Как построить сечение цилиндра наклонной плоскостью: Наклонное сечение цилиндра – СПЛАЙН

Наклонное сечение цилиндра – СПЛАЙН

ЦЕЛЬ И ПОСТАНОВКА ЗАДАНИЯ. Чтобы научиться строить наклонное сечение цилиндра, внимательно изучите последовательность построения, а затем сделайте рисунок сечения цилиндра сначала одной, а затем – несколькими наклонными плоскостями.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ

Положение секущих плоскостей задано ортогональными проекциями на рис. 5.125 и 5.126.

Сечение цилиндра наклонной плоскостью – эллипс. Построение такого сечения выполняется в той же последовательности, что и наклонное сечение шестигранника. Для построения сечения цилиндра наклонной плоскостью (рис. 5.127) также необходимы два вспомогательных сечения, проходящих через его вертикальную ось. Эти сечения помогут определить габариты эллипса. Вспомогательное сечение 7 перпендикулярно секущей плоскости (рис. 5.128). Линия пересечения вспомогательного сечения 1 с наклонной плоскостью – прямая а (рис. 5.729) – фиксирует продольные габариты эллипса (точки А и В). Точка пересечения этой прямой с вертикальной осью цилиндра (точка О) – центр эллипса. Вспомогательное сечение 2 перпендикулярно сечению 7 (рис. 5.730).

Линия пересечения наклонной секущей плоскости со вспомогательной плоскостью 2 – прямая b – фиксирует поперечные габариты эллипса сечения (точки С и D) (рис. 5.131). Для более точного построения проведите через точки А, В, С и D линии, как бы описывая вокруг будущего эллипса прямоугольник, стороны которого параллельны прямым а и Ь. Теперь впишите в этот прямоугольник эллипс, который должен касаться сторон прямоугольника в точках А, В, С и D, а также образующих цилиндра (рис. 5.132). Эллипс наклонного сечения и на вашем перспективном рисунке будет изображаться как эллипс. Однако следует заметить, что его оси не совпадают с осями, определяемыми точками А, Б, С и D. Это хорошо видно на примере сечения цилиндра, изображенного на рис. 5.133. Оси, относительно которых эллипс симметричен, на перспективном рисунке выделены толстой линией. Теперь постройте дополнительные сечения цилиндра наклонными плоскостями.

Рассмотрите рис. 5.734.

Обратите внимание на то, что все эллипсы сечения имеют общий центр. Проанализируйте, как меняются габариты эллипсов сечения при изменении положения секущей плоскости. Поперечный размер эллипсов остается постоянным, а вот продольный меняется, причем, чем вертикальные секущая плоскость, тем он больше. Приближение секущей плоскости к горизонтальному положению уменьшает продольный габарит до тех пор, пока он не станет равным поперечному габариту, тогда эллипс сечения превратится в окружность. Соответственно меняется и площадь сечения. Чем горизонтальные сечение, тем меньше его площадь, при увеличении угла наклона площадь сечения также увеличивается.

Развертка усеченного цилиндра построение | МеханикИнфо

 

Проекция цилиндра, срезанного плоскостью, наклонной к плоскости чертежа, по вертикальной плоскости проекции дает прямую линию, на горизонтальной — окружность, на профильной плоскости — замкнутую кривую, эллипс в искаженном виде.

Если представить себе цилиндр, срезанный плоскостью KS (рис. 1, а), параллельной основанию и проходящей через низшую точку наклонного среза 1, то нижняя часть такого цилиндра развернется в прямоугольник A₁K₁S₁B₁ (рис. 1, б) с высотой h = BS и основанием А₁В₁ = πD.

Рис. 1. Развертка усеченного цилиндра:

а — проекция; б — развертка.

 

Развертка верхней части цилиндра.

 

Чтобы получить развертку верхней части цилиндра выше плоскости

KS, поступают следующим образом. Окружность основания делится на несколько равных частей, в приведенном примере на- восемь равных частей. Точки делений проектируют на вертикальную проекцию и проводят соответствующие образующие цилиндра 1₁ — 1′; 2₁ — 2″ и т. д. Затем делят длину развернутой окружности основания на такое же число равных частей, и из точек делений восстанавливают перпендикуляры, которые будут представлять собой те же образующие цилиндра, на которых затем нужно отложить их длины, измеряя одноименные отрезки на вертикальных проекциях (рис. 1, б). Соединив плавной кривой полученные точки, будем иметь развертку боковой поверхности усеченного цилиндра.

 

Для определения действительной формы поперечного сечения наклонной поверхности цилиндра вводят дополнительную плоскость проекции, параллельную плоскости сечения, на которой форма сечения спроектируется в искаженном виде — в форме эллипса.

 

Построение сечения цилиндра.

 

Для построения сечения на дополнительной плоскости проведем линию, параллельную проекции плоскости сечения, и, спроектировав на нее точки 1″ и 5″ с вертикальной проекции, получим большую ось эллипса. Затем из точки 7″ — 3″ на вертикальной проекции проведем линию, перпендикулярную большой оси эллипса, и, отложив на ней вправо и влево от большой оси отрезки 03″ и 07″, равные радиусу основания цилиндра, получим малую ось эллипса 3″ — 7″.

 

Положение остальных точек 2″, 4″, 6″, 8″ определяется так: на перпендикулярах к большей оси, проведенных из точек 8″ — 2″ и 6″ — 4″ вертикальной проекции, откладываем отрезки m от большей оси эллипса. Плавная кривая, проведенная через полученные восемь точек, будет эллипсом.

 

Построение эллипса на профильной проекции видно из рис. 1, а.

 

Для получения полной развертки поверхности цилиндра следует добавить поверхности наклонного сечения и нижнего основания цилиндра, как указано на рис. 1, б.

 

 

Поверхности. Сечение поверхности плоскостью. Пересечение поверхностей

1. Тема. Поверхности. Сечение поверхности плоскостью. Пересечение поверхностей

Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина
Кафедра “Инженерная графика”
Дисциплина «Инженерная графика»
Раздел «Начертательная геометрия»
Установочная лекция 1 семестр
Тема. Поверхности.
Сечение поверхности
плоскостью. Пересечение
поверхностей
Лектор: Стриганова Л.Ю.
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
1
ПОВЕРХНОСТЬ
МНОЖЕСТВО ПОЛОЖЕНИЙ ЛИНИИ
ПЕРЕМЕЩАЮЩЕЙСЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ПО ОПРЕДЕЛЕННОМУ ЗАКОНУ
Установочная лекция 2. Пересечение
поверхностей. Метод секущих плоскостей
2

3. Гранные поверхности

Призма – образуется при
движении прямолинейной
образующей по ломаной
направляющей.
L – образующая,
m – направляющая
Призма прямая, если
образующие
перпендикулярны
основанию.
L2

m2
L1
m1
Призма правильная , если в
основании правильный
многоугольник
Установочная лекция 2. Пересечение поверхностей. Метод
секущих плоскостей
3

4. Гранные поверхности

Пирамида – образуется при движении
прямолинейной образующей по
ломаной направляющей.
L – образующая, m – направляющая
Все образующие имеют общую точку
(S), которая называется –
вершиной пирамиды.
Пирамида прямая, если высота
перпендикулярна основанию
S2
L2
m2
m1
S1
L1
Пирамида правильная, если в
основании правильный
многоугольник
Установочная лекция 2. Пересечение поверхностей. Метод
секущих плоскостей
4

5. ПРОСТЕЙШИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

I2
m2
m – ОБРАЗУЮЩАЯ ПОВЕРХНОСТИ
I – ОСЬ ВРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
Все точки движутся по окружностям которые называются ПАРАЛЛЕЛИ ПОВЕРХНОСТИ
Самая маленькая параллель ГОРЛО ПОВЕРХНОСТИ
Самая большая параллель I1
m1
ЭКВАТОР ПОВЕРХНОСТИ
Очерк поверхности на фронтальной
плоскости – ГЛАВНЫЙ МЕРИДИАН m
Установочная лекция 2. Пересечение поверхностей. Метод
секущих плоскостей
5

6. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ

i2
1.
2.
i – ось вращения
L – прямолинейная
образующая
L2
i1
L1
Установочная лекция 2. Пересечение
поверхностей. Метод секущих плоскостей
6

7. ПОВЕРХНОСТЬ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ

i2
S
1. i – ось вращения
2. L – прямолинейная
образующая
3. S – вершина конической
поверхности
L2
i1
L1
Установочная лекция 2. Пересечение
поверхностей. Метод секущих плоскостей
7
Пересечение поверхности и
плоскости
В результате сечения поверхности
плоскостью получается линия, которая
образует геометрическую фигуру
(окружность, эллипс, многоугольник и т.п.)
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
8

9. СЕЧЕНИЕ ГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

32 Ξ 42
12 Ξ 22
11
21
31
41
• Сечение гранной
поверхности –
многоугольник,
который строится по
точкам пересечения
секущей плоскости и
ребер многогранника
Установочная лекция 2. i – эллипс
3. g – треугольник
g проходит через вершину S
bп2
i1
L1
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
12

13. СЕЧЕНИЯ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ

4. m – гипербола
m ll I
5.h – парабола
h ll L
i2
hп2
S
L2
i1
mп1
L1
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
13

14. Сечение конуса вращения наклонной плоскостью эллипс

Rк
Rк
22
αп2
1122
22
42
3232
3311
41
1
112
2121
31111
3
411
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
14
121
22
321 421
221
42
12
32
31
41
11
3
21
311
4
1
2
411
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
31
41
15

16. СЕЧЕНИЕ СФЕРЫ

Сечение сферы плоскостью – всегда
окружность, которая может проецироваться
как:
– прямая линия
– окружность
– эллипс
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
16

17. СЕЧЕНИЕ СФЕРЫ плоскостью

gп2
52
12
bп2
42
αп2
32
22
31
41
51
11
21
311 411 511
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
17
ВЗАМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
Линия пересечения поверхностей –
совокупность точек одновременно
принадлежащих двум
пересекающимся поверхностям
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
19

20. Характер линии пересечения зависит от вида поверхностей

• Линия пересечения многогранников ломаная линия
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
20
Линия пересечения
многогранника и
поверхности вращения сочетание плоских кривых
линий (парабола,
гипербола, эллипс и т.д.)
Линия пересечения двух
поверхностей второго
порядка пространственная
кривая
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
21
Задача.
30
Лист 2.
контрольной
работы.
Построить
линию
пересечения
заданных
поверхностей
способом
вспомогательных
секущих плоскостей
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
22
1. Провести анализ изображения
пересекающихся поверхностей
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
23
Цилиндр является
фронтально
проецирующей
поверхностью, так как
все его образующие
фронтально
проецирующие
прямые
Линия пересечения
заданных
поверхностей на
фронтальной
плоскости совпадает
с очерком цилиндра
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
24
12
Характерные точки
22
11
– точки пересечения
очерков точки 1 и 2
на горизонтальной
плоскости находятся
на оси конуса
21
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
25
12
Характерные точки
– низшие точки
очерка цилиндра
12
9 и 10 лежат на
основании конуса
12
22
11
22
11
21
22
21
92Ξ102
91
12
22
11
21
11
21
лекция 2.
10Установочная
1
Пересечение поверхностей.
26
12
π2
52Ξ62
12
22
11
21
22
92Ξ102
91
12
22
11
21
11
• Характерные
точки
– крайние левые
точки очерка
цилиндра (точки
5 и 6), находятся
с помощью
вспомогательной
плоскости π2
21
лекция 2.
10Установочная
1
Пересечение поверхностей.
27
R5
В плоскости π2
фигура сечения конуса –
это окружность R5,
а фигура сечения
цилиндра по его оси –
прямоугольник
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
28
R3
bп2
Промежуточные точки
– 3 и 4 находятся с
помощью
дополнительной
секущей плоскости bп2,
которая рассекает конус
по окружности R3, а
цилиндр по
прямоугольнику
На пересечении этих
фигур находятся точки
взаимного пересечения
поверхностей
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
29
Промежуточные
точки
R7
72 Ξ 82
81
71
п2
– 7 и 8 строятся
аналогично
предыдущим.
Проводят
вспомогательную
плоскость п2
Плоскость рассекает конус
по окружности R7, а
цилиндр по прямоугольнику
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
30
Соединяют полученные
точки в последовательности,
как на проецирующей
поверхности конуса:
1,3,5,7,9,2,10,8,6,4,1
Обводят
изображение с
учетом видимости
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
31

32. Выводы по теме

• Геометрические фигуры сечений
поверхностей строят с помощью метода
вспомогательных секущих плоскостей
• Секущие плоскости – посредники
должны занимать частное положение
• Взаимное пересечение поверхностей –
линии принадлежащие двум
поверхностям одновременно
Установочная лекция 2.
Пересечение поверхностей.
32

33. Рекомендованная литература

• Бударин О. С. Начертательная геометрия. Краткий
курс: учеб. пособие для студентов вузов,
обучающихся по направлениям в обл. техники и
технологий / О. С. Бударин. – 2-е изд., испр. – СанктПетербург ; Москва ; Краснодар: Лань, 2009. – 368 с.
• Королев Ю. И. Начертательная геометрия: учеб. для
вузов инженер.-техн. специальностей / Ю. И.
Королев. – 2-е изд. – Москва ; Санкт-Петербург ;
Нижний Новгород [и др.]: Питер, 2010. – 256 с.
• Чекмарев А. А. Начертательная геометрия и
черчение: учеб. для студентов вузов, обучающихся
по техн. специальностям / А. А. Чекмарев. – 3-е изд.,
перераб. и доп. – Москва: Юрайт, 2011. – 471 с.
Установочная лекция 2. Пересечение
поверхностей. Метод секущих плоскостей
33

34. Благодарю за внимание

Установочная лекция 2. Пересечение
поверхностей. Метод секущих плоскостей
34

Построить сечение конуса плоскостью проходящей перпендикулярно оси. Вопросы к главе VI Цилиндр, конус и шар. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину

В зависимости от расположения секцией плос­кости Р относительно оси прямого кругового кону­са получаются различные фигуры сечения, огра­ниченные кривыми линиями.

Сечение прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Р рассматривается на рис. 182. Основание конуса расположено на плос­кости Н. Фигура сечения в данном случае будет ограничена эллипсом.

Фронтальная проекция фигуры сечения распо­ложена на фронтальном следе плоскости Р (рис. 182, а).

Для построения горизонтальной проекции кон­тура фигуры сечения горизонтальную проекцию основания конуса (окружности) делят, например, на 12 равных частей. Через точки деления на горизонтальной и фронтальной проекциях прово­дят вспомогательные образующие. Сначала нахо­дят фронтальные проекции точек сечения 1′ …12″, лежащих на плоскости P 1 . Затем с по­мощью линии связи находят их горизонтальные проекции. Например, горизонтальная проекция точки 2, расположенной на образующей s2, прое­цируется на горизонтальную проекцию этой же образующей в точку 2.

Найденные горизонтальные проекции точек контура сечения соединяют по лекалу. Действи­тельный вид фигуры сечения в данном примере найден способом перемены плоскости проекций. Плоскость Я заменяется новой плоскостью проек­ции Н 1 .

На фронтальной плоскости проекции V фигура сечения – эллипс изображается в виде прямой 1″7″, совпадающей с фронтальной проекцией секущей плоскости Р. Эта прямая 1′7″ является большой осью эллипса. Малая ось эллипса а”b” перпендикулярна к большой оси 1′ 7″ и проходит

через ее середину. Чтобы найти малую ось сече­ния, через середину большой оси 1′7″ эллипса проводят горизонтальную плоскость N, которая рассечет конус по окружности, диаметр которой будет равняться малой оси эллипса (a 0 b 0).

Построение развертки поверхности конуса (рис. 182, б) начинают с проведения дуги окруж­ности радиусом, равным длине образующей кону­са из точки S 0 . Длина дуги определяется углом α:

где d – диаметр окружности основания конуса; l – длина образующей конуса.

Дугу делят на 12 частей и полученные точки соединяют с вершиной s 0 . От вершины откладыва­ют действительные длины отрезков образующих от вершины конуса до секущей плоскости Р.

Действительные длины этих отрезков находят,

как и в примере с пирамидой, способом в около вертикальной оси, проводящей через шину конуса. Так, например, чтобы получитьдействительную длину отрезка S2, надо из 2′ провести горизонтальную прямую до пересечения в точке b” с контурной образующей конуса, являющейся действительной ее длиной.

К развертке конической поверхности пристраивают фигуры сечения и основания конуса.

Построение изометрической проекции усеченного конуса (рис. 182, в) начинают с по” основания – эллипса. Изометрическую проекцию любой точки кривой сечения находят с п. трех координат, как показано на рис. 182, в.

На оси х откладывают точки I…VII, взятые с горизонтальной проекции конуса. Из полученных точек проводят вертикальные прямые, на которых откладывают координаты z, взятые с фронтальной проекции. Через полученные на наклонной оси

эллипса точки проводят прямые, параллельные оси у, и на них откладывают отрезки 6 0 8 0 и 4 0 10 0 , взятые на действительном виде сечения.

Найденные точки соединяют по лекалу. Край­ние очерковые образующие проводят по каса­тельной к контуру основания конуса и эллипса.

Пример сечения прямого кругового конуса при­веден на рис. 182, г. Колпак сепаратора представ­ляет собой сварную конструкцию из тонкой лис­товой стали и состоит из двух конусов.

В сечении конической поверхности плоскостью получаются кривые второго порядка – окружность, эллипс, парабола и гипербола. В частом случае при определенном расположении секущей плоскости и когда она проходит через вершину конуса (S∈γ), окружность и эллипс вырождаются в точку или в сечении попадает одна или две образующих конуса.

Дает – окружность, когда секущая плоскость перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности.

Дает – эллипс, когда секущая плоскость не перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности.

Построим эллиптическое ω плоскостью α , занимающей общее положение.

Решение задачи на сечение прямого кругового конуса плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость занимает проецирующее положение.

Способом перемены плоскостей проекций переведем плоскость α из общего положения в частное – фронтально-проецирующее. На фронтальной плоскости проекций V 1 построим след плоскости α и проекцию поверхности конуса ω плоскостью дает эллипс, так как секущая плоскость пересекает все образующие конуса. Эллипс проецируется на плоскости проекций в виде кривой второго порядка.
На следе плоскости α V берем произвольную точку 3″ замеряем ее удаление от плоскости проекций H и откладываем его по линии связи уже на плоскости V 1 , получая точку 3″ 1 . Через нее и пройдет след αV 1 . Линия сечения конуса ω – точки A” 1 , E” 1 совпадает здесь со следом плоскости. Далее построим вспомогательную секущию плоскость γ3, проведя на фронтальной плоскости проекций V 1 ее след γ 3V 1 . Вспомогательная плоскость пересекаясь с конической поверхностью ω даст окружность, а пересекаясь с плоскостью α даст горизонтальную прямую h4. В свою очередь прямая пересекаясь с окружностью дает искомые точки C`и K` пересечения плоскости α c конической поверхностью ω . Фронтальные проекции искомых точек C” и K” построим как точки принадлежащие секущей плоскости α .

Для нахождения точки E(E`, E”) линии сечения, проводим через вершину конуса горизонтально-проецирующую плоскость γ 2 H , которая пересечет плоскость α по прямой 1-2(1`-2`, 1″-2″) . Пересечение 1″-2″ с линией связи дает точку E” – наивысшую точку линии сечения.

Для нахождения точки указывающей границы видимости фронтальной проекции линии сечения, проводим через вершину конуса горизонтально-проецирующую плоскость γ 5 H и находим горизонтальную проекцию F` искомой точки. Также, плоскость γ 5 H пересечет плоскость α по фронтали f(f`, f”) . Пересечение f” с линией связи дает точку F” . Соединяем полученные на горизонтальной проекции точки плавной кривой, отметив на ней крайнюю левую точку G – одну из характерных точек линии пересечения.
Затем, строим проекции G на фронтальных плоскостях проекций V1 и V. Все построенные точки линии сечения на фронтальной плоскости проекций V соединяем плавной линией.

Дает – параболу, когда секущая плоскость параллельна одной образующей конуса.

При построении проекций кривых – конических сечений необходимо помнить о теореме: ортогональная проекция плоского сечения конуса вращения на плоскость, перпендикулярную к его оси, есть кривая второго порядка и имеет одним из своих фокусов ортогональную проекцию на эту плоскость вершины конуса.

Рассмотрим построение проекций сечения, когда секущая плоскость α параллельна одной образующей конуса (SD) .

В сечении получится парабола с вершиной в точке A(A`, A”) . Согласно теореме вершина конуса S проецируется в фокус S` . По известному =R S` определяем положение директрисы параболы. В последующем точки кривой строятся по уравнению p=R .

Построение проекций сечения, когда секущая плоскость α параллельна одной образующей конуса, может быть выполнено:

С помощью вспомогательных горизонтально-проецирующих плоскостей проходящих через вершину конуса γ 1 H и γ 2 H .

Сначала определятся фронтальные проекции точек F”, G” – на пересечении образующих S”1″, S”2″ и следа секущей плоскости α V . На пересечении линий связи с γ 1 H и γ 2 H определяться F`, G` .

Аналогично могут быть определены и другие точки линии сечения, например D”, E” и D`, E` .

С помощью вспомогательных фронтально-проецирующих плоскостей ⊥ оси конуса γ 3 V и γ 4 V .

Проекциями сечения вспомогательных плоскостей и конуса на плоскость H , будут окружности. Линиями пересечения вспомогательных плоскостей с секущей плоскостью α будут фронтально- проецирующие прямые.

Дает – гиперболу, когда секущая плоскость параллельна двум образующим конуса.

90 ° .

2. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей?

Сечение – прямоугольник.

3. На основаниях цилиндра взяты две не параллельные друг другу хорды. Может ли кратчайшее расстояние между точками этих хорд быть: а) равным высоте цилиндра; б) больше высоты цилиндра; в) меньше высоты цилиндра?

АВ и CD лежат в параллельных плоскостях.

Н – высота цилиндра.

4. Две цилиндрические детали покрываются слоем никеля одинаковой толщины. Высота первой детали в два раза больше высоты второй, но радиус ее основания в два раза меньше радиуса основания второй детали. На какую из деталей расходуется больше никеля?

Первая деталь Вторая деталь

2l , l – высота (образующая),

r/2, r – радиус основания,

Боковые поверхности равны, но площадь двух оснований второй детали больше площади двух оснований первой детали.

5. Равны ли друг другу углы между образующими конуса и: а) плоскостью основания; б) его осью?

а) да; б) да.

6. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?

Равнобедренный треугольник.

7. Точки А и В принадлежат шару. Принадлежит ли этому шару любая точка отрезка АВ?

8. Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 2 √2 см лежать на сфере радиуса √5 см?

Вычислим гипотенузу прямоугольного треугольника:

Гипотенуза не помещается внутри сферы, тогда, хотя бы одна вершина лежит вне сферы.

9. Могут ли две сферы с общим центром и с неравными радиусами иметь общую касательную плоскость?

Одна сфера всегда будет внутри другой, поэтому общую касательную плоскость провести невозможно.

10. Что представляет собой множество всех точек пространства, из которых данный отрезок виден под прямым углом?

Это сфера, у которой данный отрезок является диаметром.

Теорема (о сечении конуса). Если плоскость пересекает конус и параллельна плоскости его основания, то сечение конуса такой плоскостью подобно основанию конуса. Коэффициент их подобия равен отношению расстояния от вершины конуса до плоскости сечения к высоте конуса.

Напомним, что фигура F подобна фигуре F с коэффициентом , если можно так сопоставить их точки, что для любых точек X, Y фигуры F и соответствующих им точек XY фигуры F (рис. 8.5).

Пусть Р – вершина конуса К, фигура F – его основание, F – сечение конуса К плоскостью а, параллельной плоскости а основания F (рис. 8.6). Докажем, что фигуры F и F подобны. Для этого каждой точке сопоставим точку , в которой отрезок РХ пересекает плоскость а.

Проведем высоту РА конуса К и пусть А – точка, в которой высота РА пересекает плоскость а. Отрезок

РА является высотой конуса К, отсеченного плоскостью а.

Возьмем любые две точки X, Y основания F и пусть X, Y – соответствующие им точки F. Рассмотрим треугольники PXY и PXY. Они подобны, так как отрезки XY и XY параллельны (поскольку плоскость PXY пересекает параллельные плоскости а и а по параллельным прямым). Поэтому

Цель: найти натуральную величину сечения прямого кругового конуса методом замены плоскостей.

Контрольные вопросы:

1. Перечислите виды сечения кругового конуса?

Задание: методом замены плоскостей проекций найти натуральную величину сечения прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью; объекты заданы проекциями на горизонтальную и фронтальную плоскость (варианты заданий приведены в приложении В).

Решим задачу с помощью однократной замены плоскостей проекций. Фигура сечения представляет собой эллипс, который изображается на фронтальной плоскости проекций отрезком прямой, а на горизонтальной плоскости проекций – эллипсом.

Исходные данные для решения задачи приведены на рисунке 7.1.

Заметим, что фронтальная проекция сечения задается отрезком 1 2 – 2 2 и ее длина определяет длину одной из осей искомого эллипса. Построим проекцию осевой линии на плоскость П 5 и найдем проекцию оси 1-2 на эту плоскость и на горизонтальную плоскость (рис. 7.2).

Вторая ось эллипса представляет собой фронтально-проецирующий горизонтальный отрезок, его фронтальная проекция представляет собой точку в середине отрезка 1 2 – 2 2 . Для определения длины этой оси проведем через эту точку вспомогательную фронтально-проецирующую горизонтальную плоскость Σ. Плоскость Σ пересекает конус по окружности, на рисунке 7.3 показано, как определить ее радиус и построить горизонтальную проекцию. Вторая ось эллипса лежит в плоскости этой окружности и касается поверхности конуса в точках 3 и 4. На рисунке 7.4 показано отыскание горизонтальных проекций этих точек. Отрезок 3 2 – 4 2 определяет длину второй оси эллипса.

Построим проекцию оси 3-4 на плоскость П 5 , для этого, как и в предыдущих лабораторных работах, применим команду ALIGN. Результат приведен на рисунке 7.5. Для наглядности горизонтальная проекция оси восстановлена.

На рисунке 7.6 показан результат построения натуральной величины сечения в виде эллипса, заданного осями 1 5 – 2 5 и 3 5 – 4 5 . На этом же рисунке построена горизонтальная проекция сечения, это тоже эллипс, заданный осями 1 1 – 2 1 и 3 1 – 4 1 .

Трехмерная модель сечения приведена на рисунке 7.7.

Рисунок 7.7 – Трехмерная модель сечения

Если секущая плоскость пересекает основание конуса, следует продлить коническую поверхность так, чтобы плоскость пересекала все образующие. Это даст возможность построить сечение в виде эллипса и высечь из него эллиптическую дугу, представляющую сечение заданного конуса (рис. 7.8). Это можно сделать с помощью команды TRIM, воспользовавшись в качестве секущих кромок отрезками 5 5 – 6 5 (для натуральной величины сечения) и 5 1 – 6 1 (для горизонтальной проекции сечения).

Рисунок 7.8 – Сечение в виде эллиптической дуги

Трехмерная модель для этого случая приведена на рисунке 7.9.

Рисунок 7.9 – Трехмерная модель сечения в виде эллиптической дуги

Лабораторная работа №8

Стереометрия (Геометрия в пространстве) – Все свойства, теоремы, аксиомы и формулы – Математика

Оглавление:

 

Базовые теоремы, аксиомы и определения стереометрии

Вводные определения и аксиомы стереометрии

К оглавлению…

Некоторые определения:

1. Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два из которых, имеющие общую сторону, не лежат в одной плоскости. При этом сами многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами многогранника, а их вершины – вершинами многогранника.
2. Фигура, образованная всеми гранями многогранника, называется его поверхностью (полной поверхностью), а сумма площадей всех его граней – площадью (полной) поверхности.
3. Куб – это многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами. Стороны квадратов называются ребрами куба, а вершины – вершинами куба.
4. Параллелепипед – это многогранник, у которого шесть граней и каждая из них – параллелограмм. Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда, а их вершины – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются противолежащими, если они не имеют общего ребра, а имеющие общее ребро называются смежными. Иногда какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда выделяются и называются основаниями, тогда остальные грани – боковыми гранями, а их стороны, соединяющие вершины оснований параллелепипеда, – его боковыми ребрами.
5. Прямой параллелепипед – это такой параллелепипед, у которого боковые грани – прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники. Заметим, что всякий прямоугольный параллелепипед является прямым параллелепипедом, но не любой прямой параллелепипед есть прямоугольный.
6. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда. У параллелепипеда всего четыре диагонали.
7. Призма (n-угольная) – это многогранник, у которого две грани – равные n-угольники, а остальные n граней – параллелограммы. Равные n-угольники называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Прямая призма – это такая призма, у которой боковые грани – прямоугольники. Правильная n-угольная призма – это призма, у которой все боковые грани – прямоугольники, а ее основания – правильные n-угольники.
8. Сумма площадей боковых граней призмы называется площадью ее боковой поверхности (обозначается S_бок). Сумма площадей всех граней призмы называется площадью поверхности призмы (обозначается S_полн).
9. Пирамида (n-угольная) – это многогранник, у которого одна грань – какой-нибудь n-угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной; n-угольник называется основанием; треугольники, имеющие общую вершину, называются боковыми гранями, а их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются ее ребрами, а ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми.
10. Сумма площадей боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды (обозначается S_бок). Сумма площадей всех граней пирамиды называется площадью поверхности пирамиды (площадь поверхности обозначается S_полн).
11. Правильная n-угольная пирамида – это такая пирамида, основание которой – правильный n-угольник, а все боковые ребра равны между собой. У правильной пирамиды боковые грани – равные друг другу равнобедренные треугольники.
12. Треугольная пирамида называется тетраэдром, если все ее грани – равные правильные треугольники. Тетраэдр является частным случаем правильной треугольной пирамиды (т.е. не каждая правильная треугольная пирамида будет тетраэдром).

Аксиомы стереометрии:

1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия из аксиом стереометрии:

• Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.
• Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
• Теорема 3. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

 

Построение сечений в стереометрии

К оглавлению…

Для решения задач по стереометрии остро необходимо умение строить на рисунке сечения многогранников (например, пирамиды, параллелепипеда, куба, призмы) некоторой плоскостью. Дадим несколько определений, поясняющих, что такое сечение:

• Секущей плоскостью пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данной пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба).
• Сечением пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и секущей плоскости.
• Секущая плоскость пересекает грани пирамиды (параллелепипеда, призмы, куба) по отрезкам, поэтому сечение есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости, сторонами которого являются указанные отрезки.

Для построения сечения пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) можно и нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и соединить каждые две из них, лежащие в одной грани. Заметим, что последовательность построения вершин и сторон сечения не существенна. В основе построения сечений многогранников лежит две задачи на построение:

1. Линии пересечения двух плоскостей.

Для построения прямой, по которой пересекаются некоторые две плоскости α и β (например, секущая плоскость и плоскость грани многогранника), нужно построить две их общие точки, тогда прямая, проходящая через эти точки, есть линия пересечения плоскостей α и β.

2. Точки пересечения прямой и плоскости.

Для построения точки пересечения прямой l и плоскости α нужно построить точку пересечения прямой l и прямой l₁, по которой пересекаются плоскость α и любая плоскость, содержащая прямую l.

 

Взаимное расположение прямых и плоскостей в стереометрии

К оглавлению…

Определение: В ходе решения задач по стереометрии две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые а и b, либо AB и CD параллельны, то пишут:

Несколько теорем:

• Теорема 1. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой.
• Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
• Теорема 3 (признак параллельности прямых). Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
• Теорема 4 (о точке пересечения диагоналей параллелепипеда). Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в стереометрии:

• Прямая лежит в плоскости (каждая точка прямой лежит в плоскости).
• Прямая и плоскость пересекаются (имеют единственную общую точку).
• Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости β, то пишут:

Теоремы:

• Теорема 1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
• Теорема 2. Если плоскость (на рисунке – α) проходит через прямую (на рисунке – с), параллельную другой плоскости (на рисунке – β), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей (на рисунке – d) параллельна данной прямой:

 

Если две различные прямые лежат в одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны. Однако, в пространстве (т.е. в стереометрии) возможен и третий случай, когда не существует плоскости, в которой лежат две прямые (при этом они и не пересекаются, и не параллельны).

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой они обе лежат.

Теоремы:

• Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
• Теорема 2. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой.

Теперь введем понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку O в пространстве и проведем через нее прямые a₁ и b₁, параллельные прямым a и b соответственно. Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми a₁ и b₁.

Однако на практике точку O чаще выбирают так, чтобы она принадлежала одной из прямых. Это обычно не только элементарно удобнее, но и рациональнее и правильнее с точки зрения построения чертежа и решения задачи. Поэтому для угла между скрещивающимися прямыми дадим такое определение:

Определение: Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку O на одной из них (в нашем случае, на прямой b) и проведем через неё прямую параллельную другой из них (в нашем случае a₁ параллельна a). Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенной прямой и прямой, содержащей точку O (в нашем случае это угол β между прямыми a₁ и b).

Определение: Две прямые называются взаимно перпендикулярными (перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярными могут быть как скрещивающиеся прямые, так и прямые лежащие и пересекающиеся в одной плоскости. Если прямая a перпендикулярна прямой b, то пишут:

Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Если две плоскости α и β параллельны, то, как обычно, пишут:

Теоремы:

• Теорема 1 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
• Теорема 2 (о свойстве противолежащих граней параллелепипеда). Противолежащие грани параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях.
• Теорема 3 (о прямых пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью). Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые их пересечения параллельны между собой.
• Теорема 4. Отрезки параллельных прямых, расположенные между параллельными плоскостями, равны.
• Теорема 5 (о существовании единственной плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через точку вне ее). Через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Определение: Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Если прямая a перпендикулярна плоскости β, то пишут, как обычно:

Теоремы:

• Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.
• Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
• Теорема 3 (о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости). Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.
• Теорема 4 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
• Теорема 5 (о плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой). Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.
• Теорема 6 (о прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости). Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
• Теорема 7 (о свойстве диагонали прямоугольного параллелепипеда). Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину:

Следствие: Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

 

Теорема о трех перпендикулярах

К оглавлению…

Пусть точка А не лежит на плоскости α. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную плоскости α, и обозначим буквой О точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, называется отрезок АО, точка О называется основанием перпендикуляра. Если АО – перпендикуляр к плоскости α, а М – произвольная точка этой плоскости, отличная от точки О, то отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок ОМ – ортогональная проекция (или, короче, проекция) наклонной АМ на плоскость α. Теперь приведем теорему, которая играет важную роль при решении многих задач.

Теорема 1 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное утверждение:

Теорема 2 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость. Данные теоремы, для обозначений с чертежа выше можно кратко сформулировать так:

Теорема: Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и две наклонные, то:

• две наклонные, имеющие равные проекции, равны;
• из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Определения расстояний объектами в пространстве:

• Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.
• Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.
• Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.
• Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельной первой прямой.

Определение: В стереометрии ортогональной проекцией прямой a на плоскость α называется проекция этой прямой на плоскость α в случае, если прямая, определяющая направление проектирования, перпендикулярна плоскости α.

Замечание: Как видно из предыдущего определения, проекций бывает много. Другие (кроме ортогональной) проекции прямой на плоскость можно построить если прямая определяющая направление проецирования будет не перпендикулярна плоскости. Однако, именно ортогональную проекцию прямой на плоскость в будущем мы будем встречать в задачах. А называть ортогональную проекцию будем просто проекцией (как на чертеже).

Определение: Углом между прямой, не перпендикулярной плоскости, и этой плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость (угол АОА’ на чертеже выше).

Теорема: Угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости.

 

Двугранный угол

К оглавлению…

Определения:

• Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой и частью пространства, для которой эти полуплоскости служат границей.
• Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.

Таким образом, линейный угол двугранного угла – это угол, образованный пересечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Все линейные углы двугранного угла равны между собой. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°). В дальнейшем, при решении задач по стереометрии, под двугранным углом будем понимать всегда тот линейный угол, градусная мера которого удовлетворяет условию:

Определения:

• Двугранным углом при ребре многогранника называется двугранный угол, ребро которого содержит ребро многогранника, а грани двугранного угла содержат грани многогранника, которые пересекаются по данному ребру многогранника.
• Углом между пересекающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведенными соответственно в данных плоскостях перпендикулярно их линии пересечения через некоторую ее точку.
• Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Теоремы:

• Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
• Теорема 2. Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости.

 

Симметрия фигур

К оглавлению…

Определения:

1. Точки M и M₁ называются симметричными относительно точки O, если O является серединой отрезка MM₁.
2. Точки M и M₁ называются симметричными относительно прямой l, если прямая l проходит через середину отрезка MM₁ и перпендикулярна ему.
3. Точки M и M₁ называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка MM₁ и перпендикулярна этому отрезку.
4. Точка O (прямая l, плоскость α) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно точки O (прямой l, плоскости α) некоторой точке этой же фигуры.
5. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.

 

Призма

К оглавлению…

Определения:

1. Призма – многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.
2. Основания – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. На чертеже это: ABCDE и KLMNP.
3. Боковые грани – все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. На чертеже это: ABLK, BCML, CDNM, DEPN и EAKP.
4. Боковая поверхность – объединение боковых граней.
5. Полная поверхность – объединение оснований и боковой поверхности.
6. Боковые ребра – общие стороны боковых граней. На чертеже это: AK, BL, CM, DN и EP.
7. Высота – отрезок, соединяющий основания призмы и перпендикулярный им. На чертеже это, например, KR.
8. Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. На чертеже это, например, BP.
9. Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. Другое определение: диагональная плоскость – плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани.
10. Диагональное сечение – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе, иногда, его частные случаи – ромб, прямоугольник, квадрат. На чертеже это, например, EBLP.
11. Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Свойства и формулы для призмы:

• Основания призмы являются равными многоугольниками.
• Боковые грани призмы являются параллелограммами.
• Боковые ребра призмы параллельны и равны.
• Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

где: S_осн – площадь основания (на чертеже это, например, ABCDE), h – высота (на чертеже это MN).

• Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания:

• Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы (на чертеже ниже перпендикулярное сечение это A₂B₂C₂D₂E₂).
• Углы перпендикулярного сечения – это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
• Перпендикулярное (ортогональное) сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
• Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: S_сеч – площадь перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра (на чертеже ниже это, например, AA₁ или BB₁ и так далее).

• Площадь боковой поверхности произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: P_сеч – периметр перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра.

Виды призм в стереометрии:

• Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной (изображены выше). Основания такой призмы, как обычно, расположены в параллельных плоскостях, боковые рёбра не перпендикулярны этим плоскостям, но параллельны между собой. Боковые грани – параллелограммы.
• Прямая призма – призма, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию. В прямой призме боковые ребра являются высотами. Боковые грани прямой призмы – прямоугольники. А площадь и периметр основания равны соответственно площади и периметру перпендикулярного сечения (у прямой призмы, вообще говоря, перпендикулярное сечение целиком является такой же фигурой, как и основания). Поэтому, площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на длину бокового ребра (или, в данном случае, высоту призмы):

где: P_осн – периметр основания прямой призмы, l – длина бокового ребра, равная в прямой призме высоте (h). Объем прямой призмы находится по общей формуле: V = S_осн∙h = S_осн∙l.

• Правильная призма – призма в основании которой лежит правильный многоугольник (т.е. такой, у которого все стороны и все углы равны между собой), а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. Примеры правильных призм:

Свойства правильной призмы:

1. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.
2. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.
3. Боковые ребра правильной призмы равны между собой.
4. Правильная призма является прямой.

 

Параллелепипед

К оглавлению…

Определение: Параллелепипед – это призма, основания которой параллелограммы. В этом определении ключевым словом является «призма». Таким образом, параллелепипед – это частный случай призмы, которая отличается от общего случая только тем, что в основании у нее не произвольный многоугольник, а именно параллелограмм. Поэтому все приведенные выше свойства, формулы и определения касающиеся призмы остаются актуальными и для параллелепипеда. Однако, можно выделить несколько дополнительных свойств характерных для параллелепипеда.

Другие свойства и определения:

• Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противолежащими, а имеющие общее ребро – смежными.
• Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими.
• Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, называется диагональю параллелепипеда.
• Параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы.
• Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.
• У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой точкой пополам.
• Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники (а основания – произвольные параллелограммы), то он называется прямым (в этом случае, как и у прямой призмы, все боковые ребра перпендикулярны основаниям). Все свойства и формулы для прямой призмы актуальны для прямого параллелепипеда.
• Параллелепипед называется наклонным, если не все его боковые грани являются прямоугольниками.
• Объем прямого или наклонного параллелепипеда рассчитывается по общей формуле для объема призмы, т.е. равен произведению площади основания параллелепипеда на его высоту (V = S_осн∙h).
• Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники (т.е. кроме боковых граней еще и основания являются прямоугольниками), называется прямоугольным. Для прямоугольного параллелепипеда актуальны все свойства прямого параллелепипеда, а также:
  • Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его рёбра a, b, c связаны соотношением:

d² = a² + b² + c².

• • Из общей формулы для объема призмы можно получить следующую формулу для объема прямоугольного параллелепипеда:

• Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются равными квадратами, называется кубом. Помимо прочего, куб является правильной четырехугольной призмой, и вообще правильным многогранником. Для куба справедливы все свойства прямоугольного параллелепипеда и свойства правильных призм, а также:
  • Абсолютно все рёбра куба равны между собой.
  • Диагональ куба d и длина его ребра a связаны соотношением:

• Из формулы для объема прямоугольного параллелепипеда можно получить следующую формулу для объема куба:

 

Пирамида

К оглавлению…

Определения:

• Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и так далее. На рисунке приведены примеры: четырёхугольная и шестиугольная пирамиды.

• Основание – многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. На чертеже основание это BCDE.
• Грани, отличные от основания, называются боковыми. На чертеже это: ABC, ACD, ADE и AEB.
• Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды (именно вершиной всей пирамиды, а не просто вершиной, как все остальные вершины). На чертеже это A.
• Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. На чертеже это: AB, AC, AD и AE.
• Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем – вершины основания. Для пирамиды с чертежа обозначение будет таким: ABCDE.

• Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. На чертеже высота это AG. Обратите внимание: только в случае если пирамида является правильной четырехугольной пирамидой (как на чертеже) высота пирамиды попадает на диагональ основания. В остальных случаях это не так. В общем случае у произвольной пирамиды, точка пересечения высоты и основания может оказаться где угодно.
• Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На чертеже это, например, AF.
• Диагональное сечение пирамиды – сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. На чертеже это, например, ACE.

Еще один стереометрический чертеж с обозначениями для лучшего запоминания (на рисунке правильная треугольная пирамида):

Если все боковые ребра (SA, SB, SC, SD на чертеже ниже) пирамиды равны, то:

• Около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (точка O). Иными словами, высота (отрезок SO), опущенная из вершины такой пирамиды на основание (ABCD), попадает в центр описанной вокруг основания окружности, т.е. в точку пересечения посерединных перпендикуляров основания.
• Боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы (на чертеже ниже это углы SAO, SBO, SCO, SDO).

Важно: Также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом (углы DMN, DKN, DLN на чертеже ниже равны), то:

• В основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (точка N). Иными словами, высота (отрезок DN), опущенная из вершины такой пирамиды на основание, попадает в центр вписанной в основание окружности, т.е. в точку пересечения биссектрис основания.
• Высоты боковых граней (апофемы) равны. На чертеже ниже DK, DL, DM – равные апофемы.
• Площадь боковой поверхности такой пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани (апофему).

где: P – периметр основания, a – длина апофемы.

Важно: Также верно и обратное, то есть если в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом и высоты боковых граней (апофемы) равны.

 

Правильная пирамида

К оглавлению…

Определение: Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

• Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
• Все боковые грани правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом.

Важное замечание: Как видим правильные пирамиды являются одними из тех пирамид к которым относятся свойства, изложенные чуть выше. Действительно, если основание правильной пирамиды – это правильный многоугольник, то центр его вписанной и описанной окружностей совпадают, а вершина правильной пирамиды проецируется именно в этот центр (по определению). Однако важно понимать, что не только правильные пирамиды могут обладать свойствами, о которых говорилось выше.

• В правильной пирамиде все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
• В любую правильную пирамиду можно как вписать сферу, так и описать около неё сферу.
• Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

 

Формулы для объема и площади пирамиды

К оглавлению…

Теорема (об объеме пирамид, имеющих равные высоты и равные площади оснований). Две пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы (Вы конечно, наверняка уже знаете формулу для объема пирамиды, ну или видите ее несколькими строчками ниже, и Вам кажется это утверждение очевидным, но на самом деле, если судить «на глаз», то данная теорема не так уж и очевидна (см. рисунок ниже). Это относится кстати и к другим многогранникам и геометрическим фигурам: их внешний вид обманчив, поэтому, действительно – в математике нужно доверять только формулам и правильным расчетам).

• Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

где: S_осн – площадь основания пирамиды, h – высота пирамиды.

• Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Для площади боковой поверхности пирамиды можно формально записать такую стереометрическую формулу:

где: S_бок – площадь боковой поверхности, S₁, S₂, S₃ – площади боковых граней.

• Полная поверхность пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

 

Тетраэдр

К оглавлению…

Определения:

• Тетраэдр – простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, иными словами, треугольная пирамида. Для тетраэдра любая из его граней может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
• Тетраэдр называется правильным, если все его грани – равносторонние треугольники. У правильного тетраэдра:
  1. Все ребра правильного тетраэдра равны между собой.
  2. Все грани правильного тетраэдра равны между собой.
  3. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой.

На чертеже изображен правильный тетраэдр, при этом треугольники ABC, ADC, CBD, BAD – равны. Из общих формул для объема и площадей пирамиды, а также знаний из планиметрии не сложно получить формулы для объема и площадей правильного тетраэдра (а – длина ребра):

 

Прямоугольная пирамида

К оглавлению…

Определение: При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. На рисунке слева SA – ребро, являющееся одновременно высотой.

 

Усечённая пирамида

К оглавлению…

Определения и свойства:

• Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
• Фигура, полученная на пересечении секущей плоскости и исходной пирамиды, также называется основанием усеченной пирамиды. Итак, у усеченной пирамиды на чертеже два основания: ABC и A₁B₁C₁.
• Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. На чертеже это, например, AA₁B₁B.
• Боковыми ребрами усеченной пирамиды называются части ребер исходной пирамиды, заключенные между основаниями. На чертеже это, например, AA₁.
• Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания.
• Усеченная пирамида называется правильной, если она является многогранником, который отсекается плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды.
• Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники.
• Боковые грани правильной усеченной пирамиды – равнобедренные трапеции.
• Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани.
• Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней.

Формулы для усеченной пирамиды

Объём усечённой пирамиды равен:

где: S₁ и S₂ – площади оснований, h – высота усечённой пирамиды. Однако на практике, удобнее искать объем усеченной пирамиды так: можно достроить усечённую пирамиду до пирамиды, продлив до пересечения боковые рёбра. Тогда объём усечённой пирамиды можно найти, как разность объёмов всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности также можно искать как разность между площадями боковой поверхности всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы:

где: P₁ и P₂ – периметры оснований правильной усеченной пирамиды, а – длина апофемы. Площадь полной поверхности любой усеченной пирамиды, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

 

Пирамида и шар (сфера)

К оглавлению…

Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник (т.е. многоугольник около которого можно описать сферу). Данное условие является необходимым и достаточным. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им.

Замечание: Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу. Однако, список пирамид около которых можно описать сферу не исчерпывается этими типами пирамид. На чертеже справа, на высоте SH надо выбрать точку О, равноудалённую от всех вершин пирамиды: SO = OВ = OС = OD = OA. Тогда точка О – центр описанного шара.

Теорема: В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Замечание: Вы, очевидно, не поняли того, что прочитали строчкой выше. Однако, главное запомнить, что любая правильная пирамида является такой, в которую можно вписать сферу. При этом список пирамид, в которые можно вписать сферу не исчерпывается правильными.

Определение: Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, а каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На рисунке справа плоскость γ является биссекторной плоскостью двугранного угла, образованного плоскостями α и β.

На стереометрическом чертеже ниже изображен шар вписанный в пирамиду (или пирамида описанная около шара), при этом точка О – центр вписанного шара. Данная точка О равноудалена от всех граней шара, например:

ОМ = ОО₁

 

Пирамида и конус

К оглавлению…

В стереометрии конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Важное свойство: Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

 

Пирамида и цилиндр

К оглавлению…

Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.

Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды – вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

 

Сфера и шар

К оглавлению…

Определения:

1. Сфера – замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы.
2. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы.
3. Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Центр сферы делит любой его диаметр на два равных отрезка. Любой диаметр сферы радиусом R равен 2R.
4. Шар – геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Обратите внимание: поверхность (или граница) шара называется сферой. Можно дать и такое определение шара: шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.
5. Радиусом, хордой и диаметром шара называются радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей данного шара.
6. Разница между шаром и сферой аналогична разнице между кругом и окружностью. Окружность – это линия, а круг – это ещё и все точки внутри этой линии. Сфера – это оболочка, а шар – это ещё и все точки внутри этой оболочки.
7. Плоскость, проходящая через центр сферы (шара), называется диаметральной плоскостью.
8. Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).

Теоремы:

• Теорема 1 (о сечении сферы плоскостью). Сечение сферы плоскостью есть окружность. Заметим, что утверждение теоремы остается верным и в случае, если плоскость проходит через центр сферы.
• Теорема 2 (о сечении шара плоскостью). Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении.

Наибольший круг, из числа тех, которые можно получить в сечении данного шара плоскостью, лежит в сечении, проходящем через центр шара О. Он то и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара AB. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра (на рис. A и B), можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.

Определения:

1. Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
2. Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.
3. Любая прямая, лежащая в касательной плоскости сферы (шара) и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере (шару). По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку – точку касания.

Теоремы:

• Теорема 1 (признак касательной плоскости к сфере). Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы.
• Теорема 2 (о свойстве касательной плоскости к сфере). Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

 

Многогранники и сфера

К оглавлению…

Определение: В стереометрии многогранник (например, пирамида или призма) называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около многогранника (пирамиды, призмы). Аналогично: многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на границе этого шара. При этом шар называется описанным около многогранника.

Важное свойство: Центр сферы, описанной около многогранника, находится на расстоянии, равном радиусу R сферы, от каждой вершины многогранника. Приведем примеры вписанных в сферу многогранников:

Определение: Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера (шар) касается всех граней многогранника. При этом сфера и шар называются вписанными в многогранник.

Важно: Центр сферы, вписанной в многогранник, находится на расстоянии, равном радиусу r сферы, от каждой из плоскостей, содержащих грани многогранника. Приведем примеры описанных около сферы многогранников:

 

Объем и площадь поверхности шара

К оглавлению…

Теоремы:

• Теорема 1 (о площади сферы). Площадь сферы равна:

где: R – радиус сферы.

• Теорема 2 (об объеме шара). Объем шара радиусом R вычисляется по формуле:

 

Шаровой сегмент, слой, сектор

К оглавлению…

Шаровой сегмент

В стереометрии шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая секущей плоскостью. При этом соотношение между высотой, радиусом основания сегмента и радиусом шара:

где: h − высота сегмента, r − радиус основания сегмента, R − радиус шара. Площадь основания шарового сегмента:

Площадь внешней поверхности шарового сегмента:

Площадь полной поверхности шарового сегмента:

Объем шарового сегмента:

Шаровой слой

В стереометрии шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями. Площадь внешней поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара. Площадь полной поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара, r₁, r₂ − радиусы оснований шарового слоя, S₁, S₂ − площади этих оснований. Объем шарового слоя проще всего искать как разность объемов двух шаровых сегментов.

Шаровой сектор

В стереометрии шаровым сектором называется часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара и основанием, совпадающим с основанием шарового сегмента. Здесь подразумевается, что шаровой сегмент меньше чем пол шара. Площадь полной поверхности шарового сектора:

где: h − высота соответствующего шарового сегмента, r − радиус основания шарового сегмента (или конуса), R − радиус шара. Объем шарового сектора вычисляется по формуле:

 

Цилиндр

К оглавлению…

Определения:

1. В некоторой плоскости рассмотрим окружность с центром O и радиусом R. Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную плоскости окружности. Цилиндрической поверхностью называется фигура, образованная этими прямыми, а сами прямые называются образующими цилиндрической поверхности. Все образующие цилиндрической поверхности параллельны друг другу, так как они перпендикулярны плоскости окружности.

2. Прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности. Неформально, можно воспринимать цилиндр как прямую призму, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности цилиндра.
3. Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между секущими плоскостями, которые перпендикулярны ее образующим, а части (круги), отсекаемые цилиндрической поверхностью на параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Основания цилиндра – это два равных круга.
4. Образующей цилиндра называется отрезок (или длина этого отрезка) образующей цилиндрической поверхности, расположенный между параллельными плоскостями, в которых лежат основания цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны между собой, а также перпендикулярны основаниям.
5. Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры кругов, являющихся основаниями цилиндра.
6. Высотой цилиндра называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания цилиндра к плоскости другого основания. В цилиндре высота равна образующей.
7. Радиусом цилиндра называется радиус его оснований.
8. Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.
9. Цилиндр можно получить поворотом прямоугольника вокруг одной из его сторон на 360°.
10. Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – хорды оснований цилиндра.
11. Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, две стороны которого есть образующие цилиндра, а две другие – диаметры его оснований.
12. Если секущая плоскость, перпендикулярна оси цилиндра, то в сечении образуется круг равный основаниям. На чертеже ниже: слева – осевое сечение; в центре – сечение параллельное оси цилиндра; справа – сечение параллельное основанию цилиндра.

 

Цилиндр и призма

К оглавлению…

Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. В этом случае цилиндр называется описанным около призмы. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае будут равны. Все боковые ребра призмы будут принадлежать боковой поверхности цилиндра и совпадать с его образующими. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать в такой цилиндр можно также только прямую призму. Примеры:

Призма называется описанной около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра. В этом случае цилиндр называется вписанным в призму. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае также будут равны. Все боковые ребра призмы будут параллельны образующим цилиндра. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать такой цилиндр можно только в прямую призму. Примеры:

 

Цилиндр и сфера

К оглавлению…

Сфера (шар) называется вписанной в цилиндр, если она касается оснований цилиндра и каждой его образующей. При этом цилиндр называется описанным около сферы (шара). Сферу можно вписать в цилиндр, только если это равносторонний цилиндр, т.е. диаметр его основания и высота равны между собой. Центром вписанной сферы будет служить середина оси цилиндра, а радиус этой сферы будет совпадать с радиусом цилиндра. Пример:

Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра являются сечениями сферы. Цилиндр называется вписанным в шар, если основания цилиндра являются сечениями шара. При этом шар (сфера) называется описанным около цилиндра. Вокруг любого цилиндра можно описать сферу. Центром описанной сферы также будет служить середина оси цилиндра. Пример:

На основе теоремы Пифагора легко доказать следующую формулу, связывающую радиус описанной сферы (R), высоту цилиндра (h) и радиус цилиндра (r):

 

Объем и площадь боковой и полной поверхностей цилиндра

К оглавлению…

Теорема 1 (о площади боковой поверхности цилиндра): Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту:

где: R – радиус основания цилиндра, h – его высота. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности прямой призмы.

Площадью полной поверхности цилиндра, как обычно в стереометрии, называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания цилиндра (т.е. просто площадь круга) вычисляется по формуле:

Следовательно, площадь полной поверхности цилиндра S_{полн. цилиндра} вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме цилиндра): Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

где: R и h – радиус и высота цилиндра соответственно. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема призмы.

Теорема 3 (Архимеда): Объём шара в полтора раза меньше объёма, описанного вокруг него цилиндра, а площадь поверхности такого шара в полтора раза меньше площади полной поверхности того же цилиндра:

 

Конус

К оглавлению…

Определения:

1. Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга (называемого основанием конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (называемой вершиной конуса) и всех возможных отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Неформально, можно воспринимать конус как правильную пирамиду, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности конуса.

2. Отрезки (или их длины), соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
3. Поверхность конуса состоит из основания конуса (круга) и боковой поверхности (составленной из всех возможных образующих).
4. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
5. Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом.
6. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе, как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы, а основание – вращением катета, не являющимся осью.
7. Радиусом конуса называется радиус его основания.
8. Высотой конуса называется перпендикуляр (или его длина), опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту, т.е. прямая проходящая через центр основания и вершину.
9. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Такое сечение называется осевым.

10. Если секущая плоскость проходит через внутреннюю точку высоты конуса и перпендикулярна ей, то сечением конуса является круг, центр которого есть точка пересечения высоты и этой плоскости.
11. Высота (h), радиус (R) и длина образующей (l) прямого кругового конуса удовлетворяют очевидному соотношению:

 

Объем и площадь боковой и полной поверхностей конуса

К оглавлению…

Теорема 1 (о площади боковой поверхности конуса). Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую:

где: R – радиус основания конуса, l – длина образующей конуса. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площади боковой поверхности и площади основания. Площадь основания конуса (т.е. просто площадь круга) равна: S_осн = πR². Следовательно, площадь полной поверхности конуса S_{полн. конуса} вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме конуса). Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

где: R – радиус основания конуса, h – его высота. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема пирамиды.

 

Усеченный конус

К оглавлению…

Определения:

1. Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом.

2. Основание исходного конуса и круг, получающийся в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями, а отрезок, соединяющий их центры – высотой усеченного конуса.
3. Прямая проходящая через высоту усеченного конуса (т.е. через центры его оснований) является его осью.
4. Часть боковой поверхности конуса, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конуса, расположенные между основаниями усеченного конуса, называются его образующими.
5. Все образующие усеченного конуса равны между собой.
6. Усеченный конус может быть получен при повороте на 360° прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.

Формулы для усеченного конуса:

Объем усеченного конуса равен разности объемов полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:

где: S₁ = πr₁² и S₂ = πr₂² – площади оснований, h – высота усечённого конуса, r₁ и r₂ – радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса. Однако на практике, всё же удобнее искать объем усеченного конуса как разность объёмов исходного конуса и отсеченной части. Площадь боковой поверхности усеченного конуса также можно искать как разность между площадями боковой поверхности исходного конуса и отсеченной части.

Действительно, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности площадей боковых поверхностей полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

где: P₁ = 2πr₁ и P₂ = 2πr₂ – периметры оснований усеченного конуса, l – длина образующей. Площадь полной поверхности усеченного конуса, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

Обратите внимание, что формулы для объема и площади боковой поверхности усеченного конуса получены на основе формул для аналогичных характеристик правильной усеченной пирамиды.

 

Конус и сфера

К оглавлению…

Конус называется вписанным в сферу (шар), если его вершина принадлежит сфере (границе шара), а окружность основания (само основание) является сечением сферы (шара). При этом сфера (шар) называется описанной около конуса. Вокруг прямого кругового конуса всегда можно описать сферу. Центр описанной сферы будет лежать на прямой содержащей высоту конуса, а радиус этой сферы будет равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

Сфера (шар) называется вписанной в конус, если сфера (шар) касается основания конуса и каждой его образующей. При этом конус называется описанным около сферы (шара). В прямой круговой конус всегда можно вписать сферу. Её центр будет лежать на высоте конуса, а радиус вписанной сферы будет равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

 

Конус и пирамида

К оглавлению…

• Конус называется вписанным в пирамиду (пирамида – описанной около конуса), если основание конуса вписано в основание пирамиды, а вершины конуса и пирамиды совпадают.
• Пирамида называется вписанной в конус (конус – описанным около пирамиды), если ее основание вписано в основание конуса, а боковые ребра являются образующими конуса.
• Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Примечание: Подробнее о том, как в стереометрии конус вписывается в пирамиду или описывается около пирамиды уже говорилось в ранее здесь.

Цилиндр. Формулы и свойства

Определение.

Цилиндр — это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями (основами цилиндра).

Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая при движении прямой (образующей L) параллельно самой себе, вдоль плоской кривой направляющей.

Основания цилиндра – плоские фигуры, образованные пересечением цилиндрической поверхности с двумя плоскостями.

Круговой цилиндр

В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая — окружность, а основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии.

Прямой круговой цилиндр можно описать, как объёмного фигуру, образующуюся вращением прямоугольника вокруг своей стороны на 360°.

Определение. Радиус цилиндра r – это радиус основания цилиндра.

Определение. Диаметр цилиндра d – это диаметр основания цилиндра.

Определение. Высота цилиндра h – это расстояние между основаниями цилиндра.

Определение. Ось цилиндра – это прямая O₁O₂, которая проходит через центры оснований цилиндра.

Определение. Поверхность цилиндра состоит из цилиндрической поверхности и оснований цилиндра.

Определение. Осевое сечение цилиндра – это сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра.

Определение. Касательная плоскость к цилиндру – это плоскость, которая проходит через образующую цилиндра и перпендикулярно к осевому сечении цилиндра.

Формула. Объём цилиндра:

V = πr2h = π	d2	h ,
	4

где r – радиус основы, h – высота цилиндра, d – диаметр основы. Формула. Площадь ,боковой поверхности цилиндра:

S_b = 2πrh = πdh

Формула. Полная площадь поверхности цилиндра:

S = 2πr(h + r)

Косой цилиндр – цилиндр, основы которого не параллельны (Рис.2)

Наклонный цилиндр – цилиндр, у которого образующие не перпендикулярно основам цилиндра (Рис.3 – наклонный круговой цилиндр).

[PDF] [pptx, 2MБ] – Free Download PDF

Download [pptx, 2MБ]…

• • • • • • •

Стр. 130 п. 59, 60 № 522 № 524 № 526 № 527(б) № 531 № 538

• Дайте определение движения пространства.

• Приведите примеры движения пространства. • В правую или левую перчатку переходит правая перчатка при осевой симметрии? центральной симметрии? зеркальной симметрии?

Центральный зал станции

Определение 1: Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. О

α

О1

О

О1

О

α

О1

Круговой наклонный цилиндр

О

О1

Круговой прямой цилиндр

B X′

X

Y′

M

N Y

A

Цилиндрическая поверхность

Рассмотрим прямой круговой цилиндр.

Стр.131 4

• • • • • •

Радиус Основания Образующие Высота Ось Боковая поверхность

1 2

3

• 1. Радиусом цилиндра называется радиус его основания. • 2. Основаниями цилиндра называются его круги. • 3. Образующими цилиндра называются отрезки, соединяющие точки окружностей его оснований. • 4. Высотой цилиндра называется расстояние между основаниями. • 5. Осью цилиндра называется прямая, соединяющая центры его оснований. • 6. Боковой поверхностью цилиндра называется его цилиндрическая поверхность.

• • • • • •

1. Радиус 2. Основания 3. Образующие 4. Высота 5. Ось 6. Боковая поверхность

1) Основания равны и параллельны 2) Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу 3) все высоты цилиндра параллельны и равны друг другу.

О

О1

Определение 2: Цилиндром называется тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг его стороны как оси.

В

А

С

Д

Д

С

А

В

О′

это сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра. О

№ 523, 525

это круг, равный основанию цилиндра

АВА1В1 – прямоугольник АА1=ВВ1=h

это ограниченная эллипсом область или часть её

Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Задача 1.

Концы отрезка АВ, равного а, лежат на окружностях основания цилиндра. Радиус цилиндра равен r, высота h, расстояние между прямой АВ и осью ОО1 цилиндра равно d. 1.Объясните, как построить отрезок, В

О1

а

h C

K

А

d r

О

длина которого равна расстоянию между скрещивающимися прямыми АВ и ОО1 2. Составьте план нахождения величины d по заданным величинам a, h, r. План: 1) из ∆АВС найти АС, затем АК 2) из ∆АКО найти d 3. Составьте план нахождения

величины h по заданным величинам a, d, r. План: 1) из ∆АKO найти АK, затем АC 2) из ∆АBC найти BC = h

№ 527(а) Дано: АВ=13 дм, r = 10 дм, d = 8 дм. Найти: h. В О1

h

13 C K 8

А

10

О

Ответ: 5 дм

Задача 2. Плоскость γ, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу AmD с градусной мерой α. Высота цилиндра равна h, расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно d. С

1. Докажите, что сечение цилиндра О1

В

плоскостью γ есть прямоугольник. 2. Объясните, как построить

γ h

отрезок, длина которого равна расстоянию между осью цилиндра и секущей плоскостью.

D K m А

α

O

3. Составьте и объясните план

вычисления площади сечения по данным α, d, h

№ 535 Дано: γ IIОО1 , дуга AmD с градусной мерой α=600, h= 10 3 см , d = 2см. Найти: Sсеч С О1 В γ h

D K m А

α

O

Ответ: 40 см2

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Развертка цилиндра

B

B

h

r A

B1

h

A

A1

2πr

Sбок = 2πrh Sцил = Sбок + 2Sосн = 2πrh+2πr2 = 2πr(r+h)

1. Прямоугольник, стороны которого 6см и 4см, вращается около меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения и площадь его осевого сечения. 2. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 12см. Найдите площадь поверхности цилиндра.

Тема: Цилиндр 4.Сечения цилиндра

Осевое сечение

Сечение плоскостью, перпендикулярной к оси

Высота цилиндра равна Н, радиус его основания равен R. В цилиндр помещена пирамида, высота которой совпадает с образующей АА1 цилиндра, а основанием служит равнобедренный треугольник АВС (АВ=АС), вписанный в основание цилиндра. Найти площадь боковой поверхности пирамиды, если А = 120°.

A1

O1

B D

A

O C

Дано: в цилиндр с высотой H и радиусом R вписана пирамида, образующая АА1 – высота пирамиды, АВС, АВ=АС, АВС – вписан в основание цилиндра, угол А = 120°. Найти: Sбок пирамиды. Решение: 1)Проведем AD ┴ BC и соединим точки А1 и D. Согласно теореме , имеем А1D┴ BC. Так как дуга CAB содержит 120° , а дуги АС и АВ – по 60° , то ВС = R , АВ = R . 3 2)В ∆ ABD имеем AD = R/2 . Далее, из ∆AA1D получим A1D = ½ R²² Следовательно SА1АВ = ½ АВ · АА1 = ½ RH SА1ВС = ½ ВС · А1D = ½ R

·½ 3

3) Sбок = 2 SА1АВ + SА1ВС = RH + ¼ R = R/4(4H + ).² 3R² Ответ: R/4(4H +

).² 3R²

R²=¼² R

3R²=²

3R²²

Высота цилиндра равна 12 см. Через середину образующей цилиндра проведена прямая, пересекающая ось цилиндра на расстоянии 4 см от нижнего основания. Эта прямая пересекает плоскость, содержащую нижнее основание цилиндра, на расстоянии 18 см от центра нижнего основания. Найдите радиус основания цилиндра.

M1

O1

B М2

Дано: цилиндр, высота О1О2 = 12 см, В – середина образующей М1М2, АВ пересекает О1О2 в т.С, СО2 = 4 см, АО2 = 18 см. Найти: R основания.

C ┐

R

┐ O2

A

Решение: Проведем плоскость через данную в условии задачи прямую АВ и ось цилиндра О1О2 . Эта плоскость содержит также образующую М1М2, в которой пересекается с поверхностью цилиндра. Длина М1М2 равна высоте цилиндра, т.е. М1 М2 = 12см, тогда по условию ВМ2 = 6 см. А  90 М1 М2 || О1О2, значит, ВМ 2 А  СО,2 еще у треугольников ∆АВМ2 и ∆АСО2 общий угол А, и значит они подобны. Отсюда СО2 АО2 4 18  , т.е.  , ВМ 2 АМ 2 6 18  R 4(18  R)  6  18, 4 R  36, R  9.

Ответ: 9см

Тема: Цилиндр Задачи 1.Высота цилиндра Н, радиус основания R. Сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра, – квадрат. Найти расстояние этого сечения от оси. 2. Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.

Тема: Цилиндр Задачи Площадь боковой поверхности цилиндра равна Q. Найдите площадь осевого сечения.

Тренировочные упражнения • Задание1(α=1): прямоугольник АВСД вращается вокруг большей(меньшей) стороны. а)Нарисуйте это тело вращения. Дайте ему определение б)Что образует при вращении отрезок ВС? Отрезок АВ? в)Какие отрезки являются радиусами, высотой, осью цилиндра? г)Напишите формулу для вычисления площади основания и площади осевого сечения цилиндра.

Тренировочные упражнения Задание2 (α=2). • Решите задачу: прямоугольник со сторонами 7см и 10см вращается вокруг большей стороны. Найти: • а) площадь основания цилиндра; • б) площадь осевого сечения.

Блог Дэвида: Эллипс в цилиндрическом сечении

Эллипсы можно создать двумя способами: пропуская диагональную плоскость сечения через правый цилиндр или через правый конус. Я планирую изучить эти методы в следующих двух публикациях.

В этом посте я исследую первый метод: создание эллипса путем углового разреза правого цилиндра радиуса r.

Когда режущая плоскость проходит через цилиндр под углом, создаваемая поверхность принимает форму эллипса:
Чтобы проверить это утверждение, давайте посмотрим на цилиндр сбоку и прикрепим начало системы координат x-y-z к центральной линии цилиндра.Положительный x находится на плоскости разреза, выровненной с длинной стороной разреза. Положительное значение y находится на плоскости обрезки, выровнено с короткой стороной выреза и входит в страницу. Положительный z перпендикулярен плоскости сечения. α – угол, под которым режущая плоскость пересекает цилиндр относительно горизонтали. См. Следующее изображение для иллюстрации этих свойств.
Если смотреть на разрез сверху и перпендикулярно плоскости разреза, он выглядит так, как показано на следующем изображении (ось Z выходит из страницы, прямо на зрителя):
(Обратите внимание, что эллипс, созданный таким образом, совпадает с эллипсом, созданным путем проецирования круга на плоскость, наклоненную под тем же углом, α.)

Теперь разделу будут присвоены номера и вычислены некоторые числовые результаты, чтобы подтвердить, что эллипс действительно описан.

Для упрощения сравнения с другими эллипсами, которые будут исследованы, большой полуоси a будет присвоено значение 1. Эксцентриситет e должен быть достаточно значительным, чтобы эллипс четко отличался от эллипса. круг, поэтому ему будет присвоено значение 0,786151377746. Эти значения и другие соответствующие величины, которые на их основе, следующие:
a = 1
e = 0.786151377746
b = r = √ (1 – e ²) = 0,618033988764
α = 0,

6894284 рад

Теперь вычислим некоторые точки данных. Имейте в виду, что x _e и y _e – это в плоскости эллипса .

Начните со значения x _e в плоскости x _e -y _e .

Теперь вычислим значение y _e в этой точке x _e .
Проецирование x _e в горизонтальную плоскость,
x = x _e cos (α).
На окружности в горизонтальной плоскости это значение x соответствует углу θ = arccos (x / r).
В свою очередь, этот угол соответствует значению y, равному y = r sin (θ).
Но y = y _e , поэтому получается следующее выражение для y _e :

y _e = r sin [arccos ((x _e cos (α)) / r)]

Но cos (α) / r = 1 / a и a = 1, поэтому выражение сводится к

y _e = r sin [arccos (x _e )] = r √ (1 – x _e ²)

Но r = √ (1 – e ²), поэтому выражение может быть изменено -зарегистрированный как

y _e = √ (1 – e ²) √ (1 – x _e ²)

Фактически, этот результат совпадает со стандартным уравнением эллипса (но с перестановкой):

(x² / a²) + (y² / b²) = 1

y² = b² (1 – x²)

(Имейте в виду, что a = 1)
Следовательно,

y = √ (1 – e ²) √ (1 – x²)

Очевидно, разрез цилиндра действительно дает эллипс.

Подставляя некоторые числа в это уравнение,
для x _e = 0,05, y _e = 0,617260962835,
для x _e = 0,10, y _e = 0,614936054525,
и т. Д.

Фактически, значения четверти эллипса приведены в таблице в другом сообщении в блоге:

Сообщение в блоге: Примеры данных эллипса

Точки данных, вычисленные из выражения для y выше, занесены в таблицу в столбце под заголовком y _e .

Этикетки: цилиндр, эллипс, эллиптическое сечение

Разделов твердых тел

1. Цилиндр с диаметром основания 40 мм и высотой 60 мм опирается на HP.Он разрезан плоскостью сечения, перпендикулярной VP, наклоненной под углом 45 ⁰ к HP и проходящей через точку на оси на 15 мм ниже круглой вершины. Нарисуйте FV, TV в разрезе и истинную форму разреза, а также проработайте оставшуюся часть цилиндра. Шаг I : Нарисуйте TV и FV. цилиндра. Шаг II : Поскольку плоскость сечения расположена под углом , перпендикулярно VP, под углом 45 ⁰ к HP. Он проходит через точку на оси на 15 мм ниже круглой вершины.Отметьте точку c на оси под верхней поверхностью. Нарисуйте плоскость сечения, проходящую через точку «c» и составляющую угол 45 ⁰ к HP. Шаг III: Нарисуйте телевизор в разрезе, как показано путем проецирования a, b, c и d на телевизор.

   Шаг IV: Нарисовать истинную форму. Возьмите горизонтальную линию под линией XY, как показано. Отметьте точки a, b, c и d на том же расстоянии, что и на плоскости сечения. Нарисуйте вертикальные и горизонтальные проекторы и нарисуйте истинную форму секции

   Шаг V: Нарисуйте развертку поверхности. Нарисуйте прямоугольник, длина которого равна длине окружности, как показано. Разделите длину на восемь равных частей. Дайте числа, как показано. Поскольку точка «а» находится на генераторе 1. Проведите горизонтальный проектор через «а». Отметьте «а» на пересечении проектора и генераторов через 1 в развертке поверхности. Проделайте ту же процедуру для всех остальных точек. Получите развитие поверхности, соединив все точки пересечения плавной кривой.

2. Правый круговой конус диаметром основания 50 мм и длиной оси 60 мм опирается на свое основание на H.P. В конусе вырезается полукруглое отверстие радиусом 15 мм так, чтобы ось отверстия была перпендикулярна V.P. и пересекала ось конуса на высоте 20 мм над основанием. Нарисуйте развертку боковой поверхности конуса.

Решение

2. Шестиугольная пирамида с основанием 30 мм и осью 70 мм лежит на своей треугольной грани на H.P. Режется АВП, которая составляет угол 30 градусов к В.П. и проходящий через точку на оси 25 мм от основания.Нарисуйте С.Ф.В., Т.В. и истинную форму сечения.

Решение:

Важные шаги:

1. На первом этапе предположим, что гексагональная пирамида просто удерживается на H.P. Нарисуйте T.V. В T.V. нарисуйте шестиугольник так, чтобы его край был перпендикулярен V.P. , (, потому что он опирается на одну из своих треугольных граней) . Затем нарисуйте Ф.В.
2. В Ф.В. отметьте точку M , на 25 мм выше основания. M – точка, через которую проходит AVP (вспомогательная вертикальная плоскость).
3. На втором этапе нарисуйте F.V. так что его треугольная грань o’de лежит на H.P. Соответственно нарисуйте T.V.

Нарисуйте плоскость сечения, проходящую через M под углом 30 ⁰ к V.P. (Поскольку плоскость сечения наклонена к ВП, ее линейный вид будет отображаться на ТВ)

4. Отметьте точки пересечения 1, 2, 3, 4, 5 и 6 плоскости сечения и базовых кромок и более длинные кромки в ТВ. Спроецируйте эти точки пересечения на ТВ. Ф.В. по соответствующим краям.
5. Последовательно соедините точки и заштриховав замкнутую область, покажите вид спереди в разрезе.
6. На третьем этапе нарисуйте плоскость сечения с точкой пересечения ниже линии XY и параллельно ей. Получите истинную форму сечения.

3. Правый круговой конус с диаметром основания 60 мм и осью 70 мм опирается на в.д. Он разрезан плоскостью сечения, составляющей к В.П. угол 60 градусов. и проходящий через точку в 15 мм от оси. Нарисуйте С.Ф.В., Т.В., и истинная форма сечения.

Катящийся объект, ускоряющийся вниз по склону

Это меньшее ускорение, чем у скользящего блока выше – как мы и ожидали.

Катящийся диск с использованием крутящего момента

Можем ли мы получить ускорение диска, не используя принцип работы-энергии? да. Начнем с диаграммы силы диска, катящегося по склону.

Три силы, это должно быть просто, верно? Диск ускоряется только в направлении оси x (вдоль плоскости), так что это должно быть простой проблемой.Но нет. Это не так просто. Проблема в силе трения. Эта сила трения предотвращает скольжение диска. Поскольку диск катится без проскальзывания, сила трения будет силой трения покоя. Мы можем смоделировать величину этой силы с помощью следующего уравнения.

Здесь μ _s – коэффициент трения покоя. Это зависит от взаимодействия двух типов материалов. Если мне известна нормальная сила, то я могу вычислить МАКСИМАЛЬНУЮ силу трения, но не точную силу трения.Я знаю, что это кажется безумным, но представьте себе супершероховатую поверхность для диска и плоскости. В таком случае сила трения может быть довольно большой. Что, если бы сила трения была больше, чем составляющая силы тяжести в направлении плоскости? Это заставило бы диск разогнаться ВВЕРХ самолета. Это было бы безумием. Верно?

Сила статического трения называется сдерживающей силой. Он прилагает любую необходимую силу, так что диск катится, а не скользит – до некоторого максимального значения.Но что это за ценность? Кто знает. Это должно нас остановить? Нет. Вот уравнение для чистых сил в x-направлении (я называю наклон вниз как положительное направление):

Если бы я только мог найти эту силу трения, я бы ответил на ускорение. Давайте посмотрим на другое место, где сила трения имеет значение – на крутящий момент. Принцип углового момента гласит, что чистый крутящий момент (относительно центра) равен моменту инерции, умноженному на угловое ускорение диска (относительно центра).Есть только одна сила, которая создает крутящий момент относительно центра масс диска – это сила трения. И нормальная сила, действующая на диск, и гравитационная сила, действующая на диск, проходят через центр вращения, так что крутящие моменты равны нулю.

Вот уравнение крутящего момента для вращающегося диска.

Поскольку существует только один крутящий момент, я записал это как величину крутящего момента и величину углового ускорения (в этом случае векторы крутящего момента и углового ускорения будут в одном направлении).Также я могу сказать еще кое-что об этом угловом ускорении. Диск катится без проскальзывания. Это означает, что существует следующая зависимость между угловым ускорением и линейным ускорением центра масс:

Подставляя это вместо α и подставляя выражение для момента инерции диска, я получаю:

Теперь я могу поместить это выражение для силы трения в результирующие силы в уравнении x-направления сверху.

СТРЕЛА.Тот же ответ, что и метод Работа-Энергия. Было бы странно, если бы у меня было другое ускорение с помощью этого метода?

Экспериментальный метод

Я не собираюсь делать это. Вы можете сделать это сами. Вот как:

• Получите какой-нибудь пандус.
• Угол наклона можно измерить, измерив высоту и длину. Если хотите, вы можете получить одно из этих приложений для измерения уровня для своего смартфона.
• Купите автомобиль с низким коэффициентом трения. Да, у них есть колеса, но если масса автомобиля намного больше массы колес, вы можете использовать это как «скользящий объект без трения».
• Ускорение можно измерить несколькими способами. Я бы использовал один из датчиков движения Vernier или PASCO. Вы также можете записать видео, на котором объект падает, а затем использовать видеоанализ. Наконец, вы можете просто вывести машину из состояния покоя, а затем измерить расстояние и время.
• Теперь найдите диск. Не имеет значения размер или масса, просто она имеет однородную плотность. Попробуйте найти ту, которая будет катиться прямо.
• Измерьте ускорение диска при его скатывании по склону.Просто ради удовольствия попробуйте и большой, и маленький диск, чтобы увидеть, дают ли они одинаковое (или примерно одинаковое) ускорение.

Вот и все. Весело, правда? Кроме того, вы можете попробовать предметы другой формы, такие как сфера или кольцо.

Хорошо, последнее замечание. Это было немного дольше, чем я ожидал. Тем не менее, я думаю, что это отличный пример, который вводит множество различных концепций вводной физики. Фактически, я просто собираюсь добавить это в свою электронную книгу по физике – Just Enough Physics (версия для Amazon Kindle).

Это мой план для этой книги. Когда у меня есть что-то, что уместно добавить к нему, я просто так и сделаю. Думайте об этом как о живой и расширяющейся книге. Конечно, вы знаете, что, купив книгу, вы получите обновления бесплатно, верно?

Недавно я обновил эту книгу и решил сделать более красивую обложку. Вот эта обложка.

Помните, это просто электронная книга. Там могут быть какие-то ошибки. Если вы найдете что-то, оставьте комментарий на странице Amazon, и я постараюсь держать его в курсе.

11.1 Катящееся движение – Университетская физика, том 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Опишите физику качения без пробуксовки
• Объясните, как линейные переменные связаны с угловыми переменными для случая качения без проскальзывания
• Найдите линейное и угловое ускорение при качении с проскальзыванием и без него
• Расчет силы статического трения, связанной с качением без проскальзывания
• Использование энергосбережения для анализа качения

Катящееся движение – это обычная комбинация вращательного и поступательного движения, которую мы видим повсюду, каждый день.Подумайте о различных ситуациях, когда колеса движутся на машине по шоссе, или колеса самолета, приземляющегося на взлетно-посадочную полосу, или колеса робота-исследователя на другой планете. Понимание сил и моментов, задействованных в перекатывающем движении является решающим фактором во многих различных ситуациях.

Для анализа качения в этой главе обратитесь к (Рисунок) в разделе «Вращение с фиксированной осью», чтобы найти моменты инерции некоторых общих геометрических объектов. Вы также можете найти это полезным в других расчетах, связанных с вращением.

Катящееся движение без проскальзывания

С момента изобретения колеса люди наблюдают качение без проскальзывания. Например, мы можем посмотреть на взаимодействие шин автомобиля и поверхности дороги. Если водитель нажимает педаль акселератора на пол так, что колеса вращаются без движения автомобиля вперед, должно возникнуть кинетическое трение между колесами и поверхностью дороги. Если водитель медленно нажимает на педаль акселератора, заставляя автомобиль двигаться вперед, колеса катятся без проскальзывания.Для большинства людей удивительно, что на самом деле нижняя часть колеса неподвижна по отношению к земле, что указывает на наличие статического трения между шинами и поверхностью дороги. На (Рисунок) велосипед находится в движении, а гонщик остается в вертикальном положении. Шины контактируют с поверхностью дороги, и, даже если они катятся, днища шин слегка деформируются, не скользят и находятся в состоянии покоя по отношению к поверхности дороги в течение измеримого количества времени. Для этого должно быть статическое трение между шиной и поверхностью дороги.

Рис. 11.2 (a) Велосипед движется вперед, и его шины не скользят. Дно слегка деформированной шины находится в состоянии покоя по отношению к поверхности дороги в течение измеримого времени. (b) Это изображение показывает, что верхняя часть катящегося колеса кажется размытой из-за его движения, но нижняя часть колеса мгновенно находится в состоянии покоя. (кредит А: модификация работы Нельсона Лоуренсу; кредит б: модификация работы Колина Роуза)

Чтобы проанализировать качение без пробуксовки, мы сначала выводим линейные переменные скорости и ускорения центра масс колеса через угловые переменные, которые описывают движение колеса.Ситуация показана на (Рисунок).

Рис. 11.3 (a) Колесо движется по горизонтальной поверхности под действием силы.

. Сила трения покоя

достаточно большой, чтобы не соскользнуть. (b) Векторы линейной скорости и ускорения центра масс и соответствующие выражения для

. Точка P покоится относительно поверхности. (c) Относительно центра масс (ЦМ) точка P имеет линейную скорость

.

Из (Рисунок) (a) мы видим векторы силы, участвующие в предотвращении скольжения колеса. В (b) точка P , которая касается поверхности, находится в состоянии покоя относительно поверхности. Относительно центра масс точка P имеет скорость

.

, где R, – радиус колеса, а

– угловая скорость колеса вокруг своей оси. Поскольку колесо вращается, скорость P относительно поверхности равна его скорости относительно центра масс плюс скорость центра масс относительно поверхности:

Поскольку скорость P относительно поверхности равна нулю,

, это означает, что

Таким образом, скорость центра масс колеса равна его радиусу, умноженному на угловую скорость вокруг его оси.Мы показываем соответствие линейной переменной в левой части уравнения с угловой переменной в правой части уравнения. Это сделано ниже для линейного ускорения.

Если мы продифференцируем (рисунок) в левой части уравнения, мы получим выражение для линейного ускорения центра масс. В правой части уравнения R – постоянная величина, а поскольку

у нас

Кроме того, мы можем найти расстояние, которое проходит колесо, с точки зрения угловых переменных, обратившись к (Рисунок).Когда колесо катится от точки A к точке B , его внешняя поверхность отображается на земле точно на пройденное расстояние, которое составляет

.

Из (Рисунок) видно, что длина внешней поверхности, которая сопоставляется с землей, равна длине дуги

.

. Приравнивая два расстояния, получаем

Рисунок 11.4 Когда колесо катится по поверхности, длина дуги

от A до B отображается на поверхности, что соответствует расстоянию

, что центр масс сместился.

Пример

Скатывание наклонной плоскости

Цельный цилиндр катится по наклонной плоскости без проскальзывания, начиная с состояния покоя. Он имеет массу м и радиус r . а) Каково его ускорение? (b) При каком условии должен коэффициент трения покоя

устраивает так цилиндр не проскальзывает?

Стратегия

Нарисуйте эскиз и диаграмму свободного тела и выберите систему координат.Ставим x по направлению вниз по плоскости и y вверх перпендикулярно плоскости. Определите задействованные силы. Это нормальная сила, сила тяжести и сила трения. Запишите законы Ньютона в направлениях x и y и закон Ньютона для вращения, а затем найдите ускорение и силу, обусловленную трением.

Решение

1. Схема и эскиз свободного тела показаны на (Рисунок), включая нормальную силу, компоненты веса и силу статического трения.Трения едва хватает, чтобы цилиндр катился без проскальзывания. Поскольку проскальзывания нет, величина силы трения меньше или равна

   . Записав законы Ньютона в направлениях x и y , мы получим

   Рисунок 11.5 Сплошной цилиндр катится по наклонной плоскости, не соскальзывая с места. Система координат имеет x в направлении вниз по наклонной плоскости и y перпендикулярно плоскости.На диаграмме свободного тела показаны нормальная сила, сила трения покоя и компоненты веса.

   . Трение заставляет цилиндр катиться по плоскости, а не скользить.

   Подставляя из диаграммы свободного тела,

   , мы можем найти линейное ускорение центра масс из следующих уравнений:

   Однако полезно выразить линейное ускорение через момент инерции.Для этого запишем второй закон вращения Ньютона

   .

   Крутящие моменты рассчитываются относительно оси, проходящей через центр масс цилиндра. Единственный ненулевой крутящий момент обеспечивается силой трения. У нас

   Наконец, линейное ускорение связано с угловым ускорением на

   Эти уравнения можно использовать для решения

   с точки зрения момента инерции, где мы опустили индекс x .Пишем

   по вертикальной составляющей силы тяжести и силы трения и сделаем следующие замены.

   Отсюда получаем

   Обратите внимание, что этот результат не зависит от коэффициента трения покоя,

   .

   Так как у нас цельный цилиндр, из (Рисунок) у нас

   и

   Следовательно, имеем

2. Поскольку скольжения не происходит,

   .Решение для силы трения,

   Подставляя это выражение в условие отсутствия скольжения и отмечая, что

   , у нас

   или

   Для сплошного цилиндра это становится

Значение

1. Линейное ускорение линейно пропорционально

   Таким образом, чем больше угол наклона, тем больше ожидаемое линейное ускорение.Однако угловое ускорение линейно пропорционально

   .

   и обратно пропорционально радиусу цилиндра. Таким образом, чем больше радиус, тем меньше угловое ускорение.

2. Чтобы не было проскальзывания, коэффициент трения покоя должен быть больше или равен

   . Таким образом, чем больше угол наклона, тем больше должен быть коэффициент трения покоя для предотвращения скольжения цилиндра.

Проверьте свое понимание

Полый цилиндр находится на склоне под углом

Коэффициент трения покоя по поверхности

. а) Катится ли цилиндр без проскальзывания? (b) Будет ли сплошной цилиндр катиться без проскальзывания

[показать-ответ q = ”275472 ″] Показать ответ [/ показать-ответ]
[скрытый-ответ a =” 275472 ″] a.

; вставив угол и отметив, что для полого цилиндра

у нас

нам дается значение 0.6 для коэффициента трения покоя, который меньше 0,87, поэтому условие не выполняется и полый цилиндр будет проскальзывать; б. Сплошной цилиндр подчиняется условию

Значение 0,6 для

удовлетворяет этому условию, поэтому твердый цилиндр не будет скользить. [/ Hidden-answer]

Стоит повторить уравнение, полученное в этом примере, для ускорения движения объекта без проскальзывания:

Это очень полезное уравнение для решения проблем, связанных с качением без проскальзывания.Обратите внимание, что ускорение меньше, чем у объекта, скользящего по плоскости без трения без вращения. Ускорение также будет различным для двух вращающихся цилиндров с разной инерцией вращения.

Катящееся движение с проскальзыванием

В случае качения с проскальзыванием мы должны использовать коэффициент кинетического трения, который дает кинетическую силу трения, поскольку трение покоя отсутствует. Ситуация показана на (Рисунок). В случае скольжения –

, потому что точка P на колесе не покоится на поверхности, а

.Таким образом,

.

Рис. 11.6 (a) Кинетическое трение возникает между колесом и поверхностью из-за скольжения колеса. (b) Простые отношения между линейными и угловыми переменными больше не действительны.

Пример

Скатывание наклонной плоскости со скольжением

Сплошной цилиндр скатывается по наклонной плоскости из состояния покоя и проскальзывает ((Рисунок)). Он имеет массу м и радиус r . а) Каково его линейное ускорение? б) Каково его угловое ускорение относительно оси, проходящей через центр масс?

Стратегия

Нарисуйте эскиз и диаграмму свободного тела, показывающую задействованные силы.Диаграмма свободного тела аналогична случаю без проскальзывания, за исключением силы трения, которая является кинетической, а не статической. Используйте второй закон Ньютона, чтобы найти ускорение в направлении x . Используйте второй закон вращения Ньютона, чтобы найти угловое ускорение.

Решение

Рисунок 11.7 Сплошной цилиндр скатывается по наклонной плоскости из состояния покоя и подвергается скольжению. Система координат имеет x в направлении вниз по наклонной плоскости и y вверх, перпендикулярно плоскости.На диаграмме свободного тела показаны нормальная сила, кинетическая сила трения и компоненты веса.

Сумма сил в направлении y равна нулю, поэтому сила трения теперь равна

.

Второй закон Ньютона в направлении x становится

или

Сила трения обеспечивает единственный крутящий момент вокруг оси через центр масс, поэтому второй закон вращения Ньютона принимает вид

Решение для

, у нас

Значение

Запишем линейное и угловое ускорение через коэффициент кинетического трения.Линейное ускорение такое же, как и для объекта, скользящего по наклонной плоскости с кинетическим трением. Угловое ускорение вокруг оси вращения линейно пропорционально нормальной силе, которая зависит от косинуса угла наклона. Как

, эта сила стремится к нулю, и, таким образом, угловое ускорение стремится к нулю.

Сохранение механической энергии при качении

В предыдущей главе мы ввели кинетическую энергию вращения.Любой катящийся объект несет кинетическую энергию вращения, а также поступательную кинетическую энергию и потенциальную энергию, если этого требует система. С учетом гравитационной потенциальной энергии полная механическая энергия качения объекта составляет

.

В отсутствие каких-либо неконсервативных сил, которые забирали бы энергию из системы в виде тепла, полная энергия катящегося объекта без проскальзывания сохраняется и остается постоянной на протяжении всего движения. Примерами несохранения энергии являются катящийся объект, который скользит, выделение тепла в результате кинетического трения и катящийся объект, сталкивающийся с сопротивлением воздуха.

Вы можете спросить, почему катящийся объект, который не скользит, сохраняет энергию, поскольку сила статического трения неконсервативна. Ответ можно найти, вернувшись к (Рисунок). Точка P , контактирующая с поверхностью, находится в состоянии покоя по отношению к поверхности. Следовательно, его бесконечно малое смещение

по отношению к поверхности равна нулю, и дополнительная работа, выполняемая силой статического трения, равна нулю. Мы можем применить закон сохранения энергии к нашему изучению качения, чтобы получить некоторые интересные результаты.

Пример

Curiosity Rover

Марсоход Curiosity , показанный на (Рисунок), был развернут на Марсе 6 августа 2012 г. Колеса марсохода имеют радиус 25 см. Предположим, что астронавты прибудут на Марс в 2050 году и обнаружат неработающий Curiosity на краю бассейна. Пока они разбирают марсоход, космонавт случайно теряет сцепление с одним из колес, которое катится, не соскользнув, на дно бассейна на 25 метров ниже.Если колесо имеет массу 5 кг, какова его скорость на дне таза?

Рис. 11.8 Марсоход Curiosity Марсианской научной лаборатории НАСА во время испытаний 3 июня 2011 года. Место находится внутри сборочного цеха космических кораблей в Лаборатории реактивного движения НАСА в Пасадене, Калифорния. (Источник: NASA / JPL-Caltech)

Стратегия

Для анализа проблемы мы используем механизм сохранения механической энергии. На вершине холма колесо покоится и имеет только потенциальную энергию.На дне бассейна колесо имеет вращательную и поступательную кинетическую энергию, которая должна быть равна начальной потенциальной энергии по закону сохранения энергии. Поскольку колесо катится без пробуксовки, воспользуемся соотношением

, чтобы связать трансляционные переменные с вращательными переменными в уравнении сохранения энергии. Затем мы решаем скорость. Из (Рисунок) мы видим, что полый цилиндр является хорошим приближением для колеса, поэтому мы можем использовать этот момент инерции, чтобы упростить расчет.

Решение

Энергия в верхней части бассейна равна энергии в нижней части:

Известные количества:

.

Перепишем уравнение сохранения энергии, исключив

с использованием

У нас

или

На Марсе ускорение свободного падения

, что дает величину скорости на дне бассейна как

Значение

Это довольно точный результат, учитывая, что на Марсе очень мало атмосферы, и потеря энергии из-за сопротивления воздуха будет минимальной.Результат также предполагает, что местность гладкая, так что колесо не будет сталкиваться с камнями и неровностями на своем пути.

Кроме того, в этом примере кинетическая энергия или энергия движения равномерно распределяется между линейным и вращательным движением. Если мы посмотрим на моменты инерции на (Рисунок), мы увидим, что полый цилиндр имеет наибольший момент инерции для данного радиуса и массы. Если бы колеса марсохода были твердыми и были бы аппроксимированы твердыми цилиндрами, например, при линейном движении было бы больше кинетической энергии, чем при вращательном движении.Это дало бы колесу большую линейную скорость, чем приближение полого цилиндра. Таким образом, твердый цилиндр достигнет дна резервуара быстрее, чем полый цилиндр.

Сводка

• При перекатывающем движении без проскальзывания между катящимся объектом и поверхностью присутствует сила статического трения. Отношения

  все применимы, так что линейная скорость, ускорение и расстояние до центра масс являются угловыми переменными, умноженными на радиус объекта.

• При перекатывающем движении с проскальзыванием между катящимся объектом и поверхностью возникает кинетическая сила трения. В этом случае,

  .

• Энергосбережение можно использовать для анализа качения. Энергия сохраняется при качении без скольжения. При качении с проскальзыванием энергия не сохраняется из-за тепла, выделяемого кинетическим трением.

Концептуальные вопросы

Может ли круглый предмет, выпущенный из состояния покоя на вершине склона без трения, совершать перекатывающееся движение?

[show-answer q = ”fs-id1165036812159 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165036812159 ″]

Нет, сила трения покоя равна нулю.

[/ hidden-answer]

Цилиндрическая банка радиуса R катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. (а) На какое расстояние сместился ее центр масс после одного полного оборота банки? б) Было бы это расстояние больше или меньше, если бы произошло скольжение?

Колесо освобождается сверху на склоне. Существует ли вероятность проскальзывания колеса при крутом или пологом уклоне?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165037047596 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165037047596 ″]

Колесо с большей вероятностью проскальзывает на крутом склоне, так как коэффициент статического трения должен увеличиваться с углом, чтобы поддерживать качение без проскальзывания.

[/ hidden-answer]

Что быстрее катится по наклонной плоскости: полый цилиндр или сплошная сфера? Оба имеют одинаковую массу и радиус.

Полая сфера и полый цилиндр одинакового радиуса и массы скатываются по наклонной поверхности без скольжения и имеют одинаковую начальную скорость центра масс. Какой объект достигает большей высоты перед остановкой?

[показывать-ответ q = ”fs-id11650369

″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id11650369

″]

Цилиндр достигает большей высоты.По (рисунок) его ускорение в направлении вниз по уклону было бы меньше.

[/ hidden-answer]

Проблемы

Какова угловая скорость шины диаметром 75,0 см на автомобиле, движущемся со скоростью 90,0 км / ч?

[show-answer q = ”719142 ″] Показать ответ [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 719142 ″]

[/ hidden-answer]

Мальчик едет на велосипеде 2,00 км. Колеса имеют радиус 30,0 см. На какой общий угол поворачиваются шины во время его поездки?

Если мальчик на велосипеде в предыдущей задаче ускоряется от состояния покоя до скорости 10.0 м / с за 10,0 с, каково угловое ускорение шин?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165037846364 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165037846364 ″]

[/ hidden-answer]

болида Формулы-1 имеют шины диаметром 66 см. Если во время гонки Формула-1 в среднем развивает скорость 300 км / ч, каково угловое смещение в оборотах колес, если гоночный автомобиль поддерживает эту скорость в течение 1,5 часов?

Мрамор скатывается по склону под углом

из остальных.а) Каково его ускорение? (б) Как далеко он уходит за 3,0 с?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165038000616 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165038000616 ″]

[/ hidden-answer]

Повторите предыдущую задачу, заменив шарик твердым цилиндром. Объясните новый результат.

Жесткое тело цилиндрического поперечного сечения освобождается от верха

наклон.Он откатывает 10,0 м до дна за 2,60 с. Найдите момент инерции тела через его массу m и радиус r.

[показывать-ответ q = ”fs-id1165037169593 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165037169593 ″]

положительный – вниз по наклонной плоскости;

,

[/ hidden-answer]

Йо-йо можно представить как твердый цилиндр массой м и радиусом r , по окружности которого обернута легкая струна (см. Ниже).Один конец струны фиксируется в пространстве. Если цилиндр падает при разматывании струны без проскальзывания, каково ускорение цилиндра?

Цельный цилиндр радиусом 10,0 см скатывается по склону со скольжением. Угол наклона

Коэффициент кинетического трения по поверхности 0,400. Какое угловое ускорение твердого цилиндра? Что такое линейное ускорение?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165038304382 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165038304382 ″]

,

[/ hidden-answer]

Шар для боулинга скатывается по рампе 0.Высота 5 м без сползания на хранение. Он имеет начальную скорость центра масс 3,0 м / с. а) Какова его скорость наверху рампы? (b) Если пандус высотой 1 м, доходит ли он до вершины?

Цельный цилиндр весом 40,0 кг катится по горизонтальной поверхности со скоростью 6,0 м / с. Сколько работы потребуется, чтобы это остановить?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165037047359 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165037047359 ″]

[/ hidden-answer]

А 40.Твердая сфера весом 0 кг катится по горизонтальной поверхности со скоростью 6,0 м / с. Сколько работы потребуется, чтобы это остановить? Сравните результаты с предыдущей проблемой.

Цельный цилиндр катится по склону под углом

Если он начинается снизу со скоростью 10 м / с, как далеко он поднимается по склону?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165038133403 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165038133403 ″]

Механическая энергия внизу равна механической энергии вверху;

,

, поэтому расстояние вверх по склону равно

.

[/ hidden-answer]

Сплошное цилиндрическое колесо массой M и радиусом R тянется силой

нанесен на центр колеса на

по горизонтали (см. Следующий рисунок). Если колесо должно катиться без пробуксовки, каково максимальное значение

?

Коэффициенты статического и кинетического трения равны

.

Полому цилиндру присваивается скорость 5.0 м / с и скатывается по склону на высоту 1,0 м. Если полой сфере той же массы и радиуса придать одинаковую начальную скорость, насколько высоко она скатывается по склону?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165038369522 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165038369522 ″]

Использование энергосбережения

,

.

Вычитая два уравнения, исключая начальную поступательную энергию, получаем

,

,

,

.

Таким образом, полая сфера с меньшим моментом инерции катится до меньшей высоты

.

[/ hidden-answer]

Глоссарий

качение

сочетание вращательного и поступательного движения с проскальзыванием или без него

11.1 Движение качения | University Physics Volume 1

В предыдущей главе мы ввели кинетическую энергию вращения. Любой катящийся объект несет кинетическую энергию вращения, а также поступательную кинетическую энергию и потенциальную энергию, если этого требует система.{2} + мг. [/ latex]

В отсутствие каких-либо неконсервативных сил, которые забирали бы энергию из системы в виде тепла, общая энергия катящегося объекта без скольжения сохраняется и остается постоянной на протяжении всего движения. Примерами несохранения энергии являются катящийся объект, который скользит, выделение тепла в результате кинетического трения и катящийся объект, сталкивающийся с сопротивлением воздуха.

Вы можете спросить, почему катящийся объект, который не скользит, сохраняет энергию, поскольку сила статического трения неконсервативна.Ответ можно найти, вернувшись к (Рисунок). Точка P , контактирующая с поверхностью, находится в состоянии покоя по отношению к поверхности. Следовательно, его бесконечно малое смещение [латекс] d \ overset {\ to} {r} [/ latex] по отношению к поверхности равно нулю, а дополнительная работа, выполняемая силой статического трения, равна нулю. Мы можем применить закон сохранения энергии к нашему изучению качения, чтобы получить некоторые интересные результаты.

Пример

Curiosity Rover

Марсоход Curiosity , показанный на (Рисунок), был развернут на Марсе 6 августа 2012 года.Колеса марсохода имеют радиус 25 см. Предположим, что астронавты прибудут на Марс в 2050 году и обнаружат неработающий Curiosity на краю бассейна. Пока они разбирают марсоход, космонавт случайно теряет сцепление с одним из колес, которое катится, не соскользнув, на дно бассейна на 25 метров ниже. Если колесо имеет массу 5 кг, какова его скорость на дне таза?

Рис. 11.8 Марсоход Curiosity Марсианской научной лаборатории NASA во время испытаний 3 июня 2011 года.Это место находится внутри сборочного цеха космических кораблей в Лаборатории реактивного движения НАСА в Пасадене, Калифорния. (Источник: NASA / JPL-Caltech)

Стратегия

Для анализа проблемы мы используем механизм сохранения механической энергии. На вершине холма колесо покоится и имеет только потенциальную энергию. На дне бассейна колесо имеет вращательную и поступательную кинетическую энергию, которая должна быть равна начальной потенциальной энергии по закону сохранения энергии. Поскольку колесо вращается без проскальзывания, мы используем соотношение [latex] {v} _ {\ text {CM}} = r \ omega [/ latex], чтобы связать трансляционные переменные с вращательными переменными в уравнении сохранения энергии.{2}) 25.0 \, \ text {m}} = 9.63 \, \ text {m} \ text {/} \ text {s} \ text {.} [/ Latex]

Значение

Это довольно точный результат, учитывая, что на Марсе очень мало атмосферы, и потеря энергии из-за сопротивления воздуха будет минимальной. Результат также предполагает, что местность гладкая, так что колесо не будет сталкиваться с камнями и неровностями на своем пути.

Кроме того, в этом примере кинетическая энергия или энергия движения равномерно распределяется между линейным и вращательным движением.Если мы посмотрим на моменты инерции на (Рисунок), мы увидим, что полый цилиндр имеет наибольший момент инерции для данного радиуса и массы. Если бы колеса марсохода были твердыми и были бы аппроксимированы твердыми цилиндрами, например, при линейном движении было бы больше кинетической энергии, чем при вращательном движении. Это дало бы колесу большую линейную скорость, чем приближение полого цилиндра. Таким образом, твердый цилиндр достигнет дна резервуара быстрее, чем полый цилиндр.

(PDF) Цилиндр на склоне как складчатая система катастроф

Цилиндр на склоне как складчатая катастрофическая система 121

Таблица 1.Для различных углов (в градусах) наклонной плоскости перечислены минимальные токи, необходимые для поддержания цилиндра

в статическом равновесии, а также соответствующие значения для управляющего параметра

, заданные уравнением (10). Результаты в последнем столбце следует сравнить с теоретическим значением

A = 1.

θ I / AA

7,5 ± 0,30,36 ± 0,01 0,90 ± 0,07

9,1 ± 0,30,45 ± 0,01 0,94 ± 0,07

10,0 ± 0,30,49 ± 0,01 0,93 ± 0.07

11,4 ± 0,30,57 ± 0,01 0,95 ± 0,07

13,2 ± 0,30,64 ± 0,01 0,92 ± 0,07

14,4 ± 0,40,70 ± 0,01 0,93 ± 0,06

15,1 ± 0,40,76 ± 0,01 0,96 ± 0,06

16,7 ± 0,40,83 ± 0,01 0,95 ± 0,06

с датчиком Холла aGaAs, подключенным к тесламетру PHYWE 1610.93. Намагниченность

диска была получена из подгонки данных к теоретическому выражению B (z) для однородного магнита в форме диска

. Как объяснено в [8], существует единственный параметр подгонки,

, а именно остаточная индукцияB

r

= µ

0

M.Мы получили хорошее совпадение с нашими данными для

B

r

= 1,25 ± 0,05 Тл, что приводит к намагниченности M = (9,9 ± 0,4) × 10

5

Am

−1

.

это значение и объем V магнита, который мы получили для магнитного дипольного момента

µ = VM = 0,57 ± 0,03 А · м

2

.

для Nd

2

Fe

14

Bмагнитов [9], а также близки к значениям, определенным Коннорсом [8] для аналогичного магнита

.

Для различных углов θ наклонной плоскости мы измерили минимальный ток I, необходимый для

, чтобы цилиндр оставался в статическом равновесии, но вот-вот скатится, то есть ток, который все еще поддерживает

цилиндр в статике равновесие. В таблице 1 для нескольких углов показаны эти токи

и рассчитанные значения для A с использованием экспериментальных данных в уравнении (10). Теоретически A = 1,

соответствует критической точке, и наши результаты с ней согласуются.

Для A> 1 существуют положения равновесия для цилиндра, как объяснено в предыдущих разделах

. Таким образом, он может совершать колебания около одной из таких точек равновесия с частотой

(см. Конец раздела 3)

f =

1

2π









2g sin θ

3R





µκ I

мг R sin θ



2

– 1 (11)

при малых амплитудах колебаний.

На рисунке 6 (а) скорость как функция времени представлена ​​для реального эксперимента

с цилиндром, колеблющимся вокруг одного из минимумов потенциала. В данном конкретном случае

экспериментальных условий составили A = 2,7 ± 0,2. Цилиндр первоначально был немного смещен

из положения равновесия и высвобожден из состояния покоя. Положение и скорость цилиндра

были измерены с помощью датчика сонара (см. Рисунок 5), подключенного к ПК через интерфейс PASCO750

.Частота (затухающих) колебаний, полученная непосредственно из данных, показанных

на рисунке 6 (a), составляет 2,9 ± 0,1 Гц, что хорошо сравнивается с 2,8 ± 0,2 Гц, полученными из уравнения (11),

с использованием экспериментальных значений для различные величины, входящие в это уравнение.

На рисунке 6 (b) скорость цилиндра в зависимости от времени, v (t), построена на графике для

.

Другой случай: начальная тяга вверх, превышающая максимальную скорость, разрешенную из условия «нет возврата

». к цилиндру.Достигнув максимальной высоты, цилиндр

скатывается вниз, преодолевая каждый из минимумов потенциальной энергии стиральной доски, пока в конечном итоге не упадет

с нижнего края уклона.

В заключение отметим, что магнит, использованный в нашем эксперименте, может быть заменен прямоугольной петлей электрического тока

вокруг цилиндра, плоскость которой содержит ось цилиндра

[10]. Однако на практике магнит оказывается более простым в использовании.

Калькулятор наклонной плоскости

Этот калькулятор наклонной плоскости представляет собой инструмент, который помогает решать проблемы, связанные с наклонной плоскостью, с учетом коэффициента трения.Читайте дальше, чтобы найти определение наклонной плоскости и распространенные примеры расчетной наклонной плоскости.

Что такое наклонная плоскость?

Наклонная плоскость может быть описана как плоская поверхность, которая поднимается с одной стороны так, что образует угол θ с землей. В повседневной жизни можно встретить примеры наклонных плоскостей, например, пандусы или дверные клинья. Фуникулер – это вид транспортного средства, в котором также используется концепция наклонной плоскости. . Идея простоты и полезности наклонной плоскости заключается в уменьшении силы , необходимой для подъема тела на некоторую высоту.

Основные параметры наклонной плоскости

Есть несколько характеристик, которые могут адекватно описать простую наклонную плоскость. Первичный – это наклон, связанный с уже упомянутым углом θ . Следующие – высота ( H ) – максимальный уровень над землей и длина ( L ) – расстояние между вершиной и вершиной под углом θ . Вид сбоку наклонной плоскости можно представить в виде прямоугольного треугольника, поэтому при необходимости вы можете легко найти взаимосвязь между H , L и θ . Коэффициент трения – еще одна особенность наклонной плоскости, и он означает наличие тормозной силы, которая влияет на движущееся тело или вообще не дает объекту двигаться.

Формулы наклонной плоскости для кубического блока

При решении задач такого типа всегда стоит найти силы, действующие на наш организм:

1. Гравитационная сила F г = м * г , где м – масса объекта, а г – гравитационная постоянная.Его можно разделить на две составляющие:

   • F i = F g * sinθ – параллельно наклонной плоскости
   • F n = F g * cosθ – перпендикулярный

2. Сила трения, которая действует в противоположном направлении, как F i , но зависит от значения нормальной силы F n и коэффициента трения f : F f = f * F n

3. Существует также сила реакции опоры Н с тем же значением, что и у F n и в противоположном направлении, но она не влияет на дальнейшие расчеты

Результирующая сила F вдоль наклонной плоскости может быть вычислена как разница между F i и F f и, таким образом, переписана как F = F i - F f = F g * (sinθ - f * cosθ)

Одно важное замечание: приведенное выше выражение чистой силы действительно только в том случае, если угол наклонной плоскости не превышает угол трения θ f , который можно оценить как tan (θ f ) = f .В противном случае сила трения компенсирует F i , и объект остается в покое.

С известным выражением результирующей силы несложно найти ускорение a , время скольжения t и конечную скорость V , используя формулы из калькулятора ускорения и значение начальной скорости V₀ :

• a = F / м
• t = (√ (V₀² + 2 * L * a) - V₀) / a
• V = V₀ + a * t

Если объект начинает двигаться без начальной скорости, выражение для времени скольжения упрощается до:

Вращающиеся тела на наклонной плоскости

Нетрудно представить себе какой-нибудь круглый объект, который предпочел бы скатывание , а не скольжение , поэтому для вращающихся тел следует принять другой подход.На этот раз трение предотвращает скольжение предметов и одновременно допускает вращение . Мы можем повторить процесс вычисления из предыдущего раздела, учитывая как поступательные, так и круговые движения, что довольно сложно, но, с другой стороны, мы можем использовать сохранение энергии . Он говорит нам, что сумма начальной потенциальной и кинетической энергии равна конечной кинетической энергии. Важно помнить, что кинетическая энергия вращения фиксируется в общей кинетической энергии.Формула ускорения изменяется следующим образом:

, где I – момент инерции объекта, а r – радиус между осью вращения и поверхностью наклонной плоскости, который обычно эквивалентен радиусу тела (например, шара или цилиндра). Остальные выражения для времени прокатки t и конечной скорости V точно такие же, как и ранее.

Кубический блок – несколько вычислительных примеров

1. Предположим, что нам нужно найти время скольжения и конечную скорость скользящего объекта с этими входными данными: м = 2 кг , θ = 40 ° , f = 0.2 , H = 5 м , V₀ = 0 . Решение может быть получено с помощью следующих шагов:

   • рассчитать силу тяжести: F г = 2 кг * 9,807 м / с 2 = 19,614 Н
   • разделите его на две перпендикулярные составляющие: F i = 19,614 N * sin40 ° = 12,607 N , F n = 19,614 N * cos40 ° = 15,026 N
   • определить силу трения: F f = 0,2 * 15.026 N = 3,005 N
   • вычтите F i и F f , чтобы вычислить результирующую силу: F = 12,607 Н - 3,005 Н = 9,602 Н
   • , таким образом, можно получить ускорение: a = 9,602 Н / 2 кг = 4,801 м / с²
   • длина наклонной плоскости равна: L = 5 м / sin40 ° = 7,779 м
   • , поэтому можно получить время скольжения: t = √ (2 * 7,779 м / 4,801 м / с²) = 1,8 с
   • , а также конечная скорость: V = 4.801 м / с² * 1,8 с = 8,642 м / с

   Мы также можем оценить потери энергии, которые представляют собой разницу между начальной потенциальной энергией и конечной кинетической:

   • ΔE = м * г * H - м * V² / 2 = 2 кг * 9,807 м / с² * 5 м - 2 кг * (8,642 м / с) ² / 2 = 23,38 Дж .

   Полная энергия не сохраняется, и это вызвано работой, совершаемой силой трения. Обычно он выделяется в виде тепла.

2. Во втором примере найдем тот же параметр, но с разными значениями входных данных: м = 2 кг , θ = 20 ° , f = 0.5 , H = 5 м , V₀ = 0 . Во-первых, мы можем вычислить угол трения для данного коэффициента трения:

   • θ f = tan -1 (0,5) = 26,565 ° , что больше нашего угла θ .

   Это значит, что тело не двинется из-за достаточно большой силы трения! В результате нам даже не нужно повторять все эти шаги из предыдущего примера, потому что объект не может скользить вниз без какой-либо внешней силы.

3. В последнем примере используются следующие данные: м = 2 кг , θ = 90 ° , f = 0 , H = 5 м , V₀ = 0 . На первый взгляд это может показаться странным, но давайте попробуем решить:

   • F г = 2 кг * 9,807 м / с 2 = 19,614 Н
   • F i = 19,614 Н * sin90 ° = 19,614 Н , F n = 19,614 Н * cos90 ° = 0 Н
   • F f = 0 N
   • F = F г = 19.614 Н
   • a = 19,614 Н / 2 кг = 9,807 м / с² = g .

   Получается, что ускорение равно гравитационному. Угол θ = 90 ° обозначает вертикальное движение, а f = 0 указывает на отсутствие сопротивления, что означает, что мы сталкиваемся с проблемой свободного падения . Как только вы заметите это, вы можете найти время скольжения (падения) с помощью калькулятора свободного падения: t = 1.010 с .

Однако все эти результаты можно оценить без особых усилий, независимо от дальнейших предположений – просто воспользуйтесь нашим калькулятором наклонной плоскости!

Катящийся шар

В итоге выясним время качения шара для начальных параметров наклонной плоскости θ = 30 ° , H = 5 м и V₀ = 0 .Момент инерции твердого шара равен I = 2/5 * м * r² . Мы можем начать с расширения формулы для ускорения, помня, что результирующая сила равна F i = m * g * sinθ :

• a = F i / (m + I / r 2 ) = m * g * sinθ / (m + (2 * m * r 2 ) / (5 * r 2 ) ) = 5 / 7 * g * sinθ = 3,502 м / с 2 .