Сечения в геометрии: “Построение сечений многогранников” ( геометрия 10 класс)

Содержание

Урок геометрии по теме «сечения многогранников» цель урока сформировать основные принципы построения сечения многогранников задачи урока

Урок геометрии по теме: «Сечения многогранников».

Цель урока:

Сформировать основные принципы построения сечения многогранников.

Задачи урока:

Обучающая: сформировать понятие сечения многогранника, рассмотреть общие принципы построения сечений многогранников, уметь применять теоретический материал при выполнении задач на построение сечений.

Развивающая: Развивать логическое мышление, пространственное воображение, умение анализировать, находить главное. развивать умение сравнивать, выявлять закономерности, обобщать.

Воспитательная: формирование навыков коллективной работы в сочетании с самостоятельностью учащихся. Умение общаться и вести дискуссию.

Этапы мастерской.

I. Индукция.

II. Деконструкция и реконструкция.

III. Социализация.

IV. Афиширование.

V. Разрыв.

Геометрия много бы потеряла, если бы в ней не было задач на построение сечений многогранников. Если бы этих задач не было, их следовало бы придумать. Сколько богатств сокрыто в них: пространственные представления, фантазия, интуиция, поиски идей и методов решения, богатство рассуждений и доказательств. Заменить задачи на построение нельзя ничем.

1. Задания группам:

а) Какие ассоциации возникают у вас, когда вы слышите слово “сечение”?

б) Как вы представляете сечения многогранников?

Какие проблемы, вопросы могут возникнуть с понятием сечение многогранника ?

Сформулируйте и напишите эти проблемы на листках. Афишируйте свои мысли на доске.

2. Проводится практическая работа, которая поможет ответить на некоторые вопросы и разрешить проблемы, возникшие у учащихся.

У каждой группы на столе – модели тетраэдров и параллелепипедов из пластилина. Используя пластиковый нож, леску и модели, учащиеся выполняют сечения различными плоскостями и отвечают на вопрос, что они получили в сечении (треугольник, четырехугольник и т. д.).

3. Задание группам.

Сформулируйте понятие сечения многогранника (каждая группа дает определение).

Далее учащиеся обращаются к учебной литературе. Согласны ли вы с тем определением, которое дали ученые? (комментарии учащихся).

4.Задание группам:

На доске написаны различные предложения. Выберите из предложений неверные.

1) Сечением плоскостью тетраэдра может быть треугольник.

2) При сечении параллелепипеда плоскостью обязательно пересекаются все ребра параллелепипеда.

3) Сечением плоскостью параллелепипеда является восьмиугольник.

4) Сечение ограничено отрезками прямых.

5) В сечении тетраэдра плоскостью может быть шестиугольник.

6) В сечении многогранника может быть круг.

7) В сечении параллелепипеда может быть параллелограмм.

8) Секущая плоскость с гранью многогранника имеет только две общие точки.

9) Сечением многогранника является плоская фигура.

10) Секущая плоскость пересекает грань многогранника до прямой.

11) Сечением многогранника может быть точка.

5. Задание группам

Среди указанных сечений определите неверно выполненные.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

 

 

 

6. Задание  группам.

Исправить  неверные  сечения.

7. Задание  группам.

Сформулируйте рекомендации для построения сечения. Группы составляют рекомендации, афишируют их на доске и обсуждают. 

8. Задание  группам.

1.

Построить точку пересечения прямой КМ

с плоскостью основания куба

2.

Отрезки КК1||ZZ1||MM1; ZZ1>KK1, ZZ1>MM1.

Точки K1, Z1, M1 лежат в плоскости  а.

Построить линию пересечения плоскости (KMZ)

и плоскости а.

3.

Построить точку пересечения прямой FN с

плоскостью основания тетраэдра

4.

Построить линию пересечения плоскости МРК

с плоскостью основания (АВС) тетраэдра

ABCD.

Группы выполняют задания, афишируют и

обсуждают.

 

9. Домашнее задание. 

1. Построить сечение тетраэдра ABCD плоскостью, содержащей ребро AD и точку K, принадлежащую противоположному ребру.

2. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 постройте сечение плоскостью, проходящей через середину ребра A1D1 и вершины D и C1.

3. В тетраэдре DABC точки E, P, M принадлежат соответственно ребрам AD, DB, BC, причем прямые EP

и AB не параллельны. Постройте сечение тетраэдра плоскостью EPM.

4. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точки K, P, M принадлежат соответственно ребрам AA1, A1B1 и BC. Постройте сечения параллелепипеда плоскостью KPM.

10. Обращаемся к проблемам, которые учащиеся выдвинули в начале урока, и отмечаем те, на которые мы получили ответ. Те вопросы, на которые ответы не получены, будут рассмотрены на последующих уроках.

Ребята отвечают на вопросы:

Какие задания были наиболее интересными?

Какие задания были наиболее трудными?

Что у вас не получилось?

Какие открытия вы сделали для себя?

Какие вопросы вы еще хотели бы рассмотреть по данной теме?

“Построение сечений в многогранниках методом следов”. 10-й класс

Девиз: “Мы одна семья, мы учимся все вместе”

Цели урока:

  • Формирование у учащихся навыков решения задач на построение сечений методом следов.
  • Формирование и развитие у учащихся пространственного воображения.
  • Развитие графической культуры и математической речи.

Обучающая цель: формирование умений и навыков построения сечений методом следов.

Воспитывающая цель: воспитывать чувство сплоченности, взаимопомощи, воспитывать умения работать индивидуально над задачей.

Тип урока: урок формирования и совершенствования знаний.

Формы организации учебной деятельности: групповая, индивидуальная, коллективная.

Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, набор геометрических тел (куб, параллелепипед, пирамида).

Структура урока:

Ход урока

Организационный момент: Рассаживаемся на 3 группы по 5 человек. На каждом столе – набор тел, памятки-опоры, карточки для индивидуальной работы по построению сечений.

Слово учителя: Вы изучили аксиомы стереометрии, следствия из аксиом, теоремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. При решении многих стереометрических задач используют сечение многогранника плоскостью. Существует несколько методов построения сечений многогранника плоскостью: метод следов, метод внутреннего проектирования и комбинированный метод.

Мы изучим метод следов.

1) Ребята, я предлагаю вам повторить и вспомнить некоторые геометрические понятия и определения.

  1. Основное понятие геометрии – место пересечения двух прямых, не имеющее измерения.
  2. Геометрическая фигура, состоящая из шести квадратных граней.
  3. Отдельный предмет в пространстве.
  4. Способ изображения пространственных фигур на плоскость.
  5. Плоская фигура, образуемая пересечением тела плоскостью.
  6. Сторона грани многогранника.
  7. Многогранник, поверхность которого состоит из четырех треугольников.

Ответы:

  1. Точка
  2. Куб
  3. Тело
  4. Проекция
  5. Сечение
  6. Ребро
  7. Тетраэдр

2) Ребята, перед вами пример неправильного построения сечения куба АС1 плоскостью, проходящей через заданные точки N, C, D1.

А рядом сечение построено верно.

На уроках черчения вы пользовались определением: Сечение – это изображение фигуры, которая получается при мысленном рассечении тела плоскостью.

Вот таким определением мы и будем пользоваться сегодня на уроке.

В тетраэдре сечениями могут быть только треугольники или четырехугольники, а в параллелепипеде – треугольники, четырехугольники, пятиугольники или шестиугольники.

Метод следов включает три важных пункта:

  1. Строится линия пересечения (след) секущей плоскости с плоскостью основания многогранника.
  2. Находим точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника.
  3. Строим и заштриховываем сечение.

Рассмотрим пример (мультимедийный проектор).

Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L.

Алгоритм построения

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Задания группам построить сечение

Три ученика работают у доски (по одному ученику из каждой группы)!

Опора-памятка

  • Аксиома1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и причем только одна.
  • Аксиома2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
  • Аксиома3. Если 2 плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия из аксиом:

  1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
  2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Способы задания плоскости.

           

       

Итог урока: повторить алгоритм построения сечения методом следов. Оценить работу учащихся.

Домашнее задание: закончить задания по индивидуальным карточкам.

Презентация

Презентация к уроку геометрии “Построение сечений тетраэдра”

Построение сечений тетраэдра

Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения многогранника различными плоскостями.

сечение Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки – сечение тетраэдра.

Какие многоугольники могут получиться в сечении ? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут получиться: Четырехугольники Треугольники

При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. 2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. 3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

D A B C Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K D A B C M N K Проводим MK. 2. Проводим NK. 3. Проводим MN. 4.  MNK – искомое сечение.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E, F, K. E F K L A B C D M 1. Проводим КF. 2. Проводим FE. 3. Продолжим EF, продол- жим AC. 5. Проводим MK. 7. Проводим EL EFKL – искомое сечение 6. MK AB=L 4. EF AC =М

1.Все вершины сечения лежат на рёбрах многогранника. Свойства правильно построенного сечения. 2.Все стороны сечения лежат в гранях многогранника. 3.В каждой грани лежит не более одной стороны сечения.

Построение на готовых чертежах

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, P.

Домашнее задание

Не удается найти страницу | Autodesk Knowledge Network

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}}*

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}}/500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}  

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}  

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

Урок геометрии в 10 классе «Задачи на построение сечений» | План-конспект урока по геометрии (10 класс) на тему:

Елисеева Г.И.,

учитель математики

Урок геометрии в 10 классе «Задачи на построение сечений»

   Цели урока:

 – формирование у учащихся умений построения сечений тетраэдра и параллелепипеда различными плоскостями; закрепление алгоритма построения сечений и отработка навыков построения сечений многогранников;

  –  воспитание чувства взаимопомощи, умения работать индивидуально над поставленными задачами, воспитание интереса к предмету и потребности в приобретении знаний;

 –  развитие у учащихся пространственного воображения, развитие графической культуры и математической речи.

   Задачи урока:  научиться строить сечения тетраэдра и параллелепипеда различными плоскостями.

   Тип урока: урок формирования и совершенствования знаний.

   Формы организации учебной деятельности: фронтальная, работа в парах, индивидуальная.

   Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, модели многогранников.

   План урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Изучение нового  материала.

4. Закрепление изученного материала.

5. Подведение итогов урока.

6. Домашнее задание.

Ход занятия:

1.Организационный момент.

    Сообщение темы, цели и задач урока учащимся. Выяснить были ли трудности с выполнением домашней работы.

   На предыдущем уроке мы познакомились с двумя  видами многогранников: тетраэдром и параллелепипедом, а сегодня мы научимся  строить сечения этих многогранников различными плоскостями.

2. Актуализация опорных знаний.

   Устная фронтальная  работа по вопросам теории данной темы, с целью  актуализации знаний учащихся. Повторение изученного материала: аксиом стереометрии, следствий из аксиом, способов задания плоскостей, терминов и определений, связанных с тетраэдром и параллелепипедом.

   Вопросы:

1) Какие многогранники вы знаете? Назовите, покажите их модели.

2) Дайте определение тетраэдра.

3) Назовите элементы тетраэдра, показывая их на модели.

4) Дайте определение параллелепипеда.

5) Назовите элементы параллелепипеда, показывая их на модели.

6) Сформулируйте свойства, которыми обладает параллелепипед.

7) Сколько необходимо точек, чтобы провести прямую на плоскости?

8) Какая фигура получается при пересечении двух плоскостей?

8) Сформулируйте аксиомы стереометрии о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

9) Сформулируйте свойство параллельных плоскостей.

   Демонстрация иллюстраций аксиом стереометрии и свойств параллельных плоскостей в презентации к уроку. (Слайды 2, 3, 4).  Презентация.ppt

3. Изучение нового материала.

   При решении многих стереометрических задач используют сечение многогранника плоскостью, поэтому необходимо уметь строить на чертеже их сечения различными плоскостями.

1) Определение секущей плоскости.

   Секущей плоскостью многогранника называют такую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

2) Сечения тетраэдра и параллелепипеда.

   Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть треугольники и четырехугольники. Параллелепипед имеет шесть граней, поэтому его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

   Демонстрация сечений тетраэдра и параллелепипеда. (Слайд 5).

3) Свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны,  сформулировать следующим образом: если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.

4) Алгоритм построения сечений многогранников:

а) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет две общие точки, и провести через данные точки прямые;

б) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет одну общую точку, построить вторую общую точку и провести через них прямую;

в) определить грани, с которыми секущая плоскость не имеет общих точек, построить две общие точки,  и провести через них прямую;

г) выделить отрезки прямых, по которым секущая плоскость пересекает ребра многогранника, заштриховать полученный многоугольник.

5) Примеры построения сечений тетраэдра и параллелепипеда.

   Демонстрация презентации с решениями задач №1 и №2, где учитель подробно объясняет каждый пункт построения сечений. (Слайд  6. Слайд  7).

   Задача №1. Построить сечение тетраэдра  SABC плоскостью, проходящей через точки D, E, К, где D∈AB, E∈SA,  K∈SС.

   Задача №2. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки Р, К, М, где P∈D1C1, K∈A1D1,  М∈ВС.

4. Закрепление изученного материала.

1) Устная работа.

  Учащимся предлагается фронтально решить задачу №3, представленную в презентации. На экране в каждом пункте построения сечения появляется несколько вариантов действий, только один из них правильный, если выбран неверный вариант – с помощью гиперссылки возврат назад. (Слайды 8-27).

   Задача №3. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки  Т, Н, М, где Т∈СС1, Н∈DD1, М∈АВ.

2)  Решение задач на построение сечений.

    Для решения задач №4, №5, №6 и №7 чертежи  тетраэдра и параллелепипеда подготовлены  заранее на отдельных листах.

   Один учащийся решает задачу №4 с помощью мультимедийного проектора, комментируя и объясняя последовательность построения сечения, а все остальные вместе с ним строят сечение на готовых чертежах. (Слайд 28)

   Задача №4. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через данные точки  Е, F, K , где Е∈АА1, F∈А1B1, K∈B1C1 .

   Задачи №5 и №6 учащиеся выполняют самостоятельно в парах на готовых чертежах, проверка построения сечений и обсуждение действий осуществляется с помощью мультимедийного проектора. (Слайды 29, 30)

   Задача №5. Построить сечение тетраэдра  SABC плоскостью, проходящей через данные точки  К, М, Р, где К∈SС, М∈SА,  Р∈АВС.

   Задача №6. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки  К, L, М, где К∈B1C1, L ∈АА1, М∈AD .

3)  Самостоятельная работа на построение сечения.

   Учащиеся самостоятельно выполняют задачу №7, верно выполнившие задания получают оценки.

   Задача №7. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через данные точки  F, K, L, где F∈AD, K∈D1C1, L∈СС1. (Слайд 31)

  Правильность построения сечения в задаче №7 осуществляется с помощью мультимедийного проектора. (Слайд 32)

5. Подведение итогов урока.

Повторение алгоритма построения сечений. Оценивание работы учащихся.

– Итак, сегодня на уроке мы научились строить сечения тетраэдра и параллелепипеда различными плоскостями по заданным точкам.

1) Какие многоугольники являются сечениями тетраэдра и параллелепипеда?

2) Какие правила необходимо соблюдать при построении сечений многогранников?

3) Сформулируйте алгоритм построения сечений многогранников.

Выставить и прокомментировать оценки учащихся. Отметить, с чем учащиеся справились, успешно,  а на что нужно еще обратить внимание.

6. Домашнее задание.

  п.14. №71(а, б), №72 (а), № 81(а, б)

Список литературы:

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы. – М: Просвещение, 2016.

Сечения многогранников – геометрия, презентации

Исследовать различные способы построения сечений в стереометрии, классифицировать задачи с учетом задания точек сечения и методом построения сечения, включая задачи из единого государственного экзамена по геометрии.

Просмотр содержимого документа
«Сечения многогранников»

Сечения

многогранников

 

Автор: Латыпова З.М. учитель математики

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «средняя школа №12»

Объект

исследования:

Стереометрические задачи

на сечение многогранников

Цель исследования :

Исследовать различные способы построения сечений в стереометрии, классифицировать задачи с учетом задания точек сечения и методом построения сечения, включая задачи из единого государственного экзамена по геометрии .

Гипотеза:

Построение сечений методом следов является удобным и наглядным

Задачи исследования:

  • получить более полное представление о различных

способах построений сечений многогранников;

  • проанализировать задачи на построение сечений

различной степени сложности и выяснить, как вид

сечения зависит от вида расположения точек задающих

это сечение;

  • используя интерактивную программу GeoGebra

проводить интерактивные исследования при

перемещении объектов и изменении параметров;

  • проанализировать и систематизировать полученную информацию;
  • создать с помощью программы GeoGebra электронное пособие и чертежи для показа через интерактивную доску .

Стереометрия – это одна из немногих, если не единственная область школьной математики, в отношении которой не приходится агитировать за ИКТ.

Современная трехмерная графика позволяет создавать модели сложных геометрических тел и их сечений, вращать их на экране.

I . Построение сечений многогранников на основе системы аксиом стереометрии

Простейшие позиционные задачи – задачи, допускающие нахождение взаимного расположения фигур, т.е. построение точек и линий их пересечения.

I . Построение сечений многогранников на основе системы аксиом стереометрии

II . Метод следов в построении плоских сечений многогранников.

III . Метод внутреннего проектирования в построении плоских сечений многогранников .

IV. Решения задач на построение сечения многогранника . ЕГЭ -2015. Задача типа № 18.

Заключение

В результате исследования мы познакомилась более детально

с основными методами решения задач на построение сечений многогранников.

Исследовательская работа позволила нам наглядно увидеть построенное сечение, продемонстрировать модели с построенными сечениями.

Рассмотренные методы построения сечений способствуют пониманию задач типа № 16 из единого государственного экзамена.

 

Проведя исследование построения сечений несколькими методами на примере геометрических фигур, мы установили, что метод следов легко объясним, но не всегда удобен в практике построения сечений.

 

Считаем, что поставленные нами задачи решены, и гипотеза построение сечений методом следов является удобным и наглядным не подтвердилась.

Философская геометрия. Часть 4, Заключительная. Золотое сечение и корень из пяти

О, Боже, четвертая часть! Это выше моих сил! Спокойствие, у меня заканчиваются таблетки, поэтому это последняя статья, и в ней будут разоблачения. Под катом описание процесса подгонки, ушепритягивания, запутывания и манипуляций.

В предыдущих (1, 2, 3) частях мы видели как разные пропорции использовались в геометрии, античном искусстве и современном промышленном дизайне. У нас осталась нераскрытой тема золотого сечения и еще одного корня — √5. Начнем же.

Однажды, люди натолкнулись на идею пропорций. В различных фигурах постоянно встречались одни и те же закономерности. Это впечатляло. Потом кто-то додумался измерить парочку растений, зверюшек и некоторые части тела, которые обычно от посторонних прячут. Закономерности оказались и там. Это впечатляло еще больше.

Терпеть не осталось больше мочи, самые распространенные отношения были объявлены священными. Некоторые видели в них проявление божественного вмешательства. Некоторые — самого бога. А раз священные пропорции так часто встречаются, то можно под них подогнать все что хочешь, сделать из этого символ и стращать паству.

Мистификации и приписки из самых благих намерений встречаются в истории постоянно. Например, переписчики классического труда «Церковная история народа Англов» Беды Достопочтенного приделывали к тексту куски, дабы определенные церковные вопросы выглядели более благоприятно. А 25-28 главы VI книги «Записок о галльской войне» Цезаря по всей видимости не такие уж и Цезаря.

Так же и в символике. Надо чтобы люди чувствовали ее глубинный смысл, а сама форма не так важна. Возьми любую картинку, в ней обязательно да что-нибудь отыщется. Чем древнее, тем лучше. Самый древний у нас Египет, поупражняемся на нем.

Вот схема барельефа из гробницы Петосириса, найденной в 1919 году.

Посидев достаточное время с линейкой и циркулем, в нем можно отыскать и золотое сечение и еще кучу разных отношений (помимо буковок text, остряки, для этого не нужен циркуль).

Выглядит достаточно круто, поэтому нет причин не заявить, что Египтяне знали о золотом сечении и специально все так сделали.

Мистифицировать геометрию легко и просто. Сейчас я покажу вам пару приемов. Загляните под кат.

Итак, приемы. Ну во-первых, все эти пропорции настолько древние, что все самые классные построения хорошо описаны. Открыв справочник, мы видим как самым простецким образом забубенить те самые золотые пропорции. Берем квадрат, рисуем впритык такой же и проводим диагональ AC.

С центром O и радиусом OA строим окружность. Продляем линию FE до точки пересечения с окружностью K. Дальше можно повторить фокус с окружностью для стороны AB, но легче провести из К перпендикуляр KH, продлить AB и отметить точку пересечения H.

Вуаля, у нас получился «золотой прямоугольник». Отношение FE к EK такое же, как FK к FE. Что еще более офигенно, KF / FB тоже этому равно. Для краткости Греки назвали это отношение φ (Фи). Оно примерно равно 1.618

Проявляем творческое начало и делаем еще парочку пассов. Соединим углы исходного квадрата и получившегося прямоугольника. Нарисуем по образовавшимся точкам кружочек.

Теперь, для открытия завесы над великой тайной нам нужно найти что-то такое, чтобы вписалось в этот прямоугольник. Вспомнив как нам везло с эпплом, давайте пойдем самым простым путем и сделаем очевидное.

Ура! У нас получилось объявить iPod 4G священным устройством. Совершенно очевидно, что теперь его будут обязательно покупать.

Вот она — польза изучения учебников. Геометрия так долго существует, что ничего не стоит брать справочники, да классические источники, писать книжки и зарабатывать на этом много много профита.

Глядишь, книжку экранизируют с каким-нибудь актером офигевшего от сценария вида, и профита станет еще на порядок больше. Можно компостировать мозг читателя, а можно компостировать мозг читателя тем как можно компостировать мозг читателя — тоже, кстати, прибыльно (ну вы понимаете о чем я, мои начитанные комментаторы). На крайняк, можно поразить современников и заработать кой-какие плюсы разгадав тайны арабской мозаики, связав ее… ну скажем с пчелой.

На самом деле в искусстве разумеется все дело в обычных модульных сетках и направляющих линиях, которые используют художники и дизайнеры для составления композиций. Идея настолько стара, что ее использовали даже самые древние из древних египтян.

Композиции учат в художественных школах, а тех, кто учит тоже кто-то когда-то учил. Так что никакой мистики. Разве что только самый самый первый учитель что-то там напридумывал. Остальным достаточно взять какую-нибудь сетку и расставить по ней элементы.

Но полуторное отношение сторон и квадратные модули — это не интересно. Нету тайны. Лучше взять что-нибудь более «сакральное». Скажем, еще одно известное отношение — √5. У плеера Zune как раз такое.

Поглядим в справочник и посмотрим какие могут всплыть закономерности.

Наложим их на плеер. Хм. Ничего похожего пока нет. Попробуем перебрать все варианты.

Эммм… Как-то тухло. Интересны разве что касания около центральной кнопки. Тогда будем играть с 4итами. Притащим линейку, померим размеры элементов и попробуем найти делители.

Объясняет саркоидоз и агрессивное поведение… черт, кажется не в то окно пишу. В общем, тут опять унылые квадратики, которыми мало кого запутаешь. Запороли такое хорошее начало.

Придется опять вернуться к айподам. iPod Nano 2G тоже обладает соотношением сторон √5 / 1 Давайте снова посмотрим на схему из справочника и подумаем как прилепить его к чему-нибудь. Ага. Есть сторона √5, которую можно втиснуть в предыдущее построение.

Из точек A, O и C проведем дуги с радиусом AB (так как это у нас 1x, а AC — √5x). Из этих же точек проведем перпендикуляры к AC до пересечения с дугами. Соединим новые пересечения и вот наш айпод уже почти готов.

Ахайлай, махалай, абра-кадабра!

Итак, что же мы узнали?

1. Если хочешь запутать людям голову, всегда надо использовать мистические цифры √2, √3, √5 и φ. С ними всегда будет больше всего «таинственных» совпадений. Есть еще много интересных вещей типа последовательностей Фибоначчи, спиралей, гномических увеличений и всяких хитрых делений. Но чем проще — тем легче всех запутать, правда?

2. Apple совершенно точно промывают людям мозги. Ведь у них есть целый набор юного оккультиста:

3. Из простого квадрата можно сконструировать целый взрыв мозга, религию, алгебру, дихотономию добра и зла.

Каждый увидит здесь что захочет, включая сиськи и Микки-Мауса (еще можно звезду Давида разглядеть, если озаботиться).

Такое вот свойство человека — извращать простые идеи. А ведь вот с чего все начиналось:

Поперечное сечение геометрических фигур – Mechamath

Типы сечений

В зависимости от ориентации плоскости, которая разрезает объект, мы можем иметь три типа поперечных сечений:

  • Горизонтальное сечение
  • Вертикальное сечение
  • Наклонное сечение

Горизонтальное или параллельное сечение

Это поперечное сечение образуется, когда плоскость пересекает объект в направлении, параллельном основанию объекта.

Вертикальное или перпендикулярное поперечное сечение

Вертикальное сечение образуется при разрезании предмета плоскостью, перпендикулярной его основанию, то есть под углом 90°.

Наклонное сечение

Это поперечное сечение образуется, когда угол наклона плоскости, пересекающей объект, больше 0° и меньше 90°.


Площадь поперечного сечения

Когда плоскость пересекает твердый объект, область проецируется на плоскость.Если плоскость ориентирована горизонтально, то она будет перпендикулярна оси симметрии. В зависимости от фигуры мы можем рассчитать площадь поперечного сечения, признав, что поперечное сечение равно основаниям фигуры.

ПРИМЕР

Найдите площадь поперечного сечения плоскости, параллельной основанию куба, объем которого равен 125 м³.

Решение:  Можно признать, что площадь поперечного сечения будет равна площади одной из граней куба, поскольку плоскость параллельна основаниям.Следовательно, нам нужно найти площадь одной грани куба.

Объем куба равен , где a  это длина одной стороны куба. Это означает, что длина одной стороны равна .

Теперь мы знаем, что площадь квадрата равна , поэтому площадь поперечного сечения равна .


Поперечные сечения куба

Куб – это трехмерная фигура, все стороны которой имеют одинаковую длину. Всего у куба шесть квадратных граней.Это означает, что когда плоскость пересекает куб в направлении, параллельном одной из его граней, поперечное сечение всегда будет квадратным.

Однако можно также получить различные сечения, разрезая куб с наклоном относительно его основания. Если плоскость пересекает три ребра куба, ее поперечное сечение будет треугольником.

Если секущая плоскость пересекает куб так, что он пересекает диагонали граней, мы получим прямоугольное сечение:

Кроме того, мы также можем сформировать шестиугольное поперечное сечение, пересекая куб наклонной плоскостью следующим образом:

Начните прямо сейчас: изучите наши дополнительные ресурсы по математике


Поперечные сечения цилиндра

Цилиндр — это трехмерная фигура, имеющая круглые основания, соединенные боковой поверхностью.В зависимости от того, как он вырезан, поперечное сечение цилиндра может быть кругом, прямоугольником или овалом. Если цилиндр разрезать плоскостью, параллельной одному из его оснований, поперечное сечение будет кругом.

Овальное сечение получается, когда плоскость пересекает цилиндр под углом больше 0° и меньше 90° по отношению к основанию.

Если плоскость разрезает цилиндр в направлении, перпендикулярном основаниям, поперечное сечение будет прямоугольником.


Сечения конуса

Конус можно рассматривать как пирамиду с круглым поперечным сечением. В зависимости от соотношения между плоскостью и секущей поверхностью, поперечные сечения конуса могут быть окружностями, эллипсами, параболами и гиперболами.

Круг образуется при разрезании конуса плоскостью, параллельной его основанию.

Эллипс образуется при разрезании конуса плоскостью, наклоненной под небольшим углом (меньше угла боковых сторон) по отношению к основанию конуса.

Парабола образуется, когда плоскость, пересекающая конус, параллельна одной боковой стороне конуса.

Гипербола образуется, когда плоскость, пересекающая конус, имеет больший угол (больше, чем угол боковых сторон) по отношению к основанию конуса.


Поперечные сечения сферы

Сфера — идеально круглая трехмерная фигура. Поперечное сечение сферы всегда является окружностью, независимо от ориентации плоскости.


См. также

Хотите узнать больше о геометрических фигурах? Взгляните на эти страницы:

сечений (ГЕОМЕТРИЯ). Обратитесь к математике весело: Поперечные сечения… | Соломон Се | Вся математика перед колледжем

Обратитесь к математике весело: Поперечные сечения (геометрия)

Поперечные сечения – интересная геометрическая задача, она позволяет вам подумать о том, как разрезать трехмерную фигуру на несколько двумерных фигур, например:

  • Ломтик куба в:
  • треугольник (3 сторона)
  • квадратных (4 стороны)
  • прямоугольник (4 стороны)
  • Pentagon (5 сторон)
  • шестиугольник (6 Стороны)
  • Кусок пирамиды в:
  • треугольник (3 стороны)
  • квадратных
  • квадратных (4 стороны)
  • Прямоугольник (4 стороны)
  • Trapezoid (4 стороны)
  • Pentagon (5 сторон)
  • Разрезать треугольную призму на:
  • треугольник (3 стороны)
  • квадрат (4 стороны)
  • прямоугольник (4 стороны)

    7

    7 (5 сторон)

  • Ломтик цилиндра в:
  • Круг (без прямых сторон)
  • Нарезать конус в:
  • Треугольник (3 стороны)
  • Круг (без прямых)

Примечание:

  • Для разрезания необходимо использовать рубанок.
  • Вы можете разрезать 3D-форму не только по горизонтали и вертикали, но и под любым углом.

6

CUBE , чтобы получить PENTAGON :

:

Треугольная призма для получения Pentagon :

9002

3

6

для получения Pentagon :

:

Cone для получения Ellipse :

:

3

9002 Cone для получения Parabola :

, описывающие поперечные разделы

Пересечение — это точка или набор точек, общих для двух или более геометрических фигур.Плоскость – это плоская поверхность, простирающаяся во всех направлениях.

Поперечное сечение — это пересечение объемной фигуры и плоскости. Представьте себе плоскость, прорезающую показанную пирамиду, конус или призму.

На приведенном ниже рисунке показано пересечение конуса и плоскости. Поперечное сечение представляет собой круг.

На приведенном ниже рисунке показано пересечение треугольной призмы и плоскости. Поперечное сечение представляет собой треугольник.

Трехмерная фигура может иметь несколько различных сечений в зависимости от положения и направления среза.

Например, если бы пересечение плоскости и конуса было вертикальным, поперечное сечение образовало бы треугольник.

Дополнительные примеры

Пример 1 :

Поперечное сечение указанной выше правой прямоугольной призмы представляет собой треугольник.

Пример 2:

Поперечное сечение правой прямоугольной призмы прямоугольное.

Пример 3:

Поперечное сечение указанной выше правой прямоугольной призмы представляет собой параллелограмм.

Пример 4:

Поперечное сечение правой прямоугольной призмы прямоугольное.

Пример 5:

Поперечное сечение указанной выше прямоугольной призмы представляет собой треугольник или равносторонний треугольник.

Пример 6:

Поперечное сечение правой прямоугольной призмы прямоугольное.

Пример 7:

Поперечное сечение указанной выше правой прямоугольной призмы представляет собой треугольник.

Пример 8:

Поперечное сечение правой прямоугольной призмы представляет собой кривую в форме радуги.

Отражение

(В правильной пирамиде точка, где встречаются треугольные стороны , находится в центре основания.)

Какова форма основания и каждой стороны пирамиды?

Форма основания — прямоугольник, а форма каждой стороны — треугольник.

Возможно ли иметь круглое поперечное сечение в прямоугольной призме?

Нет, в прямой прямоугольной призме нет кривых.

Если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, помимо материалов, указанных выше, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Пожалуйста, отправьте свой отзыв на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

Команда импорта геометрии поперечного сечения

Команда Импорт геометрии поперечного сечения используется для импорта геометрии снятого поперечного сечения из файлов различных форматов.Программное обеспечение автоматически определит, где начинается следующее поперечное сечение в выбранном файле, основываясь либо на пустых строках, содержащихся в файле, либо на внезапном изменении направления от одной геометрической точки к другой.

Выполните следующие действия, чтобы использовать команду Импорт геометрии поперечного сечения :

  1. В меню ленты Input выберите пункт меню Cross Sections , а затем выберите команду Import Cross Section Geometry .
  2. Откроется диалоговое окно Импорт геометрии поперечного сечения .

В следующих разделах описывается команда Импорт геометрии поперечного сечения и способы взаимодействия с приведенным выше диалоговым окном.

Выбор файла поперечного сечения

Раздел Select Cross Section File позволяет пользователю выбрать файл поперечного сечения точки съемки. Файл должен быть в формате текстового файла ASCII с запятыми, символами табуляции или пробелами, разделяющими поля данных, содержащиеся в каждой строке файла.

Первая строка в файле, содержащая 3 числа с плавающей запятой, используется для запуска процесса импорта поперечного сечения. Всякий раз, когда в файле данных встречается пустая строка или направление между тремя соседними точками изменяется слишком сильно, программа интерпретирует это как начало нового поперечного сечения.

Поддерживаются следующие форматы файлов опроса:

  • ASC (текстовый файл ASCII)
  • CSV (переменные, разделенные запятыми)
  • ENZ (восток, север, высота)
  • NEZ (Север, Восток, Высота)
  • ПЭНЗ (Точка, Восток, Север, Высота)
  • ПЕНЗД ​​ (Точка, Восток, Север, Высота, Описание)
  • PNEZ (точка, север, восток, высота)
  • ПНЭЗД (Точка, Север, Восток, Высота, Описание)
  • PNT (файл точек ASCII)
  • PTS (файл точек ASCII)
  • TXT (файл точек ASCII)
  • XYZ (восток, север, высота)

Программа попытается определить формат файла на основе расширения файла.Однако пользователь может изменить формат файла, который будет использоваться после выбора файла.

Для справки: Восток = координата X и Север = координата Y .

Обратите внимание, , что для работы этой команды точки поперечных сечений должны перекрывать только один участок реки. Кроме того, для участка реки, используемого для построения поперечных сечений из импортированных точек, уже не должно существовать поперечных сечений.

Предварительный просмотр файла точек

На этой панели предварительного просмотра файла точек отображаются первые 100 строк, содержащихся в файле точек съемки.Это позволяет пользователю видеть содержимое файла точки съемки и позволяет пользователю изменить формат файла, который будет использоваться для импорта, на основе предварительного просмотра содержимого. После изменения формата файла заголовки столбцов на панели Point File Preview меняются.

Корректировка данных высоты

Этот необязательный раздел позволяет пользователю корректировать значения высоты данных точек съемки, если данные высоты находятся в другой системе единиц или нуждаются в корректировке нулевой точки.

Поперечная речная станция

Этот разрез используется для определения речной пикетации, которая будет использоваться для построенных поперечных профилей. Пользователь может определить речной пикет с наибольшим поперечным сечением вниз по течению, а также пикетирование реки, которое будет использоваться для поперечных разрезов вверх по течению.

Для строящихся поперечных сечений значение пикетажа после запятой можно определить с помощью регулятора Десятичная точность . Поперечные сечения могут быть пронумерованы с фиксированным шагом или по цепочке рек на участке реки.Цепь реки может быть в милях или футах при работе в единицах США или в километрах или метрах при работе в метрических единицах (СИ).

Назначение банковских станций

Этот необязательный раздел используется для построения местоположений банка каналов на основе предполагаемой нормальной глубины потока и максимального расстояния поиска по ширине канала. Программное обеспечение сначала определит, где находится тальвег на поперечном сечении, приняв за тальвег самую низкую отметку. Затем он будет двигаться наружу от тальвега до тех пор, пока не будет достигнута запрошенная глубина канала в пределах указанной максимальной ширины канала.

Назначение шероховатости Мэннинга и длины потока

При построении разрезов программа автоматически назначит шероховатость Мэннинга по умолчанию для левого берегового, руслового и правого берегового участков. Кроме того, автоматически определяются длины поперечного сечения потока.

математических визуализаций | Разделы в сфере

В исходном положении апплета представляет собой круг, а при перемещении курсора вертикальное положение сегмента меняется.

При изменении положения по вертикали (x) мы хотим вычислить отрезок a:

Потому что наша цель — вычислить поверхность сечения сферы, когда мы изменим расстояние от центра сферы до секция. Вы можете видеть и вращать сферу, щелкая и перетаскивая апплет.

Используя теорему Пифагора, мы можем вычислить радиус сечения:

Тогда поверхность сечения сферы равна:

Тогда наша цель достигнута, но у нас может быть другой подход к вычислению хорды (или радиуса, а) без использования теоремы Пифагора.И этот подход позволит нам использовать подобие треугольников и говорить о среднем геометрическом.

У нас есть три прямоугольных треугольника, которые подобны. Нас интересуют два из них:

Мы можем написать пропорцию (мы хотим знать значение a):

Тогда значение a равно:

Мы говорим, что а есть среднее геометрическое двух чисел, b и c. Этот результат также называют теоремой о высоте прямоугольного треугольника.

Среднее геометрическое двух положительных чисел связано со средним арифметическим:

Когда среднее геометрическое равно среднему арифметическому?

Возвращаясь к нашей первоначальной теме:

Мы собираемся использовать этот результат в двух интересных приложениях теоремы Кавальери: как вычислить объем сферы и Две удивительные теоремы о конгруэнтности Кавальери одна статья Говарда Ивза, в которой он построил тетраэдр. и он использовал теорему Кавальери для вычисления объема сферы.

Вы можете поиграть с этими двумя апплетами о поперечных сечениях сферы:

БОЛЬШЕ ССЫЛОК

Объем тетраэдра равен одной трети содержащей его призмы.

В своей статье «Две удивительные теоремы о конгруэнтности Кавальери» Говард Ивс описывает интересный тетраэдр. На этой странице мы рассчитываем площадь поперечного сечения и объем.

Используя принцип Кавальери, мы можем вычислить объем сферы.

Кеплер использовал интуитивный бесконечно малый подход для вычисления площади круга.

Демонстрация теоремы Пифагора, вдохновленная Евклидом.

Первый рисунок плоской сетки правильного тетраэдра был опубликован Дрером в его книге «Underweysung der Messung» («Четыре книги измерений»), изданной в 1525 году.

В своей книге «О коноидах и сфероидах» Архимед вычислил площадь эллипса. Мы видим интуитивный подход к идеям Архимеда.

В своей книге «О коноидах и сфероидах» Архимед вычислил площадь эллипса.Это хороший пример строгого доказательства с использованием двойного доведения до абсурда.

Архимед показывает нам в «Методе», как использовать закон рычага для определения площади параболического сегмента.

Мы изучаем разновидность многогранников, вписанных в сферу, в частности сферу Кампануса, которая была очень популярна в эпоху Возрождения.

Леонардо да Винчи сделал несколько рисунков многогранников для книги Луки Пачоли «О божественной пропорции». Здесь мы видим адаптацию сферы Кампануса.

мг.метрическая геометрия - Гипотеза о сечениях пирамиды

мг.метрическая геометрия - Гипотеза о сечениях пирамиды - MathOverflow
Сеть обмена стеками

Сеть Stack Exchange состоит из 179 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетите биржу стека
  1. 0
  2. +0
  3. Войти
  4. Зарегистрироваться

MathOverflow — это сайт вопросов и ответов для профессиональных математиков.Регистрация занимает всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Любой может задать вопрос

Любой может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются на вершину

спросил

Просмотрено 263 раза

$\begingroup$ Закрыто. Этот вопрос не по теме. В настоящее время ответы не принимаются.

Хотите улучшить этот вопрос? Обновите вопрос, чтобы он соответствовал теме MathOverflow.

Закрыта 7 лет назад.

Покажите, что при $n\ge 5$ поперечное сечение пирамиды, основание которой является правильным $n$-угольником, не может быть правильным $(n + 1)$-угольником.Это предположение, с которым я столкнулся, пытаясь решить эту проблему. Я рисовал много фигур, и трехмерные фигуры и пирамиды были первым выбором. И я наблюдал это. У меня нет доказательств или даже идей для доказательства. Но кажется правдой. Любой встречный пример был бы хорош. Спасибо.

СообществоБот

122 серебряных знака33 бронзовых знака

спросил 23 июн. 2014 в 15:57

тень10тень10

1,04955 серебряных знаков2020 бронзовых знаков

$\endgroup$ 9 MathOverflow лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой использования файлов cookie.

Принять все файлы cookie Настроить параметры

 

Набор геометрических фигур с фиксированными сечениями - Геометрия

Обзор

Артикул № 520611

Средний рейтинг:

Рекомендуемый класс (ы): 7-12

Примеры страниц
Описание
Продемонстрируйте деление трехмерных фигур пополам с помощью этого набора геометрических фигур.Каждая фигура содержит внутреннюю фиксированную пластиковую секцию, которая делит трехмерную фигуру пополам, показывая центр и высоту. Отдельный раздел демонстрирует асимметричную ось каждой формы. Дизайн полезен для расчета объема каждой секции формы. Цветные основы каждой формы помогают учащимся визуализировать разницу между 2D и 3D фигурами. Включает десять моделей фигур и заметки учителя, а также две сетки (не показаны) для квадратной призмы и квадратной пирамиды, чтобы помочь продемонстрировать площадь этих двух фигур.Размер фигур 6 дюймов в высоту. Набор из 10 фигур и 2 сеток.
Детали
  • Тип: Манипуляторы
  • ISBN/СКП 4260414060694
  • Транспортные размеры (высота, ширина и длина): -1 х -1 х -1
Безопасность

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.