Наклон линии (крутизна)
Наклон линии (крутизна)
Предствим, что частица движется вдоль участка не вертикальной прямой из точки p1( x1,y1 ) к точке p1( x1,y1 ). Вертикальное изменение y2 – y1 называется подъемом, а горизонтальное изменение x2 – x1 – расстоянием.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если P(x1, y1) и P(x2, y2) есть точками на невертикальной прямой, тогда крутизна m прямой определяется как:
Не имеет значение, какая точка называется P1 и какая точка называется P2
Slope of P1P2
= (y2 – y1)/(x2 – x1)
= -(y1 – y2)/[-(x1 – x2)]
= (y1 – y2)/(x1 – x2) = Крутизна P1P2
Любые две различные точки на не вертикальной прямой могут быть использованы для расчета крутизны (наклона) прямой.
Для измерения наклона, мы обычно двигаемся слева направо, когда измеряем дистанцию, пройденную горизонтально.
Из-за этого, иногда понятие падения подменяется подъемом!
Пример
В каждой части найдите наклон линии, проходящей через
(A) (6, 2) и (9, 8)
(B) (2, 9) и (4, 3)
(C) (-2, 7) и (5, 7)
Решение:
Мы знаем, что наклон линии, проходящей через две точкиP1(x1, y1) иp1(x1, y1) , определяется как
m= (y2 – y1)/ (x2 – x1)
Отсюда
a) m= (8 – 2)/(9 – 6) = 6/3 = 2
На координатной плоскости xy
Подобным образом
b) m= (3 – 9)/(4 – 2) = -6/2 = -3
На координатной плоскости xy
Также
c) m= (7 -7)/[5 – (-2)] = 0/7 = 0
На координатной плоскости xy
Определение (Угол наклона)
Для прямой L не параллельной к оси абсцисс, угол наклона есть наименьший углом φ, измеренный против часовой стрелки от направления положительная оси х к L.
Для прямой, параллельной оси x, мы берём φ = 0
Как показано на следующих рисунках.
Если m есть наклоном прямой, тогда
m = rise/run
= скорость изменения y относительно к x
ТЕОРЕМА
Для не вертикальной прямой наклон m и угол наклона φ связаны отношением
m = tan φ
Пример:
Найдите угол наклона для прямой с наклоном m = 1 и угол наклона для прямой с наклоном m = -1
Solution:
Если m=1 tan φ = 1, и поэтому φ = π/4 = 45°
Если m=-1 tan φ = -1, так как 0 φ = 3π/4 = 135°
Теорема
Пусть L1 и L2 есть прямыми с наклонами m1 и m2, соответственно
(a) Прямые параллельны тогда и только тогда m1 = m2
(b) Прямые параллельны тогда и только тогда m1m2 = -1
Доказательство: (a)
Если L1 и L2 не являются вертикальными прямыми, тогда их углы наклона φ1 и φ2 равны.
φ1 =φ2
Так,
m1 = tanφ1 = tanφ2 = m2
И наоборот, если два наклона линий равны, т.e.
M1 = M2
⇒ tan(φ1) = tan(φ2)
⇒ φ
То есть, прямые параллельны.
(b) Предположим, что φ12
Тогда, обращаясь к рисунку
m1 = tanφ1 = c/h
m2 = tanφ2 = -h/c
Доказательства обратного предлагается сделать в качестве упражнения.
TЕОРЕМА
Вертикальная прямая через (a, 0) и горизонтальная прямая через (0, b) представлены, соответственно, уравнением
x = a и y = b
ТЕОРЕМА
Прямая, проходящая через P1(x1, y1) и имеющая наклон m, выражается уравнением
y – y1 = m(x – x1)
ТЕОРЕМА
Прямая с пересечением оси y в b и наклоном m выражается уравнением
y = mx + b
НАКЛОН – Что такое НАКЛОН?
Слово состоит из 6 букв: первая н, вторая а, третья к, четвёртая л, пятая о, последняя н,Слово наклон английскими буквами(транслитом) – naklon
- Буква н встречается 2 раза.
Слова с 2 буквами н - Буква а встречается 1 раз. Слова с 1 буквой а
- Буква к встречается 1 раз. Слова с 1 буквой к
- Буква л встречается 1 раз. Слова с 1 буквой л
- Буква о встречается 1 раз. Слова с 1 буквой о
Слова с 2 буквами нЗначения слова наклон. Что такое наклон?
Наклон
НАКЛОН Относительно кривых, тангенс угла, образуемого прямой линией, проведенной из точки на кривой, с осью. См. акселерация.
Оксфордский словарь по психологии. – 2002
Наклон — разница в усилении или затухании между двумя любыми точками системы для сигналов двух определенных частот
Словарь терминов связи
Наклон почвы
Наклон почвы (также угол уклона местности) – имеет большое значение при сельскохозяйственной, а также промышленно-технической эксплуатации территории.
ru.wikipedia.org
При положении, близком к горизонтальному, почва всегда богата мелкими частицами…Наклон почвы имеет большое значение при сельскохозяйственной её эксплуатации. При положении, близком к горизонтальному, почва всегда богата мелкими частицами, которые не удаляются из неё потоками воды…
Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. – 1890-1907
Наклон орбиты
Наклон орбиты наклонение, наклонность орбиты, величина (элемент орбиты), характеризующая ориентацию орбиты небесного тела в пространстве; угол между плоскостью орбиты и основной координатной плоскостью (плоскостью эклиптики, небесного экватора).
БСЭ. — 1969—1978
НАКЛОН ОРБИТЫ – характеристика ориентации орбиты небесного тела в пространстве; двугранный угол между плоскостью этой орбиты и основной координатной плоскостью (плоскостью эклиптики, для искусственного спутника Земли – плоскостью экватора Земли).
Большой энциклопедический словарь
Наклон волокон
Наклон волокон. Ндп. Косослой Отклонение направления волокон от продольной оси лесоматериала. Примечание. В круглых лесоматериалах наклон волокон обусловлен спиральным расположением волокон.
Словарь ГОСТированной лексики
Наклон волокон – отклонение направления волокон от продольной оси лесоматериала. В круглых лесоматериалах наклон обусловлен спиральным расположением волокон.
glossary.ru
Наклон цапф орудия
Наклон цапф орудия НАКЛОНЪ ЦАПФЪ ОРУДІЯ, т.-е. негоризонтальность оси цапфъ при неровн. мѣс-ти, когда одно колесо лафета становится выше другого, наблюдается въ полев. и горн. арт-ріи…
Военная энциклопедия. — 1911—1914
Полосы равного наклона
ПОЛОСЫ РАВНОГО НАКЛОНА система чередующихся светлых и тёмных полос, наблюдаемая на экране при освещении прозрачного слоя п о с т о я н н о й т о л щ и н ы (плоскопараллельной пластинки) непараллельным пучком монохроматич.
Физическая энциклопедия. – 1988
излучения.Полосы равного наклона, система чередующихся светлых и тёмных полос, наблюдаемая при освещении прозрачного слоя постоянной толщины (плоскопараллельной пластинки) расходящимся или сходящимся пучком монохроматического света либо непараллельным пучком…
БСЭ. — 1969—1978
ПОЛОСЫ РАВНОГО НАКЛОНА — система чередующихся светлых и тёмных полос, наблюдаемая на экране при освещении прозрачного слоя п о с т о я н н о й т о л щ и н ы (плоскопараллельной пластинки) непараллельным пучком монохроматич. излучения.
Физическая энциклопедия. – 1988
Русский язык
Накло́н, -а.
Орфографический словарь. — 2004
На/кло́н/.
Морфемно-орфографический словарь. — 2002
Примеры употребления слова наклон
Идущая в комплекте подставка позволяет регулировать только наклон экрана в пределах 20.
При выдвинутых ножках наклон клавиатуры увеличивается на шесть градусов.
Как отмечает архитектор, на стадионе будет изменен наклон трибун и появятся подземные парковки.
Каждый жест, поворот, шаг, наклон отточены, как произведение искусства.
Младших уровней скользящие средние пересеклись, имеют наклон вверх.
Увеличили наклон пола в партере, увеличили размер оркестровой ямы.
- Слова из слова “наклон”
- Слова на букву “н”
- Слова, начинающиеся на “на”
- Слова c буквой “н” на конце
- Слова c “он” на конце
- Слова, начинающиеся на “нак”
- Слова, начинающиеся на “накл”
- Слова, оканчивающиеся на “лон”
- Слова, заканчивающиеся на “клон”
- наклонять
- наклоняющийся
- наклоняющий
- наклон
- наклюкавшийся
- наклюкаться
- наклюнуться
Интерпретация наклонов и точек пересечения y в текстовых задачах
Purplemath
В уравнении прямой линии (когда уравнение записывается как “ y = mx + b “), наклон представляет собой число “ m ” это умножается на x , а “ b ” – это точка пересечения y (то есть точка, в которой линия пересекает вертикальную ось y ).
Эта полезная форма уравнения линии разумно названа «формой пересечения наклона».
Содержимое продолжается ниже
MathHelp.com
Построение графика с использованием этого формата пересечения наклона может быть довольно простым, особенно если значения « m » и « b » являются относительно простыми числами, такими как 2 или −4,5. , а не что-то беспорядочное вроде 17/19 или −1,67385.
В этом уроке мы рассмотрим значения «реального мира», которые могут иметь наклон и точка пересечения и линии в заданном контексте. Другими словами, при заданной «слововой задаче», описывающей что-то в реальном мире, с линейным уравнением, которое моделирует это что-то, что на практике означают наклон и точка пересечения уравнения моделирования?
Еще когда мы впервые рисовали прямые линии, мы увидели, что наклон данной линии измеряет, насколько значение y изменяется на столько, сколько изменяется значение x . Например, рассмотрим эту линию:
y = ( 3 / 5 ) x − 2
Наклон приведенной выше линии равен м.
= 3 / 5 . Это означает, что, начиная с любой точки на этой линии, мы можем добраться до другой точки на линии, поднявшись на 3 единицы вверх, а затем сдвинувшись на 5 единиц вправо. Но (и это полезно) мы могли бы также рассматривать этот наклон как долю от 1; а именно:
На практике это говорит нам о том, что на каждую единицу увеличения x -переменной (то есть сдвиг вправо) увеличивается y -переменная (то есть идет вверх ) на три пятых единицы. Хотя это не обязательно выглядит так же просто, как «три вверх и пять больше», это может быть более полезным способом просмотра вещей, когда мы решаем текстовые задачи или рассматриваем модели реального мира.
Что означает наклон в текстовых задачах?
Очень часто текстовые задачи с линейными уравнениями имеют дело с изменениями с течением времени; уравнения будут иметь дело с тем, насколько что-то (представленное значением на вертикальной оси) изменяется с течением времени (представленное значениями на горизонтальной оси).
Упражнение могло бы, скажем, говорить о том, как население увеличивается из года в год в определенном городе, предполагая, что население увеличивается на определенную фиксированную величину каждый год. За каждый прошедший год (то есть за каждое увеличение на 1 по горизонтальной оси) население будет увеличиваться (то есть двигаться вверх по вертикальной оси) на эту фиксированную величину.
Что означает перехват
y в текстовых задачах?Когда x = 0, соответствующее значение y является точкой пересечения y . В конкретном контексте текстовых задач точка пересечения y (то есть точка, где x = 0) также относится к начальному значению. Для упражнений, основанных на времени, это будет значение, когда вы начали снимать показания или когда вы начали отслеживать время и связанные с ним изменения.
В приведенном выше примере точка пересечения y была бы населением, когда социологи начали отслеживать население.
Если бы они начали свои измерения или расчеты с «базового» 1997 года, то « x = 0» соответствовало бы «1997 году», а точка пересечения y соответствовала бы «населению в 1997″.
Рекомендация: «Когда вы начали отслеживать» — это , а не , то же самое, что и «когда (что бы вы ни измеряли) началось». Используя приведенный выше пример, ваша модель роста населения может быть очень точной для 19 лет.97 до 2015 года, но город, население которого измеряется, мог быть основан еще в 1672 году. В этом случае « t = 0» будет означать «когда мы начали измерять, в 1997 году»; это будет , а не означать «нулевой год для города, который был основан еще в 1672 году». Точно так же « t = 2» будет означать 1999 год, через два года после того, как вы начали считать.
Обратите особое внимание на определение переменных!
Ниже приведены несколько примеров, иллюстрирующих, как это работает.
- Средняя продолжительность жизни американских женщин была отслежена, и модель для данных: y = 0,2 t + 73, где t = 0 соответствует 1960 году. Объясните значение наклона и у -перехват.
Объясните значение наклона и у -перехват.Какой уклон? Это м = 0,2. Это значение говорит мне, что для каждого увеличения на 1 моей входной переменной от до (то есть для каждого увеличения на один год) значение моей выходной переменной равно 9.0005 y увеличится на 0,2.
Что означает уклон?
Наклон подсказывает мне, что каждый год средняя продолжительность жизни американских женщин увеличивается на 0,2 года, или примерно на 2,4 месяца.
Когда t = 0, каково значение y ? Глядя на уравнение, я вижу, что y = 73.
Что означает это значение y ?
Значение перехвата говорит мне, что в 1960 году (когда начали считать) средняя продолжительность жизни американки составляла 73 года.
- Уравнение для скорости (а не высоты) мяча, брошенного прямо вверх, определяется как секунды) и t — количество секунд после броска мяча. С какой начальной скоростью был брошен мяч? В чем смысл наклона?
С какой начальной скоростью был брошен мяч? В чем смысл наклона?Какой уклон? Это м = −32. Это значение говорит мне, что при каждом увеличении на 1 моей входной переменной t , я получаю уменьшение на 32 в моей выходной переменной против .
Что означает уклон?
Наклон говорит мне, что за каждую прошедшую секунду скорость мяча уменьшается на 32 фута в секунду.
(Кстати, скорость в конечном итоге станет равной нулю (когда мяч достигнет пика своей дуги), а затем станет отрицательной (когда сила тяжести возьмет верх и притянет мяч обратно к земле).
Когда t = 0, каково значение против ? Глядя на уравнение, я вижу, что v = 128. В упражнении v определяется как измерение скорости мяча.
Что означает это значение и ?
Значение перехвата говорит мне, что когда мяч был выпущен, он взлетел вверх со скоростью 128 футов в секунду.
- Рыбаки в районе Фингер-Лейкс ведут учет мертвой рыбы, с которой они сталкиваются во время рыбалки в этом регионе. Департамент охраны окружающей среды отслеживает индекс загрязнения региона Фингер-Лейкс. Модель числа смертей рыб “ y “для заданного индекса загрязнения ” x ” составляет y = 9,607 x + 111,958. Что означает наклон? Что означает y -отрезок?
Департамент охраны окружающей среды отслеживает индекс загрязнения региона Фингер-Лейкс. Модель числа смертей рыб “ y “для заданного индекса загрязнения ” x ” составляет y = 9,607 x + 111,958. Что означает наклон? Что означает y -отрезок?Какой уклон? Это м = 9,607. Это значение говорит мне, что при каждом увеличении на 1 моей входной переменной x я получаю увеличение на 9,607 в моей выходной переменной y .
Что означает уклон?
Наклон говорит мне, что при каждом увеличении индекса загрязнения на одну единицу (скажем, с индекса загрязнения 6 до индекса загрязнения 7) в течение года погибает еще девять или десять рыб.
(Почему «или»? Потому что 0,607 часть рыбы не имеет практического смысла. Количество найденных рыб будет целым числом; в этом случае ожидается, что это целое число будет либо девять, либо десять.
Когда x = 0, каково значение y ? Глядя на уравнение, я вижу, что г = 111,958.
Что означает это значение и ?
Значение перехвата говорит мне, что даже если бы индекс был равен нулю (то есть, даже если бы вода была совершенно чистой), все равно было бы около 112 смертей рыб в год.
Сложные задачи с линейными уравнениями (то есть с прямолинейными моделями) почти всегда работают следующим образом: наклон — это скорость изменения, а точка пересечения и — это начальное значение. (Я не могу сразу придумать ни одного примера, в котором это было бы не так.)
Основная трудность обычно связана с интерпретацией горизонтальной переменной, особенно когда эта переменная привязана к определенному году. Всегда убедитесь, что вы четко понимаете определения переменных, и все будет в порядке.
URL: https://www.purplemath.com/modules/slopyint.htm
Интерпретация наклона | Макроэкономика
Цели обучения
- Различие между положительными и отрицательными отношениями
Рисунок 1 .
Этот лыжник мчится вниз по склону в олимпийской гонке. Что вы думаете о крутизне или уклоне этой лыжной горки?
Понятие наклона очень полезно в экономике, поскольку оно измеряет взаимосвязь между двумя переменными. Положительный наклон означает, что две переменные положительно связаны, то есть, когда x увеличивается, то же самое происходит с y , а когда x уменьшается, y также уменьшается. Графически положительный наклон означает, что по мере того, как линия на линейном графике движется слева направо, линия поднимается. В других разделах мы узнаем, что «цена» и «количество предложения» имеют положительную связь; то есть фирмы будут поставлять больше, когда цена выше.
Рис. 1. Положительный наклон.
Отрицательный наклон означает, что две переменные имеют отрицательную связь; то есть когда х увеличивается, y уменьшается, а когда x уменьшается, y увеличивается.
Графически отрицательный наклон означает, что по мере того, как линия на линейном графике движется слева направо, линия падает. Мы узнаем, что «цена» и «количество спроса» имеют отрицательную связь; то есть потребители будут покупать меньше, когда цена выше.
Рис. 2. Отрицательный наклон.
Наклон нуля означает, что y является постоянным независимо от значения x . Графически линия плоская; превышение над пробегом равно нулю.
Рисунок 3. Наклон нуля
График уровня безработицы на рисунке 4 ниже иллюстрирует общий образец многих линейных графиков: некоторые сегменты имеют положительный наклон, другие сегменты имеют отрицательный наклон, и все еще другие участки, где наклон близок к нулю.
Рисунок 4. Уровень безработицы в США, 1975–2014 гг.
Попробуйте
Расчет наклона
Наклон прямой линии между двумя точками можно рассчитать в числовом выражении.
Чтобы рассчитать уклон, начните с обозначения одной точки в качестве «начальной точки», а другой точки в качестве «конечной точки», а затем рассчитайте подъем над пробегом между этими двумя точками.
Попробуйте
Используйте график, чтобы найти наклон линии.
Рисунок 5.
Показать ответНачните с точки на линии, например [латекс](2,1)[/латекс], и двигайтесь вертикально, пока не совпадете с другой точкой на линии, например [латекс](6,3)[/латекс]. ]. Подъем 2 единицы. Это положительно, поскольку вы продвинулись вверх.
Далее двигайтесь горизонтально к точке [латекс](6,3)[/латекс]. Подсчитайте количество единиц. Пробег 4 единицы. Это положительно, поскольку вы переместились вправо.
Затем решите по формуле:
[латекс] \displaystyle \text{Slope }=\frac{\text{подъем}}{\text{run}}[/latex]
so
[латекс] \ displaystyle \text{Slope}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}[/latex]
Попробуйте
Следующие вопросы позволят вам получить столько практики, сколько вам нужно.
можно щелкнуть ссылку в верхней части первого вопроса («Попробуйте другую версию этих вопросов»), чтобы получить новый набор вопросов. Практикуйтесь, пока не почувствуете себя комфортно, отвечая на вопросы, а затем двигайтесь дальше.
Графики экономических отношений не всегда прямые. В этом курсе вы часто будете видеть нелинейные (изогнутые) линии, подобные рисунку 6, который показывает взаимосвязь между количеством производимой продукции и затратами на ее производство. По мере увеличения объема выпуска общие затраты растут более быстрыми темпами. В таблице 1 показаны данные, лежащие в основе этого графика.
| Таблица 1: Кривая общих затрат | ||
| Количество на выходе (Q) | Общая стоимость (ТС) | |
| 1 | $1 | |
| 2 | 4 доллара | |
| 3 | $9 | |
| «Точка А» | 4 | $16 |
| «Точка Б» | 5 | 25 долларов |
| 6 | $36 | |
| 7 | $49 | |
| 8 | 64 $ | |
| 9 | $81 | |
| 10 | 100 долларов | |
Рис.
6. В этом примере общие производственные затраты растут быстрее, когда увеличивается количество выпускаемой продукции.
Мы можем интерпретировать нелинейные отношения аналогично тому, как мы интерпретируем линейные отношения. Их наклоны могут быть положительными или отрицательными. Точно так же мы можем рассчитать наклоны, глядя на подъем по ходу сегмента кривой.
В качестве примера рассмотрим наклон кривой общих затрат, показанный выше, между точками A и B. При переходе от точки A к точке B повышение представляет собой изменение общих затрат (т. е. переменной на вертикальной оси):
25 долл. США – 16 долл. США = 9 долл. США
Аналогично, пробег представляет собой изменение количества (т. е. переменной на горизонтальной оси):
5 – 4 = 1
Таким образом, наклон прямой линии между этими двумя точками будет 9/1 = 9. Другими словами, когда мы увеличиваем количество продукции, произведенной на одну единицу, общие издержки производства увеличиваются на 9 долларов.
.
Попробуйте
Предположим, наклон линии должен увеличиться. Графически это означает, что он станет круче. Предположим, что наклон линии должен был уменьшиться. Тогда он станет более плоским. Эти условия верны независимо от того, был ли наклон положительным или отрицательным с самого начала. Меньший положительный наклон означает более пологий наклон кривой вверх, что вы можете видеть на Рисунке 6 при низких уровнях выпуска. Более высокий положительный наклон означает более крутой наклон кривой вверх, который вы можете увидеть при более высоких уровнях выходных данных.
Отрицательный наклон, который больше по абсолютной величине (то есть более отрицателен), означает более крутой наклон линии вниз. Наклон нуля является горизонтальной линией. Вертикальная линия имеет бесконечный наклон.
Предположим, что линия имеет большее пересечение. Графически это означает, что он сдвинется (или поднимется) от старого начала параллельно старой линии. Это показано на рисунке 7 ниже как сдвиг от линии, обозначенной Y, к строке, обозначенной Y 1 .