Уклон на чертеже обозначается знаком: Обозначение уклона на чертежах

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

методов построения графиков

Рисунок 1

Миллиметровая бумага

Название

Этикетки оси

Выбор шкалы

точек данных

Кривые

Прямолинейные графики

Прямой штуцер

d = (g / 2) t ² .

Рисунок 2

Получение наклона и точки пересечения

Неопределенность наклона и пересечения

Аппарат методом наименьших квадратов

y = a + bx.

Рисунок 3

y = a + bx,

a + bx _i

x = x _i ,

y _i – (a + bx _i )

σ _a

σ _b .

Понимание формы пересечения откоса | StudyPug

Форма пересечения уклона y = mx + b

Форма пересечения наклона – одна из трех форм, которые мы можем использовать для обозначения прямой линии. Другие формы называются формой точечного уклона и стандартной формой, но в этом разделе мы в основном будем использовать форму пересечения уклона.Используя форму пересечения наклона, мы выражаем уравнение прямой:

Вы можете знать xxx и yyy как координаты точки на графике, но что такое mmm и bbb?

Что такое b в y = mx + b?

Буква b – это число, обозначающее, когда линия касается оси y. Мы также называем это «пересечением по оси Y». Например, нарисуем прямую линию на координатной плоскости.

Если вы внимательно посмотрите на ось Y, прямая линия касается оси Y в определенном месте.Где это место? Это будет цифра 3, потому что именно здесь пересекаются ось Y и линия. Это означает, что мы можем заключить, что b = 3.

Что такое m в форме пересечения наклона?

Буква m – это число, обозначающее наклон прямой. Некоторые люди называют наклон подъемом через бег. Напомним, что если у нас есть две точки, то мы можем найти наклон этих двух точек, используя формулу наклона

Здесь работает та же идея.Если мы возьмем любые две точки на прямой, то сможем найти наклон линии, используя приведенную выше формулу! Например, воспользуемся этой строкой.

Обратите внимание на точки (2, 3) и (0, 1) на этом графике. Так почему бы нам не использовать эти две точки, чтобы найти наклон линии? По формуле получим:

Значит, наклон этой прямой 111!

Здесь также можно использовать концепцию превышения пробега.Чтобы перейти от точки (0, 1) к (2, 3), нам нужно пройти 222 единицы вправо и 222 единицы вверх. Это означает, что подъем равен 222, а бег – 222, таким образом, 22 = 1 \ frac {2} {2} = 122 = 1.

Особенность наклонов заключается в том, что мы можем использовать любых двух точек на прямой, чтобы найти его. Таким образом, если вы взяли две разные точки на этой линии, вы все равно получите наклон 111.

Как написать уравнение в форме пересечения наклона?

Возможно, вы знаете, как выглядит форма пересечения наклона, но в половине случаев вам будут заданы уравнения, которые имеют вид , а не в этой форме.Так что ваша задача – превратить это в форму пересечения склонов. Как мы это делаем? Цель состоит в том, чтобы всегда изолировать термин ггг. Например, предположим, что вам дано уравнение

Чтобы изолировать yyy, мы перемещаем 6x + 46x + 46x + 4 в правую часть уравнения

Теперь 222 стоит на пути yyy, поэтому мы собираемся избавиться от него, разделив обе части уравнения на 222.

Поскольку yyy изолирован, вы можете видеть, что он находится в форме пересечения наклона y = mx + by = mx + by = mx + b, где m = −3m = -3m = −3, и b = −2b = -2b = −2.

Теперь, когда мы очень хорошо знаем точку пересечения оси y и наклон, почему бы нам не рассмотреть конкретные вопросы о том, как их найти!

Вопрос 1 : Используя линейное уравнение y = 12x + 5y = \ frac {1} {2} x + 5y = 21 x + 5, найдите точку пересечения y.

Обратите внимание, что уравнение уже находится в форме пересечения наклона y = mx + by = mx + by = mx + b. Нам просто нужно узнать, что такое bbb. Мы можем видеть, что b = 5b = 5b = 5, поэтому точка пересечения y равна 555.

Давайте зададим более сложный вопрос.

Вопрос 2 : Определите точку пересечения оси y 2x − 4y = 82x – 4у = 82х − 4у = 8

Теперь это линейное уравнение не имеет форму пересечения наклона, поэтому мы должны сначала преобразовать его в эту форму. Наша цель – выделить yyy в этом уравнении.

Посмотрите, что если мы переместим 2x2x2x в правую часть уравнения, мы получим:

Теперь разделив обе части на −4-4−4, получим:

Теперь переключение позиций двух терминов дает нам:

Мы можем ясно видеть, что уравнение имеет вид углового пересечения y = mx + by = mx + by = mx + b.Просто взглянув на уравнение, мы можем увидеть, что = −2 = -2 = −2, поэтому точка пересечения y равна −2-2−2. Зададим еще один похожий вопрос.

Вопрос 3 : Определите точку пересечения оси y для 4y − 8 = 04y – 8 = 04y − 8 = 0.

Это может выглядеть немного странно, потому что отсутствует термин xxx, но наша цель остается той же. Мы собираемся изолировать ггг.

Перемещение −8-8−8 в правую часть уравнения дает:

Разделив обе части уравнения на 444, мы получим

Это может выглядеть не так, но уравнение имеет форму пересечения наклона.Просто m = 0m = 0m = 0, поэтому весь член mxmxmx исчез. Просто перепишите уравнение как

Наблюдая, вы можете сказать, что b = 2b = 2b = 2, и поэтому точка пересечения y равна 222. Давайте зададим еще один вопрос.

Вопрос 4 : Определите (если возможно) точку пересечения оси y для 5x − 15 = 05x – 15 = 05x − 15 = 0.

Это интересно, потому что в уравнении нет члена yyy. Итак, как мы должны представить это в форме пересечения наклона? Что ж, единственное, что мы можем сделать прямо сейчас, – это изолировать xxx, так что давайте попробуем это сейчас.

Перемещая 151515 в правую часть уравнения, получаем:

Разделив обе части уравнения, получим:

Теперь изобразим это на графике. Обратите внимание, что в этом уравнении xxx обязательно равняется 333 и не может быть ничем другим. Однако он ничего не говорит о yyy, поэтому yyy может быть любым, каким угодно. Если бы нам пришлось написать таблицу значений, мы получили бы:

Если мы нанесем эти точки на координатную плоскость и проведем линию, мы получим:

Обратите внимание, что линия никогда не касается оси ординат .Это означает, что уравнение не имеет точки пересечения с координатой по оси y. Теперь, когда мы рассмотрели все случаи нахождения точки пересечения оси y, давайте рассмотрим вопросы, которые просят нас найти наклон!

Вопрос 5 : Найдите наклон y = 32x + 1y = \ frac {3} {2} x + 1y = 23 x + 1

Обратите внимание, что это в форме пересечения наклона y = mx + by = mx + by = mx + b, поэтому, наблюдая, мы уже знаем, что m = 32m = \ frac {3} {2} m = 23. Следовательно, наклон равен 32 \ frac {3} {2} 23!

Вопрос 6 : Определите наклон линейного уравнения 6x − 6y = 06x – 6y = 06x − 6y = 0

Как видите, уравнение не имеет формы пересечения наклона, поэтому мы должны сначала преобразовать его в эту форму.Наша цель – изолировать ггг.

Перемещение 6x6x6x в правую часть уравнения дает:

Если разделить обе части на −6-6−6, получим:

Обратите внимание, что это фактически в форме пересечения наклона y = mx + by = mx + by = mx + b. Просто bbb пересечения по оси y в данном случае равно 000, а xxx совпадает с 1x1x1x. Таким образом, мы можем переписать уравнение так:

Теперь, наблюдая, мы видим, что m = 1m = 1m = 1.Так как ммм – это наклон, то наклон должен быть 111. Давайте сделаем немного сложнее

Вопрос 7 : Определите наклон 2y − 4 = 02y – 4 = 02y − 4 = 0

Опять же, это немного странно, потому что у нас нет члена xxx. Однако наша цель изолировать ггг остается прежней.

Перемещая −4-4−4 в правую часть уравнения, получаем:

Разделив обе части уравнения на 222, получим:

Смотрите здесь, что теперь он находится в форме пересечения наклона, за исключением того, что термин mxmxmx скрыт, потому что m = 0m = 0m = 0.Итак, мы можем переписать наше уравнение как:

Поскольку m = 0m = 0m = 0, то угол наклона равен нулю. Если вам интересно, как выглядит линия с наклоном 000, то вот вам график.

Вопрос 8 : Найдите (если возможно) наклон линейного уравнения 16−4x = 016 – 4x = 016−4x = 0

В этом случае yyy не может быть изолирован, потому что отсутствует термин yyy. Итак, единственное, что мы можем сделать, это изолировать xxx.

Перемещение 161616 в правую часть уравнения дает:

Разделив обе части на −4-4−4, получим:

Это все еще не в форме пересечения наклона, поэтому наша единственная надежда получить наклон – это нарисовать график этой линии.Опять же, мы видим, что xxx всегда принудительно равняется 444, но yyy может быть любым, потому что нет термина yyy. Если бы нам пришлось написать таблицу значений, мы получили бы:

Если мы нанесем эти точки на координатную плоскость и проведем линию, мы получим:

Это вертикальная линия. Итак, каков наклон вертикальной линии? Давайте попробуем разобраться в этом, найдя подъем и разбег. Посмотрите, как эта линия всегда бесконечно поднимается, но никакого пробега нет.Это означает, что пробег равен 000. Итак, если мы вычислим наклон, то получим:

Мы не можем разделить на 000, поэтому на самом деле у нас неопределенный наклон.

Что такое неопределенный уклон?

Неопределенный наклон – это наклон, который идет прямо вверх на графике. Как видно на графике выше, наклон увеличивается бесконечно и не имеет пробега. В результате мы получаем неопределенный наклон, потому что мы не можем разделить на 000.

В общем, мы всегда получаем неопределенный наклон всякий раз, когда получаем прямую вертикальную линию!

Давайте рассмотрим еще несколько уникальных вопросов!

Вопрос 9 : Точка (2, 6) проходит через уравнение y = −5x + by = -5x + by = −5x + b. Найдите “bbb”.

Обратите внимание, что (2, 6) – координата, которая сообщает нам, когда x = 2x = 2x = 2, тогда y = 6y = 6y = 6. Итак, чтобы найти bbb, мы просто подставляем значения xxx и yyy в уравнение.

Выделение и решение для bbb дает:

Напомним, что bbb также известен как точка пересечения по оси Y, поэтому точка пересечения по оси Y также равна 161616!

Вопрос 10 : Учитывая две точки (6, 1) и (-10, 9), найдите наклон прямой.

Напомним, что для нахождения наклона прямой мы используем уравнение наклона

Следовательно, использование этой формулы дает нам:

Что, если вместо этого мы должны найти полное уравнение прямой?

Вопрос 11 : Учитывая две точки (-6, 1) и (2, 6), найдите уравнение формы пересечения наклона.

Мы в основном пытаемся найти уравнение в виде y = mx + by = mx + by = mx + b. Для этого нам нужно искать mmm и bbb.

Напомним, что для нахождения ммм мы используем уравнение наклона

Следовательно, использование этой формулы дает нам:

Итак, теперь у нас есть уравнение

Теперь надо искать bbb.Чтобы решить bbb, мы выбираем любую из указанных точек и подставляем ее в уравнение. Мы можем это сделать, потому что обе точки лежат на линии, и любые точки на прямой будут удовлетворять уравнению. Воспользуемся точкой (2, 6). Смотрите:

Изолирующий bbb дает:

В десятичной форме получаем b = 4.75b = 4,75b = 4,75. Следовательно, наше уравнение формы пересечения наклона:

Последнее, что нужно рассмотреть в этом разделе, – это найти домен и диапазон строки.

Чтобы найти домен строки, мы в основном задаемся вопросом: что может быть xxx? Если xxx могут быть этими значениями, мы добавляем их в домен.

То же самое и с диапазоном .Что может быть yyy? Если yyy могут быть этими значениями, мы добавляем их в диапазон. Приведем пример.

Вопрос 12 : Найдите область и диапазон уравнения y = 2x + 1y = 2x + 1y = 2x + 1.

Обратите внимание, что если мы нарисуем график этой линии, то получим:

Что может быть xxx в этой строке? Обратите внимание, что xxx может быть или , потому что с любым значением xxx мы можем получить точку, которая находится на линии. Тот же идет на y .Мы всегда можем выбрать значение yyy, которое даст нам точку на линии. Итак, мы говорим, что

, где R означает «все действительные числа». Давайте сделаем посложнее.

Вопрос 13 : Найдите область и диапазон уравнения y = −2y = -2y = −2.

Теперь, если провести эту линию на графике, мы получим:

Обратите внимание, что xxx может быть любым, потому что с любым значением xxx мы можем получить точку, которая находится на линии до тех пор, пока y = −2y = -2y = −2.Однако посмотрите на ггг. Вы видите, что yyy принудительно равно −2-2−2 и не может быть ничем другим. В тот момент, когда вы выберете другое значение yyy (например, 111), эта точка окажется вне линии. Это означает:

Вопрос 14 : Найдите область и диапазон уравнения x = 1x = 1x = 1.

Теперь, если провести эту линию на графике, мы получим:

Вы видите, что xxx принудительно присваивается 111 и не может быть ничем другим. В тот момент, когда вы выберете другое значение xxx (например, 222), эта точка окажется вне линии.Однако посмотрите на ггг. Обратите внимание, что yyy может быть любым, потому что с любым значением yyy мы можем получить точку, которая находится на линии до тех пор, пока x = 1x = 1x = 1

Значит:

Если у вас было много проблем с построением графиков для получения домена и диапазона, я рекомендую вам использовать этот калькулятор.

Обучает построению линейного уравнения. Все, что вам нужно сделать, это ввести значения mmm и bbb. Затем линия автоматически проведет линию! Это также полезно, когда вы пытаетесь найти форму пересечения уклона.2} $ (верхний полукруг радиуса 25 с центром в начале координат). Когда $ x = 7 $, мы находим, что $ \ ds y = \ sqrt {625-49} = 24 $. Предположим, мы хотим знать, насколько изменится $ y $ при небольшом увеличении $ x $, скажем 7.1 или 7.01.

В случае прямой $ y = mx + b $ наклон $ m = \ Delta y / \ Delta x $ измеряет изменение $ y $ на единицу изменения $ x $. Это может быть интерпретируется как мера «чувствительности»; например, если $ y = 100x + 5 $, небольшое изменение в $ x $ соответствует изменению на сто раз больше в $ y $, поэтому $ y $ весьма чувствителен к изменениям $ x $.2} \ приблизительно 23.9706-24 = -0.0294. \ Cr } $$ Таким образом, $ \ Delta y / \ Delta x \ приблизительно -0,0294 / 0,1 = -0,294 $. Это означает, что $ y $ изменяет менее чем на треть изменение $ x $, поэтому очевидно, что $ y $ не очень чувствителен к изменениям $ x $ при $ x = 7 $. Мы говорим “очевидно” здесь, потому что мы действительно не знаем, что происходит между 7 и 7.1 $. Возможно, $ y $ резко изменится по мере того, как $ x $ пробегает значения от 7 до 7,1 $, но при 7,1 $ у $ y $ просто оказывается близко к своему стоимость в 7 $. На самом деле это не так для этого конкретного функция, но мы еще не знаем почему.$ \ квадрат $

Один из способов интерпретации вышеуказанного вычисления – это ссылка на строку. Мы вычислили наклон прямой через $ (7,24) $ и $ (7. 2} -24 \ over \ Delta x}.$$ Например, если $ x $ изменяется только с 7 на 7.01, то коэффициент разности (наклон хорды) примерно равен $ (23.997081-24) /0.01=-0.2919$. Это немного менее круто, чем аккорд от $ (7,24) $ до $ (7.1,23.9706) $.

Когда второе значение $ 7 + \ Delta x $ приближается к 7, хорда, соединяющаяся $ (7, f (7)) $ to $ (7+ \ Delta x, f (7+ \ Delta x)) $ немного смещается. В качестве показано на рисунке 2.1.1, поскольку $ \ Delta x $ становится меньше и меньше, хорда, соединяющая $ (7,24) $ с $ (7+ \ Delta x, f (7+ \ Delta x)) $ становится все ближе и ближе к касательная к окружности в точке $ (7,24) $.(Напомним, что касательная линия – это линия, которая просто касается круга в этой точке, т.е. он не пересекает круг ни в одной второй точке.) Таким образом, как $ \ Delta x $ становится все меньше и меньше, наклон $ \ Delta y / \ Delta x $ хорда становится все ближе и ближе к наклону касательной. Вы можете перетащить красную точку с надписью $ f (x + \ Delta x) $, чтобы увидеть, как это произойдет; фиксированная красная линия – это касательная линия. 2} $ (зеленая).Вы можете перетащить любую красную точку на изменить точку касания или хорду.

До сих пор мы нашли наклон двух хорд, которые должны быть близки к наклон касательной, но каков наклон касательной линия точно? Поскольку касательная касается окружности только на одном точки, мы никогда не сможем вычислить ее наклон напрямую, используя две “известные” точки на линии. Нам нужен способ захвата что происходит с наклонами хорд, когда они “приближаются и ближе ” к касательной.2} + 24 = 48 $. Следовательно, дробь очень близка к $ -14 / 48 = -7/24 \ cong -0.29167 $? Это, безусловно, кажется разумным, и в На самом деле это правда: по мере того, как $ \ Delta x $ приближается к нулю, коэффициент разницы на самом деле все ближе и ближе к $ -7 / 24 $, и так что наклон касательной составляет ровно -7 / 24 $.

А как насчет наклона касательной при $ x = 12 $? Ну 12 не может быть все это отличается от 7; нам просто нужно повторить расчет с 12 вместо 7. Это будет несложно, но немного скучный.2} $. В определенной точке, скажем, $ x = 7 $, мы говорим, что $ f ‘(7) = – 7/24 $ или “$ f $ простое число 7 равно $ -7 / 24 $” или “производная от $ f $ в 7 составляет -7 $ / 24 $ ”.

Подводя итог, мы вычисляем производную от $ f (x) $, формируя коэффициент разницы $$ \ eqalignno { & {f (x + \ Delta x) -f (x) \ over \ Delta x}, & (2.1.1) \ cr } $$ что является наклоном прямой, тогда мы выясним, что происходит, когда $ \ Delta x $ очень близко к 0.

Отметим, что в частный случай круга, есть простой способ найти производная.2}} $, как и раньше. НЕ всегда верно, что касательная перпендикулярна линии от начала координат – не используйте этот ярлык в любых других обстоятельствах.

Как и выше, и, как и следовало ожидать, для разных значений $ x $ мы обычно получают разные значения производной $ f ‘(x) $. Может ли это быть что производная всегда имеет одно и то же значение? Это означало бы, что наклон $ f $ или наклон касательной к нему такой же где угодно. 2} $ в тексте для каждого из следующих $ x $: (a) 20, (б) 24, (в) $ -7 $, (г) $ -15 $.Нарисуйте график верхнего полукруга, а проведите касательную в каждой из этих четырех точек. (отвечать)

Пример 2.1.3 Нарисуйте график функции $ y = f (x) = 1 / x $ между $ x = 1/2 $ и $ x = 4 $. Найдите наклон хорды между (a) $ x = 3 $ и $ x = 3.1 $, (b) $ x = 3 $ и $ x = 3,01 $, (c) $ x = 3 $ и $ x = 3,001 $. Теперь используйте алгебру, чтобы найти простой формула для наклона хорды между $ (3, f (3)) $ и $ (3+ \ Delta) x, f (3+ \ Delta x)) $. Определите, что происходит, когда $ \ Delta x $ приближается к 0. На вашем графике $ y = 1 / x $ проведите прямую линию через точку $ (3,1 / 3) $, наклон которого является этим предельным значением коэффициента разности как $ \ Delta x $ приближается к 0.3 $ проведите прямую линию через точка $ (1,1) $, наклон которой равен только что найденному значению. (отвечать)

Пример 2.1.6 Найдите алгебраическое выражение для разностного отношения $ (f (x + \ Delta x) -f (x)) / \ Delta x $, когда $ f (x) = mx + b $. Упростите выражение как насколько это возможно. Затем определите, что происходит, когда $ \ Delta x $ приближается к 0. Это значение $ f ‘(x) $. (отвечать)

Пример 2.1.7 Нарисуйте единичный круг. Обсудите поведение склона касательной под разными углами по окружности.2 $. Для каких значений $ x $ на парабола положительна ли наклон касательной? Отрицательный? Что вы заметили на графике в точке (ах), где знак наклон меняется с положительного на отрицательный и наоборот?

Модели со случайным наклоном | Центр многоуровневого моделирования

Стенограмма презентации моделей случайных склонов, Ребекка Пиллинджер

С учетом разных уклонов между группами

Мы увидели, как модели случайных перехватов позволяют нам включать независимые переменные, и мы увидели, что, как и в модели компонентов дисперсии, в модели случайных перехватов каждая группа имеет линию, и мы увидели, что все линии групп имеют одинаковые наклон как общая линия регрессии.И помните, что это было верно и для модели компонентов дисперсии, потому что в этом случае все линии были плоскими, у них просто был наклон 0. Итак, для модели случайного пересечения в каждой группе влияние объясняющей переменной на ответ то же самое, и это фактически одно из предположений модели случайного перехвата.

Но всегда ли это актуально?

Модель случайного пересечения, адаптированная к данным примера

Что ж, вот возможная ситуация, которая у нас может быть, у нас есть некоторые точки данных, и мы можем представить, что это результаты экзаменов для учеников в школах, поэтому по оси x у нас есть предыдущий результат экзамена, а по По оси y у нас есть оценка экзамена в возрасте 16 лет, и мы хотим подогнать модель случайного перехвата к этим данным.

Итак, вот наша модель случайного перехвата, и мы подгоняем ее к нашим данным, и чтобы лучше понять, насколько хорошо эта модель соответствует данным, мы просто выделим четыре группы и рассмотрим их. Итак, если мы посмотрим на красную группу, здесь вы можете увидеть, что для этой группы точки следуют за линией с более крутым наклоном, чем линия группы, которую мы нарисовали, и снова для темно-синей группы точки кажется, следует линии с более крутым уклоном, чем линия группы, которую мы нарисовали.С другой стороны, для голубой группы точки, кажется, следуют за линией с меньшим наклоном, чем линия группы, которую мы нарисовали. И для зеленой группы точки, кажется, следуют за линией с более пологий уклон, чем проведенная нами групповая линия.

Допуск равных уклонов

Итак, для этих данных для некоторых групп объясняющая переменная имеет большое влияние на ответ, а для других – незначительное. Итак, очевидно, что модель случайных перехватов с ее параллельными групповыми линиями не очень хорошо справляется с подгонкой данных.

Итак, это все хорошо в теории, но вы можете задаться вопросом, а происходит ли это на самом деле? Что ж, на самом деле, как раз в том примере, который мы рассматривали, когда ученики в школах, ответившие на результат экзамена, а объясняющая переменная – результат предыдущего экзамена, некоторые исследователи обнаружили, что их данные ведут себя следующим образом. Таким образом, в некоторых школах предварительное тестирование имеет большое влияние на реакцию, а в других – меньше. Но с другой стороны, другие исследователи с точно такой же ситуацией, ученики в школах; ответ: результат экзамена; объясняющая переменная: результат предыдущего экзамена, выяснили, что для их данных модель случайных перехватов идеально подходит: не похоже, что связь между объясняющей переменной и ответом различается для разных школ.Также важно помнить, что для некоторых наборов данных мощности в любом случае достаточно, чтобы соответствовать модели случайных перехватов. Таким образом, это говорит нам о том, что иногда модель случайного перехвата хорошо подходит для данных, и мы не хотим смотреть дальше, это вполне адекватно, но в других случаях модель случайного перехвата не подходит, и нам нужно что-то еще.

Итак, для данных, которые мы только что рассмотрели, нам действительно нужна модель, которая выглядит вот так.

Итак, это модель случайного уклона, и мы также можем раскрасить другие группы.Вы можете видеть, что это на самом деле соответствует данным лучше, чем модель случайного перехвата, потому что вы можете видеть, например, для красной группы, линия группы теперь, похоже, имеет тот же наклон, что и линия, по которой следуют точки, и для со светло-голубой группой линия группы, кажется, имеет тот же наклон, что и линия, по которой следуют точки, и такой же для всех других групп. И мы также можем удлинить эти групповые линии, модель не указывает, какова длина этих линий, они расширяются бесконечно, но, как вы можете видеть, рисование их таким образом выглядит немного сложным и запутанным, это довольно сложно посмотреть, что там происходит.Поэтому мы в большинстве случаев не будем расширять линии, когда будем рисовать их на будущих слайдах.

Случайные склоны модель

Так в чем разница между моделью случайного перехвата и моделью случайного наклона?

Что ж, в отличие от модели случайного пересечения, модель случайного наклона позволяет каждой групповой линии иметь разный наклон, а это означает, что модель случайного наклона позволяет независимой переменной иметь различный эффект для каждой группы. Это позволяет отношениям между независимой переменной и ответом быть разным для каждой группы.Так как же добиться этого с помощью уравнения модели? Что мы делаем, так это добавляем случайный член к коэффициенту x ₁ , чтобы он мог быть разным для каждой группы. Итак, для модели случайного перехвата у нас есть β ₀ , у нас β ₁ x ₁ , у нас u ₀ и у нас e ₀ . Для модели случайного наклона мы добавили u ₁ x ₁ . Это u ₁ разное для каждой группы, так что это означает, что этот коэффициент отличается для каждой группы.Это означает, что отношения между x ₁ и y различны для каждой группы. Однако обычно мы фактически перестраиваем это уравнение, поэтому мы умножаем эту скобку, и β ₁ x ₁ входит в фиксированную часть модели, а u ₁ x ₁ входит в случайную часть модели. Теперь обратите внимание, что мы фактически добавили только одну дополнительную вещь в эту модель, по сравнению с моделью случайного перехвата, мы только представили это u ₁ , но на самом деле у нас есть два дополнительных параметра для оценки, мы ‘ У нас есть σ _{u 01} , и у нас есть σ ² _{u 1} , и к этому мы скоро вернемся.

Итак, как наши u ₁ и наши u ₀ выглядят в нашей модели случайных уклонов?

Что ж, наш u ₀ выглядит точно так же, как и для модели случайного перехвата, это по-прежнему разница между перехватом для всей линии и перехватом для групповой линии, так что разница здесь. u ₁ – разница между наклоном для общей линии и наклоном для групповой линии.Итак, чтобы лучше видеть, что такое u ₁ , мы на самом деле слегка нарисовали здесь линию, параллельную общей линии. На самом деле это не часть модели, это, мы только что нарисовали его, чтобы было легче понять, что такое u ₁ . Итак, для этой линии с тем же наклоном, что и у общей линии: ну, наклон равен β ₁ , так как он совпадает с наклоном всей линии, а u ₁ – это разница между наклоном для общая линия и наклон групповой линии.Таким образом, наклон для групповой линии такой, поэтому u ₁ – это разница между наклоном для групповой линии и наклоном для общей линии. Если мы сейчас посмотрим на голубую группу, снова u ₀ – это разница между точкой пересечения для всей линии и точкой пересечения для линии группы, эта разница здесь, а теперь для этой группы линия группы имеет более пологий склон, чем общая линия

(мы снова нарисовали линию, параллельную общей линии, чтобы вы могли легко сравнить).И снова для всей линии наклон равен β ₁ . Теперь, поскольку групповая линия имеет более пологий наклон, нам фактически нужно снова вернуться вниз, чтобы получить наклон групповой линии, поэтому здесь мы имеем отрицательное значение u ₁ .

Интерпретация параметров

Итак, как мы интерпретируем параметры?

Ну, β ₀ и σ ² _{e 0} можно интерпретировать так же, как и для модели случайных перехватов, поэтому β ₀ все еще остается перехватом общая линия, σ ² _{e 0} по-прежнему является дисперсией уровня 1. β ₁ сейчас – это наклон средней линии, поэтому это среднее изменение (это среднее значение по всем группам) в y для изменения на 1 единицу в
x ₁ . σ ² _{u 0} , σ ² _{u 1}

и σ _{u 01}

немного сложнее интерпретировать. В основном σ ² _{u 1} – разница в наклонах между группами; σ ² _{u 0} – это дисперсия в перехватах между группами – и это означает, что это также дисперсия уровня 2, когда x = 0; σ _{u 01} – ковариация между пересечениями и наклонами.Но мы не можем интерпретировать их по отдельности, мы должны интерпретировать их все вместе, и мы объясним, почему это так, после того, как мы посмотрим, что означает эта ковариация между пересечениями и наклонами.

Ковариация между перехватами и откосами

Итак, вот один пример модели случайных уклонов. Так что это не те данные, на которые мы смотрели раньше.

Итак, в этом конкретном случае [ см. График (a) ], линии показывают модель разветвления, они более плотно сгруппированы здесь и более разбросаны здесь.Таким образом, в этом конкретном случае линии, которые здесь имеют большие пересечения, также имеют большие уклоны, поэтому линии с большими u ₁ , большие уклоны имеют большие u ₀ , большие пересечения. Итак, если мы построим точки пересечения с наклонами, вы увидите эту модель положительной корреляции, поэтому в данном случае σ _{u 01} положительно.

В этой ситуации [ см. График (b) ], у нас снова есть некоторые другие данные, линии показывают схему разветвления, поэтому в этом случае линии с большим наклоном, больше u ₁ , имеют меньшие пересечения, меньшие u ₀ , и снова, если мы построим пересечения с наклонами, теперь σ _{u 01} будет отрицательным.

Третья возможность [ см. График (c) ], опять же с некоторыми другими данными, заключается в том, что линии не показывают шаблона, поэтому в этом случае, если мы посмотрим на линии с большими пересечениями, мы не можем сказать, что они имеют большие уклоны или меньшие уклоны: похоже, нет связи между пересечениями и уклонами, и если мы снова построим пересечения с уклонами здесь, вы увидите, что, похоже, нет никакой закономерности. Таким образом, в этом случае
σ _{u 01} равно 0.

Итак, вам может быть интересно, а что насчет модели случайных перехватов, почему мы не говорили об этом, когда рассматривали модель случайных перехватов? Что ж, для модели случайных перехватов [ см. Верхнюю середину графика ], все линии имеют одинаковый наклон, они параллельны, независимо от точки пересечения, поэтому фактического изменения наклона нет (мы можем увидеть, что если мы построим график опять же пересечения с наклонами, есть только одно значение наклона), поэтому в данном случае нет смысла брать ковариацию между пересечениями и наклонами, и в любом случае трудно понять, как мы могли бы оценить σ _u01 , потому что у нас в этой модели нет u ₁ .Таким образом, нет смысла оценивать ковариацию между пересечениями и наклонами, и мы не оцениваем ее.

Опять же, для одноуровневой модели [ см. График вверху слева ], есть только одна линия для одноуровневой модели, у нас есть просто общая линия регрессии, и снова, если мы построим пересечения с наклонами, вы увидите, что мы у нас только одна точка, так что снова нет смысла брать ковариацию между пересечениями и наклонами, в любом случае у нас нет u ₀ или u ₁ для этой модели, поэтому трудно посмотрим, как мы можем оценить σ _u01 .Для одноуровневой модели мы также не оцениваем ковариацию между пересечениями и наклонами.

Подводя итог, для одноуровневых моделей или моделей случайных перехватов ковариация между перехватами и наклонами не имеет никакого смысла, и мы не оцениваем ее. Для моделей со случайным наклоном σ _u01 положительный означает шаблон разветвления, σ _u01 отрицательный означает рисунок разветвления и σ _{u0 1} = 0 означает отсутствие шаблона.Итак, хорошо, в этой ситуации для всех наших различных наборов данных у нас была общая взаимосвязь между независимой переменной и положительным ответом, у нас было положительное β ₁ . Вы можете увидеть это, если посмотрите на общую линию, которая является более толстой линией в середине каждого из этих графиков.

Что делать, если β ₁ было отрицательным?

Что ж, вот ситуация, когда β ₁ отрицательно, и на самом деле оказывается, что связь между этой ковариацией и паттерном точно такая же, поэтому для моделей со случайным наклоном σ _u01 положительное значение равно шаблон разветвления, по-прежнему σ _u01 негативный – это шаблон разветвления, и все еще σ _u01 = 0 не шаблон.

Масштаб

Хорошо, теперь мы переходим к вопросу о масштабе x , потому что он на самом деле оказывается весьма уместным при интерпретации этой ковариации. Когда мы собираем или анализируем данные, мы всегда выбираем шкалу измерения x . Это предполагает два варианта: во-первых, какие единицы измерения, например, будем ли мы измерять рост в сантиметрах или метрах? И, другими словами, насколько велика 1? И второй вопрос: где расположена шкала, поэтому, если мы хотим измерить температуру, выбираем ли мы ставить ноль при температуре замерзания или мы выбираем 0 при абсолютном нуле? Другими словами, где 0?

В качестве примера предположим, что мы хотим измерить результат экзамена.У нас есть несколько вариантов. Мы могли бы использовать необработанное количество оценок, так что в этом случае, например, полные оценки могут быть 60. Мы можем использовать проценты, так что теперь полные оценки будут равны 100. Мы могли бы использовать шкалу, где 0 – это 50% справа, а 50 – полное. Метки. Таким образом, это будет тот же размер единицы, что и для процентов, но мы будем центрировать около 50%. Мы могли бы использовать шкалу, где средняя отметка равна 0, чтобы она была сосредоточена вокруг среднего значения. Мы могли бы использовать стандартизированную шкалу, так что в этом случае средняя оценка по-прежнему равна 0, но теперь дисперсия равна 1.Итак, эти последние три варианта, в частности, вы могли быть хорошо знакомы с ними как с вещами, которые вы, возможно, захотите делать, когда анализируете данные и подбираете регрессионную модель. Поэтому важно помнить, что это не просто выбор, который делается при сборе данных, это также выбор, который мы делаем, когда на самом деле анализируем данные.

Так какая разница в параметрах, какой масштаб мы выберем для x ?

Параметры и масштаб

Что ж, для параметров наклона β ₁ , колодец β ₁ будет зависеть от единиц, которые мы выберем для x ₁ , поэтому это будет зависеть от того, измеряем ли мы рост в сантиметрах или метров, и эта идея, вероятно, уже знакома из простой регрессии: мы знаем, что если мы измеряем рост в метрах, мы получим другую оценку для β ₁ , чем если бы мы измеряли рост в сантиметрах, и мы ‘ Мы привыкли помнить об этом, когда мы интерпретируем нашу оценку для β ₁ .Но β ₁ не будет зависеть от того, где мы разместим x = 0, и то же самое верно и для u ₁ , это также зависит от единиц, но не от того, где x = 0 есть.

Так что насчет перехвата? Что ж, β ₀ , точка пересечения всей линии, будет зависеть от того, где мы разместим x = 0, но это не будет зависеть от единиц, которые мы используем для x , и, опять же, это, вероятно, вполне знакомо по регрессии: мы привыкли к идее, что если вы центрируете объясняющую переменную перед тем, как поместить ее в регрессионную модель, вы получите другую оценку для точки пересечения, чем если бы вы поместили переменную без центрирования.Таким образом, точка пересечения будет зависеть от того, измеряем ли мы температуру, например, в градусах Цельсия или Кельвина, но не в зависимости от того, измеряем ли мы высоту в сантиметрах или метрах.

u ₀ не зависит от единиц, которые мы используем для x , но зависит ли это от того, где мы помещаем 0? На самом деле это зависит от того, в какую модель мы подходим.

Итак, вот модель со случайным уклоном

Модель случайного наклона

Фактически это тот же самый, который мы рассматривали в начале, и на этом графике мы выбрали три разных места, чтобы поставить x = 0, и мы отметили их вертикальными линиями, и для каждого места, которое мы могли бы положить x = 0, мы поставили u ₀ , поэтому, если мы положим x = 0 здесь

, тогда для красной группы u ₀ довольно большое и отрицательное значение, для синей группы оно все еще довольно большое и положительное.

Если мы положим здесь x = 0, то

, то для обеих групп: u ₀ стало меньше, но знаки остались прежними.

Если положить x = 0 здесь

, теперь вы можете видеть, что знаки поменялись местами. Здесь u ₀ положительно для красной группы,

но здесь и здесь было отрицательно,

а здесь

u ₀ отрицательно для синей группы,

а здесь

и здесь было положительно,

настолько очевидно, что это будет иметь большое значение для нашей оценки u ₀ , где мы решили положить x = 0.

Если сейчас поставить зеленую группу

, мы видим, что на самом деле связь между u ₀ и местом, где мы положили
x = 0, даже сложнее, чем можно предположить, просто глядя на красную и синюю группы. Потому что для красной и синей группы здесь

u ₀ довольно большой,

он станет меньше, если мы положим x = 0 здесь

, а затем, если мы положим
x = 0, знак изменится, но на самом деле зеленая группа не следует тому же шаблону.

Для зеленой группы, если мы положим x = 0 здесь

u ₀ совсем маленький,

, если положить x = 0 здесь u ₀ больше,

и если мы положим x = 0 здесь

u ₀ еще больше, знак не изменился.

Итак, это показывает, что взаимосвязь между и ₀ и местом, где мы положили x = 0, на самом деле довольно сложно, и не обязательно будет просто исправить то, где мы положим x = 0 и получим какое-то общей оценки для u ₀ , которая каким-то образом не зависит от того, где мы положили x = 0, на самом деле, когда мы интерпретируем наши оценки u ₀ , мы должны принять во внимание где мы положили x = 0 и интерпретируем оценки в свете этого.

Хорошо, а что насчет модели случайного перехвата?

Модель случайного перехвата

Что ж, для модели случайного перехвата на самом деле не имеет значения, где мы положим x = 0 относительно того, какую оценку мы получим для u ₀ , так что снова вы можете видеть, что мы здесь проделали то же самое, для красной группы теперь вы можете видеть, что независимо от того, где мы положим x = 0, u ₀ точно то же самое, а для синей группы u ₀ равно точно так же, независимо от того, где мы положим x = 0.Для зеленой группы также u ₀ будет одинаковым независимо от того, где мы положим x = 0. И на самом деле это то, что, хотя мы на самом деле не упоминали об этом напрямую, когда мы говорили о моделях случайного перехвата, мы как бы неявно предполагали это, потому что, когда мы интерпретировали нашу оценку u ₀ и нашу оценку в В частности, σ ² _{u 0} мы не учли, где мы положили x = 0, это вообще не вошло в нашу интерпретацию, и это было нормально, потому что, как мы видим, на самом деле это не имеет значения.

Модель случайного перехвата – пример

Таким образом, для случайных пересечений [модель], где x = 0 не имеет значения для значения u ₀ , но для модели случайных наклонов не имеет значения для значения u ₁ , но это имеет значение для значения u ₀ . А это означает, что дисперсия σ ² _{u 0} также будет затронута, как и ковариация, σ _{u 01} , и поэтому мы должны интерпретировать σ ² _{u 1} , σ ² _{u 0} и
σ _{u 01} вместе и в свете того, где мы положили x = 0.

Итак, в качестве примера представьте, что мы подбираем модель случайных уклонов и снова подгоняем ее к ученикам в школах, и наш ответ – GCSE, нашей объясняющей переменной является результат предыдущего экзамена, измеренный в%, поэтому x = 0 ничего не значит правильно, и да, наши подразделения – это ученики в школах. Итак, представьте, что наши данные такие, как мы можем видеть здесь справа. Таким образом, если мы посмотрим только на значение σ _{u 01} , хорошо σ _{u 01} отрицательное, линии с большими пересечениями имеют меньший наклон, линии с меньшими пересечениями имеют больший наклон. , поэтому мы подумаем, что это разветвление.Фактически во всем диапазоне наших данных, там, где линии толстые, а не пунктирные, там, где у нас на самом деле есть точки в нашем наборе данных, шаблон фактически разветвляется. Таким образом, это отрицательное значение для σ _{u 01} дало нам совершенно неверное представление о форме наших данных. Мы можем убедиться в этом, посмотрев на график. И это потому, что на самом деле здесь есть шаблон разветвления, эта отрицательная ковариация верна для этого диапазона значений, который не является диапазоном, который на самом деле есть в нашем наборе данных.Если мы положим здесь x = 0, мы получим оценку σ _{u 01} , которая равна 0, и если мы положим здесь x = 0, мы получим оценку σ _{u 01} , которое было больше 0, так что фактически соответствовало бы схеме разветвления, которую мы видим в наших данных. Итак, когда мы фактически получаем наши оценки для модели, а также смотрим на значение σ _{u 01} и видим, является ли оно положительным или отрицательным или близким к 0, важно также построить график нашей оценочной группы. строки для наших данных, чтобы мы действительно могли видеть, каков шаблон для диапазона наших данных, и это то, к чему мы вернемся позже в разделе о прогнозировании.

Итак, на какие исследовательские вопросы мы можем ответить, используя модель случайного уклона?

Примеры исследовательских вопросов

Ну вот несколько примеров. Итак, в этом исследовании [ Clark et al, 1999 ] они рассмотрели вопрос исследования: существует ли большая разница между испытуемыми в скорости изменения оценки краткого экзамена на психическое состояние (MMSE)? Таким образом, у них был предмет на уровне 2 и случай на уровне 1, их случайный наклон соответствовал году, и они ответили утвердительно.Краткий экзамен на психическое состояние на самом деле используется для оценки пациентов, у которых была диагностирована болезнь Альцгеймера, и авторов действительно интересовал этот вопрос, потому что они задавались вопросом, является ли это хорошим показателем, и на самом деле решили, что это не так, в основном из-за этого большого размера. степень вариации наклона между предметами. Кроме того, интересно отметить, что корреляция между его наклоном и перехватами составила 0,33 для их данных, так что это означает, что субъекты с более высокими перехватами имели меньшее снижение оценки MMSE.

В этом исследовании [ Tymms et al, 1997 ] изучалось, различается ли влияние успеваемости в начале школы на успеваемость после первого года обучения в разных школах. Они смотрели на детей, которые впервые пошли в школу. Таким образом, у них была школа на уровне 2 и ученик на уровне 1, и их случайный наклон был на предварительном тесте, и они ответили утвердительно, эффект действительно различается в разных школах. Однако они прокомментировали, что обнаруженная ими вариативность уклонов может быть связана с потолочными эффектами их итогового теста: в некоторых школах учащиеся получали такие высокие баллы с самого начала, перед тем, как поступить в школу, что на самом деле не было места для пройти аттестацию по окончании школы.

В этом примере [ Polsky and Easterling, 2001 ] они рассмотрели вопрос о том, различаются ли районы по своей чувствительности стоимости земли к климату, поэтому они рассматривали районы в районе Великих равнин США, и их климатический показатель был средним максимумом. Июльская температура более 30 лет, и они смотрели на стоимость земли, но на самом деле их интересовало землепользование – стоимость земли была косвенным показателем землепользования, потому что разные культуры имеют разные цены, так что это позволяет измерять использование земли.Итак, у них были районы на уровне 2 и округа на уровне 1, и их случайный наклон соответствовал этому показателю средней максимальной температуры июля, и они ответили: Да, районы действительно различаются по чувствительности стоимости земли к климату. И они фактически продолжили подгонку модели, которая показывала, что округа в округах, которые имеют большую изменчивость температуры от года к году (у них была мера этого), на самом деле больше выигрывают от высоких температур июля. Но это более сложная модель, чем мы собираемся рассматривать в этом конкретном наборе презентаций.

В этом примере [ Jex and Bliese, 1999 ] изучается, существует ли различие между армейскими компаниями во взаимосвязи между отработанными часами и психологическим напряжением. Таким образом, у них была компания на уровне 2 и солдат на уровне 1, и случайный наклон был связан с отработанными часами, и их ответ был: да, между компаниями есть различия. И они также подошли к более сложной модели, чтобы попытаться объяснить это. Они задавались вопросом, можно ли объяснить эту изменчивость разным мнением в отношении эффективности компании в разных компаниях – а значит, насколько эффективной будет эта компания в решении поставленных перед ней задач.Но они фактически пришли к выводу, что это не объясняет изменчивость.

А вот подробности этих исследований:

• Кларк, К., Шеппард, Л., Филленбаум, Г., Галаско, Д., Моррис, Дж., Косс, Э., Мос, Р., Хейман, А., исследователи
  CERAD (1999) Вариабельность ежегодных оценок минимального психического состояния у пациентов с
  вероятной болезнью Альцгеймера Archives of Neurology, 56 стр. 857 – 862
• Jex, S. и Bliese, P. (1999) Убеждения в эффективности как модератор воздействия стрессоров, связанных с работой: многоуровневое исследование
  Journal of Applied Psychology 84 3 стр. 349 – 361
• Польский, С.и Истерлинг, W.E. (2001) Адаптация к изменчивости и изменению климата на Великих равнинах США
  : многомасштабный анализ чувствительности климата Рикардо Сельское хозяйство, экосистемы и окружающая среда
  85 стр. 133 – 144
• Тиммс, П., Меррелл, К., Хендерсон, Б. (1997) Первый год в школе: количественное исследование
  успеваемости и успеваемости учеников Образовательное исследование и оценка 3: 2 стр. 101 – 118

Расчет общей дисперсии

В презентации «Подбор и интерпретация модели случайного уклона» мы упомянули, что мы не можем интерпретировать оценки случайных параметров уровня 2 по отдельности, мы должны интерпретировать их вместе – так что это дисперсия наклонов, дисперсия точки пересечения и ковариация между точками пересечения и наклоном – эти три параметра должны интерпретироваться вместе.И мы посмотрим, как это сделать сейчас, потому что способ интерпретировать их вместе – это вычислить дисперсию уровня 2.

Итак, если мы посмотрим в первую очередь на дисперсию уровня 1, это довольно просто. У нас есть только один случайный член на уровне 1, у нас просто e ₀ . Таким образом, дисперсия уровня 1 составляет всего σ ² _{e 0} .

Для дисперсии уровня 2 у нас есть два случайных члена на уровне 2. У нас есть u ₀ и u ₁ x ₁ .Таким образом, дисперсия уровня 2 будет дисперсией ( u ₀ + u ₁ x ₁ ), так что на самом деле это будет дисперсией u ₀ плюс 2 умноженное на ковариацию между u ₀ и u ₁ x ₁ , плюс дисперсию u ₁ x ₁ . И это σ ² _{u 0} , потому что мы определили дисперсию u ₀ как σ ² _{u 0} ; плюс 2 раза σ _{u 01,} , потому что мы определили ковариацию между u ₀ и u ₁ как σ _{u 01} , x раз ₁ ; плюс σ ² _{u 1} , потому что это дисперсия u ₁ (мы определили это так), умноженного на x ₁ ² .И обратите внимание, что дисперсия уровня 2 теперь является квадратичной функцией x ₁ . Таким образом, для модели случайного перехвата дисперсия уровня 2 составляла всего σ ² _{u 0} , так что это было просто постоянным, независимо от того, какое значение x ₁ у нас было. Но для модели случайных уклонов дисперсия уровня 2 фактически зависит от значения x ₁ , фактически это квадратичная функция x ₁ .

Таким образом, коэффициент разделения дисперсии теперь также будет зависеть от x ₁ , поэтому коэффициент разделения дисперсии по-прежнему является дисперсией уровня 2, деленной на общую остаточную дисперсию, и поэтому здесь дисперсия уровня 2 сверху, как и мы. вычислил его здесь, и внизу мы снова получили дисперсию уровня 2 плюс дисперсию уровня 1. И мы могли бы построить график дисперсии уровня 2 против x , чтобы изучить, как она изменяется при различных значениях x .Мы также могли бы построить график коэффициента разделения дисперсии против x , чтобы изучить, как это изменится, но мы собираемся получить довольно похожую информацию на любом из этих графиков, поэтому, вероятно, стоит сделать только один из них.

Проверка гипотез для модели случайных уклонов

Ну, на самом деле это почти то же самое, что и для модели случайных перехватов. Таким образом, для фиксированной части наша оценка β _k значима на уровне 5%, если модуль β _k , деленный на стандартную ошибку> 1.96, так что это то же самое, что и одноуровневая регрессионная модель. Для случайной части нам снова нужно использовать тест отношения правдоподобия, поэтому на этот раз мы сравниваем модель с u ₁ x ₁ с моделью без u ₁ x ₁ . Таким образом, мы просто сравниваем модель случайного наклона, то есть модель с u ₁ x ₁ , с моделью случайного пересечения, это модель без u ₁ x ₁ .Таким образом, эти две модели абсолютно одинаковы с точки зрения независимых переменных, с той лишь разницей, что в модели случайных наклонов есть u ₁ x ₁ . Итак, опять же, статистика теста в 2 раза больше логарифмической вероятности первой модели минус логарифмическая вероятность второй модели, и на этот раз у нас есть 2 степени свободы, потому что у нас есть 2 дополнительных параметра в первой модели по сравнению со второй моделью: у нас есть σ ² _{u 1} на этот раз и σ _{u 01} .Итак, мы сравниваем статистику теста с распределением ² ₍₂₎ с 2 степенями свободы, и снова мы можем разделить значение p на 2, если захотим. Таким образом, нулевая гипотеза состоит в том, что σ ² _{u 1} и σ _{u 01} оба равны 0, и если это так, то модель случайного перехвата будет более подходящей, чем модель случайного наклона. .

Давайте теперь вернемся к техническим деталям модели и посмотрим, какие допущения мы делаем, когда подбираем модель случайного наклона.

Что ж, у нас есть все те же предположения, что и для модели случайного пересечения, и, кроме того, мы предполагаем, что остатки наклона для двух разных групп не коррелированы; мы предполагаем, что ковариация между пересечением и невязкой наклона для одной и той же группы составляет σ _{u 01} и что остатки пересечения и наклона для разных групп не коррелированы, и мы предполагаем, что невязка наклона не коррелирована с остаток уровня 1 и остаток наклона не коррелирован с ковариатами.

Корреляционная матрица

Если мы хотим посмотреть на корреляционную матрицу сейчас

Что ж, мы снова рассмотрим корреляцию между значением ответа минус прогноз фиксированной части для каждой пары индивидуумов в нашем наборе данных, а для модели случайного наклона ответ минус прогноз фиксированной части сводится к следующему, просто случайная часть модели. Итак, какова на самом деле ковариация между этим для каждой пары индивидуумов в нашей группе? Что ж, когда мы смотрим на одних и тех же людей, то есть диагональные элементы нашей ковариационной матрицы, ковариация между этими членами на самом деле является просто общей дисперсией, вот дисперсия 2 уровня плюс дисперсия 1 уровня, а для двух элементов из разных групп, эта ковариация равна нулю.Но если мы хотим посмотреть на ковариацию двух разных людей из одной группы, то есть на внутриклассовую корреляцию, это на самом деле немного сложнее.

Для модели случайного пересечения внутриклассовая корреляция была идентична коэффициенту разделения дисперсии, и ее было довольно просто вычислить. Для модели со случайными наклонами внутриклассовая корреляция не равна коэффициенту разделения дисперсии, потому что внутриклассовая корреляция будет зависеть от значения x ₁ для каждого из двух рассматриваемых элементов.Коэффициент разделения дисперсии просто зависел от одного значения x ₁ , но если каждый из двух разных людей имеет разное значение x ₁ , оба этих значения войдут в формулу для внутриклассовой корреляции. Точное выражение для внутриклассовой корреляции довольно сложно; мы не собираемся приводить его здесь, потому что важно просто отметить, что внутриклассовая корреляция будет зависеть от двух значений: x ₁ , а также σ ² _{u 1} , σ ² _{u 0} и σ _{u 01} .

Итак, давайте теперь посмотрим на прогнозы для модели случайного наклона

Прогнозы для модели случайного уклона

И помните, что в презентации о подборе и интерпретации модели случайного уклона, когда мы говорили об интерпретации ковариации между пересечениями и уклонами, мы упоминали, что очень важно, а также просто смотреть на оценку, построить прогнозируемую группу. линий, чтобы правильно интерпретировать эту оценку, и теперь мы собираемся показать, как это сделать.Таким образом, прогноз с фиксированной частью даст общую линию регрессии, поэтому прогноз такой, и вот линия, которую мы получаем.

Для групповых линий мы должны добавить остатки уровня 2 к нашему предсказанию фиксированной части, и это даст нам групповые линии, поэтому теперь наше предсказание – , и вот групповые линии, которые мы получаем. И мы можем добавить точки данных к обоим прогнозам, чтобы увидеть, насколько хорошо эти линии соответствуют нашему набору данных. И мы, очевидно, можем объединить оба этих прогноза на одном графике, если захотим, чтобы получить общую картину нашей модели, и если мы это сделаем, это то, что мы получим, и мы можем снова добавить точки данных.

Итак, есть картина нашей модели случайного наклона, и теперь мы можем проверить, показывают ли наши данные шаблон разветвления или разветвления, или, как в этом конкретном примере, нет модели.

Модели со случайным уклоном и случайные точки пересечения

[Мы] теперь поговорим о моделях случайного уклона и случайных пересечениях, потому что здесь есть несколько моментов, которые могут сбивать с толку. Итак, в первую очередь, вопрос терминологии. Итак, эта модель случайного наклона здесь, которую мы рассматривали в этих презентациях, действительно имеет случайный перехват, а также случайный наклон, так что это означает, что технически это также модель случайного перехвата, это не неправильно называть ее модель случайного перехвата.Но на практике обычно, когда мы используем термин «модель случайного перехвата», мы имеем в виду модель, которая имеет только случайный перехват, а не случайный наклон.

Всегда ли мы должны добавлять случайное пересечение к модели случайного уклона? Что ж, до сих пор мы всегда показывали случайную точку пересечения в нашей модели случайного наклона, и если мы оставим случайную точку пересечения, это будет означать, что все линии группы пересекаются в точке
x = 0, и если у нас действительно есть хорошая причина полагать, что групповые линии должны пересекаться на
x = 0, тогда мы можем подобрать модель без случайных пересечений.Но обычно у нас нет веских причин полагать, что обычно мы вводим случайный перехват.

Множественные независимые переменные

Так что, если мы хотим добавить в нашу модель несколько независимых переменных?

До сих пор мы рассматривали модель только с одной объясняющей переменной, но если мы хотим иметь более одной объясняющей переменной, то что это означает для нашего случайного наклона? Что ж, на самом деле мы можем задать случайный наклон только для одной из наших объясняющих переменных или мы можем задать случайный наклон для нескольких из них, как в этом примере.Или мы можем даже нанести случайный наклон всем нашим независимым переменным. Но, в зависимости от количества единиц уровня 2 в нашем наборе данных, на практике у нас может не хватить мощности, чтобы задать случайный наклон более чем для одной объясняющей переменной. Итак, теоретически мы можем применить случайные наклоны к любому количеству или меньшему количеству наших объясняющих переменных, но на практике могут быть некоторые ограничения на то, сколько случайных наклонов мы можем уместить.

Мы можем помещать случайные наклоны в условия взаимодействия, мы можем помещать их также и в категориальные переменные, в этом случае мы просто добавляем наклон к фиктивной переменной.

Нахождение наклона прямой по 2 точкам – задача 1

Это проблема, которая дает мне две точки и просит меня найти наклон линии, которая их соединяет. Так что, если бы я хотел, я мог бы нарисовать график, но, честно говоря, я не очень люблю графики. На это уходит много времени, у меня не всегда есть миллиметровая бумага, поэтому я предпочитаю использовать этот ярлык алгебры, и он использует формулу для наклона. Ребята, вам стоит это запомнить, а если еще нет, начинайте запоминать.

M означает наклон, и вы делаете y2, убираете y1 поверх x2, убираете x1. Итак, чтобы применить эту формулу, первое, что мне нужно сделать, это выяснить, что означает этот бизнес y2, y1. Я собираюсь обозначить эти точки как x1, что означает мою первую координату x, y1 – мою первую координату y, x2 будет равно 4, а y2 будет иметь значение 1.

Затем я просто заменю каждое из этих чисел в формулу. Итак, давайте посмотрим, что y2 – это 1 отнимите y1, вот оно, это верхняя часть моей дроби.Внизу будет x2, забери x1. О боже, пожалуйста, будьте осторожны с отрицательным знаком. Обратите внимание, что у меня было отрицательное, отрицательное, один знак минус произошел из уравнения, а другой знак минус произошел из этой 3 прямо здесь, поэтому у меня есть минус, минус.

Хорошо, давайте упростим это. 1 убери 2 – это -1, внизу у меня 4 минус -3, что то же самое, что 4 плюс 3, что равно 7, вот и все. Используя алгебру, я смог найти наклон линии, содержащей эти две точки, без необходимости графически отображать ее, мне нравится такой ярлык.Прежде чем мы продолжим, я хочу показать вам, ребята, небольшой набросок графика, который может помочь вам проверить вашу работу. Например, давайте просто скажем, что я пытаюсь построить график этих точек, я просто собираюсь проверить, что -1/7 имеет смысл.

Давайте посмотрим, поэтому моя первая точка (-3,2), (-3,2) где-то там круг, моя вторая точка – 4, 1, один, два, три, четыре, один, и я смотрю на линия, которая проходит через них. Опять же, это не очень красиво, потому что я не использую миллиметровую бумагу, но я опускаю 1 коробку и более 7 коробок.Если бы у вас, ребята, была миллиметровая бумага, у вас было бы это намного точнее, и вы могли бы видеть, что действительно мой наклон, о, черт возьми, извините, это как самая уродливая картина, но я надеюсь, что вы, ребята, все еще можете понять эту идею. У меня наклон вниз 1, больше 7, это отрицательное значение означает спад, а затем все больше 7.

Итак, график – хороший способ проверить, он может быть очень грубым, просто чтобы убедиться, что я случайно не поставил крестики наверху или что-то в этом роде, и я не случайно сделал какую-то странную ошибку в расчетах, но еще одна вещь, которую я хочу сказать вам, ребята, прежде чем мы уйдем, пожалуйста, запомните эту формулу, это отличный способ найти уклон без необходимости рисовать линию.