получить доступ. Если вы считаете, что у вас должен быть доступ к этому контенту, обратитесь к своему библиотекарю.

(PDF) Подход метода вспомогательных источников к моделированию рассеяния электромагнитного поля на двумерных периодических структурах Разностный метод во временной области (FDTD),6

метод конечных элементов (МКЭ),7 метод интегрального уравнения

(IEM) и метод моментов (MoM).Метод

FDTD и FEM применимы к произвольным структурам,

, но обычно довольно медленны.8 При применении MoM,

для эффективного алгоритма выбор базисной функции

является ключевым моментом. Большое количество базисных функций приводит к большим матричным задачам.8Процедура МоМ эффективно решает

краевые задачи на трехмерных объектах

произвольной формы, используя базисную функцию Рао-Уилтона-

Глиссона (RWG).9Для этого требуется описание

объекта треугольными поверхностями, которые аппроксимируют поверхности

. В случае искривленных поверхностей это также приводит к высокой треугольной дискретизации

и большой матричной задаче

соответственно.

Как правило, стремление к быстрой сходимости и получение

высокоточного решения являются предпосылками при применении МАС для анализа диэлектрических ЧСС. МАС

расширена и применяется для изучения их свойств отражения\пропускания

.

Эта статья организована следующим образом: Раздел 2

дает обзор MAS, разделы 2.1, 2.2, 2.3 описывают

вывод периодических функций Грина для

2D и 3D

задач; Раздел 2.4 оценивает вычисление коэффициентов отражения/пропускания; В разделе 3 представлены несколько тестовых задач

и оценивается эффективность MAS;

В разделе 4 представлены исследуемые структуры и результаты расчетов; Заключительные замечания следуют в Разделе 5.

2. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ

ИСТОЧНИКОВ (МАИ)

В основном МИС формируется как

численный метод решения краевых задач в частотной области, где

фактор времени является гармоническим. Купрадзе10 предложил основные

идеи МАС и ее целостную формулировку. Он доказал

полноту и линейную независимость системы

фундаментальных решений уравнения Гельмгольца при распределении

полюсов по замкнутому «вспомогательному» контуру или

поверхности.Хорошо известно, что теоретическая обоснованность и основа рассуждений MAS

являются продолжением волновых полей

через границу двух сред в нефизической

области-зеркале11.

уникален своими особенностями. Эти особенности

задаются падающим полем и геометрией рассеивателя.Важным моментом является

то, что существует по крайней мере еще одна замкнутая поверхность или

тур в нефизической области, которая также охватывает все

сингулярности. Этот факт определяет возможность представления

рассеянных полей эквивалентным полем множества источников,

распределенных по указанным поверхностям или контурам. Согласно

MAS, источники поля, расположенные на вспомогательных поверхностях,

называются вспомогательными источниками (AS).

Чтобы лучше понять MAS, полезно рассмотреть параллельные методы, широко используемые в вычислительной электродинамике, такие как метод интегральных уравнений (IEM) и метод

моментов (MoM).13–14

Подобно процедуре MoM, MAS реализует

базисные и весовые функции. В большинстве случаев эти функции

являются дельта-функциями Дирака. Эти функции просты для

числовой обработки и могут применяться во многих случаях,

особенно, когда объект имеет криволинейную

граничную поверхность.Между MAS

и MoM есть только одно принципиальное различие. В случае МАС базисные функции определяются на вспомогательной поверхности, а не на граничной

поверхности.

MAS обходит особенности функций Грина

неограниченного пространства, в то время как IEM и MoM требуют специальной обработки, чтобы избежать вычислительных проблем.

Вспомогательные поверхности всегда определяются как находящиеся за пределами

физической области поля.Вспомогательные источники создают рассеянное поле

, что эквивалентно желаемому, и

это поле находится в ограниченной интересующей области.

Как правило, AS являются фундаментальными решениями

уравнений Гельмгольца: монопольные источники в 2D, дипольные

источники в 3D. Тип АС, электрический, магнитный или

комбинированный, зависит от постановки задачи. Выбор

соответствующего АС позволяет преодолеть числовые проблемы, возникающие при

расчетах.Например, в случае идеально проводящих

объектов использование комбинированной АС может защитить от

нежелательного резонансного поля Вспомогательной поверхности. поверхности. Его удобно будет называть вспомогательным расстоянием

. Это свойство метода

продемонстрировано в разделе 3. Вспомогательное расстояние может быть ограничено тонкостью объектов или

особенностями рассеянного поля.В этом случае для эффективности MAS

было бы разумно заменить обычные дельта-функции Дирака

треугольными базисными и весовыми функциями

, аналогичными подходу MoM, как описано в [1]. [14].

IEM и MoM являются предельными случаями MAS, когда

вспомогательные поверхности сходятся к граничным поверхностям.

Следуя методологии MAS, для моделирования задачи дифракции на одном однородном диэлектрическом рассеивателе

необходимо определить две вспомогательные поверхности, внутреннюю и внешнюю,

с каждой стороны границы.Вспомогательные поверхности можно построить, разделив граничные поверхности и затем

сдвинув их по нормали на некоторое расстояние на

, избегая при этом пересечений между соседними точками.12-16 Внутренние и внешние вспомогательные источники

распределяются на внутренней и внешней вспомогательных поверхностях соответственно.

Внутренние АС описывают рассеянное поле. Внешние АС

создают поле внутри диэлектрического рассеивателя (рис.1).

Неизвестные коэффициенты AS Получаются путем удовлетворения

Граничные условия:

Hout-

Hout-

Hin-

Hin-

Hin-

Hin-

Hin = 0 (1)

2J. вычисл. Теор. Наноски. 8, 1–10, 2011

Оптимальный метод тропосферной томографии с поддержкой вспомогательного участка

Адейеми, Б. и Йорг, С.: Анализ водяного пара над Нигерией. используя радиозондовые и спутниковые данные, Дж.заявл. метеорол. Клим., 51, 1855–1866, 2012. 

Бендер М., Стосиус Р., Зус Ф., Дик Г., Викерт Дж. и Раабе А.: Томография водяного пара GNSS – ожидаемые улучшения за счет объединения Наблюдения GPS, ГЛОНАСС и Galileo. Доп. Космических Респ., 47, 886–897, 2011а.

Бендер М., Дик Г., Ге М., Денг З., Викерт Дж., Кале Х.Г. и Тецлафф, Г. Разработка системы томографии водяного пара GNSS. используя методы алгебраической реконструкции, Adv. Космические Рез., 47, 1704–1720, 2011б.

Беневидес, П., Каталао, Дж., и Миранда, П.М.: Экспериментальная GNSS кабинет томографии в Лиссабоне (Португалия), Física de la Tierra, 26, 65–79, 2014. 

Бевис М., Басингер С., Херринг Т. А., Рокен К., Антес Р. А. и Уэр, Р. Х.: GPS-метеорология: дистанционное зондирование атмосферной воды. пара с использованием глобальной системы позиционирования, J. Geophys. рез.-атмосфер., 97, 15787–15801, 1992. 

Bi, Y., Mao, J. и Li, C.: Предварительные результаты 4-D водяного пара томография в тропосфере с использованием GPS, доп.Атмос. наук, 23, 551–560, 2006. 

Буржо, Л. и Романович, Б.: Томография земной коры и верхней мантии в Тибет с использованием поверхностных волн, Geophys. Рез. Lett., 19, 881–884, 1992. 

Брамлет, Р.: Реконструктивная томография в диагностической радиологии и Ядерная медицина, клин. Нукл. Med., 3, 245, 1978. 

Hudnut, K., Röcken, C., Sleziak, M., Syndergaard, S., Hunt, D., Schreiner, Б., Соколовский С. и Ви Т.-К.: CDAAC: Алгоритмы инвертирования Сигналы радиозатмения в нейтральной атмосфере, проектный офис COSMIC, Университетская корпорация атмосферных исследований, доступна по адресу: http://cosmic-io.cosmic.ucar.edu/cdaac/doc index.html, 2007. 

Шампольон К., Массон Ф., Буэн М. Н., Вальперсдорф А., Дерфлингер Э., Бок, О., и Ван Баелен, Дж.: Томография водяного пара GPS: предварительные результаты полевого эксперимента ESCOMPTE, Atmos. рез., 74, 253–274, 2005. 

Чен, Б. и Лю, З.: Воксельно-оптимизированный региональный водяной пар томография и сравнение с радиозондовой и численной моделью погоды. J. Geodesy, 88, 691–703, 2014. 

Чен, Б. и Лю, З.: Оценка эффективности тропосферной томографии моделирование с использованием данных о водяном паре из нескольких источников во время сезона дождей в Гонконге. с мая по октябрь 2013 г., Атмос.Изм. Тех., 9, 5249–5263, https://doi.org/10.5194/amt-9-5249-2016, 2016. 

де Хаан, С., Холлеман, И., и Хольцлаг, А. А.: Вода в режиме реального времени карты паров из наземной сети GPS: построение, проверка и приложений, J. Appl. метеорол. Клим., 48, 1302–1316, 2009. 

Дин Н., Чжан С. Б., Ву С. К., Ван С. М. и Чжан К. Ф.: Адаптивная параметризация узлов для динамического определения границ и узлы томографических моделей ГНСС // Журн. Геофиз. рез.-атмосфер., 123, 1990–2003, 2018.

Дуан Дж., Бевис М., Фанг П., Бок Ю., Чизвелл С., Басингер С. и МакКласки, С.: GPS-метеорология: Прямая оценка абсолютных значение осаждаемой воды, J. Appl. Метеорол., 35, 830–838, 1996. 

Эмардсон, Т. Р., Йоханссон, Дж., и Элгеред, Г.: Систематическая поведение оценок водяного пара с использованием четырехлетних GPS-наблюдений. IEEE Т. Geosci. Remote, 38, 324–329, 2000. 

Флорес А., Руффини Г. и Риус А.: 4D тропосферная томография с использованием наклонных задержек GPS, Ann.геофиз., 18, 223–234, 2000. 

Гао Дж., Сюэ М., Шапиро А. и Дрогемейер К.К.: Вариант метод анализа трехмерных полей ветра по двум доплеровским радары, пн. Weather Rev., 127, 2128–2142, 1999. 

Гендт Г., Дик Г., Рейгбер К., Томассини М., Лю Ю. и Рамачи М.: GPS-мониторинг водяного пара в режиме реального времени для получения числовых данных о погоде предсказание в Германии, J. Meteorol. соц. Jpn, 82, 361–370, 2004. 

Хадж, Г. А., Ибанез-Мейер, Р., Курсинский, Э.Р., и Романс, Л.Дж.: Изображение ионосферы с помощью Глобальной системы позиционирования, Int. Дж. Имаг. Сист. Tech., 5, 174–187, 1994. 

Херринг, Т. А., Кинг, Р. В., и Маккласки, С. К.: Справочник по GAMIT руководство, Анализ GPS в Массачусетском технологическом институте, выпуск, 10.4, 36, доступно по адресу: http://www-gpsg.mit.edu/~simon/gtgk/index.htm (последний доступ: 20 сентября 2014 г.), 2010 г. 

Хирахара, К.: Локальная тропосферная томография GPS, Earth Planets Space, 52, 935–939, 2000. 

Кислинг, Э., Эллсуорт, В. Л., Эберхарт-Филлипс, Д., и Крадольфер, У.: Исходные эталонные модели в локальной томографии землетрясений, J. Geophys. Рез.-Еа., 99, 19635–19646, 1994. 

Ли, С.В., Коуба, Дж., Шутц, Б., Ким, Д.Х., и Ли, Ю.Дж.: Мониторинг осаждаемого водяного пара в режиме реального времени с использованием глобальной навигации спутниковые системы, J. Geodesy, 87, 923–934, 2013. 

Нилль, А. Э., Костер, А. Дж., Солхейм, Ф. С., Мендес, В. Б., Тур, П. К., Лэнгли, Р. Б., и Апхэм, К. А.: Сравнение измерений атмосферная влажная задержка с помощью радиозонда, радиометра водяного пара, GPS и РСДБ, Дж.Атмос. Океан. Tech., 18, 830–850, 2001. 

NOAA: данные радиозондов, доступны по адресу: ftp://ftp.ncdc.noaa.gov/, последний доступ: 27 июля. 2018. 

Нотарпьетро Р., Кукка М., Габелла М., Венути Г. и Перона Г.: Томографическая реконструкция полей влажной и полной рефракции по данным GNSS приемные сети, доп. Космические исследования, 47, 898–912, 2011. 

Парк, С.К.: Нелинейность и предсказуемость конвективных осадков. связанные с возмущениями водяного пара в численно смоделированном шторме.Дж. Геофиз. Рез.-Атм., 104, 31575–31587, 1999. 

Раджа, М. Р. В., Гутман, С. И., Йо, Дж. Г., Макмиллин, Л. М., и Чжао, Дж.: Валидация извлечения интегрированной осаждаемой воды с помощью AIRS пара с использованием измерений сети наземных GPS-приемников над сопредельные Соединенные Штаты, J. Atmos. Океан. Тех., 25, 416–428, 2008. 

Ран, Б. Ю. и Ге, В. З.: Сравнение метода разложения по сингулярным числам с демпфированием по методу наименьших квадратов // Геофиз. вычисл. Технологии, 1, 46–49, 1997.

Риус А., Руффини Г. и Кукурулл Л.: Улучшение вертикального разрешения томография ионосферы с GPS-покрытиями // Геофиз. Рез. Летта, 24, 2291–2294, 1997. 

Рокен К., Уэр Р., Ван Хов Т., Солхейм Ф., Альбер К., Джонсон Дж. и Басингер, С.: Обнаружение водяного пара в атмосфере с помощью Global Система позиционирования, Геофиз. Рез. Lett., 20, 2631–2634, 1993. 

Рокен, К., Хоув, Т.В., Джонсон, Дж., Солхейм, Ф., Уэр, Р., Бевис, М., и Базингер, С.: GPS/STORM-GPS зондирование атмосферного водяного пара для метеорология, J. Atmos. Океан. Техн., 12, 468–478, 1995. 

Ром, В. и Боси, Дж.: Локальная томографическая модель тропосферы над горная местность, атмос. Res., 93, 777–783, 2009. 

Ром, В. и Боси, Дж.: Проверка тропосферных данных ГНСС. томографическая модель в горной местности, доп. Космических Респ., 47, 1721–1730, 2011.  

Ром, В., Чжан, К., и Боси, Дж.: Ограниченное ограничение, надежный Калман фильтрация для GNSS тропосферной томографии, Atmos.Изм. Тех., 7, 1475–1486, https://doi.org/10.5194/amt-7-1475-2014, 2014. 

Саастамойнен, Дж.: Атмосферная поправка на тропосферу и стратосфера в спутниках радиолокации, Использование искусственных спутников по геодезии, 15, 247–251, 1972. 

Сконе, С. и Хойл, В.: Моделирование тропосферы в региональной GPS сеть, Дж. Глоб. Позиция., 4, 230–239, 2005. 

Смит Т.Л., Бенджамин С.Г., Гутман С.И. и Сам С.: Влияние на краткосрочные прогнозы ассимиляции наблюдений GPS-IPW в цикл быстрого обновления, пн.Weather Rev., 135, 2914–2930, 2007. 

Съемка и Картографическое управление/Землеуправление: наблюдения GNSS и соответствующие метеорологические данные, доступные по адресу: https://www.geodetic.gov.hk/smo/index.htm, последний доступ: 27 июля. 2018. 

Троллер М., Гейгер А., Брокманн Э., Беттемс Дж. М., Бюрки Б. и Кале, Х.Г.: Томографическое определение пространственного распределения водяного пара с использованием GPS-наблюдений, Adv. Космических Респ., 37, 2211–2217.3, 2006. 

UCAR: Профили COSMIC RO «Wetprf», доступно на: http://www.cosmic.ucar.edu/, последний доступ: 27 июля 2018. 

Ван, Р.: Прогресс в исследованиях нетрадиционных технологий наблюдения. и данные, использованные при изучении ливней в Китае, Adv. метеорол. науч. Technol., 4, 24–35, 2014. 

Е, С., Ся, П., и Цай, К.: Оптимизация томографии водяного пара GPS техника с использованием радиозондов и исторических данных COSMIC, Ann. Геофиз., 34, 789–799, https://doi.org/10.5194/angeo-34-789-2016, 2016. 

Яо, Ю. и Чжао, К.: Новый оптимизированный подход к воксельному разделению для воды. паровая томография, Метеорол.Атмос. Phys., 129, 1–14, 2016. 

Яо, Ю. и Чжао, В.: Максимальное использование GPS-наблюдения за водой Паровая томография, IEEE T. Geosci. Дистанционный пульт, 54, 7185–7196, 2017. 

Яо, Ю. Б., Чжао, К. З., и Чжан, Б.: Метод улучшения использования Наблюдение GNSS для томографии водяного пара, Ann. геофиз., 34, 143–152, https://doi.org/10.5194/angeo-34-143-2016, 2016. 

Чжан К., Мэннинг Т., Ву С., Ром В., Силкок С. и Чой С.: Захват сигнатуры суровых погодных явлений в Австралии с помощью GPS Измерения, IEEE JSTARS, 8, 1839–1847, 2015 г.

Чжао, К. и Яо, Ю.: Усовершенствованный подход к томографии тропосферы учитывая сигналы, поступающие с боковой грани томографической площадки, Анна. геофиз., 35, 87–95, https://doi.org/10.5194/angeo-35-87-2017, 2017. 

Что такое вспомогательный самолет | Типы вспомогательного самолета | Типы вспомогательного вида | Как рисовать вспомогательный вид

Что такое вспомогательный самолет

?

Вспомогательная плоскость Плоскость, которую мы рисуем, чтобы получить истинную форму наклонной поверхности (часто параллельной основной плоскости), является вспомогательной плоскостью.

Проще говоря, плоскость, отличная от основной плоскости ( т. е. горизонтальная плоскость, вертикальная плоскость или перпендикулярная плоскость ), называется вспомогательной плоскостью.

Часто один из шести основных видов не полностью описывает объект. Это оправдано, когда на объекте есть наклонные или косые плоскости или элементы. Для этих особых случаев необходимо создать специальный ортогональный вид, называемый вспомогательным видом.

Также прочтите: Символ проекции первого угла и проекции третьего угла (ортогональная проекция)

Типы вспомогательной плоскости

Типы вспомогательного самолета бывают двух типов.Что заключается в следующем.

  1. Вспомогательная вертикальная плоскость
  2. Вспомогательная наклонная плоскость

1. Вспомогательная вертикальная плоскость
  • Плоскость, которая перпендикулярна горизонтальной плоскости и наклонена к вертикальной плоскости, называется вспомогательной вертикальной плоскостью. Эта плоскость дает вспомогательный вид спереди.

2. Вспомогательная наклонная плоскость
  • Плоскость, которая перпендикулярна вертикальной плоскости и наклонена к горизонтальной плоскости, называется вспомогательной наклонной плоскостью.Эта плоскость дает вспомогательный вид сверху.

Также прочтите: Разница между эскизом и рисованием | Что такое концептуальные эскизы | Чертеж концепции архитектуры | Типы чертежей для проектирования зданий

Определение вспомогательных видов

Вспомогательный вид — это ортогональный вид, спроецированный таким образом, что линии обзора не параллельны основным плоскостям проекции (фронтальной, горизонтальной или профильной).

Проще говоря, вид, полученный на вспомогательной плоскости, является вспомогательным видом.Существует бесконечный диапазон потенциальных вспомогательных видов любого данного объекта.

Вспомогательные виды часто используются для отображения истинного размера наклонных поверхностей, поскольку обычно наклонные поверхности не отображают их истинный размер при использовании стандартной процедуры ортогонального рисования.

Обычно вспомогательная плоскость параллельна наклонной поверхности.

Читайте также: Стандартный размер номера | Как нарисовать план дома шаг за шагом

Способ подготовки вспомогательных видов

Ортофографические проекции готовятся перед изготовлением вспомогательных видов.Вид, в котором наклонные линии показывают фактическую длину, там с наклонными линиями построены перпендикуляры, чтобы получить конкретную длину.

Широта и альтернативные детали собираются с противоположной точки зрения. Как правило, детали наклонной поверхности показаны на вспомогательном виде. Противоположные компоненты в пределах главной плоскости не учитываются.

  • Симметричный вспомогательный вид :
  • Несимметричный вспомогательный вид:
    • Односторонний вид:
    • Двусторонний вид:
  • Односторонний вспомогательный вид:
  • Двусторонний вспомогательный вид:

1.Симметричный вспомогательный вид
  • Если вспомогательный вид равномерно расположен по обе стороны от опорной линии, то он называется симметричным вспомогательным видом.

2. Несимметричный вспомогательный вид
  • Если вспомогательный вид не лежит равномерно по обе стороны от опорной линии, он называется несимметричным вспомогательным видом.

Существует два вида несимметричного вспомогательного вида :

2а.Односторонний вид
  • Если вспомогательное чтение лежит полностью на одной грани опорной линии, то оно известно как односторонний вид.
2б. Двусторонний вид
  • Если вспомогательное чтение асимметрично лежит на одной грани референтной линии, то оно известно как двусторонняя проекция.

3. Односторонний вспомогательный вид
  • Если он лежит только на одной грани опорной линии, то он называется односторонним вспомогательным видом.

4. Двусторонний вспомогательный вид
  • Если вспомогательное чтение неравномерно расположено по обе стороны от контрольной линии, оно называется двусторонним вспомогательным просмотром.

Также прочтите: Разница между плоской съемкой и геодезической съемкой |Что такое геодезическая съемка | Что такое плоскостная съемка

Типы вспомогательного вида

Типы вспомогательного вида Существует три типа.Что заключается в следующем.

  • Основной вспомогательный вид.
  • Вторичный вспомогательный вид.
  • Третичный вспомогательный вид.
    • Основные вспомогательные виды.
      • Фронтальный вспомогательный вид.
      • Высокий вспомогательный вид.
      • Дополнительный вид профиля/фацета.
    • Второстепенные вспомогательные виды.

1.Основной вспомогательный вид
  • Единственный вид, обычно проецируемый из одного из 6 основных видов. Если эта плоскость перпендикулярна какой-либо главной плоскости, то фигура на таком чертеже называется основными вспомогательными видами.

2. Дополнительный вспомогательный вид
  • Единственный вид, обычно проецируемый из другого основного вспомогательного вида. Если вспомогательная плоскость не перпендикулярна какой-либо главной плоскости, то форма, формируемая на такой плоскости, называется вторичными вспомогательными видами.

3.

Третий вспомогательный вид

Единственный вид, обычно проецируемый из вторичного/третичного вспомогательного вида.

Классификация вспомогательного вида по отношению к наклонным линиям следующая:

  • Основные вспомогательные виды.
    • Фронтальный вспомогательный вид.
    • Высокий вспомогательный вид.
    • Дополнительный вид профиля/фацета.
  • Второстепенные вспомогательные виды.
3.а. Первичные вспомогательные виды
  • Вспомогательный вид, готовый в такой плоскости, которая перпендикулярна 1 главной плоскости и образует наклонный вид с двумя противоположными главными плоскостями, называется первичным вспомогательным считываемым.
  • Существует три типа основных вспомогательных видов из-за трех основных плоскостей:
3.а.1. Фронтальный вспомогательный вид
  • Названия вспомогательных видов даются по наклонным линиям в главной плоскости.
  • Например, если наклонная поверхность видна во фронтальной плоскости, то такой вспомогательный вид известен как Фронтальный вспомогательный вид .
  • Фронтальный вспомогательный вид При рисовании привязывается к фронтальной плоскости.
3.а.2. Высокий вспомогательный вид
  • Если наклонная поверхность видна в верхней плоскости, то такой вспомогательный вид известен как Высокий вспомогательный вид .
  • Если наклонная поверхность перпендикулярна самой высокой плоскости, то такие вспомогательные  известны как высоких вспомогательных видов .
  • Во время рисования он подключен к самой высокой плоскости.
3.а.3. Дополнительный вид профиля/фасета
  • Аналогично, если наклонная поверхность видна в плоскости профиля, то такой вспомогательный вид называется Вспомогательный вид профиля/грани .
  • Если наклонная поверхность перпендикулярна плоскости профиля, то такие вспомогательные элементы называются Вспомогательные виды профиля .
  • При рисовании привязан к плоскости профиля.
#3.б. Вторичные вспомогательные виды:
  • Вспомогательный вид, готовый в такой плоскости, которая не перпендикулярна ни одной из основных плоскостей, называется Вторичным вспомогательным видом.
  • Такой вид создается, если наклонная поверхность изделия не параллельна и не перпендикулярна какой-либо из главных плоскостей.
  • Такое вспомогательное чтение называется двойным вспомогательным чтением.

Также прочтите: Принцип геодезических методов плоского стола | Оборудование | Ошибка | Преимущество | Ограничение

Как нарисовать вспомогательный вид?

Чтобы подготовить вспомогательный вид, длина и альтернативные детали относительно вспомогательных видов получаются путем проекций с наклонной поверхности, тогда как ширина и альтернативные детали получаются из альтернативных видов (например, вид сверху) для завершения вспомогательных видов.

Вспомогательные виды чертежа

При чтении строк объекта на вспомогательном виде, смежном с основным видом, аналогичные правила применяются к строкам чтения на смежных основных видах.

Чтобы использовать вспомогательный вид для указания истинного размера поверхности (TS), вид должен быть нарисован везде, где эта поверхность выглядит как линия.

Невозможно указать ТС косой поверхности при основном вспомогательном виде. Полные вспомогательные виды обычно не рисуются в бизнесе.

Чаще используются частичные вспомогательные виды, которые показывают только параметры TS. Так как большинство противоположных поверхностей будут уменьшены в ракурсе, сканирование всего вспомогательного вида становится утомительным.

  1. Дополнительный вид по глубине : Обычно проецируется спереди.
  2. Высота вспомогательного вида : Обычно вид сверху.
  3. Дополнительный вид по ширине : Обычно выступает из профиля.

Существует два способа просмотра вспомогательного вида:

  • Полный дополнительный вид
  • Частичный вспомогательный вид

1.Полный вспомогательный вид
  • Этот тип просмотра позволяет зрителю видеть всю сторону этого чертежа в проекции со вспомогательной плоскости.
  • При такой проекции другие поверхности будут казаться укороченными в ракурсе, что может затруднить чтение чертежа.

2. Частичный вспомогательный вид
  • Этот тип проекции позволяет зрителю видеть только ту часть рисунка, которая должна быть проиллюстрирована в его истинной неискаженной поверхности.
  • Частичный вспомогательный вид экономит драгоценное время и делает чертеж более читабельным. Полный вспомогательный вид требует больших усилий для рисования, чтения и визуализации.

Также читайте: Что такое отделка камня | Виды обработки камня

Шаги чертежа для

Вспомогательный вид:

Шаг 1. Нарисуйте данный ортогональный вид объекта.

Шаг 2. Нарисуйте вспомогательную плоскость (в качестве базовой плоскости возьмите центральную плоскость).

Шаг 3. Примените метод центральной линии и скопируйте расстояние от центральной линии (обычно крайний вид — это центральная линия на виде сверху).

Шаг 4. Нарисуйте линии проекции между наклонной поверхностью и вспомогательной плоскостью.

Шаг 5. Завершите окончательный вспомогательный вид, соединив разные точки в неправильном порядке.

или

Шаг 5. Изучите представленные виды наклонной поверхности.

Шаг 6 Найдите линию, которая считается краем наклонной плоскости.

Шаг 7. На виде спереди нарисуйте легкие вспомогательные линии под прямым углом на наклонной поверхности. Это Линия Видения.

Шаг 8. Представьте, что вспомогательная плоскость прикреплена петлями к передней (вертикальной плоскости), из которой она образована.

Шаг 9. Из всех точек, отмеченных на виде спереди, начертите линии проекции под углом 90 градусов к наклонной поверхности (параллельно линии взгляда).

Шаг 10. Постройте опорную линию, боковую и равноудаленную от кромки наклонной поверхности.

Шаг 11. Перенесите размер глубины (в данном случае это основная ссылка на опорную линию).

Шаг 12. Спроецируйте отмеченные точки и последовательно соедините их, чтобы подготовить вспомогательный вид. Точки, используемые для определения формы, предназначены для решения сложных задач в учебных целях.

Также прочтите: Что из перечисленного является причиной отказа склонов | Типы обрушения склона | Геотехнические сбои | Типы склонов в географии | Причины обрушения склона | Устойчивость склона

Почему используются вспомогательные представления?

При создании инженерных чертежей обычно необходимо указывать параметры во время чтения везде, где они кажутся верными по размеру, чтобы они были размерными.

Вещь обычно расположена с указанием наиболее важных поверхностей и параметров либо параллельно, либо перпендикулярно основным плоскостям.

Обычно выбираются

представления, поэтому большинство параметров будет отображаться в трех основных представлениях. Чаще всего рисуются виды спереди, сверху и слева или справа.

Многие объекты довольно сложны, поэтому три основных вида могут быть не лучшим подарком. При этом обычно рисуют один или дополнительные вспомогательные виды.

Также прочтите: что такое посаженная колонна, плавающая колонна, подвесная колонна и столбец-заглушка


Краткое примечание

Что такое дополнительный вид?

Вспомогательный вид   – это просто “вспомогательный” вид  , который показывает наклонную часть объекта, как она есть на самом деле. Получается или проецируется. объекта так, чтобы истинный размер и форма поверхности (или поверхностей) были видны такими, какие они есть на самом деле. Вспомогательные виды обычно встречаются на многих типах промышленных чертежей.

Дополнительный вид

Вспомогательный вид   – это просто “вспомогательный” вид  , который показывает наклонную часть объекта, как она есть на самом деле. Получается или проецируется. объекта так, чтобы истинный размер и форма поверхности (или поверхностей) были видны такими, какие они есть на самом деле. Вспомогательные виды обычно встречаются на многих типах промышленных чертежей.

Метод подготовки вспомогательных видов

Ортофографические проекции подготовлены  до подготовки вспомогательных видов . вид , в котором наклонные линии показывают реальную длину, там с наклонными линиями выстроены перпендикуляры для получения фактической длины. Ширина и другие детали собираются из другого представления 90 908.

Также прочтите: Функции фонда | Требования к хорошему фонду | Типы фундамента | Типы мелкозаглубленных фундаментов | Типы глубоких фундаментов

Типы вспомогательного вида

Существует три основных типа вспомогательных видов.В первом типе вспомогательный вид проецируется из вида спереди трехвидового (ортогонального) чертежа. Во втором и третьем типах чертежей вспомогательные виды проецируются из видов сверху и сбоку.

Как рисовать вспомогательный вид

Чтобы сделать набросок  вспомогательного вида , вы начинаете с ортогонального. виды объекта и добавить линии проекций перпендикулярно (90 ) к наклонной поверхности, добавив опорную линию на любом удобном расстоянии от вида с наклонной поверхностью.

Вспомогательный самолет

Следовательно, дополнительные плоскости  установлены так, чтобы быть параллельными краям и граням, которые должны быть показаны в истинных размерах.

  1. Эти дополнительные плоскости проекции, которые настроены для получения истинных размеров, называются Вспомогательными плоскостями .
  2. Виды, спроецированные на эти вспомогательные плоскости , называются вспомогательными видами.

Частичный вспомогательный вид

Частичный Дополнительные виды Частичный вспомогательный вид. На вспомогательных видах обычно не проецируют скрытые элементы или другие элементы, не являющиеся частью наклонной поверхности. Когда на вспомогательном виде проецируются и рисуются только детали наклонной поверхности, вид называется частичным вспомогательным видом .

Определение вспомогательного вида

Вспомогательный вид   – это просто “вспомогательный” вид  , который показывает наклонную часть объекта, как она есть на самом деле.Получается или проецируется. объекта так, чтобы истинный размер и форма поверхности (или поверхностей) были видны такими, какие они есть на самом деле.

Когда нужен вспомогательный вид?

Когда объект имеет наклонную или наклонную поверхность, обычно невозможно отобразить наклонную поверхность на ортогональном чертеже без искажения. Для представления более точного описания любой наклонной поверхности обычно требуется дополнительный вид , известный как вспомогательный вид .

Первичный вспомогательный просмотр

Первичный вспомогательный вид    проецируется на плоскость, которая перпендикулярна одной из главных плоскостей проекции и наклонена к двум другим. Вторичный вспомогательный вид проецируется из основного вспомогательного вида на плоскость, наклоненную ко всем трем основным плоскостям проекции.

Для чего нужен вспомогательный вид?

Вспомогательные виды — это тип ортогональной проекции, используемый для определения истинного размера и формы наклонных и наклонных поверхностей объектов.Обычно вспомогательных  видов проецируются из существующих основных видов. Тем не менее, вспомогательные виды также могут быть сначала нарисованы, а затем использованы для создания основного вида.

Определение плоскости профиля

Третья плоскость , перпендикулярная обеим координатным плоскостям и, следовательно, к линии земли, называется плоскостью профиля. Эта плоскость расположена вертикально и может использоваться как плоскость проекции.Проекции линии на горизонтальную, вертикальную и плоскость профиля .

Нравится этот пост? Поделитесь этим с вашими друзьями!

Предлагаемое чтение –

Вспомогательный вид – его виды, методы. [Полное руководство].

В этой статье вы узнаете о вспомогательном представлении — его типах, методах и способах его рисования.

Итак, приступим.

Вспомогательный вид.

При рисовании орфографической проекции лучше изображаются те линии объекта, которые параллельны главной или вертикальной плоскости.

Те линии, которые наклонены к главной плоскости, не показывают фактическую длину.

В этом случае чертеж готовят, располагая плоскость параллельно наклонной поверхности.

Такой самолет называется Вспомогательный самолет.

Чертеж, сделанный на этой плоскости, называется Вспомогательный вид.

Размер и форма этого рисунка соответствуют действительности.

Предполагается, что вспомогательная плоскость параллельна наклонной поверхности.

Если эта плоскость перпендикулярна какой-либо главной плоскости, то рисунок на таком чертеже называется Первичными вспомогательными видами.

Если вспомогательная плоскость не перпендикулярна какой-либо главной плоскости, то форма, образованная на такой плоскости, называется Вторичными вспомогательными видами .

Вспомогательные виды готовятся относительно некоторой базовой линии.

Если вспомогательный вид лежит равномерно по обе стороны от опорной линии, то он называется Симметричными вспомогательными видами.

При этом, если он лежит только с одной стороны от опорной линии, то он называется Односторонними вспомогательными видами.

Если вспомогательный вид не лежит равномерно по обе стороны от опорной линии, то он называется Двусторонними вспомогательными видами.

Способ подготовки вспомогательных видов.

Ортогональные проекции подготавливаются перед подготовкой вспомогательных видов.

Вид, на котором наклонные линии показывают фактическую длину, там с наклонными линиями построены перпендикуляры для получения фактической длины.

Ширина и другие детали собираются из другого вида.

Как правило, детали наклонной поверхности даны на вспомогательном виде. Остальные части в главной плоскости игнорируются.

Такой дополнительный вид называется Частичный вспомогательный вид.

Если подготовлен полный вспомогательный вид, то деталь наклонной поверхности отображается не полностью.

Вот почему полный вспомогательный не подготовлен.

Не забудьте посмотреть видео ниже.

1. Симметричный вспомогательный вид:

Если вспомогательный вид равномерно расположен по обе стороны от опорной линии, то он называется симметричным вспомогательным видом.

2. Несимметричный вспомогательный вид:

Если вспомогательный вид не лежит равномерно по обеим сторонам опорной линии, то он называется несимметричным вспомогательным видом.

Существует два типа несимметричного вспомогательного вида:

я. Односторонний вид.

ii. Двусторонний вид.

я. Односторонний вид:

Если вспомогательный вид полностью лежит по одну сторону от опорной линии, то он называется односторонним видом.

ii. Двусторонний вид:

Если вспомогательный вид несимметрично лежит по одну сторону от опорной линии, то он называется двусторонним видом.

Типы вспомогательного вида:

Название вспомогательных видов дается по наклонным линиям в главной плоскости.

Например, , если наклонная поверхность видна во фронтальной плоскости, то такой вспомогательный вид будет называться Фронтальный вспомогательный вид.

Если наклонная поверхность видна в верхней плоскости, то такой вспомогательный вид будет называться Вспомогательный вид сверху.

Аналогично, Если в плоскости профиля видна наклонная поверхность, то такое вспомогательное новое будет называться Profile Auxiliary View.

Классификация вспомогательного вида в отношении наклонных линий следующая.

1. Основные вспомогательные виды:

Такой вид, который перпендикулярен одной главной плоскости и образует наклонный вид с двумя другими главными плоскостями, называется основным вспомогательным видом.

Существует три типа основного вспомогательного вида из-за трех основных плоскостей:

я. Дополнительный вид спереди.

ii. Вспомогательный вид сверху.

iii. Дополнительный вид сбоку.

ПРИМЕЧАНИЕ. Вспомогательная плоскость связана с главной плоскостью, которой перпендикулярна наклонная поверхность.

2. Вторичные вспомогательные виды:

Такой вспомогательный вид, подготовленный в такой плоскости, которая не перпендикулярна ни к одной из главных плоскостей, называется вторичными вспомогательными видами.

Такой вид образуется, когда наклонная поверхность предмета не параллельна и не перпендикулярна ни одной из главных плоскостей.

Такой вспомогательный вид называется Двойной вспомогательный вид.

Чертеж вспомогательных видов:

Вспомогательные виды названы по названию плоскости, которой перпендикулярна наклонная поверхность предмета.

Посмотрите видео ниже, чтобы понять это более четко.

Например , если наклонная поверхность перпендикулярна фронтальной плоскости то такой вспомогательный вид будет называться Frontal Auxiliary View.

При рисовании привязывается к фронтальной плоскости.

Если наклонная поверхность перпендикулярна верхней плоскости, то такой вспомогательный вид будет называться Верхний вспомогательный вид.

При рисовании привязывается к верхней плоскости.

Аналогично, если наклонная поверхность перпендикулярна плоскости профиля, то такой вспомогательный вид будет называться Вспомогательные виды профиля.

При рисовании привязывается к плоскости профиля.

Во время рисования вспомогательного вида показана только деталь его наклонной поверхности.

Детализация всех других частей, видимых на плоскости, игнорируется.

Такой вспомогательный вид называется Частичные вспомогательные виды.

Если полный вид подготовлен, это не более ясно.

Таким образом, деталь, представленная на вспомогательной плоскости, создает неоднозначность для вида на главной плоскости.

Поэтому полные вспомогательные виды не подготовлены.

Для подготовки вспомогательного вида длина и другие детали вспомогательных видов получаются путем получения проекций с наклонной поверхности.

Принимая во внимание, что ширина и другие детали получаются из других видов, таких как вид сбоку, вид сверху, для завершения вспомогательных видов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.