Сечение параллелограмма методом следов: Построение сечений параллелепипеда – Электронный образовательный ресурс “Построение сечений многогранников и тел вращения”

Содержание

Метод следа при построении сечения параллелепипеда

Построение сечения многогранника методом следа.

Цели урока:

  • Формирование у учащихся навыков решения задач на построение сечений методом следов.

  • Формирование и развитие у учащихся пространственного воображения.

  • Развитие графической культуры и математической речи.

Обучающая цель: формирование умений и навыков построения сечений методом следов.

Воспитывающая цель: воспитывать чувство сплоченности, взаимопомощи, воспитывать умения работать индивидуально над задачей.

Тип урока: урок формирования и совершенствования знаний.

Формы организации учебной деятельности: групповая, индивидуальная, коллективная.

Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, набор геометрических тел (куб, параллелепипед, пирамида).

Лист 1 . Раздаточный материал Тема: «Многогранники». Аксиомы стереометрии: ИЛИ как выделить плоскость в пространстве?

А1. Через 3 точки проходит единственная плоскость. П.2 рис 4 П.2 рис 5

1.Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.

2.Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

3.Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

1.П.3 рис 6 теорема 1

П.3 р. 7 теорема 2

Аксиомы стереометрии или как выделить линию пересечения двух плоскостей

А2. Если 2 точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости.

П.2 рис 5

А3.Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей, т. е. линию их пересечения.


Построение сечения параллелепипеда по прямым линиям не параллельным ребру. Задание:

Построить плоскость (MLN)

Сечение – это изображение фигуры, которая получается при мысленном рассечении тела плоскостью.

В тетраэдре сечениями могут быть только треугольники или четырехугольники,

в параллелепипеде – треугольники, четырехугольники, пятиугольники или шестиугольники.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

* Начертите плоское сечение.

* что вы о нем можете сказать ?

Лист 1 . Раздаточный материал Тема: «Многогранники» (то, что получится после урока). Советую распечатать его для тех, кому будет трудно и выдать на следующем занятии.

А1. Через 3 точки проходит единственная плоскость. П.2 рис 4 П.2 рис 5

1.Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.

2.Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

3.Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

1.П.3 рис 6 теорема 1

П.3 р. 7 теорема 2

Аксиомы стереометрии или как выделить линию пересечения двух плоскостей

А2. Если 2 точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости.

П.2 рис 5

А3.Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей, т. е. линию их пересечения.


Построение сечения параллелепипеда по прямым линиям не параллельным ребру. Задание: Построить плоскость (MLN)

Сечение – это изображение фигуры, которая получается при мысленном рассечении тела плоскостью.

В тетраэдре сечениями могут быть только треугольники или четырехугольники,

в параллелепипеде – треугольники, четырехугольники, пятиугольники или шестиугольники.

1.

2.

Z

3.

Z

4.

Z

5.

Z

6.

Z

7.

Z

8.

9.

* Начертите плоское сечение.

* что вы о нем можете сказать ?

Домашняя работа.

  1. Изготовить развертки куба и тетраэдра с ребром 10 см. 2. Принести шесть цветных карандашей.

10

  1. *Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки К, М, Н.

    * Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Через точки A1 , В и середину ребра DD1 проведена секущая плоскость. Найдите ребро куба, если периметр сечения 3+2.

    Ответ 2*

    Еще один способ. Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L.

    1)

    2)

    3)

    Z

    4)

    Z

    5)

    Z

    6)

    7)

    Z

Построение сечений параллелепипеда. – геометрия, презентации

Презентация о построении сечений параллелепипеда. Хорошо применять на интерактивной доске.

Просмотр содержимого документа
«Построение сечений параллелепипеда.»

Сечения параллелепипеда

Взаимное расположение плоскости и многогранника

b

a

a. Нет точек пересечения

b.

Одна точка пересечения

c. Пересечением является отрезок

c

d

d. Пересечением

является плоскость

Определение

Если пересечением многогранника и плоскости является многоугольник, то он называется сечением многогранника указанной плоскостью

МЕТОД СЛЕДОВ

ЗАДАЧА №1

Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки

M, N, P .

C 1

B 1

1)ß PA 1 D 1 =PM;

A 1

D 1

2)ß DD 1 C 1 =MN;

3)ß PDC=PN;

M

B

C

N

D

P

PMN – искомое сечение

ЗАДАЧА № 2

Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки

M, N, P .

C 1

B 1

1)ß PDD 1 =PM;

N

2)ß A 1 D 1 C 1 =MN;

A 1

M

D 1

3)ß PDC=PC;

4)ß DCC 1 =NC;

B

C

D

P

PMNC – искомое сечение

ЗАДАЧА № 3

Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки

M, N, P .

1)ß BB 1 C 1 =NP;

C 1

B 1

2)ß ADD 1 =MM 1 ; , MM

1 ll NP

N

A 1

D 1

3)ß AA 1 B 1 =M 1 N;

4)ß DD 1 C 1 =PP 1 ; PP 1 ll M 1 N

P

M 1

B

C

5)ß ADC =MP 1 ;

P 1

A

D

M

M 1 NPP 1 M – искомое сечение

ЗАДАЧА № 3

Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки

M, N, P .

1)ß ABC =NP;

M 1

C 1

B 1

2)ß A 1 D 1 C 1 =MM 1 ; MM 1 ll NP

M

A

1

D 1

3) PN MM 2 =F; ß AA 1 B 1 =M 2 M

M 3

4)ß ADD 1 =M 2 N;

M 2

5)ß BCC 1 =M 1 M 3 ; M 1 M 3 llM 2 N

B

C

6)ß DD 1 C 1 =M 3 P;

P

A

D

N

M M 1 M 3 PNM 2 – искомое сечение

F

ИТОГИ УРОКА

СЕЧЕНИЕМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА МОЖЕТ БЫТЬ:

  • ТРЕУГОЛЬНИК,
  • ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК,
  • ПЯТИУГОЛЬНИК,
  • ШЕСТИУГОЛЬНИК.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

  • Готовиться к обобщающему уроку

(учебник, вопросы на стр. 32 ).

  • Задачи на стр.34, №107, №115

Сечения тетраэдра и параллелепипеда – online presentation

Сечение
Геометрия 10 класс.
Сечения
тетраэдра и
параллелепипеда
Построить сечение означает
начертить многоугольник в
плоскости сечения, по которому
эта плоскость пересекает грани
многогранника.
Используем метод следов.
Следом сечения на указанной
плоскости называется прямая
пересечения этой плоскости с
плоскостью сечения.

4. Основные правила построения сечений

1. Если даны (или уже
построены) две точки плоскости
сечения на одной грани
многогранника, то след сечения
в этой плоскости – прямая,
проходящая через эти точки.

5. Основные правила построения сечений

2. Если дана (или уже построена)
прямая пересечения плоскости
сечения с основанием
многогранника (след на
основании) и есть точка,
принадлежащая определенной
боковой грани, то нужно
определить точку пересечения
данного следа с этой боковой
гранью.

6. Основные правила построения сечений

3. Точку пересечения плоскости
сечения с основанием можно
определить как точку
пересечения какой-либо прямой
в плоскости сечения с ее
проекцией на плоскость
основания.
Задача 1. Построить сечение
плоскостью, проходящей через данные
точки D, Е, K.
Построение:
S
E
K
1. DE
2. ЕК
3. DК
D
А
С
В
DЕK –
искомое
сечение
Задача 2. Построить сечение
плоскостью, проходящей через данные
точки D, Е, K.
Построение:
S
E
А
D
В
1. DE
2. ЕК
DК – нельзя
3. ЕК ∩ АС = F
4. FD
K
F
С
5. FD ∩ BС = M
M
6. KM
DЕKМ – искомое сечение
Задача 3. Построить сечение
плоскостью, проходящей через
точки Т, Н, М, М Є АВ.
Построение:
В
C
1
А1
1
Н
Выберите верный
вариант:
1. НМ
D1
Т
М
А
В
С
D
1. НT
1. МТ
Задача 3.
Построение:
В1
А1
C1
Н
D1
Т
М
А
В
1. НМ – нельзя!
Комментарии:
Данные точки
принадлежат
разным
граням!
С
D
Назад
Задача 3.
Построение:
В1
А1
C1
Н
D1
Т
М
А
В
1. МT – нельзя
Комментарии:
Данные точки
принадлежат
разным
граням!
С
D
Назад
Задача 3.
Построение:
В1
C1
А1
Н
Выберите верный
вариант:
D1
Т
С
МВ
А
D
1. НТ
2. НТ ∩ BС = Е
2. НТ ∩ DС = Е
Задача 3.
В1
C1
А1
Н
Т
М
А
2. НТ ∩ ВС = Е
Комментарии:
D1
В
Построение:
1. НТ
Данные прямые
пересекаться не
могут!
С
D
Назад
Задача 3.
В1
C1
А1
Н
D1
Т
М
А
В
С
D
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = Е
Выберите верный
вариант:
Е
3. ME ∩ AA1 = F
3. ME ∩ CC1 = F
3. ME ∩ BС = F
Задача 3.
Построение:
В1
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ AA1 = F
C1
А1
Н
D1
Т
М
А
В
С
D
E
Комментарии:
Данные прямые
пересекаться
не могут!
Назад
Задача 3.
Построение:
В1
А1
C1
Н
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ CC1 = F
D1
Т
М
А
С E
В
D
Комментарии:
Данные прямые
пересекаться
не могут!
Назад
Задача 3.
В1
А1
C1
Н
D1
Т
М
А
В
F
С
D
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
Выберите верный
вариант:
E
4. НF
4. МТ
4. ТF
Задача 3.
В1
А1
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
4. НF – нельзя
C1
Н
D1
Комментарии:
Т
М
А
В
E
F
С
D
Данные точки
принадлежат
разным
граням!
Назад
Задача 3.
В1
А1
C1
Н
D1
Т
М
А
В
F
С
D
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
4. MT – нельзя
Комментарии:
Данные точки
E принадлежат
разным
граням!
Назад
Задача 3.
В1
А1
М
А
1
Н
В
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
C
3. ME ∩ ВС = F
4. ТF
Выберите верный
Т вариант:
E
5. ТF ∩ В1В = K
D1
F
С
D
5. ТF ∩ А1 А = K
Задача 3.
В1
C1
А1
D1
Н
Т
М
А
В
F
С
D
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
4. ТF
5. ТF ∩ А1 А = K
Комментарии:
Данные
E
прямые
пересекаться
не могут!
Назад
Задача 3.
В1
C1
А1
Н
D1
Т
М
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
4. ТF
5. ТF ∩ В1В = K
F
В
С
D
А
K
E
Выберите
верный
вариант:
6. МK ∩ АА1= L
6. НK ∩ АD = L
6. ТK ∩ АD = L
Задача 3.
В1
C1
А1
D1
Н
Т
М
А
F
В
K
С
D
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
4. ТF
5. ТF ∩ В1В = K
6. НK ∩ АD = L
Комментарии:
E Данные прямые
пересекаться
не могут!
Назад
Задача 3.
В1
C1
А1
Н
М
А
D1
Комментарии:
Т
Данные прямые
пересекаться
С E
не могут!
F
В
K
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
4. ТF
5. ТF ∩ В1В = K
6. TK ∩ АD = L
D
Назад
Задача 3.
В1
1
А1
D1
Н
L
А
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
C
3. ME ∩ ВС = F
4. ТF
5. ТF ∩ В1В = K
6. МK ∩ АА1= L
Выберите
Т
верный
E вариант:
С
7. LF
7. LT
7. LH
F
В
М
K
D
Задача 3.
В1
C1
А1
Н
D1
Т
L
А
F
В
С
М
K
D
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
4. ТF
5. ТF ∩ В1В = K
6. МK ∩ АА1= L
7. LТ
Комментарии:
E Данные точки
принадлежат
разным граням!
Назад
Задача 3.
В1
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
4. ТF
5. ТF ∩ В1В = K
6. МK ∩ АА1= L
7. LF – нельзя
C1
А1
Н
D1
Т
L
А
F
В
С
М
K
D
E
Комментарии:
Данные точки
принадлежат
разным граням!
Назад
Задача 3.
В1
Построение:
1. НТ
2. НТ ∩ DС = E
3. ME ∩ ВС = F
4. ТF
5. ТF ∩ В1В = K
6. МK ∩ АА1= L
7. LН
C1
А1
Н
D1
Т
F
В
L
А
М
С
D
K
E
НТFМL –
искомое
сечение
Задача 4. Построить сечение
плоскостью, проходящей через точки Р,
К, М, М Є ВС.
Построение:
В1
К
А1
Р
C1
D1
N
М
В
А
E
К1
D
С
Р1
1. КP
2. EM ║ КP (К1Р1)
3. EK
4. МN ║ EK
5. РN
KРNМE –
искомое
сечение
Задача 5. Построить сечение
плоскостью, проходящей через
данные точки Е, F, K. Построение:
1. KF
К
В
C
2. FE
F
А
3. FE ∩ АB = L
D
4. LN ║ FK
5. LN ∩ AD = M
E
N
В
6. EM
С
Пояснения
к построению:
7. KN
1
1
1
1
А
L
М
D
4.
Проводимк
прямую
LN ║
Пояснения
Пояснения
к
к
построению:
построению:
Пояснения
построению:
Пояснения
к
Пояснения
к искомое
построению:
EFKNM

FK
(
если
секущая
плоскость
6.
7.
Соединяем
точки
точки
Ки
и М,
N,
3. Соединяем
Прямые FE и
АВ, Е
построению:
5.
Прямаяпротивоположные
LN пересекает
пересекает
принадлежащие
принадлежащие
одной
одной
сечение
лежащие
в одной
1.
2.
Соединяем
точки

F
и
ребро
AD
в пересекает
точке M. их
грани, то
она
по
плоскости
плоскости
АА
ВСС
ВD.
плоскости
АА
ВD11В,
F, принадлежащие
E,
принадлежащие
1
1.
11
параллельным
отрезкам
).
пересекаются
в точке L .
одной плоскости
Задача 6. Построить сечение
плоскостью, проходящей через
данные точки К, М, Р, Р Є (АВС)
S
Построение:
1. КМ
2. КМ ∩ СА = Е
К
3. EР
4. ЕР ∩ АВ = F
М
ЕР ∩ ВC = N
Е
Р
5. МF
С
А
6. NК
F
КМFN – искомое
N
В
сечение

Задачи на построение сечений

МБОУ СОШ № 31 10 класс, геометрия

Урок пол теме «Задачи на построение сечений параллелепипеда»

Учитель: Кряквина Л.Н.

Содержание

  • 1. Основные принципы построения сечений параллелепипеда.
  • 2. Примеры.
  • 3. Вопросы для самопроверки.
  • 4. Задачи.

Основные принципы построения сечений (1)

  • Секущая плоскость пересекает грани параллелепипеда по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением параллелепипеда. Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники.

Основные принципы построения сечений (2)

  • Если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.
  • Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами параллелепипеда, после чего остается провести отрезки соединяющие каждые две точки, лежащие в плоскости одной грани.

Примеры построения сечений

  • Объясните, как построить сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющиеся либо вершинами куба, либо серединами его ребер (три данные точки на рисунках выделены).
  • В задачах 1 – 4, 6 найдите периметр сечения, если ребро куба равно a .

Пример № 1

Пример № 2

Пример № 3

Проверь свое решение

  • Ответы:
  • К рисунку № 1: (3 a)/ √ 2
  • К рисунку № 2: 3a √ 2
  • К рисунку № 3: a √ 2+a √ 5
  • К рисунку № 4: 1 ,5 a √ 2+a √ 5
  • К рисунку № 6: 3a √ 2

Вопросы для самопроверки

  • 1. Сколько вершин, ребер, граней имеет параллелепипед?
  • 2. Какие вершины в параллелепипеде называются противоположными?
  • 3. Какие многоугольники могут быть в сечении параллелепипеда?
  • 4. Почему секущая плоскость пересекает противоположные грани параллелепипеда по параллельным отрезкам?

Задачи

Задача № 1

  • Три ребра параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите сумму длин всех его ребер.
  • 1. 48 см
  • 2. 36 см
  • 3. 12 см
  • 4. 28 см

Задача № 2

  • ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольный параллелепипед, AB=AD= 8 дм, АА 1 = 2 дм. Найдите площадь сечения BMKD , где М –середина В 1 С 1 и К – середина С 1 D 1 .
  • 1. 3 √ 15 см 2
  • 2. 12 √ 6 см 2
  • 3. 6 √ 6 см 2
  • 4. 15 √ 3 см 2

Задача № 3

  • ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. К – середина ребра AD , М –середина CD . В каком отношении, считая от точки А, делит ребро АА 1 плоскость, проходящая через точки В 1 , К и М?
  • 1. 1:1
  • 2. 1:2
  • 3. 1:3
  • 4. 1:4

К сожалению, Вы ошиблись.

Анализ задач_Ляшенко_Г.Г._4_семестр – Анализ задач на построение сечений многогранников плоскостями


С этим файлом связано 2 файл(ов). Среди них: Тестирование обучающихся_Ляшенко_Г.Г._4_семестр.docx, Контрольная работа_Ляшенко_Г.Г._4_семестр.docx.
Показать все связанные файлы
Подборка по базе: Подобие треугольников 5 задач.pdf, Подобие треугольников 5 задач.docx, Практическая работа_по Системному анализу.docx, Дисперсионный анализ – 2.pptx, Бухгалтерский учет и анализ.pdf, Решение задач Волкенштейн 1.24 Зависимость пройденного телом пут, Вопросы и задачи РК 1 ОРЦС 2021.docx, Решение задачи Якухина О.Ю2..docx, Решение задачи Якухина О.Ю..docx, День 3 Тема 2.1 Работа и анализ с текстовыми редакторами (Блокно

Анализ задач на построение сечений многогранников плоскостями

Ляшенко Г.Г.

Для анализа задач на построение сечений многогранников плоскостями были взяты учебники для 10 – 11 классов:

1) Геометрия. 10 – 11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 22-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 255 с.;

2) Александров А.

Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Сечение в данном случае строится методом следов:

1) Чтобы построить сечение, необходимо построить прямую, по которой пересекаются плоскости MNP и АВС. Одна точка этой прямой уже есть – это точка М. вторую точку можно найти как точку пересечения прямой NP и прямой ВС. Т.к. NP и ВС лежат в одной плоскости, продолжим их до их пересечения. Получим точку Q:

2) Точки Q и М лежат в плоскости АВС. Соединим их. Так как точки Q и М принадлежат и плоскости АВС, и плоскости MNP, то прямая QM – прямая, по которой пересекаются эти плоскости:

Прямая QM лежит с ребром АС в одной плоскости АВС и пересекает его в точке S. Так как P и S принадлежат и плоскости ADC, и плоскости MNP, то прямая SP является прямой пересечения этих плоскостей. MNPS – искомое сечение:

В учебнике также рассматривается случай, если прямые NP и ВС параллельны.

В этом случае прямая NP параллельна АВС. Тогда плоскость MNP пересекает плоскость АВС по прямой MQ, параллельной прямой NP:

Еще один пример построения сечения по точкам приведен пример построения сечения параллелепипеда:

На ребрах параллелепипеда даны три точки А, В и С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью АВС.

Здесь также возможны разные случаи.

1) Все три точки находятся на ребрах, выходящих из одной вершины. В этом случае все точки можно соединить, так как А и В находятся в одной плоскости, А и С – в другой, В и С – в третьей.

2) Второй случай – точки расположены на параллельных ребрах.

Тогда сначала соединяют точки А и В, В и С. Так как противоположные стороны параллелепипеда параллельны друг другу, то можно применить свойство плоскости, пересекающей параллельные плоскости – она пересекает их по параллельным прямым. Следовательно, проводим через точку А прямую, параллельную прямой ВС, а через точку С параллельно прямой АВ. Проведенные прямые в плоскости нижнего основания дают точки пересечения E и D. Пятиугольник ABCDE – искомое сечение:

То же сечение можно построить и методом следов:

3) Третий случай: две точки лежат на ребрах, исходящих из одной вершины, а третья – на ребре, пересекающемся с одним из данных:

В этом случае сначала строят прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проводят прямую АВ до пересечения с продолжением нижнего ребра в точке М. Затем через точку М проводят прямую в плоскости нижнего основания параллельно прямой ВС. Это прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с ребрами нижнего основания в точках E и F. Через точку Е проводят прямую, параллельную прямой АВ, получим точку D. Затем проводят отрезки AF и CD, шестиугольник ABCDEF – искомое сечение:

Третий пример – построение сечения пирамиды параллельно основанию: Точка М лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно основанию АВС.

Так как плоскость сечения параллельна плоскости АВС, то она параллельна прямым АВ, ВС и СА. Тогда плоскость сечения пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам грани АВС.

Тогда проводим через точку М прямую, параллельную АВ, получим точки пересечения прямой с боковыми ребрами AD и DB – P и Q. Через точку Р проведем параллельную АС, на пересечении прямой с ребром DC получим точку R. Треугольник PQR – искомое сечение:

В учебнике предлагается несколько упражнений на построение сечения с разными условиями:

для построения сечения параллелепипеда – через три точки в разных положениях – в вершинах параллелепипеда, на гранях, на ребрах параллелепипеда; для построения сечения тетраэдра также через три точки или через ребро и точку.

Кроме того, в учебнике представлены задачи на построение сечения плоскостью, проходящей через заданную точку или прямую, параллельно прямой (обычно ребру или диагонали грани) или плоскости.

Проиллюстрируем некоторые из предлагаемых задач без подробного решения:

№ 73. Сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через три заданные точки:

№ 75. Сечение тетраэдра через заданную прямую (ребро) и точку:

№ 79. Сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через три вершины:

1) случай – через точки АВС1: 2) случай – через точки АСС1:

№ 82. Сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку грани, параллельно:

1) грани ABCD: 2) плоскости BDD1:

№ 86. Сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через диагональ АС, параллельно BD1:

№ 233. Сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости:

№ 244. Сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой:

Рассмотрим задачи на построение сечения многогранников, представленные в учебнике по геометрии для 10 – 11 классов Александрова А.Д.

В изложении теоретического материала нет примеров решения подобных задач. Но среди упражнений имеется ряд задач на построение сечений многогранников.

Например, задача на вычисление площади сечения плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно основанию пирамиды, через заданную прямую параллельно боковому ребру пирамиды, через заданную прямую перпендикулярно боковому ребру пирамиды, через заданную точку перпендикулярно боковой грани пирамиды, а также через заданную прямую, проходящую под заданным углом к основанию пирамиды.

Среди материалов для подготовки к ЕГЭ по математике – материалы, опубликованные на сайте «Решу ЕГЭ».

Среди представленных задач – задачи на построение сечений параллелепипеда, пирамиды, призмы. Построение сечения входит в задачу как необходимая часть решения.

Анализ учебных материалов показывает, что учащимся предлагается освоить решение задач на построение сечения многогранников в следующих случаях:

– построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданные точки непосредственным соединением;

– построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую и точку соединением известных элементов;

– построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;

– построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую параллельно другой заданной прямой;

– построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно двум заданным пересекающимся прямым;

– построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;

– построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;

– построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

Обучение построению сечений как средство развития пространственного представления на уроках стереометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБУЧЕНИЕ ПОСТРОЕНИЮ СЕЧЕНИЙ КАК СРЕДСТВО

развития пространственного представления

НА УРОКАХ СТЕРЕОМЕТРИИ

TEACHING SECTIONS PLOTTING AS A TOOL FOR DEVELOPMENT OF SPATIAL REPRESENTATION IN SOLID GEOMETRY CLASSES

В. И. Бутырина

Рассматривается проблема формирования и развития пространственных представлений у учащихся 10-х и 11-х классов. В качестве одного из средств решения данной проблемы предложено и подробно рассмотрено обучение построению сечений.

Ключевые слова: пространственное тело, плоскость, сечение, многогранник, пространственное восприятие.

V. I. Butyrina

We consider the problem of the formation and development of spatial representations of tenth and eleventh grades students. Teaching sections plotting is considered in detail as a means of solving this problem.

Keywords: spatial body, plane, section, polyhedron, spatial perception.

Одной из важнейших задач преподавания стереометрии в школе является формирование и развитие у учащихся пространственного воображения, а также умения работать с пространственными объектами. Знание и понимание стереометрии опирается не столько на теоретические основы, представленные в учебной литературе, сколько на способность учащегося видеть и правильно представлять пространственную фигуру.

Проблема данного исследования заключается в нахождении способов формирования и развития пространственных представлений у учащихся. Трудно сомневаться, что процесс формирования пространственного воображения у школьников является самым главным и самым первым основным этапом в изучении стереометрии.

Правильное восприятие пространственных фигур не всем легко дается. Научиться можно только через упражнения. Многократные упражнения в построении изображений фигур и операции с ними постепенно уберут барьер в восприятии пространства и плоскости.

На наш взгляд, одним из наиболее продуктивных упражнений такого характера являются задачи на построение сечений многогранников и тел вращения плоскостью. Наличие секущей плоскости во внутренней области изображения пространственной фигуры визуально придает данному изображению объем, к тому же видно, на какие части построенное сечение разбивает фигуру. Пример построения сечения пространственной фигуры плоскостью на первых шагах изучения будет более понятным, если реализовать это построение практически, используя модель многогранника или тела вращения.

Проблема, выдвинутая нами, не нова. Во второй половине XX в. ею занимались А. Б. Василевский, Н. Ф. Четве-рухин, И. Г. Польский, П. Г. Казаков. Изданные ими пособия нами изучены и проанализированы, в частности, подробно изучены методы построения сечений пространствен-

ных тел как одного из способов развития пространственного восприятия у школьников.

Каждый из авторов по-разному подходил к подбору и изложению материала по теме «Построение сечений».

Н. Ф. Четверухин большое внимание уделил методам внутреннего и центрального проектирования, подобрав ряд задач, в которых необходимо построить сечение многогранников и тел вращения. Задачи классифицированы с соблюдением принципа «от простого к сложному». Группировка задач по такому принципу очень удобна, так как позволяет при переходе к следующей задаче ссылаться на предыдущую как вспомогательную.

И. Г. Польский считал эффективным и использовал метод внутреннего проектирования. Задачи, приведенные им в пособии, более разнообразны, однако они ограничиваются только задачами на построение сечений многогранников.

П. Г. Казаков достаточно подробно и доступно изложил материал по данной теме. В отличие от предыдущих авторов, он большое внимание уделил методу следов, когда след и точка заданы в различных комбинациях.

А. Б. Василевский помимо знакомого всем метода следов рассмотрел еще несколько методов построения сечений: метод деления п-угольной пирамиды (призмы) на треугольные пирамиды (призмы), метод дополнения п-угольной пирамиды (призмы) до треугольной пирамиды (призмы), метод параллельных прямых, метод переноса секущей плоскости.

Но, следует заметить, что только в пособии П. Г. Казакова дано определение сечения. «Сечением многогранника называется фигура, образованная линиями пересечения секущей плоскости с гранями многогранника». Однако, на наш взгляд, данное определение является недостаточно полным, так как не охватывает сечения всех тел пространства.

Нами предложено следующее определение сечения тела: сечением тела называется плоская фигура, ко-

а)

б)

в)

г)

Рис. 1. Фигуры, образующиеся в результате пересечения многогранника плоскостью

С

С1

Рис. 2. Построение сечения многогранника плоскостью,

проходящей через три заданные точки, лежащие на соседних ребрах

В

Р

торая образуется при пересечении секущей плоскости с боковой поверхностью тела.

Также хочется отметить, что при всем многообразии грамотно и доступно изложенного материала нет предложения того, как подвести учеников к методу построения сечений, что должны знать учащиеся, прежде чем приступить к изучению данного материала, нет определенной схемы изложения материала.

В данном исследовании мы постараемся восполнить отмеченные пробелы.

Не стоит забывать, что основным источником информации для учащихся является учебник. К сожалению, в учебной программе за 10-й класс отводится недостаточно времени на изучение задач на построение сечений. В подтверждение к сказанному, в учебнике Л. С. Атанасяна на тему «Построение сечений многогранников» отводится два часа, причем сопровождающих данную тему задач всего восемь. В учебнике А. В. Погорелова на построение сечений отведено около трех часов и десять задач, причем сначала рассматривается построение изображения призмы, а после – построение ее сечений, затем построение изображения пирамиды и ее сечений. Корректнее было бы поместить тему «Построение сечений многогранников» после изложения темы «Многогранники». Классифицировать материал по тематике задач с соблюдением принципа «от простого к сложному» можно следующим образом:

– определение сечения многогранников;

– построение сечений призмы, параллелепипеда, пирамиды методом следов.

В упомянутых учебниках также нет определения сечения тела.

Перейдем непосредственно к примерной разработке подхода к изучению материала по теме «Построение сечений».

Так как различные сложные виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы, то мы подробнее рассмотрим метод построения сечений многогранников.

Поскольку построение плоскости сечения проходит в зависимости от способа задания плоскости, ученик, приступив к изучению темы «Построение сечений многогранников», должен к этому моменту хорошо усвоить для себя, что плоскость определяется:

– тремя точками;

– прямой и точкой;

– двумя параллельными прямыми;

– двумя пересекающимися прямыми.

Это необходимо знать, чтобы понимать, почему именно можно построить сечение тела, если даны три точки на поверхности тела, точка и след, прямая на боковой поверхности тела и след.

Прежде чем ввести учащихся в суть методов построения сечений, следует обратить внимание на вопрос: что может получиться при пересечении многогранника плоскостью? Это могут быть (см. рис. 1): пустая фигура (а), точка (б), отрезок (в), многоугольник (г).

Если пересечение многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника плоскостью.

в с

А И М’

Заметим, что отрезок и точка ни у одного из вышеупомянутых авторов не являются сечениями, хотя они имеют место.

Будем рассматривать только случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности. При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок. Таким образом, задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника.

Теперь перейдем к вопросу, как сгруппировать материал так, чтобы его изучение было как можно более доступным.

В самом начале уместно рассматривать задачи наиболее простые, усложняя их, переходя от одной к другой.

Так как плоскость определяется тремя точками, то предложим задачу на построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через три заданные точки, лежащие на соседних ребрах многогранника.

В

с

А Ао

А,

М ч

Б

П- Г с^ Е

* у Р

\/

°1\/7 ¿3

1 1Ьч \Е1

г,

X Рис. 5. Построение сечения призмы по трем точ кам, лежащим не на соседних ребрах

Рис. 4. Построение сечения призмы по трем точкам, одна из которых лежит не на соседних ребрах

Если мы имеем треугольную призму с точками на ребрах, то сечение данной призмы мы можем получить, последовательно соединив данные точки (рис. 2).

Если же мы имеем призму (рис. 3), в основании которой выпуклый п-угольник, где п > 3, то построение сечения призмы проводится с помощью метода следов.

Сначала последовательно соединяем данные точки на соседних ребрах призмы, а затем проведем рассуждения:

1) Рассмотрим грань призмы ААДР. В этой грани лежат точки сечения М и Р, заданные по условию, значит, секущая плоскость будет проходить через эти точки, поэтому можно провести прямую МР.

2) Точки А1 и й1 являются проекциями точек М и Р на основание АДСД. Пересекая прямую МР с ее проекцией А1В1, находим точку пересечения X этой прямой с основной плоскостью. Точка X будет принадлежать следу.

3) Проводя аналогичные рассуждения, получаем точку У пересечением прямой ИР и ее проекции С1й1. Точка У также будет принадлежать следу.

4) Проведем прямую ХУ, которая и является следом секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.

5) Точка N лежит в плоскости грани ВВ1С1С. Точка С1 является проекцией точки N на основную плоскость. Через точки С1 и В1, принадлежащие плоскости ВВ1С1С, проводим прямую В1С1 до пересечения прямой В1С1 со следом. Через данную точку и через точку N проведем прямую Данная прямая пересекает грань призмы по отрезку РИ. Остальные отрезки, принадлежащие сечению призмы, находятся аналогично.

Далее задачу можно усложнить, расположив две точки на соседних ребрах, а одну на отдаленном ребре.

Задача решается аналогично. Единственное, на что нужно обратить внимание, как строится след в этом случае (рис. 4).

После можно рассмотреть случай, когда все три точки лежат не на соседних ребрах. Построение сечения призмы в этой задаче сводится к предыдущей (рис. 5).

Задачу можно усложнить, если одну из трех точек поместить на поверхности грани призмы (рис. 6). В этом случае

следует обратить внимание на то, что нужно построить проекцию этой точки на основание призмы, полученная проекция не будет совпадать с вершинами призмы. Далее процесс построения сечений сводится к предыдущим задачам.

Далее уместно будет рассмотреть задачи на построение сечения при заданной точке на поверхности фигуры и при заданном следе (так как плоскость определяется точкой и прямой) в разных положениях. Порядок задач также следует задать, придерживаясь принципа «от простого к сложному».

Завершить данный этап изучения темы «Построение сечений» следует задачами при заданном следе и заданной прямой на поверхности фигуры (так как плоскость определяется двумя параллельными или пересекающимися прямыми).

Комбинируя задачи таким образом, мы делаем каждую предыдущую задачу опорной для каждой последующей, более сложной.

список источников и ЛИТЕРАТУРЫ

1. Четверухин Н. Ф. Стереометрические задачи на проекционном чертеже. М.: УЧПЕДГИЗ, 1952. С. 24-39.

2. Польский И. Г. Сборник задач на построение на проекционном чертеже. М.: УЧПЕДГИЗ, 1958. С. 15-28.

B C

Рис. 6. Построение сечения призмы по двум точкам, лежащим на ребрах, и одной точке, находящейся грани

3. Казаков П. Г. Параллельные проекции и методы решения конструктивных задач. М.: УЧПЕДГИЗ, 1960. С. 54-79.

4. Василевский А. Б. Параллельные проекции и решение задач по стереометрии. Минск: Народная асвета, 1978. С. 29-33.

5. Атанасян Л. С. Геометрия 10-11. М.: Просвещение, 2009. С. 27-28.

6. Погорелов А. В. Геометрия 7-11. М.: Просвещение, 1998. С. 298-307.

РОЛЬ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ НА ПРАКТИЧЕСКИХ зАНЯТИЯХ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

THE ROLE OF SYSTEMS OF COMPUTER MATHEMATICS FOR PRACTICAL EXERCISES ON DIFFERENTIAL EQUATIONS

Р. М. Асланов, А. С. Безручко

В статье говорится о роли системы компьютерной математики в курсе дифференциальных уравнений. Сообщается, что они могут в значительной степени расширить класс задач, изучаемых в данной дисциплине, увеличить наглядность курса, его прикладное и практическое значения и тем самым помочь будущим учителям в понимании сущности изучаемого предмета.

Ключевые слова: системы компьютерной математики, дифференциальные уравнения, прикладная направленность, моделирование, наглядность.

R. M. Aslanov, A. S. Bezruchko

In given paper, it is SPK about what role is played by systems of computer mathematics in the course of the differential equations. It is informed that they can dilate substantially a class of tasks studied in the given discipline, to increment visualisation of course, its applied and practical values and by that to help to realise the future teacher essence of mathematics.

Keywords: systems of computer mathematics, the differential equations, an applied trend, modeling, visualization.

Сегодня мы являемся свидетелями скачка в компьютеризации общества, который произошел с началом массового производства и внедрения персональных компьютеров. По мере развития компьютерной

техники интенсивно развивается программное обеспечение, автоматизирующее математическую деятельность.

Сегодняшняя компьютерная математика обладает универсальными программными средствами символьных

Разработка урока геометрии в 10 классе “Сечение параллелограмма” | Презентация к уроку геометрии (10 класс) по теме:

Урок по теме

« Построение сечений параллелепипеда»

Предмет  геометрия

Класс  10

Учебно-методическое обеспечение: учебник « Геометрия 10-11»  автор Л.С. Атанасян. Методические рекомендации к учебнику авторы С.М.Саакян, В.Ф. Бутузов

Оборудование и материалы для урока: Компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения урока, дидактический материал, копир-ответы , карточки-бланки для ответов учащихся, модели куба и прямоугольного параллелепипеда

Цели урока:

    1. Определить виды сечений параллелепипеда

2.Установить взаимосвязь между видом сечения и расположением точек на ребрах параллелепипеда

     3.Научиться строить сечения

Задачи урока

  1. Обучающие: 

– Закрепить определение секущей плоскости и сечения многогранника  плоскостью;

– Отработать алгоритм построения сечения параллелепипеда плоскостью.

  1. Развивающие:

– продолжить формирование пространственного воображения и математической речи;

– развивать аналитическое мышление при выработке алгоритма построения точки пересечения прямой и плоскости и сечений многогранников.

  1. Воспитывающие:

– вырабатывать умение осознанно трудиться над поставленной целью;

– воспитывать культуру общения , графическую культуру.

.

Тип урока: комбинированный

Структура урока:

  1. Организационный момент.
  2. Проверка домашнего задания. Повторение.
  3. Изучение нового материала.
  4. Закрепление.
  5. Самостоятельная работа.
  6. Итог урока.
  7. Комментарии к домашнему заданию.
  8. Рефлексия

                                                 Ход урока :

                      

1. Организационный момент   .            Приветствие уч-ся и гостей

Я и мои ребята  рады приветствовать вас. Думаем , что  у вас хорошее настроение и  оно конечно же передастся ребятам  и они будут работать спокойно и продуктивно

2.Вступительное слово учителя

Раздел стереометрии, изучающий сечения геометрических тел позволяет “заглянуть внутрь” предметов, познакомиться с их свойствами; значительно облегчает выполнение ряда заданий не только по математике, но и по физике, биологи и географии. Решение задач на построение сечений многогранников способствует развитию у человека пространственного представления и пространственного мышления  т.е. развивает геометрическую фантазию.

 На предыдущем уроке мы строили сечение тетраэдра плоскостью.

Тема сегодняшнего урока «Построение сечений параллелепипеда» (слайд 1)

3.Повторение изученного материала .Проверка домашнего задания.

Прежде чем мы будем учиться  строить сечения  параллелепипеда, проверим выполнение домашнего задания. Кто выполнил компьютерный вариант? Пожалуйста…№105..(настройка презентации).

Чертеж к задаче № 75

      А мы  в это время повторим некоторые вопросы теории, без которых нам не обойтись при построении сечений параллелепипеда.

  1. Что такое секущая плоскость многогранника? 
  2.  (Секущей плоскостью многогранника называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника)
  1. Что такое сечение многогранника?

      (Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам.    Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением  многогранника)

  1. А где лежат вершины этого многоугольника?

         (на ребрах многогранника)

  1.  Какие многоугольники мы получали при построении сечений тетраэдра?

          ( треугольники и четырехугольники).

Проверить выполнение домашнего задания  Комментарии презентации

Проверка правильности выполнения чертежа к задаче №75 и фронтальная работа по плану решения задачи.

                               4.Изучение нового материала.

Целью построения сечений является нахождение линий пересечения секущей плоскости с гранями , т. е. следы по которым плоскость пересекает грани многогранника.    А как можно задать секущую плоскость?

            ( Вовлечение учащихся в поисковую деятельность.)

  1. Смоделируйте  как можно задать секущую плоскость(3 точками, прямой и не лежащей на ней точкой, 2 параллельными прямыми, 2 пересекающимися прямыми)
  1. Мы на уроке  рассмотрим задачи на построение сечений, заданных тремя точками                                                  («живая геометрия»)

Как вы думаете а какие многоугольники мы можем получить при построении сечений параллелепипеда?

 ( треугольники и 4 -, 5 -и 6-угольники)

       Можем ли получить 7-угольное сечение? Почему?

( Нет, поскольку у параллелепипеда имеется только шесть граней, поэтому в сечении  не может получиться многоугольник с числом сторон, большим шести)

     Итак, мы предположили, что в сечении параллелепипеда получатся треугольники, четырехугольники, 5 и 6-угольники, нам это предположение нужно проверить, поэтому цели нашего урока (слайд 2)

  1. Определить виды сечений параллелепипеда
  2. Установить взаимосвязь между видом сечения и расположением точек на ребрах параллелепипеда
  3. Научиться строить сечения параллелепипеда.

Во время урока мы будем работать с различными видами параллелепипеда, в том числе и с кубом – как прямоугольным параллелепипедом с равными ребрами .

 

    Начнем с треугольного сечения. Подумайте, как нужно расположить 3 точки на ребрах параллелепипеда, чтобы получить треугольное сечение?             (смоделировать и заслушать ответы учащихся)

(на ребрах исходящих из одной вершины или  расположенных в 3 вершинах).

    Выполним построение сечения треугольной формы (слайд )

 ( Комментарии учащихся и построение аналогичного сечения в тетради, двое у доски -разное расположение точек)

    Как нужно расположить 3 точки, чтобы получить 4-угольное сечение?

 (на  параллельных ребрах).

Ребята,  при выполнении этого задания хочу напомнить вам  следующее  очень важное условие (слайд 4)

Если секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда по отрезкам, то эти отрезки параллельны .(Запишем это утверждение)

    С учетом этого условия построим сечение, проходящее через точки М, N, K (слайд 5).

     Построение сечения происходит с  комментированием учащихся.  

         ( продемонстрировать изменение узлов и диагональное сечение)

Построение в тетрадях и у доски сечений по заданным точкам (точки задать на слайде)

    Переходим к следующим двум сечениям: 5 и 6 –угольным.

Расположим точки как показано на рисунке. Давайте продумаем план построения .                        ( обсуждение с учащимися).

Построим  сечение, заданное точками ????  (слайд 5тиуг . сеч.)

                               

        

 Какой многоугольник вы  получили  (пятиугольник….  

Сколько  параллельных сторон у пятиугольника?…)

       

5.Работа в парах. Поисковая деятельность

( Постарайтесь изобразить шестиугольное сечение)-работают

6. Защита проектов

    Два  ученика изображают 6-угольные сечения на доске.

Мы изобразили 6-иугольные сечения ,а теперь давайте их построим

 (слайд    ,  учитель объясняет ход построения.

Найти две точки сечения , лежащие в самой грани не всегда удается, поэтому нас вполне удовлетворят  две точки сечения, лежащие в плоскости, а не в самой грани, поэтому нахождение этих точек выходит за пределы чертежа)

Ребята, а как проверить, правильно ли выполнен чертеж? (параллельность противоположных сторон шестиугольника) посмотрите в тетрадь своего соседа…

 А вот в пространстве…. ( анимация сечения куба  « Живая геометрия”)

 Для построения данного сечения использовался  метод «следов», заключающийся в нахождении точки пересечения прямой и плоскости по заданным двум точкам этой прямой и их проекциям на плоскость.

 

 А теперь включите свою геометрическую фантазию и постарайтесь правильно определить какой  многоугольник является сечением какой фигуры?( работа со слайдом)

Есть ли ошибки на чертежах?  (работа со слайдом)

Все эти замечания прошу учесть при выполнении самостоятельной работы.

7. Закрепление изученного материала. ( в это время проверка д. з.)

  Самостоятельная работа(2 варианта)

Учащиеся выполняют с.р. на заранее подготовленных чертежах, а затем проверяют при помощи копир-слайда    

Сечения при этом закрашивают  различными цветами . (затем это используется при анализе урока- тест Люшера)

      В процессе решения задач учащимся было предложено выделить построенное сечения в понравившейся им цветовой гамме. Методика ЦВ выявляет не только осознанное, субъективное отношение испытуемого к цветовым эталонам, но также неосознанные реакции на них, что позволяет считать метод глубинным проективным. Исходя из символики цветов и накопленного в многолетней практике опыта, структурное значение каждого цвета, выбираемого на первых позициях, описано Максом Люшером следующим образом:

  1. зеленый – упорство, целеустремленность, волевое,усилие, эластичное напряжение, высокий уровень притязания, стремление к самовыражению;
  2. красный – выражение жизненной силы, воли к победе, стремление к успеху, потребность в достижении самоутверждении;
  3. желтый – раскованность, потребность в эмоциональной активности, стремление к новому и расширение возможностей;
  4. синий – состояние покоя, эмоциональная стабильность, тенденция к эмоциональному комфорту;
  5. серый – тенденция к пассивности, потребность в отдыхе, социальная отгороженность;
  6. фиолетовый – потребность в уходе от реальной действительности, нереальные требования к жизни, мечтательность, индивидуальность;
  7. коричневый – потребность снижения тревожности, ощущение физиологического дискомфорта, стресс;
  8. черный – отказ, неприятие, огорчение, протест против существующего положения вещей,                           потребность в независимости, негативизм по отношению к любым авторитетам

8. Д.З .№110,112 из учебника « Геометрия 10-11» Атанасян Л.С.( слайд 12)и

Индивидуальное задание- задачи на карточках разного цвета- разного уровня сложности.

9. Итог урока

10.Рефлексия

.

Метод сечений, широко известный своей универсальностью, применяется в некоторых разделах черчения, физики, теоретической механики, сопротивления материалов, гидравлике и других естественных науках и технических дисциплинах.

Построение сечений используют в строительном деле, машиностроении. В качестве диагностики заболеваний в медицине широко применяют метод компьютерной томографии, основанный на получении при помощи рентгеновских аппарата снимков – сечений человеческого тела. Этим же методом пользуются историки и археологи для исследования некоторых объектов. Например, чтобы не испортить саркофаг и при этом посмотреть его содержимое. Для этого при помощи томографа делают множество снимков – поперечных сечений саркофагов, суммируя которые получают необходимую информацию.

Широко применяют сечения и в ювелирном деле. Чтобы придать камню нужную форму, мастер подвергает бесформенный драгоценный камень рассечению различными плоскостями. Эти плоскости выбираются не спонтанно, а таким образом, чтобы луч, падающий на камень, создавал его сияние, многократно отразившись от его граней. Изменяя угол наклона “секущих плоскостей” и их положения мастер добивается неповторимой игры света и радужных переливов на гранях камня.

Таким образом, интерес к задачам на построение сечений обусловлен не только их красотой и оригинальностью методов решения, но и их практической ценностью

11 Спасибо за работу (слайд )

16.6 Векторные функции для поверхностей

Мы много работали с векторными уравнениями для кривых, $ {\ bf r} (t) = \ langle x (t), y (t), z (t) \ rangle $. Похожая техника может использоваться для представления поверхностей более общим способом, чем уравнения для поверхностей, которые мы использовали до сих пор. Напомним, что когда мы используем $ {\ bf r} (t) $ для представления кривой, мы представляем вектор $ {\ bf r} (t) $ хвостом в начале координат, а затем идем по голове стрелки при изменении $ t $. Вектор «протягивает» кривую через пространство при изменении $ t $.

Предположим, что вместо этого у нас есть векторная функция двух переменных, $$ {\ bf r} (u, v) = \ langle x (u, v), y (u, v), z (u, v) \ rangle. $$ Поскольку и $ u $, и $ v $ варьируется, мы снова представляем вектор $ {\ bf r} (u, v) $ с хвостом в начало, а его голова заметает поверхность в пространстве. Полезный аналогия – технология видеоэкранов CRT, в которых электрон пушка стреляет электронами в направлении экрана. Пистолет направление движется по горизонтали и вертикали, чтобы «раскрасить» экран с желаемым изображением.На практике пистолет движется горизонтально. через всю строку, затем перемещается по вертикали к следующей строке и повторяет операцию. Таким же образом может быть полезно представить фиксируя значение $ v $ и позволяя $ {\ bf r} (u, v) $ заметать кривую как $ u $ меняется. Тогда $ v $ может немного измениться, и $ {\ bf r} (u, v) $ выметает новая кривая очень близка к первой. Достаточно этих кривых вместе, и они образуют поверхность.

Пример 16.6.1. Рассмотрим функцию $ {\ bf r} (u, v) = \ langle v \ cos u, v \ sin u, v \ rangle $.Для фиксированного значения $ v $, поскольку $ u $ изменяется от 0 до $ 2 \ pi $, это рисует круг радиуса $ v $ на высоте $ v $ над $ x $ – $ y $ самолет. Сложите все это вместе, и они образуют конус, как на рисунке 16.6.1. В качестве альтернативы мы можем исправить $ u $, и поскольку $ v $ колеблется от $ 0 $ до бесконечности, $ {\ bf r} (u, v) $ отслеживает из строки; примеры этих линий можно увидеть в стенке конуса или отдельно в третьем графике рисунка. $ \ квадрат $

Рисунок 16.6.1. Трассировка поверхности.

Пример 16.6.2. Пусть $ {\ bf r} = \ langle v \ cos u, v \ sin u, u \ rangle $. Если $ v $ равно константа, результирующая кривая представляет собой спираль (как в рисунок 13.1.1). Если $ u $ постоянна, результирующая кривая прямая линия на высоте $ u $ в направлении $ u $ радиан от положительная ось $ x $. Обратите внимание на рисунок 16.6.2, как и спирали, и линии окрашивают одну и ту же поверхность по-разному. $ \ квадрат $

Рисунок 16.6.2. Трассировка поверхности.

Этот метод позволяет нам представить гораздо больше поверхностей, чем ранее.

Пример 16.6.3 Кривая, представленная $$ {\ bf r} = \ langle (2+ \ cos (3u / 2)) \ cos u, (2+ \ cos (3u / 2)) \ sin u, \ sin (3u / 2) \ rangle $$ называется узлом-трилистником. Напомним, что из векторного уравнения кривой можно вычислить единичная касательная $ \ bf T $, единичная нормаль $ \ bf N $ и бинормальный вектор $ {\ bf B} = {\ bf T} \ times {\ bf N} $; ты можешь хочу просмотреть раздел 13.3. Бинормаль является перпендикулярно как $ \ bf T $, так и $ \ bf N $; один способ интерпретировать это состоит в том, что $ {\ bf N} $ и $ {\ bf B} $ определяют плоскость, перпендикулярную $ \ bf T $, то есть перпендикулярно кривой; поскольку $ {\ bf N} $ и $ {\ bf B} $ перпендикулярны друг другу, они могут функционировать так же, как $ \ bf i $ и $ \ bf j $ do для плоскости $ x $ – $ y $.Конечно, $ \ bf N $ и $ \ bf B $ функции от $ u $, изменяющиеся при движении по кривой $ {\ bf r} (u) $. Так, например, $ {\ bf c} (u, v) = {\ bf N} \ cos v + {\ bf B} \ sin v $ векторное уравнение для единичной окружности на плоскости перпендикулярно кривой, описываемой $ \ bf r $, за исключением того, что обычная интерпретация $ \ bf c $ поместит его центр в начало координат. Мы можем исправить это, просто добавив $ \ bf c $ к исходному $ \ bf r $: пусть $ {\ bf f} = {\ bf r} (u) + {\ bf c} (u, v) $. Для фиксированный $ u $, это рисует круг вокруг точки $ {\ bf r} (u) $; как $ u $ меняется, получаем последовательность таких окружностей вокруг кривой $ \ bf r $, то есть трубка радиуса 1 с $ \ bf r $ в центре.Мы легко можем изменить радиус; например $ {\ bf r} (u) + a {\ bf c} (u, v) $ дает радиус трубки $ a $; мы можем изменить радиус, когда мы двигаться по кривой с помощью $ {\ bf r} (u) + g (u) {\ bf c} (u, v) $, где $ g (u) $ – функция от $ u $. Как показано в На рисунке 16.6.3 трудно увидеть, что простой узел завязанный; трубка делает структуру очевидной. Есть конечно в узле трилистник в этом примере нет ничего особенного; мы можем поставить таким же образом обведите (почти) любую кривую. $ \ квадрат $

Рисунок 16.6.3. Трубки вокруг узла-трилистника с радиусом $ 1/2 $ и $ 3 \ cos (u) / 4 $.

Ранее мы исследовали поверхности, представленные в виде $ f (x, y) $. Иногда бывает полезно представить такие поверхности в более общая векторная форма, которая довольно проста: $ {\ bf r} (u, v) = \ langle u, v, f (u, v) \ rangle $. Имена переменных конечно не важны; вместо того, чтобы замаскировать $ x $ и $ y $, мы можно просто написать $ {\ bf r} (x, y) = \ langle x, y, f (x, y) \ rangle $.

Мы также ранее имели дело с поверхностями, которые не являются функциями $ x $ и $ y $; многие из них легко представить в векторной форме.2} $ вокруг оси $ z $ на высоте $ v $. Мы также могли бы взять реплику из сферических координат и написать $ \ langle \ sin u \ cos v, \ sin u \ sin v, \ cos u \ rangle $, где в действительности $ u $ и $ v $ – это замаскированные $ \ phi $ и $ \ theta $.

В Sage довольно просто построить любую поверхность, для которой у вас есть векторное представление. Иногда используются разные векторные функции дает разные на вид сюжеты, потому что Шалфей, по сути, рисует поверхность, удерживая одну переменную постоянной, а затем другую. За Например, на рисунке 16.6.2 кривые на двух правых графиках наложены на левый график; график поверхности – это просто комбинация два набора кривых с промежутками, заполненными цветом.

Вот простой, но яркий пример: плоскость $ x + y + z = 1 $ может быть вполне естественно представить в виде $ \ langle u, v, 1-u-v \ rangle $. Но мы также можно подумать о том, чтобы нарисовать тот же самолет, выбрав конкретный точку на плоскости, скажем $ (1,0,0) $, а затем рисуем круги или эллипсов (или любой другой кривой), как если бы эта точка была происхождение в плоскости.Например, $ \ langle 1-v \ cos u-v \ sin u, v \ sin u, v \ cos u \ rangle $ – одна из таких векторных функций. Обратите внимание, что хотя это может не очевидно, откуда это взялось, довольно легко увидеть, что сумма компонентов вектора $ x $, $ y $ и $ z $ всегда равна 1. Показаны компьютерные визуализации самолета с использованием этих двух функций. на рисунке 16.6.4.

Рисунок 16.6.4. Два изображения одной плоскости.

Предположим, мы знаем, что на плоскости есть определенная точка $ (x_0, y_0, z_0) $ и два вектора $ {\ bf u} = \ langle u_0, u_1, u_2 \ rangle $ и $ {\ bf v} = \ langle v_0, v_1, v_2 \ rangle $ параллельны плоскости, но не каждому разное.Мы знаем, как получить уравнение плоскости в виде $ ax + by + cz = d $, сначала вычислив $ {\ bf u} \ times {\ bf v} $. Это даже проще получить векторное уравнение: $$ {\ bf r} (u, v) = \ langle x_0, y_0, z_0 \ rangle + u {\ bf u} + v {\ bf v}. $$ Первый вектор попадает в точку $ (x_0, y_0, z_0) $ и затем, варьируя $ u $ и $ v $, $ u {\ bf u} + v {\ bf v} $ попадают в каждую точку плоскости.

Возвращаясь к $ x + y + z = 1 $, точки $ (1,0,0) $, $ (0,1,0) $ и $ (0,0,1) $ все в самолете. Вычитая координаты, видим, что $ \ langle -1,0,1 \ rangle $ и $ \ langle -1,1,0 \ rangle $ параллельны плоскости, поэтому третья векторная форма для этой плоскости $$ \ langle 1,0,0 \ rangle + u \ langle -1,0,1 \ rangle + v \ langle -1,1,0 \ rangle = \ langle 1-u-v, v, u \ rangle.$$ Это явно очень похоже на первую найденную нами форму.

Мы уже видели (раздел 15.4) как найти площадь поверхности, когда она определяется в виде $ f (x, y) $. Нахождение области, когда поверхность заданная как векторная функция очень похожа. Глядя на сюжеты поверхностей, которые мы только что видели, очевидно, что два набора кривых которые заполняют поверхность, делят ее на сетку, а пробелы в сетке примерно параллелограммы. Как и раньше, это ключ: мы можем записать площадь типичного маленького параллелограмма и сложите их все с помощью интеграла.

Предположим, мы хотим аппроксимировать площадь поверхности $ {\ bf r} (u, v) $ рядом с $ {\ bf r} (u_0, v_0) $. Функции $ {\ bf r} (u, v_0) $ и $ {\ bf r} (u_0, v) $ определяют две кривые, которые пересекаются в точке $ {\ bf r} (u_0, v_0) $. Производные от $ \ bf r $ дают нам векторы, касательные к эти две кривые: $ {\ bf r} _u (u_0, v_0) $ и $ {\ bf r} _v (u_0, v_0) $, и тогда $ {\ bf r} _u (u_0, v_0) \, du $ и $ {\ bf r} _v (u_0, v_0) \, dv $ – два малых касательных вектора, длины которых можно использовать как длины сторон аппроксимирующего параллелограмма.2} \, dv \, du = {\ pi \ sqrt2 \ over2} + {\ pi \ ln (\ sqrt2 + 1) \ over 2}. $$ $ \ квадрат $

Упражнения 16.6

Вы можете использовать эти ячейки Sage для построения графиков поверхностей. Первый пример представляет собой трубку вокруг узла «Трилистник», второй – конус.

Пр. 16.6.1 Опишите или зарисуйте поверхность с заданной векторной функцией.

    а. $ {\ bf r} (u, v) = \ langle u + v, 3-v, 1 + 4u + 5v \ rangle $

    г. $ {\ bf r} (u, v) = \ langle 2 \ sin u, 3 \ cos u, v \ rangle $

    г.2 $. (отвечать)

    Пр. 16.6.16 Поверхность $ f (x, y) $ можно представить вектором функция $ \ langle x, y, f (x, y) \ rangle $. Установите интеграл площади поверхности, используя эту вектор-функцию и сравните с интегралом от раздел 15.4.

    12.6: Квадрические поверхности – математика LibreTexts

    Мы изучали векторы и векторные операции в трехмерном пространстве и разработали уравнения для описания линий, плоскостей и сфер. 2 = 9 \) описывает окружность с центром в начале координат и радиусом \ (3 \).2 = 9 \) представляет собой цилиндр радиуса \ (3 \) с центром на оси \ (z \). Это продолжается бесконечно в положительном и отрицательном направлениях.

    Определение: цилиндры и линейки

    Набор линий, параллельных заданной линии, проходящей через заданную кривую, известен как цилиндрическая поверхность или цилиндр . Параллельные линии называются линейками .

    Из этого определения мы видим, что у нас все еще есть цилиндр в трехмерном пространстве, даже если кривая не является окружностью.2 = 25 \) представляет собой цилиндр радиуса \ (5 \) с центром на оси \ (y \).

    г. В этом случае уравнение содержит все три переменные – \ (x, y, \) и \ (z \) – поэтому ни одна из переменных не может изменяться произвольно. Самый простой способ визуализировать эту поверхность – использовать компьютерную утилиту для построения графиков (рис. \ (\ PageIndex {4} \)).

    Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)

    c. В этом уравнении переменная \ (z \) может принимать любое значение без ограничений. Следовательно, линии, составляющие эту поверхность, параллельны оси \ (z \).2 \).

    Подсказка

    Переменная \ (x \) может принимать любое значение без ограничений.

    Ответ

    При рисовании поверхностей мы увидели, что полезно рисовать пересечение поверхности с плоскостью, параллельной одной из координатных плоскостей. Эти кривые называются следами. Мы можем увидеть их на графике цилиндра на рисунке \ (\ PageIndex {6} \).

    Определение: следы

    Следы поверхности – это поперечные сечения, созданные, когда поверхность пересекает плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей.

    Трассы полезны при рисовании цилиндрических поверхностей. Однако для трехмерного цилиндра полезен только один набор следов. Обратите внимание на рис. \ (\ PageIndex {6} \), что след графика \ (z = \ sin x \) на плоскости xz полезен при построении графа. Однако след на плоскости xy представляет собой просто серию параллельных линий, а след на плоскости yz – это просто одна линия.

    Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): (a) Это один вид графика уравнения \ (z = \ sin x \). (b) Чтобы найти след графа на плоскости \ (xz \), положим \ (y = 0 \). След – это просто двумерная синусоида.

    Цилиндрические поверхности образованы набором параллельных линий. Однако не все поверхности в трех измерениях строятся так просто. Теперь мы исследуем более сложные поверхности, и следы являются важным инструментом в этом исследовании.

    Квадрические поверхности

    Мы узнали о трехмерных поверхностях, описываемых уравнениями первого порядка; это самолеты.2} = 1. \) Установите \ (x = 0 \), чтобы увидеть след эллипсоида на плоскости yz . Чтобы увидеть следы в плоскостях \ (xy \) – и \ (xz \) -, установите \ (z = 0 \) и \ (y = 0 \) соответственно. 2} = 1.2} = 1 \) в плоскости \ (xy \), когда мы положим \ (z = 0 \). (b) Когда мы устанавливаем \ (y = 0 \), мы получаем след эллипсоида в плоскости \ (xz \), который является эллипсом. (c) Когда мы устанавливаем \ (x = 0 \), мы получаем след эллипсоида в \ (yz \) – плоскости, который также является эллипсом.

    Теперь, когда мы знаем, как выглядят следы этого твердого тела, мы можем нарисовать поверхность в трех измерениях (рис. \ (\ PageIndex {8} \)).

    Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): (a) Следы служат основой для поверхности. (б) Центр этого эллипсоида – начало координат.2} = 1 \) (см. Следующий рисунок).

    Гиперболоиды одного листа обладают удивительными свойствами. Например, они могут быть построены с использованием прямых линий, как в скульптуре на рисунке \ (\ PageIndex {1a} \). На самом деле градирни для атомных электростанций часто строят в форме гиперболоида. Строители могут использовать в конструкции прямые стальные балки, что делает башни очень прочными при использовании относительно небольшого количества материала (рис. 2} {100} = \ dfrac {z} {4}, \), где – фокус точка рефлектора?

    Рисунок \ (\ PageIndex {12} \): энергия отражается от параболического отражателя и собирается в фокусной точке.2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Jz + K = 0. \]

    На следующих рисунках приведены наиболее важные из них.

    Рисунок \ (\ PageIndex {13} \): Характеристики общих квадратичных поверхностей: эллипсоид, гиперболоид одного листа, гиперболоид двух листов. Рисунок \ (\ PageIndex {14} \): Характеристики общих квадратичных поверхностей: эллиптический конус, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид.

    Пример \ (\ PageIndex {5} \): определение уравнений квадратичных поверхностей

    Определите поверхности, представленные данными уравнениями.2} {9} = 1. \ nonumber \]

    Итак, это, на самом деле, эллипсоид с центром в начале координат.

    г. Сначала заметим, что член \ (z \) возведен только в первую степень, так что это либо эллиптический параболоид, либо гиперболический параболоид. 2} {9} = z.2 + 2z − 10 = 0. \)

    Подсказка

    Посмотрите на знаки и степени членов \ (x, y \) и \ (z \)

    Ответ

    Гиперболоид из одного листа с центром в \ ((0,0,1) \).

    Используя теорему Грина, чтобы найти область

    Обычно мы используем теорему Грина как альтернативный способ вычислить линейный интеграл $ \ dlint $. Если, например, мы находимся в двух размерность, $ \ dlc $ – это просто закрыто кривая, а $ \ dlvf (x, y) $ определяется всюду внутри $ \ dlc $ мы можем использовать теорему Грина для преобразования прямой интеграл в двойной интеграл.Вместо расчетной линии интеграл $ \ dlint $, вычисляем двойной интеграл \ begin {align *} \ iint_ \ dlr \ left (\ pdiff {\ dlvfc_2} {x} – \ pdiff {\ dlvfc_1} {y} \ right) dA \ end {выровнять *}

    Можем ли мы использовать теорему Грина, чтобы пойти в другом направлении? Если нам дадут двойной интеграл, можем ли мы использовать теорему Грина для преобразования двойного интеграл в линейный интеграл и вычислить линейный интеграл? Если мы дан двойной интеграл \ begin {align *} \ iint_ \ dlr f (x, y) dA, \ end {выровнять *} мы можем использовать теорему Грина только в том случае, если имеется векторное поле $ \ dlvf (x, y) $ так, чтобы \ begin {align *} f (x, y) = \ pdiff {\ dlvfc_2} {x} – \ pdiff {\ dlvfc_1} {y}.\ end {выровнять *} Однако мы не научились ни одному методу найти такое векторное поле. $ \ dlvf $. Таким образом, мы вряд ли будем использовать теорему Грина в этом направление очень часто.

    Однако есть одно важное исключение из этого правила: когда мы используем двойной интеграл для вычисления площади области $ \ dlr $. Площадь области $ \ dlr $ равна двойной интеграл от $ f (x, y) = 1 $ по $ \ dlr $: \ begin {align *} \ text {Площадь $ \ dlr $} = \ iint_ \ dlr dA = \ iint_ \ dlr 1 \, dA. \ end {выровнять *} Если $ f (x, y) = 1 $, легко найти векторное поле $ \ dlvf $ так, что \ begin {align *} \ pdiff {\ dlvfc_2} {x} – \ pdiff {\ dlvfc_1} {y} = f (x, y) = 1.\ end {выровнять *} Таких векторных полей $ \ dlvf $ много, но мы выберем векторное. поле $ \ dlvf (x, y) = (-y / 2, x / 2) $. Вы можете подтвердить, что действительно $ \ displaystyle \ pdiff {\ dlvfc_2} {x} – \ pdiff {\ dlvfc_1} {y} = 1 $.

    Таким образом, если $ \ dlc $ – ориентированный против часовой стрелки простой замкнутый кривая, ограничивающая область, в которой можно применить теорему Грина, площадь области $ \ dlr $, ограниченная $ \ dlc = \ partial \ dlr $, равна \ begin {align *} \ text {Площадь $ \ dlr $} = \ dlint = \ frac {1} {2} \ int_ \ dlc x \, dy – y \, dx, \ end {выровнять *} где $ \ dlvf (x, y) = (-y / 2, x / 2) $.2. \ end {выровнять *} К счастью, наш ответ совпадает с тем, что мы знаем.

    Пример 2

    Вычислить площадь области $ D $, ограниченной кривой $ \ dlc $, параметризованной $ \ dllp (t) = \ sin 2t \, \ vc {i} + \ sin t \, \ vc {j} $ для $ 0 \ le t \ le \ pi $. Область и кривая проиллюстрированы приведенным ниже апплетом.

    Площадь внутри синусоидальной кривой. Кривая $ \ dlc $, параметризованная параметром $ \ dllp (t) = (\ sin 2t, \ sin t) $ для $ 0 \ le t \ le \ pi $, является ориентированной против часовой стрелки границей области $ D $, показанной заштрихованной в синем.Когда вы указываете $ t $, перетаскивая зеленую точку на ползунке, красная точка очерчивает кривую $ \ dllp (t) $. Кроме того, вы можете перетащить красную точку по кривой, а зеленая точка на ползунке указывает соответствующее значение $ t $. Можно вычислить площадь $ D $, используя теорему Грина и векторное поле $ \ dlvf (x, y) = (- y, x) / 2 $.

    Подробнее об апплете.

    Решение : Мы воспользуемся теоремой Грина, чтобы вычислить площадь, ограниченную кривой. Поскольку $ \ dlc $ – граница $ D $, ориентированная против часовой стрелки, площадь представляет собой линейный интеграл векторного поля $ \ dlvf (x, y) = \ frac {1} {2} (- y, x) $ вокруг кривой $ \ dlc $, параметризованной $ \ dllp (t) $.{\число Пи} = 1+ \ frac {1} {3} = \ frac {4} {3} \ end {выровнять *}

    Как нарисовать эллипс?

    Как нарисовать эллипс?

    Эми Шелл-Геллаш 2016-09-08 20:11:24

    Нарисовать круг легко. Откройте циркуль на длину радиуса, поместите конец циркуля в желаемый центр и проведите циркулем, чтобы нарисовать круг.Но как насчет двоюродного брата круга, эллипса? Как нарисовать это знаменитое коническое сечение?

    В старшей школе мы узнали, что его уравнение –

    .



    Что, если нам нужно нарисовать точный эллипс? Например, геодезистам, инженерам, машинистам и архитекторам часто требуется рисовать точные эллипсы на технических чертежах и планах. (Конечно, в 2016 году такие рисунки редко делаются вручную.) Есть несколько способов сделать это: физический метод, метод параллелограмма и механический метод.

    Рис. 1. Эллипс, нарисованный с помощью двух булавок и петли нить.

    Рис. 2. Физический способ рисования эллипса автором.

    Физический метод

    Что, если бы мы хотели нарисовать круг, но у нас не было компаса? Мы могли бы поместить булавку в центр круга, обернуть вокруг нее веревку, натянуть петлю карандашом и обвести круг.

    Этот физический метод можно изменить, чтобы нарисовать эллипс. Одной из характеристик эллипса является то, что это набор точек, общее расстояние которых от двух фиксированных точек, называемое фокусами , является постоянным. На рисунке 1 фокусами являются точки F1 и F2 , в то время как общая постоянная длина равна r1 + r2.

    Чтобы нарисовать наш эллипс, нам понадобится петля из веревки, карандаш и две булавки. Ставим булавки там, где хотим фокусы. Чем дальше друг от друга фокусы, тем эксцентричнее (длиннее и тоньше) эллипс. Оберните веревку вокруг обеих булавок, вставьте карандаш, натяните и начните рисовать. У меня получилось очень хорошо с первой попытки (см. Рис. 2).

    Это простой и интересный способ нарисовать эллипс, но он не очень полезен для технического рисования. Мы можем рассчитать размер цикла, но связать верёвку будет непросто.

    Рис. 3. Метод параллелограмма рисования эллипса.

    Метод параллелограмма

    Второй метод рисования эллипса заключается в нанесении точек, но без использования алгебраического уравнения, как мы это делали в старшей школе. Этот метод часто называют методом параллелограмма.

    Начнем с рисования прямоугольника с размерами, равными большой и малой осям. Проведите перпендикулярные линии AB и CD через центр прямоугольника и перпендикулярно сторонам.Отметьте AB и вертикальные стороны прямоугольника одинаковым количеством равноотстоящих точек и пронумеруйте их, как показано на рисунке 3. Обратите внимание, что расстояние между точками в двух направлениях будет одинаковым, только если мы начали с квадрат, и в этом случае эллипс будет кругом.

    Проведите луч из D через единичную метку на AB и луч из C через соответствующую единичную метку на стороне прямоугольника. Например, нарисуйте линию от D до 3 на AB и линию от C до 3 на вертикальной шкале слева.Каждая пара линий встретится в точке эллипса. (Заинтересованный читатель может пожелать это доказать.) Продолжайте этот процесс и соедините точки.

    В этом методе используются только бумага, карандаш, линейка и способ рисования прямоугольника и серединных перпендикуляров (это можно сделать с помощью циркуля). Он позволяет рисовать эллипс любого размера и формы и требует только длины большой и малой осей.

    Но на это уходит много времени, он оставляет после себя множество отметок, которые не нужны на техническом или архитектурном чертеже, и, поскольку он дает только конечное количество точек на эллипсе, требует соединения точек вручную.

    Механический метод

    Специалисты в XIX – первой половине XX веков обращались к механическим устройствам для рисования эллипсов. Такие устройства известны как эллипсографы , (или иногда эллиптографы).

    Рисунок 4. Бегущий путь Архимеда.

    Эллипсографы

    могут быть простыми или сложными, в зависимости от потребностей профессионала. Но почти все эллипсографы основаны на простом устройстве, восходящем к древним грекам, известном как трамвай Архимеда или просто трамвай.Их легко сделать, и в Интернете есть видеоролики и инструкции, как сделать их самостоятельно. Их даже можно найти в некоторых магазинах, продающих игрушки ручной работы.

    Как они работают? Короче говоря, две дорожки сделаны под прямым углом друг к другу. В каждую дорожку ставят ползунок, а к ползункам прикрепляют перекладину с карандашом на одном конце. По мере движения карандаша ползунки на направляющих ограничивают движение перекладины, и карандаш рисует эллипс (см. Рисунок 4).

    Чтобы увидеть, что кривая представляет собой эллипс, пусть p будет расстоянием между ползунками, а q будет расстоянием от карандаша до ближайшего ползунка.Пусть следы трамвая будут осями x и y , ⁡ θ будет углом, который перекладина образует с осью x, и ( x, y ) будет положением карандаша. Тогда sin⁡ θ = y / q и cos⁡ θ = x / p + q . Отсюда следует, что карандаш очерчивает кривую

    Рис. 5. Эллипсограф девятнадцатого века в классе.

    Рис. 6. Эллипсограф Omicron 1950-х годов.

    Рис. 7. Циклоэллипто-пантограф Уайта.

    Вуаля! Эллипс! Обратите внимание, что и p + q и q – длины большой и малой полуосей соответственно.

    В Смитсоновском национальном музее американской истории есть набор из восьми эллипсографов, произведенных как американскими, так и европейскими фирмами, для использования в классе и профессионалами.

    Рисунок 5 представляет собой деревянную катушку 1800-х годов для классной комнаты. Его перекладина составляет 36 сантиметров, а гусеницы – по 19 сантиметров.На дальнем левом конце перекладины все еще есть меловая пыль, так что этот эллипсограф, вероятно, был прижат к классной доске.

    Эллипсограф на рисунке 6 был произведен компанией Omicron в 1950-х годах и использовался чертежниками. Он использует те же идеи, что и выше; однако этот рисует только половину эллипса.

    Рис. 8. Эллипсограф Стэнли, 1888 г.

    Если вы хотите пофантазировать и рисовать эллипсы большего разнообразия, вы могли бы использовать эллипсограф, такой как William W.Циклоэллипто-пантограф Уайта конца XIX века (рисунок 7). Как следует из названия, дизайнер утверждает, что он способен делать гораздо больше, чем рисовать эллипсы. Хотя он сильно отличается от устройств в стиле трамвая, в нем используется та же основная теория. Этот с цепным приводом вращается вокруг точки под ручкой, расположенной примерно в середине устройства. Различные диски изменяют способ вращения полосы на левом конце, чтобы нарисовать эллипс, в то время как размещение точки поворота регулирует эксцентриситет эллипса.

    У Смитсоновского института есть и другие эллипсографы, которые рисуют эллипсы через ряд шестерен, например устройство на рисунке 8, произведенное компанией Стэнли в конце 1880-х годов и первоначально принадлежавшее Смитсоновской астрофизической обсерватории.

    Вы можете просмотреть все восемь эллипсографов Смитсоновского института на s.si.edu/1Qxow5h.

    Эми Шелл-Геллаш – доцент математики в колледже Монтгомери в Роквилле, штат Мэриленд. Она историк математики и работает волонтером в Смитсоновском национальном музее американской истории в Вашингтоне, где можно найти множество интересных математических и компьютерных объектов.

    Эл. Почта : [email protected]

    http://dx.doi.org/10.4169/mathhorizons.23.4.23

    © MAA. Просмотреть все статьи.

    Как нарисовать эллипс?
    /article/How+Do+We+Draw+an+Ellipse%3F/2426405/294160/article.html

    Меню

    Список выпусков

    Ноябрь 2017

    сентябрь 2017

    апрель 2017

    Февраль 2017

    ноябрь 2016

    сентябрь 2016

    апрель 2016

    апрель 2015

    апрель 2014

    апрель 2013

    Февраль 2013

    ноябрь 2012

    сентябрь 2012

    апрель 2012

    Февраль 2012

    ноябрь 2011

    сентябрь 2011

    апрель 2011

    Февраль 2011

    ноябрь 2010

    сентябрь 2010

    апрель 2010

    Февраль 2010

    апрель 2009


    Библиотека

    Учебное пособие по физике: трассировка лучей и решение проблем

    В предыдущей части Урока 2 мы узнали о математическом уравнении, связывающем два угла (углы падения и преломления) и показатели преломления двух материалов с каждой стороны границы.Уравнение известно как уравнение закона Снеллиуса и выражается следующим образом.

    n i • синус (Θi) = nr * синус (Θr)
    где Θi (“theta i”) = угол падения

    Θr (“тета r”) = угол преломления

    n i = показатель преломления падающей среды

    n r = показатель преломления преломляющей среды

    Как и любое уравнение в физике, уравнение закона Снеллиуса ценится за его предсказательную способность.Если известны какие-либо три из четырех переменных в уравнении, четвертую переменную можно предсказать, если использовать соответствующие навыки решения проблем. В этой части Урока 2 мы исследуем несколько типов проблем, которые вам придется решать, и изучим задачу отслеживания преломленного луча, если заданы падающий луч и показатели преломления.


    Пример задачи A
    Луч света в воздухе приближается к границе с водой под углом 52 градуса.Определите угол преломления светового луча. При необходимости обратитесь к таблице показателей преломления.

    Решение проблемы A

    Решение этой проблемы начинается, как и любая проблема: строится диаграмма, помогающая визуализировать физическую ситуацию, перечисляются известные значения и идентифицируется неизвестное значение (желаемое количество).Это показано ниже:

    Схема:

    Дано:

    n i = 1,00 (из таблицы)

    n r = 1,333 (из таблицы)

    Θi = 52 градуса

    Находят:

    Θr = ??

    Теперь перечислите соответствующее уравнение (закон Снеллиуса), подставьте известные значения в уравнение и выполните соответствующие алгебраические действия, чтобы найти неизвестное.

    n i • синус (Θi) = nr * синус (Θr)

    1,00 * синус (52 градуса) = 1,333 * синус (Θr)

    0,7880 = 1,333 * синус (Θr)

    0,591 = синус (Θr)

    синус -1 (0,591) = синус -1 (синус (Θr))

    36,2 градуса = Θr

    Правильная алгебра дает ответ 36,2 градуса для угла преломления.Когда закончите, всегда полезно применить принципы FST и SFA для проверки вашего числового ответа. В этой задаче световой луч перемещается из менее оптически плотной или быстрой среды (воздуха) в более оптически плотную или медленную среду (воду), и поэтому световой луч должен преломляться в направлении нормали – FST. Таким образом, угол преломления должен быть меньше угла преломления. И это действительно так – 36,2 градуса (тета r) меньше 52,0 градуса (тета i). Использование этого концептуального критерия для проверки вашего ответа часто может помочь определить неправильные решения проблем.


    Пример задачи B
    Луч света в воздухе приближается к границе со слоем коронного стекла под углом 42,0 градуса. Определите угол преломления светового луча при входе в стекло короны и выходе из стекла короны. При необходимости обратитесь к таблице показателей преломления.

    Решение проблемы B

    Эта задача немного сложнее задачи А, поскольку преломление происходит на двух границах.Это пример задачи слоя , в которой свет преломляется при входе в слой (граница №1: воздух-верхнее стекло) и снова при выходе из слоя (граница №2: верхнее стекло-воздух). Несмотря на эту сложность, решение начинается так же, как и вышеупомянутая проблема: строится диаграмма, помогающая визуализировать физическую ситуацию, перечисляются известные значения и идентифицируется неизвестное значение (желаемое количество). Это показано ниже:

    Диаграмма:

    Обратите внимание, что угол

    преломление на границе # 1

    совпадает с углом

    Заболеваемость

    на границе №2.

    Данный:

    Граница № 1

    n i = 1,00 (из таблицы)

    n r = 1,52 (из таблицы)

    Θi = 42,0 градуса

    Граница № 2

    n i = 1,52 (из таблицы)

    n r = 1,00 (из таблицы)

    Находить:

    Θr по

    граница № 1

    и

    Θr по

    граница № 2

    Теперь перечислите соответствующее уравнение (закон Снеллиуса), подставьте известные значения в уравнение и выполните соответствующие алгебраические действия, чтобы найти неизвестное.Начните процесс с границы № 1, а затем повторяйте для границы № 2, пока не будет найден окончательный ответ.

    Граница # 1:
    n i • синус (Θi) = nr * синус (Θr)

    1,00 * синус (42,0 градуса) = 1,52 * синус (Θr)

    0,669 = 1,52 * синус (Θr)

    0,4402 = синус (Θr)

    синус -1 (0,4402) = синус -1 (синус (Θr))

    26.1 градус = Θr

    Значение 26,1 градуса соответствует углу преломления на границе №1. Поскольку граница №1 параллельна границе №2, угол преломления на границе №1 будет таким же, как угол падения на границе №2 (см. Диаграмму выше). Итак, теперь повторите процесс, чтобы найти угол преломления на границе №2.

    Граница # 2:
    n i • синус (Θi) = nr * синус (Θr)

    1.52 * синус (26,1 градуса) = 1,00 * синус (Θr)

    1,52 * (0,4402) = 1,00 * синус (Θr)

    0,6691 = синус (Θr)

    синус -1 (0,6691) = синус -1 (синус (Θr)

    42,0 градуса = Θr

    Ответы на эту проблему: 26,1 градуса и 42,0 градуса.

    Существует важная концептуальная идея, которая обнаруживается при рассмотрении приведенного выше ответа.Луч света приближался к верхней поверхности слоя под углом 42 градуса и выходил через нижнюю поверхность слоя под таким же углом 42 градуса. Луч света преломлял одно направление при входе и другое направление при выходе; два отдельных эффекта уравновешивают друг друга, и луч движется в одном направлении. Важное понятие:

    Когда свет приближается к слою, имеющему форму параллелограмма, который ограничен с обеих сторон одним и тем же материалом, тогда угол, под которым свет входит в материал, равен углу, под которым свет выходит из слоя.

    Если слой не является параллелограммом или не ограничен с обеих сторон одним и тем же материалом, то этого не будет. Знание этой концепции позволит вам быстро проверить ответ в подобной ситуации.


    Пример задачи C

    Луч света в воздухе приближается к треугольному куску стекла короны под углом 0,00 градуса (как показано на диаграмме справа).Выполните необходимые вычисления, чтобы проследить путь светового луча, когда он входит и выходит из стекла короны. При необходимости обратитесь к таблице показателей преломления.

    Решение проблемы C

    Эта задача даже сложнее, чем практическая задача B. Как и практическая задача B, есть две границы; но в отличие от Задачи B, две границы не параллельны друг другу.Проблему можно рассматривать как проблему слоя, в которой свет преломляется при входе в стекло (граница № 1: воздух в верхнее стекло) и при выходе из стекла (граница № 2: из верхнего стекла в воздух).

    Несмотря на сложность наличия непараллельных границ, решение начинается так же, как и вышеупомянутая проблема: строится диаграмма, помогающая визуализировать физическую ситуацию, перечисляются известные значения и идентифицируется неизвестное значение (желаемое количество). Это показано ниже:

    Диаграмма:

    Данный:

    Граница № 1

    n i = 1.00 (из таблицы)

    n r = 1,52 (из таблицы)

    Θi = 0,0 градуса

    Граница № 2

    n i = 1,52 (из таблицы)

    n r = 1,00 (из таблицы)

    Находить:

    След света.

    То есть найдите Θr по адресу

    граница № 1

    и

    Θi и Θr по тарифу

    граница № 2

    Теперь перечислите соответствующее уравнение (закон Снеллиуса), подставьте известные значения в уравнение и выполните соответствующие алгебраические действия, чтобы найти неизвестное.Начните процесс с границы № 1, а затем повторяйте для границы № 2, пока не будет найден окончательный ответ.

    Граница # 1:
    n i • синус (Θi) = nr * синус (Θr)

    1,00 * синус (0,0 градуса) = 1,52 * синус (Θr)

    0,000 = 1,52 * синус (Θr)

    0,000 = синус (Θr)

    синус -1 (0,000) = синус -1 (синус (Θr))

    0.00 градусов = Θr

    Эта проблема упрощается, если вы опираетесь на свои концептуальные знания о том, что происходит, когда луч света приближается под углом падения 0 градусов (вспомните страницу «Если бы я был рыбой-лучником»). При приближении по нормали световой луч проходит через границу, не преломляясь. Если бы вы этого не знали, то вы бы просто узнали это, выполнив свой первый расчет угла преломления на первой границе.Тот факт, что ответ – 0 градусов – то же самое, что и угол падения – означает, что свет не преломлялся на этой границе.

    Следующий шаг требует, чтобы луч света проходил через треугольный блок, пока не достигнет второй границы. Нарисуйте преломленный луч под углом 0 градусов (т. Е. Проследите падающий луч прямо через первую границу). На второй границе необходимо провести нормальную линию (обозначенную буквой N) и измерить угол падения (между падающим лучом и нормалью).Это показано на диаграмме справа. Измеренное значение угла падения на второй границе 30,0 градуса. Это измерение угла теперь обеспечивает знание трех из четырех переменных в уравнении закона Снеллиуса и позволяет определить четвертую переменную (угол преломления) на второй границе.

    (Примечание: данные угловые меры для треугольника 30-60-90 градусов могут использоваться вместе с тем фактом, что любые три угла треугольника добавляют к 180 градусам, чтобы геометрически определить эту угловую меру.)

    Граница # 2:
    n i • синус (Θi) = nr * синус (Θr)

    1,52 * синус (30,0 градусов) = 1,00 * синус (Θr)

    1,52 * (0,5000) = 1,00 * синус (Θr)

    0,7600 = синус (Θr)

    синус -1 (0,7600) = синус -1 (синус (Θr))

    49,5 градусов = Θr

    преломленный луч на второй границе выйдет под углом 49.5 градусов от нормы. Его можно измерить на диаграмме и нарисовать линейкой, как показано на диаграмме справа.

    Приведенные выше три практических задачи демонстрируют выборку множества проблем, с которыми можно столкнуться. В следующей части Урока 2 мы увидим еще один тип проблем.


    Хотим предложить… Зачем просто читать об этом и когда можно с этим взаимодействовать? Взаимодействие – это именно то, что вы делаете, когда используете одну из интерактивных функций The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего Refraction Interactive. Вы можете найти его в разделе Physics Interactives на нашем сайте. Refraction Interactive предоставляет учащемуся интерактивную среду для изучения преломления и отражения света на границе между двумя материалами.

    Проверьте свое понимание

    1. Определите угол преломления для следующих двух задач преломления.


    2. Выполните необходимые вычисления на каждой границе, чтобы проследить путь светового луча через следующие серии слоев. Используйте транспортир и линейку и покажите всю свою работу.


    3. Луч света в стекле короны выходит в воздух под углом 25,0 градуса. Определите угол, под которым свет приближается к границе стекло-воздух. При необходимости обратитесь к таблице показателей преломления.


    4. Луч света движется по воздуху (n = 1,00) к блоку Lucite (n = 1.40) в форме треугольника 30-60-90. Проследите путь светового луча через блок Lucite, показанный на диаграмме ниже.

    Эффекты трехмерного переноса излучения при воздушном и наземном дистанционном зондировании газовых примесей

    Берше А., Зинк К., Мюллер К., Эттл Д., Бруннер Дж., Эмменеггер Л. и Бруннер, Д .: Экономичный метод моделирования воздушных потоков в масштабах города и Рассеивание загрязняющих веществ в разрешающей способности здания, Атмосфер.Environ., 158, 181–196, 2017. a

    Берк, А., Андерсон, Г.П., Бернштейн, Л.С., Ачарья, П.К., Доте, Х., Мэтью, М.В., Адлер-Голден, С.М., Четвинд, младший, Дж. Х., Рихтсмайер, Южная Каролина, Пукал, Б., Оллред, К.Л. , Джеонг, Л.С., и Хок, М.Л .: Моделирование переноса излучения MODTRAN4 для атмосферных Коррекция, в: Оптические спектроскопические методы и приборы для атмосферные и космические исследования III, т. 3756, 348–353, международный Общество оптики и фотоники, Денвер, Колорадо, США, 1999.a

    Boersma, KF, Eskes, HJ, Dirksen, RJ, van der A, RJ, Veefkind, JP, Stammes, P., Huijnen, V., Kleipool, QL, Sneep, M., Claas, J., Leitão , J., Richter, A., Zhou, Y., and Brunner, D .: Улучшенный алгоритм поиска столбца тропосферы NO 2 для прибора мониторинга озона, Atmos. Измер. Tech., 4, 1905–1928, https://doi.org/10.5194/amt-4-1905-2011, 2011. a

    Берроуз, Дж. П., Вебер, М., Бухвиц, М., Розанов, В., Ладштеттер-Вайсенмайер, А., Рихтер, А., DeBeek, R., Hoogen, R., Bramstedt, K., Eichmann, K.U., Eisinger, M., and Perner, D .: Глобальный мониторинг озона. эксперимент (GOME): концепция миссии и первые научные результаты, J. Atmos. Sci., 56, 151–175, 1999. а

    Casaballe, N., Di Martino, M., Osorio, M., Ferrari, J., Wagner, T., and Frins, E .: Улучшенный алгоритм с адаптивной регуляризацией для томографических исследований. реконструкция газораспределения по измерениям DOAS, Прил. Оптика, 59, D179 – D188, 2020. a

    Deutschmann, T., Beirle, S., Frieß, U., Grzegorski, M., Kern, C., Kritten, L., Platt, U., Prados-Román, C., Puķı¯te, J., Wagner, T., Вернер Б. и Пфейлстикер, К .: Модель переноса излучения в атмосфере Монте-Карло. МакАртим: Введение и проверка якобианов и трехмерных объектов, Дж. Quant. Spectrosc. Ра., 112, 1119–1137, г. https://doi.org/10.1016/j.jqsrt.2010.12.009, 2011. a, b

    Dimitropoulou, E., Van Roozendael, M., Hendrick, F., Merlaud, A., Так, Ф., Файт, К., Херманс, К., и Пинарди, Г.: Один год 3-D MAX-DOAS тропосферный NO 2 измерений над Брюсселем, в: EGU General Тезисы конференций Ассамблеи, Конференция Генеральной Ассамблеи EGU, 7–12 апреля 2019 г., Вена, Австрия, 5874, 2019.a

    Эмде, К. и Майер, Б.: Моделирование солнечной радиации во время полного затмения: проблема переноса излучения, Атмос. Chem. Phys., 7, 2259–2270, https://doi.org/10.5194/acp-7-2259-2007, 2007. a, b

    Emde, C., Buras-Schnell, R., Kylling, A. , Майер, Б., Гастайгер, Дж., Хаман, У., Киллинг, Дж., Рихтер, Б., Пауза, К., Даулинг, Т., и Бульяро, Л.: программный пакет libRadtran для расчетов переноса излучения. (версия 2.0.1), Geosci. Model Dev., 9, 1647–1672, https: // doi.org / 10.5194 / gmd-9-1647-2016, 2016. a, b

    Emde, C., Buras-Schnell, R., Sterzik, M., and Bagnulo, S .: Влияние аэрозолей, облаков и солнечных лучей по поляризационным спектрам земного сияния, Астрон. Astrophys., 605, A2, https://doi.org/10.1051/0004-6361/201629948, 2017. a

    Франкенберг, К., Платт, У., и Вагнер, Т .: Итерационный максимум апостериори (IMAP ) -DOAS для извлечения сильно поглощающих газовых примесей: модельные исследования для извлечения CH 4 и CO 2 из ближнего инфракрасного спектра SCIAMACHY на борту ENVISAT, Atmos.Chem. Phys., 5, 9–22, https://doi.org/10.5194/acp-5-9-2005, 2005. a

    Frieß, U., Monks, P., Remedios, J., Rozanov, A ., Sinreich, R., Wagner, T. и Platt, U .: Измерения MAX-DOAS O4: новый метод получения информация об атмосферных аэрозолях: 2. Моделирование, J. Geophys. Res.-Atmos., 111, D14203, https://doi.org/10.1029/2005JD006618, 2006. a

    Фринс, Э., Бобровски, Н., Платт, У., Вагнер, Т .: Томографический многоосно-дифференциальная спектроскопия оптического поглощения Освещенные солнцем цели: метод, обеспечивающий четко определенные пути поглощения в пограничном слое, Прил.Optics, 45, 6227–6240, 2006. a

    Hendrick, F., Müller, J.-F., Clémer, K., Wang, P., De Mazière, M., Fayt, C., Gielen, C. ., Херманс, К., Ма, Дж. З., Пинарди, Г., Ставраку, Т., Влеммикс, Т., и Ван Рузендал, М .: Четыре года наземных наблюдений MAX-DOAS HONO и NO 2 в районе Пекина, Атмос. Chem. Phys., 14, 765–781, https://doi.org/10.5194/acp-14-765-2014, 2014. a

    Хеннингер Г. и Платт У.: Наблюдения за BrO и его вертикалью. распределение во время истощения приземного озона в Alert, Atmos.Environ., 36, 2481–2489, 2002. a

    Irie, H., Takashima, H., Kanaya, Y., Boersma, KF, Gast, L., Wittrock, F., Brunner, D., Zhou, Y., Van Roozendael, M .: Восемь компонентов восстановления из наземных наблюдений MAX-DOAS, Atmos. Измер. Tech., 4, 1027–1044, https://doi.org/10.5194/amt-4-1027-2011, 2011. a, b

    Ивабучи, Х .: Эффективные методы Монте-Карло для моделирования переноса излучения, J. Atmos. Sci., 63, 2324–2339, 2006. a

    Ивабучи, Х. и Окамура, Р .: Мультиспектральный перенос излучения методом Монте-Карло. моделирование методом максимального сечения, J.Quant. Spectrosc. Ra., 193, 40–46, 2017. a

    Kazahaya, R., Mori, T., Kazahaya, K., and Hirabayashi, J.-I .: Computed томографическая реконструкция распределения концентрации SO 2 в вулканической шлейф Миякедзима, Япония, методом полета по воздуху с использованием трех ультрафиолетовых лучей. спектрометры, геофизика. Res. Lett., 35, L13816, https://doi.org/10.1029/2008GL034177, 2008. a

    Krings, T., Gerilowski, K., Buchwitz, M., Reuter, M., Tretner, A., Erzinger , Дж., Хайнце, Д., Пфлюгер, У., Берроуз, Дж. П., и Бовенсманн, Х .: MAMAP – новая система спектрометра для усредненных по столбцам наблюдений за метаном и углекислым газом с самолетов: алгоритм извлечения и первые инверсии для интенсивностей выбросов точечных источников, Atmos. Измер. Tech., 4, 1735–1758, https://doi.org/10.5194/amt-4-1735-2011, 2011. a

    Krings, T., Gerilowski, K., Buchwitz, M., Hartmann, J ., Сакс, Т., Эрцингер, Дж., Берроуз, Дж. П. и Бовенсманн, Х .: Количественная оценка уровней выбросов метана из вентиляционных шахт угольных шахт с использованием данных дистанционного зондирования с воздуха, Atmos.Измер. Tech., 6, 151–166, https://doi.org/10.5194/amt-6-151-2013, 2013. a

    Крюгер, А. Дж., Вальтер, Л. С., Бхартия, П. К., Шнетцлер, К. К., Кротков, Н. А., Спрод И. и Блат Г. Дж. С. Измерения вулканического диоксида серы. от инструментов спектрометра картирования общего содержания озона, J. ​​Geophys. Res.-Atmos., 100, 14057–14076, 1995. a

    Леро, К., Ван Розендаль, М., Ламберт, Ж.-К., Гранвилл, Дж., Ван Гент, Дж., Лойола, Д., Спурр, Р.: Алгоритм GODFIT: подход, основанный на прямом подходе к повысить точность измерений общего содержания озона от GOME, Int.J. Remote Sens., 31, 543–550, 2010. a

    Марчук, Г.И., Михайлов, Г.А., Назаралиев, М.А.: Методы Монте-Карло в атмосферной оптике, Серия Springer в оптических науках, Спрингер, Берлин, Германия, 1980. a

    Маршак А. и Дэвис А. Трансфер в облачной атмосфере, Шпрингер, Гейдельберг, Германия, https://doi.org/10.1007/3-540-28519-9, 2005. a

    Мартин, Р. В., Якоб, Д. Дж., Чанс, К., Куросу, Т. П., Палмер П. И. и Эванс, М. Дж .: Глобальная инвентаризация выбросов оксида азота, ограниченная космические наблюдения NO 2 колонок, J.Geophys. Res., 108, 4537, https://doi.org/10.1029/2003JD003453, 2003. a

    Майер, Б.: Перенос излучения в облачной атмосфере, в: EPJ Web of Conferences, EDP Sciences, Les Ulis, France, vol. 1, 75–99, https://doi.org/10.1140/epjconf/e2009-00912-1, 2009. a

    Майер Б. и Киллинг А. Техническое примечание: пакет программного обеспечения libRadtran для расчета переноса излучения – описание и примеры использования, Атмос. Chem. Phys., 5, 1855–1877, https://doi.org/10.5194/acp-5-1855-2005, 2005.a, b, c

    Mayer, B., Emde, C., Gasteiger, J., and Kylling, A .: libRadtran, доступно по адресу: http://www.libradtran.org, последний доступ: 12 августа 2020 г. a

    Макпетерс, Р.Д., Фрит, С., и Лабоу, Г.Дж.: Общий озон в атмосферном столбе OMI: расширение долгосрочных данных, Atmos. Измер. Tech., 8, 4845–4850, https://doi.org/10.5194/amt-8-4845-2015, 2015. a

    Mijling, B., van der A, RJ, and Zhang, Q .: Regional Тенденции выбросов оксидов азота в Восточной Азии, наблюдаемые из космоса, Атмос.Chem. Phys., 13, 12003–12012, https://doi.org/10.5194/acp-13-12003-2013, 2013. a

    Nowlan, CR, Liu, X., Leitch, JW, Chance, K., Гонсалес Абад, Г., Лю, К., Зугман, П., Коул, Дж., Делкер, Т., Гуд, В., Мюркрей, Ф., Рупперт, Л., Су, Д., Фоллетт-Кук, MB, Янц, SJ, Ковалевски, MG, Loughner, CP, Пикеринг, KE, Герман, JR, Бивер, MR, Long, RW, Szykman, JJ, Judd, LM, Kelley, P., Люк, WT, Ren, X ., и Аль-Саади, Дж. А.: Наблюдения за диоксидом азота с помощью бортового прибора для оптимизации геостационарных газовых и аэрозольных датчиков (GeoTASO): алгоритм поиска и измерения во время DISCOVER-AQ Texas 2013, Atmos.Измер. Tech., 9, 2647–2668, https://doi.org/10.5194/amt-9-2647-2016, 2016. a

    Oettl, D. Обеспечение качества прогнозной микромасштабной модели поля ветра. GRAL 14.8 с использованием данных аэродинамической трубы, предоставленных немецким директивой VDI 3783-9, J. Wind Eng. Ind. Aerod., 142, 104–110, https://doi.org/10.1016/j.jweia.2015.03.014, 2015. а

    Палмер, П. И., Джейкоб, Д. Дж., Ченс, К., Мартин, Р. В., Сперр, Р. Дж., Куросу, Т. П., Бей И., Янтоска Р., Фиоре А. и Ли К. Фактор массы воздуха. формулировка для спектроскопических измерений со спутников: Приложение к извлечение формальдегида из эксперимента по глобальному мониторингу озона, J.Geophys. Рес.-Атмос., 106, 14539–14550, 2001. а, б

    Платт У. и Штутц Дж.: Дифференциальная спектроскопия оптического поглощения: принципы и приложения, Springer Verlag, Берлин, Гейдельберг, Германия, 2008. a

    Попп, К., Бруннер, Д., Дамм, А., Ван Роозендал, М., Файт, К., и Бухманн, Б.: Дистанционное зондирование NO2 с высоким разрешением с помощью визуализирующего спектрометра Airborne Prism EXperiment (APEX), Atmos. Измер. Tech., 5, 2211–2225, https://doi.org/10.5194/amt-5-2211-2012, 2012. a

    Постыляков, О.: Модель переноса излучения MCC ++ с оценкой взвешивания функции в сферической атмосфере для использования в алгоритмах поиска, Adv. Space Res., 34, 721–726, 2004. a

    Puīte, J., Kühl, S., Deutschmann, T., Dörner, S., Jöckel, P., Platt, U., and Wagner, T. : Влияние горизонтальных градиентов и пространственного разрешения измерений на восстановление глобального вертикального распределения NO2 из измерений SCIAMACHY в режиме только конечностей, Atmos. Измер. Tech., 3, 1155–1174, https://doi.org/10.5194/amt-3-1155-2010, 2010.a

    Рихтер, А., Айринг, В., Берроуз, Дж. П., Бовенсманн, Х., Лауэр, А., Сирк, Б., и Крутцен, П. Дж .: спутниковые измерения NO 2 от выбросов от международных морских перевозок, Geophys. Res. Lett., 31, L23110, https://doi.org/10.1029/2004GL020822, 2004. a

    Richter, A., Godin, S., Gomez, L., Hendrick, F., Hocke, K., Langerock , Б., ван Рузендал, М., и Вагнер, Т .: Пространственная репрезентативность НОРС наблюдения, Тех. представитель, Сеть наземных наблюдений дистанционного зондирования для атмосферной службы GMES, Отчет Института физики окружающей среды Бременского университета, Бремен, Германия, доступен по адресу: http: // nors.aeronomie.be/projectdir/PDF/D4.4_NORS_SR.pdf (последний доступ: 12 августа 2020 г.), 2013 г. a

    Розанов А., Розанов В., Бухвиц М., Кохановский А. и Берроуз Дж .: SCIATRAN 2.0 – новая модель переноса излучения для геофизических приложений в спектральной области 175–2400 нм, Adv. Космические исследования, 36, 1015–1019, 2005. a, b

    Розанов В. В., Розанов А. В. Концепция дифференциальной спектроскопии оптического поглощения (ДОАС) и фактора массы воздуха для многократно рассеивающей вертикально неоднородной среды: теоретическое рассмотрение, Оптика атмосф.Измер. Tech., 3, 751–780, https://doi.org/10.5194/amt-3-751-2010, 2010. a, b

    Russell, AR, Valin, LC, and Cohen, RC: Trends in OMI Наблюдения за NO2 над Соединенными Штатами: влияние технологий контроля выбросов и экономический спад, Атмос. Chem. Phys., 12, 12197–12209, https://doi.org/10.5194/acp-12-12197-2012, 2012. a

    Schaub, D., Brunner, D., Boersma, KF, Keller, J. , Folini, D., Buchmann, B., Berresheim, H., and Staehelin, J .: SCIAMACHY тропосфера NO 2 над Швейцарией: оценки продолжительности жизни NOx и влияние сложной альпийской топографии на извлечение, Atmos.Chem. Phys., 7, 5971–5987, https://doi.org/10.5194/acp-7-5971-2007, 2007. a

    Schönhardt, A., Altube, P., Gerilowski, K., Krautwurst, S ., Хартманн, Дж., Мейер, А.С., Рихтер, А., и Берроуз, Дж. П.: Инструмент DOAS с широким полем обзора для двумерного картирования газовых примесей с самолетов, Atmos. Измер. Tech., 8, 5113–5131, https://doi.org/10.5194/amt-8-5113-2015, 2015. a

    Schwaerzel, M., Emde, C., Brunner, D., Morales, R ., Вагнер, Т., Берн, А., Бухманн, Б., и Кульман, Г.: Набор данных – Эффекты трехмерного переноса излучения при дистанционном зондировании газовых примесей с воздуха и на земле, Zenodo, https://doi.org/10.5281/zenodo.3948112, 2020. a

    Соломон, С., Шмельтекопф, А. Л. и Сандерс, Р. В .: Об интерпретации измерений поглощения в зенитном небе, J. Geophys. Res., 92, 8311–8319, 1987. a

    Спурр, Р., Куросу, Т., и Чанс, К.: Линеаризованная модель переноса излучения с дискретными ординатами для атмосферного дистанционного зондирования, J. Quant. Spectrosc.Ra., 68, 689–735, 2001. a

    Strandgren, J., Krutz, D., Wilzewski, J., Paproth, C., Sebastian, I., Gurney, KR, Liang, J., Roiger, A., и Butz, A .: К космическому мониторингу локализованных выбросов CO 2 : концепция прибора и первая оценка эффективности, Atmos. Измер. Tech., 13, 2887–2904, https://doi.org/10.5194/amt-13-2887-2020, 2020. a

    Tack, F., Merlaud, A., Iordache, M.-D., Danckaert, T., Yu, H., Fayt, C., Meuleman, K., Deutsch, F., Fierens, F. , и Ван Рузендаль, М.: Картирование с высоким разрешением пространственного распределения NO2 над бельгийскими городскими районами на основе данных дистанционного зондирования с воздуха APEX, Atmos. Измер. Tech., 10, 1665–1688, https://doi.org/10.5194/amt-10-1665-2017, 2017. a

    Комитет США по расширению стандартной атмосферы: стандарт США Атмосфера, т. 76, Национальное управление океанических и атмосферных исследований, Национальное управление океанических и атмосферных исследований и США, United States States Air Force, Вашингтон, округ Колумбия, США, 1976 г. a, b, c

    Wagner, T., Dix, B. v., Friedeburg, C. v., Frieß, U., Sanghavi, S., Синрайх Р. и Платт У.: Измерения MAX-DOAS O4: новый метод для получать информацию об атмосферных аэрозолях – Принципы и информация содержание, J. Geophys. Res.-Atmos., 109, D22205, https://doi.org/10.1029/2004JD004904, 2004. a

    Wagner, T., Burrows, JP, Deutschmann, T., Dix, B., von Friedeburg, C. ., Frieß, U., Hendrick, F., Heue, K.-P., Irie, H., Iwabuchi, H., Kanaya, Y., Keller, J., McLinden, CA, Oetjen, H., Palazzi , Э., Петритоли, А., Платт, У., Постыляков, О., Пуките, Дж., Рихтер, А., ван Розендаль, М., Розанов, А., Розанов, В., Синрейх, Р., Сангхави, С. ., и Виттрок, Ф .: Сравнение коэффициентов массы воздуха и яркости для многоосевой дифференциальной оптической спектроскопии поглощения (MAX-DOAS), рассчитанных на основе различных моделей переноса УФ / видимого излучения, Atmos. Chem. Phys., 7, 1809–1833, https://doi.org/10.5194/acp-7-1809-2007, 2007. a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k , l, m, n, o, p

    Вениг, М.О., Седе, А. М., Бучела, Э. Дж., Селарье, Э. А., Боерсма, К. Ф., Вифкинд, Дж. П., Бринксма, Э. Дж., Глисон, Дж. Ф. и Герман, Дж. Р .: Подтверждение плотности колонок OMI тропосферы NO 2 с использованием режима прямого солнечного света Измерения Брюера в Центре космических полетов имени Годдарда НАСА, J. Geophys. Res., 113, D16S45, https://doi.org/10.1029/2007JD008988, 2008. a

    Wu, FC, Xie, PH, Li, A., Chan, KL, Hartl, A., Wang, Y. , Si, FQ, Zeng, Y., Qin, M., Xu, J., Liu, JG, Liu, WQ, и Wenig, M.: Наблюдения SO 2 и NO 2 с помощью мобильного DOAS в восточной части Гуанчжоу во время Азиатских игр 2010 года, Атмос. Измер. Tech., 6, 2277–2292, https://doi.org/10.5194/amt-6-2277-2013, 2013. a

    Zhou, Y., Brunner, D., Hueglin, C., Henne, S. ., и Staehelin, J .: Изменения в OMI тропосфера NO 2 столбцов над Европой с 2004 по 2009 г. и влияние метеорологической изменчивости, Атмос. Environ., 46, 482–495, https://doi.org/10.1016/j.atmosenv.2011.09.024, 2012.a

    Оценка чрескожного поглощения тетрабромбисфенола A (TBBPA) у людей с использованием метода параллелограмма

    Abstract

    Тетрабромбисфенол A (TBBPA) в настоящее время является самым производимым бромированным антипиреном в мире. Люди часто подвергаются воздействию TBBPA через кожу. В настоящем исследовании параллелограммный подход использовался для прогнозирования дозы внутреннего облучения у облученных людей. Образцы кожи человека и крысы получали 100 нмоль TBBPA / см 2 кожи, и абсорбцию и пенетрантность определяли с использованием проточной системы in vitro .[ 14 C] -радиоактивность на основе TBBPA определяли с 6-часовыми интервалами в среде и через 24 часа после введения дозы в кожу. Кожа и среда человека содержали в среднем 3,4% и 0,2% от общей дозы в конечный момент времени, соответственно, в то время как кожа и среда крысы содержали 9,3% и 3,5% соответственно. У интактной крысы 14% введенной через кожу дозы ~ 100 нмоль / см 2 оставалось в коже в месте введения дозы, а дополнительные 8% достигли системного кровообращения через 24 часа после введения дозы.Относительная абсорбция и пенетрантность были меньше (всего 10%) через 24 часа после кожного введения крысам в десять раз более высокой дозы (~ 1000 нмоль / см 2 ). Однако к 72 часам 70% этой дозы либо абсорбировалось кожей в месте дозирования, либо достигло системного кровообращения. Из этих результатов ясно, что TBBPA может абсорбироваться кожей, и кожный контакт с TBBPA может представлять собой небольшой, но важный путь воздействия. Вместе эти данные in vitro, на коже человека и крысы и данные in vivo, , полученные на крысах, могут быть использованы для прогнозирования абсорбции TBBPA у людей после воздействия на кожу.На основании этого расчета параллелограмма до 6% наносимого на кожу TBBPA может быть биодоступным для людей, подвергшихся воздействию TBBPA.

    Ключевые слова: кожная биодоступность , бромированный антипирен, тетрабромбисфенол А, метод параллелограмма, стойкий органический загрязнитель электронные платы за счет реактивного химического включения (1).Нереактивное использование TBBPA в качестве добавки в потребительские товары может увеличиться в результате поэтапного отказа от смесей антипиренов на основе полибромдифенилового эфира (ПБДЭ) (2). Аддитивное использование TBBPA приводит к большему потенциалу выщелачивания продуктов в окружающую среду (3). TBBPA был обнаружен в образцах пыли на рабочем месте, в домашних условиях и в окружающей среде, что создает потенциальный риск воздействия на кожу, ротовую полость и вдыхание, особенно среди детей при контакте рук в рот (4, 5). В двухлетнем пероральном биоанализе, проведенном Национальной токсикологической программой (NTP), было показано, что TBBPA вызывает образование высокозлокачественных опухолей матки у крыс Wistar Han (6).Воздействие TBBPA вызывало снижение уровней тироксина в сыворотке крови крыс в нашей лаборатории (7), в исследовании NTP (6, 8), а также в исследовании одного поколения (9) и двух поколений (10). TBBPA изменяет экспрессию переносчиков оттока в печени (11, 12), но не является субстратом для этих переносчиков (13). Одно предыдущее исследование поглощения TBBPA человека in vitro дермальным путем, заказанное для регистрации, оценки, авторизации и ограничения химических веществ (REACH) в Европейском союзе, показало, что менее 2% от дозы 2 мг / см 2 TBBPA было биодоступный, с 0.73% дозы проникает через кожу и 0,9% дозы остается в коже через 24 ч после приема (14).

    Предыдущая работа охарактеризовала биодоступность TBBPA на моделях грызунов для поддержки оценки риска после перорального контакта с людьми (15-17). В настоящей работе представлены данные, подтверждающие оценку риска воздействия TBBPA на кожу человека. Здесь подход параллелограмма (18, 19) был использован для характеристики и сравнения степени кожной абсорбции и пенетрантности TBBPA in vivo у крыс и in vitro в коже крыс и человека для прогнозирования дозы внутреннего облучения людей после воздействие на кожу TBBPA.

    Исследования in vivo были проведены с использованием самок крыс Wistar Han и исследований in vitro, исследований были проведены с использованием кожи разделенной толщины (например, эпидермиса и верхней части дермы) от людей-доноров и самок крыс Wistar Han, подвергшихся воздействию TBBPA в проточная система, как описано ниже. Для экспериментов in vitro термин «абсорбированный» используется для описания части нанесенной дозы, обнаруженной внутри кожи, а «проникший» используется для описания химического вещества, которое полностью диффундировало через кожу в подлежащую жидкость (называемое « рецепторная жидкость ‘, аналогично количеству, достигающему системного кровотока после воздействия in vivo ) (20).Значения абсорбции и проникновения объединены для оценки биодоступности TBBPA.

    Методы и материалы

    Химические вещества

    [ 14 C]-меченый TBBPA (кольцевой;, лот № 3225-235, Perkin Elmer Life and Analytical Sciences [Бостон, Массачусетс], повторно очищенный в 2013 году компанией Moravek Биохимические вещества [Brea, CA]), использованные в этих исследованиях, имели радиохимическую чистоту> 98% (удельная активность = 90,3 мКи / ммоль) и химическая чистота> 98% по сравнению с эталонным стандартом TBBPA (Sigma-Aldrich; St .Луис, Миссури). Сцинтилляционные коктейли получали от MP Biomedicals (Ecolume; Санта-Ана, Калифорния), Perkin-Elmer (Ultima Gold & PermaFluor E +; Торранс, Калифорния) или Lablogic Inc. (Flow Logic U; Брэндон, Флорида). Все другие реагенты, использованные в этих исследованиях, были высокоэффективной жидкостной хроматографии (ВЭЖХ) или аналитической чистоты.

    Химическая структура TBBPA, звездочка указывает расположение радиоактивной метки.

    In vitro образцов кожи

    Человеческая кожа полной толщины была получена от National Disease Research Interchange (Филадельфия, штат Пенсильвания, США) у трех (1 мужчина, 2 женщины) белых людей в возрасте 71–77 лет (спинной / кожа лопатки, иссечение ≤ 12 ч после смерти, транспортировка при 80 ° C).Кожу отправляли и хранили замороженной (-80 ° C) до использования. Полную толщину кожи самок крыс линии Wistar Han (N = 4, возраст 10-11 недель) получали из Charles River Laboratories (Роли, Северная Каролина). За двадцать четыре часа до иссечения волосы на спинной поверхности были подстрижены; в день отправки крыс гуманно умерщвляли путем вдыхания CO 2 и вырезали кожу. Кожу помещали на сухой лед и хранили замороженной (-80 ° C) до использования. In vitro. Тесты на кожную абсорбцию были проведены в соответствии с Руководством 428 ОЭСР (21).Образцы кожи человека отбирали в четырех экземплярах, а образцы кожи крысы отбирали в трех экземплярах.

    Устройство для кожной абсорбции in vitro

    Проточная диффузионная клеточная система (Crown Bio Scientific, Inc., Сомервилль, Нью-Джерси, США) и методология, как описано Броно и Стюарт (22) и Броно и Майбах (23) были использованы. Использовали тефлоновые диффузионные ячейки Flo-Thru с диффузионной площадью 0,64 см 2 . Каждую ячейку помещали в нагреватель диффузионных ячеек PosiBloc, нагреваемый циркулирующей водой с температурой 35 ° C.Перистальтический насос использовали для перекачивания рецепторной жидкости со скоростью 1,8 мл / ч из резервуара через трубку Tygon (R-3603, Fisher Scientific Co., Fair Lawn, NJ, США) в проточные ячейки. Сцинтилляционные пробирки (20 мл) помещали в коллектор фракций для сбора рецепторной жидкости. Все компоненты диффузионного аппарата стерилизовали 70% -ным раствором этанола и промывали стерильным рецепторным раствором перед помещением образцов кожи в проточные ячейки.

    Рецепторная жидкость

    Сбалансированный солевой раствор Хэнкса с буфером HEPES, pH 7.4, с 10% фетальной бычьей сывороткой (Sigma Chemical Co., Сент-Луис, Миссури, США), использовали в качестве рецепторной жидкости. Эта жидкость была показана Collier et al. (24) для поддержания жизнеспособности кожи крысы до 24 часов. Компонентами жидкости были N- (2-гидроксиэтил) пиперазин-N ‘- (2-этансульфоновая кислота) (HEPES), фетальная бычья сыворотка и сульфат гентамицина, полученный от GIBCO (Гранд-Айленд, Нью-Йорк, США), и динатриевый водород. фосфат и дигидрофосфат калия, закупленные у Scientific Products (McGraw Park, IL, США) и Matheson Coleman and Bell (Норвуд, Огайо, США) соответственно.Рецепторную жидкость готовили с использованием дистиллированной воды и стерилизовали фильтрованием (фильтр 0,2 мкм, одноразовая фильтровальная посуда Nalgene, Sybron Corp., Рочестер, штат Нью-Йорк, США). Готовили 10% раствор (об. / Об.) Фетальной бычьей сыворотки со стерильной рецепторной жидкостью. Рецепторная жидкость постоянно насыщалась 100% кислородом на протяжении всего эксперимента.

    Процедуры in vitro

    Эксперименты на коже человека и крысы проводили в отдельные дни. В день эксперимента кожу человека или крысы оттаивали и подвергали дерматомизации до прим.Толщиной 300 мкм с использованием дерматома Пэджетта (Канзас-Сити, Миссури, США) и помещенного в рецепторную жидкость. Четыре диска были вырезаны из каждого образца кожи человека и по 3 из каждой кожи крысы с помощью лукового пуансона диаметром 0,75 дюйма. Толщину каждого кожного диска измеряли по его краю с помощью микрокалиперов (модель D-1000, The Dyer Co., Ланкастер, Пенсильвания, США). Средняя (± стандартное отклонение) толщина кожи человека и крысы составляла 294 (± 57) и 244 (± 25) мкм соответственно. Диски устанавливали эпидермальной стороной вверх в проточной системе (описанной выше).После того, как все кожные диски были установлены, насос рецепторной жидкости был запущен. Каждый кожный диск промывали небольшим объемом дистиллированной воды и трижды сушили бумагой Kim Wipe® перед нанесением TBBPA.

    После 30-минутного периода уравновешивания целостность кожи человека проверяли следующим образом: [ 3 H] -H 2 O (1 мкКи, 100 мкл), полученный от Perkin Elmer (Waltham, MA, USA) наносили на кожу с помощью пипетчика, включали насос и собирали рецепторную жидкость.Остаточный [ 3 H] -H 2 O удаляли бумагой Kim Wipe® через 5 минут после нанесения на кожу. Кожу промывали небольшим объемом нерадиоактивной дистиллированной воды и трижды сушили бумагой Kim Wipe®, чтобы удалить оставшиеся следы [ 3 H] -H 2 О. Рецепторную жидкость собирали еще в течение 1 часа. Собранную рецепторную жидкость смешивали с 10 мл сцинтилляционной жидкости и анализировали на [ 3 H] -радиоактивность в жидкостном сцинтилляционном анализаторе Beckman Instruments (Фуллертон, Калифорния) 6000LL.Средний процент дозы [ 3 H] -H 2 O, обнаруженной в рецепторной жидкости для кожи трупа человека, был менее 0,05%, что указывает на неповрежденный барьер, аналогичный здоровой коже.

    Диски из кожи человека и крысы обрабатывали 100 нмоль / см 2 [ 14 C] -TBBPA в 10 мкл ацетона (~ 1 мкКи). Был запущен перистальтический насос и фракции собирались каждые 6 часов до 24 часов после дозирования, когда перистальтический насос был остановлен. Поверхность эпидермиса (с установленной верхушкой клетки) промывали шесть раз раствором 0.5 мл смеси жидкого мыла Joy®: воды (1: 1) для удаления неабсорбированного химического вещества. Фракции для промывания кожи объединяли в два флакона и смешивали со сцинтилляционной жидкостью. Верхнюю часть клетки и тело клетки промывали по отдельности трижды 0,5 мл этанола. Промывки верха ячеек и тела, а также весы, используемые для мытья верха ячеек, помещали в отдельные флаконы. Шкурам давали высохнуть в течение ночи. На следующий день каждый кожный диск был очищен 10 раз прозрачной лентой. Каждую полоску ленты помещали в отдельный флакон.Смывки для кожи, верхней части клеток и тела, весовые лодочки, полоски с лентой и рецепторная жидкость смешивались со сцинтилляционной жидкостью и анализировались на радиоактивность в жидкостном сцинтилляционном анализаторе. Промытую и очищенную кожу затем химически солюбилизировали в 1 мл Soluene 350 (PerkinElmer) в течение ночи на водяной бане, установленной на 37 ° C. Гионический фтор (PerkinElmer) добавляли к растворенному раствору для кожи и определяли поглощенную [ 14 C] -радиоактивность.

    Перед анализом радиохимической ВЭЖХ аликвоты рецепторной жидкости по 1 мл из каждого образца подвергали твердофазной экстракции с использованием картриджей Waters Oasis HLB (3 мг, арт.WAT094225). Вкратце, образцы подкисляли 100 мкл ледяной уксусной кислоты, колонку кондиционировали 1 мл метанола / воды (50:50, об. / Об.), Загружали образец и промывали 1 мл 5% метанола в воде, затем, наконец, элюировали 1 мл. 100% метанола. Элюент упаривали досуха с использованием Savant SPD1010 SpeedVac (ThermoScientific, Waltham, MA) без нагревания, восстанавливали в 150 мкл метанола и вводили в ВЭЖХ (см. Ниже условия ВЭЖХ).

    In vivo экспериментов

    Чтобы связать ранее опубликованные данные, характеризующие судьбу перорально вводимого TBBPA у самок крыс (17), и исследований in vitro , описанных выше, для in vivo были выбраны два уровня доз. исследования кожной абсорбции: 100 нмоль / см 2 (~ 0.25 мг / кг) и 1000 нмоль / см 2 (~ 2,5 мг / кг). Самок крыс Wistar Han (N = 4 крысы / группа, возраст 11 недель, примерно 200 г, Charles River, Raleigh NC) готовили для неокклюзированного кожного нанесения TBBPA, как описано ранее (25). Крысам местно вводили [ 14 C] -меченный TBBPA (100 мкКи / кг, 400 мкл / кг) в ацетоне. За день до введения дозы животных слегка анестезировали ингаляцией изофлурана и подстригали спинную поверхность с помощью электрической машинки для стрижки, чтобы удалить волосы с лопаточной области.Обрезанные участки визуально осматривали на предмет порезов и царапин. Животных возвращали в клетки из поликарбонатной коробки для обуви для восстановления после анестезии. Непосредственно перед дозированием животных снова слегка анестезировали ингаляцией изофлурана, область дозирования визуально проверяли на наличие порезов и отмечали область размером 1 см 2 . Дозируемый раствор наносили внутрь отмеченной области с помощью иглы с шариковым наконечником, прикрепленной к шприцу Гамильтона, давали ему высохнуть, а затем место дозирования покрывали не закрывающей крышкой из стальной сетки, прикрепленной полиакрилатным клеем для предотвращения проглатывания исследуемого продукта. .После дозирования животных помещали в пластиковые клетки для метаболизма Nalgene для сбора фекалий и мочи. Животным давали корм для крыс (NIH 31) и водопроводную воду для потребления ad libitum .

    Фекалии, моча и полоскания клеток собирали и анализировали, как описано ранее Knudsen et al. (17) с интервалом в 24 часа. Животных умерщвляли путем ингаляции CO 2 через 24 или 72 часа. После эвтаназии кровь собирали путем сердечной пункции, кожу вырезали и проводили полное вскрытие трупа, как описано ранее (17).Кожа в области аппликации обрабатывалась в соответствии с методом OECD 427 для испытаний химических веществ in vivo (26). Вкратце, кожу 10 раз промывали тампонами с помощью фильтровальной бумаги, пропитанной ацетоном, 10 раз с использованием 10% -ного мыльного раствора, а затем 10 раз снимали липкую ленту с использованием прозрачной ленты для максимального восстановления дозы, оставшейся на поверхности кожи. Кал сушили на воздухе и измельчали ​​в порошок с помощью ступки и пестика. Образцы тканей (включая кожу) и фекалий отбирали в трех экземплярах (прибл.25 мг / образец), сжигали в установке для окисления биологических образцов Packard (Уолтем, Массачусетс, США) 307, и содержание радиоактивности [ 14 C] определяли количественно с помощью жидкостного сцинтилляционного подсчета (LSC). Мазки с кожи и полоски ленты анализировали с помощью прямого LSC, тогда как смывы мочи и клеток анализировали аналогичным образом в трех повторностях. Данные о сгоревших тканях и фекалиях, моче, смывах клеток, мазках с кожи и полосках использовались для вычисления арифметической суммы остаточной [ 14 C] -радиоактивности. Образцы измельченной кожи и высушенных фекалий (~ 250 мг) последовательно экстрагировали 3 × 5 мл толуола, 3 × 5 мл этилацетата и 3 × 5 мл метанола.Супернатанты объединяли в стеклянные флаконы, концентрировали почти до сухости без нагревания (Savant SPD1010 SpeedVac), восстанавливали в 1 мл метанола и аликвоты вводили в ВЭЖХ.

    ВЭЖХ-радиохимические анализы

    Система ВЭЖХ, используемая для анализа рецепторной жидкости (из исследования in vitro) и экстрактов с кожи и фекалий (из исследования in vivo), состояла из Waters (Милфорд, Массачусетс, США) Модуль разделения 2695, Agilent (Санта-Клара, Калифорния, США) Колонка Eclipse Plus C18 (3.5 мкм, 4,6 мм × 150 мм) и фотодиодной матрицы Waters 996 с встроенным сцинтилляционным анализатором потока Packard Radiomatic 500TR. Подвижные фазы состояли из 0,1% трифторуксусной кислоты в воде (подвижная фаза A) и 0,1% трифторуксусной кислоты в ацетонитриле (подвижная фаза B). Разделение образцов проводили с использованием градиента; начальные условия (60% A) поддерживались в течение 5 мин; Затем A снижается до 10% в течение 2 минут, а затем до 0% A в течение 13 минут. Колонку возвращали в исходные условия и давали уравновеситься в течение 5 минут перед повторным использованием.Скорость потока составляла 1 мл / мин. Программное обеспечение для управления и анализа приборов было Empower Pro (Waters Corp.) и FLO-ONE для Windows (Packard, v. 3.6). Радиохимическая проточная ячейка составляла 500 мкл, скорость потока сцинтиллятора составляла 2 мл / мин. TBBPA определяли количественно на основе 5-точечной калибровочной кривой с использованием УФ-поглощения при 254 нм и радиохимического обнаружения.

    Статистические методы

    Данные были подвергнуты статистическому анализу с использованием парных t-критериев или двухфакторного дисперсионного анализа с последующим тестом Тьюки-Крамера для парных сравнений (GraphPad Prism 6, GraphPad Software, Inc., Ла-Хойя, Калифорния). Значения считались значимыми при p <0,05.

    Расчет параллелограмма

    Принципы параллелограммного подхода к оценке воздействия на кожу были использованы для оценки вероятного уровня после in vivo системных воздействий на человека соответствующей дозы наносимого на кожу TBBPA (), как описано Россом и др. ( 19). Вкратце, воздействие на человека in vivo оценивается как функция воздействия in vitro, человека, умноженного на коэффициент нормализации, основанный на той же дозе, примененной к коже крысы in vivo и in vitro .

    Оценка системного воздействия in vivo на человека относительно соотношения абсорбции животным и человеком (проникновение + всасывание) химических веществ, наносимых на кожу

    Результаты

    Исследования in vitro

    Анализ рецепторной жидкости в in vitro эксперименты продемонстрировали проникновение радиоактивно меченного TBBPA (100 нмоль / см 2 ) через кожу крысы и человека с течением времени (). Проникновение [ 14 C] -TBBPA в кожу человека было значительно ниже (p <0.05) в каждой 6-часовой фракции по сравнению с таковой в коже крысы. 0,2% дозы, нанесенной на кожу человека, было восстановлено в рецепторной жидкости, тогда как примерно 3% дозы прошло через кожу крысы за 24 часа. Общее восстановление дозы (выраженное в процентах от введенной дозы), собранное в рецепторной жидкости, оставшееся (абсорбированное) на коже, а также в полосках для стирки и ленты (неабсорбированных) показано на. Общий возврат составил 99%. Радиометрический анализ ВЭЖХ показал, что вся [ 14 C] -радиоактивность в рецепторной жидкости экспериментов на людях или крысах была восстановлена ​​в виде исходного TBBPA ().

    Суммарная общая доза, восстановленная в рецепторной жидкости после однократного нанесения 100 нмоль / см 2 [ 14 C] -TBBPA на кожу. Проникновение было значительно ниже в образцах людей во все оцениваемые моменты времени (p <0,05). Данные представляют собой среднее ± стандартное отклонение; N = 4 крысы; N = 3 человека.

    Типичные радиохроматограммы ВЭЖХ A: стандарт TBBPA, B: перфузат из образцов кожи человека, C: перфузат из образцов кожи крысы.

    Таблица 1

    Восстановление [ 14 C] -радиоактивности в различных фракциях проточной системы in vitro через 24 часа после введения дозы.

    Виды Доза (нмоль / см 2 ) Проникновение (%) (Рецепторная жидкость) Поглощено (%) (кожа) Неабсорбировано (%) (Смывы и стрипы) 914
    Человек a 100 0,2 ± 0,006 3,4 ± 1,8 95 ± 3
    Крыса b 100 3,5 ± 0,7 9,3 ± 0,8 86 ± 3

    In vivo исследований

    In vivo исследований были выполнены для определения кожного поглощения дозы TBBPA ~ 100 или ~ 1000 нмоль / см 2 в течение 24 или 72 часов.Дозы 100 нмоль / см 2 и 1000 нмоль / см 2 вели себя аналогично in vivo . Как наблюдалось в исследованиях in vitro , большая часть введенной [ 14 C] -радиоактивности восстанавливалась неабсорбированной из места дозирования в течение 24 часов после введения 100 нмоль / см 2 (). Непрерывное воздействие TBBPA в течение 24 часов привело к тому, что 10–20% дозы попало через кожу и в системный кровоток при обоих уровнях доз. Приблизительно 14% дозы было обнаружено в коже в месте дозирования (абсорбировано) и 8% присутствовало в тканях или выделениях (проникло) для группы с дозой 100 нмоль / см 2 .В этой же группе 6% дозы было извлечено с фекалиями с дополнительными 1-2%, обнаруженными в содержимом желудочно-кишечного тракта через 24 часа. Аналогично ок. 5% от дозы 1000 нмоль / см 2 было извлечено с фекалиями и содержимым желудочно-кишечного тракта. Кровь и другие ткани содержали менее 1% введенных доз. Сводку восстановлений можно найти в. Более низкая относительная абсорбция (выраженная в процентах от дозы) дозы 1000 нмоль / см 2 указывает на насыщение доступных путей (путей) через кожу.Несмотря на это явно более низкое поглощение, абсолютная масса, которая была поглощена, увеличивалась с дозой. Это относительно часто наблюдаемое явление при работе с кожным покровом (27).

    Таблица 2

    Восстановление [ 14 C] -радиоактивности в различных фракциях системы in vivo .

    Виды Доза (нмоль / см 2 ) Воздействие (ч) Проникнуло (выделения и ткани,%) Абсорбировано (кожа,%) Неабсорбировано (смыто) )
    Крыса ~ 100 24 7.7 ± 2,4 13,6 ± 2,5 80 ± 3
    Крыса ~ 1,000 24 5,3 ± 2,7 5,1 ± 3,4 85 ± 8
    Крыса ~ 1,000 72 30 ± 10 **** 40 ± 7.2 **** 30 ± 10 ****

    Таблица 3

    Распределение [ 14 C] -радиоактивность в экскрементах и ​​тканях (%).

    49 Содержимое желудочно-кишечного тракта 911
    Виды Доза Воздействие Матрица Извлечение
    (нмоль / см 2 ) (h) 49148 9148 9148 48 Крыса 100 24 Кал 6 ± 1,5
    Моча 0,1 ± 0,07
    Кровь 0.03 ± 0,02
    Ткани, не относящиеся к ЖКТ 0,3 ± 0,06
    Ткани желудочно-кишечного тракта 0,05 ± 0,03
    1,2 ± 0,9
    Крыса 1,000 24 Кал 3 ± 0,8
    Моча 0.2 ± 0,3
    Кровь 0,02 ± 0,004
    Ткани, не относящиеся к ЖКТ 0,4 ​​± 0,5
    тканей 0,05 ± 0,03
    Содержимое желудочно-кишечного тракта 1,6 ± 1,3
    Крыса 1,000 72 Кал 11 ± 6
    900 Моча 0.6 ± 0,6
    Кровь 0,02 ± 0,01
    Ткани не-ЖКТ 2,8 ± 1,4
    ткани 0,6 ± 0,4
    Содержимое желудочно-кишечного тракта 15 ± 4

    TBBPA абсорбировался, распределялся и выводился с калом при применении в дозе 1000 нмоль / см 2 и оставить на коже на 72 ч ().Подобно примерно линейной пенетрантности [ 14 C] -TBBPA в рецепторную жидкость (), проникновение и абсорбция, определяемые восстановлением [ 14 C] -радиоактивности в кале, были непрерывными между 24 и 72 часами ( данные не показаны). К 72 часам после нанесения в кале или содержимом желудочно-кишечного тракта содержится прибл. 30% введенной [ 14 C] -радиоактивности. Ткани желудочно-кишечного тракта содержали менее 1% дозы, в то время как «ткани, не относящиеся к желудочно-кишечному тракту», содержали прибл. 3% дозы, большая часть которой была обнаружена на коже, взятой далеко от места дозирования ().Радиометрический анализ ВЭЖХ экстрактов кожи и кала показал, что вся экстрагируемая [ 14 C] -радиоактивность была восстановлена ​​как исходная ().

    Репрезентативные радиохроматограммы ВЭЖХ для A: стандарт TBBPA, B: экстракты кожи крысы после 24-часового воздействия TBBPA (100 нмоль / см 2 ), C: экстракты фекалий крыс после 24-часового воздействия TBBPA (100 нмоль / см 2 ). Радиохроматограммы ВЭЖХ для дозы 1000 нмоль / см 2 показали только исходный TBBPA.

    Расчетная биодоступность для человека

    На основании расчета параллелограмма до 6% наносимого на кожу TBBPA могут быть биодоступными для людей, подвергшихся воздействию TBBPA.

    Обсуждение

    Воздействие TBBPA на человека через пищу и пыль – реальная и постоянная проблема (28–32). Несколько исследований продемонстрировали важность проглатывания домашней пыли как основного пути воздействия на человека TBBPA и других антипиренов (4, 33). Однако немногие обсуждали сопутствующее воздействие этих же антипиренов на кожу, хотя неоднократно демонстрировались сильные положительные корреляции между уровнями антипиренов в пыли, салфетках для рук и концентрацией в сыворотке крови у взрослых и детей (34–36).Несмотря на это, очень мало известно о распространении бромированных антипиренов на кожу в целом (5). Целью этого исследования было измерение всасывания TBBPA в коже крыс и человека для более точной оценки биодоступности TBBPA при воздействии на кожу. Кожа крысы была более проницаемой для [ 14 C] -TBBPA, чем кожа человека in vitro . Точно так же через 24 часа кожа человека поглощала и сохраняла гораздо меньшую [ 14 C] -радиоактивность, чем кожа крысы. [ 14 C] -радиоактивность, которая была поглощена кожей, была восстановлена ​​как исходный TBBPA, как и [ 14 C] -радиоактивность, восстановленная в фекалиях крыс, что приводит к заключению, что нанесенный на кожу TBBPA, вероятно, следует аналогичной биотрансформации и элиминации. пути, подобные тем, которые были обнаружены ранее для TBBPA, вводимого крысам перорально или внутривенно.Биотрансформация вводимого перорально TBBPA сходна как у крыс, так и у людей; крысы выводят системный TBBPA (в виде глюкуронидных или сульфатных конъюгатов) исключительно за счет экскреции с желчью (15–17), тогда как TBBPA-глюкуронид измеряется в моче человека (37), хотя люди, вероятно, также выводят конъюгированный TBBPA с желчью. Конъюгированные метаболиты гидролизуются в кишечнике, предположительно микрофлорой кишечника, давая исходный TBBPA. Как и предыдущие наблюдения после перорального или внутривенного введения, анализы фекальных экстрактов показали, что TBBPA выводится в неконъюгированной форме после всасывания через кожу у крыс.В текущем исследовании (как видно из) и в соответствии с предыдущими исследованиями (15–17) после введения наблюдалось минимальное удержание абсорбированного TBBPA в тканях.

    Ожидается, что эти данные, представленные в данном документе, помогут в оценке риска попадания на кожу TBBPA. В течение 24 часов количество введенного TBBPA, которое проникло через кожу человека и крысы in vitro , постоянно увеличивалось для всех образцов, что свидетельствует о том, что продолжительность воздействия увеличивает риск токсичности. Кожа крысы более проницаема, чем кожа человека, для различных химических веществ (38-40), что может объяснить различия в наблюдаемых уровнях проникновения и абсорбции TBBPA кожей человека и крысы и требует использования механизма нормализации для учета различий в дермальный захват между видами.Несмотря на межвидовые различия в поглощении, ясно, что TBBPA может абсорбироваться кожей, и кожный контакт с TBBPA, вероятно, играет небольшой, но важный путь воздействия на людей, например, уборщиков и рабочих, работающих с электронным оборудованием (29, 41), но особенно маленькие дети, которые подвергаются повышенному воздействию домашней пыли (4). Кроме того, младенцы и маленькие дети могут испытывать даже более высокий риск токсических эффектов TBBPA из-за увеличенного отношения площади поверхности к объему, незрелых путей детоксикации и быстро развивающейся нервной системы (42).

    Роговой слой является основным барьером для абсорбции через кожу. Для того, чтобы химические вещества, такие как TBBPA, проникали через кожу, большинство, если не все, свидетельства указывают на пассивную диффузию через роговой слой, нежизнеспособный слой кожи. Неясно, способствуют ли переносчики проникновению химических веществ в жизнеспособные слои эпидермиса или через них. Структурно похожие бромированные антипирены, такие как родственные полибромированные дифениловые эфиры, наиболее четко описаны как субстраты для нескольких белков семейства белков «печеночных» органических анион-транспортирующих полипептидов (OATP) (43).Сюда входит OATP2B1, переносчик, экспрессия которого была описана в печени, селезенке, плаценте, легких, почках, сердце, яичниках, тонком кишечнике, головном мозге (44) и совсем недавно в коже (45). Сообщалось, что кератиноциты, полученные из кожи человека, экспрессируют функциональные переносчики ОАТФ с иммуно-реактивным окрашиванием, заметным в жизнеспособных областях эпидермиса (46). Необходимы дополнительные исследования, чтобы определить, является ли TBBPA субстратом для этого и других транспортеров, экспрессируемых в коже.

    Небромированный аналог TBBPA, бисфенол А, по оценкам, имеет 24-часовую кожную биодоступность примерно 9% (20) и 46% через 72 часа (47). In vitro кожные оценки декабромдифенилоксида (BDE 209) с использованием кожи мышей показали, что 2% дозы 60 нмоль были биодоступными (48). Одно исследование in vivo 2,2 ‘, 4,4’-тетрабромдифенилового эфира (BDE 47) с использованием самок мышей B6C3F1 показало, что менее 10% дозы 1 мг / кг выводится с мочой и калом в течение 24 часов, где прибл. 77% дозы было биодоступным (например, было восстановлено в месте введения дозы или в тканях и выделениях) в течение 5 дней (49).

    Системная количественная оценка внутренних уровней TBBPA после профессионального, потребительского и экологического воздействия пыли, содержащей TBBPA, вероятно, является результатом как минимум двух путей: проглатывания и контакта с кожей.Поэтому мы применили принципы параллелограммного подхода к оценке воздействия на кожу для оценки вероятного уровня после in vivo системных воздействий на человека соответствующей дозы наносимого на кожу TBBPA, как описано Ross et al. (19). Росс и др. (19) сообщили о консервативной оценке ± 3-кратной неопределенности для применяемого здесь метода параллелограмма. Однако, как отметили Jung & Maibach (50), этот фактор неопределенности в первую очередь был обусловлен двумя выбранными агентами: флуазифоп-бутил (завышенная абсорбция) и о-фенилфенол (заниженная абсорбция).Когда три исследования ( in vitro, человек, in vitro, крыса, in vivo, крыса) были выполнены одновременно в одной лаборатории, соотношение прогнозируемой и измеренной кожной абсорбции у человека было <1,7 раза и часто приближалось к единице.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *