5.3 уклон, конусность, сопряжения
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Утверждено на заседании кафедры начертательной геометрии и черчения
21 июня 2011г.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ –
УКЛОНЫ, КОНУСНОСТЬ, СОПРЯЖЕНИЯ
Методические указания для всех специальностей
Квалификация выпуска «Бакалавр»
Ростов-на-Дону
2011
2
Геометрические построения – уклоны, конусность, сопряжения:
Методические указания для всех специальностей. – Ростов н/Д: Рост. гос.
строит. ун-т, 2011. – 8с.
Содержат геометрические построения, необходимые для выполнения задания по инженерной графике.
Составитель: ассист. А.В. Федорова
Редактор Н.Е. Гладких Темплан 2011 г., поз. 137.
____________________________________________________________________
Подписано в печать 6.
Бумага писчая. Ризограф. Уч.-изд.л. 0,3. Тираж 20 экз. Заказ 341.
____________________________________________________________________
Редакционно – издательский центр Ростовского государственного строительного университета.
344022, Ростов – на – Дону, ул. Социалистическая, 162
Ростовский государственный строительный университет, 2011
3
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ – УКЛОНЫ, КОНУСНОСТЬ,
СОПРЯЖЕНИЯ
При изготовлении профилей прокатной стали, боковые полки выполняют так, что плоскости, ограничивающие их, не параллельны, а расположены под некоторым углом между собой.
В технике часто применяются конические детали. При вычерчивании чертежей многих деталей приходится выполнять ряд геометрических построений, и в этой связи рассмотрим следующие понятия: уклоны, конусность, сопряжения.
УКЛОНЫ
Уклон – наклон одной прямой линии к другой (рис.1).
Уклон i прямой АС определяется из прямоугольного треугольника АВС как отношение противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС (рис.
| i | h | BC | tg . |
|
| l | AC |
| ||
|
|
|
| ||
|
|
|
| i | В |
|
|
|
|
| |
1:5 | В |
|
|
| h |
|
|
|
|
| |
А | 1 С |
|
| А | С |
5 4 3 2 |
|
|
| ||
|
|
|
| ||
|
|
|
| l |
|
Рис. |
|
|
| Рис.2 |
|
1Уклон может быть выражен в процентах (например, уклон в 10%
внутренних граней полок швеллера по ГОСТ 8240-89, рис. 3), отношением двух чисел (например, уклоны 1:20 и 1:4 граней рельса по ГОСТ 8168-75*) или в промилях (например, уклон 5‰ арматуры).
Знак уклона “ “, вершина которого должна быть направлена в сторону уклона, наносят перед размерным числом, располагаемым непосредственно у изображения поверхности уклона, или на полке линии – выноски, как показано на рисунках.
4
Построение уклонов
1. Провести прямую с уклоном i = 1:6 относительно прямой АЕ через точку А, лежащую на прямой АЕ (рис.3).
1
1:6 В
А 1 2 3 4 5 6 С Е
Отложим на прямой АЕ от точки А шесть произвольно выбранных единиц. Через полученную точку В восстановим перпендикуляр к АЕ длиной в одну единицу.
Рис.3
Гипотенуза АС построенного прямоугольного треугольника АВС
является искомой прямой с уклоном 1:6.
Построение полок швеллера и двутавра
На рис. 4 и 5 показано построение уклона внутренней грани верхней полки швеллера и двутавра. Построен вспомогательный треугольник ВСD с
катетами 10 и 100мм для швеллера и 12 и 100мм для двутавра.
На горизонтальном отрезке «b» отложим отрезок, равный (b-d)/2 – для швеллера и (b-d)/4 – для двутавра. Из полученной точки проведем перпендикуляр длиной t. Отложенные размеры определили положение точки К,
через которую проходит прямая с уклоном 10% для швеллера и 12% – для двутавра. Через точку К провести прямую, параллельную гипотенузе построенного треугольника.
| 10 |
|
|
d |
|
| 100 |
|
|
| |
| R |
| 1:10 |
|
|
| |
|
|
| r |
|
| t | (b-d)/2 |
|
| b |
|
|
|
| Рис. |
4
| 12 |
|
d |
| 100 |
| R |
|
|
| r |
t |
| (b-d)/4 |
|
| |
|
|
|
|
|
|
Рис.5
5
КОНУСНОСТЬ
Конусностью называется отношение диаметра окружности основания D
прямого конуса к его высоте h (рис.6).
КDh .
Для усеченного кругового конуса – отношение разности диаметров двух нормальных сечений конуса к расстоянию между ними (рис.7), т.е.
К | D |
| d | 2tg . |
|
|
| ||
| l |
| ||
|
|
|
|
K
2
D | . | d | D |
h |
| l |
Рис.6 | Рис.7 | |
Конусность, как и уклон, может быть выражена отношением целых чисел или в процентах. Перед размерным числом, характеризующим конусность,
наносят знак “ ”, острый угол которого должен быть направлен в сторону вершины конуса.
При одном и том же угле конусность в два раза больше уклона, так как уклон образующей конуса равен отношению радиуса его основания к высоте, а
конусность – отношению диаметра к высоте.
Таким образом, построение конусности i : n относительно данной оси сводится к построению уклонов i : 2n с каждой стороны оси.
6
СОПРЯЖЕНИЯ
Сопряжением называется плавный переход по кривой от одной линии,
прямой или кривой, к другой.
Построение сопряжений основано на свойствах прямых, касательных к окружностям, или на свойствах касающихся между собой окружностей.
Построение касательной к окружности
O
° 90
С
В
При построении прямой, касательной к
Аокружности в заданной точке С, проводят прямую перпендикулярно к радиусу ОС. При
нахождении центра окружности, касающейся заданной прямой в точке С, проводят через эту точку перпендикуляр к прямой и откладывают на нем величину радиуса заданной окружности (рис.8).
Рис.8
Построение внешней касательной к двум окружностям
Из центра О1 проводят вспомогательную окружность радиусом R3 = R1-R2
и находят точку К. Построение точки К аналогично построению точки С.
Точку О1 соединяют с точкой К прямой и проводят параллельную ей прямую из точки О2 до пересечения с окружностью. Точки сопряжения С1 и С2 лежат на пересечении прямых О1К и ранее проведенной линии из центра О2 с
окружностями радиусов R1 и R2 (рис. 9).
А С1
R
O
O1
С2 В
R2
O2
Рис.9
7
Сопряжение двух дуг окружностей
При внешнем касании двух окружностей расстояние между центрами О1
и О2 равно сумме радиусов R1 и R2. Точка касания С лежит на прямой,
соединяющей центры окружностей (рис.10).
При внутреннем касании окружностей О1О2 = R1 – R2. Точка касания С лежит на продолжении прямой О1О2 (рис.11).
2
R
O1 СO2
С
R1+R2
Рис.10 Рис.11
Сопряжение двух дуг окружностей дугой заданного радиуса
Из центров О1 и О2 описываются дуги вспомогательной окружности радиусом R3 = R + R1 и R4 = R + R2 (при внешнем сопряжении, рис.12)
или R3 = R – R1 и R4 = R – R2 (при внутреннем сопряжении, рис.
13). Точка О является центром искомой дуги окружности радиуса R.
Точки сопряжения С1 и С2 будут находиться на линии центров О1О и О2О
(рис.12) или на продолжении линии центров (рис.13).
При нахождении радиуса внешне–внутреннего сопряжения вспомогательные дуги проводятся радиусами R3 = R – R1 из центра О1 и
R4 = R + R2 из центра О2 (рис.14).
Сопряжение окружности с прямой по дуге радиуса R
Из центра О1 проводится дуга радиусом R2 = R1 + R и прямая,
параллельная заданной, на расстоянии R. Пересечение вспомогательной дуги окружности и прямой определит искомый центр О. Точка сопряжения дуг С1
лежит на линии центров О1О, а прямой и дуги сопряжения С – на перпендикуляре, проведенном к заданной прямой из центра О (рис.15).
8
O2 O1
2
R4= R2 + R
R3= R1 | O |
|
Рис.12
С1
С2
R3= R – R1 |
|
O | = R – R2 |
Рис.
13
С1
O2
R3= R – R1 O
Рис.14
O1
R2= R+R1
C1
| R | O | R |
|
| ||
|
|
| |
A |
| C | B |
Рис.15
⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒ Уклоны. ГОСТ 8908-81 Уклон –это величина, характеризующая наклон одной линии (плоскости) по отношению к другой, i = tg a = ВС/АВ. Для обозначения уклонов на чертеже применяется знак (рис1) по ГОСТ 2.304-81 (размеры знака даны для шрифта № 5). Знак наносится перед размерным числом, острый угол знака должен быть направлен в сторону уклона (рис 2) Построение уклона. На рисунке в качестве примера построен профиль несимметричного двутавра, правая полка которого имеет уклон 1: 16. Для ее построения находят точку А с помощью заданных размеров 26 и 10. В стороне строят линию с уклоном 1: 16, для чего по вертикали откладывают, например, 5 мм, а по горизонтали 80 мм; проводят гипотенузу, направление которой определяет искомый уклон. С помощью рейсшины и угольника через точку А проводят линию уклона, параллельную гипотенузе. Конусности. Конусность – это отношение разности диаметров двух поперечных сечений конуса к расстоянию между ними (рис. 1.4). C = (D – d) / L = 2 tg a / 2. Для обозначения конусности на чертеже применяется знак (рис. 1.5) по ГОСТ 2.304-81 (размеры знака даны для шрифта № 5). Знак наносится перед размерным числом, характеризующим конусность, острый угол знака должен быть направлен в сторону вершины конуса (рис. 1.6). Если нужно построить конусность 1: n относительно заданной оси, то строим уклоны 1: 2n с каждой стороны оси. K = 2i. Также построение конусности при заданной длине L и диаметре D одного из оснований можно выполнить графически следующим образом: построить на заданной оси вспомогательный полный конус, у которого произвольно взятое основание а укладывается в высоте столько раз, сколько задано в обозначении конуса.
Презентация по теме: «Лекальные и коробовые кривые» 1) Рассмотреть построение лекальных кривых: параболы, гиперболы, синусоиды. 2) Рассмотреть построение коробовых кривых: овала по заданным осям АВ и CD и овоидальной кривой. 3) Создать презентацию «Лекальные и коробовые кривые» ⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒
|
На примере (рисунок) наглядно продемонстрировано построение уклона. Для построения уклона 1: 1, например, нужно на сторонах прямого угла отложить произвольные, но равные отрезки. Такой уклон, будет соответствовать углу в 45 градусов. Для того чтобы построить уклон 1: 2, нужно по горизонтали отложить отрезок равный по значению двум отрезкам отложенным по вертикали. Как видно из чертежа, уклон есть отношение катета противолежащего к катету прилежащему, т. е. он выражается тангенсом угла а.
ГОСТ 8593-81
Затем провести образующие искомого конуса параллельно образующим вспомогательного конуса через концы заданного диаметра D, как показано на рисунке.
Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар…
..
Построение линии с использованием наклона и точки
Результаты обучения
- Начертить график линии с использованием наклона и точки на линии
- Напишите уравнение прямой, используя наклон и точку пересечения с осью Y
При построении графика мы нашли один метод, который мы могли бы использовать, это составить таблицу значений.
Мы также научились строить линии, нанося точки, используя точки пересечения и распознавая горизонтальные и вертикальные линии. Однако, если мы сможем определить некоторые свойства линии, мы сможем построить график намного быстрее и проще.
Построение линии с использованием наклона и точки на линии
Другой метод, который мы можем использовать для построения линий, — метод точка-наклон. Иногда нам будет дана одна точка и наклон линии вместо ее уравнения. Когда это происходит, мы используем определение наклона, чтобы нарисовать график линии.
пример
Нарисуйте линию, проходящую через точку [латекс]\влево(1,-1\вправо)[/латекс], наклон которой равен [латекс]м=\Большой\фрак{3}{4}[/латекс ].
Решение
Постройте заданную точку, [латекс]\влево(1,-1\вправо)[/латекс].
Используйте формулу уклона [latex]m=\Large\frac{\text{подъем}}{\text{пробег}}[/latex], чтобы определить подъем и уклон.
[латекс]\begin{array}{}\\ \\ m=\frac{3}{4}\hfill \\ \frac{\text{rise}}{\text{run}}=\frac{ 3}{4}\hfill \\ \\ \\ \text{rise}=3\hfill \\ \text{run}=4\hfill \end{array}[/latex]
Начиная с точки, которую мы начертили , отсчитываем подъем и бегом отмечаем вторую точку.
Мы считаем [латекс]3[/латекс] единицы вверх и [латекс]4[/латекс] единицы вправо.
Затем мы соединяем точки линией и рисуем стрелки на концах, чтобы показать, что она продолжается.
Мы можем проверить нашу линию, начав с любой точки и считая вверх [латекс]3[/латекс] и вправо [латекс]4[/латекс]. Мы должны добраться до другой точки на линии.
попробуй
Нарисуй линию по заданной точке и наклону
- Постройте заданную точку.
- Используйте формулу уклона, чтобы определить подъем и уклон.
- Стартовав в заданной точке, отсчитайте подъем и бегите, чтобы отметить вторую точку.
- Соедините точки линией.
пример
Нарисуйте линию, проходящую через точку [латекс]\влево(-1,-3\вправо)[/латекс], наклон которой равен [латекс]m=4[/латекс]
Показать решение
попробуйте
Вы можете посмотреть видео ниже, чтобы увидеть еще один пример того, как построить линию с заданной точкой и наклоном.
Особым случаем построения графика с использованием метода точка-наклон является ситуация, когда данная точка является точкой пересечения с осью y. Мы приведем здесь несколько примеров, а затем покажем ниже, почему этот случай так важен.
пример
Нарисуйте линию с [латекс]y[/латекс] – точка пересечения [латекс]\влево(0,2\вправо)[/латекс] и наклоном [латекс]м=-\большой\фрак{2} {3}[/latex]
Показать решение
попробуйте
Форма пересечения наклона
Теперь мы покажем вам, что особенного в случае, когда данная точка является точкой пересечения с осью Y. Наклон может быть представлен как m, а точка пересечения y , где он пересекает ось и [latex]x=0[/latex], может быть представлена как [latex](0,b)[/latex], где b — это значение, при котором график пересекает вертикальную ось y .
Любая другая точка на линии может быть представлена как [латекс](х,у)[/латекс].
Форма пересечения наклона линейного уравнения
В уравнении [latex]y=mx+b[/latex]
- m — наклон графика.
- b — это значение y точки пересечения графика с осью y.
Эта формула известна как уравнение пересечения наклона. Если мы знаем наклон и точку пересечения y , мы можем легко найти уравнение, представляющее линию.
Мы также можем легко найти уравнение, взглянув на график и найдя наклон и y -пересечение.
Мы можем двигаться и в обратном направлении. Когда нам дается уравнение в форме наклона-пересечения [латекс]y=mx+b[/латекс], мы можем легко определить наклон и y -пересечение и построить уравнение на основе этой информации. Когда у нас есть уравнение в форме пересечения наклона, мы можем изобразить его, сначала построив точку пересечения по оси y, а затем, используя наклон, найдем вторую точку и соединим точки.
(ПРИМЕЧАНИЕ: важно, чтобы уравнение сначала было в форме пересечения наклона. Если это не так, нам придется решить его для [латекс]y[/латекс], чтобы мы могли определить наклон и [латекс] y[/latex]-intercept.)
Попробуйте
Вы можете посмотреть видео ниже, чтобы увидеть еще один пример того, как написать уравнение линии, когда задан график, определяя наклон и y-пересечение.
Внесите свой вклад!
У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.
Улучшить эту страницуПодробнее
Как найти наклон по графику? Примеры
В процессе определения уклона по графику используется формула уклона подъем/спуск. Когда дан график линии и нас просят найти ее уравнение, первое, что нам нужно сделать, это найти ее наклон.
Мы можем выбрать любые две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂) на линии и использовать формулу (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁) для расчета наклона по графику.
Давайте посмотрим на другие способы расчета наклона по графику, а также на другие примеры. Давайте также узнаем, как найти наклон горизонтальных и вертикальных линий.
| 1. | Определение наклона по графику |
| 2. | Расчет уклона по графику с использованием формулы уклона |
| 3. | Нахождение наклона горизонтальной линии на графике |
| 4. | Нахождение наклона вертикальной линии на графике |
| 5. | Часто задаваемые вопросы о том, как найти уклон на графике |
Определение наклона по графику
Наклон линии — это отношение подъема к длине. Следовательно, вот шаги, чтобы найти наклон по графику.
- Выберите любые две случайные точки на графике линии (желательно с целочисленными координатами).
- Обозначьте их как A и B (в любом порядке).
- Рассчитать “подъем” от А до Б. Идя по вертикали от А до Б, если нам нужно пройти
«вверх», то подъем положительный;
«вниз», то рост отрицательный. - Рассчитать “пробег” от А до Б. При горизонтальном движении от А до Б, если нам нужно идти
«правильно», то пробег положительный;
“влево”, то пробег отрицательный. - Теперь используйте формулу: уклон = подъем/спуск.
Вот пример графика линии.
Здесь мы взяли A = (1, 1) и B = (0, 3). Обратите внимание, что здесь мы взяли точки с целочисленными координатами. Составьте прямоугольный треугольник, начинающийся в точке А и заканчивающийся в точке В, что облегчит процесс поиска подъема и бега. Здесь мы должны двигаться вертикально «вверх», чтобы добраться до B из A и, следовательно, подняться = +2; и мы должны двигаться горизонтально «влево», чтобы добраться от A до B и, следовательно, запустить = -1.
Итак, наклон = подъем/бег = 2/-1= -2.
Нам не нужно выбирать эти точки только для расчета наклона, а также нам не нужно выбирать их в указанном выше порядке. Здесь вы можете увидеть график той же линии, где одни и те же точки выбраны в разном порядке и выбраны разные точки. Обратите внимание, что наклон линии (окончательный ответ) будет в конечном итоге одинаковым.
Расчет уклона по графику с использованием формулы уклона
Формула наклона используется для определения наклона линии, соединяющей две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂). Используя эту формулу, наклон линии составляет m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁). Мы можем использовать ту же формулу, чтобы найти наклон линии по ее графику. Для этого:
- Выберите любые две точки на графике.
- Представьте их как (x₁, y₁) и (x₂, y₂) в любом порядке.
- Примените формулу m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁), чтобы найти наклон.
Пример: Рассмотрим приведенные выше графики.
Выберем на нем две точки (-1, 5) и (1, 1). Теперь пусть
- (x₁, y₁) = (-1, 5)
- (х₂, у₂) = (1, 1)
Уклон, м = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
= (1 – 5) / (1 – (-1))
= -4/2
= -2
Мы получили тот же наклон (-2), когда вычисляли наклон также с использованием подъема/спуска.
Нахождение наклона горизонтальной линии на графике
Горизонтальная линия — это линия, параллельная оси x. Таким образом, все точки на горизонтальной линии имеют одинаковые координаты y. Таким образом, для любых двух точек на горизонтальной линии подъем = 0. Следовательно, наклон = подъем/набег = 0/набег = 0. Следовательно, наклон горизонтальной линии всегда равен 0. Вот пример.
Здесь наклон горизонтальной линии y = 3 рассчитывается с использованием обоих методов подъем/спуск и (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁). Вы можете заметить, что наклон в обоих случаях равен 0,
Определение наклона вертикальной линии по графику
Вертикальная линия всегда параллельна оси Y.
Таким образом, все точки на вертикальной линии имеют одинаковые x-координаты. Таким образом, для любых двух точек на нем пробег = 0. Следовательно, наклон = подъем/пробег = подъем/0 = не определено. Следовательно, наклон вертикальной линии всегда не определен. Вот пример.
Здесь наклон вертикальной линии x = 3 рассчитывается по обеим формулам подъем/спуск и (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁). Вы можете заметить, что наклон в обоих случаях не определен.
Важные примечания по нахождению наклона на графике
- Наклон на графике можно рассчитать, выбрав любые две точки на нем и применив формулу подъем/спуск.
- Его также можно найти, выбрав две точки и применив формулу (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁).
- Наклон горизонтальной линии всегда равен 0.
- Наклон вертикальной линии всегда не определен.
☛ Связанные темы:
- Калькулятор формы уклона точки
- Калькулятор определения уклона по двум точкам
- Калькулятор формы пересечения уклона
- Уравнение линейного калькулятора
Часто задаваемые вопросы о том, как найти уклон на графике
Как найти уклон на графике?
Чтобы найти наклон по графику , найдите на нем любые две точки.
Предпочтительно выбрать нижнюю точку как A, а верхнюю точку как B. Посмотрите, насколько нам нужно «подняться» и «пробежать», чтобы перейти от A к B. Тогда отношение подъем/пробег даст нам наклон (градиент). Обратите внимание на следующее при расчете подъема и пробега:
- подъем положителен, если вы поднимаетесь из пункта А в пункт В; это отрицательно, если вы идете вниз. Прогон
- положительный, если вы идете прямо из А в Б; это отрицательно, если вы идете налево.
Как рассчитать наклон горизонтальной линии на графике?
Мы используем формулу подъем/спуск для расчета наклона по графику . Для любых двух точек на горизонтальной линии подъем всегда равен 0. Таким образом, его наклон равен 0/run = 0. Таким образом, наклон горизонтальной линии всегда равен 0, и мы можем сказать это, не вычисляя его.
Как найти наклон на графике, используя формулу наклона?
Формула наклона (градиента) говорит, что наклон линии с двумя точками на ней (x₁, y₁) и (x₂, y₂) равен m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁).