Методы построения сечений многогранников — Студопедия
Поделись
Сечение
В пространстве две фигуры, для нашего случая плоскость и многогранник могут иметь следующее взаимное расположение: не пересекаются, пересекаются в точке, пересекаются по прямой и плоскость пересекает многогранник по его внутренности (рис.1), и при этом образуют следующие фигуры:
а) пустая фигура (не пересекаются)
б) точка
в) отрезок
г) многоугольник
Если в пересечении многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника с плоскостью.
рис.1
Определение.Сечением пространственного тела (например, многогранника) называется фигура, получающаяся в пересечении тела с плоскостью.
Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.
Будем рассматривать только случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности.
Если плоскости пересекаются по прямой , то прямую называют следом одной из этих плоскостей на другой.
В общем случае секущая плоскость многогранника пересекает плоскость каждой его грани (а также любую другую секущую плоскость этого многогранника). Она пересекает и каждую из прямых, на которых лежат ребра многогранника.
Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют следом секущей плоскости на плоскости этой грани, а точку, в которой секущая плоскость пересекает прямую, содержащую какое – либо ребро многогранника, называют следом секущей плоскости на этой прямой. Эта точка является и следом прямой на секущей плоскости. Если секущая плоскость пересекает непосредственно грань многогранника, то можно говорить о следе секущей плоскости на грани, и, аналогично, о следе секущей плоскости на ребре многогранника, то есть о следе ребра на секущей плоскости.
Так как прямая однозначно определяется двумя точками, то для нахождения следа секущей плоскости на любой другой плоскости и, в частности, на плоскости любой грани многогранника, достаточно построить две общие точки плоскостей
Для построения следа секущей плоскости, а также для построения сечения многогранника этой плоскостью, должен быть задан не только многогранник, но и секущая плоскость. А построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Основными способами задания плоскости, и в частности секущей плоскости, являются следующие:
1. тремя точками не лежащих на одной прямой;
2. прямой и не лежащей на ней точкой;
3. двумя параллельными прямыми;
4. двумя пересекающимися прямыми;
5. точкой и двумя скрещивающимися прямыми;
Возможны и другие способы задания секущей плоскости.
Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.
Методы построения сечений многогранников
Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение.
В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.
Существует три основных метода построения сечений многогранников:
I. Аксиоматический метод:
a. Метод следов.
b. Метод вспомогательных сечений.
II. Комбинированный метод.
III. Координатный метод.
Заметим, что метод следов и метод вспомогательных сечений являются разновидностями Аксиоматического метода построения сечений.
Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:
1. построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;
2. построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно, другой заданной прямой;
3. построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;
4. построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;
5.
построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.
Основными действиями, составляющие методы построения сечений, являются нахождение точки пересечения прямой с плоскостью, построения линии пересечения двух плоскостей, построение прямой параллельной плоскости, перпендикулярной плоскости. Для построения прямой пересечения двух плоскостей обычно находят две ее точки и проводят через них прямую. Для построения точки пересечения прямой и плоскости находят в плоскости прямую, пересекающую данную. Тогда искомая точка получается в пересечении найденной прямой с данной.
Рассмотрим отдельно перечисленные намиметоды построения сечений многогранников:
Метод следов.
Метод следов основывается на аксиомах стереометрии, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания.
Эту линию называют основным следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения.
Отметим,что при построении основного следа секущей плоскости используется следующее утверждение.
Если точки принадлежат секущей плоскости и не лежат на одной прямой, а их проекция (центральными или параллельными) на плоскость, выбранную в качестве основной, являются соответственно точки то точки пересечения соответственных прямых, то есть точки и лежат на одной прямой (рис.1, а, б).
рис.1.а рис.1.б
Эта прямая является основным следом секущей плоскости. Так как точки лежат на основном следе, то для его построения достаточно найти две точки из этих трех.
Построение сечений многогранников – презентация онлайн
1. Построение сечений многогранников
2.
Определение сечения.• Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость,по обе стороны от которой имеются точки данного
многогранника.
• Секущая плоскость пересекает грани многогранника по
отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти
отрезки, называется сечением многогранника.
A
Секущая
плоскость
сечение
N
M
α
K
D
B
C
4. Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками.
DD
M
N
А
M
P
С
L
А
P
С
N
В
В
Построение:
Построение:
1. Отрезок MP
2. Отрезок PN
3. Отрезок MN
MPN – искомое сечение
1. Отрезок MN
2. Луч NP;
луч NP пересекает АС в точке L
3. Отрезок ML
MNL –искомое сечение
5. Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками.
DПостроение:
1. Отрезок NQ
P
2. Отрезок NP
Прямая NP пересекает АС в точке Е
3. Прямая EQ
EQ пересекает BC в точке R
NQRP – искомое сечение
N
С
А
E
R
Q
В
6.
Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками.DПостроение:
1. MN; отрезок МК
2. MN пересекает АВ в точке Х
3. ХР; отрезок SL
MKLS – искомое сечение
M
N
А
S
K
C
P
L
B
X
Аксиоматический метод
Метод следов
Суть метода заключается в построении вспомогательной
прямой, являющейся изображением линии пересечения
секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры .
Удобнее всего строить изображение линии пересечения
секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту
линию называют следом секущей плоскости. Используя
след, легко построить изображения точек секущей
плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях
фигуры .
Призма
Даны три
точки на
боковых
ребрах
Сечение
Плоскость основания
Постройте сечение призмы, проходящее через точки O,F,G
Шаг 1: разрезаем грани KLBA и LMCB
L
• Проводим через точки F и
O прямую FO.
M
F
K
N
• Отрезок FO есть разрез
грани KLBA секущей
плоскостью.
• Аналогичным образом
отрезок FG есть разрез грани
LMCB.
G
B
O
A на гранях?
Почему мы уверены, что сделали разрезы
C
D
Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой,
проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой
плоскости.
Шаг 2: ищем след секущей плоскости на плоскости
основания
L
• Проводим прямую АВ до пересечения с
прямой FO.
• Получим точку H, которая
K
принадлежит и секущей плоскости, и
плоскости основания.
• Аналогичным образом получим
точку R.
• Через точки H и R проводим прямую
HR – след секущей плоскости
M
F
N
G
B
O
A
C
R
D
Почему мы уверены, прямая HR – след
H секущей плоскости на плоскости основания?
Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой,
проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой
плоскости.
Шаг 3:
делаем разрезы на других гранях
L
• Так как прямая HR пересекает
нижнюю грань многогранника, то
получаем точку E на входе и точку S на
выходе.
• Таким образом отрезок ES есть
разрез грани ABCD.
F
N
K
G
• Проводим отрезки ОЕ (разрез грани
KNDA) и GS (разрез грани MNDC).
Почему мы уверены, что все
делаем правильно?
H
M
B
O
A
C
R
S
E
D
Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по
прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой
плоскости.
Шаг 4:
выделяем сечение многогранника
L
Все разрезы
образовали пятиугольник
OFGSE, который и является
сечением призмы
плоскостью, проходящей
через точки O, F, G.
M
F
K
N
G
B
O
C
S
A
E
D
13.
Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N,P.FM
P
D
А
N
S
C
B
Z
X
XY – след секущей плоскости
на плоскости основания
Y
14. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N,P.
FXY – след секущей плоскости
на плоскости основания
S
M
P
D
А
N
Y
B
C
X
Z
15. Метод вспомогательных сечений
Этот метод построения сечений многогранниковявляется в достаточной мере
универсальным. В тех случаях,
когда нужный след (или следы)
секущей плоскости оказывается
за пределами чертежа,
этот метод имеет даже
определенные преимущества.
Вместе с тем следует иметь в
виду, что построения, выполняемые
при использовании
этого метода, зачастую получаются
«искусственное». Тем не менее в некоторых случаях
метод вспомогательных сечений оказывается
наиболее рациональным.
16. На ребре BM пирамиды MABCD зададим точку Р.
Построим сечение пирамиды плоскостью PQR, точку R которой зададим на грани АMD,а Q на грани DMC.1. Находим точки Р’, Q’ и R’ и затем строимвспомогательное сечение пирамиды
плоскостью, определяемой какими-нибудь
двумя пересекающимися прямыми из трех
прямых MP, MQ и МR.
Например, плоскостью МРQ.
М
P
R
Q
B(P’)
2. Построим другое вспомогательное
сечение пирамиды плоскостью
A
D
определяемой двумя пересекающимися
R’
прямыми, одна из которых — это
прямая MR, а другая прямая — та, на которой мы хотим найти след
плоскости PQR. Например, прямая МС.
Q’
17. 3. Находим точку F, в которой пересекаются прямые Р’Q’ и R’С, а затем строим прямую MF — линию пересечения плоскостей.
4. В плоскости MPQ’ проводим прямую PQ и находимточку F’=PQ пересекается MF.
М
5. Так как точка F’ лежит на
P
прямой PQ, то она лежит
в плоскости PQR. Тогда и
прямая RF, лежит
R
в плоскости PQR.
B(P’)
Проводим прямую RF’,
и находим точку С’=RF’ пересекается
МС. Точка С’, таким образом,
лежит и на прямой МС, и в плоскости
А
R’
PQR, т. е. она является следом плоскости
PQR на прямой МС (в данном случае и на ребре МС).
C’
Q
F’
C
Q’
F
D
6. Дальнейшие построения вполне
понятны: строим C’Q, D’, D’R, А’, А’Р,
РС’. Четырехугольник РС’D’А’ —
искомое сечение
М
P
C’
Q
R
D’
Q’
F
А
R’
R’
D
19. Комбинированный метод
Суть комбинированного метода построениясечений многогранников состоит в
применении теорем о параллельности
прямых и плоскостей в пространстве в
сочетании с
аксиоматическим методом.
20. Постройте сечение куба, проходящее через точки P, R, Q.
1. Точки P и R лежат в одной плоскости,проведём прямую PR.
P
2. Прямая PR лежит в плоскости
A’
AA’B’B, точка Q лежит в плоскости
DD’C’C, параллельной AA’B’B.
3. Проведём через точку Q прямую
параллельную прямой PR,
получим точку K
Почему мы уверены, что все делаем
правильно?
R
B’
C’
D’
Q
C
B
D
A
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая
принадлежит этой плоскости.
Теорема
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то
прямые пересечения параллельны
K
4. Найдём точку пересечения прямых PR и AB, получим точку L.
5. Прямая LK в плоскости ABCD оставляет след FK
6. Точки R и F лежат в одной плоскости AA’D’D, проведём прямую RF.
7. Прямая RF лежит в плоскости АA’D’D, точка Q в плоскости
BB’C’C,параллельной плоскости AA’D’D.
B’
M
8. Проведём прямую параллельную
P
прямой RF, через точку Q, получим
точку M.
A’
Почему мы уверены, что все делаем
правильно?
Аксиома Если две различные плоскости
имеют общую точку, то они пересекаются
по прямой, проходящей через эту точку.
R
Теорема Если две точки прямой
принадлежат плоскости, то вся прямая
принадлежит этой плоскости.
C’
D’
Q
C
B
K
A
L
D
F
Теорема
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения
параллельны
9. Проведем PM.
B’
M
C’
P
10. Полученный
шестиугольник является
искомым сечением
A’
R
D’
Q
C
B
K
A
D
F
Презентация по математике по теме Построение сечений многогранников доклад, проект
Пусть каждый день и каждый час
Вам новое добудет.
Пусть добрым будет ум у вас,
А сердце умным будет.
С. Маршак
Урок – проект
по теме
«Построение сечений многогранников»
«Скажи мне – и я забуду.
Покажи мне – и я запомню.
Вовлеки меня – и я научусь»
Древняя китайская пословица
Цель урока-проекта:
Формирование универсальных учебных действий и умений обучающихся, необходимых для самостоятельного приобретения знаний в процессе изучения темы
«Построение сечений многогранников»
Задачи:
1.
Изучить и проанализировать необходимую учебно-методическую литературу по теме;
2. Продолжить формирование информационной компетентности обучающихся;
3. Организовать процесс изучения темы с использованием дидактических средств и технологий , направленный на формирование универсальных учебных действий, обеспечивающих умение навыков самостоятельности и саморазвития; 4. Создать условия, способствующие повышению уровня мотивации к изучению предмета, повышению качественной успеваемости по математике; 5. Провести анализ, систематизацию и обобщение результатов, полученных в ходе урока – проекта по данной теме.
«В геометрии нет царских дорог»
Евклид
…Геометрия нужна, но она ведь так сложна!
То фигуры, то тела, не разберёшься.
Аксиомы там нужны,
Теоремы так важны,
Их учи – и результата ты добьёшься!
1 группа
«Аналитики»
“Те, кто влюбляется в практику без теории, уподобляются мореплавателю, садящемуся на корабль без руля и компаса и потому никогда не знающему, куда он плывет”
Леонардо да Винчи
http://blogs.nnm.ru/page6/
Цель:
Обобщение и систематизация изученного теоретического материала
Задачи:
1.
Повторить:
а)Аксиомы стереометрии и следствия из них;
б)Взаимное расположение двух прямых,
прямой и плоскости в пространстве;
в)Способы задания плоскостей;
2. Выяснить значимость данной темы.
Аксиомы стереометрии
Аксиома 1
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости
Аксиома 2
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей
Аксиома 3
В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой
Следствия
из аксиом стереометрии
1.
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна
2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна
Взаимное расположение
в пространстве двух прямых
Две прямые лежат в одной плоскости:
2. Прямые
пересекаются
1. Прямые
параллельны
Одна общая точка
Нет общих точек
Взаимное расположение
в пространстве двух прямых
Не лежат в одной плоскости:
прямые скрещивающиеся
m
Взаимное расположение
в пространстве прямой и плоскости
1. Прямая лежит в плоскости
2. Прямая пересекает плоскость
3.
Прямая параллельна плоскости
Способы задания плоскостей
По трем точкам
(аксиома 1)
По прямой и не лежащей
на ней точке (следствие 1)
По двум пересекающимся
прямым (следствие 2)
По двум параллельным прямым ( определение параллельных прямых)
Вывод:
Проанализировав изученную теорию мы пришли к выводу, что полученные знания необходимы для построения сечений многогранников на основе аксиоматики
2 группа «Теоретики» – 1
Цель:
Формирование понятий
сечения многогранника
Задачи:
1)Изучить литературу по теме, обобщить и систематизировать данный материал;
2) Проанализировать взаимное расположение плоскости и многогранника;
3) Рассмотреть понятие сечения многогранника и его виды;
4) Выяснить, что является сечением многогранника и что значит построить сечение многогранника плоскостью;
5) Рассмотреть способы задания плоскостей;
6) Выяснить, когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной.
сечение
Толковый словарь: «сечение- фигура, образующаяся в месте пересечения какого-либо тела плоскостью»
Многоугольник, полученный при пересечении многогранника и плоскости, называется сечением многогранника указанной плоскостью
Многоугольник состоит из всех точек, которые являются общими для многогранника и секущей плоскости
Секущей плоскостью многогранника называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данного многогранника
Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам, поэтому сечение многогранника есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости. Очевидно, что количество сторон этого многоугольника не может превышать количества граней данного многогранника.
Построить сечение многогранника плоскостью-
это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить их отрезками, принадлежащими граням многогранника
Взаимное расположение
плоскости и многогранника
В
А
Нет точек пересечения
Одна точка пересечения
Пересечением
является отрезок
Пересечением
является плоскость
Виды сечений:
Параллельное сечение-
сечение, плоскость которого параллельна
либо основанию,
либо одной из грани многогранника
Диагональное сечение-
сечение, плоскость которого
проходит через диагонали
многогранника
и диагонали оснований многогранника.
Плоскость
(в том числе и секущую) можно задать
следующим
образом
Тремя точками, не лежащими на одной прямой
Прямой и точкой, не
лежащей на ней
Двумя
пересекающимися
прямыми
Двумя
параллельными
прямыми
Выводы:
Изучив и проанализировав литературу по теме: «Сечения многогранника, мы выяснили, что:
1) Построенное сечение выпуклого многогранника всегда выпуклый многоугольник;
Выводы:
2)Вершины сечения всегда лежат на рёбрах данного многогранника;
Выводы:
3)Точки, лежащие на гранях многогранника, обязательно должны лежать на сторонах многоугольника, полученного в сечении;
Выводы:
4)Две стороны многоугольника, получившегося в сечении, не могут принадлежать одной грани данного многогранника;
5)Если сечение пересекает параллельные грани многогранника, то и соответствующие этим граням стороны построенного сечения должны быть параллельны.
3 группа «Теоретики» – 2
Цель:
Рассмотрение методов построения сечений многогранников
Задачи:
1. Изучить литературу по теме, обобщить и систематизировать данный материал;
2. Рассмотреть различные методы построения сечений многогранников;
3. Показать значимость данной темы и применение ее в реальной жизни.
Поскольку плоскость определяется:
тремя точками;
прямой и точкой;
двумя параллельными прямыми;
двумя пересекающимися прямыми,
построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.
Методы построения сечений
Существует три основных метода построения сечений многогранников:
Метод следов.
Метод вспомогательных сечений.
Комбинированный метод.
Метод следов и метод вспомогательных сечений являются разновидностями аксиоматического метода построения сечений
Методы построения сечений
1.Аксиоматический метод
( метод следов,
метод вспомогательных сечений )
2. Комбинированный метод
Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике
Метод следов
Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости.
Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры
Правила построения сечений методом следов
Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти точки
Правила построения сечений методом следов
Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определённой боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью (точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани)
Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить, как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с её проекцией на плоскость основания.
Метод вспомогательных сечений
Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы секущей плоскости) оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются «искусственные». Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.
Комбинированный метод
Комбинированный метод построения сечений многогранников заключается в том, что при построении этим методом на каких-то этапах построения сечения применяются приёмы метода следа, а на каких-то применяются теоремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве.
Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом
Задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной,
когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности, то пересечением данной плоскости с каждой гранью этого многогранника будет некоторый отрезок.
Таким образом, задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника
Практическое применение
Многогранники и многогранные поверхности широко применяются в архитектуре и строительстве.
Любое строительство начинается с чертежа того объекта, который предстоит создать. Его нужно рассматривать в разных проекциях и в разных сечениях.
Один из примеров Исаакиевский собор в Санкт-Петербурге.
Выводы:
Изучив литературу по теме, мы выяснили, что существует 3 основных метода построения сечений многогранников;
В тех случаях, когда применение метода следа затруднено, применяют метод вспомогательных сечений или комбинированный метод;
Мы узнали, что задача на построение сечения многогранника считается полностью решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника;
Знание методов построения сечений, способов нахождения точек и линий пересечения секущих плоскостей нам поможет решать задачи на построение сечений на различных геометрических телах.
Выводы:
Мы выяснили, что тема « Построение сечений многогранников» занимает важное место в курсе геометрии. Применяется в некоторых разделах физики, в теоретической механике, гидравлике.
Методы построения сечений многогранников находят широкое применение в реальной жизни. Их знание необходимы ювелирам, дизайнерам, инженерам, токарям.
В процессе работы мы систематизировали материал по теме «Построение сечений многогранников» и поняли, что построения сечений многогранников являются важной составляющей проектирования какого-либо сооружения, то есть повсеместно применяются в архитектуре.
Гимнастика для глаз
4 группа
«Практики» – 1
Цель:
Исследование построения сечений тетраэдра аксиоматическим методом
Задачи:
1.
Изучить литературу по теме, обобщить и систематизировать данный материал;
2. Исследовать, какие фигуры возможны при построении сечений тетраэдра;
3. Классифицировать задачи с учетом задания точек сечения;
4. Рассмотреть построение сечений тетраэдра аксиоматическим методом;
5. Составить алгоритм построения сечения.
Секущая плоскость тетраэдра – это любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра
Многоугольник, сторонами которого являются отрезки, пересекающие грани тетраэдра называется сечением тетраэдра
Так как количество сторон многоугольника, полученного при построении сечения тетраэдра не может превышать количества граней данного тетраэдра, а он имеет 4 грани, то в сечении могут получаться треугольник или 4-угольник
Сечения тетраэдра
Тетраэдр имеет 4 грани
В сечении может получиться:
Треугольник
Четырехугольник
Построение сечений тетраэдра
Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.
(Д. Пойа)
1. Построить сечение тетраэдра АВМР плоскостью, проходящей через три заданные точки K, L, M
K
M
L
Прямая КМ
2. Прямая МL
3. Прямая КL
КМL –сечение
А
В
Р
Задача для класса. Постройте сечение тетраэдра АВСS плоскостью, проходящей через заданные точки
М
В
А
С
N
K
S
D
2. Постройте сечение тетраэдра , плоскостью, проходящей через заданные точки М, N и P
B
A
C
M
N
P
Q
X
А
В
С
S
Задача для класса.
Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через данные точки D, Е, K.
D
E
K
M
F
Построение:
2. ЕК
3. ЕК ∩ АС = F
4. FD
5. FD ∩ BС = M
6. KM
1. DE
DЕKМ – искомое сечение
3. Построить сечение тетраэдра АВСР, проходящее через прямую BC и точку М
А
В
С
Р
М
1. Прямая ВС
2. Прямая СМ
ВСМ – сечение
3. Прямая ВМ
Выводы:
Изучив и проанализировав литературу по теме: «Построение сечений многогранников» мы классифицировали задачи с учетом задания точек сечения тетраэдра и выяснили алгоритм построения сечения:
1) Если даны 3 точки, то нужно выяснить где они находятся.
Если пара точек, лежит в одной грани (в одной плоскости), проводим через них прямую.
2) Выясняем, лежит ли третья точка в плоскости какой-то грани или в её продолжении.
3) Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку.
Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.
4) Если даны точка и прямая или две прямые, то выясняем, где они находятся, что мы знаем о них. Проводим через них плоскость.
Гимнастика для глаз
5 группа
«Практики» – 2
Цель:
Исследование построения сечений параллелепипеда аксиоматическим методом
Задачи:
1.
Изучить литературу по теме, обобщить и систематизировать данный материал;
2. Исследовать, какие фигуры могут получаться при построении сечений параллелепипеда;
3. Классифицировать задачи с учетом задания точек сечения;
4. Рассмотреть построение сечений параллелепипеда аксиоматическим методом;
5. Составить алгоритм построения сечений.
Секущая плоскость параллелепипеда- это любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда
Многоугольник, сторонами которого являются отрезки, пересекающие грани параллелепипеда называется сечением параллелепипеда
Количество сторон этого многоугольника, полученного в сечении параллелепипеда не может превышать количества его граней
Параллелепипед имеет 6 граней
В его сечении
может получиться:
Треугольник
Четырехугольник
Пятиугольник
Шестиугольник
Построение сечений параллелепипеда
N
В
1.
Постройте сечение параллелепипеда, плоскостью, проходящей через заданные точки M, N, P
A
C
C₁
B₁
A₁
P
М
D
D₁
Q
1. Соединяем точки K и F, принадлежащие одной грани А1В1С1D1.
2. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки Е, F, K
К
L
М
Построение:
1. KF
2. FE
3. FE ∩ АB = L
EFKNM – искомое сечение
F
E
N
4. LN ║ FK
6. EM
5. LN ∩ AD = M
7. KN
2. Соединяем точки F и E, принадлежащие одной грани АА1В1В.
3. Прямые FE и АВ, лежащие в одной грани АА1В1В, пересекаются в точке L
4. Проводим прямую LN параллельно FK (если секущая плоскость пересекает противоположные грани, то она пересекает их по параллельным отрезкам)
5.
Прямая LN пересекает ребро AD в точке M
6. Соединяем точки Е и М, принадлежащие одной грани АА1D1D.
7. Соединяем точки К и N, принадлежащие одной грани ВСС1В1.
М
Р
3. Постройте сечение куба, проходящее через точки P, М, К
К
А
1. Прямая МК
В
2. Прямая КР
О
Т
3. Прямая ОТ
МАВРС –искомое сечение
С
4. Построить сечение, определяемое параллельными прямыми АА1 и CC1
А
А1
В1
С1
D1
С
В
D
1. Прямая А1С1
2. Прямая АС
АА1С1С – сечение
5. Построить сечение прямоугольного параллелепипеда, определяемое пересекающимися прямыми АС1 и А1С
А
А1
В1
С1
D1
D
В
С
1.
Прямые А1С1 и АС
2. Прямые АА1 и СС1
АА1С1С – сечение
А
А1
В1
С1
D1
D
В
С
6. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку М и прямую АС
М
1. Прямая СМ
2. Прямая МК II AC
3. Прямая AK
AKМС – сечение
А
А1
В1
С1
D1
D
С
7. Построить сечения куба АВСДА1В1С1Д1 плоскостью, проходящей через ребро А1Д1 и середину ребра ВВ1
В
1. Прямая А1М
3. Прямая D1K
A1D1KM – сечение
А1D1
Выводы:
Изучив и проанализировав литературу по теме: «Построение сечений многогранников» мы классифицировали задачи с учетом задания точек сечения параллелепипеда и выяснили:
Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани.
Если нет по условию двух точек, лежащих в плоскости (одной грани многогранника) или одна из трёх точек находится внутри фигуры или же снаружи, находясь в пространстве, то сначала надо построить вспомогательную плоскость, которая пересекала бы основание данной фигуры или его продолжение, которая в свою очередь будет пересекать какие-то стороны основания или их продолжение.
Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам.
Гимнастика для глаз
Самостоятельная работа
P
N
M
N
P
M
N
P
M
Решения:
M
N
P
M
N
P
M
N
P
повторил(а)…
узнал(а)…
– научился(лась)…
– смог(ла), потому что …
у меня не получилось, потому что…
дома надо потренироваться…
Интересно ли было тебе на уроке?
Узнал ли ты что-либо новое для себя?
Рефлексия:
Сегодня на уроке я…
Домашнее задание:
Составить две задачи на построение сечений многогранников (тетраэдр, параллелепипед)
Ресурсы:
1.
Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений 2. Изображение с сайта: http://www.cdvseti.ru/id3700.html 3. Портреты математиков взяты с диска “Математика 5-11”. Изображение с сайта: http://www.thg.ru/education/20050714/images/arhimed_cut.jpg
4. Анимация с сайта: http://badbad-girl.narod.ru/zelenie.html
5. https://sites.google.com/site/polyhedrasection2014/po..
6.http://открытыйурок.рф/статьи/411264/
7. https://docplayer.ru/30923930-Uchebnoe-posobie-dlya-u..
8. https://studwood.ru/1697455/pedagogika/ispolzovanie_m..
9. studwood.ru
10. http://slidegur.com/doc/1106520/metod-vspomogatel._ny..
11. https://sites.google.com/site/obrazovatelnyjresursgeometry/ho
me/tema-4-metody-postroenia-secenij-kombinirovannyj-metod
12.
http://открытыйурок.рф/статьи/212754/
13. Электронное издание «1С: Школа. Математика, 5-11 кл. Практикум»14. Электронное издание «Решебник по геометрии. Пособие для абитуриентов. Полный курс за 7-11 классы» 14. https://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2012/01/03/postroenie-secheniy-mnogogrannikov-urok-10-klass
Вспомогательные методы – Зарубежная клиника
Методы диагностического назначенияЭти методы способствуют развитию стоматологии, в частности имплантологии. Технические достижения в этой области стоматологии стали возможны благодаря сотрудничеству в области методов диагностики.
В дополнение к тщательному клиническому осмотру, проводимому стоматологом, рентгенографический анализ позволяет спланировать точный диагноз и добиться успеха в случаях восстановления имплантатов и эстетических реставраций.
Рентгеновские снимки, сделанные под разными углами, дают несколько изображений поперечного сечения, которые могут быть простыми или двумерными.
Рентгенологические методы, применяемые в оральной имплантологии, называются ортопантомограммой, внутриротовой рентгенографией и компьютерной аксиальной томографией (CAT-сканирование).
Ортопантомограмма широко известна как панорамный рентгеновский снимок и обеспечивает двумерные изображения верхней и нижней челюсти.
Эта процедура позволяет получить важную информацию о росте, ширине кости и необходимом количестве кости в областях для восстановления имплантата. С помощью панорамного рентгеновского снимка стоматолог выберет наилучшее место и угол для размещения титановых стержней.
Какова цель двумерных изображений ортопантомограммы? С помощью этих двухмерных изображений стоматолог увидит все альвеолярно-зубные структуры и проанализирует различные характеристики, такие как верхнечелюстные пазухи, носовые ходы, путь нижнего зубного нерва и расположение отверстий подбородочного нерва.
Можно производить точные вертикальные измерения. Поскольку поле зрения широкое, может потребоваться внутриротовая рентгенография. Другими словами, следует рассмотреть другой метод радиологии. Впоследствии следует сделать внутриротовую рентгенографию, чтобы визуализировать другие детали, которые могут быть не видны на панорамных рентгеновских снимках.
- Патологические изменения, врожденные состояния или состояния, вызванные другими факторами.
- Кариес.
- Заболевания пульпы.
- Периапикальные патологии.
- Болезни десен.
Изображения только двухмерные, а целевая область почти всегда трехмерная. Он не предоставляет информацию о поперечном угле, другими словами, информацию о плотности костей.
Большинство оборудования имеет направляющие для позиционирования, но иногда пациенты могут быть неправильно расположены.
Это может привести к ошибкам, например, к тому, что структуры языка будут отображаться гораздо выше, чем вестибулярные структуры.
CAT-сканирование, или компьютеризированная аксиальная томография, позволяет получать трехмерные изображения. Он использует обработанные компьютером комбинации множества рентгеновских изображений, сделанных под разными углами верхней челюсти, для получения поперечных и панорамных изображений областей верхней челюсти. Также можно получить изображения поперечного сечения. CAT-сканирование обеспечит изображения высокой четкости, и эти измерения соответствуют реальному размеру.
Преимущества КТ-сканирования КТ-сканирование, компьютерная аксиальная томографияОни обеспечивают однородное увеличение с высокой четкостью и контрастностью изображения.
Эти рентгеновские снимки позволяют лучше идентифицировать структуру костной пластики, используемой при синус-лифтинге.
Напротив, панорамный рентгеновский снимок имеет только двумерные изображения, что затрудняет идентификацию этих структур. Изображения компьютерной аксиальной томографии не имеют искажений и наложений.
Специализированное программное обеспечение позволяет анализировать полученные изображения.
Таким образом можно получить информацию о высоте, ширине, наклоне альвеолярных структур, а также об анатомических и топографических структурах. Есть изображения аномалий верхней и нижней челюсти, а также расположения нижнего зубного нерва, пазухи и других.
Нет необходимости применять поправочный коэффициент, так как аксиальные изображения с шагом 1 мм печатаются в реальном размере вместе со шкалой для их измерения. Пользователь может сразу измерить расстояние между разными изображениями.
Важность компьютерной томографии в имплантологии Существуют различные программы, которые позволяют предварительно моделировать с помощью двумерных или трехмерных изображений процесс установки имплантата.
Это программное обеспечение оптимизирует весь процесс и снижает вероятность ошибок при планировании.
Самым большим недостатком является высокая стоимость оборудования, что также делает обследование довольно дорогостоящим. Доза облучения несколько выше по сравнению с другими методами радиологии. Несмотря на более высокую радиацию и стоимость, этот метод имеет так много преимуществ, что его использование вполне оправдано для имплантационной реабилитации.
Заключение о радиологииПанорамная рентгенография является отличным диагностическим методом и используется для определенных областей, поскольку дает двумерные изображения. Он имеет более низкие дозы радиации, что является большим преимуществом. Это стандартный экзамен для операций по имплантации и планирования случая. Риск облучения минимален, и он позволяет точно определить длину устанавливаемого имплантата.
Внутриротовые рентгеновские снимки используются для дополнения изображений, полученных при панорамных рентгеновских снимках в областях, которые могут вызывать сомнения из-за плохой четкости изображения.
Снимки в разрезе следует делать в особых случаях имплантологии и по требованию стоматолога. Если медицинский работник обнаружит потерю костной массы или ему потребуется дополнительная информация о структуре пазухи, ему/ей потребуется этот метод. Он настоятельно рекомендуется для беззубых людей и в основном используется для сложных хирургических процедур.
Медицинский справочник «ВитаЦентр» – проверено персоналом стоматологической клиники «ВитаЦентр» в августе 2029 г.0001
Ключевые слова: метод оптимальных вспомогательных функций; вязкое течение; частичное скольжение; поверхность растяжения
1 Введение
Изучение вязкого течения в пограничном слое из-за поверхности растяжения очень важно из-за его нескольких технических применений, таких как: выращивание кристаллов, вытягивание эластичных пленок, термообработанные материалы, перемещающиеся между подающим валком и наматываемый рулон или конвейерная лента представляют собой движущуюся непрерывную поверхность.
Существуют ситуации, когда может быть частичное проскальзывание между жидкостью и границей. В последние несколько десятилетий нелинейные задачи широко используются в качестве моделей для описания сложных физических явлений в различных научных областях науки. Течение пограничного слоя на непрерывно растягивающейся поверхности впервые было изучено Сакиадисом [1, 2]. Крейн [3] нашел экспоненциальное решение в замкнутой форме для плоского вязкого течения в случае линейного растяжения. Воробей и др. . В работах [4, 5] исследовался ряд задач обтекания с учетом проскальзывания скорости. В [6] дан алгоритм для подвижных границ и для обтекания вращающегося диска жидкостью. Раджагопал и др. . В [7] получено численное решение для обтекания растягивающейся пластины вязкоупругой жидкостью второго порядка. Ариэль [8] и Андерсон [9] сообщили об аналитических решениях в замкнутой форме для жидкости второго сорта и нелинейных дифференциальных уравнений четвертого порядка, возникающих из-за МГД-течения.
Ван [10] изучал осесимметричные случаи вязкого течения. Мироголбабей и др. . В [11] рассмотрен ряд течений в пограничном слое, вызванных осесимметричным растяжением листа. Нестационарное осесимметричное течение и теплопередача вязкой жидкости рассматриваются Саджидом и др. . [12]. Кроме того, аналитическое решение этих проблем было рассмотрено Саджидом и др. . в [13] Миклав х и х и Ван [14] впервые проанализировали свойства течения к сжимающемуся листу с отсосом. На изучение этих проблем заявили о себе многие другие исследователи [15, 16, 17, 18, 19].].
Обычно в гидромеханике вязких жидкостей с помощью преобразований подобия система дифференциальных уравнений в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Большое внимание исследователей было сосредоточено на получении аналитических решений нелинейных задач. Но, вообще говоря, нелинейные задачи не могут быть решены аналитически традиционными методами.
Для слабо нелинейных задач существует множество методов аппроксимации решений. Наиболее широко применяемый в исследованиях метод возмущений [20], основанный на существовании малых параметров. Другими методами аппроксимации решений нелинейных задач являются модифицированный метод Линдштедта-Пуанкаре [21], метод разложения Адомиана [22], метод разложения по параметру [23], метод оптимального гомотопического возмущения [24, 25, 26], оптимальный гомотопический асимптотический метод [27, 28, 29].
В последнее время для решения различных нелинейных дифференциальных уравнений используется несколько методов, таких как: метод преобразования бегущей волны [30], метод преобразования Коула-Хопфа [31].
Целью настоящей статьи является предложение нового и точного подхода к нелинейному дифференциальному уравнению вязкой жидкости, обусловленной поверхностью растяжения с частичным скольжением, с использованием аналитического метода, а именно метода оптимальных вспомогательных функций. Мотивация нашего подхода состоит в том, чтобы представить новую процедуру, которая является эффективной, явной и очень точной для нелинейных аппроксимаций, быстро сходящихся к точному решению, используя только одну итерацию.
Эта процедура должна обеспечивать строгий способ контроля и настройки сходимости приближенных решений с использованием некоторых параметров управления сходимостью. Предлагаемый метод прост, лаконичен и может быть применен к другим нелинейным задачам. Справедливость нашей процедуры, не предполагающей наличия малого или большого параметра в уравнении или в граничных/начальных условиях, основана на построении и определении вспомогательных функций в сочетании с удобным способом оптимального управления сходимость решений. Эффективность предложенной процедуры доказана, когда точное решение получено явно аналитически итерационным способом всего за одну итерацию. Наша процедура может быть применена к различным инженерным областям, таким как [32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39]., 40]. Справедливость этого метода демонстрируется сравнением полученных результатов с численными решениями.
2 Основные уравнения
Рассмотрим трехмерный поток вязкой жидкости, ограниченный поверхностью растяжения.
Если ( u , v , w ) компоненты скорости в декартовых направлениях ( x , y , z ) соответственно, то неразрывность и стационарность уравнения Навье-Стокса для вязкостных уравнений потока жидкости составляют [7], [10, 13]:
ux+vy+wz=0(1)
uux+vuy+wuz=−pxρ+ν∇2u(2)
uvx+vvy+wvz=−pyρ+ν∇2v(3)
uwx+ vwy+wwz=−pzρ+ν∇2w(4)
, где p — давление, ρ — плотность и ν — кинематическая вязкость. Если a — постоянная растяжения, a > 0, W — скорость всасывания и m — параметр, описывающий тип растяжения, то компоненты скорости на поверхности растяжения равны:
u=ax,v=a(m−1)y,w=−W.(5)
Известно, что для м = 1 имеем случай плоского растяжения, а для м = 2 имеем осесимметричный случай растяжения. Для упрощения определяющих уравнений воспользуемся преобразованием подобия [10]: ,(6)
где штрих означает дифференцирование по η .
уравнение (1) тождественно выполняется и уравнение. (4) становится
p=νρwz−12ρW2+C,(7)
с C константа. Из уравнений (2) и (3) получаем, что:
Φ‴(η)+mΦ(η)Φ″(η)−Φ′(η)2=0, (8)
так как боковой градиент давления отсутствует на бесконечности. Если N обозначает константу скольжения, то на поверхности растягивающейся пластины скорость скольжения считается пропорциональной локальному касательному напряжению [41]:
u−ax=ρνNuz<0,v−a(m −1)y=ρνNvz<0.(9)
Из преобразования подобия (6) получаем
Φ′(0)=1+λΦ″(0),(10)
с λ=ρNaν > 0 безразмерный параметр, указывающий относительную важность частичного проскальзывания. Если λ = 0, проскальзывания нет. При скорости всасывания − Вт на поверхности растяжения имеем граничное условие
Φ(0)=α, (11)
, где
α=Wmaν
— безразмерная константа, определяющая скорость транспирации на поверхности и α < 0, если происходит инжекция с поверхности, α > 0 при всасывании и α = 0 для непроницаемого листа.
Кроме того, поскольку боковой скорости на бесконечности нет, мы имеем условие
Φ′(∞)=0.(12)
3 Основные идеи метода оптимальных вспомогательных функций (8) с начальными/граничными условиями (10), (11) и (12) можно записать в более общем виде как [42, 43]:
L[Φ(η)]+g(η)+ N[Φ(η)]=0, (13)
где L — линейный оператор, g — известная функция и N — заданный нелинейный оператор, η обозначает независимую переменную, а Φ ( η ) неизвестную функцию. Начальные/граничные условия
B(Φ(η),dΦ(η)dη)=0.(14)
Точное решение для сильно нелинейного уравнения (13) и с начальными/граничными условиями (14) часто скудный. Чтобы найти приближенное аналитическое решение уравнений. (13) и (14), предполагаем, что приближенное решение можно записать в виде только с двумя компонентами:
Ф¯(η)=Ф0(η)+Ф1(η,Ci),i=1,2 ,…,s,(15)
откуда следует начальное приближение Φ 0 ( η ) и первое приближение Φ 1 ( η , η , η ) будут определяться как C .
Подставляя уравнение (15) в уравнение. (13), получаем:
L[Φ0(η)]+L[Φ1(η,Ci)]+g(η)+N[Φ0(η)+Φ1(η,Ci)]=0. (16)
Начальное приближение Φ 0 ( η ) может быть определено из линейного уравнения
L[Φ0(η)]+g(η)=0,B(Φ0(η), dΦ0(η)dη)=0(17)
и первое приближение Φ 1 ( η , C i ), из следующего уравнения η,Ci)]=0,B(Φ1(η,Ci),dΦ1(η,Ci)dη)=0.(18)
Теперь нелинейный член из уравнения (18) разлагается в виде [Φ0(η)].(19)
Чтобы избежать трудностей, возникающих при решении нелинейного дифференциального уравнения (18), и ускорить быструю сходимость первого приближения Φ 1 ( η , C i ) и неявное приближенного решения Φ ( η ) вместо последнего члена, возникающего в уравнении (18), мы предлагаем другое выражение, так что нелинейное дифференциальное уравнение (18) может быть записано как линейное дифференциальное уравнение с учетом уравнения (19), в виде: 20)
B(Φ1(η,Ci),dΦ1(η,Ci)dη)=0,(21)
где A 1 и A 2 являются двумя произвольными вспомогательными функциями в зависимости от исходной приближения φ 0 ( η ) и нескольких не известных параметре 0242 ( η ) и нескольких не известных параметров 0242 ( η ) и нескольких неизвестных параметров 0242 ( η ) и нескольких неизвестных параметров 10242 ( η ) и нескольких неизвестных параметров 10242.
, i = 1, 2, …, p , i = p + 1, p + 2, …, s .
Вспомогательные функции А 1 и А 2 (называемые оптимальными вспомогательными функциями) не уникальны и имеют ту же форму, что и Φ 0 ( η ), или форму N [ Φ 0 ( 0 ) 2 ] или комбинации форм Φ 0 ( η ) и N [ Φ 0 ( η )].
Например, если Φ 0 ( η ) или N [ Φ 0 ( η )] contain polynomial functions, then A 1 [ Φ 0 ( η ), C i ] and A 2 [ Φ 0 ( η ), C j ] являются суммами полиномиальных функций. Если Φ 0 ( η ) или N [ Φ 0 ( η )] содержат экспоненциальные функции, то A 0101 A 2 будут суммами экспоненциальных функций.
Если φ 0 ( η ) или n [ φ 0 ( η )] содержит тригонометрические функции, затем A 1 4242424242424242424242424242424242424242424242424242424242424242424242424242424242424242424242н. тригонометрических функций и так далее. Во всех этих суммах коэффициентами полиномиальной, экспоненциальной, тригонометрической и т. д. функций являются параметры C 1 , С 2 , …, С с .
Если в частном случае N [ Φ 0 ( η )] = 0, то ясно, что Φ 0 ( η) является точным решением уравнения 2. (13) и (14). Неизвестные параметры C i и C j могут быть оптимально идентифицированы с помощью различных методов, таких как: метод Галеркина, метод наименьших квадратов, метод коллокации, метод Ритца, метод Канторовича или путем минимизации квадратичная остаточная ошибка, используя:
J(Ci,Cj)=∫abR2(m,λ,α,η)dη,(22)
где
R(m,λ,α,η)=L[Φ¯(η,Ci, Cj)]+g(η)++N[Φ¯(η,Ci,Cj)],i=1,2,…,p,j=p+1,p+2,…,s, (23)
a и b два значения в зависимости от данной проблемы.
Неизвестные параметры C i , C j оптимально определяются из уравнений
∂J∂C1=∂J∂Cp=∂J +1=…=∂J∂Cs=0.(24)
С этими параметрами C i , C j благодаря этому новому подходу приближенное решение (15) хорошо определено.
Наша процедура оказалась мощным инструментом для решения нелинейных задач, не зависящих от малых или больших параметров. Следует подчеркнуть, что наш метод содержит оптимальные вспомогательные функции A 1 и A 2 , что дает нам простой способ настройки и контроля сходимости приближенных решений всего за одну итерацию. Также примечательно, что нелинейная дифференциальная задача преобразуется в две линейные дифференциальные задачи.
4 Применение OAFM к вязкой жидкости, заданной уравнениями. (8), (10), (11) и (12)
Мы вводим основные идеи OAFM, рассматривая уравнение. (8) с начальными / граничными условиями, заданными уравнениями.
(10), (11) и (12). Выберем линейный оператор L по форме [43]: Φ ( η )) = Φ ″′ + К 2 Φ ′ и т. д., где K > 0 — неизвестный параметр.
Экв. (17) принимает вид ( g ( η ) = 0):
Φ0‴(η)+KΦ0″(η)=0, Φ0(0)=α, Φ0′(0)=1+λΦ0″ (0),Φ0′(∞)=0, (26)
с решением
Φ0(η)=α+1−e−KηK(1+λK).(27)
Нелинейный оператор N ( Φ ( η )) получается из уравнений (8) и (25):
N(Φ(η))=−KΦ″(η)+mΦ(η)Φ″(η)−Φ′(η)2.(28)
С помощью уравнения (27) и (28) получаем
N(Φ0(η))=βe−Kη+(m−1)e−2Kη(1+λK)2,(29)
где
β=K(K−mα)(1+λK) −m.(30)
Имея в виду уравнения (20), (25) и (29), первое приближение получается из уравнения: 2Kη,Ci)×βe−Kη+(m−1)e−2Kη(1+2λK)2=0,(31)
с начальными/граничными условиями
Φ1(0)=0,Φ1′(0 )=λΦ1″(0),Φ1′(∞)=0.(32)
У нас есть свобода выбора оптимальных вспомогательных функций A 1 и A 2 в следующих формах:
A1[Φ0(η),Ci]=−(1+λK)2(C1+C2η),(33)
A2[Φ0(η), Cj]=-(C3+C4η)(e-2Kη+K1e-3Kη)-(C5+C6η)(e-3Kη+K2e-4Kη), (34)
или
A1[Φ0(η),Ci ]=0,(35)
A2[Φ0(η),Cj]=−(C1+C2η)e−Kη−(C3+C4η+C5η2)e−2Kη,(36)
или еще
A1 [Φ0(η),Ci]=−(1+λK)2C1,(37)
A2[Φ0(η),Cj]=−(C2+C3η+C4η2)e−2Kη−(C5+C6η+C7η2 )e−3Kη, (38)
и так далее.
Если вспомогательные функции A 1 и A 2 задаются уравнениями. (33) и (34), затем уравнение (20) можно записать в виде: K1C4+C6)η+K1C3+C5]e−3Kη+[K2C6η+K2C5]e−4Kη,(39)
с начальными/граничными условиями, приведенными в уравнении. (32), решение которого: −C34K3−C42K4]e−2Kη−[K1C4+C618K3η+K1C3+C518K3+7(K1C4+C6)108K4]e−3Kη−[K248K3C6η+K248K3C5+5K2288K4C6]e−4Kη, (40)
где
M1=1−m−4β+λK(3−3m−8β)4K3(1+λK)C1−9+4K1+λK(16K1+27)36K3(1+λK)C3+1−m −8β+λK(2−2m−12β)4K4(1+λK)C2−8K1+27+λK(2K1−18)108K4(1+λK)C4−9K2+16+λK(45K2+64)144K3(1 +λK)C5−27K2+112+λK(81K2+208)864K4(1+λK)C6, M2=(2β+m−1)(1+2λK)2K3(1+λK)C1+8β+3m−3 +4λK(m−1+3β)4K4(1+λK)C2+K1+3+3λK(K1+2)6K3(1+λK)C3+27+5K1+9λK(K1+4)36K4(1+λK )C4+2+K2+2λK(3+2K2)12K3(1+λK)C5+20+7K2+4λK(9+4K2)144K4(1+λK)C6.
Если мы рассмотрим м = 1 и β = 0 (случай плоского растяжения непроницаемого листа) в уравнении. (29), то имеем N [ Φ 0 ( η )] = 0 и, следовательно, можем получить точное решение уравнения:
Φ‴+ΦΦ″−Φ′2=0,Φ( 0)=0,Φ′(0)=1+λΦ″(0),Φ′(∞)=0, (41)
, что равно:
Φ(η)=α+1−e−KηK( 1+λK), (42)
, где K получается из уравнения: уравнений (8), (10), (11) и (12) могут быть получены из уравнений.
(15), (27) и (40).
5 Численные примеры
Точность ОАСМ проиллюстрируем сравнением полученных приближенных решений с результатами численного интегрирования, полученными с помощью метода Рунге-Кутты четвертого порядка в сочетании с методом стрельбы. Во всех случаях неизвестные параметры оптимально идентифицируются методом Галеркина. Для этого воспользуемся следующими одиннадцатью весовыми функциями f i из [41]: f3(η)=η2e−Kη, f4(η)=1+γηe−Kη,f5(η)=e−2Kη, f6(η)=e−Kη,f7(η)=ηe−4Kη,f8(η )=e−4Kη, f9(η)=δηe−2Kη+η3e−2Kη,f10(η)=e−Kη+K1e−2Kη+K3ηe−3Kη,f11(η)=ηe−Kη+K2e−3Kη+K4e−4Kη, (44)
, где γ , Δ , K 1 , K 2 , K 3 и K 4 .
The parameters K , K 1 , K 2 , K 3 , K 4 , γ , δ , C 1 , …, C 6 определяются из уравнений (метод Галеркина):
Jj=∫0∞R(m,λ,α,η)fj(η)dη=0, i=1 ,.
..,6,j=1,…,11,(45)
где невязка R ( m , α , λ , η ) определяется уравнением (23):
R(m,λ,α,η)=Φ¯‴(η)+mΦ¯(η)Φ¯″(η)−Φ¯′(η)2(46)
и Φ ( η ) определяется уравнением (15) при начальных/граничных условиях (10)-(12).
В таблице 4 представлены значения Φ ″(0) и Φ (∞) для натяжения потока с всасывающим листом.
Table 4
Values of Φ ′(0) and Φ(∞) in the case of stretching flow with suction sheet m = 2, α = 3
| λ | 1 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|
| Φnumeric″(0) | −0. 8578597370 | −0.1935567447 | 0.0163824516 |
| ΦOAFM″(0) | −0.8578597339 | −0.1935567450 | 0.0163824517 |
| Φ numeric (∞) | 3.0235285642 | 3.005309966 | 3.0027282376 |
| Φ OAFM (∞) | 3.0235359880 | 3,0053592258 | 3,0027282799 |
Из таблиц 1-4 мы пришли к выводу, что существует отличное соответствие между численными результатами и результатами, полученными с помощью OAFM.
С другой стороны, учитывая влияние параметра скольжения на скорость Φ ( η ) в обоих потоках, были отображены рисунки 1-4. На рис. 1 показано изменение Φ для плоского потока и непроницаемой пластины. На рисунке 2 показано изменение Φ для плоского потока и всасывающего листа.
Рисунок 1
Вариант Φ за счет увеличения параметра скольжения λ для плоского течения и непроницаемой пластины0101 м = 1, α = 0): — численное решение; …… Решение OAFM
Рисунок 2
Вариация Φ за счет увеличения параметра скольжения λ для плоского потока и всасывающего слоя ( м = 1, α = 3): — численное решение; …… Решение OAFM
На рис.
3 показано изменение Φ для осесимметричного потока и непроницаемой пластины. На рис. 4 показано изменение Φ для осесимметричного потока и всасывающей пластины. Ясно, что компоненты скорости уменьшаются с увеличением параметра скольжения для всех случаев.
Рисунок 3
Изменение Φ за счет увеличения параметра скольжения λ для осесимметричного течения и непроницаемой пластины ( м = 2, α = 0): — численное решение; …… Решение ОАСМ
Рисунок 4
Вариация Φ за счет увеличения параметра скольжения λ для осесимметричного потока и всасывающего слоя ( м = 2, α = 3): — численное решение; …… Решение OAFM
На рисунках 5-7 плоские случаи для каждого значения параметра скольжения λ , а на рисунках 8-10 показаны случаи растяжения для различных значений λ . Видно, что скорость осесимметричного течения меньше по сравнению с плоским случаем.
Рисунок 5
Изменение Φ путем увеличения коэффициента α для плоского течения ( м = 1, λ = 1): — численное решение; …… Решение OAFM
Рисунок 6
Вариант Φ за счет увеличения коэффициента α для плоского течения ( м = 1, λ = 5): — численное решение; …… Решение ОАСМ
Рисунок 7
Изменение Φ за счет увеличения коэффициента α для плоского течения ( м = 1, λ = 10): — численное решение; …… Решение OAFM
Рисунок 8
Изменение Φ путем увеличения коэффициента α для осесимметричного потока ( м = 2, λ = 1): — численное решение; …… Решение ОАСМ
Рисунок 9
Изменение Φ путем увеличения коэффициента α для осесимметричного течения ( м = 2, λ = 5): — численное решение; …… OAFM решение
Рисунок 10
Изменение Φ путем увеличения коэффициента α для осесимметричного течения ( м = 2, λ = 10): — численное решение; …… Решение OAFM
Наконец, функции невязки, полученные для приближенных аналитических решений, заданных уравнениями.
(47)-(58) представлены на рисунках 11-22.
Рисунок 11
Невязка R (1, 1, 0, η ) для уравнения (47) получено с помощью OAFM
Рис. (48) получено OAFM
Рисунок 13
Невязка R (1, 10, 0, η ) для уравнения. (49) получено OAFM
Рисунок 14
Невязка R (1, 1, 3, η ) для уравнения. (50) получено с помощью OAFM
Рис. (51) получено с помощью OAFM
Рис. (52) получено с помощью OAFM
Рис. (53) получено OAFM
Рисунок 18
Невязка R (2, 5, 0, η ) для уравнения. (54) получено с помощью OAFM
Рис. (55) получено с помощью OAFM
(56) получено с помощью OAFM
Рис. (57) получено OAFM
Рисунок 22
Остаток R (2, 10, 3, η ) для уравнения (58) получено с помощью OAFM
6 Выводы
В этой работе метод оптимальных вспомогательных функций (OAFM) используется для предложения аналитического приближенного решения граничной нелинейной задачи о вязком течении, индуцированном растягивающейся поверхностью с частичным скольжением.
Наша процедура справедлива, даже если нелинейные уравнения движения не содержат ни малых, ни больших параметров. Предлагаемый подход в основном основан на новой конструкции решений и особенно на вспомогательной функции. Эти вспомогательные функции приводят к отличному согласию решений с численными результатами. Этот метод очень эффективен, ясен и точен для нелинейных аппроксимаций, быстро сходящихся к точному решению уже после одной итерации. Кроме того, OAFM предоставляет простой, но строгий способ контроля и настройки сходимости решения с помощью некоторых параметров управления сходимостью. Наша конструкция отличается от других подходов, особенно в отношении линейного оператора L в зависимости от оптимального параметра K и вспомогательной функции управления сходимостью A 1 и A 2 , которые обеспечивают быструю сходимость решений. В частном случае OAFM приводит к выбору точного решения. Численные результаты получены методом стрельбы в сочетании с методом Рунге-Кутты четвертого порядка с использованием программного обеспечения Wolfram Mathematica 9.
0.
Дальнейшие важные вклады в область этой статьи могут быть следующими: OAFM позволяет нам получить очень хорошие результаты для обоих случаев: плоское и осесимметричное течение для любого значения параметра скольжения. Отметим, также влияние коэффициента α в случае непроницаемого или всасывающего листа. Значения Φ ″(0) и Φ (∞) даны для обеих ситуаций течения и находятся в превосходном согласии с численными результатами.
Предлагаемый метод прост, эффективен, лаконичен и может быть применен к другим различным нелинейным задачам.
Конфликт интересов
Конфликт интересов: Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов в отношении публикации данной статьи.
Ссылки
[1] Сакиадис Б.С., Поведение пограничного слоя на сплошных твердых поверхностях. I. Уравнения пограничного слоя для двумерного и осесимметричного течения, AIChE J., 1961, 7, 26–28.10.
1002/aic.6
108Search in Google Scholar
[2] Сакиадис Б.С., Поведение пограничного слоя на сплошных твердых поверхностях. II. Пограничный слой на сплошной плоской поверхности, AIChE J., 1961, 7, 221–225.10.1002/aic.6
211Search in Google Scholar
[3] Crane L. J., Обтекание растягивающейся пластины, Z. Angew Math. физ. (ЗАМП), 1970, 21, 645–647.10.1007/BF01587695Search in Google Scholar
[4] Sparrow E.M., Beavers G.S., Hung L.Y. Обтекание вращающегося диска с пористой поверхностью. J. Heat Mass Trans., 1971, 14, 993–996.10.1016/0017-9310(71)-8Search in Google Scholar
[5] Sparrow E.M., Beavers G.S., Hung L.Y. Течения в каналах и трубах с поверхностной массой перенос и скольжение по скорости, Phys. Fluids, 1971, 14, 1312–1319.10.1063/1.1693607Search in Google Scholar
[6] Акройд Дж. А. Д., Метод серий для решения ламинарных пограничных слоев на движущихся поверхностях, Z. Angew Math. физ. (ЗАМП), 1978, 29, 729–741.10.1007/BF01589285Search in Google Scholar
[7] Раджагопал К.
Р., На Т. Ю., Гупта А. С. Течение вязкоупругой жидкости по растягивающемуся листу // Реол. Acta, 1984, 23(2), 213–215.10.1007/BF01332078Search in Google Scholar
[8] Ариэль П. Д. МГД-течение вязкоупругой жидкости вокруг растягивающейся пластины с отсосом, Acta Mech., 1994, 105, 49– 56.10.1007/BF01183941Search in Google Scholar
[9] Андерсон Х.И. Скользящее течение вязкоупругой жидкости на поверхности растяжения // Acta Mech., 19.92, 95, 227–230.10.1007/BF01170814Search in Google Scholar
[10] Wang C.Y., Анализ вязкого течения из-за растяжения листа с поверхностным скольжением и всасыванием, Nonlinear Anal. Real World Appl., 2009, 10(1), 375–380.10.1016/j.nonrwa.2007.09.013Search in Google Scholar
[11] Mirogolbabei H., Ganji D.D., Etghani M.M., Sobati A., Адаптированная вариационная итерация метод и осесимметричное течение на растягивающемся листе, World Journal of Modeling and Simulation, 2009, 5(4), 307–314. Поиск в Google Scholar
[12] Саджид М.
, Ахмед И., Хаят Т., Аюб М., Решение ряда для нестационарного осесимметричного течения и теплообмена по радиально натянутому листу, Комм. Нелинейная наука. Число. Simul., 2008, 13(10), 2193–2202.10.1016/j.cnsns.2007.06.001Search in Google Scholar
[13] Sajid M., Hayat T., Asghar S., Vajravelu K., Аналитическое решение для осесимметричное обтекание листа нелинейного растяжения // Арх. заявл. мех., 2007, 78(2), 127–134.10.1007/s00419-007-0146-9Поиск в Google Scholar
[14] Миклав , и , М., Ван С.Ю., Вязкое течение из-за усадки листа, Кварт. заявл. Math., 2006, 64, 283–290.10.1090/S0033-569X-06-01002-5Search in Google Scholar
[15] Прасад К.В., Ваджравелу К., Датт П.С. магнитное течение и теплообмен над нелинейно-растяжимым листом, Междунар. Дж. Терм. Sci., 2010, 40, 603–610.10.1016/j.ijthermalsci.2009.08.005Search in Google Scholar
[16] Тюркылмазоглу М. Множественные решения тепломассопереноса МГД-скольжения вязкоупругой жидкости при растяжении лист, внутр.
Дж. Терм. наук, 2011, 50, 2264–2276.10.1016/j.ijthermalsci.2011.05.014Поиск в Google Scholar
[17] Лабропулу Ф., Ли Д., Поп И., Неортогональное критическое течение по поверхности растяжения в неньютоновской жидкости с теплопередачей, Межд. Дж. Терм. Sci., 2010, 49, 1042–1050.10.1016/j.ijthermalsci.2009.12.005Search in Google Scholar
[18] Wang C. Y., Ng C.-O., Скользящее течение из-за растяжения цилиндра, Междунар. J. Non-Linear Mech., 2011, 46, 1191–1194.10.1016/j.ijnonlinmec.2011.05.014Search in Google Scholar
[19] Саджид М., Махмуд К., Аббас З., Осесимметричное критическое течение с общим граничным условием проскальзывания по смазываемой поверхности, Чт. физ. Письма, 2012, 29(2), 307–310.10.1088/0256-307X/29/2/024702Search in Google Scholar
[20] Nayfeh A., Problems in Perturbation, Wiley, New York, 1985.Search in Google Scholar
[21 ] Cheung Y.K., Chen S.H., Lau S.L., Модифицированный метод Линдстедта-Пуанкара é для некоторых сильно нелинейных колебаний, Int.
J. Nonlinear Mech., 1991, 26, 367–378.10.1016/0020-7462(91)
-3Search in Google Scholar
[22] Адомян Г. Обзор метода декомпозиции в прикладной математике // J. Math. . Анальный. Прил., 1998, 135, 501–544.10.1016/0022-247X(88)
-9Search in Google Scholar
[23] Зенгин Ф. О., Кая М. Д., Демирбаг С. А. Применение метода разложения по параметру к нелинейным осцилляторам с разрывами // Межд. J. Нелинейные науки. Число. Simul., 2008, 9, 267–270.10.1515/IJNSNS.2008.9.3.267Search in Google Scholar
[24] Херишану Н., Маринка В., Оптимальный гомотопический метод возмущения для неконсервативной динамической системы вращающейся электрической машины , З. Натурфорш А, 2012, 670, 509–516.10.5560/zna.2012-0047Search in Google Scholar
[25] Маринка В., Херишану Н., Немеш И., Оптимальный гомотопический асимптотический метод с применением к течению в тонкой пленке, Cent. Евро. J. Phys., 2008, 6, 648–653.10.2478/s11534-008-0061-xSearch in Google Scholar
[26] Маринка В.
, Херишану Н., Нелинейные динамические системы в технике – некоторые приближенные подходы, Springer Verlag , Heidelberg, 2011.10.1007/978-3-642-22735-6Search in Google Scholar
[27] Маринка В., Херишану Н., Бота С., Маринка Б., Оптимальный гомотопический асимптотический метод, примененный к стационарному потоку жидкости четвертого сорта через пористую пластину, Appl. Мат. Письмо., 2009 г.22, 245–251.10.1016/j.aml.2008.03.019Search in Google Scholar
[28] Маринка В., Эне Р. Д., Маринка Б. Аналитическое приближенное решение уравнения Фолкнера-Скана // Науч. World J., 2014, 22 страницы, ID статьи 617453.10.1155/2014/617453Поиск в Google Scholar пабмед ПабМед Центральный
[29] Джафари Х., Горбани М., Эбадатталаб Э., Моаллем Р., Балеану Д., Оптимальный гомотопический асимптотический метод – инструмент для решения нечетких дифференциальных уравнений, J. Comput. Сложный. Appl., 2016, 2(4), 112–123. Поиск в Google Scholar
[30] Yang X.
-J., Tenreiro Machado J.A., Baleanu D., Cattani C., О точных решениях бегущей волны для локального дробного уравнения Кортевега-де Фриза, Chaos, 2016, 26, ID статьи 084312.10.1063 /1.4960543Поиск в Google Scholar
пабмед
[31] Ян X.-J., Tenreiro Machado J.A., Hristov J., Нелинейная динамика для локального дробного уравнения Бюргерса, возникающего во фрактальном потоке, Nonlinear Dynam., 2016, 84, 3–7.10.1007/s11071-015 -2085-2Поиск в Google Scholar
[32] Ли С., Карацоглу А., Джентиле К., Совместная фильтрация бандитов, Материалы 39-й Международной конференции ACM SIGIR по исследованиям и разработкам в области информационного поиска, ИТ (SIGIR 2016), Пиза, Тоскана, 2016, 539- 548.10.1145/2
1.28Search in Google Scholar
[33] Korda N., Sz ö rényi B., Li Shuai., Распределенная кластеризация линейных бандитов в одноранговых сетях, Материалы 33-й Международной конференции по машинному обучению (ICML 2016), Дж. Мах. Учиться. Рез., Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США, 2016 г.
, 1301–1309..Поиск в Google Scholar
[34] Кар П., Ли С., Нарасимхан Х., Чавла С., Себастиани Ф., Методы онлайн-оптимизации для задачи количественной оценки, Материалы 22-й Международной конференции ACM SIGKDD по обнаружению знаний и Интеллектуальный анализ данных (SIGKDD 2016), Сан-Франциско, Калифорния, США, 2016 г., 1625-1634.10.1145/2939672.2939832Поиск в Google Scholar
[35] Хао Ф., Пак Д.-С., Ли С., Ли ХваМин, Горное дело λ -Максимальные клики из нечеткого графа Будущие устойчивые вычисления на основе передовых ИТ, Journal of Sustainability, 2016, 8(6), 553-568, 10.3390/su8060553. Поиск в Google Scholar
[36] Ли С., Искусство группировки бандитов, докторская диссертация, Universitá degli Studi delľInsubria, 2016. Поиск в Google Scholar
[37] Хао Ф., Ли С., Мин Г., Ким Х.-К., Яу С. С., Ян Л. Т., Эффективный подход к созданию рекомендаций с учетом местоположения в среде специальных социальных сетей, IEEE Transactions on Services Computing, IEEE Computer Society (TSC 2015), 2015, 99, 520-533, 10.
1109. Поиск в Google Scholar
[38] Джентиле К., Ли С., Заппелла Г., Онлайн-кластеризация бандитов, Материалы 31-й Международной конференции по машинному обучению (ICML 2014), Дж. Мах. Учиться. Res., Beijing, CN, 2014, 757-765. Поиск в Google Scholar
[39] Guo H., Feng Yi, Hao F., Zhong S., Li S., Динамическое нечеткое логическое управление вероятностями генетического алгоритма, Journal of Computers, 2014, 9(1), 22-27, 10.4304/ jcp.9.1.22-27.Search in Google Scholar
[40] Li S., Hao F., Li M., Kim H.-C., Прогнозирование рейтинга медицины и рекомендации в мобильных социальных сетях, Proceedings of the International Конференция по зеленым и всепроникающим вычислениям (9-11 мая, Сеул, Корея), 2013, Vol. 7861, 216-223.10.1007/978-3-642-38027-3_23Поиск в Google Scholar
[41] Маринка В., Херишану Н., Оптимальный гомотопический асимптотический метод, Springer Verlag, Heidelberg, 2015.10.1007/978-3-319-15374-2Search in Google Scholar
[42] Маринка В., Херишану Н.
, Применение оптимального гомотопического асимптотического метода к проблеме Блазиуса, Ро. Дж. Техн. науч. – заявл. Механика, 2015, 60(3), 206–215. Поиск в Google Scholar
[43] Маринка В., Херишану Н., Приближенные аналитические решения уравнения Джерка, Динамические системы: теоретический и экспериментальный анализ, Springer, Proceedings in Mathematics и статистика, 2016, 182, 169–176.10.1007/978-3-319-42408-8_14Поиск в Google Scholar
Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 License.
Оптимальный метод тропосферной томографии с поддержкой вспомогательной зоны
Адейеми, Б. и Йорг, С.: Анализ водяного пара над Нигерией. с использованием радиозондовых и спутниковых данных, J. Appl. метеорол. Клим., 51, 1855–1866, 2012.
Бендер М., Стосиус Р., Зус Ф., Дик Г., Викерт Дж. и Раабе А.:
Томография водяного пара GNSS – ожидаемые улучшения за счет объединения
Наблюдения GPS, ГЛОНАСС и Galileo. Доп. Космических Респ.
, 47,
886–897, 2011а.
Бендер М., Дик Г., Ге М., Денг З., Викерт Дж., Кале Х.Г. и Тецлафф, Г. Разработка системы томографии водяного пара GNSS. используя методы алгебраической реконструкции, Adv. Космические Рез., 47, 1704–1720, 2011б.
Беневидес, П., Каталао, Дж., и Миранда, П.М.: Экспериментальная GNSS кабинет томографии в Лиссабоне (Португалия), Física de la Tierra, 26, 65–79, 2014.
Бевис М., Басингер С., Херринг Т. А., Рокен К., Антес Р. А. и Уэр, Р. Х.: GPS-метеорология: дистанционное зондирование атмосферной воды. пара с использованием глобальной системы позиционирования, J. Geophys. Рез.-Атм., 97, 15787–15801, 1992.
Bi, Y., Mao, J. и Li, C.: Предварительные результаты 4-D водяного пара томография в тропосфере с использованием GPS, доп. Атмос. наук, 23, 551–560, 2006.
Буржо, Л. и Романович, Б.: Томография земной коры и верхней мантии в Тибет с использованием поверхностных волн, Geophys. Рез. Lett., 19, 881–884, 1992.
Брамлет, Р.
: Реконструктивная томография в диагностической радиологии и
Ядерная медицина, клин. Нукл. Med., 3, 245, 1978.
Hudnut, K., Röcken, C., Sleziak, M., Syndergaard, S., Hunt, D., Schreiner, Б., Соколовский С. и Ви Т.-К.: CDAAC: Алгоритмы инвертирования Сигналы радиозатмения в нейтральной атмосфере, проектный офис COSMIC, Университетская корпорация атмосферных исследований, доступна по адресу: http://cosmic-io.cosmic.ucar.edu/cdaac/doc index.html, 2007.
Шампольон К., Массон Ф., Буэн М. Н., Вальперсдорф А., Дерфлингер Э., Бок, О., и Ван Баелен, Дж.: Томография водяного пара GPS: предварительные результаты полевого эксперимента ESCOMPTE, Atmos. рез., 74, 253–274, 2005.
Чен, Б. и Лю, З.: Воксельно-оптимизированный региональный водяной пар томография и сравнение с радиозондовой и численной моделью погоды. J. Geodesy, 88, 691–703, 2014.
Чен, Б. и Лю, З.: Оценка эффективности тропосферной томографии
моделирование с использованием данных о водяном паре из нескольких источников во время сезона дождей в Гонконге.
с мая по октябрь 2013 г., Атмос. Изм. Тех., 9, 5249–5263,
https://doi.org/10.5194/amt-9-5249-2016, 2016.
де Хаан, С., Холлеман, И., и Хольцлаг, А. А.: Вода в режиме реального времени карты паров из наземной сети GPS: построение, проверка и приложений, J. Appl. метеорол. Клим., 48, 1302–1316, 2009.
Дин Н., Чжан С. Б., Ву С. К., Ван С. М. и Чжан К. Ф.: Адаптивная параметризация узлов для динамического определения границ и узлы томографических моделей ГНСС // Журн. Геофиз. рез.-атмосфер., 123, 1990–2003, 2018.
Дуан Дж., Бевис М., Фанг П., Бок Ю., Чизвелл С., Басингер С. и МакКласки, С.: GPS-метеорология: Прямая оценка абсолютных значение осаждаемой воды, J. Appl. Метеорол., 35, 830–838, 1996.
Эмардсон, Т. Р., Йоханссон, Дж., и Элгеред, Г.: Систематическая поведение оценок водяного пара с использованием четырехлетних GPS-наблюдений. IEEE Т. Geosci. Remote, 38, 324–329, 2000.
Флорес А., Руффини Г. и Риус А.: 4D тропосферная томография
с использованием наклонных задержек GPS, Ann.
геофиз., 18, 223–234, 2000.
Гао Дж., Сюэ М., Шапиро А. и Дрогемейер К.К.: Вариант метод анализа трехмерных полей ветра по двум доплеровским радары, пн. Weather Rev., 127, 2128–2142, 1999.
Гендт Г., Дик Г., Рейгбер К., Томассини М., Лю Ю. и Рамачи М.: GPS-мониторинг водяного пара в режиме реального времени для получения числовых данных о погоде предсказание в Германии, J. Meteorol. соц. Jpn, 82, 361–370, 2004.
Хадж, Г. А., Ибанез-Мейер, Р., Курсински, Э. Р., и Романс, Л. Дж.: Изображение ионосферы с помощью Глобальной системы позиционирования, Int. Дж. Имаг. Сист. техн., 5, 174–187, 1994.
Херринг, Т. А., Кинг, Р. В., и МакКласки, С. К.: ссылка на GAMIT руководство, Анализ GPS в Массачусетском технологическом институте, выпуск, 10.4, 36, доступно по адресу: http://www-gpsg.mit.edu/~simon/gtgk/index.htm (последний доступ: 20 сентября 2014 г.), 2010 г.
Хирахара, К.: Локальная тропосферная томография GPS, Earth Planets Space, 52, 935–939, 2000.
Кисслинг Э., Эллсворт В. Л., Эберхарт-Филлипс Д. и Крадольфер У.: Исходные эталонные модели в локальной томографии землетрясений, J. Geophys. Рез.-Эк., 99, 19635–19646, 1994.
Ли, С.В., Коуба, Дж., Шутц, Б., Ким, Д.Х., и Ли, Ю.Дж.: Мониторинг осаждаемого водяного пара в режиме реального времени с использованием глобальной навигации спутниковые системы, J. Geodesy, 87, 923–934, 2013.
Нилль, А. Э., Костер, А. Дж., Солхейм, Ф. С., Мендес, В. Б., Тур, П. К., Лэнгли, Р. Б., и Апхэм, К. А.: Сравнение измерений атмосферная влажная задержка с помощью радиозонда, радиометра водяного пара, GPS и РСДБ, Дж. Атмос. Океан. Техн., 18, 830–850, 2001.
NOAA: данные радиозондов, доступно по адресу: ftp://ftp.ncdc.noaa.gov/, последний доступ: 27 июля. 2018.
Нотарпьетро Р., Кукка М., Габелла М., Венути Г. и Перона Г.:
Томографическая реконструкция полей влажной и полной рефракции по данным GNSS
приемные сети, доп. Космические исследования, 47, 898–912, 2011.
Парк, С.К.: Нелинейность и предсказуемость конвективных осадков. связанные с возмущениями водяного пара в численно смоделированном шторме. Дж. Геофиз. рез.-атмосфер., 104, 31575–31587, 1999.
Раджа, М. Р. В., Гутман, С. И., Йо, Дж. Г., Макмиллин, Л. М., и Чжао, Дж.: Валидация извлечения интегрированной осаждаемой воды с помощью AIRS пара с использованием измерений сети наземных GPS-приемников над сопредельные Соединенные Штаты, J. Atmos. Океан. Тех., 25, 416–428, 2008.
Ран, Б. Ю. и Ге, В. З.: Сравнение метода разложения по сингулярным числам с демпфированием по методу наименьших квадратов // Геофиз. вычисл. техн., 1, 46–49, 1997.
Риус А., Руффини Г. и Кукурулл Л.: Улучшение вертикального разрешения томография ионосферы с GPS-покрытиями // Геофиз. Рез. Летта, 24, 2291–2294, 1997.
Рокен К., Уэр Р., Ван Хов Т., Солхейм Ф., Альбер К., Джонсон Дж. и
Басингер, С.: Обнаружение водяного пара в атмосфере с помощью Global
Система позиционирования, Геофиз.
Рез. Lett., 20, 2631–2634, 1993.
Рокен, К., Хоув, Т.В., Джонсон, Дж., Солхейм, Ф., Уэр, Р., Бевис, М., и Businger, S.: GPS/STORM-GPS зондирование атмосферного водяного пара для метеорология, J. Atmos. Океан. Техн., 12, 468–478, 1995.
Ром, В. и Боси, Дж.: Локальная томографическая модель тропосферы над горная местность, атмос. Рез., 93, 777–783, 2009.
Ром, В. и Боси, Дж.: Проверка тропосферных данных ГНСС. томографическая модель в горной местности, доп. Космических Респ., 47, 1721–1730, 2011.
Ром, В., Чжан, К., и Боси, Дж.: Ограниченное ограничение, надежный Калман фильтрация для GNSS тропосферной томографии, Atmos. Изм. Тех., 7, 1475–1486, https://doi.org/10.5194/amt-7-1475-2014, 2014.
Саастамойнен, Дж.: Атмосферная поправка на тропосферу и стратосфера в спутниках радиолокации, Использование искусственных спутников по геодезии, 15, 247–251, 1972.
Сконе, С. и Хойл, В.: Моделирование тропосферы в региональной GPS
сеть, Дж. Глоб.
Позиция., 4, 230–239, 2005.
Смит Т.Л., Бенджамин С.Г., Гутман С.И. и Сам С.: Влияние на краткосрочные прогнозы ассимиляции наблюдений GPS-IPW в цикл быстрого обновления, пн. Weather Rev., 135, 2914–2930, 2007.
Съемка и Картографическое управление/Землеуправление: наблюдения GNSS и соответствующие метеорологические данные, доступные по адресу: https://www.geodetic.gov.hk/smo/index.htm, последний доступ: 27 июля. 2018.
Троллер М., Гейгер А., Брокманн Э., Беттемс Дж. М., Бюрки Б. и Кале, Х.Г.: Томографическое определение пространственного распределения водяного пара с использованием GPS-наблюдений, Adv. Космических Респ., 37, 2211–2217.3, 2006.
UCAR: Профили COSMIC RO «Wetprf», доступно на: http://www.cosmic.ucar.edu/, последний доступ: 27 июля. 2018.
Ван, Р.: Прогресс в исследованиях нетрадиционных технологий наблюдения. и данные, использованные при изучении ливней в Китае, Adv. метеорол. науч. Технологии, 4, 24–35, 2014.
Е, С., Ся, П.
и Цай, К.: Оптимизация томографии водяного пара GPS
техника с использованием радиозондов и исторических данных COSMIC, Ann. Геофиз., 34,
789–799, https://doi.org/10.5194/angeo-34-789-2016, 2016.
Яо, Ю. и Чжао, К.: Новый оптимизированный подход к воксельному разделению для воды. паровая томография, Метеорол. Атмос. Phys., 129, 1–14, 2016.
Яо, Ю. и Чжао, В.: Максимальное использование GPS-наблюдения за водой Паровая томография, IEEE T. Geosci. Удаленный, 54, 7185–7196, 2017.
Яо, Ю. Б., Чжао, К. З., и Чжан, Б.: Метод улучшения использования Наблюдение GNSS для томографии водяного пара, Ann. геофиз., 34, 143–152, https://doi.org/10.5194/angeo-34-143-2016, 2016.
Чжан К., Мэннинг Т., Ву С., Ром В., Силкок С. и Чой С.: Захват сигнатуры суровых погодных явлений в Австралии с помощью GPS Измерения, IEEE JSTARS, 8, 1839–1847, 2015.
Чжао, К. и Яо, Ю.: Усовершенствованный подход к томографии тропосферы
учитывая сигналы, поступающие с боковой грани томографической площадки,
Анна.