Метод вспомогательных сечений: Методы построения сечений многогранников

Построение сечений многогранников – презентация онлайн

1. Построение сечений многогранников

2. Определение сечения.

• Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость,
по обе стороны от которой имеются точки данного
многогранника.
• Секущая плоскость пересекает грани многогранника по
отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти
отрезки, называется сечением многогранника.
A
Секущая
плоскость
сечение
N
M
α
K
D
B
C

4. Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками.

D
D
M
N
А
M
P
С
L
А
P
С
N
В
В
Построение:
Построение:
1. Отрезок MP
2. Отрезок PN
3. Отрезок MN
MPN – искомое сечение
1. Отрезок MN
2. Луч NP;
луч NP пересекает АС в точке L
3. Отрезок ML
MNL –искомое сечение

5. Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками.

D
Построение:
1. Отрезок NQ
P
2. Отрезок NP
Прямая NP пересекает АС в точке Е
3. Прямая EQ
EQ пересекает BC в точке R
NQRP – искомое сечение
N
С
А
E
R
Q
В

6. Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками.

D
Построение:
1. MN; отрезок МК
2. MN пересекает АВ в точке Х
3. ХР; отрезок SL
MKLS – искомое сечение
M
N
А
S
K
C
P
L
B
X
Аксиоматический метод
Метод следов
Суть метода заключается в построении вспомогательной
прямой, являющейся изображением линии пересечения
секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры .
Удобнее всего строить изображение линии пересечения
секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту
линию называют следом секущей плоскости. Используя
след, легко построить изображения точек секущей
плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях
фигуры .
Призма
Даны три
точки на
боковых
ребрах
Сечение
Плоскость основания
Постройте сечение призмы, проходящее через точки O,F,G
Шаг 1: разрезаем грани KLBA и LMCB
L
• Проводим через точки F и
O прямую FO.
M
F
K
N
• Отрезок FO есть разрез
грани KLBA секущей
плоскостью.
• Аналогичным образом
отрезок FG есть разрез грани
LMCB.
G
B
O
A на гранях?
Почему мы уверены, что сделали разрезы
C
D
Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой,
проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой
плоскости.
Шаг 2: ищем след секущей плоскости на плоскости
основания
L
• Проводим прямую АВ до пересечения с
прямой FO.
• Получим точку H, которая
K
принадлежит и секущей плоскости, и
плоскости основания.
• Аналогичным образом получим
точку R.
• Через точки H и R проводим прямую
HR – след секущей плоскости
M
F
N
G
B
O
A
C
R
D
Почему мы уверены, прямая HR – след
H секущей плоскости на плоскости основания?
Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой,
проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой
плоскости.
Шаг 3:
делаем разрезы на других гранях
L
• Так как прямая HR пересекает
нижнюю грань многогранника, то
получаем точку E на входе и точку S на
выходе.
• Таким образом отрезок ES есть
разрез грани ABCD.
F
N
K
G
• Проводим отрезки ОЕ (разрез грани
KNDA) и GS (разрез грани MNDC).
Почему мы уверены, что все
делаем правильно?
H
M
B
O
A
C
R
S
E
D
Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по
прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой
плоскости.
Шаг 4:
выделяем сечение многогранника
L
Все разрезы
образовали пятиугольник
OFGSE, который и является
сечением призмы
плоскостью, проходящей
через точки O, F, G.
M
F
K
N
G
B
O
C
S
A
E
D

13.

Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N,P.F
M
P
D
А
N
S
C
B
Z
X
XY – след секущей плоскости
на плоскости основания
Y

14. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N,P.

F
XY – след секущей плоскости
на плоскости основания
S
M
P
D
А
N
Y
B
C
X
Z

15. Метод вспомогательных сечений

Этот метод построения сечений многогранников
является в достаточной мере
универсальным. В тех случаях,
когда нужный след (или следы)
секущей плоскости оказывается
за пределами чертежа,
этот метод имеет даже
определенные преимущества.
Вместе с тем следует иметь в
виду, что построения, выполняемые
при использовании
этого метода, зачастую получаются
«искусственное». Тем не менее в некоторых случаях
метод вспомогательных сечений оказывается
наиболее рациональным.

16. На ребре BM пирамиды MABCD зададим точку Р.

Построим сечение пирамиды плоскостью PQR, точку R которой зададим на грани АMD,а Q на грани DMC.1. Находим точки Р’, Q’ и R’ и затем строим
вспомогательное сечение пирамиды
плоскостью, определяемой какими-нибудь
двумя пересекающимися прямыми из трех
прямых MP, MQ и МR.
Например, плоскостью МРQ.
М
P
R
Q
B(P’)
2. Построим другое вспомогательное
сечение пирамиды плоскостью
A
D
определяемой двумя пересекающимися
R’
прямыми, одна из которых — это
прямая MR, а другая прямая — та, на которой мы хотим найти след
плоскости PQR. Например, прямая МС.
Q’

17. 3. Находим точку F, в которой пересекаются прямые Р’Q’ и R’С, а затем строим прямую MF — линию пересечения плоскостей.

4. В плоскости MPQ’ проводим прямую PQ и находим
точку F’=PQ пересекается MF.
М
5. Так как точка F’ лежит на
P
прямой PQ, то она лежит
в плоскости PQR. Тогда и
прямая RF, лежит
R
в плоскости PQR.
B(P’)
Проводим прямую RF’,
и находим точку С’=RF’ пересекается
МС. Точка С’, таким образом,
лежит и на прямой МС, и в плоскости
А
R’
PQR, т. е. она является следом плоскости
PQR на прямой МС (в данном случае и на ребре МС).
C’
Q
F’
C
Q’
F
D
6. Дальнейшие построения вполне
понятны: строим C’Q, D’, D’R, А’, А’Р,
РС’. Четырехугольник РС’D’А’ —
искомое сечение
М
P
C’
Q
R
D’
Q’
F
А
R’
R’
D

19. Комбинированный метод

Суть комбинированного метода построения
сечений многогранников состоит в
применении теорем о параллельности
прямых и плоскостей в пространстве в
сочетании с
аксиоматическим методом.

20. Постройте сечение куба, проходящее через точки P, R, Q.

1. Точки P и R лежат в одной плоскости,
проведём прямую PR.
P
2. Прямая PR лежит в плоскости
A’
AA’B’B, точка Q лежит в плоскости
DD’C’C, параллельной AA’B’B.
3. Проведём через точку Q прямую
параллельную прямой PR,
получим точку K
Почему мы уверены, что все делаем
правильно?
R
B’
C’
D’
Q
C
B
D
A
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая
принадлежит этой плоскости.
Теорема
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то
прямые пересечения параллельны
K
4. Найдём точку пересечения прямых PR и AB, получим точку L.
5. Прямая LK в плоскости ABCD оставляет след FK
6. Точки R и F лежат в одной плоскости AA’D’D, проведём прямую RF.
7. Прямая RF лежит в плоскости АA’D’D, точка Q в плоскости
BB’C’C,параллельной плоскости AA’D’D.
B’
M
8. Проведём прямую параллельную
P
прямой RF, через точку Q, получим
точку M.
A’
Почему мы уверены, что все делаем
правильно?
Аксиома Если две различные плоскости
имеют общую точку, то они пересекаются
по прямой, проходящей через эту точку.
R
Теорема Если две точки прямой
принадлежат плоскости, то вся прямая
принадлежит этой плоскости.
C’
D’
Q
C
B
K
A
L
D
F
Теорема
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения
параллельны
9. Проведем PM.
B’
M
C’
P
10. Полученный
шестиугольник является
искомым сечением
A’
R
D’
Q
C
B
K
A
D
F

Проект по геометрии Построение сечения многогранников методом следов

Слайд 1

Построении сечений многогранников методом следов МБОУ СОШ с.Донское Задонского района Липецкой области Проектная работа по геометрии Учащийся: Горбунов Александр Класс: 10 А Руководитель проекта: Васильева Т.А. учитель математики С. Донское 2016г .

Слайд 2

Выбор темы проекта

Слайд 3

Метод разбиения n- угольной призмы(пирамиды) на треугольные призмы (пирамиды) Метод переноса секущей плоскости Метод следов Метод вспомогательных плоскостей Метод дополнения n- угольной призмы(пирамиды) до треугольной призмы(пирамиды) Методы построения сечений:

Слайд 4

Центральное проецирование Построение центральной проекции точки А на плоскость α 1) Через заданные точки S и A провести луч SA; 2) Центральной проекцией точки А будет точка пересечения проецирующего луча SA с плоскостью α . SA = α A 1

Слайд 5

Центральное проецирование 3) Так как прямая AB и ее проекция A 1 B 1 лежат в одной плоскости ,образованной пересекающимися прямыми SA и SB, то точка их пересечения M и есть искомая. Точка М это след прямой AB на плоскости α . Построение следа прямой AB на плоскость α . 1) Построить центральную проекцию прямой А В на плоскость α ; 2)Построить точку пересечения прямой А В и центральной проекции прямой- A 1 B 1 –точку М.

Слайд 6

Параллельное проецирование Так как прямая AB и ее проекция A 1 B 1 лежат в одной плоскости, образованной параллельными прямыми AA 1 и BB 1 , то точка их пересечения M и есть искомая . Точка М это след прямой AB на плоскости α . Построение следа прямой AB на плоскости α . Строим проекции данных точек А, В на плоскость α – точки A 1, B 1 . Строим проекцию прямой AB на плоскость- прямую A 1 B 1 .

Слайд 7

Алгоритм построения сечения многогранника по методу следов

Слайд 8

Пример1. Построение сечение куба плоскостью, проходящей через точки P , M , T В кубе ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 с ребром, равным 8 см, точки P , M , T середины ребер A 1 B 1 ,С 1 С, AD . Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки P , M , T . A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 P M T

Слайд 9

Пример1. Решение 1)Точки S,T,C- соответственно проекции точек P,T,M на плоскость ABC.

Слайд 10

Пример1. Решение. 3) Прямая К T -след секущей плоскости на плоскости ABC. KT ∩ AB = F K E F KT ∩ DC = E . 2) Строю точку пересечения прямой PM и ее проекции SC – точку К.

Слайд 11

Пример1. Решение. K E F 4) AA 1 ∩ FP=H H 5) BB 1 ∩ FP = O . O 6 ) OM ∩ B 1 C 1 = R . R THPRME -искомое сечение

Слайд 12

Даны точки M и N, лежащие на боковых гранях ASD , DSC четырехугольной пирамиды соответственно, и точка P – на ее боковом ребре SB . Построить сечение пирамиды плоскостью MNP . Пример2. Построение сечения пирамиды плоскостью M N P

Слайд 13

Пример 2. Решение. Построение сечения пирамиды плоскостью MNP Выбираю метод проецирования- центральное . S – центр проецирования. Плоскость основания ABC- основная плоскость. Строю центральные проекции точек M, N, P на плоскость основания ABC- это точки M 0 , N 0 , B. Строю точки пересечения прямых MN и MP и их центральных проекций M 0 N 0 и M 0 B – это точки K 1 и K 2 . Точки K 1 и K 2 – следы прямых MN и MP на плоскости основания пирамиды. N 0

Слайд 14

Пример 2. Построение сечения пирамиды плоскостью MNP Прямая K 1 K 2 – след секущей плоскости на плоскости основания . Прямая K 1 K 2 пересекает ребра DC и BC в точках N 1 и N 2 соответственно . Точки P и N 2 лежат в плоскости грани SBC , PN 2 -след секущей плоскости в плоскости грани SBC. Точки N 1 и N лежат в плоскости грани SDC , SD ∩ N N 1 = M 1 , Точки M 1 и M лежат в плоскости грани SAD, SA ∩ M M 1 = P 1 M 1 N 1 N 2 PP 1 – искомое сечение.

Слайд 15

Пример 3. Задача (МИОО диагностическая работа от 18.12.2015) Все ребра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9.Основание О высоты SO этой пирамиды является серединой SS 1 , M -середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD =7:2. А) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S 1 LM –равнобокая трапеция. Б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Слайд 16

Пример 3 . Решение 1)Строю C 1 D 1 B 1 || CDB , и S 1 ⋲ C 1 D 1 B 1 ,

Слайд 17

Пример 3. Решение 2) Строю проекции точек L , M , S 1 это L 1 , B 1 , S 1 . LM ∩ L 1 B 1 = S 2 .

Слайд 18

Пример 3. Решение 3) S 1 S 2 – след секущей плоскости α , проходящей через точки L , M , S 1 .

Слайд 19

Пример 3. Решение 4)Строю сечение α S 1 S 2 ∩D 1 C 1 =P 1 S 1 S 2 ∩B 1 C 1 =P 2 P 1 L ∩ D 1 S = T , P 2 M ∩BC =K α ∩ D 1 S C 1 = T P 1 α ∩ B 1 C 1 S = P 2 M α ∩ D 1 B 1 S = T M α ∩ C 1 D 1 B 1 по P 1 P 2 Сечение P 1 T M P 2 есть сечение α . Сечение α пересекает DBC по LK . Четырехугольник TMKL -искомое сечение.

Слайд 20

Буклет

Слайд 21

Работая над проектом, мне удалось: Хорошо разобраться в методе следов, применяемом для построения сечений многогранников. Создать краткое руководство для подготовки к ЕГЭ -буклет, Изготовить учебные пособия – плакат и презентацию. Создать алгоритм построения сечений многогранников методом следов. Заключение

Вспомогательных видов — базовое чтение чертежей

• ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА ВИД СПЕРЕДИ
• ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА, ВИД СВЕРХУ
• ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА, ВИД СБОКУ
• ЭСКИЗ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ВИДОВ

Когда объект имеет наклонную или наклонную поверхность, обычно невозможно отобразить наклонную поверхность на ортогональном чертеже без искажения. Для представления более точного описания любой наклонной поверхности обычно требуется дополнительный вид, известный как вспомогательный вид.

Вспомогательный вид — это просто «вспомогательный» вид, который показывает наклонную часть объекта такой, какая она есть на самом деле. Получается или проецируется. объекта так, чтобы истинный размер и форма поверхности (или поверхностей) были видны такими, какие они есть на самом деле.

Вспомогательные виды обычно встречаются на многих типах промышленных чертежей.

Вспомогательные виды спереди

Существует три основных типа вспомогательных видов.

В первом типе вспомогательный вид проецируется из вида спереди трехмерного (орфографического) чертежа. На чертежах второго и третьего типов вспомогательные виды проецируются из видов сверху и сбоку.

Вот вспомогательный вид спереди простого объекта с наклонной поверхностью.

 

 

Обратите внимание, что линии проекции перпендикулярны наклонной поверхности первого вида, а на вспомогательном виде показана только наклонная поверхность объекта. · Остальная часть объекта опущена, однако для пояснения иногда показываются части прилегающих · поверхностей. Кроме того, обратите внимание, что наклонные поверхности видов сверху и сбоку укорочены из-за искажения, тогда как поверхность вспомогательного вида имеет истинный размер или реальный размер.

Чтобы нарисовать вспомогательный вид, вы начинаете с ортогонального. виды объекта и добавить линии проекций перпендикулярно (90 ^◦ ) к наклонной поверхности, добавив опорную линию на любом удобном расстоянии от вида с наклонной поверхностью.

 

 

Далее расстояние CB на вспомогательном виде делается такой же длины, что и соответствующее расстояние на одном из орфографических видов; в данном примере это вид сбоку. На этом вспомогательный вид закончен.

 

Вспомогательные элементы вида сверху

Вспомогательные элементы вида сверху разрабатываются так же, как вспомогательные элементы вида спереди, за исключением того, что вспомогательные элементы проецируются из вида сверху.

Должен ли вспомогательный вид проецироваться спереди, сверху или сбоку, зависит от положения объекта или от того, какая поверхность объекта наклонена. В этом примере вид сверху наклонен. Поэтому вспомогательный вид должен быть проецирован из вида сверху.

Опять же, обратите внимание, что наклонные поверхности, показанные на видах спереди и сбоку, не показаны в истинной длине.

 

Вспомогательный вид сбоку

Вспомогательный вид сбоку рисуется так же, как вспомогательный вид спереди и сверху. Опять же, то, куда должен проецироваться вспомогательный вид, зависит от положения объекта или от того, какая поверхность объекта наклонена.

 

Очевидно, что это очень простые примеры вспомогательных представлений, которые представлены, чтобы познакомить вас с концепцией вспомогательных представлений.

По мере того, как объекты с наклонными поверхностями становятся все более сложными, вспомогательные виды позволяют отображать объекты в их истинном размере и форме.

Эскиз вспомогательных видов

Следующие задачи требуют завершения вспомогательного вида. Начертите необходимые вспомогательные виды в предоставленных местах.

 

Практика рисования 1

Практика рисования 2

В этой задаче круглое отверстие центрируется на наклонной поверхности и просверливается в объекте. Отверстие кажется эллиптическим в. вид спереди и сбоку из-за искажения. Он появится в своем истинном виде на вспомогательном виде.

Помните, что вспомогательная разрабатывается из вида с наклонной поверхностью. Завершите вспомогательный вид.

 

Практика рисования 3

В этой задаче квадратное отверстие частично вырезано в объекте. Завершите вспомогательный вид.

 

Викторина

Указания: Заполните вспомогательный вид в отведенном месте.

 

МКА | Бесплатный полнотекстовый | Модифицированный метод вспомогательных уравнений в сравнении с тремя нелинейными дробными биологическими моделями в современных явных волновых решениях

1. Введение

С момента появления человечества люди проявляли большой интерес к пониманию природных явлений, начиная с огня, молнии, грома, землетрясений и вулканы, вплоть до наночастиц. В начале 18 века интерес к изучению этих явлений проявляли многие ученые. Развитие этих исследований продолжалось до середины XIX в.век. Уравнения в частных производных (УЧП) стали важным инструментом для изучения других областей науки, и многие явления были объяснены с помощью УЧП. Многие методы решения PDE были разработаны учеными и исследователями в их усилиях по объяснению этих явлений. Для получения точных и приближенных решений этих моделей разработано множество методов. Наиболее важные результаты по нахождению явных решений нелинейных уравнений в частных производных (НУУДУ) были получены в [1]. Эти типы методов наиболее известны как группы непрерывного преобразования симметрии [2,3,4,5,6]. В настоящее время мы используем компьютерное программное обеспечение (например, Maple, Mathematica) для выполнения такого преобразования. С 20 века исследование уравнения в частных производных стало самостоятельной областью. Уравнения в частных производных применялись для изучения многих явлений в различных областях, таких как звук, тепло, электростатика, электродинамика, гидродинамика, упругость, квантовая механика, физика твердого тела, гидромеханика, гидродинамика, оптика, физика плазмы, химическая кинетика. , биологические явления и многое другое. Известно, что существуют различные методы аналитического решения NPDE [7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21]. Однако в общем случае центральной теории NPDE не существует. Не существует единого метода, применимого ко всем типам нелинейных УЧП. По этим причинам мы должны открывать новые методы решения таких моделей и не можем просто модифицировать методы, открытые более 100 лет назад. В последнее время дробно-нелинейные уравнения в частных производных играют важную роль в представлении многих явлений. Полудифференциальные уравнения с дробным правилом становятся все более хроническими из-за модельных проблем между потоком жидкости, платой и грязными областями над приложением. Дробные производные дают изящное оружие для рассказа о преданности или родовых домах в отношении различных веществ и процессов. Производные и интегралы половинного порядка оказываются более полезными для метода, касающегося некоторых электрохимических проблем, чем первоклассные модели. Операторы дробного дифференцирования и интегрирования также используются для расширений уравнений проникновения, а затем уравнений подвески. Многие исследователи пытались в соответствии с этим выяснить дополнительные свойства, ожидавшие такой формы производных. Они частично узнали о методах преобразования нелинейных дробных полудифференциальных уравнений среди повседневных дифференциальных уравнений и целочисленного порядка. Для получения более важных сведений об этих типах производных мы отсылаем читателя к ссылкам [22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29].]. В этой статье мы используем конформные производные свойства и применяем их к трем нелинейным биологическим моделям. Эти модели представляют собой дробную модель биологической популяции [30, 31, 32, 33, 34], дробное уравнение равной ширины [35, 36, 37, 38] и дробное модифицированное уравнение равной ширины [39, 40, 41, 42]. ], соответственно.

Остальная часть этой исследовательской работы организована следующим образом: В разделе 2 мы даем заголовки модифицированного метода вспомогательных уравнений. В разделе 3 мы используем новое вычисление для получения одиночных решений дробной модели биологической популяции, дробного уравнения равной ширины и дробно-модифицированного уравнения равной ширины. В разделе 4 мы изучаем полученные решения и их новизну с помощью предыдущего метода. В разделе 5 мы представляем заключение этого исследования.

2. Основные этапы новой методики

Рассмотрим нелинейное уравнение в частных производных (NLPDE) следующего вида:

где F — полином от u(x,t) и его частных производных, в котором участвуют производные высшего порядка и нелинейные члены. Далее мы приводим шаги этого метода:

Шаг 1. Используя преобразование волны:

Используя это преобразование в (1), мы преобразуем нелинейное уравнение в частных производных в обыкновенное дифференциальное уравнение следующего вида :

Шаг 2. Предположим, что решения ОДУ (2) имеют следующий вид:

где (ai,a) — произвольные константы, которые будут определены позже, а f(θ) удовлетворяет следующему ОДУ:

Шаг 3. Определите натуральное число N в уравнении (3), уравновешивая старшие производные и нелинейные члены.

Шаг 4. Подставляя уравнения (3) и (4) в уравнение (2) и собирая все члены одной степени (Kif(θ)), где (i=−N,⋯,N), и приравнивая их равным нулю, мы получаем систему алгебраических уравнений, которую можно решить с помощью Maple или Mathematica, чтобы получить значения ai, bi и (α,β,σ).

Шаг 5. Подставив эти значения и решения уравнения (4) в уравнение (3), мы получим точные решения уравнения (1).

3. Приложения

В этой части мы применяем новый вычислительный метод к двум дробным моделям.

• Дробная модель биологической популяции:

  Эта модель описывает динамику популяции. Он также дает простой пример того, как работают сложные взаимодействия и процессы. Модель имеет следующий вид:

  где u олицетворяет плотность населения, а λ(u2−s) представляет изменения численности населения из-за смертей и рождений.

• Дробное уравнение равной ширины:

  Эта модель обычно используется для описания сложных физических явлений в различных областях и имеет следующую формулу:

  где [h,r] — произвольные константы.

• Дробное модифицированное уравнение равной ширины:

  Эта модель относится к реплике распространения одномерной волны в нелинейной форме с дисперсионными процессами и имеет следующую формулу:

  где [h,r] — произвольные константы.

Применение определения согласной производной и его свойств к уравнениям (5) и (7) в соответствующем порядке [u(x,y,t)=u(θ)&θ=µxκκ+iµyκκ+ctκκ] и [u( x,t)=u(θ)&θ=xκκ+ctκκ], мы преобразуем дробное УЧП в ОДУ целого порядка в следующем порядке:

Мы уравновесили члены в уравнениях (8)–(10), чтобы получить баланс значение каждого из них, получая значение баланса, равное единице во всех них. Согласно новому методу общее решение уравнений (8) и (10) имеет следующий вид:

а общее решение уравнения (9) имеет следующий вид:

3.1. Модель дробной биологической популяции

Подставьте уравнение (11) и его производные в уравнение (8). Соберите все коэффициенты одних и тех же членов для Kf(θ). Приравняв их нулю, получим систему алгебраических уравнений. Решая эту систему с помощью любой компьютерной программы (например, Maple, Mathematica), получаем:

Следовательно, уединенные волновые решения плотности населения имеют следующие формулы: При β2−4ασ<0 и σ≠0 получаем:

При β2−4ασ>0 и σ≠0 получаем:

При β2+4α2<0 и α=−σ где (σ≠0) получаем:

При β2+4α2>0 и α= −σ, где (σ≠0), получаем:

При β2−4α2<0 и α=σ, где (α≠0), получаем:

При β2−4α2>0 и α=σ, где (α≠ 0) получаем:

При ασ>0, где (α≠0,&β=0), получаем:

При ασ<0, где (α≠0,&β=0), получаем:

При β =0 и α=−σ, получаем:

При β=κ,α=2κ и σ=0 получаем:

При β=0 и α=σ получаем:

При σ=0 получаем:

3.

2. Дробная модель равной ширины

Подставьте уравнение (12) и его производные в уравнение (9). Соберите все коэффициенты одних и тех же членов для Kf(θ). Приравняв их нулю, получим систему алгебраических уравнений. Решая эту систему с помощью любой компьютерной программы (например, Maple, Mathematica), получаем:

Следовательно, уединенные волновые решения плотности населения имеют следующие формулы: При β2−4ασ<0 и σ≠0 получаем:

При β2−4ασ>0 и σ≠0 получаем:

При β2+4α2<0 и α=−σ где (σ≠0) получаем:

При β2+4α2>0 и α= −σ, где (σ≠0), получаем:

При β2−4α2<0 и α=σ, где (α≠0), получаем:

При β2−4α2>0 и α=σ, где (α≠ 0) получаем:

При ασ>0, где (α≠0,&β=0), получаем:

При ασ<0, где (α≠0,&β=0), получаем:

При β =0 и α=−σ, получаем:

При β=κ,α=2κ и σ=0 получаем:

При β=0 и α=σ получаем:

При σ=0 получаем:

3.

3. Дробное модифицированное уравнение равной ширины

Подставьте уравнение (11) и его производные в уравнение (10). Соберите все коэффициенты одних и тех же членов для Kf(θ). Приравняв их нулю, получим систему алгебраических уравнений. Решая эту систему с помощью любой компьютерной программы (например, Maple, Mathematica), получаем:

Следовательно, уединенные волновые решения плотности населения имеют следующие формулы: При β2−4ασ<0 и σ≠0 получаем:

При β2−4ασ>0 и σ≠0 получаем:

При β2+4α2<0 и α=−σ где (σ≠0) получаем:

При β2+4α2>0 и α= −σ, где (σ≠0), получаем:

При β2−4α2<0 и α=σ, где (α≠0), получаем:

При β2−4α2>0 и α=σ, где (α≠ 0) получаем:

При ασ>0, где (α≠0,&β=0), получаем:

При ασ<0, где (α≠0,&β=0), получаем:

При β =0 и α=−σ, получаем:

При β=σ=κ и α=0 получаем:

При α=0 получаем:

При β=0 и α=σ получаем:

4.

Результаты и обсуждение

Мы рассмотрели модифицированный метод вспомогательных уравнений на трех фундаментальных моделях биологической науки. Два подхода к сравнению наших решений и результатов мы обсуждали в [43]. Первый вид — это численное сравнение, которое зависит от количества решений для каждой статьи. Мы получили много решений для каждой модели, но Гунер и Бекир нашли лишь несколько для каждой из этих моделей. Второй вид сравнения – новизна решений. Мы получили много решений, охватывающих все решения, полученные в [43], а также другие решения, отличные от решений, полученных в упомянутой статье. Новизна данной статьи заключается в развитии этих моделей. Гунер и Бекир использовали модифицированную производную Римана – Лиувилля, имитируя замену нелинейных дробных дифференциальных уравнений в частных производных (NFPDE) среди целочисленного правила над нормальными дифференциальными уравнениями (IOODE). Многие работы подтвердили ошибку в этом виде производной.

5.

Выводы

В этой статье мы применили хорошо зарекомендовавшие себя свойства согласных производных к трем основным моделям биологической науки. Мы также внедрили новый метод (модифицированный метод вспомогательных уравнений или модифицированный метод Хатера). Мы использовали этот метод для преобразования обыкновенных уравнений каждой модели таким образом, чтобы эти модели были дробно-нелинейными уравнениями в частных производных. Мы получили много новых решений для каждой модели. Эти решения дают более подробную информацию и объяснения этих моделей. Мы построили уединенную волну, бистабильную волну и контурные графики для некоторых из полученных нами решений на Рисунке 1, Рисунке 2 и Рисунке 3, чтобы дать больше пояснений об этих решениях. Точность всех полученных решений была проверена путем подстановки их в исходные уравнения с помощью Mathematica 9..

Вклад авторов

М.М.А.К., Р.А.М.А. и Д.Л. участвовал в разработке и реализации исследования, в анализе результатов и в написании рукописи.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Ссылки

1. Mei, F.X. Симметрии Ли и сохраняющиеся количества механических систем со связями. Акта Мех. 2000 , 141, 135–148. [Академия Google] [CrossRef]
2. Березинский В.Л. Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах, имеющих непрерывную группу симметрии I. Классические системы. сов. физ. ЖЭТФ 1971 , 32, 493–500. [Google Scholar]
3. Вегнер, Ф. Краевая проблема подвижности: непрерывная симметрия и гипотеза. З. Физ. Б Конденс. Материя 1979 , 35, 207–210. [Google Scholar] [CrossRef]
4. Ибрагимов Н.К.; Ибрагимов, Н.К. Элементарный групповой анализ Ли и обыкновенные дифференциальные уравнения; Wiley: Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США, 19 лет.99. [Google Scholar]
5. Дородницын В.А. Конечно-разностные модели, полностью наследующие непрерывную симметрию исходных дифференциальных уравнений. Междунар. Дж. Мод. физ. С 1994 , 5, 723–734. [Google Scholar] [CrossRef]
6. Кегелес, А.; Орити, Д. Непрерывные точечные симметрии в групповых теориях поля. Дж. Физ. Математика. Теор. 2017 , 50, 125402. [Google Scholar] [CrossRef]
7. Lee, S.T.; Брокенбро, Дж. Р. Новое приближенное аналитическое решение для вертикальных трещин с конечной проводимостью. Форма СПЕ. оценка 1986 , 1, 75–88. [Google Scholar] [CrossRef]
8. Комри А.Л. Факторно-аналитические методы масштабного развития в личностной и клинической психологии. Дж. Консалт. клин. Психол. 1988 , 56, 754. [Google Scholar] [CrossRef] [PubMed]
9. Chen, CJ; Чен, Х.К. Конечно-аналитический численный метод для нестационарных двумерных уравнений Навье-Стокса. Дж. Вычисл. физ. 1984 , 53, 209–226. [Google Scholar] [CrossRef]
10. Khater, M.M.A.; Лу, Д.; Захран, Э.Х.М. Уединенные волновые решения уравнения Бенджамина-Бона-Махони-Бюргерса с двойной степенной нелинейностью. заявл. Мат. Инф. науч. 2017 , 11, 1–5. [Google Scholar] [CrossRef]
11. Ляо, С.Дж. Об аналитическом решении магнитогидродинамических течений неньютоновских жидкостей на растягивающемся листе. Дж. Жидкостная механика. 2003 , 488, 189–212. [Google Scholar] [CrossRef]
12. Аларт П.; Курнье, А. Смешанная формулировка для задач фрикционного контакта, склонная к ньютоновским методам решения. вычисл. Методы Прил. мех. англ. 1991 , 92, 353–375. [Google Scholar] [CrossRef]
13. Wertheim, M.S. Аналитическое решение уравнения Перкуса-Йевика. Дж. Матем. физ. 1964 , 5, 643–651. [Google Scholar] [CrossRef]
14. Ляо, С.Дж. Равномерно верное аналитическое решение двумерного вязкого течения на полубесконечной плоской пластине. Дж. Жидкостная механика. 1999 , 385, 101–128. [Google Scholar] [CrossRef]
15. Лю, М.З.; Ли, Д. Свойства аналитического решения и численное решение уравнения мультипантографа. заявл. Мат. вычисл. 2004 , 155, 853–871. [Google Scholar] [CrossRef]
16. Khater, M.M.; Кумар, Д. Новые точные решения уравнения Буссинеска-Бюргера с дробной связью по времени и приближенное уравнение длинной волны на мелководье. Дж. Оушен Инж. науч. 2017 , 2, 223–228. [Google Scholar] [CrossRef]
17. Моралес-Дельгадо, В.Ф.; Гомес-Агилар, Х.Ф.; Йепес-Мартинес, Х .; Балеану, Д.; Эскобар-Хименес, РФ; Оливарес-Перегрино, В. Х. Метод гомотопического анализа Лапласа для решения линейных уравнений в частных производных с использованием дробной производной с сингулярным ядром и без него. Доп. Отличаться. Экв. 2016 , 2016, 164. [Google Scholar] [CrossRef]
18. Гомес-Агилар, Дж. Ф.; Йепес-Мартинес, Х .; Торрес-Хименес, Дж.; Кордова-Фрага, Т.; Эскобар-Хименес, РФ; Оливарес-Перегрино, В. Х. Метод преобразования гомотопических возмущений для нелинейных дифференциальных уравнений, включающих дробный оператор с экспоненциальным ядром. Доп. Отличаться. Экв. 2017 , 2017, 68. [Google Scholar] [CrossRef]
19. Йепес-Мартинес, Х.; Гомес-Агилар, Х.Ф.; Соса, И.О.; Рейес, Дж. М.; Торрес-Хименес, Дж. Первый интегральный метод Фенга, примененный к нелинейному уравнению в частных производных с дробным дробным пространством-временем mKdV. Преподобный Мекс. Фис. 2016 , 62, 310–316. [Google Scholar]
20. Гомес-Агилар, Дж. Ф.; Атангана, А. Новый взгляд на дробное дифференцирование: мощность, экспоненциальное затухание, законы и приложения Миттаг-Леффлера. Евро. физ. Дж. Плюс 2017 , 132, 13. [Google Scholar] [CrossRef]
21. Йепес-Мартинес, Х.; Гомес-Агилар, Х.Ф.; Атангана, А. Первый интегральный метод для нелинейных дифференциальных уравнений с согласной производной. Мат. Модель. Нац. Феном. 2018 , 13, 14. [Google Scholar] [CrossRef]
22. Hammad, MA; Халил, Р. Формула Абеля и вронскиан для согласных дробных дифференциальных уравнений. Междунар. Дж. Дифференц. Экв. заявл. 2014 , 13. [Google Scholar] [CrossRef]
23. Халил, Р .; Аль Хорани, М.; Юсеф, А .; Sababheh, M. Новое определение дробной производной. Дж. Вычисл. заявл. Мат. 2014 , 264, 65–70. [Google Scholar] [CrossRef]
24. Абдельджавад, Т. Об исчислении согласных дробей. Дж. Вычисл. заявл. Мат. 2015 , 279, 57–66. [Google Scholar] [CrossRef]
25. Chung, W.S. Дробная механика Ньютона с согласной дробной производной. Дж. Вычисл. заявл. Мат. 2015 , 290, 150–158. [Академия Google] [CrossRef]
26. Атангана, А.; Балеану, Д.; Alsaedi, A. Новые свойства согласной производной. Открытая математика. 2015 , 13, 889–898. [Google Scholar] [CrossRef]
27. Ченесиз, Ю.; Балеану, Д.; Курт, А .; Тасбозан, О. Новые точные решения уравнений типа Бюргерса с согласной производной. Waves Random Complex Media 2017 , 27, 103–116. [Google Scholar] [CrossRef]
28. Хоссейни, К.; Майели, П.; Ансари, Р. Модифицированный метод Кудряшова для решения дробных по времени уравнений Клейна-Гордона с квадратичной и кубической нелинейностями. Оптик Инт. J. Light Electron Opt. 2017 , 130, 737–742. [Google Scholar] [CrossRef]
29. Хоссейни, К.; Бекир, А .; Ансари, Р. Новые точные решения дробных по времени уравнений Кана-Аллена и Кана-Хилларда с использованием модифицированного метода Кудряшова. Оптик Инт. J. Light Electron Opt. 2017 , 132, 203–209. [Google Scholar] [CrossRef]
30. Латифизаде, Х. Применение метода преобразования гомотопического анализа к модели дробной биологической популяции. ПЗУ. Респ. физ. 2013 , 65, 63–75. [Академия Google]
31. Шривастава В.К.; Кумар, С .; Авасти, М.К.; Сингх, Б.К. Двумерная модель биологической популяции дробного порядка по времени и ее аналитическое решение. Египет. J. Основное приложение. науч. 2014 , 1, 71–76. [Google Scholar] [CrossRef]
32. Балеану, Д.; Уурлу, Ю.; Kilic, B. Улучшенный (G ^′ /G) метод разложения для модели биологической популяции с дробным временем и уравнение Кана-Хиллиарда. Дж. Вычисл. Нелинейная динам. 2015 , 10, 051016. [Google Scholar] [CrossRef]
33. Сингх, Дж.; Кумар, Д.; Киличман, А. Численные решения нелинейных дробных дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих при пространственной диффузии биологических популяций. Абстр. заявл. Анальный. 2014 , 2014, 535793. [Google Scholar] [CrossRef]
34. Шакери Ф.; Дехган, М. Численное решение модели биологической популяции с использованием метода вариационной итерации Хе. вычисл. Мат. заявл. 2007 , 54, 1197–1209. [Google Scholar] [CrossRef]
35. Моррисон, П.Дж.; Мейсс, JD; Кэри, Дж. Р. Рассеяние регуляризованных длинноволновых уединенных волн. физ. D Нелинейный феномен. 1984 , 11, 324–336. [Google Scholar] [CrossRef]
36. Юсуфоглу, Э.; Бекир, А. Численное моделирование волнового уравнения равной ширины. вычисл. Мат. заявл. 2007 , 54, 1147–1153. [Google Scholar] [CrossRef]
37. Эсен, А. Численное решение волнового уравнения равной ширины методом Галеркина с сосредоточенными параметрами. заявл. Мат. вычисл. 2005 , 168, 270–282. [Google Scholar] [CrossRef]
38. Лу, Д.; Сидави, А.Р.; Али, А. Дисперсионные решения бегущей волны уравнений равной ширины и модифицированного уравнения равной ширины с помощью математических методов и их приложений. Результаты Физ. 2018 , 9, 313–320. [Google Scholar] [CrossRef]
39. Коркмаз А. Точные решения дробных пространственно-временных уравнений EW и модифицированные уравнения EW. Хаос Солитоны Фракталы 2017 , 96, 132–138. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
40. “> Wazwaz, A.M. Методы тангенса и синуса-косинуса для надежной обработки модифицированного уравнения равной ширины и его вариантов. коммун. Нелинейная наука. Число. Симул. 2006 , 11, 148–160. [Академия Google] [CrossRef]
41. Заки С.И. Взаимодействие уединенных волн для модифицированного уравнения равной ширины. вычисл. физ. коммун. 2000 , 126, 219–231. [Google Scholar] [CrossRef]
42. Khalique, CM; Адем, К.Р. Точные решения модифицированного (2+1)-мерного уравнения Захарова-Кузнецова равной ширины с использованием группового анализа Ли. Мат. вычисл. Модель. 2011 , 54, 184–189. [Google Scholar] [CrossRef]
43. Гунер О.; Бекир, А. Новый метод для нелинейных дробных дифференциальных уравнений с использованием символьных вычислений. Волны случайных комплексных носителей 2017 , 27, 163–170. [Google Scholar] [CrossRef]

Рисунок 1. ( a ) Уединенная волна, ( b ) амплитуда бистабильной волны и ( c ) контурные графики для уравнения (13) в соответствующем интервале {x,−2,05,2,05},{t,−0,08,0,08 }.