Численный масштаб – определение, точность
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 487.
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 487.
Понятие масштаба знакомо всем, кто видел географические карты. В географии и топографии применяют различные виды масштаба. Разберем более подробно понятие численного масштаба.
Определение численного масштаба
Численный масштаб выражается дробью, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе – число, которое показывает во сколько раз уменьшено изображение.
Рис. 1. Численный масштаб.в России приняты следующие стандартные виды численного масштаба: $${1 : 1000000}, {1 : 500000}, {1 : 300000}, {1 : 200000}, {1 : 100000},$$ $${1 : 50000}, {1 : 25000}, {1 : 10000} $$.
Пример
Какой длины будет изображение объекта длиной 600 м, если численный масштаб равен ${1 : 50000} ?$
Знаменатель численного масштаба показывает, что на изображении длина здания будет в 50000 раз меньше его реальной длины.
Реальная длина объекта равна 600 м.
Следовательно, длина объекта на изображении будет равна $${600 \over 50000} = 0,012 м = 1,2 см. $$
Рассмотрим теперь обратную задачу.
Пример
Изображение предмета имеет на карте длину 1,5 см. Численный масштаб равен ${1 : 10000}$. Чему равна реальная длина объекта?
Длина на изображении будет в 10 000 раз меньше его реальной длины. Или, другими словами, реальная длина будет в 10 000 раз больше длины на изображении.
Длина на изображении равна 1,5 см, или 0,015 м.
Следовательно, реальная длина объекта равна $${0,015*10000} = 150 м. $$
Зная размеры исходного объекта и изображения, можно определить численный масштаб.
Пример
Реальная длина объекта равна 500 м, а длина его изображения на карте – 1 см. Найти численный масштаб изображения.
Выражаем длину изображения в метрах: 1 см = 0,01 м.
Определяем отношение размеров: ${500 \over 0,01} = 50000.$
Следовательно, численный масштаб равен ${1 : 50000}.
$Кроме численного, есть еще другие виды масштаба (рис. 2), например, линейный масштаб, который представляет собой график, построенный в виде разделенного на равные части отрезка прямой.
Рис. 2. Различные виды масштаба.Линейный масштаб позволяет на картах строить и измерять расстояния без вычислений (рис. 2).
Рис. 3. Линейный масштаб.Точность масштаба
Считается, что величина отрезка на карте, которую можно измерить или нанести, составляет 0,01 см.
Исходя из этой величины, вводят понятие точности масштаба.
Число метров, соответствующее длине 0,01 см в масштабе данной карты, называется предельной графической точностью этого масштаба.
Из определения точности масштаба следует, что для ее определения нужно знаменатель численного масштаба разделить на 10 000.
Пример
Масштаб карты равен ${1 \over 2500}$. В знаменателе масштаба стоит число 2500.
Следовательно, точность масштаба для данной карты равна ${2500 \over 10000} = 0,25 м$.
Что мы узнали?
Мы узнали определение численного масштаба и научились использовать это понятие при решении задач. Узнали, что на практике применяют еще другие виды масштаба, например, линейный. Также мы узнали определение точности масштаба и научились ее вычислять.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
Оценка статьи
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 487.
А какая ваша оценка?
Масштаб. Измерение расстояний по планам, картам и глобусу
Содержание
Чтобы измерить расстояние по плану, карте или глобусу, нужно знать, что такое масштаб и уметь им пользоваться. Масштаб – одна из основных математических составляющих любой географической модели Земли, он показывает, во сколько раз уменьшены все расстояния на карте по сравнению с теми же расстояниями на местности.
Если масштабирование не произвести, то никакой бумаги не хватит, чтобы изобразить на ней даже небольшой участок поверхности. На старинных картах размеры и расстояния уменьшены в неодинаковое количество раз, поэтому по ним можно узнать очертания объектов, но не их величину.
Как обозначается масштаб?
Масштаб плана или карты всегда один, но указываться он может тремя разными способами. Способы обозначения масштаба следующие:
- численные;
- именованные;
- графические (линейные и поперечные).
Численный масштаб имеет вид дроби, например 1:1000, числитель которой показывает единицу измерения на карте, а знаменатель – во сколько раз она уменьшена по сравнению с действительным расстоянием, второе число называется величиной масштаба. Масштаб 1:1000 нужно читать так «один к тысячи», а обозначает он, что 1см на плане соответствует 1000 см на местности. То есть этот масштаб показывает, что действительное расстояние уменьшено в 1000 раз. Числитель и знаменатель дроби численного масштаба указываются в одинаковых единицах – в сантиметрах, ведь у дроби всегда так. Чем больше знаменатель дроби, тем меньше сама дробь, а значит, мельче масштаб. Например, масштаб 1 : 100 000 мельче, чем масштаб 1:10 000.
Масштаб топографическтй картыНо, зная математику, мы легко можем перевести сантиметры в метры или километры. Чтобы делать это быстрее, переводя в метры, просто зачёркиваем 2 нуля, так как в 1м – 100 см, а в километры – убираем 5 нулей. Пример: 1:1000 – убираем 2 нуля и получаем 10 метров. Если масштаб один к ста тысячам, например, тогда уже можно перевести знаменатель и в километры – 1:100 000, для этого уберём 5 нулей, потому что в 1 км 100 000 см. Получим, что
Именованный масштаб указывается на всех картах, он дополняется словами. В 1 см – 10 м, 10 м – это величина масштаба. Для примера переведём численный масштаб в именованный, пользуясь правилом, обсуждаемым выше:
- 1:25 000 000 – 1см-250 км;
- 1:10 000 000 – 1см-100 км;
- 1:20 000 – 1см-200 м.
При необходимости обратного перевода добавляем те же нули, при переводе километров в сантиметры добавим 5 нулей, метров в сантиметры – 2 нуля. Например:
- 1 см-300 м – это 1:30 000;
- 1см-250 км – это 1:25 000 000.
Для непосредственного определения расстояния по картам и планам служит линейный масштаб. Это график, помещаемый внизу карты в виде линейки (масштабная линейка), в России она разделёна на сантиметры. Справа от нуля у каждого деления линейки подписано истинное расстояние на местности, равное одному, двум или нескольким величинам масштаба. Слева от нуля сантиметр линейки разбивают на меньшие деления, например на миллиметры, для получения более точных результатов.
Как измерять расстояние по карте, плану или глобусу?
Измерять расстояния можно при помощи масштаба или градусной сетки (на плане её нет). Второй способ мы изучим немного позднее. Чтобы узнать расстояние на местности, нужно расстояние между двумя точками на карте или плане измерить при помощи линейки (этот способ подходит для прямых линий, для извилистых пользуются курвиметром или измерением малым раствором циркуля).
Измерения нужно производить очень точно, учитывая миллиметры. Затем полученные данные умножить на величину масштаба. Например, если при измерении мы получили расстояние 1,4 см, а масштаб карты в 1см 10 000 км, нужно умножить 1,4 на 10 000, получится 14 000 км – это и есть расстояние на местности. Нужно знать, что мы узнаём не действительное расстояние, а его проекцию. Линия на карте может иметь разные неточности в связи с углом наклона земной поверхности.
При помощи линейного масштаба измеряют расстояние линейкой или циркулем, переносят это расстояние на масштабную линейку и без дополнительных расчетов получают искомое расстояние. При этом неизбежны ошибки, которые зависят от масштаба и проекции карты. Чем крупнее масштаб карты, тем точнее измеренные расстояния.
Глобус – объёмная модель Земли. Он показывает шарообразную форму нашей планеты. На нём все объекты изображены в неискажённом виде. В отличие от карты, они сохраняют свою форму, площадь, длину. Направления на глобусе совпадают с направлениями на Земле. У глобуса всюду один и тот же масштаб, который обычно надписывается в южной части Тихого океана. Масштабы школьных глобусов очень мелкие: 1:50 000 000, т. е. в 1 см – 500 км, истинное расстояние на нём уменьшается в 50 миллионов раз.
Для определения расстояний по глобусу надо ниткой или полоской бумаги измерить расстояние между заданными пунктами и, зная масштаб глобуса, вычислить истинное расстояние с помощью пропорции, как по обычной карте.
Масштаб и классификация карт по нему
Чем больший участок Земли нужно изобразить, тем в большее количество раз нужно уменьшить расстояния на карте по сравнению с действительным. На такой карте все подробности не покажешь, для этого она слишком мелкомасштабна. Приходится отбирать только те объекты, которые важны именно для цели выполняемой данной картой – этот процесс называется географической генерализацией.
Подробно можно показать небольшую площадь, посёлок, район, город. Тут будет видны уже и форма и размер зданий, расположение лесопарков, небольшие реки и др. Это возможно потому, что расстояния уменьшены несильно, масштаб карты достаточно крупный.
По масштабу карты делят на:
- мелкомасштабные (обзорные) — с масштабом менее 1: 1 000 000;
- среднемасштабные (обзорно-топографические) – в пределах 1: 200 000 до 1: 1 000 000;
- крупномасштабные (топографические) – от 1: 200 000 до 1: 10 000.
Нужно запомнить правило: чем больше величина масштаба, тем мельче масштаб карты, чем крупнее масштаб, тем подробнее карта.
Как рассчитать масштаб моделей
Dave Block/iStock/Getty Images
Автор: C. Taylor Обновлено 12 апреля 2017 г.
Масштаб модели описывает ее размер по отношению к ее реальному предмету и принимает форму соотношения 1:[число]. Первое число коэффициента всегда равно «1». Второе число объясняет, во сколько раз больше реальный объект по сравнению с моделью. Например, соотношение масштаба 1:12 означает, что каждый дюйм масштаба соответствует 12 дюймам или 1 футу объекта.
Измерьте длину модели в дюймах. Например, у вас может быть двигатель поезда длиной 8 дюймов.
Ссылка или измерение длины реального объекта. Это измерение, скорее всего, будет в футах, поэтому умножьте футы на 12, чтобы преобразовать их в дюймы, чтобы использовать те же единицы измерения. Например, представленный паровоз может иметь длину 19,3 фута; умножьте эту цифру на 12, чтобы преобразовать ее в 232 дюйма.
Разделите длину объекта на длину модели, чтобы вычислить коэффициент масштабирования. В примере разделите 232 на 8, чтобы вычислить масштабный коэффициент 29.. Если у вас есть остаток, округлите число до ближайшего целого числа.
Напишите «1:» перед коэффициентом масштабирования, чтобы представить его в виде отношения. В примере масштаб модели составляет 1:29, что означает, что каждый дюйм модели представляет собой 29 дюймов объекта.
Наконечник
Используйте шкалу для экстраполяции других размеров. В примере, если ширина модели составляет 2,5 дюйма, умножьте 2,5 на 29, чтобы оценить реальную ширину объекта в 72,5 дюйма или 6 футов.
Масштаб иногда выражается дробью, например 1/29th, или как «дюйм к футу», что описывает количество дюймов модели на фут субъекта (см. ссылку 2). Разделите 12 на масштабный коэффициент, чтобы определить это соотношение. В этом примере 12, деленное на 29, дает 0,41, что примерно равно 13/32 дюйма на фут.
Некоторые распространенные масштабы: 1:3000 для звездолетов, 1:2400 для военно-морских миниатюр, 1:285 или 1:300 для военных моделей, 1:48 для пластиковых самолетов, 1:35 для комплектов брони и 1:29 для поездов. . Однако вы найдете различные шкалы для каждой категории со значительным перекрытием между категориями.
Ссылки
- Миниатюрная страница: Все о весах
Ресурсы
- Сеть CSG: Модель железной дороги Калькулятор в натуральную величину
Советы
9002 6Биография писателя
К. Тейлор начала профессиональную писательскую карьеру в 2009 году и часто пишет о технологиях, науке, бизнесе, финансах, боевых искусствах и природе. Он пишет как для онлайн-изданий, так и для офлайн-изданий, включая Journal of Asian Martial Arts, Samsung, Radio Shack, Motley Fool, Chron, Synonym и другие. Он получил степень магистра биологии дикой природы в Университете Клемсона и степень бакалавра искусств в области биологических наук в Колледже Чарльстона. Он также имеет несовершеннолетние в статистике, физике и изобразительном искусстве.
Статьи по теме
Что такое шкала? Значение, формула, примеры
Вы когда-нибудь наблюдали, как вы можете посмотреть на карту, и она покажет вам точное местоположение места? Что бы вы делали, если бы у вас не было карты? Что ж, возможно, вам придется лететь высоко над землей и посмотреть, какой путь ведет к месту назначения! Но это не обязательно. Вы видите, как строитель берет проект дома и превращает его в реальную вещь?
Все это возможно благодаря математическому понятию масштабного коэффициента. Масштабный коэффициент можно описать как параметр, который используется для увеличения или уменьшения размеров фигур в двухмерной и трехмерной геометрии. С его помощью можно создавать похожие фигуры, но других размеров.
Что такое масштабный коэффициент?
Масштабный коэффициент определяется как отношение масштаба исходного объекта к масштабу нового объекта, являющегося его представлением, но другого размера (большего или меньшего).
Например, если у нас есть прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см, мы можем увеличить его, умножив каждую сторону на число, скажем, 2. Новая фигура, которую мы получим, будет похожа на исходную фигуру, но все ее размеры будет в два раза больше исходного прямоугольника. Здесь число 2 будет называться коэффициентом масштабирования.
Обратите внимание, что масштабный коэффициент изменяет только размеры или длины сторон фигур, но не изменяет меры углов.
Связанные игры
Как работает коэффициент масштабирования?
При описании увеличения необходимо указать, насколько увеличена форма. Например, масштабный коэффициент 3 означает, что новая фигура в три раза больше исходной.
Если коэффициент масштабирования представляет собой дробь, форма будет меньше. Это называется редукцией. Следовательно, коэффициент масштабирования 1/2 означает, что новая форма составляет половину исходной формы.
Связанные листы
Как найти масштабный коэффициент?
Масштабный коэффициент можно определить, указав новые и исходные размеры.
- Масштабный коэффициент $=$ Размер новой формы/размер исходной формы
Однако при использовании коэффициентов масштабирования необходимо понимать два термина: увеличение и уменьшение. Посмотрите на рисунки ниже, чтобы понять это лучше.
Масштабирование
Масштабирование означает увеличение маленькой формы до большой. Масштабный коэффициент для масштабирования всегда больше 1,9.0003
Уменьшение масштаба
Уменьшение масштаба означает, что большое число уменьшается до малого. Масштабный коэффициент для уменьшения всегда меньше 1.
Использование масштабного коэффициента
Масштабирование объектов — отличный способ визуализировать большие объекты реального мира в небольшом пространстве или увеличить мелкие объекты, чтобы их было лучше видно!
Масштабный коэффициент используется для выполнения следующих действий:
- Нарисуйте аналогичную фигуру в геометрии.
- Создайте масштабную модель.
- Создание чертежей и масштабных планов машин и архитектуры.
- Помогите архитекторам, машиностроителям и дизайнерам работать с моделями объектов, которые слишком велики, чтобы их можно было удерживать, если они соответствуют их реальному размеру.
Масштаб на графике
Давайте узнаем о «масштабе» на графике и некоторых важных связанных терминах.
ДанныеДанные — это собранные факты. Нам часто нужно найти такие вещи, как:
- Население города
- Количество учащихся в школе
- Продажи определенного продукта в течение недели
- симпатии людей и т. д.
В таких случаях мы собираем данные. Мы читаем и интерпретируем собранные данные, чтобы понять их. Одним из способов отображения обработанных данных является использование графиков.
График — это визуальное представление данных.
Некоторые распространенные графики:
Мы используем шкалу для измерения или количественной оценки объектов. Давайте разберемся, что такое масштаб с помощью пиктограммы.
Пиктограмма выше показывает информацию о любимом музыкальном инструменте детей. Можете ли вы сказать, сколько детей любят гитару, барабан или клавишные?
Что обозначает 1 символ?
Ну, это может быть что угодно. Но до тех пор, пока мы не покажем это на графике, мы не сможем сказать точное количество людей. В таких случаях мы используем шкалу.
Теперь мы знаем, что 1 соответствует 5 детям. Итак, теперь мы можем сказать, что 15 детей любят гитару, 10 — барабан и 20 — клавишные.
Шкала
Проще говоря, шкала — это набор чисел, которые помогают измерять или количественно определять объекты. Шкала на графике показывает, как числа или изображения используются в данных.
Теперь перейдем к гистограмме. Мы используем те же данные «Любимый музыкальный инструмент» для построения гистограммы.
- Здесь вертикальная ось (ось Y) показывает количество детей, а горизонтальная ось (ось X) показывает музыкальные инструменты.
- На оси Y числа отмечены с интервалом в 5. Это указывает на то, что шкала, используемая для графика, 1 единица — 5 детей.
Расстояние между двумя числами указывает единицу измерения, и эта единица измерения остается неизменной по всей шкале. Таким образом, масштаб играет решающую роль в построении графиков. Без весов мы не сможем вывести что-либо важное из графика.
Забавный факт
Шкала на графике может иметь любую единицу измерения, необходимую для решения задачи.
Решенные примеры
Пример 1. Найдите масштабный коэффициент, когда квадрат со стороной 4 см увеличивается, чтобы получился квадрат со стороной 8 см.
Решение : Формула для масштабного коэффициента:
Масштабный коэффициент $=$ Размеры новой формы/размер исходной формы
Следовательно, масштабный коэффициент для данного увеличения равен
Масштабный коэффициент $= 8/ 4$
Масштабный коэффициент $= 2$
Следовательно, квадрат был увеличен в 2 раза.
Пример 2. Треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см был увеличен. с масштабным коэффициентом 4. Каковы размеры нового треугольника?
Решение :
Размеры новой формы $=$ Масштабный коэффициент $\times$ Размеры исходной формы
Следовательно, размеры нового треугольника будут в 4 раза больше исходных.
Итак, новые размеры 12 см, 16 см и 20 см.
Пример 3. Если круг радиусом 3 см уменьшить до круга радиусом 1 см, каков масштабный коэффициент для этого уменьшения?
Решение : Мы это знаем,
Масштабный коэффициент = размер новой формы/размер исходной формы
Радиус исходной окружности $= 3$ см
Радиус новой окружности $= 1$ см
Таким образом, масштабный коэффициент для этого уменьшения $= 1/3 $
Практические задачи
1
Если увеличить куб с ребром 12 см, получится куб с ребром 36 см.
Что такое масштабный коэффициент?2
3
4
5
Правильный ответ: 3
Масштабный коэффициент = размер новой формы/размер исходной формы
Длина ребра исходного куба = 12 см,
Длина ребра нового куба = 36 см.
Таким образом, масштабный коэффициент для этого увеличения = 3
2
Если сфера радиусом 20 см уменьшается, чтобы создать сферу радиусом 5 см, каков масштабный коэффициент для этого уменьшения?
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{5}$
Правильный ответ: $\frac{1}{4}$
Мы знаем, что
Масштабный коэффициент = размер новой формы/размер исходной формы
Радиус исходной сферы = 20 см,
Радиус новой сферы = 5 см.
Итак, масштабный коэффициент для этого сокращения = $\frac{20}{5}$ = 4 см
3
Если квадрат со стороной 5 см увеличить в 2 раза, каковы будут размеры нового квадрата?
2 см
1/5 см
5 см
10 см
Правильный ответ: 2 см в 2 раза больше оригинала.