Какая линия: Что-то пошло не так (404)

Содержание

Какая линия победит?

Посещать храмы или соблюдать карантин?

Как мы видим, на Русской народной линии, да и не только на ней, но и вообще в христианстве сейчас существуют две «линии». Согласно одной, нынешнее моровое поветрие – это проявление гнева Божия. От коего нас может спасти лишь покаяние, т.е. Таинство Покаяния, совершаемое в православных храмах на исповеди, и причащение там святых Таин Христовых.

Согласно другому мнению, наоборот, из-за того же мора, «храм посещать опасно – можно заразиться; а особую опасность представляет причащение из общей чаши. Поэтому необходимо всячески соблюдать карантин, сидеть дома, а богослужение можно просматривать онлайн – по телевизору». Ну, и продолжим мысль этих лиц, каяться и причащаться, наверное, надо тоже онлайн, так сказать, «в уме».

Обе эти линии имеют своих многочисленных сторонников, и как читатель, думаю, знает, я строго придерживаюсь первой линии.

И выскажу свое, достаточно аргументированное мнение.

Святейший Патриарх в проповеди в 4-ю Неделю Великого поста зачитал письмо из Италии, где православная женщина пишет: «Владыка, я хорошо понимаю москвичей, жителей Петербурга, других городов. Вам кажется, что эта страшная эпидемия где-то далеко, и неизвестно, когда она к вам придет, неизвестно, будет ли она такой страшной. Точно так же и мы думали две недели назад. Нам казалось, что никакой эпидемии в Риме не будет. Но сегодня мы все сидим по домам, морги и даже стадионы заполнены трупами, их невозможно даже сжигать. Люди умирают так, как только могут умирать во времена страшной эпидемии. Мы нередко остаемся без еды; с огромным страхом доходим до ближайшего магазина, где можем приобрести продукты, и немедленно возвращаемся домой; а если не вернемся, подвергаемся репрессиям со стороны полиции. Мы не могли себе представить, что у нас будет такая жизнь».

Ну, во-первых, комментируя начало сего письма, следует заметить, что как раз наоборот: еще недавно всем казалось, что после Китая эта зараза вовсю хлынет в Российскую Федерацию, имеющую с Поднебесной громадную границу. Но она почему-то преимущественно и с избытком пока посетила не Россию, а далекие Европу (особенно Италию) и США. Вопрос, почему?

Следующий вопрос: если вы так уповаете на карантин, что ради него даже верующих призываете не ходить в церковь, то тогда объясните, почему же в Италии, где, как видим из письма этой женщины, да и не только из него, введён жесточайший карантин, люди, однако, всё равно там мрут тысячами, а в России, да и на моей Украине, где такой жестокости пока ещё нет, нет и таких жертв?

Далее, как видно из письма той же женщины, итальянцы в равной степени страдают и от болезни, и от этого тоталитарного карантина. Как она пишет: «Мы нередко остаемся без еды; с огромным страхом доходим до ближайшего магазина, где можем приобрести продукты, и немедленно возвращаемся домой; а если не вернемся, подвергаемся репрессиям со стороны полиции. Мы не могли себе представить, что у нас будет такая жизнь».

Любители карантина, вы хотите, чтобы и у нас была введена такая же тоталитарная система, под видом «борьбы с болезнью»? От которой люди страдают больше, чем от самой болезни. Например, на Украине из-за этого уже закрыты многие обычные больницы. К примеру, у нашей знакомой отнялась щека от болезни зубов, но она нигде не может полечиться, поскольку зубные клиники закрыты.

Но ведь и от зубной болезни можно умереть, если не лечиться, как и от других (не коронавирусных болезней). Как многие и умирают сейчас от сердечных заболеваний, например, старики, которых не пускают в городской транспорт. Так я недавно наблюдал такую жуткую картину: щуплая, пожилая женщина лет 65-70 ехала к больному сыну и не могла ни к нему добраться, ни обратно уехать, ибо её с полицией не пускали в трамвай; но по её телосложению видно, что пешком она ни туда, ни сюда не доберется!

И, наконец, уповающие на карантин, объясните мне, «профану», а в чем его сила в борьбе с нынешним мором? Думаю, вам поможет разобраться в этом вопросе глава ВОЗ, который на днях вполне основательно заявил, что сами по себе карантинные мероприятия победить эпидемию не смогут. Они лишь помогут отсрочить ее пик с тем, чтобы лучше к нему подготовиться.

И в самом деле, ну не будете же вы вечно держать почти всех людей под домашним арестом! Рано или поздно карантин придётся прекратить, и тогда болезнь, которая никуда не делась, вспыхнет с новой силой. И если государство к ней за это время подготовится, то эта вспышка обойдётся в минимальное количество жертв, а если нет, то…

Но зная известную «проворность» наших чиновников, особенно на Украине, я что-то очень сильно сомневаюсь, что они вообще способны к чему-то серьезно подготовиться. Поэтому думаю, что для них все эти показушные и, зачастую, придурковатые мероприятия не более, чем поза страуса, засунувшего голову в песок. На самом деле они не только толком не знают, что делать, но и не хотят ничего толком делать, как всегда, выходя из положения за счет жестокой эксплуатации простых людей.

Так что не надо делать из карантина какого-то идола, которому следует поклоняться столь больше, чем Христу, что ради этого идола уже и в храм не ходить! А то выходит прямо по Апокалипсису: «Прочие же люди, которые не умерли от этих язв, не раскаялись в делах рук своих, так чтобы не поклоняться бесам и золотым, серебряным, медным, каменным и деревянным идолам, которые не могут ни видеть, ни слышать, ни ходить» (Откр.

9: 20). А из всего вышесказанного как раз и следует, что тотальный карантин, который некоторым кажется таким золотым, на самом деле не более чем деревянный идол, мало способный нас защитить, зато готовый создать нам массу проблем.

И над всем этим, я, как православный христианин, в любом случае предпочитаю прийти в храм Божий, исповедаться, причаститься. И даже если правы мои оппоненты, и в результате сего я заражусь и умру (во что я, однако, не верю), то умру как настоящий православный христианин, исповедавший перед смертью свои грехи и напутствуемый святыми Тайнами Христовыми, поэтому имеющий надежду по смерти войти в Царство Небесное.

Что-то, наверное, моя православная вера подсказывает мне, что это гораздо лучше, чем умереть от коронавируса, другой какой-то болезни или вообще от старости (ведь мы все рано или поздно всё равно умрём), умереть во время онлайн просмотра какого-нибудь, даже самого святого богослужения!

Протоиерей Георгий Городенцев, кандидат богословия, Одесса

Учебное пособие.

условие перпендикулярности прямых

Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии на плоскости .

Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Oxy называется уравнение, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии (рис.1).

В общем случае уравнение линии может быть записано в виде F(x,y)=0 или y=f(x).

Пример. Найти уравнение множества точек, равноудаленных от точек А(-4;2), B(-2;-6).

Решение. Если M(x;y) – произвольная точка искомой линии (рис.2), то имеем AM=BM или

После преобразований получим

Очевидно, что это уравнение прямой MD – перпендикуляра, восстановленного из середины отрезка AB

Из всех линий на плоскости особое значение имеет прямая линия . Она является графиком линейной функции, используемой в наиболее часто встречающихся на практике линейных экономико-математических моделях.

Различные виды уравнения прямой:

1)с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b :

y = kx + b ,

где – угол между прямой и положительным направлением оси ОХ (рис. 3).

Особые случаи:

– прямая проходит через начало координат (рис.4):

– биссектриса первого и третьего, второго и четвертого координатных углов:

y=+x, y=-x;

– прямая параллельна оси ОХ и сама ось ОХ (рис. 5):

y=b, y=0;

– прямая параллельна оси OY и сама ось ОY (рис. 6):

x=a, x=0;

2) проходящей в данном направлении (с угловым коэффициентом) k через данную точку (рис. 7):

Если в приведенном уравнении k – произвольное число, то уравнение определяет пучок прямых , проходящих через точку , кроме прямой , параллельной оси Oy.

Пример А(3,-2) :

а) под углом к оси ОХ;

б) параллельно оси OY.

Решение .

а) , y-(-2)=-1(x-3) или y=-x+1;

б) х=3.

3) проходящей через две данные точки (рис. 8):

Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-5,4), В(3,-2).

Решение . ,

4) уравнение прямой в отрезках (рис.9):

где a, b – отрезки, отсекаемые на осях соответственно Ox и Oy.

Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2,-1) , если эта прямая отсекает от положительной полуоси Oy отрезок, вдвое больший, чем от положительной полуоси Ox (рис. 10).

Решение . По условию b=2a , тогда . Подставим координаты точки А(2,-1):

Откуда a=1,5.

Окончательно получим:

Или y=-2x+3.

5) общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0,

где a и b не равны одновременно нулю.

Некоторые важные характеристики прямых :

1) расстояние d от точки до прямой:

2) угол между прямыми и соответственно:

и .

3) условие параллельности прямых:

или .

4) условие перпендикулярности прямых:

или .

Пример 1 . Составить уравнение двух прямых, проходящих через точку А(5,1) , одна из которых параллельна прямой 3x+2y-7=0 , а другая перпендикулярна той же прямой. Найти расстояние между параллельными прямыми.

Решение . Рисунок 11.

1) уравнение параллельной прямой Ax+By+C=0 :

из условия параллельности ;

взяв коэффициент пропорциональности, равный 1, получим А=3, В=2;

т. о. 3x+2y+C=0;

значение С найдем, подставив координаты т. А(5,1),

3*5+2*1+С=0, откуда С=-17;

уравнение параллельной прямой – 3x+2y-17=0.

2) уравнение перпендикулярной прямой из условия перпендикулярности будет иметь вид 2x-3y+C=0;

подставив координаты т. А(5,1) , получим 2*5-3*1+С=0 , откуда С=-7;

уравнение перпендикулярной прямой – 2x-3y-7=0.

3) расстояние между параллельными прямыми можно найти как расстояние от т. А(5,1) до дано прямой 3x+2y-7=0:

Пример 2 . Даны уравнения сторон треугольника:

3x-4y+24=0 (AB), 4x+3y+32=0 (BC), 2x-y-4=0 (AC).

Составить уравнение биссектрисы угла АВС .

Решение . Вначале найдем координаты вершины В треугольника:

откуда x=-8, y=0, т.е. В(-8,0) (рис. 12).

По свойству биссектрисы расстояния от каждой точки M(x,y) , биссектрисы BD до сторон АВ и ВС равны, т. е.

Получаем два уравнения

x+7y+8=0, 7x-y+56=0.

Из рисунка 12 угловой коэффициент искомой прямой отрицательный (угол с Ох тупой), следовательно, нам подходит первое уравнение x+7y+8=0 или y=-1/7x-8/7.

§ 9. Понятие уравнения линии.

Задание линии при помощи уравнения

Равенство вида F(x, y) = 0 называется уравнением с двумя переменными x , у, если оно справедливо не для всяких пар чисел х, у. Говорят, что два числа x = x 0 , у=у 0, удовлетворяют некоторому уравнению вида F(х, у)=0, если при подстановке этих чисел вместо переменных х и у в уравнение его левая часть обращается в нуль.

Уравнением данной линии (в назначенной системе координат) называется такое уравнение с двумя переменными , которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии , и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.

В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии F(х, у) = 0» мы часто будем говорить короче: дана линия F (х, у) = 0.

Если даны уравнения двух линий F (х, у) = 0 и Ф(х, y) = Q, то совместное решение системы

Даёт все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел , являющаяся совместным решением этой системы, определяет одну из точек пересечения.

1) х 2 +у 2 = 8, х-у = 0;

2) х 2 +у 2 -16x +4у +18 = 0, х + у = 0;

3) х 2 +у 2 -2x +4у -3 = 0, х 2 + у 2 = 25;

4) х 2 +у 2 -8x +10у+40 = 0, х 2 + у 2 = 4.

163. В полярной системе координат даны точки

Установить, какие из этих точек лежат на линии, определённой уравнением в полярных координатах  = 2 cos , и какие не лежат на ней. Какая линия определяется данным уравнением? (Изобразить её на чертеже:)

164. На линии, определённой уравнением  =
, найти точки , полярные углы которых равны следующим числам: а) ,б) – , в) 0, г) . Какая линия определена данным уравнением?

(Построить её на чертеже.)

165. На линии, определённой уравнением  =
, найти точки ,полярные радиусы которых равны следующим числам: а) 1, б) 2,в)
. Какая линия определена данным уравнением? (Построить её на чертеже.)

166. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) sin  =

Таким образом, агип. = с/2 = 2 и bгип.2 = с2 – агип.2 = 16 – 4 = 12. x2 y2 Уравнение искомой гиперболы имеет вид: − = 1. 4 12 Задача 11. Составить уравнение параболы, если известны ее фокус F(-7, 0) и уравнение директрисы x – 7 = 0. Решение Из уравнения директрисы имеем x = -p/2 = 7 или p = -14. Таким образом, уравнение искомой параболы 2 y = -28x. Задача 12. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Сделать чертежи. 3 2 1. y = 7 − x − 6 x + 13, y острый угол. Зная tgα, вычислим cosα и sinα: 1 1 tg α 2 cos α = = , sin α = = . 1 + tg 2α 5 1 + tg 2α 5 Отсюда, и учитывая (*), находим уравнение данной кривой в системе х′,у′: 5 y′2 − 6 5 x′ − 2 5 y′ + 7 = 0. (**) Дальнейшее упрощение уравнения (**) производится при помощи параллельного перенесения осей Ох′, Оу′. Перепишем уравнение (**) следующим образом: 5 5(y′2 − 2 y′) − 6 5 x′ + 7 = 0. 5 Дополнив выражение в первой скобке до полного квадрата разности и компенсируя это дополнение надлежащим слагаемым, получим: 2 ⎛ 5⎞ 6 5⎛ 5⎞ ⎜ y′ − ⎟ − ⎜ x′ − ⎟ = 0. ⎝ 5 ⎠ 5 ⎝ 5 ⎠ Введем теперь еще новые координаты х′′,у′′, полагая x′ = x′′ + 5 5, y′ = y′′ + 5 5 , что соответствует параллельному перемещению осей на величину 5 5 в направлении оси Ох′ и на величину 5 5 в направлении оси Оу′. В координатах х′′у′′ уравнение данной линии принимает вид 6 5 2 y′′ = x′′ . 5 Это есть каноническое уравнение параболы с 3 5 параметром p = и с вершиной в начале координат системы х′′у′′. Парабола 5 расположена симметрично относительно оси х′′ и бесконечно простирается в 45 положительном направлении этой оси. Координаты вершины в системе х′у′ ⎛ 5 5⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎜ ; ⎟ а в системе ху ⎜ − ; ⎟ . ⎝ 5 5 ⎠ ⎝ 5 5⎠ Задача 19. Какую линию определяет уравнение 4×2 – 4xy + y2 + 4x – 2y – 3 =0? Решение Система для нахождения центра кривой в данном случае имеет вид: ⎧ 4 x0 − 2 y0 + 2 = 0, y 2x-y+3=0 ⎨ 2x-y+1=0 ⎩ −2 x0 + y0 − 1 = 0. Эта система равносильна одному уравнению 2х0 – у0 2x-y-1=0 + 1 = 0, следовательно, линия имеет бесконечно много центров, составляющих прямую 2х – у + 1= 0. x Заметим, что левая часть данного уравнения 0 разлагается на множители первой степени: 4х2 – 4ху + у2 + 4х –2у –3 = = (2х – у +3)(2х – у – 1). Значит, рассматриваемая линия есть пара параллельных прямых: 2ху – у +3 = 0 и 2х – у – 1 = 0. Задача 20 1. Уравнение 5х2 + 6ху + 5у2 – 4х + 4у + 12 = 0 x′2 y′2 приводится к каноническому виду х′ 2 + 4у′ 2 + 4 = 0, или + = −1. 4 1 Это уравнение похоже на каноническое уравнение эллипса. Однако оно не определяет на плоскости никакого действительного образа, так как для любых действительных чисел х′,у′ левая часть его не отрицательна, а cправа стоит –1. Такое уравнение и аналогичные ему называются уравнениями мнимого эллипса. 2. Уравнение 5х2 + 6ху + 5у2 – 4х + 4у + 4 = 0 x′2 y′2 приводится к каноническому виду х′ 2 + 4у′ 2 = 0, или + = 0. 4 1 Уравнение также похоже на каноническое уравнение эллипса, но определяет не эллипс, а единственную точку: х′ = 0, у′ = 0. Такое уравнение и аналогичные ему называются уравнениями вырожденного эллипса. Задача 21. Составить уравнение параболы, если ее фокус находится в точке F(2, -1) и уравнение директрисы D: x – y – 1 = 0. Решение Пусть в некоторой системе координат х′О1у′ парабола имеет канонический вид у′2 = 2рх′. Если прямая у = х – 1 является ее директрисой, то оси системы координат х′О1у′ параллельны директрисе. 46 Координаты вершины параболы, совпадающей с новым началом координат О1, найдем как середину отрезка нормали к директрисе D, проходящей через фокус. Итак, ось О1х′ описывается уравнением у = -х + b, -1 = -2 + b. Откуда b = 1 и О1х′: у = -х + 1. Координаты точки K пересечения директрисы и оси О1х′ находим из условия: ⎧ y = x −1 ⎨ , → x К = 1, y K = 0. ⎩ y = −x + 1 Координаты нового начала координат О1(х0, у0): 1+ 2 3 −1 + 0 1 x0 = = ; y0 = = − . Оси новой системы координат повернуты 2 2 2 2 относительно старой на угол (-45°). Найдем р = KF = 2. Итак, уравнение параболы в старой системе координат получим, если подвергнем уравнение параболы y′ 2 = 2 2 ⋅x′ преобразованию (см. формулу (5) п.4.3): ⎧ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎧ 2 ⎪ x′ = ⎜ x − 2 ⎟ cos(−45°) + ⎜ y + 2 ⎟ sin(−45°), ⎪ x′ = (x − y − 2), ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ 2 ⎨ → ⎨ ⎪ y′ = − ⎛ x − sin(−45°) + ⎛ y + cos(−45°) 3⎞ 1⎞ ⎪ y′ = 2 (x + y − 1), ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎩ 2 1 2 y′2 = 2 2 ⋅ x′ ⇒ (x + y − 1) 2 = 2 2 ⋅ (x − y − 2), 2 2 откуда искомое уравнение параболы имеет вид: х2 + 2ху + у2 – 6х + 2у + 9 = 0. Задача 22. Написать уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет е = 5 , фокус F(2, -3) и уравнение директрисы y′ y D1 3х – у + 3 = 0. Решение 3 B Уравнение директрисы D1: у = 3х + 3 позволяет заключить, что новая ось координат Ох′ имеет вид y = (-1/3)x + b, проходит через точку F(2, – -7 -1 α x A 0 1 3), значит, −3 = − ⋅ 2 + b, откуда b = -7/3 и Ох′ O1 K 3 a/ 5 -7/3 1 7 F x′ задается уравнением y = − x − . 3 3 Пусть начало новой системы координат находится в точке О1(х0, у0). Найдем координаты точки К как координаты точки пересечения директрисы D1 и 47 ⎧3 x − y + 3 = 0, 8 9 оси Ох′′ из системы ⎨ → xK = − , y K = − . ⎩3y + x + 7 = 0 5 5 Геометрические свойства гиперболы, которая в новых осях координат x′2 y′2 Ох′у′ имеет вид 2 − 2 = 1, позволяют найти КF как расстояние от фокуса a b F(2, -3) до директрисы D1: 3х – у + 3 = 0. 3 ⋅ (2) − (−3) + 3 12 a a KF = = , O1K = = , O1F = c = a 2 + b 2 , 9 +1 10 e 5 a 12 O1K = O1F − KF ⇒ = a 2 + b2 − , 5 10 b2 так как e = 1 + 2 = 5, b 2 = 4a 2 . Значение а находим из уравнения a a 12 3 =a 5− и получаем a = . При этом b2 = 18. 5 10 2 x′2 y′2 Уравнение гиперболы в новых координатах имеет вид − = 1. 9 2 18 Координаты нового центра найдем, зная что точка К делит отрезок О1F в OK a 5 1 отношении λ = 1 = = : KF 12 10 4 ⎧ 1 ⎪ x0 + x F 4 5 ⎪ xK = , x0 = − , ⎪ 1+1 4 2 ⎨ откуда ⎪ 1 3 y0 + y F y0 = − . ⎪y = 4 , 2 ⎪ K ⎩ 1+1 4 Из ∆ АВО: sinα = 1 10 , cosα = 3 10 . Так как поворот совершается на угол (-α): sin(-α) = − 1 10 , cos(-α) = 3 10 , то формулы преобразований координат (см. (5) в п.4.3) принимают вид: ⎧ ⎛ 5⎞ 3 ⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎧ ′ 1 ⎪ ⎪ x′ = ⎜ x + ⎟ ⎝ 2 ⎠ 10 ⎝ + ⎜ y + ⎟⎜ − 2 ⎠ ⎝ 10 ⎠⎟, ⎪ x = 10 (3x − y + 6) , ⎪ ⎨ → ⎨ ⎪ y′ = − ⎛ x + 5 ⎞ ⎛ − 1 ⎞ + ⎛ y + 3 ⎞ 3 , ⎪ y′ = 1 (x + 3 y + 7) ⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 10 ⎩ 10 1 1 (3x − y + 6) (x + 3y + 7) 2 2 и уравнение гиперболы принимает вид 10 − 10 = 1, 92 18 4(3х – у +6)2 – (х + 3у + 7)2 = 180 или 7х2 – у2 – 6ху – 18у + 26х + 17 = 0. 48 Задача 23. Найти полярный угол отрезка, направленного из точки (5, 3) в точку (6, 2 3). Решение ρ = (6 − 5) 2 + (2 3 − 3) 2 = 2, cos ϕ = 1 2, sin ϕ = 3 2 ⇒ ϕ = 60°. (см. п.5.2). Задача 24. Составить уравнение прямой в полярных координатах, считая известными расстояние р от полюса до прямой и угол α от полярной оси до луча, направленного из полюса перпендикулярно к прямой. M (ρ, ϕ) Решение L Известны ОР = р, ∠ РОА = α, произвольная точка М P прямой L имеет координаты (ρ, ϕ). β Точка М лежит на прямой L в том и только в том случае, α когда проекция точки М на луч ОР совпадает с точкой Р, O A т.е. когда р = ρ⋅cosβ, где ∠ РОМ = β. Угол ϕ = α + β и уравнение прямой L принимает вид ρ⋅cos(ϕ – α) = p. Задача 25. Найти полярные уравнения указанных кривых: 1). x = a, a > 0 Решение ρ⋅cosϕ = a → ρ = a/cosϕ. a 0 ρ 2). y = b, b > 0 b Решение ρ⋅sinϕ = b → ρ = b/sinϕ. 0 ρ 3). (х2 + у2)2 = а2ху Решение: xy ≥ 0, a2 ρ = a ρ cos ϕ sin ϕ → ρ = sin 2ϕ, sin 2ϕ ≥ 0 . 4 2 2 2 2 Уравнение кривой в полярных координатах имеет a вид ρ = sin 2ϕ , ϕ∈ [ 0, π 2] ∪ [ π, 3π 2] и задает 2 двухлепестковую розу: Задача 26. Построить заданные в полярной системе координат линии: 1). ρ = 2a⋅sinϕ, a > 0. Решение y x 2 + y 2 = 2a ⋅ , x +y 2 2 a 2 2 x + y – 2ay = 0, ρ 0 49 x2 + (y – a)2 = a2. 2). ρ = 2 + cosϕ. Решение Линия получается, если каждый радиус-вектор окружности ρ = cosϕ увеличить на два. Найдем координаты контрольных точек: ϕ = 0, ρ = 3; ϕ = π/2, ρ = 2; ϕ = π, ρ = 1. 9 3). ρ = 4 − 5cos ϕ Решение 4 – 5⋅cosϕ > 0, cosϕ

Равенство вида F(x, у) = 0 называется уравнением с двумя переменными х, у, если оно справедливо не для всяких пар чисел х, у. Говорят, что два числа х = x 0 , у = y 0 удовлетворяют некоторому уравнению вида F(x, y) = 0, если при подстановке этих чисел вместо переменных х и у в уравнение его левая часть обращается в нуль.

Уравнением данной линии (в назначенной системе координат) называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.

В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии F(x, у) = 0» мы часто будем говорить короче: дана линия F(x, у) = 0.

Если даны уравнения двух линий F(x, у)= 0 и Ф(x, у) = 0, то совместное решение системы

F(x,y) = 0, Ф(х, у) = 0

дает все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являющаяся совместным решением этой системы, определяет одну из точек пересечения,

157. Даны точки *) M 1 (2; -2), М 2 (2; 2), M 3 (2; – 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), М 6 (3; -2). Установить, какие из данных точек лежат на линии, определенной уравнением х + y = 0, и какие не лежат на ней. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже.)

158. На линии, определенной уравнением х 2 + у 2 = 25, найти точки, абсциссы которых равны следующим числам: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; на этой же линии найти точки, ординаты которых равны следующим числам: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже.)

159. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями (построить их на чертеже): 1)x – у = 0; 2) х + у = 0; 3) x – 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y – 5 = 0; 6) у + 2 = 0; 7) х = 0; 8) у = 0; 9) х 2 – хy = 0; 10) ху + у 2 = 0; 11) х 2 – у 2 = 0; 12) ху = 0; 13) у 2 – 9 = 0; 14) х 2 – 8x + 15 = 0; 15) у 2 + by + 4 = 0; 16) х 2 у – 7ху + 10y = 0; 17) у – |х|; 18) х – |у|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |у| = 0; 21) у = |х – 1|; 22) y = |x + 2|; 23) х 2 + у 2 = 16; 24) (х – 2) 2 + {у- 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (у-1) 2 = 9; 26) (x – 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x – 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x – 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Даны линии: l)x + y = 0; 2)х – у = 0; 3)x 2 + у 2 – 36 = 0; 4) х 2 + у 2 – 2х + у = 0; 5) х 2 + у 2 + 4х – 6у – 1 = 0. Определить, какие из них проходят через начало координат.

161. Даны линии: 1) х 2 + у 2 = 49; 2) {х – 3) 2 + (у + 4) 2 = 25; 3) (х + 6) 2 + (y – З) 2 = 25; 4) (х + 5) 2 + (y – 4) 2 = 9; 5) х 2 + у 2 – 12x + 16у – 0; 6) х 2 + у 2 – 2x + 8y + 7 = 0; 7) х 2 + у 2 – 6х + 4у + 12 = 0. Найти точки их пересечения: а) с осью Ох; б) с осью Оу.

162. Найти точки пересечения двух линий:

1) х 2 + у 2 – 8; х – у =0;

2) х 2 + у 2 – 16х + 4у + 18 = 0; х + у = 0;

3) х 2 + у 2 – 2х + 4у – 3 = 0; х 2 + у 2 = 25;

4) х 2 + у 2 – 8y + 10у + 40 = 0; х 2 + у 2 = 4.

163. В полярной системе координат даны точки M 1 (l; π/3),M 2 (2; 0).М 3 (2; π/4), М 4 (√3; π/6) и M 5 (1; 2/3π). Установить, какие из этих точек лежат на линии, определенной в полярных координатах уравнением р = 2cosΘ, и какие не лежат на ней. Какая линия определяется данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже. )

164. На линии, определенной уравнением p = 3/cosΘ найти точки, полярные углы которых равны следующим числам: а) π/3 , б) – π/3, в) 0, г) π/6. Какая линия определена данным уравнением? (Построить ее на чертеже.)

165. На линии, определенной уравнением p = 1/sinΘ, найти точки, полярные радиусьмкоторых равны следующим числам: а) 1 6) 2, в) √2 . Какая линия определена данным уравнением? (Построить ее на чертеже.)

166. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже): 1) р = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = – π/4; 4) р cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) р = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Построить на черТёЖе следующие спйралй Архимеда: 1) р = 20; 2) р = 50; 3) p = Θ/π; 4) р = -Θ/π.

168. Построить на чертеже следующие гиперболиче-ские спирали: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) р = π/Θ; 4) р= – π/Θ

169. Построить на чертеже следующие логарифми-ческие спирали: 1) р = 2 Θ ; 2) p = (1/2) Θ .

170. Определить длины отрезков, на которые рассе-кает спираль Архимеда р = 3Θ луч, выходящий из полюса и наклоненный к полярной оси под углом Θ = π/6. Сделать чертеж.

171. На спирали Архимеда р = 5/πΘ взята точка С, полярный радиус которой равен 47. Определить, на сколько частей эта спираль рассекает полярный радиус точки С. Сделать чертеж.

172. На гиперболической спирали P = 6/Θ найти точку Р, полярный радиус которой равен 12. Сделать чертеж.

173. На логарифмической спирали р = 3 Θ найти точку P, полярный радиус которой равен 81. Сделать чертеж.

Рассмотрим соотношение вида F(x, y)=0 , связывающее переменные величины x и у . Равенство (1) будем называть уравнением с двумя переменными х, у, если это равенство справедливо не для всех пар чисел х и у . Примеры уравнений: 2х + 3у = 0, х 2 + у 2 – 25 = 0,

sin x + sin y – 1 = 0.

Если (1) справедливо для всех пар чисел х и у, то оно называется тождеством . Примеры тождеств: (х + у) 2 – х 2 – 2ху – у 2 = 0, (х + у)(х – у) – х 2 + у 2 = 0.

Уравнение (1) будем называть уравнением множества точек (х; у), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки множества и не удовлетворяют координаты никакой точки, не принадлежащие этому множеству.

Важным понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии. Пусть на плоскости заданы прямоугольная система координат и некоторая линия α.

Определение. Уравнение (1) называется уравнением линии α (в созданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии α , и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Если (1) является уравнением линии α, то будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию α.

Линия α может определятся не только уравнением вида (1), но и уравнением вида

F (P, φ) = 0 , содержащим полярные координаты.

уравнение прямой с угловым коэффициентом;

Пусть дана некоторая прямая, не перпендикулярная, оси ОХ . Назовем углом наклона данной прямой к оси ОХ угол α , на который нужно повернуть ось ОХ , чтобы положительное направление совпало с одним из направлений прямой. Тангенс угла наклона прямой к оси ОХ называют угловым коэффициентом этой прямой и обозначают буквой К .

К=tg α

Выведем уравнение данной прямой, если известны ее К и величина в отрезке ОВ , которой она отсекает на оси ОУ .

y=kx+b

Обозначим через М ” точку плоскости (х; у). Если провести прямые BN и NM , параллельные осям, то образуются r BNM – прямоугольный. Т. MC C BM , когда величины NM и BN удовлетворяют условию: . Но NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x => учитывая (1), получаем, что точка М (х; у) С на данной прямой , когда ее координаты удовлетворяют уравнению: =>

Уравнение (2) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Если K=0 , то прямая параллельна оси ОХ и ее уравнение имеет вид y = b.

уравнение прямой, проходящей через две точки;

Пусть даны две точки М 1 (х 1 ; у 1) и М 2 (х 2 ; у 2). Приняв в (3) точку М (х; у) за М 2 (х 2 ; у 2), получим у 2 -у 1 =k(х 2 – х 1). Определяя k из последнего равенства и подставляя его в уравнение (3), получаем искомое уравнение прямой: . Это уравнение, если у 1 ≠ у 2 , можно записать в виде:

Если у 1 = у 2 , то уравнение искомой прямой имеет вид у = у 1 . В этом случае прямая параллельна оси ОХ . Если х 1 = х 2 , то прямая, проходящая через точки М 1 и М 2 , параллельна оси ОУ , ее уравнение имеет вид х = х 1 .

уравнение прямой, проходящей через заданную точку с данным угловым коэффициентом;

Аx + Вy + С = 0

Теорема. В прямоугольной системе координат Оху любая прямая задается уравнением первой степени:

и, обратно, уравнение (5) при произвольных коэффициентах А, В, С (А и В ≠ 0 одновременно) определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат Оху.

Доказательство.

Сначала докажем первое утверждение. Если прямая не перпендикулярна Ох, то она определяется уравнением первой степени: у = kx + b , т.е. уравнением вида (5), где

A = k, B = -1 и C = b. Если прямая перпендикулярна Ох, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине α отрезка, отсекаемого прямой на оси Ох.

Уравнение этой прямой имеет вид х = α, т.е. также является уравнение первой степени вида (5), где А = 1, В = 0, С = – α. Тем самым доказано первое утверждение.

Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение (5), причем хотя бы один из коэффициентов А и В ≠ 0 .

Если В ≠ 0 , то (5) можно записать в виде . Пологая , получаем уравнение у = kx + b , т.е. уравнение вида (2) которое определяет прямую.

Если В = 0 , то А ≠ 0 и (5) принимает вид . Обозначая через α, получаем

х = α , т.е. уравнение прямой перпендикулярное Ох.

Линии, определяемые в прямоугольной системе координат уравнением первой степени, называются линиями первого порядка.

Уравнение вида Ах + Ву + С = 0 является неполным, т.е. какой – то из коэффициентов равен нулю.

1) С = 0; Ах + Ву = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат.

2) В = 0 (А ≠ 0) ; уравнение Ах + С = 0 Оу.

3) А = 0 (В ≠ 0) ; Ву + С = 0 и определяет прямую параллельную Ох.

Уравнение (6) называется уравнением прямой «в отрезках». Числа а и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Эта форма уравнения удобна для геометрического построения прямой.

нормальное уравнение прямой;

Аx + Вy + С = 0 – общее уравнение некоторой прямой, а (5) x cos α + y sin α – p = 0 (7)

ее нормальное уравнение.

Так как уравнение (5) и (7) определяют одну и ту же прямую, то (А 1х + В 1у + С 1 = 0 и

А 2х + В 2у + С 2 = 0 => ) коэффициенты этих уравнений пропорциональны. Это означает, что помножив все члены уравнения (5) на некоторый множитель М, мы получим уравнение МА х + МВ у + МС = 0 , совпадающее с уравнением (7) т.е.

МА = cos α, MB = sin α, MC = – P (8)

Чтобы найти множитель М, возведем первые два из этих равенств в квадрат и сложим:

М 2 (А 2 + В 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

(9)

Садовод одежда для беременных какая линия в Комсомольске-на-Амуре: 258-товаров: бесплатная доставка [перейти]

Партнерская программаПомощь

Комсомольск-на-Амуре

Каталог

Каталог Товаров

Одежда и обувь

Стройматериалы

Текстиль и кожа

Здоровье и красота

Детские товары

Продукты и напитки

Электротехника

Дом и сад

Сельское хозяйство

Промышленность

Мебель и интерьер

Все категории

ВходИзбранное

Садовод одежда для беременных какая линия

regmarkets.ru/listpreview/idata2/cb/e1/cbe14bb2d86248d402877d62768ebdd1.jpg”>

Жен. комплект “Скоро мама” Розовый р. 52 Цвет: Розовый, Размер: 52, Бретелька: Есть

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

regmarkets.ru/listpreview/idata2/cb/e1/cbe14bb2d86248d402877d62768ebdd1.jpg”>

Жен. комплект “Скоро мама” Розовый р. 54 Цвет: Розовый, Размер: 54, Бретелька: Есть

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

regmarkets.ru/listpreview/idata2/cb/e1/cbe14bb2d86248d402877d62768ebdd1.jpg”>

Жен. комплект “Скоро мама” Розовый р. 50 Цвет: Розовый, Размер: 50, Бретелька: Есть

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

regmarkets.ru/listpreview/idata2/cb/e1/cbe14bb2d86248d402877d62768ebdd1.jpg”>

Жен. комплект “Скоро мама” Розовый р. 48 Цвет: Розовый, Размер: 48, Бретелька: Есть

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

regmarkets.ru/listpreview/idata2/cb/e1/cbe14bb2d86248d402877d62768ebdd1.jpg”>

Жен. комплект “Скоро мама” Розовый р. 44 Цвет: Розовый, Размер: 44, Бретелька: Есть

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

Жен. комплект “Скоро мама” Розовый р. 46 Цвет: Розовый, Размер: 46, Бретелька: Есть

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

mds.yandex.net/get-mpic/5210335/img_id8147386049583384098.jpeg/300×300″>

Жен. комплект “Скоро мама” Серый р. 52 Цвет: Серый, Размер: 52, Бретелька: Есть

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

mds.yandex.net/get-mpic/5289292/img_id1976973665400278086.jpeg/300×300″>

Жен. комплект “Мамочки” Голубой р. 44 Цвет: Голубой, Размер: 44, Бретелька: Есть

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

mds.yandex.net/get-mpic/6382710/img_id3322754391917731197.jpeg/300×300″>

Жен. комплект “Мамочки” Голубой р. 54 Цвет: Голубой, Размер: 54, Бретелька: Есть

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

mds.yandex.net/get-mpic/5210428/img_id7793282144889618946.png/300×300″>

Жен. комплект “Скоро мама” Серый р. 50 Цвет: Серый, Размер: 50, Бретелька: Есть

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

mds.yandex.net/get-mpic/4120716/img_id5733322539659592537.jpeg/300×300″>

Комплект Пинетки, мятный

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

jpeg/300×300″>

Жен. комплект “Мамочки” Голубой р. 50 Цвет: Голубой, Размер: 50, Бретелька: Есть

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

jpeg/300×300″>

Жен. комплект “Мамочки” Голубой р. 46 Цвет: Голубой, Размер: 46, Бретелька: Есть

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

jpeg/300×300″>

Жен. комплект “Мамочки” Голубой р. 48 Цвет: Голубой, Размер: 48, Бретелька: Есть

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

Жен. комплект “Дочки-сыночки” Белый р. 44 Цвет: Белый, Размер: 44, Бретелька: Есть

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

regmarkets.ru/listpreview/idata2/f2/8e/f28e9a5c2e3129846dbb9e3e64c53537.jpg”>

Жен. комплект “Мамочки” Голубой р. 52 Цвет: Голубой, Размер: 52, Бретелька: Есть

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

Комплект Пинетки, пудровый

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

jpg”>

Жен. комплект “Мамочки Сиреневый” р. 48 Цвет: Сиреневый, Размер: 48, Бретелька: Есть

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

Комплект Lucky, серый

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

737

1620

Лекало метрическоеHemline “Французская линия” Тип: Линейка, Размер: Длина 20.000 Ширина 10.000

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

regmarkets.ru/listpreview/idata2/f2/ba/f2badc45a0184174480386d903c1308f.jpg”>

199

990

термонаклейка, термонаклейка для одежды, термоаппликация, термотрансфер, декор сублимация, термобирка, наклейка, печать на футболку, наклейка беременных, беременным, беременная.

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

Жен. комплект “Дочки-сыночки” Белый р. 54 Цвет: Белый, Размер: 54, Бретелька: Есть

В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

Брюки KIABI Тип: брюки, Цвет: синий, Бренд: KIABI